【最高考】2015届高考数学二轮专题突破高效精练 第3讲 基本初等函数
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题2_第1讲_函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)
第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质考情解读 1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下. 2．函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素 定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质（1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．（2）奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．（3）周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |. 3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质（1）指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．（2）幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 （1）(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．（2）设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________．思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．（1）(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．4（2）已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为_________．热点二 函数的图象例2 （1）(2014·烟台质检)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是()（2）已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c思维启迪 （1）可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．（2）考虑函数f (x )的单调性． 思维升华 （1）作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．（2）识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．（3）用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．（1）函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系中的图象大致是( )（2）(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]热点三 基本初等函数的图象及性质例3 （1）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)（2）已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性． 思维升华 （1）指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力． （2）比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．（1）设15<(15)b <(15)a <1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a b <a a <b aC ．a a <b a <a bD ．a b <b a <a a（2）已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．1．判断函数单调性的常用方法（1）能画出图象的一般用数形结合法去观察．（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．（3）对于解析式较复杂的一般用导数法． （4）对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性（1）若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .（2）若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．（3）若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________.2．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是()押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为()2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值(推荐时间：40分钟)一、选择题1．下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( ) A ．f (x )＝12 B ．f (x )＝x 2－4x ＋4 C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝log 12x2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是()3．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( ) A.1lg 2 B ．－1lg 2 C ．lg 2 D ．－lg 2 4．若a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．ln a >ln bB ．0.3a>0.3bC ．1122a b > D ．3a >3b5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0)7．下列函数中，与函数f (x )＝2x －1－12x 1的奇偶性、单调性均相同的是()A ．y ＝e xB ．y ＝ln(x ＋x 2＋1)C ．y ＝x 2D ．y ＝tan x8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．⎝⎛⎦⎤0，12C ．⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2] 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13e x (x ≥2)f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________.10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．例1 (1)(－1,3) (2)－14 变式训练1 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 例2 答案 (1)C (2)D 变式训练2 (1)C (2)D 例3 (1)C (2)D 变式训练3 (1)B (2)0 1．516 2．B 1．A 2．D 3．CCDDDB ABC9．e 10．{a |a ≤2} 11．－10 12．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5) 13．①②③。
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题3函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程课件
C．a<c<b
D．a<b<c
【解析】 a＝log52<log5 5＝12＝log82 2<log83＝b，即 a<c<b.故选 C．
2. (2021·天津高考)设 a＝log20.3，b＝log10.4，c＝0.40.3，则 a、b、c
2
的大小关系为( D )
A．a<b<c C．b<c<a
B．c<a<b D．a<c<b
2.设 y＝f(x)为指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)，函数 y＝g(x)的图象与 y
＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称．在 P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，N12，14四 点中，函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象的公共点只可能是( D )
A．点P C．点M
B．点Q D．点N
用函数性质比较大小是常见题型；
函数的零点有关的题目，常结合函
函数的实际应用
数的性质综合考查，注意该知识点 易命制成多选题，也可以函数实际
应用呈现.
真题研究·悟高考
1. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知 a＝log52，b＝log83，c＝12，则下列判
断正确的是( C )
A．c<b<a
B．b<a<c
【解析】 由于＝f(x)为指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)，函数 y＝g(x) 的图象与 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称．故函数 g(x)＝logax；当 x＝12 时，y＝14，整理得 a＝116，故 g(x)＝log 1 x，由于这两个函数互为反函数，
16
当 x＝14时，g14＝12，其他的都不符合．故选 D．
2015年高中数学学业水平考试专题训练3基本初等函数Ⅱ
2015 年高中数学学业水平考试专题训练 3 基本初等函数Ⅱ基础过关1. 以下各图象所表示的函数能用二分法求零点的是()2. 当 x 愈来愈大时，以下函数中，增加速度最快的应当是 ( )A. y ＝100xB. y ＝log 100x100xC. y ＝xD. y ＝1003. 函数 f(x)＝ e x－1的零点所在的区间是 ()xA.0，1B.1， 1C. 1，3D.3， 222 224. 以下函数 f(x)中，知足“对随意 x 1，x 2∈(0，＋∞ )，当 x 1<x 2 时，f(x 1)>f(x 2)”的是 ()12A. f(x)＝ xB. f(x)＝ xC. f(x)＝ lg(x ＋2)D. f(x)＝2x5. 函数 f(x)＝ x －1 0|x 2－ 1|)＋的定义域为 (2x ＋2A. － 2， 1B. (－2，＋∞ )2C. － 2， 1 ∪ 1，＋∞ D. 1，＋∞2 22 6. 设 f(x)＝3x ＋ 3x －8，用二分法求方程 3x ＋ 3x －8＝0 在 x ∈ (1，2)内近似解的过程中得 f(1)<0， f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间 ()A. (1，1.25) ， 1.5) ， 2) D. 不可以确定m7. 若函数 f(x)＝1＋e x－1是奇函数，则 m 的值是 ( )1A. 0B. 2C. 1D. 28. 已知定义在实数集上的函数y＝ f(x)知足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y), 且 f(x)不恒等于零，则 y＝ f(x)是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 不可以确立2 ＋ bx＋2<0 的解集是－∞，－ 1 ∪19. 已知对于 x 的不等式 ax2，＋∞ ，则3ab 等于 ()A. －24B. 24C. 14D. －1410.已知 A，B 两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地抵达B 地，在 B 地逗留 1 h 后再以 50 km/h 的速度返回 A 地，把汽车走开 A 地的距离x(km)表示为时间 t(h)的函数关系式是 ()A.x＝60tB.x＝60t＋50t60t（0≤t≤），C.x＝150－50t（）60t（0≤t ≤），D.x＝ 150（ 2.5<t≤），150－ 50（t－）（ 3.5<t≤）11.建筑一个容积为 8 cm3，深为 2 m 的长方体无盖水池，假如池底和池壁的造价每平方米分别为120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为()A. 1700 元B. 1720 元C. 1740 元D. 1760 元212. 若函数 f(x)＝ x ＋bx＋ c 对随意实数都有f(2＋ x)＝f(2－ x) ，则 ()A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)13. 若方程 2ax2－x－1＝0 在(0，1)内恰有一解，则实数 a 的取值范围是 ()1A. [ －8，＋∞ )B. (1，＋∞ )1C. (－∞， 1)D. [－8，1)14. 已知函数 f(x)＝a|x|(a＞ 1)，则以下不等式建立的是()A. f(－ 1)＜f(2) C. f(5)＜ f(－ 3)B. f(－2)＜f(1)D. f(－5)＜f(3)15.函数 y＝ |log1x|的定义域为 [a，b]，值域为 [0，2]，则区间 [a， b] 的长度2b－a 的最小值为 ( )3 1A. 3B. 4C. 4D. 416. 用二分法求 f(x)＝0 的近似解，已知f(1)＝－ 2 ，f(3)＝0.625 ，f(2)＝－0.984.若要求下一个 f(m)，则 m＝________．17.函数 f(x)＝(x＋ a)(x－4)为偶函数，则实数 a＝________.18.已知方程 lgx＝ 3－ x 的解所在的区间为 (k，k＋1)(k∈N* )，则 k＝ ________．19.某医药研究所开发一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克 )与时间 t(小时 )之间近似知足如下图的曲线．(OA 为线段， AB 为某二次函数图象的一部分， O 为原点 )．(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式y＝f(x)；4(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量许多于9微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．20.在经济学中，已知函数 f(x)的边沿函数 Mf(x)定义为 Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某企业每个月最多生产100 台报警系统装置，生产 x 台(x∈N* )的收入函数 R(x) ＝3000x－20x2(单位：元 )，其成本函数为 C(x)＝500x＋ 4000(单位：元 )，收益是收入与成本之差．(1)求收益函数 P(x)及边沿收益函数MP(x)；(2)收益函数 P(x)与边沿收益函数MP(x)能否拥有同样的最大值？冲刺A级21. 设 f(x)是区间 [a，b]上的单一函数，且f(a) ·f(b)＜ 0，则方程 f(x)＝0 在区间 (a，b)()A.C. 起码有一实根没有实根B. 至多有一实根D.必有独一实根22.已知函数 f(x)是R上的增函数， A(0，－ 1)，B(3，1)是其图像上的两点，则 |f（x）|<1的解集是( )A. (－3，0)B. (0，3)C. (－∞，－ 1]∪[3，＋∞)D. (－∞， 0]∪[1，＋∞)23.函数 f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x∈(0，＋∞ )时，f(x)＝2x，那么，1f(log23)＝ ________．324. 已知定义在R上的函数 f(x)知足 f(x)＝－ f(x＋2)，且 f(－2)＝ f(－ 1)＝－ 1，f(0)＝2，则 f(1)＋f(2)＋ , ＋ f(2013)＋f(2014)＝________．25. 已知函数 f(x)＝x2＋ 2(a－2)x＋4.(1)假如对全部 x∈R，f(x)>0 恒建立，务实数 a 的取值范围；(2)假如对 x∈ [－3，1]， f(x)>0 恒建立，务实数 a 的取值范围．专题训练 3基本初等函数Ⅱ基础过关1. C2. D3. B8. A 9. B 10. D 11. D12. A [ 提示：由条件知对称轴为 x＝2，再由二次函数性质，知 f(4)>f(1)>f(2)．]21 113. B [ 提示：可分别变量来解， 2a ＝ x ＋2 －4，且 x >1，利用图象知，2a>2，即 a>1.]14. A [ 提示：可作出草图 (为分段函数 )，由图易知答案． ]11115. B [ 提示：利用数形联合，当 a ＝4，b ＝1 时，长度最小． ] 16. 17. 418. 2 [ 提示：结构函数 f(x) ＝lgx ＋ x － 3，该函数在 (0，＋∞ )上递加，且f(2)<0，f (3)>0，仅有一个零点在 (2，3)之间． ]4t ，0≤t ≤ 1， (2)当 0≤ t ≤1 时， 4t ≥4，19. 分析： (1)由已知得 y ＝ 1 24（ t －5） ，1<t ≤5.9得 1≤ t ≤1；当 1<t ≤ 5 时，1－ 5) 2≥ 4，得 1＜t ≤11∴ 1≤ t ≤11，即所求时间为 119 4(t9 3 . 93 3 1 32－ 9＝3 (小时 )．20. 分析：由题意知， x ∈ [1，100] ，且 x ∈N * .(1)P(x) ＝R(x)－ C(x)＝3000x －20x 2－(500x ＋ 4000)＝－ 20x 2＋2500x － 4000，2MP(x) ＝ P (x ＋1)－ P(x)＝－ 20(x ＋1) ＋ 2500(x ＋ 1)－ 4000－ ( － 20x 2 ＋ 2500x －2125 24000)＝ 2480－ 40x. (2) P(x)＝－ 20x ＋2500x －4000＝－ 20(x － 2 )＋74125，当 x ＝62 或 x ＝63 时， P(x)的最大值为 74120 (元)．由于 MP(x)＝ 2480－40x 是减函数，所以当 x ＝1 时， MP(x)的最大值为 2440 (元)．所以，收益函数 P(x)与边沿收益函数 MP(x)不拥有同样的最大值．冲剌A 级21. D [ 分析： f(x)在[ a ， b ]上单一且两头异号，则 f(x)在(a ，b )上有且只有一个零点． ]22. B [ 分析：可作出草图，直观判断． ]123. － 3 [ 分析： f log 23 ＝f (－ log23)＝－ f(log 23)＝－ 2log 23＝－ 3.]324. － 1 [ 分析：由 f(x)＝－ f x ＋ 2 ，得 f(x ＋ 3)＝f(x)，知函数 f(x)周期为 3，∴ f(1) ＝ f(－ 2)＝－ 1，∴ f(2)＝ f (－1)＝－ 1， f (3)＝ f(0)＝ 2，∴ f(1)＋ f(2)＋, ＋ f (2013)＋ f (2014)＝671×[f （1）＋ f （2）＋ f (3)]＋ f(1)＝f(1)＝－ 1.] 25.(2)分析： (1) ＝4(a －2)2－16<0? 0<a<4. －（ a －2）<－3， －3≤－（ a －2）≤ 1， 或 f （－ 3）>0 <0－（ a －2）>1， 或 f （1）>0，解得a ∈?或 1≤ a<4 1 或－ 2<a<1，∴ a 的取值范围为 1(－2，4)．。
2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用1.(2014·辽宁高考)已知a ＝132,b ＝log 213,c ＝log 1213,则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a解析：选C a ＝132∈(0,1),b ＝log 213∈(－∞,0),c ＝log 1213＝log 23∈(1,＋∞),所以c >a >b .2.(2014·北京高考)已知函数f (x )＝6x－log 2x ,在下列区间中,包含 f (x )零点的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0,f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.3.(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数f (x )＝x a (x >0),g (x )＝log a x 的图象可能是( )A B C D解析：选D 根据对数函数性质知,a >0,所以幂函数是增函数,排除A(利用(1,1)点也可以排除)；选项B 从对数函数图象看a <1,与幂函数图象矛盾；选项C 从对数函数图象看a >1,与幂函数图象矛盾,故选D.4.(2014·北京高考)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足的函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ,b ,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟解析：选B 由实验数据和函数模型知,二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5,所以当t ＝3.75分钟时,可食用率p 最大.故选B.5.(2014·天津高考)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |,x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________.解析：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象,如图,令g (x )＝a |x －1|,则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点,显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a －x 消去y ,得x 2＋(3－a )x ＋a＝0,由Δ>0,解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a －x消去y ,得x 2＋(3＋a )x －a ＝0,由Δ>0,解得a >－1(舍去)或a <－9(舍去).综上,实数a 的取值范围为(0,1)∪(9,＋∞). 答案：(0,1)∪(9,＋∞)1.指数与对数式的七个运算公式(1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(4)log a MN＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog b a(a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,M >0,N >0).指数函数对数函数图象单调性0<a <1时,在R 上单调递减；a >1时,在R 上单调递增a >1时,在(0,＋∞)上单调递增；0<a <1时,在(0,＋∞)上单调递减函数值性质 0<a <1,当x >0时,0<y <1；当x <0时,y >1 0<a <1,当x >1时,y ＜0；当0<x <1时,y >0a >1,当x >0时,y >1；当x <0时,0<y <1a >1,当x >1时,y ＞0；当0<x <1时,y <0 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根,即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.1.(2014·福建高考)若函数 y ＝log a x (a >0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 ( )A B C D2.(2014·涡阳模拟)设a ＝e 0.3,b ＝0.92,c ＝log π0.87,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <b <a C.c <a <b D.b <c <a3.已知函数f (x )＝ln x ,x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫0，1e ,且x 1<x 2,则下列结论中正确的是( ) A.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0B.f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<fx 1＋fx 22C.x 1f (x 2)>x 2f (x 1)D.x 2f (x 2)>x 1f (x 1)[自主解答] 1.因为函数y ＝log a x 过点(3,1),所以1＝log a 3,解得a ＝3.y ＝3－x 不可能过点(1,3),排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1),排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3,－1),排除D,故选B.2.把a 看成函数y ＝e x 当x ＝0.3时的函数值,因为e>1,0.3>0,所以a >1；把b 看成函数y ＝0.9x 当x ＝2时的函数值,因为0<0.9<1,2>0,所以0<b <1；把c 看成函数y ＝log π x 当x ＝0.87时的函数值,因为π>1,0<0.87<1,所以c <0.综上,c <b <a ,故选B.3.选项A,由于函数在区间上为增函数,由单调性定义可知(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0,故A 错误；选项B,由函数图象的凸凹性可知f x 1＋x 22>fx 1＋fx 22,故B 错误；选项C,令g (x )＝fx x ＝ln xx,由于g ′(x )＝1－ln x x2,当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时,g ′(x )>0,即函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上为增函数,故x 1<x 2⇒g (x 1)<g (x 2)⇒fx 1x 1<fx 2x 2⇒x 2f (x 1)<x 1f (x 2),故C 正确；同理,令h (x )＝xf (x )＝x ln x ,可知x 1f (x 1)>x 2f (x 2),D 错误.[答案] 1.B 2.B 3.C互动探究将题3中“f (x )＝ln x ,x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎫0，1e ”改为“f (x )＝e x ”,如何选择？ 解析：选B 因为f (x )＝e x为增函数,所以(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0,故A 错误；由于函数f (x )＝e x 的凸凹性可知f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<fx 1＋fx 22,故B 正确；令g (x )＝e x x ,则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e xx －x 2,所以g (x )＝e xx 在(－∞,0),(0,1)上为减函数,在(1,＋∞)上为增函数,故C 错误；同理,令h (x )＝x e x ,则h ′(x )＝e x＋x e x ＝(1＋x )e x ,所以h (x )＝x e x 在(－∞,－1)上为减函数,在(－1,＋∞)上为增函数,故D 错误.1.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.2.解决含参数的指数、对数问题应注意的问题 对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求解.1.(2014·南安模拟)已知函数f (x )＝3x ＋2x 的零点所在的一个区间是( ) A.(－2,－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2)2.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2≤0，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.3.已知函数f (x )＝|x －2|＋1,g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是________.[自主解答] 1.f (－1)＝－53<0,f (0)＝1>0,所以零点所在的一个区间是(－1,0).2.当x ≤0时,令x 2－2＝0,解得x ＝－2；当x >0时,f (x )＝2x －6＋ln x ,因为f ′(x )＝2＋1x>0,所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0,＋∞)上单调递增,因为f (1)＝2－6＋ln 1＝－4<0,f (3)＝ln 3>0,所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0,＋∞)有且只有一个零点,综上,函数f (x )的零点个数为2.3.在同一坐标系中分别画出函数f (x ),g (x )的图象如图所示,方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意,故12<k <1.[答案] 1.B 2.2 3.⎝⎛⎭⎫12，1判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0,则方程解的个数即为零点的个数. (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ,b ]上是连续的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.热点三函数的实际应用命题角度 以实际生活为背景,通过巧妙设计和整合命制,常与函数解析式的求法、函数最值、不等式、导数等交汇命题,多以求最值为高考考向.[例1] “环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2 m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x 的取值范围(运算中2取1.4)；(2)若中间草地的造价为a 元/m 2,四个花坛的造价为433ax 元/m 2,其余区域的造价为12a11元/m 2,当x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低？