甘肃省金昌市第一中学高中数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新人教A版选修1-1

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2021年高中数学1..1几个常用函数的导数教学案新人教A版选修

2021年高中数学1.2.1几个常用函数的导数教学案新人教A版选修2-2一．预习目标1．会由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．预习内容1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）2．利用上述步骤求函数当时的导数，并说明其几何意义。

.三．提出疑惑课内探究学案一．学习目标1．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数二．学习过程（一）。

复习回顾用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）（二）。

提出问题，展示目标我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（三）、合作探究1．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

2．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

3．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

4．利用导数定义求函数的导数。

5．利用导数定义求函数的导数。

6．你能从一般角度推广函数的导数吗？（四）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。

（1）从图像上看，它们的导数分别是什么？（2）这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？（3）函数增（减）的快慢与什么有关？三．反思总结1.几个常用的函数的导数为：2.可以推广的一般结论为：四．当堂检测：画出函数的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程。

高中数学 3.2.1几个常用函数的导数导学案新人教A版选修1-1

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.1几个常用函数的导数导学案新人教A 版选修1-1【学习目标】1.应用由定义求导数推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用几个基本初等函数的求导公式正确求函数的导数．【重点难点】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用【学习内容】一．问题提出导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课学习1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（3）基本初等函数的导数公式表：为方便，下列公式可直接应用三、典例分析例1．求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′例2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为() A ． (－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18题后反思：导数的几何意义是：例3．质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．四、课堂练习1.求下列函数的导数：(1)y =31x(2)y =3x2.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s )，求质点在t =3时的速度.3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1e C ．－e D ．e.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）y =e x（3）y =x 5 （4）y=sin x（5）y =ln x （6）y =a x2.已知圆面积公式2S r π=，求()r S '。

新人教A版选修《几个常用函数的导数》word教案

学校：临清一中学科：数学编写人：马长琴审稿人：张林1.2.1几个常用函数的导数一．教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．教学重点，难点重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式三．教学过程：（一）．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（二）．新课讲授1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim11x x y y∆→∆→∆'=== 1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim()x x y y x ∆→∆→∆'==-=-∆5．函数y =因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以00lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆6推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。

高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数教案新人教A版选修1-1

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数教案新人教A 版选修1-1了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调区间。

2、过程与方法通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。

3、情感、态度与价值观通过实例探究函数的单调性与导数的关系。

通过这一过程,提高理性思维的能力。

教学重难点重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调区间。

难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系教学过程一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：'=C ；1)'(-=n n nx x ；xx cos )'(sin =；xx sin )'(cos -=xx 1)'(ln =xx a a l o g 1)'(log =x x e e =)' a a a x x ln )'(= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲授新课1．问题：图3.3-1（1）,它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像,图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像,我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是增函数．相应地,'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是减函数．相应地,'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 3.3-3,导数'0()f x 如图表示函数线的斜率．在0x x =处,'0()0f x >,切线是“左下右上”式的,这时,函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处,'0()0f x <,切线是“左上右下”式的,这时,函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内,如果'()0f x >,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的,如果'()0f x =,那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时,'()0f x >；当4x >,或1x <时,'()0f x <；当4x =,或1x =时,'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时,'()0f x >,可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >,或1x <时,'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =,或1x =时,'()0f x =,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”．综上,函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性,并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+,所以,'22()333(1)0f x x x=+=+>因此,3()3f x x x=+在R上单调递增,如图（1）所示．3.3-5（2）因为2()23f x x x=--,所以, ()'()2221f x x x=-=-当'()0f x>,即1x>时,函数2()23f x x x=--单调递增；当'()0f x<,即1x<时,函数2()23f x x x=--单调递减；函数2()23f x x x=--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)f x x x xπ=-∈,所以,'()cos10f x x=-<因此,函数()sinf x x x=-在(0,)π单调递减,如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x=+-+,所以．当'()0f x>,即时,函数2()23f x x x=--；当'()0f x<,即时,函数2()23f x x x=--；函数32()23241f x x x x=+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图,水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快．反映在图像上,（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢．结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”；反之,函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示,函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”, 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时,'0y <,所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'fx 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数,()'0f x <为减函数．例5．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数,求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-,因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数,所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立,即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立,解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增,则'()0f x ≥；若函数单调递减,则'()0f x ≤”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．例6．已知函数y =x +x1,试讨论出此函数的单调区间.解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=-令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞,－1)和(1,+∞).令2)1)(1(x x x -+＜0,解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x1的单调减区间是(－1,0)和(0,1) 四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0,解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(－∞,2) 令3(x －2)(x －4)＜0,解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2,4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0,解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1,1).令－3(x +1)(x －1)＜0,解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞,－1)和(1,+∞) 2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？五、课堂小结：1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.六、课后作业：课本习题3.3 A 组 1,2 【思考题】对于函数f (x )=2x 3－6x 2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、3276x x +=在区间（0,2）内有几个解？ 1．确定下列函数的单调区间(1) 2y x x =- (2)3y x x =-2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.。

