第24课时6.3.2方差与标准差
苏教版必修3高一数学6.3.2方差与标准差练习
第9课时方差与标准差分层训练1．以下可以描述总体稳定性的统计量是( ) (A)样本均值x (B)样本中位数 (C)样本方差2s (D)样本最大值x(n)则下列选项正确的是 ( )(A)22乙甲乙甲＞，＝s s x x （B ）22乙甲乙甲＜，＝s s x x(C)22乙甲乙甲＝，＝s s x x (D)22乙甲乙甲＝，s s x x ≠3．设一组数据的方差是2s ，将这组数据的每个数据都乘10，所得到的一组新数据的方差是( ) (A)0.12s (B) 2s (C)102s (D)1002s 4．已知,,21x x …，6x 的方差为2，则21x ＋3, 22x ＋3，…,26x ＋3的标准差是___________ 5．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下： 计值x =_______,病人等待时间标准差的估计值s=___________6．已知样本99,100,101，x ,y 的平均数是100，方差是2，则y x ⋅＝________7．（1）美国加利福尼亚州州长提出给所有的州政府雇员月薪增加70美元。
这对于州政府雇员的平均月薪将会有何影响？对于月薪的标准差呢？（2）整个政府部门的月薪递增5%将对平均月薪有何影响？对于月薪的标准差呢？8．甲、乙两机床同时加工直径为100mm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为(1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定。
拓展延伸9．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数：估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间比较具有一致性与可靠性。
10．已知样本90, 83, 86, 85, 83, 78, 74, 73, 71, 70的方差为 2s ，且关于x 的方程03)1(2=-++-k x k x 的两根的平方和恰好是2s ，求k 的值。
本节学习疑点：1．C 2．B 3．D 4．22 5．9.25,5.4 6．99967．(1)这将使平均数增大70美元，但不影响标准差 (2)这将使月薪的平均数和标准差都增大5%8．(1) 100100==乙甲，x x ，13722==乙甲，s s(2) 22乙甲s s >，故乙更稳定。
方差和标准差.3方差和标准差
3.3方差和标准差教学设计一、教学目标1、了解方差，标准差公式的产生过程2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差二、教学重点方差、标准差的概念、计算及其运用三、教学难点方差概念的理解和应用四、教材分析《方差与标准差》这节课是选自浙教版八年级上第三章第三节，是在学生学会用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
是对数据进行分析的另一重要指标。
这节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，在数据与图表中是着重用图表的形式来反映数据的特征和变化。
而本章则是用统计量来反映数据的特征和变化。
学好本节课，不仅为进一步学好数据分析打好基础，而且在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。
计算方差、标准差时，首先要求平均数，因此，求方差、标准差也是求平均数的练习和巩固的过程。
但平均数与方差的最本质的区别是：平均数是反映一组数据的集中程度的统计量而方差是反映一组数据的离散程度的统计量。
五、学情分析根据我自己对所带两个班级学生的了解，他们在分析，推导能力上不是特别强，所以本节的内容我准备按课本的要求来，不做较大的改变，不要求学生解决复杂或生僻的问题。
对于八年级的学生要根据实际选择统计量，并通过数据分析作出判断或预测。
不仅需要学生有教高的综合分析能力，而且要有较丰富的生活实践经验，对于这个年龄段的学生来说，是比较薄弱的。
因此，我在教学中会把握好教学要求，给学生留有充分的时间思考和小组讨论，用集体的智慧来解决难题。
在这堂新课中，我放较大的比重在公式的产生上，既公式的推导过程。
因为中考不允许学生使用计算器，所以在数据的选择上要便于计算，不允许学生使用计算器。
六、教学过程 （一）情景引入 学生观看射击比赛视频提问：一年一度的比赛又要开始了，所有的学员都这么优秀选谁？ 设计意图：1、通过视频吸引学生的注意力，让学生的注意力集中到课堂上 2、每个学员都很优秀有自己的特点，所以我们要有一个合理的选拔 标准，从而引出了本堂课的学习内容 （二）合作学习甲、乙两人的测试成绩统计如下:（1）分别算出甲、乙两人的平均成绩. （2）根据这两人的成绩，再画出折线统计图.（3）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜?为什么?提问：1、哪组数据围绕其平均数波动较大，波动大反映了什么？ 2、谁射击成绩比较稳定？设计意图：1、1,2两个小题学生根据自己现有的知识能够解决，通过给出两个 问题，引导学生仔细观察折线图，因为折线图能够直观反应两人成24 68 成绩（环）10 0 1 2 3 4 5绩水平的高低以及稳定性。
初中数学浙教版八年级下册第3章数据分析初步3.3方差和标准差公开课
方差和标准差方差和标准差学习目标1、了解方差，标准差的公式的产生过程。
2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3、能通过实例学会用样本方差分析数据的离散程度。
导学过程预习课本P62-64思考：选拔射击手参加比赛时，我们应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？合作学习甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：(1)甲、乙两名射击手的极差分别是多少？(2)请分别计算两名射击手的平均成绩；(3)请分别计算两名射击手的成绩与平均数的差（即偏差）。
(4)甲、乙两人成绩的偏差的平均数是多少？(5)现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你能根据偏差的平均数挑选射击手参加比赛吗？为什么？归纳总结方差的概念：例：为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm):甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16哪种小麦长得比较整齐?归纳总结标准差的概念：自我检测已知数据a1，a2，a3，…，a n的平均数为X，方差为Y标准差为Z。
则①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，a n +3的平均数为____，方差为______，标准差为______。
②数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3a n的平均数为______，方差为______，标准差为______。
③数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2a n -3的平均数为______，方差为______，标准差为______。
自我反思你有什么收获？你还有什疑问？。
方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系
方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系方差、协方差和Pearson相关系数在机器学习的理论概念中经常出现，本文主要理一下这几个概念及其相互间的关系。
（一）方差：方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，公式如下：上式中mui为样本均值。
方差可以反应样本数据的离散程度，由上式可以看出，方差越大，样本离散程度也越大。
机器学习中，如果某一特征值的离散程度很小，即表示该特征取值很少，可以认为样本在这个特征上基本没有差异，那这个特征对于样本区分没有什么作用，可以将这个特征去除，从而做到特征选择。
（二）标准差：标准差即方差的开平方，不展开了，下面是公式：（三）协方差：协方差描述的是两个变量间的相关性，计算公式如下：也可以用以下公式表示，两者是等价的：cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]上式中E[ ]表示求期望，其中E[X]为X特征期望或均值，E[Y]为Y 特征期望或均值。
对比方差和协方差的公式可以看出两者很像，但方差的结果是大于等于0的，当等于0时，说明样本的x特征取值唯一，反应的样本的x特征的离散程度；协方差的取值则可以大于零也可以小于零，当大于零时，说明对应的两个变量x和y与其均值相比都同大于或同小于，即两个变量的变化趋势相同（正相关）；当小于零时，说明对应的两个变量x和y不同时大于或小于其均值，即两个变量的变化趋势相反（负相关）；而当均方根接近零时，说明两个变量基本没有相关性，接近相互独立。
