4.2一元二次方程的解法(公式法)
4.2一元二次方程的解法(6)因式分解法
我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? 直接开平方法 配方法 公式法
x2=a (a≥0)
(x+h)2=k (k≥0)
x
b b 4ac
2
2a
. b 4ac 0 .
2
探索活动
如何解方程： x
2
2
3x.
小明是这样解的 :
解 : 方程x 3 x两
2
小颖是这样解的 :
• (3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
例题欣赏
☞
用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;
(2)x-2=x(x-2);
(3)(x+1)2-25=0 (4)x2+6x+9=0
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 方程左边因式分解，右边等于0; 2. 根据“至少有一个因式为零”,转 化为两个一元一次方程. 3. 分别解两个一元一次方程，它们 的根就是原方程的根.
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
x 3x 0. xx 3 0.
2
x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3.
小亮做得对吗?
1.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形 式叫做分解因式. 2.有哪些分解因式的方法? 一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三十字（相乘）
2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0. 7 x1 0 , x 2 . 2 答：这个数为0或7/2.
一元二次方程的解法公式法.doc
4.2 一元二次方程的解法（3）学习目标1、会用公式法解一元二次方程2－4ac2、学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是 b ≥ 03、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程 学习难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符 号错误。
教学过程 一、情境引入：1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？二次项系数化 1，移项，配方，变形，开平方，求解，定根2、用配方法解下例方程2x 2x （1） 272 0x（2） 2x45 03、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程 ax2＋b x ＋c = 0（a ≠0）的实数根呢？二、探究学习： 1．尝试： 如何用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2＋b x ＋c = 0（a ≠0）？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：解：因为a 0，所以方程两边都除以 a ，得b c20 xxa a移项，得2b c xxaa配方，得b bc b22)2x2x ()( 2a2a a 2a即2b b 4ac2(x )22a 4a1朔州山阴县第二中学（这样原方程就化成了（ x+h ）2=k 的形式）能用直接开平方解吗？什么条件下就能用直接开平方解了？当2b 4ac24bac，且a 0时，24a大于等于零吗？ 让学生思考、分析，发表意见，得出结论：因为a 0，所以24a 0，从而2b 4ac24a当24 0bac 时，得x24 b b ac 2a2a所以x b 2a2 b2a4ac即 x 24 bb ac2a到此，你能得出什么结论？ 2．概括总结一般地，对于一般形式的一元二次方程20 ( 0)axbx c a ，当24 0bac 时，它的根是x2 4 bb ac 2a（2 4 0b ac）这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
一元二次方程的解法-公式法
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
（3）
（ 4）
应用1.
不解方程判断方程根的情况：
(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
一般形式 缺一次项
缺常数项 缺一次项及常数项
ax2 bx c 0(a 0)
ax2 c 0(a 0, b 0, c 0)
ax2 bx 0(a 0, b 0, c 0) ax2 0(a 0, b c 0)
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时,方程无实数解;
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
x 8 0 2 （3） x x 1 0 2 （5） 2 x x 3 0
（1）
2
9 0 2 （4） x x 1 0 2 （6） 2 x x 3 0
（2） x
2
有两个实数根的方程的序号是（ （1） （4） （6） ）
没有实数根的方程的序号是（ （2）（3） （5）） a、c异号，一元二次方程 有两个不相等的实数根
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
4.2一元二次方程的解法因式分解
典型例题
例 1 用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x （2）（x+3）2-x（x+3）=0 （3）6x2-1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）x2-6x-16=0
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（2x－1）2=x2 （2）（2x-5）2-2x+5=0
归纳：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解
2 2
9 . x 12 x 27 0 ;
2
10 . 2 ( x 3 ) x 9 .
2
我最棒
,用分解因式法解下列方 程
4. ( 4 x 2 ) x ( 2 x 1) 5 . 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 ); ;
2
6 .( 3 x 1) 5 0 ;
2
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
2
2
3x 7 x 4 ?.