高一数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新课标人教A版选修1—1

高一数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新课标人教A 版选修1—1编号20 等级：周次上课时间月日周课型新授课主备人胡安涛使用人课题 3.3.1函数的单调性与导数教学目标1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性。

2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学重点会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学难点证明单调性课前准备多媒体课件（1）常函数：0'=C (C 为常数)；（2）幂函数：1)'(-=n nnxx (Q n ∈)（3）三角函数：（4）对数函数的导数: 1(ln ).x x '=1(log ).ln a x x a'= （5）指数函数的导数: ().x xe e '= ()ln (0,1).xxa a a a a '=>≠二。

【创设情境】下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数. 相应地, ()()0.v t h t '=>②从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地, ()()0.v t h t '=<观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是常数。

人教A版高中数学选修高二新课程几个常用函数的导数导学案新

§1.2.1几个常用函数导数学习目标1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？典型例题例1 求函数1()y f x x==的导数变式：求函数2()y f x x ==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1y x=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.动手试试练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.练2. 求函数()y f x ==三、总结提升学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”学习评价当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为，在4t =时的速度为 .课后作业1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.。

人教版高中数学优质教案2：3.2.1 几个常用函数的导数教学设计

3.2.1 几个常用函数的导数教学目标重点:根据导数的定义求四个函数()y f x c ==，()y f x x ==，1()y f x x ==，2()y f x x ==的导数难点：四个函数()y f x c ==，()y f x x ==，1()y f x x ==，2()y f x x ==几何意义和物理意义的解释知识点：利用导数的定义求函数的导数能力点：利用定义求其它函数的导数教育点：定义法求解的步骤考试点：根据导数定义求函数在某一点处导数的方法易错易混点：利用定义求切线方程时，分清所给点是否为切点拓展点：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点教具准备多媒体课堂模式学案导学一、引入新课复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般步骤：（1）求函数的改变量y ∆=()()f x x f x +∆-（2）求平均变化率y x ∆=∆()()f x x f x x+∆-∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim=0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆ [师生活动]教师引导：那么，对于函数)(x f y =，如何求它的导数呢？学生回答：可以根据导数的定义.求求函数)(x f y =的导数，就是求出x ∆趋近于0时，yx∆∆所趋于的那个定值. 教师引导：那我们可以根据定义求导，这就是我们今天要学习的内容.[设计意图]通过复习旧知识得到证明新知识的方法，使得学生易于理解、接受.[设计说明]由已知到未知，过渡自然.二、探究新知教师提问：根据前面求导数的步骤，你能够求函数()y f x c ==的导数吗？学生回答：可以，根据定义可以得出.师生共同完成：因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆=0c c x -=∆ 所以/y ＝x y x ∆∆→∆0limlim 00x ∆→== 教师提问：利用几何意义，0y '=表示什么意思？学生回答：根据导数的几何意义可知，其表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为0. 教师提问：若y c =表示路程关于时间的函数，则y '=0，可以怎么解释呢？学生回答：可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.教师提问：利用相同的方法，你能够求函数()y f x x ==的导数吗？学生回答：可以. 学生完成：因为y x ∆=∆()()f x x f x x +∆-∆=1x x x x +∆-=∆ 所以/y ＝x y x ∆∆→∆0lim 0lim11x ∆→== 教师提问：同样，1y '=表示的几何意义呢？学生回答：函数y x =图象上每一点处的切线斜率为1.教师提问：若y x =表示路程关于时间的函数，则y '=1，可以怎么解释？学生回答：可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.教师提问：大家思考以下这个问题，在同一平面直角坐标系中，你能画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数吗？学生回答：可以.教师提问：从图象上看，它们的导数分别表示什么？学生回答：它们的导数分别表示这些直线的斜率.教师提问：你能够根据导数的定义求它们的导数吗？学生经过演算可以得出教师提问：这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？学生回答：4y x =增加得最快，2y x =增加得最慢教师提问：函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？学生回答：函数(0)y kx k =>增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加的越快，k 越小，函数增加的越慢. 函数(0)y kx k =<减少的快慢与k 有关系，即与函数导数的绝对值有关系，k 越大，函数减少的越快，k 越小，函数减少的越慢.教师引导：由这两个例子，大家可以知道对于所有的函数，我们都可以利用定义求它们的导数.那么，对于常用的几个函数的导数，要求大家记住并且要求会写求导的步骤.下面，我们进一步的学习几个常用函数的导数.[设计意图] 通过求简单函数y c =及()y f x x ==的导数，达到让学生掌握住求函数导数步骤及明确导数的几何意义的目的三、理解新知1、()y f x c ==的导数0y '=，()y f x x ==的导数1y '=2、导数的几何意义是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.[设计意图]为准确的应用新知识，作必要的铺垫.四、运用新知例1求函数2()y f x x ==的导数[师生活动]教师提问：类比上面的导数的求法，你能得出2()y f x x ==的导数吗？学生思考回答：可以.师生共同分析得出[答案]. 解：因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆ =22222()2()x x x x x x x x x x+∆-+∆+∆-=∆∆ =2x x +∆所以/y ＝xy x ∆∆→∆0lim 0lim(2)2x x x x ∆→=+∆= [设计意图]：通过教师的板书，使得学生进一步明确解题的步骤；并且锻炼学生的活用知识的能力.例2、已知函数1y x=，根据图象试描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. [师生活动]教师提问：函数1y x=的图像分布在第几象限？变化情况怎样？做出如上的图像学生回答：分布在第一和第三象限，在各自的象限内随着x 的增大，函数值减小教师提问：求切线的方程，先求什么？学生回答：切线的斜率，即在0x x =的导数解：结合图像可知：当0x <时，随着x 的增加，函数1y x =减少的越来越快；当0x >时，随着x 的增加，函数1y x =减少的越来越慢. 又因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆ 11x x x x-+∆=∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+∆，所以/y ＝x y x ∆∆→∆0lim 22011lim()x x x x x∆→=-=-+∆ 即k ='21(1)11f =-=-，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y x -=--，即20x y +-=.【设计意图】根据导数的几何意义，可以求切线的方程.五、课堂小结教师提问：我们本节课，你学习到了什么知识点？学生回答：1. 利用定义求导法的方法，求导的三个步骤：作差，求商，取极限.2. 利用导数求切线方程时，要判断所给点是否为切点.教师总结：求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.【设计意图】：通过总结知识点，让学生明白本节的主要内容，便于掌握.六、布置作业七、教后反思1.本节课的亮点是把用定义求导数的步骤讲解的细致，便于学生接受.2.本节课的弱项是利用导数求切线方程时，对于要判断所给点是否为切点的问题没有进一步的说明.八、板书设计。

