201708届高三数学椭圆1.doc
2018届高中数学必修(人教版)椭圆的简单几何性质(第一课时)课件
解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 故a=3，b=2，焦点在 x轴上． 2 2 x y 1 即椭圆的方程为 9 4 (2)a=10，离心率c／a=0.6x y 1 100 64 故c=6，b=8 若焦点在 ． x轴上，则 x y 1 若焦点在y轴上，则 64 100
2 2
2
2
点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直 4 25 线l: x 的距离的比等于常数 5，求M点的b)
横坐标的范围：a x a
b
(-a,0)
a c
(a,0)
纵坐标的范围：b y b 特征三角形△B F O三边长分别为 |B F |=a，|OF |=c， |OB |=b． 线段A A 叫椭圆的长轴，长为2a，A ， A 为长轴顶点； 线段 B B 叫椭圆的短轴，长为2b，B ，
c b2 e 1 2 , 0 e 1 a a
课后再做好复习巩固.
谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
wxckt@
新疆奎屯
· 2007·
王新敞
奎屯
新疆
y
y
F1(0,c)
M (x,y) x
x
o
M(x,y )
F1 (-c,0) o
F2 (c,0)
F2(0,-c)
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
|F1F2|=2c
找找b 在哪 里？
(0,3)
长轴长2a=10，短轴长2b=8； 离心率为e=0.6； 顶点坐标为(-5,0)，(5,0)，(0,4)，(0,-4)．
2017高考数学必考点【椭圆的性质.doc
2017高考数学必考点【椭圆的性质数学是高考考试中最能拉分的学科，很多学生的数学成绩难以提高往往是因为没有掌握好大纲要求掌握的考点，为了帮助大家复习好这些考点，下面为大家带来2017高考数学必考点【椭圆的性质_顶点范围_对称性_离心率】整理，希望高考生能够认真阅读。
椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质：1、顶点：A(a，0)，B(-a，0)，C(0，b)和D(0，-b)。
2、轴：对称轴：x轴，y轴;长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)。
4、焦距：。
5、离心率：;离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁;e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆;6、椭圆的范围和对称性：(ab0)中-axa，-byb，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程.要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：求最值有两种方法：(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理.此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系.椭圆中离心率的求法：在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围.2017高考数学必考点【椭圆的性质_顶点范围_对称性_离心率】整理为大家带来过了，希望高考生能够在记忆这些考点的时候多下功夫，这样在考试的时候就能熟练应用。
高三数学椭圆讲解
高三数学椭圆讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是针对高三学生进行椭圆部分的数学知识讲解。
椭圆作为解析几何中的重要内容，不仅在数学领域有着广泛的应用，同时也与现实生活紧密相连。
通过本节课的学习，使学生能够掌握椭圆的定义、标准方程及其性质，并能运用相关知识解决实际问题。
2、教学对象本节课的教学对象为高三学生，他们在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
此外，学生在学习椭圆之前，已经接触过圆、直线等基本几何图形，对于几何图形的解析方法有一定的了解，这为椭圆的学习奠定了基础。
然而，椭圆相较于其他几何图形具有一定的复杂性和抽象性，因此，在教学过程中，需要关注学生的接受程度，采用适当的教学策略，引导他们逐步理解和掌握椭圆的相关知识。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；（2）掌握椭圆的几何性质，如顶点、焦点、离心率等，并能运用性质解决相关问题；（3）能够运用椭圆知识解决实际应用问题，如椭圆轨道、椭圆截面等；（4）提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力，培养他们将实际问题转化为数学问题的能力。
2、过程与方法（1）通过引导学生自主探究椭圆的定义，培养他们主动发现问题的能力；（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生从特殊到一般、从具体到抽象的思考过程，培养他们的逻辑思维能力；（3）通过小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力，激发他们的学习兴趣；（4）运用数形结合的方法，将椭圆的几何性质与代数表达式相结合，提高学生的空间想象能力；（5）设计丰富的例题和练习，使学生在实践中掌握椭圆知识，提高解题技巧。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们主动学习的积极性；（2）通过椭圆的学习，让学生体会数学的优美和严谨，培养他们追求真理的精神；（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，增强他们的应用意识；（4）培养学生面对困难时勇于挑战、坚持不懈的精神，使他们具备克服挫折的能力；（5）通过小组合作学习，培养学生团结协作、互帮互助的品质，提高他们的人际沟通能力。
2017版高中数学选修1-1(课件)：2.1 椭 圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆
x
M(x,-y)
原点是椭圆的对称中心，又叫做椭圆的中心.