[师生共研] (1)由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，即9≤x ≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y 元,则由题意得y ＝a ×π×⎝⎛⎭⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×⎣⎡⎦⎤104－π×⎝⎛⎭⎫15x 22－πx 2＝a 11π－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104,令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2,则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝⎛⎭⎫125x 2－x ＋6,由f ′(x )＝0,解得x ＝10或x ＝15,列表如下：所以当x ＝10时,y 取最小值.故当x ＝10时,可使“环岛”的整体造价最低.解决函数应用题的四步曲(1)阅读理解：读懂题意,弄清题中出现的量及其数学含义.(2)分析建模：分析题目中的量与量之间的关系,同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型,以确定函数模型的种类,建立目标函数,将实际问题转化为数学问题.(3)数学求解：利用相关的函数知识求解计算.(4)还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中进行总结作答.1.某企业为打入国际市场,决定从A ,B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产A 产品的原材料价格决定,预计m ∈[6,8].另外,年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A ,B 两种产品的年利润y 1,y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划. 解：(1)由年销售量为x 件,按利润的计算公式,有生产A ,B 两产品的年利润y 1,y 2分别为y 1＝10x －(20＋mx )＝(10－m )x －20(x ∈N,0≤x ≤200),y 2＝18x －(8x ＋40)－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40(x ∈N,0≤x ≤120).(2)因为6≤m ≤8,所以10－m >0,函数y 1＝(10－m )x －20在[0,200]上是增函数,所以当x ＝200时,生产A 产品有最大利润,且y 1max ＝(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元).又y 2＝－0.05(x －100)2＋460(x ∈N,0≤x ≤120),所以当x ＝100时,生产B 产品有最大利润,且y 2max ＝460(万美元). 因为y 1max －y 2max ＝1 980－200m －460＝1 520－200m ⎩⎪⎨⎪⎧>0，6≤m <7.6，＝0，m ＝7.6，<0，7.6<m ≤8.所以当6≤m <7.6时,可投资生产A 产品200件；当m ＝7.6时,生产A 产品或生产B 产品均可(投资生产A 产品200件或生产B 产品100件)；当7.6<m ≤8时,可投资生产B 产品100件.热点四 零点与函数性质的综合问题命题角度此类问题多以零点为载体考查函数与方程间的转化以及函数的图象和性质,且常以创新题的形式出现.[例2] (2014·成都模拟)已知偶函数f (x )满足对任意x ∈R ,均有f (1＋x )＝f (3－x )且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －x 2，x ∈[0，1]，x －1，x ∈，2].若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解,则实数m 的取值范围是________. [师生共研] 由f (1＋x )＝f (3－x )得,函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称,偶函数的图象关于y 轴对称.当m >0时,作出函数f (x )及y ＝x3的图象如下：由图可知,方程3f (x )＝x 恰有5个实数解,则⎩⎨⎧f43，f83，即43<m <83. 同理,当m <0时,可得－83<m <－43.[答案] ⎝⎛⎭⎫－83，－43∪⎝⎛⎭⎫43，83函数与方程的转化类型(1)判断函数零点个数常转化为两函数的图象交点；(2)由函数的零点情况确定参数范围,常转化为利用函数图象求解； (3)方程根的讨论转化为函数的零点问题.2.已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1| x ，x ＝，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1,x 2,x 3,则x 21＋x 22＋x 23等于( )A.13B.2b 2＋2b 2C.5D.3c 2＋2c2解析：选C 作出f (x )的图象,由图知,只有当f (x )＝1时有3个不同的实根；∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1,x 2,x 3,∴必有f (x )＝1,从而x 1＝1,x 2＝2,x 3＝0,故可得x 21＋x 22＋x 23＝5,故选C.3.偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x ),且在x ∈[0,1]时,f (x )＝2x －x 2,若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点,则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1515，33B.⎝⎛⎭⎫35，53 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫115，13解析：选A 因为f (1－x )＝f (1＋x ),所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称,又f (x )是偶函数,所以f (x －1)＝f (1＋x ),即有f (2＋x )＝f (x ),所以f (x )是周期为2的函数.由y ＝2x －x 2,得x 2－2x ＋y 2＝0,即(x －1)2＋y 2＝1,画出函数f (x )和直线y ＝k (x ＋1)的示意图.因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点,所以根据示意图易知1515<k <33.一、选择题1.(2014·天津高考)设 a ＝log 2π,b ＝log 12π,c ＝π－2,则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a解析：选C 利用中间量比较大小.因为a ＝log 2π∈(1,2),b ＝log 12π＜0,c ＝π－2∈(0,1),所以a ＞c ＞b .2.(2014·西安模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数,且当x ∈[－1,1]时,f (x )＝2|x |－1,则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A.9B.10C.11D.12 解析：选B F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数即函数y ＝f (x )与函数y ＝|lg x |图象交点的个数. 3.(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.p ＋q ＋－12C.pqD.p ＋q ＋－1解析：选D 设年平均增长率为x ,原生产总值为a ,则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2,解得x ＝＋p ＋q －1,故选D. 4.(2014·荆门模拟)已知a >b >1,0<x <1,以下结论中成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1a x >⎝⎛⎭⎫1b x B.x a >x b C.log x a >log x b D.log a x >log b x 解析：选D ∵a >b >1,0<x <1,∴0<1a <1b<1,∴⎝⎛⎫1a x <⎝⎛⎫1b x ,故A 不成立；∵a >b >1,0<x <1,∴x a <x b,故B 不成立；∵a >b >1,0<x <1,∴log x a <log x b ,故C 不成立；∵a >b >1,0<x <1,∴log a x >log b x ,故D 成立,故选D.5.(2014·温州模拟)对于函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1,若存在实数x 0,使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立,则实数m 的取值范围是( )A.m ≤12B.m ≥12C.m ≤1D.m ≥1解析：选B 若存在实数x 0,使得f (－x 0)＝－f (x 0),则4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x 0＋1,整理得,2m (2x 0＋2－x 0)＝4x 0＋4－x 0,2m ＝4x 0＋4－x 02x 0＋2－x 0＝()2x 0＋2－x 02－22x 0＋2－x 0＝(2x 0＋2－x 0)－22x 0＋2－x 0,设t ＝2x 0＋2－x 0(t ≥2),则2m ＝t －2t 在[2,＋∞)上为增函数,当t ＝2时,2m ＝1,得m ＝12,所以m ≥12,故选B.6. (2014·湖州模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象,函数g (x )＝e x －f ′(x )的零点所在的区间是(k ,k ＋1)(k ∈Z ),则k 的值为( )A.－1或0B.0C.－1或1D.0或1解析：选C 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 经过点(－1,0),代入得1－a ＋b ＝0,即a ＝b ＋1；并且由f (x )的图象可以知0<f (0)<1,即有0<b <1；从而有1<a ＝b ＋1<2；f ′(x )＝2x ＋a, 所以g (x )＝e x －2x －a ,易知g (x )在区间(－∞,ln 2)上单调递减；在区间(ln 2,＋∞)上单调递增,而g (ln 2)＝2－2ln 2－a <0,所以把0,1,－1分别代入验证k 的值为－1或1.7.(2014·四川高考)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x ),x ∈(－1,1),现有下列命题：①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎫2x1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中所有正确命题的序号是( )A.①②③B.②③C.①③D.①②解析：选A f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x ),故①正确；因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x 1－x ,又当x ∈(－1,1)时,2x 1＋x 2∈(－1,1),所以f ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 2＝ln 1＋2x 1＋x 21－2x 1＋x2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2f (x ),故②正确；当x ∈[0,1)时,|f (x )|≥2|x |⇔f (x )－2x ≥0,令g (x )＝f (x )－2x ＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x (x ∈[0,1)),因为g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x 21－x 2>0,所以g (x )在区间[0,1)上单调递增,g (x )＝f (x )－2x ≥g (0)＝0,即f (x )≥2x ,又f (x )与y ＝2x 都为奇函数,所以|f (x )|≥2|x |成立,故③正确,故选A.8.(2014·南安模拟)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,＋∞),则( )A.f (x 1)<0,f (x 2)<0B.f (x 1)<0,f (x 2)>0C.f (x 1)>0,f (x 2)<0D.f (x 1)>0,f (x 2)>0解析：选B 方程的根与函数的零点的联系为：方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.当x >1时,y ＝11－x是增函数；y ＝2x 也是增函数.所以f (x )是增函数,因为f (x 0)＝0且x 1<x 0,x 2>x 0,所以f (x 1)<0,f (x 2)>0.9.已知关于x 的方程⎝⎛⎭⎫12x ＝1＋lg a1－lg a 有正根,则实数a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝⎛⎭⎫110，10C.⎝⎛⎭⎫110，1 D.(10,＋∞) 解析：选C 令f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ,g (x )＝1＋lg a 1－lg a,由方程⎝⎛⎭⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a 有正根,即f (x ),g (x )的图象在(0,＋∞)上有交点,如图可知0<1＋lg a1－lg a <1,即⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a>0，1＋lg a1－lg a <1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，2lg alg a －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，lg a <0或lg a >1，即－1<lg a <0,则110<a <1.10.(2014·眉山模拟)已知函数f (x )＝|x 3＋a |,a ∈R 在[－1,1]上的最大值为M (a ),若函数g (x )＝M (x )－|x 2＋t |有4个零点,则实数t 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫1，54B.(－∞,－1)C.(－∞,－1)∪⎝⎛⎭⎫1，54 D.(－∞,－1)∪(1,2) 解析：选C 当a ≥0时,M (a )＝1＋a ；当a <0时,M (a )＝1－a ；所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －|x 2＋t |，x <0，1＋x －|x 2＋t |，x ≥0，当t ≥0时,分别作出y ＝|x 2＋t |,y ＝1－x (x <0),y ＝1＋x (x ≥0)的图象如图所示：当t ＝1时,g (x )有三个零点；由x 2＋t ＝1＋x ⇒x 2－x ＋t －1＝0,Δ＝0⇒t ＝54,所以当1<t <54时,g (x )有四个零点；当t <0时,若t ＝－1时,有g (x )三个零点；当t <－1时,g (x )有四个零点.综上,当1<t <54或t <－1时,g (x )有四个零点,选C.二、填空题11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x <0(a ∈R ),若f [f (－1)]＝1,则a ＝________.解析：因为－1<0,所以f (－1)＝2－(－1)＝2.又2>0,所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1,解得a ＝14.答案：1412.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析：当x <1时,由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2,∴x <1；当x ≥1时,由x 13≤2得x ≤8,∴1≤x ≤8.综上,符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞,8] 13.(2014·宿州模拟)已知等式a ln x ＋b ＝ln(x ＋b )对∀x >0恒成立,写出所有满足题设的数对(a ,b )＝________.解析：因为等式a ln x ＋b ＝ln(x ＋b )对∀x >0恒成立,所以ln x a ＋b ＝ln(x ＋b ),所以ln x a ＋ln e b ＝ln(x ＋b ),所以ln(x a e b )＝ln(x ＋b ),所以x a e b＝x ＋b 对∀x >0恒成立.只有满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0时等式才成立,故填(1,0).答案：(1,0) 14.(2014·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________.解析：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点,即函数y ＝f (x ),x ∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象,f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12,观察图象可得0<a <12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 15.(2014·中山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋2x ＋1，－2<x ，ax －3，x 有3个零点,则实数a 的取值范围是________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋2x ＋1，－2<x ，ax －3，x 有3个零点,图象如图：∴a >0且f (x )＝ax 2＋2x ＋1在(－2<x ≤0)上有2个零点, ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －2＋－＋1>0，－2<－1a <0，Δ＝4－4a >0，解得34<a <1. 答案：⎝⎛⎭⎫34，116.设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ,其中c >a >0,c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ,b ,c )|a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长,且a ＝b },则(a ,b ,c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ,b ,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号).①∀x ∈(－∞,1),f (x )>0；②∃x 0∈R ,使ax 0,bx 0,cx 0不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形,则∃x 0∈(1,2),使f (x 0)＝0.解析：(1)由题设f (x )＝0,a ＝b ⇒2a x ＝c x ⇒⎝⎛⎭⎫a c x ＝12, 又a ＋b ≤c ,a ＝b ⇒a c ≤12⇒⎝⎛⎭⎫a c x ≤⎝⎛⎭⎫12x ,x >0,所以12≤⎝⎛⎭⎫12x ⇒0<x ≤1. (2)由题设a ＋b >c ⇒a c ＋b c >1,又0<a c <1,0<b c<1,∀x ∈(－∞,1)⇒⎝⎛⎭⎫a c x >a c ,⎝⎛⎭⎫b c x >b c ⇒⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x >1,即f (x )>0,所以①正确；由(1)可知②正确；由△ABC 为钝角三角形,所以a 2＋b 2<c 2,所以f (2)<0.又a ＋b >c ,所以a c ＋b c>1,所以f (1)>0,由零点存在性定理可知③正确. 答案：(1){x |0<x ≤1} (2)①②③。
三年高考(2015_2017)高考数学试题分项版解析专题03基本初等函数理
专题03 基本初等函数1.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：()()113333x xxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.【考点】函数的性质2.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033（B ）1053 （C ）1073（D ）1093 【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a MM N N-=，log log n a a M n M =. 3.【2016课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c <<（B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质．4. 【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞【答案】C【解析】当1a ≥时，()21af a =>，所以，()()()2f aff a =，即1a >符合题意.当1a <时，()31f a a =-,若()()()2f aff a =，则()1f a ≥，即：2311,3a a -≥≥，所以213a ≤<适合题意综上，的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选C. 【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题. 5.【2015高考新课标2，理5】设函数211l o g (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2l o g 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．【考点定位】分段函数．【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题．6.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）c a b <<（D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.7.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8. 【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=，()f x 的最小值是．【答案】，3-22.【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-.【考点定位】分段函数9.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是. 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 10.【2016高考江苏卷】函数y. 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，考点：函数定义域 【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.11.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数的取值范围是________. 【答案】，(,1)-∞-. 【解析】考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．12.【2015高考福建，理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数的取值范围是．【答案】(1,2]【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()3log a f x x =+（2x >）的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(1,2]． 【考点定位】分段函数求值域．13. 【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=.【答案】32-【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩ ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩ ，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，所以32a b +=-. 【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.14.【2015高考浙江，理18】已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当，满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤， |1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2ax =-，由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由 (1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b a b a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为..【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.。
2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题第二章函数的概念与基本初等函数I函数与方程
精品题库试题理数1.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)1.B1.f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则k OA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,<k<1.2.(2014课表全国Ⅰ，11，5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)2.C2.(1)当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.(2)当a≠0时, f '(x)=3ax2-6x,令f '(x)=0,解得x1=0,x2=.当a>0时,>0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)与上为增函数,在上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.当a<0时,<0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在和(0,+∞)上为减函数,在上为增函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2,又因为a<0,故a的取值范围为(-∞,-2).选C.3.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，7）已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）3. C3. , 当或时, 可得; 当时,, 所以函数的极小值为, 极大值为, 由题意可得, 解得.4. (2014山西太原高三模拟考试（一），12) 已知方程在（0，+∞）上有两个不同的解，（＜），则下面结论正确的是( )4. C4. 由题意可得上有两个不同的解，（＜），结合数形结合可得直线与曲线相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得2故选C.5. (2014福州高中毕业班质量检测, 9) 若定义在上的函数满足,, 且当时, 其图象是四分之一圆(如图所示), 则函数在区间上的零点个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 25. B5. 因为定义在上的函数满足, ,所以函数是偶函数，且关于对称，又因为函数的定义域是, 所以，令得，由表中数据可知的单调减区间为，单调增区间为，当时，函数的极小值为，所以在时取得极大值，且函数在上是增函数，所以当时由3个交点；时只有一个交点，故函数在区间上的零点个数为4.6. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11) 已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.6. B6. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选B.7. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 8) 下列命题中假命题的是（）A. ∃，，使B. ，函数都不是偶函数C. ∃，使D. ∃＞0, 函数有零点7.B7.当时，为偶函数，所以是假命题. , , 显然为真.8. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，8) 已知函数的零点分别为的大小关系是（）A. B. C. D.8.A8. 由已知分别是，，的根, 作出，，，的图像，如图所示，由图像可得.9. (2014广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.A9. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。
2015届高考数学二轮复习 专题1 第3讲 基本初等函数Ⅰ素能训练(文、理)
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]B
[解析]由y＝2x为增函数知，2a>2b⇔a>b；由y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数知，log2a>log2b⇔a>b>0，∴a>b⇒/a>b>0，但a>b>0⇒a>b，故选B.