高中数学选修人教A教案导学案1.2.1几个常用函数的导数

1. 2.1几个常用函数的导数课前预习学案一．预习目标1．会由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．预习内容1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）2．利用上述步骤求函数()f x x =当1x =时的导数，并说明其几何意义。

. 三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一．学习目标1．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数二．学习过程（一）。

复习回顾用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）（二）。

提出问题，展示目标我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（三）、合作探究1．利用导数定义求函数()y f x c ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

2．利用导数定义求函数()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

3．利用导数定义求函数2()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

4．利用导数定义求函数1()y f x x==的导数。

5．利用导数定义求函数y x =的导数。

6．你能从一般角度推广函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数吗？（四）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。

高中数学第一章导数及其应用1.2.1几个常见函数的导数教案新人教A版选修2_2

§1.2.1几个常见函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念探究1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．探究2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．探究3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．探究4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆探究5．函数()y f x ==的导数因为()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆== 所以0lim lim x x yy x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（四）、知识应用，深化理解例1. 求下列函数的导数．⑴3x ⑵21x ⑶x解：⑴=')(3x 133-x 23x =⑵='⎪⎭⎫ ⎝⎛21x )(2'-x 32--=x 32x -=⑶=')(x )(21'x 12121-=x 2121-=x .21x =求下列函数的导数。

2020-2021年高二数学选修几种常见函数的导数教案新课标人教版

2019-2020年高二数学选修2-2几种常见函数的导数教案新课标人教版教学目的使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点和难点掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．教学过程一、复习提问1．按定义求导数有哪几个步骤？2．用导数的定义求下列各函数的导数：(1)y＝x5；(2)y＝c．二、新课1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．2．几个常见函数的导数公式．(1)设y=c(常数)，则y'=0．此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)．“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”．(3)(sinx)'=cosx．证明：y＝f(x)=sinx，在学生推导过程中，教师要步步追问根据及思路．如：此公式可叙述成“正弦函数的导数等于余弦函数”．(4)(cosx)'=－sinx．此公式证明由学生仿照公式(3)独立证明．此公式可叙述成“余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号”．三、练习(课文练习)四、小结四种常见函数的导数公式1．(c)'＝0(c为常数)，2．(x n)'＝nx n-1，3．(sinx)'＝cosx， 4．(cosx)'=－sinx．五、布置作业。

270.高中数学 3.1.2导数的概念教案新人教A版选修1-1

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.1.2导数的概念教案新人教A版选修1-1[教学目的] 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

[教学重点和难点] 导数的概念是本节的重点和难点[教学过程]一、复习提问(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？二、新课我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。