2
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 7 x 6 0得x1 1, x2 6;
2
而x 7 x 6 ( x 1)( x 6);
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 2.3 y 2 解 : 1. 一元二次方程
一元二次方程的解法：公式法
2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化为一般式： 4x2 +12x 9 0
a 4,b 12,c 9
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4ac 122 4 49 0
x 12 0 3
3. 公式法
偃师市大口镇中学 张延峰
温故知新
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化1:化为一般式，并将二次项系数化为1； 移项：把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ;开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
24
2
3 x1 x2 2
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化为一般式：
3x2 7x 8 0
a 3,b -7,c 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1） x2 4x 2
（2）5x2 4x 12 0
（3） 16x2 8x 3
课后小结
同学们，这节课你们都有哪些收获呢？
课后作业
1.课本第30页练习 2.课本第36页习题第二题的3、4
、5、6小题
再
见！
用公式法解方程：
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
一元二次方程解法的公式
一元二次方程解法的公式一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法是使用公式法。
公式法是指通过求解一元二次方程的解法公式来求解方程的根。
这个公式叫做“二次方程求根公式”，也叫做“根公式”。
二次方程求根公式是这样的：x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a其中，±表示两个解，√表示开方，b²-4ac叫做判别式。
这个公式的意义是，对于任意一个一元二次方程ax²+bx+c=0，我们可以通过这个公式求出它的两个解x1和x2。
具体来说，我们需要先计算出判别式的值，如果判别式大于0，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于0，则方程有一个实数根；如果判别式小于0，则方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
接下来，我们可以根据公式计算出方程的两个解。
需要注意的是，如果判别式小于0，则需要使用复数的运算方法来计算解。
例如，对于方程2x²+3x-5=0，我们可以先计算出判别式的值：b²-4ac = 3²-4×2×(-5) = 49因为判别式大于0，所以方程有两个不相等的实数根。
接下来，我们可以使用公式计算出方程的两个解：x1 = (-3 + √49) / 4 = 0.5x2 = (-3 - √49) / 4 = -2因此，方程2x²+3x-5=0的两个解分别为0.5和-2。
二次方程求根公式是解一元二次方程的重要工具之一。
通过这个公式，我们可以快速、准确地求解一元二次方程的根，从而解决各种实际问题。
4.2一元二次方程的解法(5)
4.2 一元二次方程的解法（5）--[ 教案]备课时间: 主备人:【学习目标】1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况【重点和难点】重点：一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的值【知识回顾】1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）当240b ac -≥时，X 1,2 = 2、运用公式法解下例方程：（1）x 2 -4x+4=0 （2）2x 2 -3x -4=0 (3) x 2+3x+5=0【预习指导】1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴ x 2＋2x －8 = 0 ⑵ x 2 = 4x －4 ⑶ x 2－3x = －32、思考：一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？3、解下列方程：⑴ x 2＋x －1 = 0 ⑵ x 2－23x ＋3 = 0 ⑶ 2x 2－2x ＋1 = 04、 探索一元二次方程的根的情况与b 2－4ac 的符号有什么关系？【知识梳理】1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）有两个不相等的实数根时 ， b 2－4ac有两个相等的实数根时， b 2－4ac没有实数根时， b 2－4ac2、方程的根与系数又有怎样的关系？【例题解析】例1、解下列方程：（1）2x +x-1=0；（2）2x -23x+3=0；（3）22x -2x+1=0；例2、当k 为何值时，关于x 的方程k x 2－（2k ＋1）x ＋k ＋3 = 0有两个不相等的实数根？【课堂练习】1、不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2260x x +-=； （2）242x x +=； （3）x x 3142-=+（4） 3x 2－x ＋1 = 3x （5）5（x 2＋1）= 7x （6）3x 2－43x =－4 2、当k 为何值时，关于x 的方程x 2－kx ＋4= 0有两个相等的实数根？求这时方程的根。
一元二次方程的解法(公式法2)全面版
议一议
方程根的情况：
当 b2 4ac0时,方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac0时,方程有两个相等的实数根； 当 b24ac0时,方程没有实数根.
例1.不解方程,判别方程 5 x2 1 x0
的根的情况______________
解:5x2 x50
方程要先化 为一般形式
例5.一元二次方程 m 1 x 2 2 m m x 2 0
有两个不等的实数根,则m的取值 范围是______________
变
解 2 m 2 4 m 1 m 2
4 m 24 m 24 m 8
4m8 0 m2
1、已知a,b,c是△ ABC的三边，且 关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两 个相等的实数根． 求证：这个三角形是直角三角形．
2：已知关于x的方程：
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
想一想，当k取什么值时： （1）方程有两个不相等的实数根， （2）方程有两个相等的实数根， （3）方程没有实数根，
C.没有实数根
b24ac 0
D.根的情况无法
例3.已知关于x的方程
x22 m2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个 不相等的实数根
解 : b 2 4 a 4 m c 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4.2一元二次方程的解法
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
xbb24ac(a0,b24ac0) 2a
4、写出方程的解x1与x2.