(理)(2014·陕西文，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是()
2015届高考数学二轮复习专题1第3讲基本初等函数Ⅰ素能训练（文、理）
一、选择题
1．(2014·江西文，4)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝()
A.B.
C．1D．2
[答案]A
[解析]∵f(－1)＝2－(－1)＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，∴a＝.
2．(文)(2013·江西八校联考)已知实数a、b，则“2a>2b”是“log2a>log2b”的()
A．x3<x1<x2B．x1<x3<x2
C．x2<x3<x1D．x1<x2<x3
[答案]D
[解析]x1＝－2x1<0，若x>1，则g(x)＝x＋lnx>1，∴0<x2<1，x3＝1，∴x1<x2<x3.
12．(文)(2013·榆林一中模拟)命题p：函数f(x)＝ax－2(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，－2)；命题q：函数f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零点．
15．(2014·中原名校第二次联考)函数y＝f(x＋)为定义在R上的偶函数，且当x≥时，f(x)＝()x＋sinx，则下列选项正确的是()
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解析：选 B 由实验数据和函数模型知,二次函数 p＝at2＋bt＋c 的 图 象 过 点 (3,0.7),(4,0.8),(5,0.5), 分 别 代 入 解 析 式 , 得
00..78＝ ＝91a6a＋＋3b4＋b＋c，c， 0.5＝25a＋5b＋c，
解得ab＝＝－ 1.50，.2， c＝－2.
综上,实数 a 的取值范围为(0,1)∪(9,＋∞). 答案：(0,1)∪(9,＋∞)
高考专题辅导与测试·数学
考评项目赋标准分，对照考评内容和 考评办 法对考 评项目 进行考 评，评 出各考 评项目 的考评 实际得 分，考 评类目 下各考 评项目 考评实 际得分 之和为 该考评 类目的 考评实 际得分
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,4)
D.(4,＋∞)
解析：选 C 因为 f(1)＝6－log21＝6>0,f(2)＝3－log22＝2>0,f(4) ＝32－log24＝－12<0,所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4),故选 C.
高考专题辅导与测试·数学
考评项目赋标准分，对照考评内容和 考评办 法对考 评项目 进行考 评，评 出各考 评项目 的考评 实际得 分，考 评类目 下各考 评项目 考评实 际得分 之和为 该考评 类目的 考评实 际得分
所以 p＝－0.2t2＋1.5t－2＝
－0.2(t－3.75)2＋0.812 5,所以当 t＝3.75 分钟时,可食用率 p 最大.故选
B.
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考评项目赋标准分，对照考评内容和 考评办 法对考 评项目 进行考 评，评 出各考 评项目 的考评 实际得 分，考 评类目 下各考 评项目 考评实 际得分 之和为 该考评 类目的 考评实 际得分
【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
第5讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用1．(2014·某某高考)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x【解析】 ∵a x ＋y ＝a x ·a y，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )， 所以可选定C ，D 项，再根据为单调递增函数，故选D. 【答案】 D2．(2014·某某高考)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝2－13＝1213，∴0<a <1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213>log 1212＝1，∴b <a <c .故选C. 【答案】 C3．(2014·某某高考)若函数y ＝log a x ( a ＞0，且a ≠1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】 因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，y ＝3－x不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除C; y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1), 排除D ，故选B.【答案】 B4．(2014·某某高考)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.p ＋1q ＋1－12C.pqD.p ＋1q ＋1－1【解析】 由题意，设年平均增长率为x则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， 解得x ＝1＋p 1＋q －1. 【答案】 D5．(2014·高考)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)【解析】 因为f (2)＝62－log 22＝3－1＝2＞0f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12＜0，故选C.【答案】 C从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．基本初等函数的图象、性质及应用①基本初等函数的图象、性质及应用是高考命题的热点内容之一，此类题命题背景宽，且常考常新，是近几年高考的一个重要考向．②多以选择题、填空题形式出现，考查学生的运算、推理、识别图象的能力，既可命制低、中档题，也可命制高档题．2．函数零点的确定及应用①函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查的内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点．常以基本初等函数(特别是幂函数与指数函数、对数函数、三角函数的结合)为载体，考查确定函数零点的个数和存在区间，或应用零点存在情况求参数的值(或取值X 围)．②试题主要以选择题、填空题为主，属低、中档题． 3．函数的新信息题①此类问题命题以函数的图象与性质为背景创设新情景，通常从定义的新运算、新概念或新性质入手，考查函数的图象与单调性、最值(值域)以及零点等函数性质，常与方程、不等式问题结合，形成知识的交汇问题，成为近几年高考的一个亮点．②试题以选择题、填空题为主，考查学生的信息迁移及分析问题、解决问题的能力，属中、高档题.基本初等函数的图象、性质及应用【例1】 (1)(2014·某某高考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1(2)(2014·某某高考)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．(3)设a ＝log 2 π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a【解析】 (1)由图象知：函数单调递减， ∴0＜a ＜1.又图象向左平移与x 轴交点在(0,1)间， ∴0＜c ＜1，故选D.(2)依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝(log 2x ＋12)2－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝12时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.(3)log 2π＞1，log 12π＜0,0＜π－2＜1，∴a ＞c ＞b ，故选C.【答案】 (1)D (2)－14 (3)C【规律感悟】 1.对于含a x 、a 2x 、log a x 的表达式，通常可以令t ＝a x 或t ＝log a x进行换元，但换元过程中一定要注意新元的X 围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系．2．比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．[创新预测]1．(1)(2014·某某高考)(1681)－34＋log 错误!＋log 错误!＝________.【解析】 (1681)－34＋log 354＋log 345＝(23)－3＋log 13＝278.【答案】 278(2)(预测题)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________．【解析】 因为x ∈[－3,2]，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.则y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 函数零点的确定及应用【例2】 (1)(2014·某某高考)函数f (x )＝错误!的零点个数是________．(2)(2014·某某高考)已知函数f (x )＝错误!若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值X 围为________．【解析】 (1)当x ≤0时，由x 2－2＝0，解得x ＝－2或x ＝2(舍)，此时f (x )有一个零点，当x ＞0时，方程2x －6＋ln x ＝0等价于ln x ＝6－2x ，分别画出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x (x ＞0)的图象，两图象有一个交点，此时原函数f (x )有一个零点，综上，所求函数f (x )有两个零点． (2)原问题等价于方程f (x )＝a |x |恰有4个根， 作出函数y ＝f (x )与y ＝a |x |的图象 如图当x ＜0时，由－(x 2＋5x ＋4)＝－ax得x 2＋(5－a )x ＋4＝0 由Δ＝0解之得 a ＝1或a ＝9(舍)结合图象知a ∈(1,2)． 【答案】 (1)2 (2)(1,2)【规律感悟】 1.确定函数零点存在区间及个数的“两个”方法： (1)利用零点存在的判定定理．(2)利用数形结合法．当方程两端所对应的函数类型不同或对应的函数解析式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时，常用数形结合法求解．2．应用函数零点的情况求参数值或取值X 围的“三个”方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．[创新预测]2．(1)(2014·潍坊联考)函数＝|log 2x |－(12)x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 令y ＝|log 2x |－(12)x ＝0，即|log 2x |＝(12)x，在同一坐标系下作出y ＝|log 2x |和y ＝(12)2的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．【答案】 C(2)(2014·某某模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log 4|x |至少有6个零点，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪(5，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪(5,7) 【解析】 由f (x ＋1)＝－f (x )得，f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期是2，由g (x )＝f (x )－log a |x |＝0.得f (x )＝log a |x |，分别作出函数y ＝f (x )， y ＝m (x )＝log a |x |的图象，因为m (5)＝log a |5|＝m (－5)．所以若a >1，由图象可知要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则满足m (5)＝log a 5<1，此时a >5，若0<a <1，由图象可知要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则满足m (－5)＝log a 5≥－1，此时0<a ≤15，所以a 的取值X围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)．【答案】 A函数的实际应用题【例3】 (2014·某某三模测试)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损． 【规律感悟】 1.解答函数应用题的思维流程：实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型――→数学推演数学结果――→ 还原 实际结果,答 2．解答函数应用题的关键：将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．3．对函数模型求最值的常用方法： 单调性法、基本不等式法及导数法．[创新预测]3．某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投定，预计m ∈[6,8]．另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划．【解】 (1)由年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A ，B 两产品的年利润y 1，y 2分别为y 1＝10x －(20＋mx )＝(10－m )x －20(x ∈N,0≤x ≤200)，y 2＝18x －(8x ＋40)－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40(x ∈N,0≤x ≤120)．(2)因为6≤m ≤8，所以10－m >0，函数y 1＝(10－m )x －20在[0,200]上是增函数，所以当x ＝200时，生产A 产品有最大利润，且y 1max ＝(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)．又y2＝－0.05(x－100)2＋460(x∈N,0≤x≤120)，所以当x＝100时，生产B产品有最大利润，且y2max＝460(万美元)．因为y1max－y2max＝1 980－200m－460＝1 520－200m错误!所以当6≤m<7.6时，可投资生产A产品200件；当m＝7.6时，生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件)；当7.6<m≤8时，可投资生产B产品100件.数学模型的建立与应用将信息资料进行归纳整理，将实际问题抽象为数学问题，用数学语言正确描述，都是应用意识的具体体现．而应用的过程需要依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，从而完成数学模型的构造，并加以解决．【典例】(2014·高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4.00分钟 D．4.25分钟【解析】由题知0.7＝9a＋3b＋c，0．8＝16a＋4b＋c，0．5＝25a＋5b＋，c解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.0，所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0，当t＝3.75时p有最大值，故选B.【答案】 B【规律感悟】应用意识的考查反映在函数模型上，主要考查最值问题，如二次函数的最值、基本不等式与最值等．这部分内容试题背景新颖，常与实际生活、社会热点相关联．熟练掌握各种基本初等函数模型是解决实际应用问题、进行数学建模的基础，在建模时要注意自变量的实际意义对问题的影响，并选择适宜的方法进行求解．建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1．(2014·某某高考)“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 ln (x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x <0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件．【答案】 B2．(2014·高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)【解析】 对于A ，y ＝x ＋1因为y ′＝12x ＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，所以y ＝x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，故选A.【答案】 A3．(2014·某某高考)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln (x 2＋1)>ln (y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3【解析】 ∵a x <a y且0<a <1， ∴x >y (x ，y ∈R )．而此时x 2不一定大于y 2，所以x 2＋1不一定大于y 2＋1，因此A ，B 都不对，显然C 不对．故选D.【答案】 D4．(预测题)已知函数f (x )＝错误!则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．【答案】 C5．(2014·某某中学二调)已知函数f (x )＝错误!，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值X 围是(注：e 为自然对数的底数)( )A ．(0，1e )B ．[14，1e )C ．(0，14)D ．[14，e)【解析】 ∵y ＝ln x (x >1)，∴y ′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，∴y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，若其与y ＝ax 相同，则a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，∴x 0＝e ，∴a ＝1e.当直线y ＝ax 与y ＝14x ＋1平行时，直线为y ＝14x ，当x ＝1时，ln x －14x ＝ln 1－14<0，当x ＝e时，ln x －14x ＝ln e －14e>0，当x ＝e 3时，ln x －14x ＝ln e 3－14e 3<0，∴y ＝ln x 与y ＝14x 的图象在(1，e)，(e ，e 3)上各有1个交点，∴直线y ＝ax 在y ＝14x 和y ＝1ex 之间时，与函数f (x )的图象有2个交点，a ∈[14，1e)，故选B.【答案】 B 二、填空题6．(2014·某某高考)已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.【解析】 ∵4a ＝22a，∴22a＝2,2a ＝1，∴a ＝12.∵lg x ＝12，∴x ＝10.【答案】 107．(预测题)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.【解析】 ∵2<a <3<b <4，∴f (1)＝log a 1＋1－b ＝1－b <0，f (2)＝log a 2＋2－b <0，f (3)＝log a 3＋3－b ， 又∵log a 3>1，－1<3－b <0，∴f (3)>0， 即f (2)f (3)<0，故x 0∈(2,3)，即n ＝2. 【答案】 2 8.(2013·某某高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．【解析】 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．【答案】 20 三、解答题9．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝错误!设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的值域；(2)若方程f (x )＝c 恰有一个、两个、三个实根，试分别求出实数c 的取值X 围．【解】 (1)当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2－2；当(x 2－2)－(x －x 2)＞1，即x ＞32，或x ＜－1时，f (x )＝x －x 2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， －1≤x ≤32，x －x 2，x ＞32或x ＜－1.当－1≤x ≤32时，－2≤f (x )≤14；当x ＜－1或x ＞32时，f (x )＜－34；∴函数f (x )的值域为(－∞，14]．(2)画出函数y ＝f (x )的图象(如下图)，知：①当c ∈[－34，14]时有一个实根，②当c ∈(－∞，－2]∪(－1，－34)时有两个实根，③当c ∈(－2，－1]时有三个实根．10．(2014·某某某某一模)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【解】 (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元．。
2015年高考数学(理)核按钮：第二章《基本初等函数(Ⅰ)》(含解析)
第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用§2.1函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).从近几年高考来看，函数的概念、分段函数的解析式和求函数值是重点考查的内容之一，主要以选择、填空题的形式出现.1.函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.2.函数的表示方法(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法.3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.5.映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.6.映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．.7.复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.【自查自纠】1.唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2.(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3.(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5.任意一个唯一确定的6.(1)映射(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sin x B．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin xx解：函数y＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，列判断正确的是．都表示映射，都表示y 是x 的函数 ．仅③表示y 是x 的函数 ．仅④表示y 是x 的函数 ．都不能表示y 是x 的函数根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域________________.依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0， 解得－4≤1.故填[－4，0)∪(0，1]．规定记号“*”表示一种运算，且a *b ＝ab ，a b 是正实数，已知1*k ＝3.正实数k 的值为____________；在(1)的条件下，函数f (x )＝k *x 的值域是___________.∵1*k ＝k ＋k ＋1＝3，∴k ＝1；k *x ＝1*x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>1，∴函数f (x )＝k *x 的值域是．故填1；(1，＋∞)．________.①P ＝Z 素取绝对值与集合②P ＝{→y ＝x 2 ①A ＝R ②A ＝⎩⎨⎧a ：a →b ， 相等的函数是A ．g (x一函数的是(A．f(x)＝B．f(x)＝的定义域.(2)若函数的定义域求函数f(x)的定义域(2)已知函数的定义域.解：(1)∵(1)y＝11(3)y＝2，x ＜－12，，－12≤x ≤4，＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是求函数值域的常用方法：①单调性法，(2)；③分离常数法，如(包括代数换元与三角换元⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(5)，(6))，其解法要针对具体题目可以将二元函数化为一元函数求值只能用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋； (2)f (x )＝解：(1)函数的定义域为和y ＝(1)已知；(2)已知(3)已知，求f(x)(2)已知2x＋17，求(3)已知1－x），－1）－f ________.解：∵x>02x，x＞012（－x），范围是(A．