先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分表格1表格20<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内 ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t t t t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051；当=∆t 0.01时，-=v 13.149；当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1；当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9；当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51；当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49；当-=∆t 0.000 01时，-=v 13.099 951；当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049；当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1；当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9；。

人教版高一数学教案-几个常用函数的导数

甘肅省金昌市第一中學2014年高中數學 3.2.1幾個常用函數的導數教案新人教A 版選修1-1教學重點和難點1．重點：推導幾個常用函數的導數；2．難點：推導幾個常用函數的導數。

教學方法：自己動手用導數的定義求幾個常用函數的導數，感知、理解、記憶。

教學過程：一、複習1、函數在一點處導數的定義；2、導數的幾何意義；3、導函數的定義；4、求函數的導數的步驟。

二、新課推導下列函數的導數1、求()f x c =的導數。

解：()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆， '00()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ 2、求()f x x =的導數。

解：()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆， '00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆。

'1y =表示函數y x =圖像上每一點處的切線的斜率都為 1.若y x =表示路程關於時間的函數，則'1y =可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動。

思考：(1).從求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的導數如何來判斷這幾個函數遞增的快慢？(2).函數(0)y kx k =≠增的快慢與什麼有關？可以看出，當k>0時，導數越大，遞增越快；當k<0時，導數越小，遞減越快.3. 求函數2()y f x x ==的導數。

解： 22()()()2y f x x f x x x x x x x x x∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆，''00()lim lim(2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆。

'2y x =表示函數2y x =圖像上每點（x,y ）處的切線的斜率為2x ，說明隨著x 的變化，切線的斜率也在變化：(1) 當x<0時，隨著 x 的增加，2y x =減少得越來越慢；（2）當x>0時，隨著 x 的增加，2y x =增加得越來越快。

人教A版高中数学选修第三章几个常用函数的导数教案新

3.2.1几个常用函数的导数教案教学目标：1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；2. 利用公式解决简单的问题。

教学重点和难点1．重点：推导几个常用函数的导数；2．难点：推导几个常用函数的导数。

教学方法：自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程：一复习1、函数在一点处导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的步骤。

二新课例1．推导下列函数的导数（1）()f x c = 解：()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆， '00()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ 1. 求()f x x =的导数。

解：()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆， '00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆。

'1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？(2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.2. 求函数2()y f x x ==的导数。

解： 22()()()2y f x x f x x x x x x x x x∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆，''00()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆。

'2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：(1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢（2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。

2020年高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数教案新人教A版选修1-1

2、过程与方法通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。

3、情感、态度与价值观通过实例探究函数的单调性与导数的关系。

通过这一过程，提高理性思维的能力。

教学重难点重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调区间。

难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系教学过程一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：'=C ；1)'(-=n n nx x ；xx cos )'(sin =；xx sin )'(cos -=xx 1)'(ln =e xx a a log 1)'(log =x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲授新课1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 3.3-3，导数'0()f x 如图表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图（1）所示．3.3-5（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'fx 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数．例5．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y ′=(x+x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=-令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？五、课堂小结：1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.六、课后作业：课本习题3.3 A 组 1，2 【思考题】对于函数f (x )=2x 3－6x 2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、3276x x +=在区间（0，2）内有几个解？ 1．确定下列函数的单调区间(1) 2y x x =- (2)3y x x =-2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