第五页，编辑于星期六：三点 二十四分。
想一想:椭圆的对称轴一定是ｘ轴和ｙ轴吗？对称中 心一定是原点吗？
y
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
第六页，编辑于星期六：三点 二十四分。
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
椭圆的简单几何性质
范围
顶点
对称性
离心率
记 一个框，四个点，
忆 口
注意光滑和圆扁,
诀 莫忘对称要体现．
第二十页，编辑于星期六：三点 二十四分。
不要害怕批评。当你提出新的观念，就 要准备接受别人的批评。
第二十一页，编辑于星期六：三点 二十四分。
1，
在遇到椭圆方 程为非标准方 程的时候都要 将方程化为标
于是 a 5, b 4, c 2 5 1 6 3 .
准方程
椭圆的长轴长和短轴长分别是
2a 10, 2b 8,
第十一页，编辑于星期六：三点 二十四分。
离心率 e c 3 ，
a5
两个焦点坐标分别为
F1 3,0, F2 3,0,
B. x2 y2 1 81 9
D.x2 y2 1 81 36
第十八页，编辑于星期六：三点 二十四分。
4.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐标，
顶点坐标．
（１）x2 4y2 16.
（２）9x2 y2 81.
【解析】（1）已知方程化为标准方程为 x2 + y2 = 1，
16 4
第四页，编辑于星期六：三点 二十四分。
2.椭圆的对称性：
高三数学关于椭圆的知识点
高三数学关于椭圆的知识点椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍高三数学中关于椭圆的知识点，包括定义、性质和相关公式。
一、椭圆的定义椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为长轴的长度。
二、椭圆的性质1. 焦点与顶点的关系：椭圆的焦点在其长轴上，且离顶点的距离等于椭圆的离心率e乘以长轴的长度。
2. 弦的性质：对于一个椭圆，通过焦点F1、F2的弦恰好与椭圆的法线相互垂直。
3. 离心率的性质：椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的实数，用来描述椭圆的独特程度。
当e=0时，椭圆退化为一个圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。
4. 外接矩形的性质：椭圆的外接矩形的面积等于长轴长度a乘以短轴长度b。
三、椭圆的相关公式1. 椭圆的标准方程：对于一个以原点为中心的椭圆，其标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
2. 椭圆的焦点坐标：以原点为中心的椭圆的焦点坐标可以表示为(-c, 0)和(c, 0)，其中c^2 = a^2 - b^2。
3. 椭圆的离心率公式：椭圆的离心率e可以表示为e = c/a。
4. 椭圆的焦距公式：椭圆的焦距f可以表示为f = 2a。
四、椭圆的应用椭圆在数学和物理中有广泛的应用。
在数学领域，椭圆用于描述曲线的形状和方程的解。
在物理领域，椭圆用于描述行星的轨道、卫星的轨道和拱桥的形状等。
例如，开普勒定律描述了行星运动的规律，其中行星绕太阳的轨道是一个椭圆。
根据椭圆的性质和公式，可以推导出行星的速度和轨道半径之间的关系。
在构造和设计领域，椭圆也被广泛使用。
例如，建筑师使用椭圆曲线来设计拱形建筑物，这样可以增加结构的稳定性和美观性。
总结：椭圆是解析几何中的重要概念，具有许多特殊性质和应用。
掌握椭圆的定义、性质和相关公式，对于解决数学和物理中的问题具有重要的意义。
高三数学椭圆知识点归纳
高三数学椭圆知识点归纳椭圆是高中数学中的一个重要概念，它在代数几何和解析几何等领域有广泛的应用。
本文将对高三数学中的椭圆知识点进行归纳和总结，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
1. 椭圆的定义和性质椭圆可以通过一定的几何条件得到：对于给定的两个焦点F1和F2以及一个固定的常数c，椭圆上的任意一点P到F1和F2的距离之和等于常数c。
椭圆的中心是焦点的中垂线的交点，称为圆心O。
椭圆的性质包括：- 椭圆上的任意两点到两个焦点的距离之和等于常数c。
- 椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率越小，椭圆的形状越扁。
- 椭圆是一个闭合曲线，它的内部被椭圆内部所围成。
2. 椭圆方程的一般形式椭圆的方程可以表示为标准形式和一般形式。
标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
一般形式：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E是常数，且A和B不能同时为0。
3. 椭圆的焦点和直径椭圆的焦点是椭圆上的两个特殊点，它们与椭圆的几何特性密切相关。
椭圆的焦点到圆心的距离称为焦距，记为f。
椭圆的两条主轴分别是纵轴和横轴，它们的长度分别是2a和2b。
椭圆的两个焦点和两条主轴之间有以下关系：- 焦点到圆心的距离等于椭圆的半长轴长度，即OF1 = OF2 = a。
- 焦点、圆心和椭圆上的任意一点构成的三角形恒定，即△OF1P ≌△OF2P。
4. 椭圆的离心率和焦半径椭圆的离心率是一个重要的参数，它用于刻画椭圆的形状特征。
离心率e定义为焦距与椭圆的半长轴之比，即e = f/a。
离心率越小，椭圆的形状越趋向于圆形；离心率越接近于1，椭圆的形状越扁平。
椭圆的焦半径是椭圆上任意一点到两个焦点之间的距离，它满足下列关系：- 焦半径的平方等于离心率与椭圆上该点到圆心距离的乘积，即PF^2 = 2aPF。
2017年高考椭圆
x2 y 2 1.直线y kx 1 0与椭圆 1恒有公共点，则m 5 m 的取值范围是 _______ . 2.若直线y x m与曲线y 3 4 x x 2 有公共点，则m 的取值范围是 .