(－1(a )＞f (－a )，则有由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log ）＞log 2（－a ）⇒⎩⎪⎨⎪⎧）＞0.或－1＜a ＜0.故选类型七 创新问题对实数a 与b ，定义运算a －b ≤1a －b >1.若函数y ＝f c 的取值范围是由图可知，要使y ＝f ()x 与y ＝c 的图象有两个交的活动范围是在l 1与l 2之间， a －b ）2)A ．f (x )＝§2.2函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.掌握简单函数单调性的判断和证明方法.3.能将函数单调性、最大(小)值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.函数的单调性、最值一直是高考的热点.1.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的.2.函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值.【自查自纠】1.(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2.(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1C．y＝⎝⎛⎭⎫12xD．y＝x＋1x解：易知选项中4个函数均在区间(0，＋∞)上有意义，由y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)可知：y ＝ln(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数．故选A.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43C.⎣⎡⎭⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________.解：f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.∵u＝2x＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，且u∈(0，＋∞)，y＝log5u在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增．故填⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.(2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________.解：图象法，根据函数f(x)＝e|x-a|＝⎩⎪⎨⎪⎧e x-a，x≥a，e-x+a，x＜a.的图象如图所示，由图象知当为增函数，而已知函数上为增函数，所以a的取值范围为判断函数的单调性，求函数的单调区间2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－＋3；②y＝1x＋2；③y＝x①依题意，可得＝－x2＋2x＋3＝－(＝－x2－2x＋3＝－由二次函数的图象知，函数y＝－上是增函数，在[y＝－x2＋2|x|＋1]；单调减区间为0，得x≥2或x≤，则y＝1－u，减的是________①f(x)＝③f(x)＝上是单调增函数，求实数解：设是单调增函数．在区间[2解：设假设符合条件的当a>1时，由复合函数的单调性知，只需y)＝f(x＋(1)求证：(2)求f(∞)，且对一切时，有(1)求f(1)(2)判断－1)＜0，f (11)＝f (3)＞(80)＜f (11)，故选D .若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区a ＝____________.函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知6. (3)＝0⇒a ＝－6.故填－若函数f (x )＝a x (a >0，，最小值为m ，且函数增函数.§2.3函数的奇偶性与周期性了解函数奇偶性的含义.在高考中，函数的奇偶性、周期性常与函数的其他性质结合在一起命题，综合考查学生对函数基本概念及性质的理解，题型以选择、填空为主.1.奇偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称.3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即定义域关于是一个函数具有奇偶性的条件.4.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为；(2)若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为.6.奇偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝.7.函数的对称性如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b ＋x)，那么函数的图象有对称中心.8.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T ＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同).(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a).(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.【自查自纠】1.(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2.y轴原点3.原点对称原点对称必要不充分4.(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5.(1)增(减)函数(2)减(增)函数6.奇偶偶偶奇7.x＝a＋b2⎝⎛⎭⎫a＋b2，0(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是() A．4 B．3 C．2 D．1解：易知函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，故选C.(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 D．2解：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.(2013·东北三校联考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1 C．－2 D．2解：∵函数f(x)的周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.故选A.设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝.解：令g(x)＝x，h(x)＝e x＋a e－x，因为函数g(x)(1)f(x)＝(2)f(x)＝，∴－2≤x≤2且x≠0定义域关于原点对称．偶性：(1)f(x)＝(2)f(x)＝(1)求证：(2)若f(1)(3)若当f(x)的解析式称，且当x∈x).解：由题意知函数期的周期函数．所以先求出一个周期内的表达式，然2]上单调递减，若值范围是________________解：∵∴f(1－－1，1)上又是减函数，且满足的取值范围为解：由奇函数的性质得＋x)＝f(5－2014，A．808解：∵数，且f(2)＝成立，则A．4024解：函数是定义在R 上的偶函数，且满足：；②当0≤x ≤1时，是否为周期函数；.）＝f （2－x ），）＝f （－x ） ⇒x )是周期为2的周期函数．1.5)＝f (1.5)＝f (2－x )的定义域为(－2，的定义域；为奇函数，并且在定义域上单调递减，的解集.由题意可知，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52，的偶函数，当§2.4 二次函数二次函数虽属于初中内容，在考试大纲中也没有明确要求，但二次函数、一元二次方程和一元二次不等式又是高考的热点内容之一，因此，二次函数的重要性在于它的工具性和基础性，从题型上看，选择、填空、大题都有.掌握好二次函数的关键是掌握其图象，记住它的图象，其性质就很容易掌握.1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0). 2.二次函数的图象与性质(1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：①对称轴：x ＝ ； ②顶点坐标： ；③开口方向：a ＞0时，开口 ，a ＜0时，开口 ；④值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ；⑤单调性：a ＞0时，f (x )在 上是减函数，在 上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上是 ，在⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞上是____________. (2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的 ，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的 .3.二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.4.一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关向下④⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a⑤⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎫－b2a，＋∞增函数减函数(2)根端点值3.端点顶点函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立．故选A.(2013·重庆)()3－a()a＋6()－6≤a≤3的最大值为()A．9 B.92C．3 D.322解：（3－a）（a＋6）＝－⎝⎛⎭⎫a＋322＋814≤92，当a＝－32时，取等号．故选B.(也可用基本不等式求解)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解：A选项中，由于二次函数图象开口向下，所以a<0，且函数与y轴交点在y轴负半轴，所以c<0，又abc>0，所以b>0，函数的对称轴x＝－b2a>0，显然A不正确；B选项中，a<0，c>0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a<0，所以B不正确；C选项中，a>0，c<0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a>0，所以C错．故选D.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是.解：m＝0时，函数在给定区间上是增函数；m≠0时函数是二次函数，由题知m＞0，对称轴为x＝－12m≤－2，∴0＜m≤14，综上0≤m≤14.故填⎣⎡⎦⎤0，14.(2012·江苏改编)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.解：由条件设f(x)－c＝(x－m)(x－m－6)，∴f(x)＝x2－(2m＋6)x＋m(m＋6)＋c.由于f(x)的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴(2m＋6)2－4[m(m＋6)＋c]＝0，解得c＝9.故填9.类型一求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，∴m＝12，又根据题意，函数有最大值为8，∴n＝8，∴f(x)＝a⎝⎛⎭⎫x－122＋8.∵f(2)＝－1，即a⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4⎝⎛⎭⎫x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.⎭⎫32－x 对的两实根之差的绝对值等于析式.解：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， >0，c <0，b 2－4ac >0，图象开口向上，在y 轴上截距为负，且过故选A.【评析】a 决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴，再结合题设条件就不难解答此题了．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( )解：抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点排除A ，又直线与抛物线y ＝ax 2＋bx 都过点⎝⎛⎭⎫－ba ，0，排除故选D.类型三 二次函数的最值(2013·济南模拟)已知f (x )＝ax (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值g (a ).解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴g (a )＝f (x )min ＝f (1)＝－2. 当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口方向向上，且其对称轴为x ＝1a .当0＜1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对上有最小值解：f(x)①当t≤1②当t>1(1)若方程有两根，其中一根在区间另一根在区间(2)若方程两根均在区间1<0，2>0，2<0，5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－m∈m<－m>－的取值范围为⎩⎨⎧m|－56＜m＜－轴交点落在区间1>0，2>0，4（2m＋1）≥0，≤1－2，∴－12<的取值范围为⎩⎨⎧m|－12＜m≤1一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布，关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意二次函数的对称轴及2012·郑州模拟)已知二次函数bx＋c(b，＋b＝0的两个实数根分别在区间内，求实数解：由题意知2tx＋2t＋§2.5 基本初等函数(Ⅰ)1. 指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型. 2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，10，12的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1).3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.指数函数、对数函数在高考中属常考内容.以考查指数函数、对数函数的图象、性质为主，性质又以单调性为主，有时在大题中与其他函数混合出现，一般用导数方法解决.高考中常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质，题目多以选择填空题的形式 出现.(一)指数函数 1. 根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 .这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 .③负数没有偶次方根.④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 . (2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 .(3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝ ； n 为偶数时，na n ＝ . 2. 幂的有关概念及性质 (1)正整数指数幂：a n ＝(n ∈N *).(2)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (3)负整数指数幂：a -n ＝ (a ≠0，n ∈N *). (4)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(5)负分数指数幂：a -m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(6)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂.(7)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝ （a ＞0，b >0，r ∈Q ）.注：无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.3. 指数函数的图象及性质定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数图象a ＞10＜a ＜1定义域 __________ 值域 __________ 性 质过定点__________在R 上是 __________在R 上是 __________位长度，所得图象与曲线⎛ _________(2)0.75－1614.(1)y＝⎝⎛(3)y＝2解：(1)(1)y＝82(3)y＝⎝⎛1 2解：(1)因为列五个关系：①＜a＜0)A．1个与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的程度，也就是函数f(x)增(减)的快慢．2013·合肥模拟)函数f(x)＝如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是)＜0＞0，b＞0，b＜0由图象知f(x)是减函数，∴0＜a＜轴的截距小于1可知a－b＜1，即－类型四指数函数的综合问题已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x，x∈[－＝f 2(x)－x)＋3的最小值为h(a).(1)若f(x(2)若2t f的取值范围解：(1)当(1)log535(2)a log(3)(log2(1)(lg2)2(2)(log32(3)lg600lg10，c＝A．c>b C．a>c 解：a＝-12，则(A．x＜yC．z＜y解：由对数与指数性质知(1)若f((2)若函数(3)若函数的取值范围；x＋3).(1)若f(1)(2)是否存在实数求出a的值；若不存在，说明理由a≠1).f(x)－f⎝⎛(1)求f(x(2)若方程图象，已知，C2，C3数形结合法)：如图，作直线的图象与直线x＝t的交点为的大小与图象交点的“高低特殊值法)：当x＝2时，，y4＝2－1＝12，故填3，2，12，－利用幂函数的性质比较大小，往往伴解：因为幂函数0.7＜1，所以1.3x是增函数，并且C ．3 ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛23，13，即α＝log 2313，β2313＝1.故选A.的方程a ·4x ＋b ·2x ＋异号，则下列结论中正确的是．此方程无实根．此方程有两个互异的负实根 ．此方程有两个异号实根 ．此方程仅有一个实根，则at 2＋bt ＋c ＝t 2＝－b a ＜0，t 1t 2＝2x 单调递增，所以只有一正根，故选D .已知函数f (x )＝lg x ， .(2x ＋t )(t§2.6函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.从近两年的高考试题来看，函数的零点，方程根的问题是热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题.预计今后高考仍有可能以函数的零点，方程根的存在性问题为主要考点，并结合考查相应函数的图象和性质.1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) .2.函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.3.二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4考点梳理4)【自查自纠】1.(1)f(x)＝0(2)有交点有零点2.f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解：∵f(－1)＝12－3<0，f(0)＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，因此，函数f(x)在区间(－1，0)内有零点．故选B.(2012·湖北)函数f(x)＝x cos x2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．7解：若f(x)＝0，则x＝0或cos x2＝0，x2＝kπ＋π2，k∈Z，又x∈[0，4]，k＝0，1，2，3，4，所以f(x)共有6个零点．故选C.已知a是函数f(x)＝ln x－log12x的零点，若0＜x0＜a，则()A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解：因为f(x)＝ln x－log12x在(0，＋∞)上是增函数，所以当0＜x0＜a时，有f(x0)＜f(a)＝0，故选C.已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为.解：⎩⎪⎨⎪⎧a>0，2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a .可得a＝－34.故填－34.方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解：令函数f(x)＝ln x＋2x－8，∴f′(x)＝1x＋2＞0(x＞0)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－6＜0，f(2)＝ln2－4＜0，f(3)＝ln3－2＜0，f(4)＝ln4＞0，∴f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k＝3.故填3..(1)f(x)＝(2)f(x)＝的零点所在的大致区间是A．(1，C．(1，解：∵f1)内的零点个数是A．0解法一：定义域上单调递增且连续，＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0f(x)的零点个数．故选零点个数为(A．1解：函数判断函数在给定区间零点的步骤确定函数的图象在闭区间[a，bb)的值并判断f(a)·f0，则有实数解.除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断.零点个数(方程f(x)＝判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由)＝0的判别式Δ＞0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断对于一般函数零点个数的判断，点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则长春第二次调研)若a ＞2，则函数2)内零点的个数为(．2 C ．1 (x )＝x 2－2ax ，由a 时恒为负数，即f (x )在(0，＝83－4a ＋1＜0，则内只有一个零点，故选是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点，若，＋∞)，则( )2)<0 B ．f (x 1)<02)<0 D ．f (x 1)>0g (x )＝11－x ＝－1x －＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数x)，f(x)＝§2.7函数的图象1.掌握常见函数的图象(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、幂函数).2.会利用图象变换的知识作出一些简单函数的图象.3.会求经过某种变换后所得图象的函数表达式.4.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.图象是函数的重要表现形式，数形结合是研究函数的重要技巧与方法.在历年高考中，都有直接或间接考查函数图象的题目出现.1.作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象.(2)图象变换法.2.图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到.②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到.总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.(2)对称变换①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于、、对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称.(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的；②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的.(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y 轴左边的图象，右边的部分不变.【自查自纠】2.(1)①y＝f(x＋a)右②y＝f(x)＋b下(2)①y轴x轴原点②x＝m(3)①A倍②1a倍(2013·福建)函数f(x)＝ln()x2＋1的图象大致是()解：由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数图象过(0，0)点，排除B，D.故选A.