江苏省昆山市锦溪中学九年级数学上册 课件4.2 一元二次方程的解法--公式法1
一般地,对于一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) ,
2 b b 4ac 2 如果 b 4ac 0 ,那么方程的两个根为 x 2a 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，
我们可以 由一元二次方程的系数 a、b、c的值，直接 求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
b b2 4ac x 2a
例 1 解方程： x 7 x 18 0
2
解： 这里 a 1 b 7 c 18
b 4ac （ 7 ） 4 1 （- 18 ） 121
2 2
7 121 7 11 x 21 2
即：
x1 9 x2 2
2
2
即
Байду номын сангаас
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
a 0， 4a 0，当b 4ac 0时
2 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
特别提醒 一元二次方程的 求根公式
b b 4ac x 2a
2
当 b 4ac 0 时，方程有实数根吗？
原方程没有实数根。
你又有什么启示？
例4
用公式法解方程：
求根公式 : X=
2 2 2 x x 0 3 3
解：方程两边同乘以 3， 得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x= 即 x1=2, x2= = =
动手试一试吧！
b b2 4ac x 2a
例 2 解方程： x 3 2 3 x
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法如下：
1、因式分解法：将一元二次方程化成 ax^2+bx+c=0 的形式，先将两边同乘以a后，即a(x^2+ b/ax + c/a)，然后将此形式拆解为（x+()）(x+(/))的形式，得到两个一元一次方程，求出x的值，即可求出原方程的解。
2、公式法：用公式法求解一元二次方程，即通过求解公式：x=(-
b±√(b^2-4ac))/2a来求解，此公式中，b和c为方程的系数，a为系数前的系数。
3、图像法：使用图像法求解一元二次方程，即作出ax^2+bx+c=0方程图象，然后根据图象上的交点判断出方程的解。
4、判别式法：此法根据一元二次方程的判别式来求解，即当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不等实根；当判别式b^2-4ac=0时，方程有一个实根；当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根。
5、求根公式法：此法可以用来求解一元二次方程的实根，即用求根公式x1=(-b+ √(b2- 4ac))÷2a和x2=(-b-√(b2- 4ac))÷2a，其中，b 为系数前的系数，a和c分别为方程的系数。
6、特殊值法：此法适用于一元二次方程中特殊的系数或解。
如当
a=0，系数b和c任意时，可将该方程化为一元一次方程，求解即可；当a=b=0时，可直接算出方程的解。
4.2 一元二次方程的解法(4)公式法
7 81 x . 2 2
∴ x1=4，
1 x2 . 2
例.用公式法解下列方程： (3) x2=3x－8.
解（3）移项，得x2－3x+8=0． ∵a=1，b=－3，c=8， b2－4ac=9－4×1×8=－23＜0. ∴原方程无解.
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般 形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2－4ac的值， 当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac ＜0时，方程无实数解(根) .
由题意,得 x( x 2) 168.
整理, 得x2 2x 168 0. 解这个方程, 得x1 12, x2 14.
x是正偶数, x 12, x 2 14.
答 : 这两个正偶数是12和14.
归纳总结
1、解一元二次方程一般有哪几种方法？
2.一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程时要注意什么？ 3、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？
6 0 x . 29 1 x1 x2 . 3
检测练习
3、已知等腰三角形的底边长为9，腰长是方程 x 的一个根，求这个三角形的周长．
2
10 x 24 0
解 : 解方程x2 10 x 24 0, a 1, b 10, c 24, b2 4ac (10)2 4 1 24 4 0.
10 4 x 6, x 4. x . 1 2 2 1
若腰长为6,6 6 9, 符合题意.
此时三角形的周长为6+6+9=21.
若腰长为4, 4 4 9, 不合题意，舍去. 答：这个三角形的周长为21.