从以上描述可以看出，协方差可以衡量两个变量相关性大小，绝对值越大，说明越相关。
但是，却不好比较多个变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，因为量纲没有统一。
为了便于比较不同变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，Pearson相关系数被提出了。
Pearson相关系数：如上所述，Pearson相关性系数是为了比较不同变量与另外同一变量间相关性的相对大小，这里要注意的是：Pearson相关性系数衡量的是定距变量间的线性关系，可以用Pearson相关系数来进行特征特征选择。
方差、标准差的应用
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随机变量的期望 （加权平均）
对象：随机变量 的各个取值（预
期收益率）
权数：概率（随 机事件发生可能 性大小的数值）
问题二：（1）计算报酬率预期值： 甲方案报酬率的预期值＝32%×0.4＋17%×0.4＋
（－3%）×0.2＝19% 乙方案报酬率的预期值＝40%×0.4＋15%×0.4＋
（－15%）×0.2＝19% （2）计算报酬率的标准差：
（2）计算甲乙两个方案报酬率的标准差；
（3）计算甲乙两个方案报酬率的变化系数；
（4）比较两个方案风险的大小。
数字化平台连接： 192.168.。。。。。
问题一：甲方案报酬率的期望＝[32%＋17%＋（－ 3%）]÷3＝15.33%
乙方案报酬率的期望＝[40%＋15%＋（－ 15%）]÷0.2＝15%
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式为：
1
n
n i 1
(Xi
X )2
（3）计算报酬率的变化系数：
甲方案变化系数＝12.88%/19%＝0.68
乙方案变化系数＝20.35%/19%＝1.07
（4）乙方案的风险大于甲方案。理由：乙方案的变化系数 大于甲方案。
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方差、标准 差的应用
课堂安排
知识回顾 案某企业准备投资开发新产品， 现有甲乙两个方案 可供选择，经预测，甲乙两个方案的投资报酬率如下表所示：
市场状况
繁荣 一般 衰退
概率
0.4 0.4 0.2
预期投资报酬率
甲方案
乙方案
32%
40%
17%
15%
概率论与数理统计：方差的概念
方差§ 方差数学期望是随机变量的一个重要数字特征，它表示了随机变量的平均水平，但有时仅用数学期望来描述随机变量是不够的，如：有两名射击选手，他们每次射击命中的环数分别为21,X X ，对应的分布列为：由于9)()(21==X E X E ，可见从数学期望这个角度无法分出两射击选手水平的高低，故还需考虑其它的因素，通常做法是：比较两选手射击技术的稳定性，研究随机变量和均值偏离程度.首先看)(X E X -，但这种偏差有正有负，可能出现正负抵消情况，常考虑)(X E X -来描述随机变量的波动大小，但绝对值在数学上处理不方便，故改用2)]([X E X -来消去符号，然后再求均值2)]([X E X E -来度量随机变量取值的波动大小.此例中，4.0)]([211=-X E X E ，8.0)]([222=-X E X E ，由此可见第一名选手的技术更稳定一些.本节将引进另一个数字特征--方差。
用它来度量随机变量取值在其均值附近的平均偏离程度。
4.2.1方差的概念定义 4.3 设随机变量X ,若2{[()]}E X E X -存在,则称其为X 的方差,记为()D X 或Var()X ,即2Var()(){[()]}D X E E X X X ==-.X 的均方差或标准差，也记为()X σ.4.2.2方差的计算由定义知,方差实际上是随机变量X 的函数2()[()]g X X E X =-的数学期望. 注 （1）方差是随机变量与其均值的离差平方的数学期望，仍是一种期望，它反映了随机变量取值与其均值的偏差程度；（2）)(X D 越大，则随机变量X 的取值越分散；)(X D 越小，则随机变量X 的取值越集中；（3）既然方差是一种期望，且是随机变量函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=⎰∑∞+∞-222,)()]([,)]([)]([)(为连续型随机变量为离散型随机变量X dx x f X E x X p X E x X E X E X D i i i（4）)(X E 可正可负，但0)(≥X D ；（5）)(X E 存在时，)(X D 不一定存在；但当)(X D 存在时，)(X E 一定存在./ 另外，方差既然是期望，则利用期望的性质，有：})]([)(2{)]([)(222X E X XE X E X E X E X D +-=-=2222)]([)()]([)()(2)(X E X E X E X E X E X E -=+-=在计算方差时，除用定义法外有时也用22)]([)()(X E X E X D -=计算，应根据实际情况而定.例4.24（（0-1）分布）设随机变量X 服从参数为p 的(01)-分布,求()D X . 解 X 的分布律为{1}P X p ==, (0)1P X p ==-.由于()E X p =,且222()10(1)E X p p p =⨯+⨯-=,因而222()()[()](1)D X E X E X p p p p =-=-=-.例4.25 二项分布 ),(~p n B X随机变量X 的分布列为：n k p p C k X P kn k k n ,,1,0,)1()( =-==-k n knk k n kn knk k nkn knk k np p kC p p C k k p p C k X E -=-=-=-+--=-=∑∑∑)1()1()1()1()(022npqp n p np p n npp n n np p p Cpn n k n k nk k n +=-+=+-=+--=--=--∑2222222222)1()1()1()1(故npq np npq p n X E X E X D =-+=-=22222)()]([)()(例4.26（泊松分布）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,求()D X . 解X 的分布律为{}e ,0,1,2,,0!kP X k k k λλλ-===>.因()E X λ=,且2()[(1)][(1)]()E X E X X X E X X E X =-+=-+1(1)e!kk k k k λλλ∞-==-+∑222e(2)!k k k λλλλ-∞-==+-∑22ee λλλλλλ-=⋅+=+从而2222()()[()]D X E X E X λλλλ=-=+-=例4.27（均匀分布）设随机变量X 在区间(,)a b 上服从均匀分布,求()D X . 解 随机变量X 的概率密度为1,,()0,a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他. 由()2a bE X +=,且 3322211()()d d 3bab a E X x f x x x x b a b a +∞-∞-==⋅=⋅--⎰⎰223b ab a ++=因而22()()[()]D X E X E X =-223b ab a ++=22a b +⎛⎫- ⎪⎝⎭2()12b a -=.例4.28（指数分布）设随机变量X 服从指数分布,其概率密度为11e 0()00x x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，， 0θ>,求()D X .解 11101()()d ed eed 0xxxE X xf x x x x x x θθθθ---+∞+∞+∞-∞+∞===-+⎰⎰⎰exθθθ-+∞=-=.且12221()()d ed xE Xx f x x xx θθ-+∞+∞-∞==⎰⎰112e2ed xxx x x θθ+∞--+∞=-+⎰22θ=.因而22222()()[()]2D X E X E X θθθ=-=-=.例4.29（正态分布）设随机变量2~(,)X N μσ,求()D X .解 由()E X μ=,从而22()222(){[()]}()d x D X E X E X x xμσμ--+∞-∞=-=-⎰2222e d ()t x t t t μσ+∞--∞-==⎰令22222(e )e d t t t t +∞+∞---∞-∞⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦⎰22σ== 将上面的常见的随机变量的数学期望和方差总结如下：例4.30 若],[~b a U X 且3)(=X E ，3)(=X D ，求：b a ,. 解：由],[~b a U X 得)(X E 2ba +=，)(X D 12)(2ab -=故32=+ba ，3112)(2=-a b 解上得，4,2==b a例4.31 已知随机变量X 服从二项分布，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，求二项分布的参数p n ,。