函数f(x)＝2x＋2－x的图象()解：令x ＝2，则y ＝－f (2－x )＝－f (0)项可排除，令x ＝1，则y ＝－f (2－x )＝－可排除A ，C 项，故选B.若将函数y ＝f (x )的图象向左平移再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则 .解：把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移得y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象．∴f (x )＝lg(3－x )，故填lg (3－x )．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋116，x ≥0 的图象如图所示，则abc ＝ .解：依图象有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＋b ＝0，log c116＝2.得a ＝(1)y ＝|x (2)y ＝|log (3)y ＝2(1)＝log 2x 的图象，然后向左平移轴下方的图象沿x 轴对折，图(3)函数的解析式为y ＝2x －1x ＋1＝2①本题中(2)(3)的函数的图象是由基本函数通过变换得到的，因此可先作最基本的函数的图象，伸缩、对称等变换作出待作函数的图象；②变换法作函数的图象是经常用到的一种作图方法，在作图时，应注意先作出图象的关键点和关键线(如对称轴、渐近线等函数奇偶性与基本函数图象的特征作图，也是常用方作出下列函数的图象：x －1－1＝2（x －1）＋1x －1.－∞，1)∪(1，＋∞)．的图象向右平移1个单位得＝1x －1的图象向上平移2个单位可得的图象．类型二 识图2012·山东)函数y ＝cos6x2x －2 )解：令f (x )＝cos6x2x －2－x，由f (－x )＝－f (x )知f (x )为奇 )解：由3x－1≠0，得x ≠0，可排除A ；当x ＜0，可排除B ；当x 趋近于＋∞时，y 趋近于0.可排故选C.类型三 用图设a 为实数，且1＜x ＜3，试讨论关于的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数.解：原方程即a ＝－x 2＋5x －3.分别作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋1343)和y ＝a 的图象，得a ＞134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为a ＝134或1＜a ≤3时，原方程的实数解的个数3＜a ＜134时，原方程的实数解的个数为2.＝x3＋x的零点依次为小顺序为(A．b>cC．a>b合理处理识图题与用图题对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托.函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期.图象对称性的证明证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一或对称轴)的对称点仍在图象上与C2的对称性，即证明或对称轴)的对称点在研究函数的图象必须与函数的性质有机结合起的完美结合，不要将二者割裂易知函数y＝e21x-为偶函数，因此排除e21x-＞0，故排除D.故选C.f(x)＝x－cos x，则方程f(x)＝0在[0上的实根个数是()．没有实根．有且仅有一个实根．有且仅有两个实根．有无穷多个实根令f(x)＝x－cos x＝0，即x＝cos x，画出函和y＝cos x的图象(如图)，函数y＝x与函数的图象仅在x＝α⎝⎛⎭⎫0<α<π2处有一个交点．把函数y＝log2(x－1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的)＝log2(2x＋1) B．y＝log2(2x＋＝log2(2x－1) D．y＝log2(2x－把函数y＝log2(x－1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝log2(2x－1)的图象，再向右单位长度，所得函数的解析式为⎦⎤⎭⎫12－1＝log2(2x－2)．故选D.y＝2-|x-1|－m的图象与x轴有交点时，取值范围是()。
2015届高考数学文二轮专题训练专题二第1讲函数、基本初等函数的图象与性质
第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规X步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质，<1a 0<的图象和性质，分1)≠a ，>0a (x a log ＝y 与对数函数1)≠a ，>0a (x a ＝y 指数函数(1)a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． .两种情况<0α，>0α的图象和性质，分幂指数αx ＝y 幂函数(2)热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值X 围是________．＝－)x (f 时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∈x ，且)t －(1f ＝)t (f 都有R ∈t ，满足对任意)R ∈x ) (x (f ＝y 设奇函数(2)．________的值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫－32f ＋(3)f ，则2x时]12，[0∈x 的性质和)x (f 利用(2)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(1) 思维启迪的值．)32－(f 和(3)f 的解析式探求 14－(2) 1,3)－(1)( 答案 解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，所以.14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32f ，0＝(0)f ＝－1)＋(0f ＝(1)f ＝3)(f ，故2的一个周期为)x (f ＝y 得函数.14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32f ＋(3)f 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．，则5＝10))2(lg(log f ，)R ∈b ，a 4(＋x sin b ＋3ax ＝)x (f 已知函数)·某某(1)(2013 f (lg(lg 2))等于( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4X的取值x 恒成立，则)<0x (f ＋2)－mx (f ，2,2]－[∈m 任意的，对x ＋3x ＝)x (f 已知函数(2)围为________________________________________________________________________．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23(2) (1)C 答案 ，lg(lg 2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 2lg ＝10)2(1)lg(log 解析 (lg(lga ＝(lg(lg 2))f ，则1＝－5－4＝sin(lg(lg 2))b ＋3[lg(lg 2)]a ，得5＝0))12(lg(log f 由 3.＝4＋1＝－4＋sin(lg(lg 2))b ＋32)) (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，.23<x 2<，∴－⎩⎪⎨⎪⎧g －2＝－x －2<0g 2＝3x －2<0即 热点二 函数的图象)(图象的是10ln|x ＋1|x ＋1＝y 下列四个图象可能是函数)·某某质检(1)(2014 2例2x )](1x (f －)2x (f [时，>11x >2x 轴对称，当y 个单位后关于1的图象向左平移)x (f 已知函数(2))(的大小关系为c ，b ，a ，则(3)f ＝c ，(2)f ＝b ，)12－(f ＝a 恒成立，设)<01x － A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性．答案 (1)C (2)D个单位1轴向左平移x 的图象沿10ln|x|x ＝y ，其图象可由1}≠－x |x {函数的定义域为(1) 解析1,0)－(的图象关于点10ln|x ＋1|x ＋1＝y 为奇函数，图象关于原点对称，所以，10ln|x|x ＝y 而得到，成中心对称．可排除A ，D.C.不正确，选B ，所以，>010ln|x ＋1|x ＋1＝y 时，>0x 又 (2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象恒)<01x －2x )](1x (f －)2x (f [时，>11x >2x ，当)52(f ＝)12－(f ＝a 对称，所以1＝x 本身关于直线成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .选D.思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布X 围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．)(在同一直角坐标系中的图象大致是x －12＝)x (g 与x 2log ＋1＝)x (f 函数(1)围是X 的取值a ，则ax ≥)|x (f |若⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x>0.＝)x (f 已知函数)·课标全国Ⅰ(2)(2013( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 (1)C (2)D．(0,2)过定点的图象x －12＝)x (g ，(1,1)的图象过定点x 2log ＋1＝)x (f (1) 解析 为单x 2log ＋1＝)x (f 的图象向上平移一个单位而得到，且x 2log ＝y 的图象由x 2log ＋1＝)x (f 为单x －12＝)x (g 的图象伸缩变换得到，且x )12(＝y 的图象由x )12(×2＝x －12＝)x (g 调增函数，调减函数．A 中，f (x )的图象单调递增，但过点(1,0)，不满足；B 中，g (x )的图象单调递减，但过点(0,1)，不满足；D 中，两个函数都是单调增函数，也不满足．选C.(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． 成立．ax ≥x 2－2x 时，<0x 时，只需在<0a ③当 即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D.热点三 基本初等函数的图象及性质围是X 的取值a ，则实数)a －(f )>a (f 若⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－x ，x<0，＝)x (f 若函数(1)3例( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1))(，则下面结论正确的是>0βsin β－αsin α且]π2，π2－[∈β，α已知(2) 2β>2α．D β<α．>0 C β＋α．B β>α．A 思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的X 围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)C (2)D解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．故选C.方法二 对a 分类讨论：>1.a ，∴>0a 2log ，即a 12>log a 2log 时，>0a 当 ，)<0a －(2log ，即)a －(2)>log a －(12log 时，<0a 当 ∴－1<a <0，故选C.，]π2，π2－[∈x ，x sin x ＝)x (f 设(2) ∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 为减函数，)x (f ，∴<0′y 时，0]，π2－[∈x 当 为增函数，)x (f ，∴>0′y 时，]π2，[0∈x 当 且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0，.2β>2α，∴|β|>|α|，∴βsin β>αsin α∴ 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．) (，那么<1a )15<(b )15<(15设(1) ab <a a <b a ．B a b <b a <a a ．Aaa <ab <b a ．D b a <a b <a a ．C 的最小值是)x (g 则函数⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x<0，＝)x (g ，函数12x －x 2＝)x (f 已知函数(2)________．答案 (1)B (2)0得<1a )15<(b )15<(15上是递减函数，所以由)－∞，＋∞(在x)15(＝y 因为指数函数(1) 解析0<a <b <1， <1.ab0<所以 ，a a >ab 得<1a )ab(，a a <b a 上都是递减函数，从而)－∞，＋∞(在x )ab(＝y ，x b ＝y ，x a ＝y 所以，a b <a a <b a 故 答案选B.－(f ＝)x (g 时，<0x ；当0＝(0)g ≥)x (g 为单调增函数，所以12x －x 2＝)x (f ＝)x (g 时，0≥x 当(2)0.的最小值是)x (g ，所以函数0＝(0)g )>x (g 为单调减函数，所以12－x－x －2＝)x1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法．(4)对于抽象函数一般用定义法．2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . 对称．a ＋b2＝x 的图象关于直线)x (f ，则函数)x －b (f ＝)x ＋a (f 足满)x (f 若(2) (3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称． 4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的X 围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟1．(2014·某某)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝________.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫416f ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫294f 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，516答案 解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数，，⎝ ⎛⎭⎪⎫－34f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－34f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫294f ∴ .⎝ ⎛⎭⎪⎫－76f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－76f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫416f ∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，.316＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34f ∴ ∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，.12＝－7π6sin ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫76f ∴ 又∵f (x )是奇函数，，316＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫34f ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34f ∴ .12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫76f ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－76f .516＝316－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫416f ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫294f ∴ 的图象如图所示，则所给函数图象正确的是1)≠a ，且>0a (x a log ＝y 若函数)·某某(2014．2( )答案B－3＝y中，A选项3.＝a点，可解得(3,1)的图象过1)≠a，且>0a(x alog＝y由题意得解析3)x－(＝y中，C，由幂函数图象可知正确；选项3x＝y中，B，显然图象错误；选项x)13(＝x轴y的图象关于x3log＝y的图象与)x－(3log＝y中，D，显然与所画图象不符；选项3x＝－对称，显然不符，故选B.押题精练)(的大致图象为1)＋x(f＝y，则函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－1x－|x|lne＝)x(f．已知函数1答案A解析据已知关系式可得⎩⎪⎨⎪⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎪⎫x－1x＝x0<x≤1，eln x－⎝⎛⎭⎪⎫x－1x＝1xx>1，＝)x(f作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y＝f(x＋1)的图象．)(围是X的取值n3＋m，则)n(f＝)m(f，有n<m，若|x12|log＝)x(f．已知函数2)，＋∞3(2．) B ，＋∞3[2．A C ．[4，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D，)n (f ＝)m (f ，有n <m ，若|x 12|log ＝)x (f ∵ 解析 ，n 12log ＝－m 12log ∴ ∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，上单调递减，(0,1)∈m 在3m＋m ＝n 3＋m ∴ 当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.时，)x (g )|<x (f |；当)|x (f |＝)x (h 时，)x (g ≥)|x (f |，规定：当2x －1＝)x (g ，1－x 2＝)x (f ．已知3h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值答案 C解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，，⎩⎪⎨⎪⎧|f x |，|f x |≥g x－g x ，|f x |<g x＝)x (h 而 故h (x )有最小值－1，无最大值．(推荐时间：40分钟)一、选择题”)]>02x (f －)1x (f )[2x －1x (时，均有)，＋∞(0∈2x ，1x 中，满足“对任意的)x (f ．下列函数1的是( )4＋x 4－2x ＝)x (f ．B 12＝)x (f ．A x12log ＝)x (f ．D x 2＝)x (f ．C 答案 C”等价于)]>02x (f －)1x (f )[2x －1x (时，均有)，＋∞(0∈2x ，1x 满足“对任意的)x (f 函数 解析，(0在)x (f ，表示函数>0f x1－f x2x1－x2的值的符号相同，即可化为)2x (f －)1x (f 与2x －1x C.符合．故选x 2＝)x (f 上单调递增，由此可得只有函数)＋∞ )(的图象可能是x a log ＝)x (g ，0)≥x (a x ＝)x (f 在同一直角坐标系中，函数)·某某(2014．2答案 D解析 方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．；C 递增较快，排除a x ＝y 均为增函数，但x a log ＝y 与a x ＝y 时，>1a 当 递增较慢，所以选a x ＝y 由于A.为减函数，排除x a log ＝y 为增函数，a x ＝y 时，<1a 0<当D.的图象x a log ＝)x (f 项中由对数函数B ；A 点，排除(0,1)的图象不过a x ＝)x (f 幂函数 方法二C 对；D 错，B 增长越来越慢的变化趋势，故的图象应是a x ＝)x (f ，而此时幂函数<1a 0<知的图象应是增长越来越快a x ＝)x (f ，而此时幂函数>1a 的图象知x a log ＝)x (f 项中由对数函数的变化趋势，故C 错．) (的值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100f ，则x lg ＝)x (f 时，>0x 是奇函数，当)x (f ＝y ．已知函数3 lg 2．－lg 2 D ．C 1lg 2．－B 1lg 2A. 答案 D解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． ，2＝－1100lg ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1100f 所以 lg 2.＝－2)－(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100f 4．若a >b ，则下列不等式成立的是( )b>0.3a 0.3．B b >ln a ln ．A 3b>3a D.．C 答案 D解析 因为a >b ，而对数的真数为正数，所以ln a >ln b 不一定成立；错；B ，故b <0.3a 0.3，则b >a 是减函数，又x 0.3＝y 因为 错；C 不一定成立，故，则b >a 是增函数，又)，＋∞(0在＝y 因为 D.成立，选3b >3a ，即，则b >a 是增函数，又)－∞，＋∞(在＝y)(等于2)>0}－x (f |x {，则0)≥x 4(－x 2＝)x (f 满足)x (f ．设偶函数5 A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，，2|>2－x |，4>0－2|－x |2＝2|)－x (|f 即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4. 于是有{x |f (x －2)>0}＝{x |x <0或x >4}，故选B. )(围是X 的取值x 成立的1＋x )<x －(2log ．使6 A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0)答案 A，故1,0)－(∈x 的图象，知满足条件的1＋x ＝y ，)x －(2log ＝y 在同一坐标系内作出 解析选A.) (的奇偶性、单调性均相同的是12x ＋1－1－x 2＝)x (f ．下列函数中，与函数7 )x2＋1＋x ln(＝y ．B x e ＝y ．A xtan ＝y ．D 2x ＝y ．C 答案 B在定义域上是奇函数，且单调)x (f ，可知函数)12x－x (212＝12x ＋1－1－x 2＝)x (f 因为函数 解析在定义域上是奇函数，但不单调递x tan ＝y 为偶函数，2x ＝y 为非奇非偶函数，x e ＝y 递增， B.在定义域上是奇函数，且单调递增，故选)x2＋1＋x ln(＝y 增，只有 8．(2013·某某)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实)(围是X 的取值a ，则(1)f 2≤)a 12(log f ＋)a 2(log f 满足a 数 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12[1,2]B.．A (0,2]．D ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C. 答案 C.a 2log ＝－1－a 2log ＝a 12log ，又>0a 由题意知 解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，．)a 12(log f ＝)a 2log －(f ＝)a 2(log f ∴ ，(1)f 2≤)a 12(log f ＋)a 2(log f ∵ ．(1)f ≤)a 2(log f ，即(1)f 2≤)a 2(log f 2∴ 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增． ，1≤a 2log ≤1，－1≤|a 2|log ∴ C.，选⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2∈a ∴ 二、填空题________.＝(ln 3)f ，则⎩⎪⎨⎪⎧13ex x ≥2f x ＋1x<2＝)x (f ．已知函数9答案 ee.，故填e ＝1＋eln 313＝1)＋(ln 3f ＝(ln 3)f 解析 )]>02x (f －)1x (f [·)2x －1x (，2x ≠1x ，且)，＋∞[2∈2x ，1x ，若对任意的|a －x |x ＝)x (f ．已知函数10恒成立，则实数a 的取值X 围为________．答案 {a |a ≤2})，＋∞[2在)x (f ＝y 知，函数)]>02x (f －)1x (f )[2x －1x (，由⎩⎪⎨⎪⎧x x －a ，x ≥a －x x －a ，x<a ＝)x (f 解析单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值X 围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝．________值为的b 3＋a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫32f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f 若.R ∈b ，a 其中⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32f 所以 ，b ＋43＝b2＋212＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ，1＋a 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12f 又因为 .b ＋43＝1＋a 12所以－ ．①1)＋b (23＝－a 整理，得 又因为f (－1)＝f (1)，②.a 2＝－b ，即b ＋22＝1＋a 所以－ 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；；)2x (f ＜)1x (f ，都有2≤2x ＜1x ≤0，且R ∈2x ，1x ②对于任意的 ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)，)12(f ＝)12＋(4f ＝(4.5)f 对称的函数．所以2＝x 为周期且关于直线4是以)x (f 由已知得 解析 f (7)＝f (4＋3)＝f (3)， ．)52(f ＝)52＋(4f ＝(6.5)f 又f (x )在[0,2]上为增函数． 所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．，给出以下三个结论：)Z ∈x (1＋－1x2＝)x (f ．设函数13 ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，，1＝－1x ＋1＋－1x2＋1＝1＋－1x 2＋1＋－1x ＋12＝)x (f ＋1)＋x (f ②正确；③正确．的“和O 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆16＝2y ＋2x ：O ．能够把圆14谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．5－x5＋x ln＝)x (f ②x －e ＋x e ＝)x (f ① x＋3x 4＝)x (f ④x2tan ＝)x (f ③ 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，不是“和谐函数”；x －e ＋x e ＝)x (f 的图象不过原点，故x －e ＋x e ＝)x (f ，所以2＝0－e ＋0e ＝(0)f 为奇函数，所)x (f ，所以)x (f ＝－5－x 5＋x ln ＝－5＋x 5－x ln ＝)x －(f ，且0＝ln 1＝5－05＋0ln ＝(0)f ②中，)x (f ＝－x2tan ＝－－x 2tan ＝)x －(f ，且0＝tan 0＝(0)f 为“和谐函数”；③中，5－x 5＋x ln ＝)x (f 以3x 4＝)x (f 为奇函数，故)x (f ，且0＝(0)f 为“和谐函数”；④中，x2tan ＝)x (f 故为奇函数，)x (f ＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。