4.2一元二次方程的解法根的判别式
检测
1.不解方程，判断方程根的情况： （1）x2+3x-1=0; (2)x2-6x+9=0; (3)2y2-3y+4=0
练一练
2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根？求这时方程的根。 3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一 元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况 是（ ） A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。
解（2）移项，得2x2-6x+4.5=0 ∵a=2，b=-6，c=4 .5 b2-4ac=36-4×2×4.5=0 ∴
6± 0 x= 2 ×2
3 x1 = x2 = 2
典型例题
例
用公式法解下列方程： (3) x2=3x-8
解（3）移项，得x2-3x+8=0 ∵a=1，b=-3，c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无解
2
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
典型例题
例3：m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
概括总结
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
4.2一元二次方程的解法(4)
4.2一元二次方程的解法（4）---[ 教案]备课时间: 主备人:【学习目标】:1、会用公式法解一元二次方程2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0 【重点和难点】：重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误【知识回顾】1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法解下例方程（1）02722=--x x （2）05422=+-x x【预习指导】请尝试用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）， 当 时，它的根是 。
这个公式叫做一元二次方程的 ，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做 。
【典型例题】例、请你利用求根公式解下列方程：⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4【知识梳理】1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
3、若解一个一元二次方程时，b 2－4ac ＜0，请说明这个方程解的情况。
【课堂练习】1、把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a ≠0)形式为 ，b 2-4ac= .2、用公式法解下列方程：（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0； （3）2x 2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0. （5）2260x x +-= （6）242x x +=3、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。
【课后练习】1、用公式法解下列方程： （1）2x -3x-4=0；（2）22x +x-1=0；（3）2x -2x=3；（4）x （x-6）=6；2、两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数。
一元二次方程的解法公式法
求解匀加速直线运动的速度，已知初速度 $v_0$、加速度 $a$ 和时间 $t$，则末速度 $v = v_0 + at$。
04 一元二次方程的解法与其 他方法的比较
配方法与公式法的比较
配方法
通过配方将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后求解。
公式法
直接使用一元二次方程的解的公式进行求解。
比较
配方法适用于所有的一元二次方程，而公式法只适用于一般形式的一元二次方程。配方法 在求解过程中需要更多的步骤，但适用范围更广；公式法直接简单，但适用范围有限。
直接开平方法：通过直接开平方的方式求解一元二次方程。
公式法：同上。
比较：直接开平方法适用于可以开平方的一元二次方程，而公式法适用于所有的一般形式的 一元二次方程。直接开平方法在求解过程中需要满足特定的条件，但求解过程简单；公式法 适用范围广，但求解过程相对复杂。
05 一元二次方程解法的扩展 和深化
通过因式分解、配方、使用二项式定 理等方法，将高次方程转化为低次方 程或一元一次方程，然后求解。
二元二次方程组的解法
定义
二元二次方程组是指包含两个未 知数的两个二次方程组成的方程
组。Leabharlann 解法通过消元法、代入法、行列式法 等方法，将二元二次方程组转化 为二元一次方程组或一元一次方
程，然后求解。
例子
求解方程组{x^2 + y^2 = 4, x + y = 2}，可以通过代入法得到x
简单实例
01
02
总结词
简单的一元二次方程，可以直 接套用公式求解。
实例1
$x^2 - 2x - 3 = 0$
03
实例2
$x^2 + 4x - 1 = 0$
4.2一元二次方程的解法(公式法)
4.2一元二次方程的解法（公式法）主备人：宋亚娟审核人：赵东祥教材分析：公式法实际上是匹配法的推广。
运用公式法可以更简单地解出医院二次方程学习情况分析：由于学生已经有运用搭配法解一元二次方程的经验，可以在教学中指导学习生自主探索一元二次方程的求根公式.教学目标：1.知识与技能使学生能熟练运用求根公式解一元二次方程。
2过程和方法使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力.正确选择合适的方法求解一元二次方程。
3.情感与价值在探索和应用求根公式的过程中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物主义观点.教学重难点：教学重点：掌握一元二次方程的根公式，并用它熟练地解一元二次方程教学难点：对字母系数二次三项式进行配方；系数和常数为负数时,代入求根公式时符号的手柄教学过程：一．课前导学阅读课本88的倒数第二行3-90行16，完成以下练习。