高中数(苏教必修三)教师用书：第2章 2.3.2 方差与标准差
2.3.2 方差与标准差1．理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差．(重点、难点)2．掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．(难点)[基础·初探]教材整理方差与标准差阅读教材P69～P70“例4”上边的内容，并完成下列问题．1．极差的概念我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．2．方差与标准差的概念(1)设一组样本数据x1，x2，…，x n，其平均数为x－，则称s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2为这个样本的方差．(2)方差的算术平方根s＝1n∑i＝1n(x i－x－)2为样本的标准差．填空：(1)已知样本方差为s2＝110∑i＝1n(x i－5)2，则样本的平均数x－＝________；x1＋x2＋…＋x10＝________. 【导学号：11032048】【解析】由题意得x＝5，n＝10，∴x ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010＝5，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝50.【★答案★】 5 50(2)数据10,6,8,5,6的方差s 2＝________. 【解析】 5个数的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2. 【★答案★】 3.2[小组合作型]方差与标准差的计算(1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图2-3-7， 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．图2-3-7(2)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和标准差分别为________、________.【精彩点拨】 根据方差和均值的定义进行计算．【自主解答】 (1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.故方差为s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.(2)样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值x ＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＝1，方差s′2＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4，新数据x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的均值x＝110(x1＋a＋x2＋a＋…＋x10＋a)＝110(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝1＋a.新数据x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的方差s2＝110[(x1＋a－1－a)2＋(x2＋a－1－a)2＋…＋(x10＋a－1－a)2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4.∴s＝2.【★答案★】(1)6.8(2)1＋a 2求样本方差或标准差的步骤：(1)求样本的平均数x－＝1n∑i＝1nx i；(2)利用公式s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2求方差s2；(3)利用s＝s2求标准差s.[再练一题]1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．【解析】由题意知15(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【★答案★】 2方差与标准差的应用加工的零件中抽取6件测量，所得数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数与方差；(2)根据计算的结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 【精彩点拨】 求平均数→计算方差 →根据方差的大小进行判断【自主解答】 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．1．方差和标准差都是反映一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小或数据越集中，稳定．2．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及方差或标准差这两个方面考虑．[再练一题]2．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次测试，成绩记录如下：甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，应选择________同学．(填“甲”或“乙”)【解析】 x 甲＝80，x 乙＝80，而s 2甲＝15×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32.s 2乙＝15×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50. ∵x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，∴从统计学的角度考虑，选甲参加更合适． 【★答案★】 甲[探究共研型]平均数、方差的性质 探究1 何？s ＝0表示怎样的意义？【提示】 由于方差进行了平方运算，故方差的单位是原始数据单位的平方，从而标准差的单位与原始数据的单位相同．由标准差的定义知s ≥0，当s ＝0时，表示所有的样本数据都相同．探究2 所有样本数据均加上一个常数，其平均数、方差改变吗？若所有样本数据均乘以一个非零常数时，结果又会怎样？【提示】 设样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则样本x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b 的平均数为x －＋b ，方差为s 2；样本ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x －，方差为a 2s 2.从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)数据如下：161,163,162,165,164.求这5名学生身高的平均数及标准差． 【精彩点拨】 本题可用两种解法． 方法一是直接套公式计算．方法二把原数据统一减去一个常数160，通过新数据的平均数、方差求解． 【自主解答】 法一：身高的平均数x －＝ 161＋163＋162＋165＋1645＝163(cm)，标准差s ＝15[(161－163)2＋(163－163)2＋(162－163)2＋(165－163)2＋(164－163)2] ＝2(cm)．法二：将原数据都减去160之后得到一组新数据为1,3,2,5,4， 新数据的平均数x －′＝15(1＋3＋2＋5＋4)＝3，新数据的方差s ′2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2， 由平均数及方差的性质得原数据的平均数x －＝160＋3＝163(cm)， 原数据的标准差s ＝s ′2＝2(cm)．1．平均数、方差具有以下性质．(1)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1′＝x 1＋a ，x 2′＝x 2＋a ，…，x n ′＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．(2)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ，方差为m 2s 2.2．利用以上性质可使平均数，方差的计算变得简单．[再练一题]3．已知k 1，k 2，…，k n 的方差为5，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的方差为________.