精华高考2015届特训班二轮狂练(7)基本初等函数Ⅱ
精华高考2015届特训班二轮狂练（7）基本初等函数Ⅱ一、选择题(每小题5分，共80分)1．若β＝α＋30°，则sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β等于( ) A.14 B.34 C ．cos 2β D ．sin 2α 2．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( )A ．4 3 B.654C ．4 D.2333．(2014·重庆)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 4．2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2 5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.23276．若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54 B ．－54 C.43 D ．－437．若tan(π4－θ)＝3，则cos2θ1＋sin2θ＝( )A ．3B ．－3 C.34D ．－348．已知sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－139．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( ) A.1132B ．5 C.41 D ．25 11．(2013·辽宁理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π612．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2B.3C.32D ．213．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3，S △ABC ＝3，则△ABC的周长为( )A ．6B ．5C ．4D ．4＋2 3 16．在△ABC 中，A ＝120°，b ＝1，面积为3，则b －c －asin B －sin C －sin A＝( )A.2393 B.393C ．27D ．47二、填空题(每小题5分，共30分)17．设f (x )＝1＋cos2x 2sin (π2x )＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.18．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．19．函数f (x )＝(1＋tan x )cos 2x cos2x ＋sin2x 的定义域为(0，π4)，则函数f (x )的值域为________．20．(2012·陕西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.21．(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 22．在钝角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝1，A ＝30°，c ＝3，则△ABC 的面积为________．三、解答题(共5小题，每小题8分，共40分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 23．(2013·天津理)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋π4)＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．24．(2013·安徽理)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．25．(2013·山东理)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．26．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．14．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3sin2A ＝1－cos2A . (1)求角A 的值；(2)若a ＝1，B ＝π4，求b 的值．一、选择题(每小题5分，共80分)1．若β＝α＋30°，则sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β等于( ) A.14 B.34C ．cos 2βD ．sin 2α 解析：sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°)＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin αcos α＋32sin αcos α－12sin 2α＝342α＋cos 2α)＝34，故选B.答案：B2．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( )A ．4 3 B.654C ．4 D.233解析：1＋cos2α＋8sin 2αsin2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α，∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得1＋cos2α＋8sin 2αsin2α＝2＋8tan 2α2tan α＝654.故选B.答案：B3．(2014·重庆)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 解析：4cos50°－tan40°＝4cos50°cos40°－sin40°cos40°＝4cos50°sin50°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40°＝2sin (60°＋40°)－sin40°cos40°＝2sin60°cos40°＋2cos60°sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝ 3.答案：C 4．2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 2 解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]∴cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.答案：D6．若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54 B ．－54 C.43D ．－43解析：1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D.答案：D 7．若tan(π4－θ)＝3，则cos2θ1＋sin2θ＝( )A ．3B ．－3 C.34D ．－34解析：∵tan(π4－θ)＝1－tan θ1＋tan θ3，∴tan θ＝－12.∴cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－14141＋1＝3.答案：A 8．已知sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝169，∴sin2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin2θ＝－23.答案：B 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°解析：由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A.答案：A10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( ) A.1132B ．5 C.41 D ．25 解析：∵c ＝42，B ＝45°，又面积S ＝12ac sin B ＝12×42×22a ＝2解得a ＝1，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .∴b 2＝1＋32－2×42×22＝25.∴b ＝5.答案：B 11．(2013·辽宁理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理可得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，∴sin B ＝12，由a >b 知A >B ，∴B ＝π6.选A.答案：A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2B.3C.32D ．2解析：∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝32×13＝12， ∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32.答案：C13．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a22bc >0，所以A 为锐角，又因为a >b >c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是(π3，π2)．答案：C14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形解析：由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14<0，∴π2<C <π，即三角形为钝角三角形．答案：A15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3，S △ABC ＝3，则△ABC的周长为( )A ．6B ．5C ．4D ．4＋2 3 解析：由S △ABC ＝12ab sin π3＝34ab ＝3，得ab ＝4.根据余弦定理知4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，所以a ＋b ＝4.故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6，选A.答案：A 16．在△ABC 中，A ＝120°，b ＝1，面积为3，则b －c －asin B －sin C －sin A＝( )A.2393 B.393C ．27D ．47解析：∵A ＝120°，∴sin A ＝32，S ＝12×1×AB ×sin A ＝3，∴AB ＝4. 根据余弦定理可得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝21，∴BC ＝21. 根据正弦定理可知：b －c －a sin B －sin C －sin A ＝BCsin A＝27，故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共30分)17．设f (x )＝1＋cos2x 2sin (π2x )＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.答案：± 318．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．解析：由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14，∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.答案： 319．函数f (x )＝(1＋tan x )cos 2x cos2x ＋sin2x 的定义域为(0，π4)，则函数f (x )的值域为________．解析：f (x )＝(1＋tan x )cos 2x cos2x ＋sin2x ＝12＋122sin (2x ＋π4，∵x ∈(0，π4)，∴sin(2x ＋π4)∈(22，1]，∴f (x )的值域为[2＋24，1)．答案：[2＋24，1) 20．(2012·陕西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.解析：由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，可得b ＝2.答案：2 21．(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析：设最小边为a ，则最大边为2a ，另一边为2a ，cos θ＝a 2＋(2a )2－4a 22·a ·2a ＝－24.(θ为最大角)．答案：－2422．在钝角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝1，A ＝30°，c ＝3，则△ABC 的面积为________．解析：在钝角△ABC 中，由a ＝1，A ＝30°，c ＝3，利用正弦定理可知C ＝120°，得到B ＝30°，利用面积公式得S △ABC ＝12×3×12＝34.答案：34三、解答题(共5小题，每小题8分，共40分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 23．(2013·天津理)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋π4)＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝－2sin2x ·cos π4－2cos2x ·sin π4＋3sin2x －cos2x ＝2sin2x －2cos2x ＝22sin(2x －π4)．所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2π.(2)因为f (x )在区间[0，3π8]上是增函数，在区间[3π8，π2]上是减函数．又f (0)＝－2，f (3π8)＝22，f (π2)＝2，故函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为22，最小值为－2.24．(2013·安徽理)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin xω·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4当π4≤2x ＋π4≤π20≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．25．(2013·山东理)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.26．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积． 解：(1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3， 所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.14．(2014·山东曲阜一模，17)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3sin2A ＝1－cos2A . (1)求角A 的值；(2)若a ＝1，B ＝π4，求b 的值．解：(1)由3sin2A ＝1－cos2A ，得3·2sin A cos A ＝1－(1－2sin 2A )，即23sin A cos A ＝2sin 2A . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而有3cos A ＝sin A ，则有cos A ≠0.(若cos A ＝0，由上式则有sin A ＝0，这与sin 2A ＋cos 2A ＝1矛盾)，于是有tan A ＝ 3. 又0<A <π，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得132＝b 22.解得b ＝63.。
2015届高考数学(文)二轮专题课件：1.2函数、基本初等函数的图象与性质
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主干考错，在实际判断中
可熟记口诀：左加右减．
而对于上、下平移变换，相比较则容易掌握，原则是：
上加下减，但要注意的是加、减指的是在f(x)整体上．
②对称变换(在f(－x)有意义的前提下)． 关于y轴 对称； a．y＝f(－x)与y＝f(x)的图象________ 关于x轴对称； b．y＝－f(x)与y＝f(x)的图象________
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主干考 点梳理 ②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的 相同 单调性 __________ ，且在 x ＝ 0 处有定义时必有 f(0) ＝
0 原点 ． ________ ，即f(x)的图象过________
③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的
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相反 ． 单调性________
随堂讲义· 第一部分
知识复习专题
专题一 集合、常用逻辑用语、 函数与导数
第二讲
函数、基本初等函数的图象与 性质
函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热 点，一般以选择题或填空题的形式考查．对于函数图
象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即
通过函数的图象，通过数形结合的思想方法解决问题， 对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周 期性，也可能考查求函数的定义域和简单函数的值域、 最值问题．
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立，则f(x)在D上________ 单调递减．
主干考 点梳理
(2)最值：设函数y＝f(x)的定义域为I，
①如果存在实数M满足：对任意的x∈I，都有
f(x)≤M 且存在x 0∈I ，使得 f(________ x0)＝M ，那么称M是函 ________ ______
三年高考(2015-2017)高考数学试题解析03基本初等函数理
专题03 基本初等函数1。
【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x(A)是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数(C ）是奇函数，且在R 上是减函数 (D)是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】试题分析:()()113333x xx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数,并且3x是增函数，13x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A 。
【考点】函数的性质2。
【2017北京，理8】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080。
则下列各数中与MN 最接近的是 （参考数据:lg3≈0.48） (A)1033(B ）1053（C ）1073（D ）1093 【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803l g l g l g 3l g 10361l g 38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N最接近9310，故选D 。
【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系,难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含l o g l o gl o g a a a M NM N +=，l o g l o g l o g a a a MM N N-=，l o g l o g na a M n M =。
3。
【2016课标3理数】已知432a =，254b =,1325c =，则（ ）（A)b a c <<（B ）a b c <<（C ）b c a <<（D)c a b <<【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=,1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．考点：幂函数的图象与性质．4。
高考数学二轮专题突破高效精练 第3讲 基本初等函数