x2 y 2 2 3.已知椭圆C： 1与动直线l : y 2tx t 1有两 4 3 个不同的焦点，则t 的取值范围是 _______ .
7
x2 y 2 6.已知A、B分别是椭圆 2 2 1(a b 0)的左右两个焦 a b 2 点，O为坐标原点，点P 1, 2 在椭圆上,线段PB与y轴 的交点M 为线段PB的中点. (1)求椭圆的标准方程； (2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于ABC ,求 sin A sin B 的值。 sin C
0
10
四.直线与椭圆的位置关系：
x2 y 2 直线y kx m, 与椭圆 2 2 1(a b 0)的位置关系： a b 判定方法一： 将直线方程代入椭圆方程，建立关于x 的一元二次方程： (1)若 0, 直线与椭圆相离； (2)若 0, 直线与椭圆相切； (3)若 0, 直线与椭圆相交. 判定方法二： (1)若a 2 k 2 b 2 m 2 , 直线与椭圆相离； (2)若a 2 k 2 b 2 m 2 , 直线与椭圆相切； (3)若a 2 k 2 b 2 m 2 , 直线与椭 圆相交. 11
3.长轴长： 2a; 短轴长： 2b ；焦距： 2c .且满足：a2 b2 c2 .
2
1.动点P到两个定点F （ ， 0）（ .F2 4， 0）的距离之和为8, 则 1 -4 P点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1 F2 C.直线F1 F2 D.不能确定
高考数学椭圆性质
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角， 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上， 则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2， 则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1， F 2， 点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=， 则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点， 则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P和A 2Q 交于点M ， A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦， M ),(00y x 为AB 的中点， 则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高三椭圆知识点课件
高三椭圆知识点课件1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和等于常数值的轨迹。
对于椭圆，其中心就是两个定点的中点，称为焦点，两个定点距离的一半是椭圆的半长轴，两焦点连线的垂直平分线称为椭圆的直径，直径的一半是椭圆的半短轴。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
当a=b时，椭圆退化为圆。
3. 椭圆的焦点与准线椭圆的焦点是平面上到椭圆上任意一点距离之和等于半长轴长度的两个点，焦点与椭圆的半长轴的交点称为准线。
4. 椭圆的离心率椭圆的离心率表示椭圆形状的圆度程度，计算公式为e = c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为半长轴的长度。
离心率是0到1之间的实数，当离心率接近于0时，椭圆趋向于圆形，当离心率接近于1时，椭圆则趋向于长条形。
5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ为角度，(h,k)为椭圆的中心坐标。
6. 椭圆的性质与应用椭圆有许多重要的性质和应用。
例如，焦点到椭圆上任意一点的距离和等于定点到该点的距离差的绝对值；椭圆的周长可以通过椭圆的参数方程以及积分的方法求得；椭圆还被广泛应用于天体力学、通讯技术等领域。
7. 椭圆与其他几何图形的关系椭圆与其他几何图形有一些重要的关系。
与椭圆相似的图形有椭球体和椭圆锥，它们都具有类似的性质；椭圆还可以通过割椭圆法生成抛物线；直角坐标系中的椭圆可以通过仿射变换转化为标准方程，使得其焦点在坐标轴上。
8. 高三椭圆知识点总结高三阶段学习椭圆的知识是为了准备应对高考数学考试中相关的考点。
在椭圆的学习中，需要掌握椭圆的定义与特点、方程的推导与应用、焦点与准线的概念、离心率的计算等基础知识。
此外，还需要能够灵活运用参数方程、掌握椭圆与其他几何图形的关系。
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椭圆知识点一：椭圆的定义第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=. 注意：只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=；椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c -题型一、椭圆的定义1、方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2、若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18,则顶点C 的轨迹方程是3、椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ）A ．4B ．2C ．8D ．234、椭圆2212516x y +=两焦点为12F F 、，()3,1A ，点P 在椭圆上，则1PF PA +的最大值为_____，最小值为 ___题型二、椭圆的标准方程5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B (B ）A , B 同号且C 与异号(C ）A , B ， C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆6、若方程22153x y k k +=--， (1)表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 。
高三数学(文)一轮教学案：第十章第1讲 椭圆及其性质 Word版含解析
第十章圆锥曲线与方程第1讲椭圆及其性质考纲展示命题探究考点一椭圆的标准方程1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．3椭圆的标准方程椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．4特殊的椭圆系方程(1)与椭圆x2m2＋y2n2＝1共焦点的椭圆可设为x2m2＋k＋y2n2＋k＝1(k>－m2，k>－n2)．(2)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为x2a2＋y2b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．注意点对椭圆定义的理解当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.1．思维辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．已知方程x 25－m＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(－3,5)B ．(－3,1)C ．(1,5)D ．(－3,1)∪(1,5)答案 D解析方程表示椭圆的条件为⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得m ∈(－3,1)∪(1,5)．故选D.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25 D.15答案 B解析 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．[考法综述] 高考对椭圆的标准方程考查形式有两种：一种是求椭圆的方程；一种是通过方程研究椭圆的性质．命题法 椭圆的定义和标准方程典例 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1(2)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)，而y 1－y 2x 1－x 2＝0－(－1)3－1＝12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9.故选D.(2)如图所示，设椭圆右焦点为F ′，直线x ＝m 与x 轴相交于点C .由椭圆的定义，得|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a ＝4.而|AB |＝|AC |＋|BC |≤|AF ′|＋|BF ′|，所以当且仅当AB 过点F ′时，△ABF 的周长最大．此时，由c ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，即|AB |＝3. 所以S △ABF ＝12|AB ||FF ′|＝3. [答案] (1)D (2)3【解题法】 1.椭圆定义的应用的类型及方法 (1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．2．椭圆方程的求法 (1)定义法根据椭圆的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．其中常用的关系有：①b 2＝a 2－c 2.②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a . ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a . (2)待定系数法一般步骤①判断：根据已知条件确定椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能．②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程． ③列：根据题意列关于a ，b ，c 的方程或者方程组． ④解：求解得到方程．1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝ 3.∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析 不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)，又|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－5c3，－b 23将其代入椭圆方程化简得25c 29＋b 29＝1，又c 2＝1－b 2，得b 2＝23，故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.3．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|. ∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)． 根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN |＋|BN |＝12.4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c . 由|FM |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. 5．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值． 解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. (ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1.因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)； (2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1.直线P A的方程为y－1＝n－1m x，所以x M＝m1－n，即M⎝⎛⎭⎪⎫m1－n，0.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．设N(x N,0)，则x N＝m1＋n.“存在点Q(0，y Q)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，y Q)使得|OM||OQ|＝|OQ||ON|”，即y Q满足y2Q＝|x M||x N|.因为x M＝m1－n，x N＝m1＋n，m22＋n2＝1，所以y2Q＝|x M||x N|＝m21－n2＝2.所以y Q＝2或y Q＝－ 2.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ.点Q的坐标为(0，2)或(0，－2)．考点二椭圆的几何性质1椭圆的几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形2点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.注意点椭圆上的点到焦点的距离的范围F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则a－c≤|PF1|≤a ＋c，a－c≤|PF2|≤a＋c.1．思维辨析(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对 答案 C 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0m －2>0，得2<m <10， 由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.3．已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A.23B.43C.53D.83答案 D解析 由题意知a 2＝m ，b 2＝2，∴c 2＝m －2.∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，∴m －2m ＝14，∴m ＝83.[考法综述] 椭圆的几何性质非常丰富，尤其对于离心率的考查是高考热点．本考点对数形结合思想的要求很高，方法灵活．命题法 求椭圆的离心率或范围典例 (1)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A.16 B.13 C.36 D.33(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．[解析] (1)设PF 1的中点为M ，连接PF 2，由于O 为F 1F 2的中点，则OM 为△PF 1F 2的中位线，所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|，由勾股定理得|F 1F 2|＝|PF 21|－|PF 22|＝3|PF 2|，由椭圆定义得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|⇒a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|⇒c ＝3|PF 2|2，所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33.故选D.(2)∵|AF 1|＝a －c ，|BF 1|＝a ＋c ，|F 1F 2|＝2c ，则有4c 2＝(a －c )(a ＋c )，得e ＝c a ＝55.[答案] (1)D (2)55【解题法】 与椭圆的离心率有关问题的解题策略(1)求椭圆的离心率①求出a ，c ，直接求出e ：已知椭圆的标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝c a 求解． ②变用公式，整体求出e：利用e ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2，e ＝c 2c 2＋b 2＝11＋b 2c 2，只需明确b a 或b c ，便可求解e .③构造a ，c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a ，b ，c 之间的关系，构造出a ，c 的齐次式，通过两边除以a 2，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值．(2)求椭圆离心率范围求解离心率的范围关键在于找到含有a 与c 的不等关系，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围．常见的途径归纳如下：①椭圆的几何性质，设P (x 0，y 0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，则|x 0|≤a ，a －c ≤|PF 1|≤a ＋c 等．②涉及直线与椭圆相交时，直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程的判别式大于0.③题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．1．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 解析 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. 2.过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案 22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1①，x 22a 2＋y 22b 2＝1②.①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. 把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析 如图，设右焦点为F 1，|BF |＝x ，则cos ∠ABF ＝x 2＋102－6220x＝45.解得x ＝8，故∠AFB ＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，且∠F AF 1＝90°，△F AF 1是直角三角形，|F 1F 2|＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，e ＝c a ＝57.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋y b＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 5b 4＋x 125b ＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝ (2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：连接QF 1，如下图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 解法二：连接QF 1，如上图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝ (2－2)2＋(2－1)2＝ 9－62＝6－ 3. 6.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bc a ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)． 