2019-2020年高中数学第三章《几个常用函数的导数》教案新人教A版选修1-1

2021-2021年高中数学第三章?几个常用函数的导数?教案新人教A 版教学目标：1 .能够用导数的定义求几个常用函数的导数;2 .利用公式解决简单的问题.教学重点和难点1 .重点：推导几个常用函数的导数;2 .难点：推导几个常用函数的导数.教学方法：自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数,感知、理解、记忆. 教学过程: 一复习1、函数在一点处导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的步骤.二新课例1 .推导以下函数的导数(1)解：.1y _ f(x：x )-f (刈 _c-cx=lim —y = lim -x ―0 -- xL x ~r 01.求的导数.解._7 = f (x x) - f(x) = x :x-x xx xljm 1=1., x -0x f (x) 0=0 表示函数图象上每一点处的切线的斜率都为1.假设表示路程关于时间的函数,那么可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动.思考：(1).从求,,,的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？(2).函数增的快慢与什么有关？可以看出,当k>0时,导数越大,递增越快；当 k<0时,导数越小,递减越快2.求函数的导数.解:22L y _ f (x 匚x) f (x) _ (x L x) - x x x x=2x +A x ,、_,•:yy = f(x) = l x m 0 多=l 网2x + 取)=2x °表示函数图象上每点(x,y)处的切线的斜率为 2x,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化:(1)当x<0时,随着x 的增加,减少得越来越慢(2)当x>0时,随着x的增加,增加得越来越快.3,求函数的导数.1 J解：〞_ f(x-A x) —f(x) = x + 4x< x —(x + M x) = 1, 匚x L X L X x(x L X)L X x x L XJ,、y ,, z 1 、 1y = f (x)= lim —= lim( --2 ------------------------ )=--2x 0 ."：x *3 x2 x x x2 思考：(1)如何求该曲线在点(1,1)处的切线方程,所以其切线方程为.(2)改为点(3, 3),结果如何？(3)把这个结论当做公式多好呀,,既方便,又减少了复杂的运算过程.三例题1,试求函数的导数. 解：：y f (x . ：x)-f(x) x x - x二x LX L x(.x L x 一x)( \ x L X. x)x( x L X, x)1 = _ _(.x L x x)'J-y 1 1y =f(x)可0 丁那么x“ x=2、x2,点P (-1 , 1),点Q (2, 4)是曲线上的两点,求与直线PQ平行的曲线的切线方程. 解：,设切点为,那么由于PQ的斜率又切线平行于PQ所以,即,切点,所求直线方程为.［四练习1.如果函数,那么( )A. 5B. 1C. 0 D, 不存在2,曲线在点(0, 1)的切线斜率是( )A.-4B.0C.2D. 不存在3,曲线在点处切线的倾斜角为( )A. B. 1 C. D. 答案：1.C 2,B 3,C五小结1,记熟几个常用函数的导数结论,并能熟练使用；2.在今后的求导运算中,只要不明确要求用定义证实,上述几个结论直接使用.六作业1. P85 ,人组12.求双曲线过点的切线方程.2021-2021年高中数学第三章?几何概型?教案新人教A版必修3一、教学目标：1、知识与技能：〔1〕正确理解几何概型的概念；〔2〕掌握几何概型的概率公式：构成事件A的区域长度〔面积或体积〕P 〔A〕=, 一,人一一E~,,,——二,-—一一————; 试验的全部结果所构成的区域长度〔面积或体积〕〔3〕会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；〔4〕了解均匀随机数的概念；〔5〕掌握利用计算器〔计算机〕产生均匀随机数的方法；〔6〕会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.2、过程与方法：〔1〕发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理水平；〔2〕通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多, 学习时养成勤学严谨的学习习惯.二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习, 感知用图形解决概率问题的方法,掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片,计算机及多媒体教学.四、教学设想：1、创设情境：在概率论开展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的, 还必须考虑有无限多个试验结果的情况. 例如一个人到单位的时间可能是8: 00至9: 00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子, 石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.2、根本概念：〔1〕几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度〔面积或体积〕成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型；〔2〕几何概型的概率公式：/、构成事件A的区域长度〔面积或体积〕P 〔A〕=, ,---------------------- - ——：—————―--- - ；试验的全部结果所构成的区域长度〔面积或体积〕〔3〕几何概型的特点：1〕试验中所有可能出现的结果〔根本领件〕有无限多个；2〕每个根本领件出现的可能性相等.3、例题分析：课本例题略例1判以下试验中事件A发生的概度是古典概型,还是几何概型.(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“ 4点〞的概率；(2)如课本P132图3. 3-1中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否那么乙获胜,求甲获胜的概率. 分析：此题考查的几何概型与古典概型的特点, 古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型那么是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.解：(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6X6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影局部〞,概率可以用阴影局部的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.例2某人欲从某车站乘车出差,该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0〜60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的 ,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率 .可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率 .由于客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 ,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A=｛等待的时间不多于 10分钟｝,我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式 ,得P(A)==,即此人等车时间不多于10分钟的概率为.小结：在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数.练习：1.地铁列车每10min 一班,在车立^停1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率.2.两根相距6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2m 的概率.解：1.由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=; 2.记“灯与两端距离都大于2m’为事件A,那么P(A)==.例3在1万平方千米的海域中有 40平方千米的大陆架储藏着石油, 假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40平方千米可看作构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率.答：钻到油层面的概率是 0.004 .例4在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10毫升,那么取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的 10毫克种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比〞公式计算其概率.解：取出10毫升种子,其中“含有病种子〞这一事件记为 A,那么P(A)= ==0.01 .答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01 .例5取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？分析：在任意位置剪断绳子,那么剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意数,并且每一解：记“钻到油层面〞为事件A,那么 P(A)=储藏石油的大陆架面积所有海域的大陆架面积==0.004 .个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(根本领件)对应［0 , 3］上的均匀随机数,其中取得的［1 , 2］内的随机数就表示剪断位置与端点距离在［1 , 2］内,也就是剪得两段长都不小于1s这样取得的［1, 2］内的随机数个数与［0, 3］内个数之比就是事件A发生的概率.解法1: (1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a产RAND(2)经过伸缩变换,a=a1*3 .(3)统计出［1 , 2］内随机数的个数Ni和［0 , 3］内随机数的个数N.(4)计算频率f n(A尸即为概率P (A)的近似值.解法2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度［0 , 3］(这里3和0重合).转动圆盘记下指针在［1, 2］(表示剪断绳子位置在［1, 2］范围内)的次数N及试验总次数N, 那么f n(A)=即为概率P (A)的近似值.小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及根本领件总体对应的区域转化为随机数的范围.解法2用转盘产生随机数, 这种方法可以亲自动手操作, 但费时费力,试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数, 可以产生大量的随机数, 又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内屡次重复试验, 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的熟悉.例6在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率.分析：正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.解：(1)用计算机产生一组［0,1］内均匀随机数a1=RAND(2)经过伸缩变换,a=a1*12得到［0 , 12］内的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和［6, 9］内随机数个数Ni(4)计算频率.记事件A=｛面积介于36cm与81cnf之间｝=｛长度介于6cm与9cm之间｝,那么P (A)的近似值为f n(A)=.4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时, 一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验, 其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数)有关,然后设计适当的试验, 并通过这个试验的结果来确定这些量.5、自我评价与课堂练习：1.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,那么发现草履虫的概率是( )A. 0.5 B . 0.4 C . 0.004 D .不能确定2.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.3.某班有45个,现要选出1人去检查其他班的卫生,假设每个人被选到的时机均等,那么恰好选中学生甲主时机有多大？4.如图3-18所示,曲线y=-x 2+1与x轴、y轴围成一个区域A,直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻, 利用计算机来模拟这个试验,并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数.6、评价标准：1. C (提示：由于取水样的随机性,所求事件A: 取出2ml的水样中有草履虫〞的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004 )2.解：把“硬币不与任一条平行线相碰〞的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中央O向靠得最近的平行线引垂线OM垂足为M如下图,这样线段O欣度(记作OM 的取值范围就是［o,a］,只有当rvOMc a时硬币不与平行线相碰, 所以所求事件A的概率就是P (A)==3.提示：此题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请根据下面的步骤独立完成.(1)用1〜45的45个数来替代45个人；(2)用计算器产生1〜45之间的随机数,并记录；(3)整理数据并填入下表5010015020025030035040045050060065070075080085090010001050试验次数1出现的频数1出现的频率(4)利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的时机.4.解：如下表,由计算机产生两例0〜1之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的坐标. 如果一个点(x,y )满足yW-x2+1,就表示这个点落在区域A内,在下表中最后一列相应地就填上1,否那么填0.x y计数0.5988950.94079400.5122840.11896110.4968410.78441700.1127960.69063410.3596000.37144110.1012600.6505121………0.9473860.90212700.1176180.30567310.5164650.22290710.5963930.96969507、作业：根据情况安排。