第3讲 基本初等函数1. 函数f(x)＝ln(x 2－x)的定义域为________． 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 2. y ＝log a (2－ax)(a>0，a ≠1)在[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________． 答案：(1，2)解析：y ＝log a (2－ax)是[0，1]上关于x 的减函数， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2. 3. 不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1－3x >2的解集为________． 答案：(－∞，0)4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是____________．答案：[0，＋∞)解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，21－x ≤2，解得0≤x≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 2x ≤2，解得x ＞1.综上x≥0.5. 若函数f(x)＝a x(a>0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．答案：146. 已知定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1，若f(x ＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案：[－1，1]解析：∵ f(x)是R 上的偶函数，且f(2)＝1，∴ f(2)＝f(－2)＝1；∵ f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(x ＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，∴ －2≤x＋a≤2，即－2－x ≤a ≤2－x 在x∈[－1，1]上恒成立，∴ －1≤a≤1.7. 若函数f(x)＝a －x ＋x ＋a 2－2是偶函数，则实数a 的值为________． 答案：2解析：∵ 函数f(x)＝a －x ＋x ＋a 2－2是偶函数，∴ a －x≥0，x ＋a 2－2≥0，2－a 2≤x ≤a ，此时要求2－a 2≤a ，首先定义域关于原点对称，∴ 2－a 2＝－a ，∴ a ＝2或－1.若a ＝－1，2－a 2＝1＞－1＝a ，故a ＝－1(舍去)，∴ a ＝2；当a ＝2时，f(x)＝2－x ＋x ＋2，f(－x)＝x ＋2＋2－x ＝f(x)，f(x)是偶函数．8. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系是________．答案：f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：∵ f(x－4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0，2]上是增函数，∴ f(x)在[－2，2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．9. 函数y ＝a x －1＋1(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn>0)上，则1m ＋2n 的最小值为________．答案：9解析：函数图象恒过定点(1，2)，从而m ＋2n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋2n ＝m ＋2n m ＋2m ＋4nn＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥9，当且仅当m ＝n 时取等号，∴ 1m ＋2n 的最小值为9.10. 若不等式(m 2－m)2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1对一切x∈(－∞，1]恒成立，则实数m 的取值范围是____________．答案：(2，3)解析：(m 2－m)2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，x ∈(－∞，－1]恒成立m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋12x，x ∈(－∞，－1]恒成立．设⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t ，t ∈[2，＋∞)，f(t)＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14≥6，故m 2－m<6，－2<m<3.11. 已知函数f(x)＝12px 2－x ＋3在区间[－1，2]上的最大值为M ，最小值为m ，求当实数p 为何值时，2M ＋m ＝3.解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① 当p≤－1时，f(x)在[－1，2]上单调递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)；② 当－1＜p ＜0时，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p＋1，由2M ＋m＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)；③ 当0＜p ＜12时，M ＝f(2)＝2p ＋1，m ＝f(p)＝3－p2，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)；④ 当12≤p ≤2时，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(p)＝3－p2，由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)；⑤ 当p ＞2时，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p＋1，由2M＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立． 12. 已函数f(x)＝1＋x －x. (1) 求函数f(x)的值域；(2) 若g(x)＝1－x ＋x ，判断函数F(x)＝lg f （x ）g （x ）的奇偶性；(3) 若函数y ＝f(ax)在区间(－1，1)上存在零点，求实数a 的范围．解：(1) 令t ＝1＋x ，则x ＝t 2－1， ∵ x ∈[－1，＋∞)，∴ t ∈[0，＋∞)，∴ y ＝t －(t 2－1)＝－t 2＋t ＋1，∴ y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54，即函数f(x)的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(2) 由题意，x ∈[－1，1]，F(x)＝lg 1＋x －x 1－x ＋x，F(－x)＝lg 1－x ＋x1＋x －x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 1－x ＋x －1＝－lg1＋x －x1－x ＋x＝－F(x)，∴ 函数F(x)＝lg f （x ）g （x ）为奇函数．(3) 由题意，1＋ax －ax ＝0在区间(－1，1)上有解，即1＋ax ＝ax ， ① a ＝0时不合题意；② a>0时，即1＋ax ＝ax 在(0，1)上有解，∴ a 2x 2－ax －1＝0，由图象，a 2－a －1>0，解得a>1＋52；③ a<0时，即1＋ax ＝ax 在(－1，0)上有解，∴ a 2x 2－ax －1＝0，由图象，a 2＋a －1>0，解得a<－1－52.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.13. 已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1(a∈R )，f ′(x)是f(x)的导函数．(1) 若x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a 的取值范围； (2) 解关于x 的方程f(x)＝|f′(x)|；(3) 设函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f′（x ），f （x ）≥f′（x ），f （x ），f （x ）<f′（x ），求g(x)在x ∈[2，4]时的最小值．解：(1) 因为f(x)≤f′(x)，所以x 2－2x ＋1≤2a(1－x)．又－2≤x≤－1，所以a≥x 2－2x ＋12（1－x ）在x∈[－2，－1]时恒成立． 因为x 2－2x ＋12（1－x ）＝1－x 2≤32，所以a≥32.(2) 因为f(x)＝|f′(x)|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a|，所以(x ＋a)2－2|x ＋a|＋1－a 2＝0，则|x ＋a|＝1＋a 或|x ＋a|＝1－a. ① 当a ＜－1时，|x ＋a|＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ② 当－1≤a≤1时，|x ＋a|＝1－a 或|x ＋a|＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a)；③ 当a ＞1时，|x ＋a|＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a)． (3) 因为f(x)－f′(x)＝(x －1)[x －(1－2a)]，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f′（x ），f （x ）≥f′（x ），f （x ），f （x ）＜f′（x ）.① 若a≥－12，则x∈[2，4]时，f (x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x ＋2a ，从而g(x)的最小值为g(2)＝2a ＋4；② 若a ＜－32，则x∈[2，4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a＜－32时，g(x)的最小值为g(2)＝4a ＋5，当－4＜a ＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a 2， 当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a ＋17.③ 若－32≤a ＜－12，则x∈[2，4]时，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a ），2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4].当x∈[2，1－2a)时，g(x)的最小值为g(2)＝4a ＋5； 当x∈[1－2a ，4]时，g(x)的最小值为g(1－2a)＝2－2a.因为－32≤a ＜－12，(4a ＋5)－(2－2a)＝6a ＋3＜0，所以g(x)的最小值为4a ＋5.综上所述，[g(x)]min＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4＜a ＜－2，4a ＋5，－2≤a≤－12，2a ＋4，a ≥－12.。
2015届高三数学二轮专项复习课件：专题1 第3讲 基本初等函数Ⅰ
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指数函数、对数函数的图象与性质
已知命题p1：函数y＝2x－2－x 在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命 题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真 命题是( )
③Δ<0 时，f(x)的图象与 x 轴无公共点，方程 f(x)＝0 无实 根，不等式 f(x)>0 的解集为 R，f(x)<0 的解集为∅.
专题一 第三讲
第十五页，编辑于星期五：八点 四十四分。
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1．比较幂值大小时，要正确依据底数相同、指数变化，还 是指数相同，底数变化来区分应用指数函数性质还是幂函数性 质．
[方法规律总结] 1．幂式、对数式等数值比较大小问题，利用同底数、同指 数或同真数等借助于函数单调性或图象求解． 2．含函数符号f的不等式，先化为f(x1)<f(x2)形式，再利用 函数单调性解决． 对于偶函数f(x)，有f(x)＝f(|x|)成立． 3．给出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸 缩、对称变换，结合特殊点(与坐标轴的交点、最高(低)点、两 图象的交点等)作出判断．
专题一 第三讲
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3．指数函数与对数函数的图象与性质
指数函数
对数函数
定义 函数 y＝ax(a>0，a≠1，x 函数 y＝logax(a>0，
∈R)叫指数函数
a≠1，x>0)叫对数函数
值域
(0，＋∞)
高考数学二轮专题突破课堂讲义 第3讲 基本初等函数
第3讲基本初等函数1. 掌握指数、对数的运算．2. 理解指数函数、对数函数的概念、图象和性质．3. 能利用基本初等函数的性质解决某些简单实际问题．4. 了解幂函数的定义，熟悉常见幂函数的图形与性质．1. 函数y＝log a(x＋2)＋1(a>0，a≠1)的图象经过的定点坐标为________．答案：(－1，1)2. 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．答案：(－2，－1)∪(1，2)解析：由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴ 1<a2<2，即1<a<2或－2<a<－1.3. 若函数f(x)＝4x－k·2x＋k＋3有唯一零点，则实数k的取值范围是________．答案：(－∞，－3)∪{6}解析：设t＝2x，t＞0，则关于x的方程4x－k·2x＋k＋3＝0转化为t2－kt＋k＋3＝0，设f(t)＝t2－kt＋k＋3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，∴ f(0)＜0，或Δ＝0，∴ k＜－3或k＝6.4. 定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝|log0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________．答案：154解析：由函数y ＝|log 0.5x|得x ＝1时y ＝0；x ＝4或x ＝14时y ＝2，∴ 4－14＝154.题型一 函数解析式及性质讨论例1 函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c(a 、b 、c∈Z )是奇函数，且f(1)＝2，f(2)<3.(1) 求a 、b 、c 的值；(2) 当x<0时，讨论f(x)的单调性．解：(1)函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)恒成立，∴ c ＝0.又由f(1)＝2，f(2)＜3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b －1，4a ＋12b＜3， 0＜b ＜32，b ∈Z, ∴ b ＝1，a ＝1.(2) f(x)＝x 2＋1x ＝x ＋1x，函数在(－∞，－1)上递增，在(－1，0)上递减．已知函数f(x)＝a －22x＋1(a∈R )． (1) 试判断f(x)的单调性，并证明你的结论；(2) 若f(x)为定义域上的奇函数，求： ① 函数f(x)的值域；② 满足f(ax)<f(2a －x 2)的x 的取值范围．解：(1) 函数f(x)为定义域(－∞，＋∞)，且f(x)＝a －22x＋1，任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2（2x 2－2x 1）（2x 2＋1）（2x 1＋1），∵ y ＝2x在R 上单调递增，且x 1<x 2，∴ 0<2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0， ∴ f(x 2)－f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数． (2) ∵ f(x)是定义域上的奇函数， ∴ f(－x)＝－f(x)，即a －22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝0， ∴ 2a －2＝0，即a ＝1，① 由a ＝1得f(x)＝1－22x ＋1，∵ 2x＋1>1，∴ 0<12x ＋1<1，∴ －2<－22x ＋1<0，∴ －1<1－22x ＋1<1，故函数f(x)的值域为(－1，1)．② 由a ＝1得f(x)<f(2－x 2)，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴ x<2－x 2，解得－2<x<1.故x 的取值范围为(－2，1)． 题型二 函数中的恒成立问题例2 设f(x)＝log 21－axx －1－x 为奇函数，a 为常数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在x∈(1，＋∞)时的单调性；(3) 若对于区间[2，3]上的每一个x 值，不等式f(x)>2x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由条件得f(－x)＋f(x)＝0，∴ log 21＋ax －x －1＋log 21－ax x －1＝0，化简得(a 2－1)x 2＝0，因此a 2－1＝0，a ＝±1，但a ＝1不符合题意，因此a ＝－1.(2) 判断函数f(x)在x∈(1，＋∞)上为单调减函数； 证明如下：设1<x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝log 2x 1＋1x 1－1－x 1－log 2x 2＋1x 2－1＋x 2＝log 2x 1＋1x 1－1·x 2－1x 2＋1＋(x 2－x 1)，∵ 1<x 1<x 2，∴ x 2－x 1>0，x 1±1>0，x 2±1>0.∵ (x 1＋1)(x 2－1)－(x 1－1)(x 2＋1)＝x 1x 2－x 1＋x 2－1－x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝2(x 2－x 1)>0， 又(x 1＋1)(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2＋1)>0，∴ log 2x 1＋1x 1－1·x 2－1x 2＋1>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴ 函数f(x)在x∈(1，＋∞)上为单调减函数．(3) 不等式为m<f(x)－2x恒成立，∴ m<[f(x)－2x]min .∵ f(x)在 x∈[2，3]上单调递减，2x在x∈[2，3]上单调递增，∴ f(x)－2x在 x∈[2，3]上单调递减，当x ＝3时取得最小值为－10，∴ m ∈(－∞，－10)．已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1) 求a 、b 的值；(2) 若对任意的t∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)＜0恒成立，求实数k 的取值范围． 解： (1) ∵ f(x)是定义域为R 的奇函数，∴ f(0)＝0，即b －1a ＋2＝0b ＝1, ∴ f(x)＝1－2xa ＋2x ＋1.又由f(1)＝ －f(－1)，知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1a ＝2.经检验符合题意，∴ a ＝2，b ＝1.(2) (解法1)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)＜0等价于f(t 2－2t)＜－f(2t 2－k)＝f(k－2t 2)．因为f(x)为减函数，由上式推得t 2－2t ＞k －2t 2，即对一切t∈R 有3t 2－2t －k ＞0，从而判别式Δ＝4＋12k ＜0k ＜－13.(解法2)由(1)知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1.又由题设条件得1－2t 2－2t 2＋2t 2－2t ＋1＋1－22t 2－k2＋22t 2－k ＋1＜0，即(22t 2－k ＋1＋2)(1－2t 2－2t)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(1－22t 2－k)＜0，整理得23t 2－2t －k ＞1.因底数2＞1，故 3t 2－2t －k ＞0对一切t∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k ＜0k ＜－13. 题型三 函数中的存在性问题例3 已知函数f(x)＝|x －m|和函数g(x)＝x|x －m|＋m 2－7m.(1) 若方程f(x)＝|m|在[－4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2) 若对任意x 1∈(－∞，4]均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f(x 1)>g(x 2)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 方程f(x)＝|m|，即|x －m|＝|m|.此方程在x∈R 时的解为x ＝0或x ＝2m.要使方程|x －m|＝|m|在x∈[－4，＋∞)上有两个不同的解，则2m≥－4且2m≠0.所以m 的取值范围是m≥－2且m≠0.(2) 原命题等价于：对于任意x 1∈(－∞，4]，任意x 2∈[3，＋∞)，f(x 1)min ＞g(x 2)min .对于任意x 1∈(－∞，4]，f(x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0（m≤4），m －4（m>4）， 对于任意x 2∈[3，＋∞)，g(x 2)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9（m<3），m 2－7m （m≥3）. ① 当m ＜3时，0＞m 2－10m ＋9，解得1＜m ＜3.② 当3≤m≤4时，0＞m 2－7m ，解得3≤m≤4.③ 当m>4时，m －4＞m 2－7m ，解得4<m ＜4＋2 3. 综上所述，m 的取值范围为1＜m ＜4＋2 3.已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a11－x，记F(x)＝2f(x)＋g(x)． (1) 求函数F(x)的定义域D 及其零点；(2) 若关于x 的方程F(x)－m ＝0在区间[0，1)内有解，求实数m 的取值范围．解：(1) F(x)＝2f(x)＋g(x)＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x(a>0且a≠1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1， 所以函数F(x)的定义域为(－1，1)．令F(x)＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 11－x＝0 (*)．方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x)，即(x ＋1)2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3，经检验x ＝－3是方程(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0，即函数F(x)的零点为0.(2) m ＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x(0≤x<1)＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＋41－x －4，a m＝1－x ＋41－x －4，设1－x ＝t∈(0，1]， 函数y ＝t ＋4t在区间(0，1]上是减函数，当t ＝1时，此时x ＝0，y min ＝5，所以a m≥1， ① 若a>1，则m≥0，方程有解； ② 若0<a<1，则m≤0，方程有解．题型四 函数与方程、不等式综合应用问题例4 已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)＝g （x ）x.(1) 求a 、b 的值；(2) 不等式f(2x )－k·2x≥0在x∈[－1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围；(3) 方程f(|2x－1|)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2|2x －1|－3＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 解：(1) g(x)＝a(x －1)2＋1＋b －a ，当a ＞0时，g(x)在[2，3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （3）＝4，g （2）＝1⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋1＋b ＝4，4a －4a ＋1＋b ＝1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a<0时，g(x)在[2，3]上为减函数． 故⎩⎪⎨⎪⎧g （3）＝1，g （2）＝4⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋1＋b ＝1，4a －4a ＋1＋b ＝4⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. ∵ b ＜1，∴ a ＝1，b ＝0，即g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝x ＋1x－2.(2) 不等式f(2x )－k·2x ≥0化为2x ＋12x －2≥k·2x，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·12x ≥k ，令12x ＝t ，k ≤t 2－2t ＋1.∵ x ∈[－1，1]，∴ t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.记φ(t)＝t 2－2t ＋1，∴ φ(t)min ＝0，∴ k ≤0.(3) 由f(|2x－1|)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2|2x －1|－3＝0，得|2x－1|＋1＋2k |2x －1|－(2＋3k)＝0，|2x －1|2－(2＋3k)|2x －1|＋(1＋2k)＝0，|2x－1|≠0，令|2x －1|＝t, 则方程化为t 2－(2＋3k)t ＋(1＋2k)＝0(t≠0)．∵ 方程|2x－1|＋1＋2k |2x－1|－(2＋3k)＝0有三个不同的实数解，∴ 由t ＝|2x－1|的图象(如下图)知，t 2－(2＋3k)t ＋(1＋2k)＝0有两个根t 1、t 2，且0＜t 1＜1＜t 2或0＜t 1＜1，t 2＝1，记φ(t)＝t 2－(2＋3k)t ＋(1＋2k)，则⎩⎪⎨⎪⎧φ（0）＝1＋2k ＞0，φ（1）＝－k ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧φ（0）＝1＋2k ＞0，φ（1）＝－k ＝0，0＜2＋3k2＜1.