【导学号：11032049】【解析】 设k 1，k 2，…，k n 的平均数为k ，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的平均数为3(k －4)，∴s 2＝1n ∑i ＝1n [3(k i －4)－3(k －4)]2＝1n ∑i ＝1n [3(k i －k )]2＝9×1n ∑i ＝1n (k i －k )2＝9×5＝45.【★答案★】 451．下列叙述不正确的是________．(填序号) ①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平； ②极差描述了一组数据变化的幅度；③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； ④一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定．【解析】 选项①②③都是对三个基本概念的正确描述，方差越大说明一组数据围绕平均数的波动越大，所以，一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越不稳定，因此选项④是不正确的．故选④.【★答案★】 ④2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：甲 乙 丙 丁 平均数x － 8.5 8.8 8.8 8 方差s 23.53.52.18.7【解析】 由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定． 【★答案★】 丙3．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________．【解析】 由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14. 同理y ＝9.由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56. 【★答案★】 24.564．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，方差是4，则xy ＝________.【导学号：11032050】【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y 5＝10，15()92＋102＋112＋x 2＋y 2－102＝4，整理得⎩⎨⎧x ＋y ＝20， ①x 2＋y 2＝218， ②①2－②得2xy ＝182， ∴xy ＝91. 【★答案★】 915．假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数， 甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10； 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据两个供货商的交货情况．并计算哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性？【解】 x －甲＝110(10＋9＋…＋10)＝10.1， s 2甲＝110(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49， x －乙＝110(8＋10＋…＋12)＝10.5， s 2乙＝110(82＋…＋122)－10.52＝6.05. ∴s 2甲<s 2乙.从交货天数的平均值来看，甲供货商的供货天数短一些，从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲是较具一致性与可靠性的厂商．。
方差与标准差
8
8
9
乙命中环数 10 6 10 6
8
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩； x甲8,x乙8
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在 成绩（环） 下图中画出折线统计图； 10
8
⑶ 现要挑选一名射击手参加比 赛，若你是教练，你认为挑 6 选哪一位比较适宜？为什么？ 4
2
012
甲 乙
射 击 次 序
345
试一试
1、如果直接计算甲、乙每次射击成绩 与平均数的偏差的和，结果如何？
现要挑选一名射击手 参加比赛.
若你是教练，你认为 挑选哪一位比较适宜？
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 7
8
8
8
9
乙命中环数 10
6 10 6
8
教练的烦恼
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 7
8
和为零，无法比较
2、计算一下甲、乙两名运动员每次射击 成绩与平均成绩的偏差的平方和,结果如何?
解:甲：（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋
（8－8）2＋（9－8）2＝2； 乙：（10－8）2＋（6－8）2＋（10－8）2＋
（6－8）2＋（8－8）2＝16；
把刚显才然得：到甲的、的乙平两方名运和动再员除每以次数射据击个成绩数与可平得均：
因为S2甲< S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。
标准差的定义
为了使得与数据单位一致，可用方差的 算术平方根来表示（即标准差）：
S1 n(x 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2
S为标准差.
特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据 都没有偏差，即每个数都一样 .
定量资料的t检验
基本思路（1）
60≠18.56，为什么？ 差别是由于抽样误差引起的，统计学上称为差异无统计学意义。 差异是本质上的差异，即二者来自不同总体。统计学上称为差异有统计学意义。
基本思路（2）
两者不等的原因： 同一总体，即 但有抽样误差存在； 非同一总体，即 存在本质上的差别，同时有抽样误差存在。
3.2 第Ⅱ类错误（type Ⅱ error） 如果实际情况与H0不一致，也仅仅由于抽样的原因，使得统计量的观察值落到接受域，不能拒绝原本错误的H0，导致了另一种推断错误。这样的错误称为第Ⅱ类错误。犯第Ⅱ类错误的概率为β。 接受了实际上不成立的H0，这类“取伪”的错误称为第Ⅱ类错误。其概率大小用β表示，β只取单尾。
=5.600
=13.233
解题步骤（2）
确定P 值，作出推断结论 查t 界值表， ，由于 ，故 ，在 =0.05的水准上拒绝 ，接受 ,差异有统计学意义，可以认为接受培训前后调查问卷得分有差别。
SPSS软件实现（1）
资料录入方式
SPSS软件实现（2）
3.3 假设检验与两类错误
实际情况
检验结果
拒绝H0
不拒绝H0
H0为真
第Ⅰ类错误(α) 假阳性（误诊）
结论正确(1-α) 置信度
H0不真
结论正确(1- β) 检验功效
第Ⅱ类错误(β) 假阴性（漏诊）
3.4 两类错误间的关系
当样本含量一定时，α越小，β越大；α越大，β越小；
增大n， α和β同时减小。
能否采用单样本t 检验完成配对设计t 检验？
SPSS软件实现（4）
2.3.1 两独立样本均数的t 检验 (Independent samples t test)
方差和标准差-PPT课件
50 Dx=____, 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___, 25 99 D(2x-1)=____ E(2x-1)=____, 100
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
2
，
1 2 2 2 S [ ( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 5
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性. 4
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．
18
例1. (2019· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，
27
题型三 期望与方差的综合应用 【例3】(14分)（2019· 广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质
检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知
生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而 生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ .
标准差和方差的公式
标准差和方差的公式标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们分别用来衡量数据的离散程度和变异程度。
在实际应用中，我们经常会用到这两个指标来评估数据的稳定性和可靠性。
本文将介绍标准差和方差的计算公式及其应用。
首先，我们来看一下方差的计算公式。
方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值，用来衡量数据的离散程度。
设一组数据为x1, x2, x3, ..., xn，它们的平均值为x，则这组数据的方差的计算公式为：σ² = Σ(xi x)² / n。
其中，σ²表示方差，Σ表示求和，xi表示第i个数据，x表示数据的平均值，n表示数据的个数。
接下来，我们来看一下标准差的计算公式。
标准差是方差的平方根，用来衡量数据的变异程度。
设一组数据为x1, x2, x3, ..., xn，它们的平均值为x，则这组数据的标准差的计算公式为：σ = √(Σ(xi x)² / n)。
其中，σ表示标准差，√表示平方根。
通过上面的公式，我们可以看出，标准差和方差的计算都是基于数据与其平均值的偏离程度来进行的。
计算出的标准差和方差可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而进行更准确的数据分析和决策。
在实际应用中，标准差和方差经常用于评估数据的稳定性和可靠性。
例如，在财务领域，我们可以用标准差和方差来衡量投资组合的风险；在生产领域，我们可以用标准差和方差来评估产品质量的稳定性；在医学领域，我们可以用标准差和方差来分析药物的疗效和副作用等。
总之，标准差和方差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而进行更准确的数据分析和决策。
通过学习和掌握标准差和方差的计算公式及其应用，我们可以更好地运用它们来解决实际问题，提高数据分析的准确性和可靠性。
八年级数学知识点：极差方差与标准差知识点
八年级数学知识点：极差方差与标准差知识点人生的道路很长，但关键的却往往只有几步，而初中就是这关键几步中的第一步，下面小编为大家准备了极差方差与标准差知识点，欢迎阅读与选择!一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。
通过例题发现极差(最大值-最小值)的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小;同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。
因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标,构造方差前请同学们注意以下几个方面：1.为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。
2.为什么要“平方”。
3.为什么“求平均数”比“求和”更好。
同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。
对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。
对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。
二、例题1.不通过计算，比较图中(1)(2)两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。
本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。
解：从图(1)(2)中可以看出，两组数据的平均值相等。
(图(1)中数据与图(2)中前10个数据相等,且图(2)中后几个数据不影响平均值)。
图(1)的标准差比图(2)的标准差大。
(因为图(1)中各数据与其平均值离散程度大，图(2)中前10个数据与其平均值的离散程度与图(1)相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。
因此整体上说图(2)所有数据与其平均值的离散程度小于图(1)。
)2.求下列数据的方差(小数点后保留两位)：5，7，9，9，10，11，13，14。
分析：要求方差，必须先求平均数。
数学苏教版必修3教案：2.3.2方差与标准差 Word版含解析
2.3.2方差与标准差整体设计教材分析“方差与标准差”这节课在上节课平均数的基础上，从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们的抗拉强度”中平均数不是反映总体质量、水平的唯一特征数，在平均值相差不大的情况下，数据的稳定程度可以作为评价对象质量高低的又一重要因素，从而说明引入方差、标准差的必要性，同时使学生养成从多个角度看问题的习惯，锻炼了学生的创造性思维.为了让学生充分体会“稳定性”的意义，教材中用数轴表示两组数据，形象地表现出数据的“聚散”程度，并用极差反映数据的稳定性.当两组数据的极差相差不大时，就不适宜用极差来表示稳定性，这时可用“方差与标准差”作为比较数据稳定性的特征数.初中已学过方差概念，现在的教学不能停留在原有的水平上，要将用方差刻画数据的稳定程度的理由讲清楚，充分揭示用方差作为比较数据稳定性水平的特征数的思维过程.通过方差的单位与原数据的单位的比较,通过实际问题的分析,让学生了解到用方差反映稳定性水平的不足之处是与原数据单位不一致,且平方后可能夸大偏差的程度等,从而引入“标准差”的概念,这一过程应让学生在形成问题和解决问题的过程中加以探索.三维目标1.通过对具体案例的分析掌握样本数据的平均数、方差与标准差的基本概念和计算方法，培养学生分析问题和解决问题的能力,激发学生探究数学问题的兴趣和动机.2.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.3.引导学生对一些生活中实际问题的学习, 进一步培养学生的数学素养和增强学生的数学应用意识及认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.4.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点.重点难点教学重点：1.通过实例理解样本数据方差与标准差的意义和作用,学会计算数据的样本方差与标准差.2.根据方差与标准差对事件进行科学的决策，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学难点：1.方差与标准差的计算方法及运算的准确性.2.用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,从中进一步理解统计的基本思想.课时安排1课时教学过程导入新课平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍比较高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭收入计算出来的，那么它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被忽视的.因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际情况.举例：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如下表）检查他们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125.哪种钢筋的质量较好？两种钢筋的平均数都是125，那么,它们有没有什么差异呢?推进新课作出图形，作直观比较：直观上看，还是有差异的.乙的强度比较分散，甲的强度相对集中.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差甲的强度极差＝135-110=25,乙的强度极差＝145-100=45.它在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息，显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.新知探究1.方差(variance)的概念：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差，一般用s 2表示.假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ，x 表示这组数据的平均数.结合上节课有关离差的讨论可知,离差越小,稳定性就越高. 因此，通常用如下公式计算方差：∑=-=ni i x x n s 122)(1. 因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了离差的程度,因此将其算术平方根∑=-=ni i x x n s 12)(1 作为样本的标准差（standard deviation ）,分别简称样本方差、样本标准差.2.计算样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差的算法是：S1 算出样本数据的平均数x ；S2 算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x(i=1,2,…，n)；S3 算出S2中x i -x(i=1,2,…，n)的平方；S4 算出S3中n 个平方数的平均数；S5 算出S4中平均数的算术平方根，即为样本标准差.关于方差、标准差的一点说明：（1）方差、标准差是用来描述样本数据的离散程度的，它反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.（2）在实际应用中，方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面的比较两种钢筋的抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品的质量越稳定；在描述成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳定.（3）学生思考“标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？” 由标准差的定义容易得出标准差是非负的；标准差为0意味着所有的样本数据都相等的特性，且与样本平均数也相等，可以构造一个样本容量为2的样本：x 1,x 2(x 1<x 2)，这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差应用示例例1 根据下列四组样本数据，说明它们的异同点.(1) 555555555；(2) 444555666；(3) 334456677；(4) 222258888.分析：从数据的数字特征出发.解：四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.