高中数学3.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修1-1

甘肃省金昌市第一中学2014 年高中数学 3.3.1 函数的单一性与导数教课设计新人教 A 版选修 1-1认识函数的单一性与导数的关系；能利用导数研究函数的单一性；会利用导数求函数的单一区间。

2、过程与方法经过本节的学习，掌握用导数研究函数单一性的方法。

3、感情、态度与价值观经过实例研究函数的单一性与导数的关系。

经过这一过程，提升理性思想的能力。

教课重难点要点：函数单一性和导数的关系；会依据导数判断函数的单一性；会利用导数求出函数的单一区间。

难点：理解并掌握函数的单一性与导数的关系教课过程一、复习引入：1.常有函数的导数公式：C' 0 ； ( x n )' nx n 1 ； (sin x)' cos x ； (cos x)' sin x (ln x)' 11log a e (e x )' x(log a x)' e x (a x )' a x ln ax2.法例 1 [u( x) v(x)] ' u ' ( x) v' ( x) ．法例 2 [u(x)v( x)] u '( x)v(x) u( x)v '(x) , [Cu (x)] Cu '( x)法例 3'u u 'v uv ' ( v 0) v v2二、讲解新课1．问题：图（ 1），它表示跳水运动中高度h 随时间 t 变化的函数 h(t )2 6.5t 10 的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度 v 随时间t变化的函数v(t ) h' (t ) 6.5 的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么差别？经过察看图像，我们能够发现：（ 1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间 t 的增添而增添，即h(t)是增函数．相应地，v(t ) h'(t) 0．（ 2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间 t 的增添而减少，即h(t )是减函数．相应地， v(t) h' (t ) 0 ．2．函数的单一性与导数的关系察看下边函数的图像，商讨函数的单一性与其导数正负的关系．f ' ( x0 ) 如图，导数表示函数 f ( x) 在点 (x0 , y0 ) 处的切线的斜率．在 x x0处， f ' (x0 ) 0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f (x) 在x0邻近单一递加；在 x x1处， f ' (x0 ) 0 ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f (x) 在x邻近单一递减．1结论：函数的单一性与导数的关系在某个区间 (a , b) 内，假如 f ' ( x) 0 ，那么函数y f ( x) 在这个区间内单一递加；假如'0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单一递减．f (x)说明：（ 1）特其他，假如 f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是常函数．3．求解函数 y f (x) 单一区间的步骤：（ 1）确立函数 yf (x) 的定义域；（ 2）求导数 y 'f ' ( x) ；'0 ，解集在定义域内的部分为增区间；（ 3）解不等式 f ( x)（ 4）解不等式 f ' ( x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例剖析例 1．已知导函数 f ' (x) 的以下信息：当 1 x'4时， f ( x) 0 ；当 x 4 ，或 x 1时， f ' ( x) 0 ；当 x4 ，或 x 1 时， f ' (x) 0试画出函数 y f (x) 图像的大概形状．解：当1x4 时， f ' ( x) 0 ，可知 yf (x) 在此区间内单一递加；当 x 4 ，或 x 1时， f '0 ；可知 yf ( x) 在此区间内单一递减；(x)当 x4 ，或 x 1 时， f ' (x) 0，这两点比较特别，我们把它称为“临界点”．综上，函数 yf (x) 图像的大概形状如图3.3-4 所示．例 2．判断以下函数的单一性，并求出单一区间．（ 1） f (x) x 3 3x ；（2） f ( x) x 22x 3（ 3） f (x)sin x x x(0, ) ；（ 4） f (x) 2x 33x 2 24 x 1解：（1）因为 f (x)x 3 3x ，所以，f ' ( x) 3x 2 3 3( x 2 1)因此，f (x)x 33x 在R 上单一递加，如图（ 1）所示．（2）因为f ( x) x2 2x 3 ，所以， f ' (x) 2x 2 2 x 1当 f ' ( x) 0 ，即 x 1 时，函数 f ( x) x2 2x 3 单一递加；当 f ' ( x) 0 ，即 x 1时，函数 f (x) x2 2x 3 单一递减；函数 f ( x) x2 2x 3 的图像如图（2）所示．（ 3）因为f (x) sin x x x (0, ) ，所以， f ' (x) cos x 1 0所以，函数 f ( x) sin x x 在 (0, ) 单一递减，如图（ 3）所示．