∴ k＞0.已知函数g(x)＝mx 2－2mx ＋1＋n(n≥0)在[1，2]上有最大值1和最小值0.设f(x)＝g （x ）x(e 为自然对数的底数)．(1) 求m 、n 的值；(2) 若不等式f(log 2x)－2klog 2x ≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k 的取值范围；(3) 若方程f(|e x－1|)＋2k |e x －1|－3k ＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．解：(1) g(x)＝m(x －1)2＋1＋n －m ，当m>0时，g(x)在[1，2]上是增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝0，g （2）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －m ＝0，1＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝0. 当m ＝0时， g(x)＝1＋n ，无最大值和最小值；当m<0时， g(x)在[1，2]上是减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝1，g （2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －m ＝1，1＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1， ∵ n ≥0，∴n ＝－1舍去． 综上，m 、n 的值分别为1、0.(2) 由(1)知f(x)＝x ＋1x－2，∴ f(log 2x)－2klog 2x ≥0在x ∈[2，4]上有解等价于log 2x＋1log 2x－2≥2k log 2x 在x ∈[2，4]上有解， 即2k≤1()log 2x 2－2log 2x ＋1在x∈[2，4]上有解．令t ＝1log 2x，则2k≤t 2－2t ＋1，∵ x ∈[2，4]，∴ t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 记φ(t)＝t 2－2t ＋1，∵ 12≤t ≤1，∴ φ(t)max ＝14，∴ k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18. (3) 原方程可化为|e x －1|2－(3k ＋2)|e x－1|＋(2k ＋1)＝0.令|e x －1|＝t ，则t∈(0，＋∞)，由题意知t 2－(3k ＋2)t ＋2k ＋1＝0有两个不同的实数解t 1、t 2，其中0<t 1<1，t 2>1或0<t 1<1，t 2＝1.记h(t)＝t 2－(3k ＋2)t ＋2k ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋1>0，h （1）＝－k<0 或⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋1>0，h （1）＝－k<0，0<3k ＋22<1，解得k>0，∴ 实数k 的取值范围是(0，＋∞)．1. (2013·全国卷)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x －2，则f(－1)＝________．答案：－12. (2014·山东卷)函数f(x)＝1（log 2x ）2－1的定义域为_________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：由已知得(log 2x)2－1>0，即log 2x>1或log 2x<－1，解得x>2或0<x<12.3. (2013·天津卷)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log 2a)＋f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析：f(log 2a)＋f(log 12a )≤2f(1)即为2f(log 2a)≤2f(1)，|log 2a|≤1，所以12≤a ≤2.4. 已知f(x)＝m(x －2m)(x ＋m ＋3)，g(x)＝2x－2.若x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，则实数m 的取值范围是________．答案：(－4，0)解析：根据g(x)＝2x－2<0x<1，由于题目中条件的限制，导致g(x)在x≥1时必须是f(x)<0，当m ＝0时，f(x)＝0，不能做到g(x)在x≥1时，f(x)<0，所以舍去，因此f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0，且此时f(x)的2个根为x 1＝2m ，x 2＝－m －3，为保证条件成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2m<1，x 2＝－m －3<1，⎩⎪⎨⎪⎧m<12，m>－4和大前提m<0取交集结果为－4<m<0. 5. (2013·上海卷)甲厂以x kg/h 的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1) 要使生产该产品2 h 获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2) 要使生产900 kg 该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1) 根据题意，200⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 0005x －14－3x ≥0，又1≤x≤10，解得3≤x≤10. (2) 设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元．6. 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x 2－x 3，其中a>0. (1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2) 当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． 解：(1) f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝1＋a －2x －3x 2，令f′(x)＝0得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，∴ f ′(x)＝－3(x －x 1)(x －x 2)，当x<x 1或x>x 2时f′(x)<0；当x 1<x<x 2时f ′(x)>0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和(－1＋4＋3a 3，＋∞)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2) ∵ a>0，∴ x 1<0，x 2>0，① 当a≥4时x 2≥1，由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，∴ f(x)在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ② 当4>a>0时，x 2<1，由(1)知f(x)在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，∴ f(x)在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a ，∴ 当1>a>0时，f(x)在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f(x)在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当4>a>1时，f(x)在x ＝0取得最小值．(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2014·南通一模)已知a 为实常数，y ＝f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x －a3x2＋1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a－1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．解：(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)上的单调性即可．f ′(x)＝2＋2a3x3，令f ′(x)＝0，得x ＝－a.(2分)① 当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)上单调递增；(4分)② 当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a )上单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a ，0)上单调递减．(6分)综上所述：当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a ＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a)．(7分)(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x ＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 x －a 3x 2＋1＝2x ＋a 3x 2－1.(9分)① 当a ＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x ＞0成立，即2x ＋a3x2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a ＋4a≥a，所以a≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．(11分)② 当a ＝0时，f(x)＝2x －1＞－1＝a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．(12分)③ 当a ＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．所以f min (x)＝f(a)＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求．(13分)综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．(14分)1. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x －4)＝－f(x)且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．答案：－8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，所以f(x －4)＝f(－x)．又f(x)是奇函数，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.2. 已知函数f(x)＝x 3－(k 2－k ＋1)x 2＋5x －2，g(x)＝k 2x 2＋kx ＋1，其中k∈R .(1) 设函数p(x)＝f(x)＋g(x)．若p(x)在区间(0，3)上不单调，求k 的取值范围；(2) 设函数q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），x ≥0，f （x ），x ＜0.是否存在k ，对任意给定的非零实数x 1，存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1)，使得q ′(x 2)＝q′(x 1)成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解： (1)p(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋(k －1)x 2＋(k ＋5)x －1，p ′(x)＝3x 2＋2(k －1)x ＋(k ＋5)，因为p(x)在区间(0，3)上不单调，所以p′(x)＝0在(0，3)上有实数解，且无重根，由p ′(x)＝0得k(2x ＋1)＝－(3x 2－2x ＋5)，∴ k ＝－（3x 2－2x ＋5）2x ＋1＝－34⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x ＋1）＋92x ＋1－103，令t ＝2x ＋1，有t∈(1，7)，记h(t)＝t ＋9t ，则h(t)在(1，3]上单调递减，在[3，7)上单调递增，所以有h(t)∈[6，10)，于是(2x ＋1)＋92x ＋1∈[6，10)，得k∈(－5，－2]，而当k ＝－2时有p ′(x)＝0在(0，3)上有两个相等的实根x ＝1，故舍去，所以k ∈(－5，－2)．(2) 当x ＜0时，有q′(x)＝f′(x)＝3x 2－2(k 2－k ＋1)x ＋5；当x ＞0时，有q′(x)＝g′(x)＝2k 2x ＋k.因为当k ＝0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，记A ＝(k ，＋∞)，B ＝(5，＋∞)①，当x 1＞0时，q ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以要使q′(x 2)＝q′(x 1)成立，只能x 2＜0且A B ，因此有k≥5②，当x 1＜0时，q ′(x)在(－∞，0)上单调递减，所以要使q′(x 2)＝q ′(x 1)成立，只能x 2＞0且B A ，因此k≤5，综合①②k＝5；当k ＝5时A ＝B ，则x 1＜0，q ′(x 1)∈B ＝A ，即x 2＞0，使得q′(x 2)＝q′(x 1)成立．因为q′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x 2的值是唯一的；同理，x 1＜0，即存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1)，使q ′(x 2)＝q′(x 1)成立，所以k ＝5满足题意．。
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第3讲 基本初等函数1. 函数f(x)＝ln(x 2－x)的定义域为________． 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 2. y ＝log a (2－ax)(a>0，a ≠1)在[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________． 答案：(1，2)解析：y ＝log a (2－ax)是[0，1]上关于x 的减函数， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞0 1＜a ＜2. 3. 不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1－3x >2的解集为________． 答案：(－∞，0)4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是____________．答案：[0，＋∞)解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，21－x ≤2，解得0≤x≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 2x ≤2，解得x ＞1.综上x≥0.5. 若函数f(x)＝a x(a>0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．答案：146. 已知定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1，若f(x ＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案：[－1，1]解析：∵ f(x)是R 上的偶函数，且f(2)＝1，∴ f(2)＝f(－2)＝1；∵ f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(x ＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，∴ －2≤x＋a≤2，即－2－x ≤a ≤2－x 在x∈[－1，1]上恒成立，∴ －1≤a≤1.7. 若函数f(x)＝a －x ＋x ＋a 2－2是偶函数，则实数a 的值为________． 答案：2解析：∵ 函数f(x)＝a －x ＋x ＋a 2－2是偶函数，∴ a －x≥0，x ＋a 2－2≥0，2－a 2≤x ≤a ，此时要求2－a 2≤a ，首先定义域关于原点对称，∴ 2－a 2＝－a ，∴ a ＝2或－1.若a ＝－1，2－a 2＝1＞－1＝a ，故a ＝－1(舍去)，∴ a ＝2；当a ＝2时，f(x)＝2－x ＋x ＋2，f(－x)＝x ＋2＋2－x ＝f(x)，f(x)是偶函数．8. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系是________．答案：f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：∵ f(x－4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0，2]上是增函数，∴ f(x)在[－2，2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．9. 函数y ＝a x －1＋1(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn>0)上，则1m ＋2n 的最小值为________．答案：9解析：函数图象恒过定点(1，2)，从而m ＋2n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋2n ＝m ＋2n m ＋2m ＋4nn＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥9，当且仅当m ＝n 时取等号，∴ 1m ＋2n 的最小值为9.10. 若不等式(m 2－m)2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1对一切x∈(－∞，1]恒成立，则实数m 的取值范围是____________．答案：(2，3)解析：(m 2－m)2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1， x ∈(－∞，－1]恒成立 m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋12x， x ∈(－∞，－1]恒成立．设⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，t ∈[2，＋∞)，f(t)＝t 2＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14≥6，故m 2－m<6，－2<m<3.11. 已知函数f(x)＝12px 2－x ＋3在区间[－1，2]上的最大值为M ，最小值为m ，求当实数p 为何值时，2M ＋m ＝3.解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① 当p≤－1时，f(x)在[－1，2]上单调递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)；② 当－1＜p ＜0时，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p＋1，由2M ＋m＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)；③ 当0＜p ＜12时，M ＝f(2)＝2p ＋1，m ＝f(p)＝3－p2，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)；④ 当12≤p ≤2时，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(p)＝3－p2，由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)；⑤ 当p ＞2时，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p＋1，由2M＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立． 12. 已函数f(x)＝1＋x －x. (1) 求函数f(x)的值域；(2) 若g(x)＝1－x ＋x ，判断函数F(x)＝lg f （x ）g （x ）的奇偶性；(3) 若函数y ＝f(ax)在区间(－1，1)上存在零点，求实数a 的范围．解：(1) 令t ＝1＋x ，则x ＝t 2－1， ∵ x ∈[－1，＋∞)，∴ t ∈[0，＋∞)，∴ y ＝t －(t 2－1)＝－t 2＋t ＋1，∴ y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54，即函数f(x)的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(2) 由题意，x ∈[－1，1]，F(x)＝lg 1＋x －x 1－x ＋x，F(－x)＝lg 1－x ＋x1＋x －x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 1－x ＋x －1＝－lg1＋x －x1－x ＋x＝－F(x)，∴ 函数F(x)＝lg f （x ）g （x ）为奇函数．(3) 由题意，1＋ax －ax ＝0在区间(－1，1)上有解，即1＋ax ＝ax ， ① a ＝0时不合题意；② a>0时，即1＋ax ＝ax 在(0，1)上有解，∴ a 2x 2－ax －1＝0，由图象，a 2－a －1>0，解得a>1＋52；③ a<0时，即1＋ax ＝ax 在(－1，0)上有解，∴ a 2x 2－ax －1＝0，由图象，a 2＋a －1>0，解得a<－1－52.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.13. 已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1(a∈R )，f ′(x)是f(x)的导函数．(1) 若x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a 的取值范围； (2) 解关于x 的方程f(x)＝|f′(x)|；(3) 设函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f′（x ），f （x ）≥f′（x ），f （x ），f （x ）<f′（x ），求g(x)在x ∈[2，4]时的最小值．解：(1) 因为f(x)≤f′(x)，所以x 2－2x ＋1≤2a(1－x)．又－2≤x≤－1，所以a≥x 2－2x ＋12（1－x ）在x∈[－2，－1]时恒成立． 因为x 2－2x ＋12（1－x ）＝1－x 2≤32，所以a≥32.(2) 因为f(x)＝|f′(x)|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a|，所以(x ＋a)2－2|x ＋a|＋1－a 2＝0，则|x ＋a|＝1＋a 或|x ＋a|＝1－a. ① 当a ＜－1时，|x ＋a|＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ② 当－1≤a≤1时，|x ＋a|＝1－a 或|x ＋a|＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a)；③ 当a ＞1时，|x ＋a|＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a)． (3) 因为f(x)－f′(x)＝(x －1)[x －(1－2a)]，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f′（x ），f （x ）≥f′（x ），f （x ），f （x ）＜f′（x ）.① 若a≥－12，则x∈[2，4]时，f (x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x ＋2a ，从而g(x)的最小值为g(2)＝2a ＋4；② 若a ＜－32，则x∈[2，4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a＜－32时，g(x)的最小值为g(2)＝4a ＋5，当－4＜a ＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a 2， 当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a ＋17.③ 若－32≤a ＜－12，则x∈[2，4]时，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a ），2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4].当x∈[2，1－2a)时，g(x)的最小值为g(2)＝4a ＋5； 当x∈[1－2a ，4]时，g(x)的最小值为g(1－2a)＝2－2a.因为－32≤a ＜－12，(4a ＋5)－(2－2a)＝6a ＋3＜0，所以g(x)的最小值为4a ＋5.综上所述，[g(x)]min＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4＜a ＜－2，4a ＋5，－2≤a≤－12，2a ＋4，a ≥－12.。