由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y2c 2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )． 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx . 由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15.8．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →＋OA →与F A →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 又离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)， ∴c a ＝32，c ＝3，∴a ＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设椭圆C 上存在点P (x 0，y 0)，使得向量OP →＋OA →与F A →共线． ∵OP →＋OA →＝(x 0，y 0＋1)，F A →＝(－3，1)， ∴x 0＝－3(y 0＋1)． ①又点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上， ∴x 204＋y 20＝1. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1或⎩⎨⎧x 0＝－837，y 0＝17.∴P (0，－1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－837，17. 当点P 的坐标为(0，－1)时，直线AP 的方程为x ＝0，当点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－837，17时，直线AP 的方程为3x －4y ＋4＝0，故存在满足题意的点P ，直线AP 的方程为x ＝0或3x －4y ＋4＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q (0,3)距离的最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A 、B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2. 设N (x ，y )，则 |NQ |＝(x －0)2＋(y －3)2 ＝4b 2－4y 2＋(y －3)2 ＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 直线AB 的方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2，Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.由题意得OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， 则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2).由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．① 由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0， 则8k 2－1>0，即k 2>18， ∴18<k 2<15.②由①得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2，由②得3<t 2<4，∴－2<t <－3或3<t <2.故实数t 的取值范围为－2<t <－3或3<t <2.已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝_______. [错解][错因分析] 本题易出现的问题就是误以为给出的椭圆的焦点在x 轴上，从而导致漏解．该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在的坐标轴，所以应该根据其焦点所在的坐标轴进行分类讨论．[正解] (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，则由方程，得a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝22－(3)2＝1.(2)当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1. 则由方程，得b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故a 2－b 2a ＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ， 所以a ＝4.故m ＝a 2＝16. 综上，m ＝1或16. [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[·冀州中学仿真]若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2B.1a <1b C ．0<a <b D ．0<b <a答案 C解析 由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b .2．[·武邑中学预测]设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→ )·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 ∵(OP →＋OF 2→ )·PF 2→＝(OP →＋F 1O → )·PF 2→＝F 1P → ·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，∴S △F 1PF 2＝12mn＝1，故选D. 3．[·衡水二中模拟]已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]答案 B解析 延长F 1M 交PF 2或其延长线于点G .∵F 1M →·MP →＝0，∴F 1M →⊥MP →，又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |且M 为F 1G 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝|PG |－|PF 2|＝||PF 1|－|PF 2||，∴|OM →|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22，∴|OM →|∈(0,22)．4．[·枣强中学期末]在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为( )A.34B.37 C.38 D.318答案 C解析 依题意知AB ＝BC ＝2c ，AC ＝2a －2c ，在△ABC 中，由余弦定理得(2a －2c )2＝8c 2－2×4c 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－718，故16e 2＋18e －9＝0，解得e ＝38.5．[·衡水二中仿真]如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.13 B.23 C.15 D.25答案 B解析 由题知|AF 1|＋|AF 2|＝2a (设a 为椭圆的长半轴)，|AF 1|－|AF 2|＝2，而|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，因此可得2×|F 1A |＝2a ＋2，∴8＝2a ＋2，∴a ＝3，又c ＝2，故C 2的离心率e ＝23.6．[·枣强中学期中]已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M (t,0)为一个切点，则( )A ．t ＝2B ．t >2C ．t <2D ．t 与2的大小关系不确定答案 A 解析 如图，P ，Q 分别是圆C 与F 1A 的延长线、线段AF 2相切的切点，|MF 2|＝|F 2Q |＝2a －(|F 1A |＋|AQ |)＝2a －|F 1P |＝2a －|F 1M |，即|F 1M |＋|MF 2|＝2a ，所以t ＝a ＝2.故选A.7．[·冀州中学猜题]椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 A解析 由题知AF ⊥BF ，根据椭圆的对称性，AF ′⊥BF ′(其中F ′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF ′是矩形，于是|AB |＝|FF ′|＝2c ，|AF |＝2c sin α，根据椭圆的定义，|AF |＋|AF ′|＝2a ，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4， ∴α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，故e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63，故选A.8. [·武邑中学仿真]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)答案 D解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝e |PF 2|＋|PF 2|＝|PF 2|·(e ＋1)＝2a ，则|PF 2|＝2ae ＋1，因为a －c <|PF 2|<a ＋c (不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a －c <2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋ca ，所以1－e <2e ＋1<1＋e ，即⎩⎪⎨⎪⎧(1－e )(1＋e )<2，2<(1＋e )2，解得2－1<e <1，选D. 9．