（ 4）因为f (x) 2x3 3x2 24x 1 ，所以．当 f ' ( x) 0 ，即时，函数 f ( x) x2 2x 3 ；'0 ，即时，函数 f ( x) x2 2x 3 ；当 f ( x)函数 f ( x) 2x3 3x2 24x 1 的图像如图（ 4）所示．注：（ 3）、（ 4）生练例 3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积同样）注入下边四种底面积同样的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像．剖析：以容器（ 2）为例，因为容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，此后高度增添得愈来愈快．反应在图像上，（ A ）切合上述变化状况．同理可知其余三种容器的状况．解： 1 B , 2 A , 3 D , 4 C思虑：例 3 表示，经过函数图像，不单能够看出函数的增减，还能够看出其变化的快慢．联合图像，你能从导数的角度解说变化快慢的状况吗？一般的，假如一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“峻峭” ；反之，函数的图像就“缓和”一些．如图 3.3-7 所示，函数 y f ( x) 在 0 , b 或 a ,0 内的图像“峻峭” ，在 b ,或,a 内的图像“缓和” ．例 4．求证：函数 y 2x 3 3x 212x 1在区间 2,1 内是减函数．证明：因为 y '6x 2 6 x 126 x 2 x 26 x 1x 2当 x 2,1即 2 x 1'0 ，所以函数 y322,1 内是时， y 2x3x 12x 1 在区间减函数．说明：证明可导函数f x 在 a , b 内的单一性步骤：（ 1）求导函数 f ' x ；（ 2）判断 f ' x 在 a , b 内的符号；（ 3）做出结论： f 'x0 为增函数， f ' x0 为减函数．例 5．已知函数f ( x) 4x ax 2 2x 3 ( x R) 在区间 1,1 上是增函数，务实数 a 的取值范3围．解： f ' (x) 4 2ax 2x 2 ，因为 f x 在区间1,1 上是增函数，所以 f ' (x) 0 对 x1,1 恒成立，即 x 2 ax2 0 对 x1,1 恒建立，解之得：1 a 1所以实数 a 的取值范围为1,1 ．说明：已知函数的单一性求参数的取值范围是一种常有的题型，常利用导数与函数单一性关系：即“ 若函数单一递加，则 f ' ( x) 0 ；若函数单调递减，则 f '(x) 0 ”来求解，注意此时公式中的等号不可以省略，不然漏解．例 6．已知函数 y=x+1，试议论出此函数的单一区间 .x1)′解： y ′ =(x+ x－2x 2 1 ( x 1)( x 1)=1－ 1·x=x 2x 2( x 1)( x 1)令2＞ 0.x解得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.∴ y=x+ 1 的单一增区间是 (－∞，－ 1)和 (1， +∞).x令 ( x 1)( x 1) ＜ 0，解得－ 1＜ x＜ 0 或 0＜ x＜1.x 2∴ y=x+ 1的单一减区间是 (－ 1，0)和(0， 1) x四、讲堂练习：1．确立以下函数的单一区间(1) y=x3－ 9x2 +24x (2) y=3x－ x3(1) 解： y′3 2 2=(x － 9x +24x) ′ x=3－18x+24=3( x－ 2)(x－ 4)令 3(x－ 2)(x－ 4)＞ 0，解得 x＞4 或 x＜ 2.∴y=x3－ 9x2+ 24x 的单一增区间是 (4， +∞)和 (－∞， 2)令 3(x－ 2)(x－ 4)＜ 0，解得 2＜ x＜ 4.∴ y=x3－ 9x2+24x 的单一减区间是(2，4)(2)解： y′ =(3x－x3) ′=3－ 3x2=－ 3(x2－ 1)=－ 3(x+1)( x－1) 令－ 3(x+1)( x－ 1)＞ 0，解得－ 1＜ x＜ 1.∴ y=3x－ x3的单一增区间是 (－ 1， 1).令－ 3(x+1)( x－ 1)＜ 0，解得 x＞1 或 x＜－ 1.∴ y=3x－ x3的单一减区间是(－∞，－ 1)和 (1， +∞)2、设y f (x ) 是函数y f ( x) 的导数, y f (x ) 的图象如下图, 则 y f (x ) 的图象最有可能是( )小结：要点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？五、讲堂小结：′1. 函数导数与单一性的关系: 若函数y=f(x)在某个区间内可导, 假如 f (x)>0,则f(x)为增函数;假如f ′(x)<0, 则 f(x)为减函数 .2.本节课中 , 用导数去研究函数的单一性是中心 , 能灵巧应用导数解题是目的 , 此外应注意数形联合在解题中的应用 .3.掌握研究数学识题的一般方法 : 从特别到一般 , 从简单到复杂 .六、课后作业：课本习题组1，2【思虑题】关于函数f(x)=2x3－ 6x2+7思虑 1、能不可以画出该函数的草图？思虑 2、2x3 7 6x 在区间（0，2）内有几个解？1．确立以下函数的单一区间(1) y x x2 (2) y x x32.议论二次函数y=ax2+bx+c(a＞ 0)的单一区间 .。