1.用公式法求解下列方程：2（1）x?15?10x（2）3x?12x?21?0（3）ax2?bx?c?032.根据问题（3）的结果，B是什么时候？4ac？0，一元二次方程AX的一般形式？bx？C022? Bb2？4ac的根是x？，我们称这个公式为寻根公式，并用这个公式求解一个变量的二次方程2a程的方法叫做公式法.思考：B什么时候？4ac？0时，方程是否有实根？3.用公式法求解以下方程：⑴x?3x?1?0⑵2x?x?1222⑶十、25倍？？5.⑷2y2？3岁？5.四二．成果初展1.考试预习1.请在黑板上玩，详细解释第三个问题并介绍新课2因为a?0,方程两边都除以a,得:x?2bcx??0aabcx??aabbcb2?()2???()2配方,得:x?2?x?2a2aa2a移项,得:x?2b2b2?4ac)?即:(x?2a4a2b2?4ac问题1:当b?4ac?0，且a?0时，大于等于零吗？24a2让学生思考、分析、表达观点并得出结论：b2?4ac?0.当b?4ac?0时，因为a?0，所以4a?0，从而24a22问题2:让学生讨论、交流,从中得出结论:B什么时候？4ac？0，一元二次方程AX的一般形式？bx？C0（a？0）的根是：22?b?b2?4ac.x?2a由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式:2.Bb2？4ac2（b？4ac？0）x？2A该公式表明，方程的根由方程的系数a、B和C决定。
4.2一元二次方程的解法(4)—公式法学案与巩固案4
4.2 一元二次方程(4)—公式法
设计：孙祥审核：孙兴华
一、学习目标：
学会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程，并通过公式的推导，体会转化的思想方法。
二、知识导学：
（一）、思考与探索：
如何解一般形式的关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
可以仿照例4的解
法去试一试！
归纳总结：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是：
，这个公式叫做一元二次方程的。
利用叫做公式法。
（二）、应用与归纳：
1.解下列方程：
①x2+3x+2=0 ②2x2-7x=4
归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：先要把方程化为形式，再找出方程中的a、b、c 的值，然后还要判断，最后 . （三）、尝试与交流：
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,如果b2-4ac＜0,那么方程有实数根吗？为什么？
（四）、练习巩固：
课本P90练习：T 1、2
三、知识巩固：
1.用公式法解下列方程：
①x 2+x-2=0 ②2x 2-7x=3
③-x 2-x+1=0 ④x 2
-x+1=0
⑤x 2
+x-1=0 ⑥32x 2-31x -1=0
⑦0.5x 2-2x=0 ⑧x 2-42x+8=0
⑨(x+3)2=2x+5 ⑩(2x+1)(x-3)=-6
2.已知y 1=x 2-9,y 2=3-x,当x 为何值时，y 1与y 2相等？
点滴体会：。
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4.2 一元二次方程的解法（公式法）
主备人：宋亚娟 审核人：赵东祥
教材分析:公式法实际上是配方法的一般化,利用公式法可以更简捷的解医院二次方程. 学情分析: 由于学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验,因此教学中可以引导学
生自主探索一元二次方程的求根公式.
教学目标：
1. 知识与技能
使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程.
2. 过程与方法
使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力.
正确选择合适的方法解一元二次方程.
3．情感与价值
在探索和应用求根公式的过程中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物主义观点.
教学重难点：
教学重点：掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程.
教学难点：对字母系数二次三项式进行配方；系数和常数为负数时,代入求根公式时符号的
处理.
教学过程：
一．课前导学
阅读课本88倒数第3行—90第16行,并完成下列练习.
1、用配方法解下列方程：
（1）x x 10152=+ （2）03
11232=+-x x （3）02=++c bx ax
2、根据第⑶题结果可知：当042≥-ac b 时，一般形式的一元二次方程02
==+c bx ax 的根为a
ac b b x 242-±-=,我们把这个公式叫做求根公式,利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
思考：当042
<-ac b 时,方程有实数根吗？
3、用公式法解下列方程：
⑴ 0132=+-x x ⑵ 122=+x x
⑶ 5522-=-x x ⑷ 45322=+-y y
二．成果初展
1、检察预习1,请学生板演.详细讲解第3小题,引入新课.
因为0≠a ,方程两边都除以a ,得: 02=++a
c x a b x 移项,得:a
c x a b x -=+2
配方,得:222)2()2(22a b a c a b a b x x +-=+⋅⋅+ 即:2
2244)2(a ac b a b x -=+ 问题1:当042
≥-ac b ，且0≠a 时，2244a ac b -大于等于零吗？
让学生思考、分析,发表意见,得出结论:
当042≥-ac b 时，因为0≠a ，所以042
>a ，从而04422≥-a ac b . 问题2:让学生讨论、交流,从中得出结论:
当042≥-ac b 时，一般形式的一元二次方程02
=++c bx ax )0(≠a 的根为: a
ac b b x 242-±-=. 由以上研究的结果,得到了一元二次方程02
=++c bx ax )0(≠a 的求根公式: a
ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ） 这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法. 当042<-ac b 时，一元二次方程02
=++c bx ax )0(≠a 没有实数根.
三．典题导悟
例1.用公式法解下列方程:
（1）0622=-+x x （2）242=+x x （3）01722=+-y y
例2．用合适的方法解下列方程
（1）0442=+-x x （2）y y 4282=-（配方法） （3）09)1(32=--x
四．拓展延伸
用公式法解下列方程:0222=--m mx x
五.当堂巩固
1．用公式法解下列方程：
(1)08922=+-x x (2)01692=++x x
2．用适当的方法解下列方程：
⑴ 01022=-x ⑵ x x 72= ⑶ 03422=--x x
⑷ 7962=++x x ⑸
024
12=-+x x ⑹ 02322=-+x x
⑺ 02)1(4)1(22=+---x x ⑻)1)(32()23(2+-=-x x x
六．课堂小结
1.用公式法解一元二次方程时要注意什么？
2.任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明.
3.若解一个一元二次方程时,b2－4ac＜0,请说明这个方程解的情况. 七．教学反思。