[·衡水中学模拟]已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为A (0，－1)，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．答案 x 23＋y 2＝1解析 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b ＝1.设右焦点为(c,0)(c >0)，它到已知直线的距离为|c ＋22|2＝3，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝3，故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.10．[·冀州中学期中]如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·P A →的最大值为________．答案 4解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. ∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. ∵F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.11．[·衡水中学仿真]已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝12(k 2＋1)3＋4k2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2，∴△AF 2B 的面积为12 |AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k2＝1227，化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， ∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.12．[·枣强中学预测]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎨⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.能力组13. [·冀州中学一轮检测]过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左焦点F ，且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA →＋OB →与向量a ＝(3，－1)共线，则该椭圆的离心率为( )A.33B.63C.34D.23答案 B解析 设椭圆的左焦点为F (－c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，代入椭圆方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0.由韦达定理得x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，所以y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2ca 2＋b 2.根据OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线，得x 1＋x 2＋3(y 1＋y 2)＝0， 即－2a 2c a 2＋b 2＋3×2b 2c a 2＋b 2＝0，解得b 2a 2＝13，所以e ＝1－b 2a 2＝63，故选B.14．[·武邑中学一轮检测]已知点A ，D 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点，点P 是线段AD 上的任意一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，且PF 1→·PF 2→的最大值是1，最小值是－115，则椭圆的标准方程为________．答案 x 24＋y 2＝1解析 设点P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，所以PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.因为点P 在线段AD 上，所以x 2＋y 2可以看作原点O 至点P 的距离的平方，易知当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取最大值a 2，当OP ⊥AD 时，x 2＋y 2取最小值a 2b 2a 2＋b2.由题意，得⎩⎨⎧a 2－c 2＝1a 2b 2a 2＋b 2－c 2＝－115，解得a 2＝4，b 2＝1.即椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.15．[·武邑中学月考]已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，4为长轴长的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1， 则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ， 则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23 则k OB ＝±22，所以k AB ＝±2，则直线AB 的方程为2x ＋y －6＝0或2x －y －6＝0. 16. [·衡水中学热身]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解 (1)点P (－2，1)在椭圆上， ∴2a 2＋1b 2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点， ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，∴⎩⎨⎧ y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12.解得⎩⎨⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x5.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上， ∴－2≤x 0≤2，∴－10≤－5x 0≤10， 即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．。
2017版高考数学课件：8.4 椭圆
第七页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
1.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为 ( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1
3
3
2
2
答案 B 2x2+3y2=m(m>0)⇒ x+2 y=21,
mm
∴c2= m- m= m,∴e2= ,∴1 e= .故3选2 B. 3 c
4
0°,则△F1PF2的面积是
.
答案 3 3
解析 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=4.
又 r12+ r2-22r1r2cos 60°=|F1F2|2,
即(r1+r2)2-3r1r2=12,
∴r1r2=
4,∴
3S
=
F1PF2
1r1r2sin
2
60°=
3.
3
c
第十二页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
因此(2+ 2)|PF1|=4a,即(2+ 2)(a+ 于是(2+ 2)(1+ 2e2 1)=4,
|2PF1|. a2 2b)=2 4a,
第十六页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
解得e=
1 2
1
2
4
2
2
1
=
6-
3.
解法二:连结F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|
2
=1得a=5,b=3,则c=
a2 =b42 ,
25 9
∴△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2ac+2c=18, △ABF2的周长为4a=20.
2017版高中数学选修1-1(课件)：2.1 椭 圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆
而|MF1|＋|MF2|＝ 4c2＋49b2＋23b＝2a，
整理得 3c2＝3a2－2ab.又 c2＝a2－b2，所以 3b＝2a.
所以ba22＝49.∴e2＝ac22＝a2－a2 b2＝1－ba22＝59，∴e＝
5 3.
第二十五页，编辑于星期六：三点 二十四分。
第二十八页，编辑于星期六：三点 二十四分。
(1)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标 准，定参数”，一般步骤是：①求出 a2，b2 的值；②确定焦点 所在的坐标轴；③写出标准方程． (2)当所求椭圆焦点不确定时一定要注意分类讨论． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
第二十九页，编辑于星期六：三点 二十四分。
第十八页，编辑于星期六：三点 二十四分。
(2)由已知aa＝ －2c＝c，
3，∴ac＝＝2
3， 从而
3.
b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为1x22 ＋y92＝1 或x92＋1y22 ＝1.