2022年高中数学新人教版A版精品教案《1.2.1 几个常见函数的导数》

几个常用函数的导数〔1课时〕
授课人：岑巩县第一中学数学组---罗家亮
一、教学目标
1．知识与技能：用导数的定义求函数的导数。

2．过程与方法：在教学过程中，注意培养学生归纳、类比的能力。

3．情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，激发学生的求知欲。

二、教学重点、难点
1．教学重点：能用导数的定义，求函数的导数。

2．教学难点：导数的意义及几个函数的应用。

三、教学根本流程
复习引入，明确根据定义求导数的方法→求函数的导数→→学生求的导数→总结根据定义求导数的一般步骤→
→小组学习，完成“探究〞→师生共同进行课堂总结。

四、教学情境设计。

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甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.2.1几个常用函数的导数教案
新人教A 版选修1-1
教学重点和难点
1．重点：推导几个常用函数的导数；
2．难点：推导几个常用函数的导数。

教学方法：
自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程：
一、复习
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的步骤。

二、新课
推导下列函数的导数
1、求()f x c =的导数。

解：()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆， '00
()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ 2、求()f x x =的导数。

解：
()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆， '00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆。

'1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'
1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？
(2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？
可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.
3. 求函数2()y f x x ==的导数。

解： 22
()()()2y f x x f x x x x x x x x x
∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆，
''00
()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆。

'2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：
(1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢；
（2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。

4. 求函数1()y f x x
==
的导数。

解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x
-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆ ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x
∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？
'(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+。

(2)改为点（3，3），结果如何？
三、例题
1.
试求函数()y f x ==
解：
()()y f x x f x x x ∆+∆-==∆∆=
''0()lim lim x x y y f x x ∆→∆→∆====∆ 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切线
方程。

解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'02.x x y
x == 因为PQ 的斜率411,21
k -==+又切线平行于PQ ，所以021k x ==，即012
x =，切点11(,)24M ，所求直线方程为4410x y --=。

四练习
1.如果函数()5f x =，则'(1)f =（）
A. 5
B. 1
C. 0
D.不存在
2.曲线221y x =-+在点（0，1）的切线斜率是（）
A.-4
B.0
C.2
D. 不存在
3.曲线212y x =在点1(1,)2
处切线的倾斜角为（） A. 4π- B. 1 C. 4π D. 54π 答案：
1.C
2.B
3.C
五、小结
1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；
2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。