点评：样本的方差、标准差能说明数据的分散程度.例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.分析：巩固求方差和标准差的方法.解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为［(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2］÷5=0.02,乙品种的样本平均数也为10，样本方差为［(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2］÷5=0.24.因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.点评：1.本题若仅由x甲=x乙，易产生这两种水稻的产量一样稳定的错觉.这表明在实际问题中，仅靠期望值（即平均数）不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（及方差或标准差）：标准差大说明取值分散性大，标准差小说明取值分散性小或者说取值比较稳定、集中.2.要对“根据这组数据估计…”的统计意义作必要的说明：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.最后还可让学生思考除了品种的优劣，影响水稻产量还有哪些因素？根据一组数据得到的结果是否可靠？这些问题的提出会激发学生对统计学理论的兴趣.例3 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用了一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.分析：用每一个区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命.解：各组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5,285.5，315.5，345.5，375.5，由此算165.5×1%+195.5×11%+225.5×18%+255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+345.5×7%+375.5×2%=268.4≈268（天）.这些组中值的方差为1001×［1×(165.5-268.4)2+11×(195.5-268.4)2+18×(225.5-268.4)2+20×(255.5-268.4)2+ 25×(285.5-268.4)2+16×(315.5-268.4)2+7×(345.5-268.4)2+2×(375.5-268.4)2］=2 128.60(天2)， 故所求的标准差约为6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均寿命约为268天，标准差约为46天.点评：此例的目的是：掌握连续性随机变量的平均值和标准差的一种估计方法，即组中值估计法.因为前一节例3已介绍了连续性随机变量的平均值的估计方法，所以处理此例时应让学生回忆前例并主动探索解决问题的方法.例4 容量是40的样本中各数据与30的差的平方和是250，样本标准差是1.5，求样本平均数.分析：根据样本平均数、样本方差、样本标准差的公式解题.解：∵(x 1-30)2+(x 2-30)2+…+(x 40-30)2=250,所以(x 12+x 22+…+x 402)-60(x 1+x 2+…+x 40)+40×302=250.即(x 12+x 22+…+x 402)-60×40x +40×900=250， ①又∵140［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 40-x )2］=1.52=2.25，即(x 12+x 22+…+x 402)-2x(x 1+x 2+…+x 40)+40x 2=90，即(x 12+x 22+…+x 402)-80x 2+40x 2=90，②①-②得40x 2-2 400x+40×900=160， 即x 2-60x +896=0,( x -32)( x -28)=0， 所以，x =32或x =28.点评：理解样本方差的含义，抓住关键点：x 1+x 2+…+x 40=40x ，通过数形结合，结合消元x 1+x 2+…+x 40合理解决问题.例5 已知一组数据的方差是s 2，将这组数据的每个数据都加上10，求所得新数据的方差.分析：利用方差公式解题.解：设原数据：x 1,x 2,…,x n ，平均数是x ，方差是s 2，则新数据为：x 1+10,x 2+10,…,x n +10，平均数为则方差为n 1［(x 1+10-x -10)2+(x 2+10-x -10)2+…+(x n +10-x -10)2］ =n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］=s 2.变式训练某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登记有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，则s 与s 1之间的大小关系是（ ）A.s=s 1B.s<s 1C.s>s 1D.不能确定解析：由题意，平均数不变，所以只要看与平均数的离差的平方的变化情况.因为方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.s 中有：(40-70)2+(80-70)2=1 000，s 1中有：(70-70)2+(50-70)2=400所以s>s 1.答案：C点评：由本例及变式可推理归纳方差的性质：（1）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差为a 2s 2；（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 的方差为a 2s 2，特别地，当a=1时，则有x 1+b,x 2+b,…,x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；（3）方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；（4）方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感.知能训练课本本节练习解答：1.甲、乙两个班的样本平均数为160，但甲班的极差为3，乙班的极差为30，故甲班的波动较小.2.已知 s 2=3=81［(k 1-k )2+(k 2-k )2+…+(k 8-k )2］， 而 883)...(28)3(2...)3(2)3(2821821⨯-+++=-+-+-k k k k k k =2k -3, s 12=18［(2k 1-6-2k+6)2+(2k 2-6-2k+6)2+…+(2k 8-6-2k+6)2］=4s 2=12.3.甲较稳定.4.甲的平均值为10，方差为0.055；乙的平均值为10，方差为0.105.点评：从练习中再次体会数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法.课堂小结1.数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法，方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差与标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散；2.衡量离散程度的常用计算方法——方差与标准差，熟悉用计算器计算方差与标准差的方法，切实掌握相关的计算公式、方法、步骤并对有关数据进行合理解释；3.样本的有效选择对判断有重要影响，知道影响判断、决策的因素是多方面的，在对总体作出判断之前，要充分考虑各种因素，切实体会统计的思想方法；4.样本数据既具有随机性又具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机抽样样本的数字特征如众数、中位数、平均数、方差与标准差随样本容量的增加及时稳定于总体相应的数字特征，总体的数字特征是一定的，不存在随机性.作业课本习题2.3 3、5、7.设计感想本节课一定要让学生体会平均数反映的是一组数据的平均水平，而方差和标准差则反映了一组数据的波动大小.在实际学习、工作中用得非常多，比如选择运动员参加大型比赛时，要看他以前的每次测试的平均成绩，但成绩的稳定性也非常重要；学习上也是如此，稳定了可以给最后的考试提供稳定心理.用这种与生活的息息相关性激发学生学数学的无限兴趣就是老师最大的收获.习题详解习题2.3 1. x =301(2×5.1+3×5.2+6×5.3+8×5.4+7×5.5+3×5.6+1×5.7)≈5.39. 该厂这个月的平均日产值约为5.39万元.2.在全部数据中找出最小值4.0和最大值7.4，两者之差为3.4，确定全距为3.5，以组距0.5将区间［4.0,7.5］分成7个组.x =1001(4.25×1+4.75×2+5.25×15+5.75×28+6.25×33+6.75×18+7.25×3)=6.03，估计试验田里麦穗的平均长度约为6.0 cm.3.（1）甲机床次品数的平均值为1.5，乙机床次品数的平均值为1.2，故乙机床次品数的平均值较小；（2）甲的方差为1.65，乙的方差为0.82，故乙机床的生产状况较为稳定.4.估计甲机床平均次品率约为(0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1)÷1 000=0.06%，乙机床平均次品率约为(0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0)÷1 000=0.07%，故甲机床的产品质量较好.5.（1）此样本中金属棒的平均长度约为5.99；（2）频率分布表如下：频率直方图如下：（3）6×(1-0.2%)≈5.99，6×(1+0.2%)≈6.01，故合格的金属棒有15根，合格率约为15÷40≈37.5%.6.（1）频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2)由组中值估计的总体平均数为(57×5+65×14+73×25+81×11+89×5)×601=72.6，约73次. 实际总体平均数约为72，误差约为1.7.施了新化肥的土地的平均每块土地产量为20.52 kg ，未施新化肥的土地平均每块土地产量为17.36 kg ，且施了新化肥的土地产量的方差约为83.33，未施新化肥的土地产量的方差约为154.88，说明用了新化肥不仅平均产量高，而且产量稳定，故可认为新化肥取得了成功.。
均值、方差、标准差
87 112 94 94 99 90 120 98 95 119
108 100 96 115 111 104 95 108 111 105
104 107 119 107 93 102 98 112 112 99
92 102 93
85 90 80 80 85 75 100 计算这组样本数据的极差、方差和标准差.