第十九页，编辑于星期六：三点 二十四分。
题型三 求椭圆的离心率 【例 3】 (12 分)如图所示，椭圆的中心在 原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆 的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1⊥x 轴， PF2∥AB，求此椭圆的离心率． 审 题 指 导 PF1⊥F1F2，PF2∥AB ⇒ △PF1F2∽△AOB ⇒ a、c关系式 ⇒ 离心率
2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
第一页，编辑于星期六：三点 二十四分。
【课标要求】 1．掌握椭圆的简单几何性质． 2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响． 【核心扫描】 1．椭圆的简单几何性质．(重点) 2．求椭圆的离心率．(难点) 3．常结合几何图形、方程、不等式、平面向量等内容命题．
2017届高三数学人教版A版数学高考一轮复习课件：第八章 第五节 椭圆
＝ |F1F|2－|PF|2＝ 4 52－42＝8. 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8 ＝12，从而 a＝6，得 a2＝36，于是 b2 ＝a2－c2＝36－(2 5)2＝16， 所以椭圆 C 的方程为3x62＋1y62 ＝1.
的面积最大，
从而直线 l 的方程为 y＝± 27x－2.
第二十二页，编辑于星期六：一点 十五分。
考点三 典题悟法 演练冲关
试题
解析
2．(2016·邯郸质检)已知椭圆 C：ax22＋
(1)
由
题
意
，
得
c a
＝
2 2
，
得
b＝ c.因为
by22＝1(a>b>0)过点 A－ 22， 23，离 心率为 22，点 F1，F2 分别为其左、 右焦点． (1)求椭圆 C 的标准方程． (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该 圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两
恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 线，所以可得∠F1MF2＝90°，|MF2|
M，N，若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2
的切线，则椭圆的离心率为( A )
＝c.因为|F1F2|＝2c，所以可得|MF1|
＝ 3 c. 由 椭 圆 定 义 可 得 |MF1| ＋
|MF2|＝c＋ 3c＝2a，可得离心率 e
离
心率
为
1 2
，
则
m＝
___2_____.
因为焦点在 x 轴上，所以 0<m<2，所以 a2＝2，b2 ＝m，c2＝a2－b2＝2－m. 椭圆的离心率为 e＝21，所 以 e2＝14＝ac22＝2－2 m，解 得 m＝32.
2017版高中数学选修1-1(课件)：2.1 椭 圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆
距离的比是常数 4，求点M的轨迹. 5
解：设d是点M到直线l : x 25 的距离， 4
求轨迹方程的 步骤？
根据题意，点M的轨迹就是集合
P
M
MF d
4 5
,
由此得
( x 4)2 y2 4 .
25 x
5
4
y
l
M
dH
.
OF
x
第六页，编辑于星期六：三点 二十四分。
将 上 式 两 边 平 方 ， 并 化 简 ， 得 9x2 25 y2 225,
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
(b,0)、(0,a)
e=
c a
(
0
<
e
<
1
)
第二页，编辑于星期六：三点 二十四分。
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单
性质.（重点） 2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.（重点） 3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.（难点）
第九页，编辑于星期六：三点 二十四分。
探究点2 直线与椭圆的位置关系
相离(没有交点)
种类: 相切(一个交点)
相交(两个交点)
能用几何法判 断椭圆与直线 的位置关系吗？
第十页，编辑于星期六：三点 二十四分。
问题3：直线与椭圆的位置关系如何判定？
代数方法，联立方程
转化思想
方程思想
Ax By C 0，
第十九页，编辑于星期六：三点 二十四分。
当椭圆的焦点在 y 轴上时，
因为
b＝3，ca＝
6 3 ，所以
a2－b2 a＝
6 3 ，所以
a2＝27.
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椭圆【知识要点】1．椭圆的定义与方程（1）椭圆定义：到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹2．椭圆方程：①焦点在x 轴上的方程：22a x +22b y =1，②焦点在y 轴上的方程：22a y +22bx =1（a ＞b ＞0）3【基础训练】1. 已知F 1、F 2是两定点421=F F 动点M 满足421=+MF MF ,则动点M 的轨迹是（ ）A.椭圆 B 直线 C 圆 D 线段2.（03年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为（ ）A.8B.16C.25D.32 3.（04年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B.3 C.779 D.494.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.5.点P 在椭圆252x +92y=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.【典型例题】题型一:求椭圆的标准方程例1 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴，求下列条件下的标准方程。
（1）若长轴是短轴的3倍,且过P(3,0)点,求椭圆的的标准方程; (2)若椭圆经过)2,3()1,6(21-P P 求椭圆的的标准方程;(3)(选修1-1P 26)两个焦点的坐标分别是（－2，0）、（2，0），并且椭圆经过点)23,25(-，例2（1）已知B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程.(2)如图，在圆422=+y x 上任取一点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足。
当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？题型二:椭圆的性质例3．点P 是椭圆14522=+y x 上的一点, F 1、F 2是左、右焦点,且321π=∠PF F ,求三角形21PF F 的面积.例4：已知Ｆ1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥Ｆ1A ，ＰO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.练习（1）（06山东）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22 (C)21 (D)42题型三:椭圆的定义解题例5（04年全国）椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于（ ）A.23B. 3C.27D.4例6．已知椭圆C ： 13422=+y x F 1、F 2是左、右焦点,问能否在椭圆C 上找到一点M ，使得M 到左准线的距离∣MN ∣是∣MF 1∣和∣MF 2∣的等比中项？若存在求出M 点的坐标，若不存在说明理由。
例7．定点（2，1），F （1，0）是椭圆1822=+y m x 的一个焦点，P 是椭圆上的点， （1）求：∣PA ∣+∣PF ∣的最值；题型四:椭圆的综合问题例8．已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B，且｜F1B｜＋｜F2B｜＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.例9．设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=x i+（y+2）j，b=x i+（y－2）j，且|a|+|b|=8.（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP=OA+OB，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.【考题再现】1．（06年辽宁）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的（ ）(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同2．（06年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F PF P F P F P F P F ++++++=______________; 3．（06年江苏卷）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。
（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。
4．（07四川20）（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ²2PF 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.（5．(07浙江21)(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆2214xy+=交于A、B两点，记△AOB的面积为S．(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．【知识要点】1．椭圆的定义与方程（1）椭圆定义：到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹2．椭圆方程：①焦点在x 轴上的方程：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），②焦点在y 轴上的方程：22a y +22bx =1（a ＞b ＞0）③一般表示：31. 已知F 1、F 2是两定点421=F F 动点M 满足421=+MF MF ,则动点M 的轨迹是 A.椭圆 B 直线 C 圆 D 线段2.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 3.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.59 B.3 C.779 D.49解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7， ∴|y P |=49. 答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.解析：利用第二定义. 答案：1225 【典型例题】题型一:求椭圆的标准方程例1 (1) 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,且过P(3,0)点,求椭圆的的标准方程;92x +112=y 或812x +192=y (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过)2,3()1,6(21-P P 求椭圆的的标准方程;92x +132=y (3)(选修1-1P 26)已知两个焦点的坐标分别是（－2，0）、（2，0），并且椭圆经过点)23,25(-，求它的标准方程。
解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x .由椭圆的定义知：2a =102)23()225()23()225(2222=-+-+-++∴a =10，又c =2 ∴b 2=a 2－c 2=6所以所求椭圆方程为161022=+x y例2（1） 已知B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程.分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.在右图中，由△ABC 的周长等于16，∣BC ∣=6可知，点A 到B 、C 两点的距离之和是常数，即∣AB ∣+∣AC ∣=16－6=10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）解：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知∣AB ∣+∣AC ∣+∣BC ∣=16，∣BC ∣=6，有∣AB ∣+∣AC ∣=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c =6, 2a =16－6=10∴c =3, a =5, b 2=52－32=16但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是)0(1162522≠=+y y x 说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；(2)如图，在圆422=+y x 上任取一点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足。
当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？解：设点M 的坐标为（x ,y ）,点P 的坐标为（x 0,y 0），则x =x 0, y =2y . 因为P （x 0,y 0）在圆x 2+y 2=4上，所以x 02+y 02=4. ① 将x 0=x , y 0=2y 代入方程①， 得x 2+4y 2=4 即 42x + y 2=1所以点M 的轨迹是一个椭圆.（如图 题型二:椭圆的性质例 3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形,且焦点到椭圆上点的最短距离为3,求此椭圆的方程,准线方程,离心率;92x +1122=y例3点P 是椭圆14522=+y x 上的一点, F 1、F 2是左、右焦点,且321π=∠PF F ,求三角形21PF F 的面积.S=334⋅例4 已知Ｆ1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥Ｆ1A ，ＰO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率. 剖析：求椭圆的离心率，即求ac,只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A,PO ∥AB 易得b=c,a=2b.解：设椭圆方程为22a x +22by =1(a ＞b ＞0),F 1(-c,0),c 2=a 2-b 2,则P(-c,b 221ac -),即P(-c,a b 2).∵AB ∥PO,∴k AB =k OP ,即-a b =acb 2-∴b=c.又∵a=22c b +=2b, ∴e=a c =b b 2=22. 讲评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键. 例3．（1）（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22(C)21 (D)42（1）不妨设椭圆方程为22221x y a b+=（a >b >0），则有2221b a c a c =-=，据此求出e ＝22，选B 。