例2．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位 面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估 计哪一种水稻品种的产量比较稳定。
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲
9.8 9.9 10.1 10 10.2
1500元，平均月工资怎么能是1695元呢？”经理拿出
如下表所示的工资表说：“你看，平均周工资就是
1695元。”
某公司内部结构以及工资分布：
人员 经理 管理人员 技工 工人 学徒 合计
月工资 11000 1250 1100 1000 500
人数 1
6
5 10 10 23
在这个问题中，总体月平均数能客观地反映工人的 月工资水平吗？为什么？
收入范围
所占百分 比
10000 至 15000 10%
15000 至 20000 15%
20000 至 25000 20%
25000 至 30000 25%
30000 至 35000 15%
35000 至 40000 10%
40000 至 50000
5%
平均数的计算方法：
(1)定义法：已知 x1，x2，x3，…，xn 为某样本的 n 个数据，则这 n 个数据的平均数为： x ＝ x1＋x2＋xn3＋…＋xn.
《方差与标准差》课件
方差的意义
01
方差是衡量数据分散程度的重要指标，可以用 于比较不同数据集的离散程度。
02
方差在统计学中有着广泛的应用，如回归分析 、假设检验等。
03
通过对方差的分析，可以了解数据的波动情况 ，为决策提供依据。
02
标准差的概念
标准差的定义
01
标准差是用来衡量一组数据离散 程度的统计量，其计算方法为各 数据与平均数之差的平方的平均 数再取平方根。
方差与标准差的联系
方差和标准差都是衡量数据离散程度的统计量，它们之间存 在密切的联系。具体来说，标准差是方差的平方根，因此方 差和标准差的值会随着数据的波动而变化，但方向是一致的 。
当我们比较不同数据集的离散程度时，可以使用方差或标准 差来进行比较。由于标准差具有单位，因此在比较不同数据 集时，使用标准差更为直观和方便。
05
方差与标准差的实例分析
方差实例分析
1 2
3
方差实例1
一组学生的考试成绩，通过计算方差，可以了解成绩的离散 程度，即学生的成绩分布情况。
方差实例2
股票价格的波动，通过计算股票价格的方差，可以了解价格 的波动情况，从而评估投资风险。
方差实例3
体育比赛中的射击或者投篮成绩，通过计算方差，可以了解 运动员的技术稳定程度。
方差的大小表示数据点与平均值之间的离散程度，方差越大，数据点越离散；方 差越小，数据点越集中。
方差的计算方法
01
计算每个数据点与平均值的差值，即(x_i - μ) 。
03
将所有差值的平方相加，即Σ[(x_i - μ)^2]。
02
将每个差值平方，即(x_i - μ)^2。
04
将总和除以数据的数量减一，即Σ[(x_i - μ)^2] / (n1)，得到方差。
方差_初中数学_
方差教学设计示例1第一课时素质教育目标（一）知识教学点使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.（二）能力训练点1.培养学生的计算能力.2.培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.（三）德育渗透点1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.2.渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.（四）美育渗透点通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点：方差概念.2.教学难点：方差概念.3.教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.4.解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.教学步骤（一）明确目标前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算.这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.（二）整体感知对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.（三）教学过程1.请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）机床甲4039.840.140.239.94040.239.840.239.8机床乙404039.94039.940.24040.14039.9上面表中的数据如图所示④并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.课堂练习教材P165中（1）、（2）（四）总结、扩展知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.布置作业教材P173中1，2（1）（2）板书设计14.3 方差（一）方差公式③引例例1标准差公式④。
方差与标准差的关系
方差与标准差的关系方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
在实际应用中，方差和标准差经常被用来分析数据的稳定性和波动性。
本文将介绍方差和标准差的定义、计算方法以及它们之间的关系。
首先，我们来了解一下方差的概念。
方差是衡量一组数据离散程度的统计量，它是各个数据与整体均值之差的平方的平均值。
方差的计算公式如下：\[Var(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i\overline{X})^2\]其中，\(X\) 是一组数据，\(n\) 代表数据的个数，\(\overline{X}\) 代表数据的均值。
通过这个公式，我们可以计算出一组数据的方差。
接下来，我们来介绍一下标准差的概念。
标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的一个重要指标。
标准差的计算公式如下：\[SD(X) = \sqrt{Var(X)}\]通过这个公式，我们可以得到一组数据的标准差。
标准差和方差一样，都是用来衡量数据的离散程度，但是标准差的单位和原始数据的单位是一样的，更容易理解和解释。
方差和标准差之间的关系非常紧密。
首先，方差是标准差的平方，这意味着它们之间存在着数学上的简单关系。
其次，方差和标准差都可以用来衡量数据的离散程度，但是标准差相对于方差来说更容易理解和解释，因为它的单位和原始数据的单位是一样的。
因此，在实际应用中，我们更倾向于使用标准差来描述数据的离散程度。
在统计学中，方差和标准差经常被用来分析数据的稳定性和波动性。
当数据的方差或标准差较大时，说明数据的波动性较大，反之则说明数据的稳定性较高。
因此，通过对数据的方差和标准差进行分析，我们可以更好地理解数据的特性，为后续的分析和决策提供依据。
总之，方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
方差是各个数据与整体均值之差的平方的平均值，而标准差是方差的平方根。
它们之间存在着紧密的数学关系，但是在实际应用中，我们更倾向于使用标准差来描述数据的离散程度。
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第24课时 方差与标准差
【学习导航】 学习要求 1．体会方差与标准差也是对调查数据的一种简明的描述，要求熟练记忆公式，并能用于生产实际和科学实验中； 2．体会方差与标准差对数据描述中的异同。
【课堂互动】 自学评价 案例 有甲乙两种钢筋现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单位:kg/mm 2
)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125．
【分析】
在平均数相同的情况下，观察上述数据表，发现乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．
在平均数相同的情况下，比较两组数据的极差能大概判断它们的稳定程度． 极差: 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 从数据表上可以看出，乙
的极差较大，数据较分散;甲的极差小，数据较集中，这就说明甲比乙稳定． 运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果
两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．这时，我们考虑用更为精确的方法——方差． 在上一课时中，学习了总体平均数的估计，其中提到平均数是“最理想”近似值的缘
由．同样我们可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离
差，
离差越小，稳定性就越高． 那么，怎样来刻画一组数据的稳定程度呢？ 在上一课时中，设n 个实验值i
a (i =1，2，…，n)的近似值为x ，那么它与这n 个实验值i
a (i =1，2，…，n)的离差分别为1
a x -，2
a x -，…，n
a x -．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|1
a x -|+|2
a x -|+…+|n
a x -|取最
小值时x 的值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即
(1
a x -)2+(2
a x -)2+…+(n
a x -)2
，当
此和最小时，对应的x 的值作为
近似值，因为
(1
a x -)2
+(2
a x -)2
+…+(
n
a x -)2
=
222
21
212
)(2n
n a
a a x a a a nx +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++-，
所以当
)
(1
21n a a a n
x +⋅⋅⋅++=时离差的平方和最小，故可用)(12
1
n
a a a n
+⋅⋅⋅++作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这n 个数据1
a ，2
a ，…，n
a 的平均数或均值，
一般记为 )(121n
a a a n
a +⋅⋅⋅++=． 在上述过程中，可以发
现，一组数据与其平均数的离差的平方和最小，考虑用
与其平均数的离差的平方和
来刻画一组数据的稳定程度
是可行的．即本案例中，可
用各次抗拉强度与平均抗拉
强度的差的平方和表示．由
于比较的两组数据的容量可
能不同，因此应将上述平方
和除以数据的个数，我们把
由此所得的值称为这组数据
的方差．
因为方差与原始数据的
单位不同，且平方后可能夸
大了离差的程度，我们将方
差开方后的值称为这组数据
的标准差．标准差也可以刻
画数据的稳定程度．
一般地，设一组样本数
据n
x x x ,,,2
1
⋅⋅⋅，其平均数为x ，则称∑=-=n
i i
x x n
s 1
2
2
)(1
为这个样本的方差，其算术平
方根∑=-=n
i i x x n s 1
2
)(1 为样本的标
准差，分别简称样本方差，样本标准差．
根据上述方差计算公式可算得甲、乙两个样本的方差分别为50和165，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋．
【精典范例】 例1 甲、乙两种冬水稻试验品
种连续5年的平均单位面积产
量如下（单位：t/hm 2
）, 试根
据这组数据估计哪一种水稻品
种的产量比较稳定：
【解】
甲品种的样本平均数为10，样
本方差为
222)101.10()109.9()108.9[(-+-+-
])102.10()1010(22-+-+5÷
＝0.02
乙品种的样本平均数也为10，
样本方差为
222)108.10()103.10()104.9[(-+-+-
5])108.9()107.9(22÷-+-+
＝0.24
例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段
时间后必须更换。
已知某校
使用的100只日光灯在必须
换掉前的使用天数如下，试
估计这种日光灯的平均使用
寿命和标准差
寿命，再求平均寿命。
【解】
各组中值分别为
165,195,225,2
55,285,315,
345,375，由此算得平均数
约为
%
20255%18225%11195%1165⨯+⨯+⨯+⨯
%
2375%7345%16315%25285⨯+⨯+⨯+⨯+ ＝267.9268≈ 将各组中值对于此平均数求方差得 +
-⨯+-⨯⨯2
2)268195(11)268165(1[100
1
+-⨯+-⨯22)268255(20)268225(18 +-⨯+-⨯2
2)268315(16)268285(25 ])268375(2)268345(722-⨯+-⨯
＝2128.60（天2
）
故标准差约为4660.2128≈
答：估计这种日光灯的平均使
用寿命约为268天，标准差约
为46天。
（2）比较计算结果，各组方差
和标准差的关系是什么？
【解】
(1) 甲：6.7，2.6； 乙：
6.7，2.6
丙：666.7，25.8 丁：26.7，5.2 (2) 乙的方差与标准差分别
与甲的相同；
丙的方差是甲的方差的100倍，标准差是甲的10倍；
丁的方差是甲的方差的4倍，标准差是甲的2倍
例4某市共有50万户居民，城市调查队按千分之一的比例进行入户调查，抽样调查的结果如下
月收入的估计
1
x及其方差的估计2
1
s；
(2)管理人员家庭人均月收入的估计
2
x及其方差的估计
2
2
s
(3)平均数的估计x及总体方差的估计2s
【解】分组数据用组中值作为本组数据的代表。
(1)
1
x=995，21s=83475 (2)
2
x=1040，22s=90900 (3) x=1004 2s=85284
追踪训练
1.若样本
1
a，2a，3a，．．．，n a的平均数5
x=，方差20.025
S=，则样本
1
4a，24a，34a，．．．，4n a 的平均数x'＝______20_____ ，2S'＝____0.4_____．
2．若
2
1
,k
k，…，8k的方差为3，则)3
(2
1
-
k，)3
(2
2
-
k，…，)3
(2
8
-
k 的方差为12。
3.计算下列两组数据的平均数
甲的平均数为：0.66
标准差：0.21
乙的平均数为：10
标准差：0.92。