2018备战高考之以函数为背景的创新题型

故 f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的 x1，x2，x3∈R 恒成立． ex＋t t－1 由 f(x)＝ x ＝1＋ x ， e ＋1 e ＋1 设 ex＋1＝m(m>1)，则原函数可化为 f(m)＝1＋
t－1 (m>1)， m
当 t>1 时，函数 f(m)在(1，＋∞)上单调递减， 所以 f(m)∈(1，t)，此时 2<f(x1)＋f(x2)<2t,1<f(x3)<t，要使 f(x1) ＋f(x2)>f(x3)对任意的 x1，x2，x3∈R 恒成立， 需 t≤2，所以 1<t≤2； 当 t＝1 时，f(x)＝1，显然满足题意； 当 t<1 时，函数 f(m)在(1，＋∞)上单调递增， 所以 y∈(t,1)，此时 2t<f(x1)＋f(x2)<2，t<f(x3)<1， 要使 f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的 x1，x2，x3∈R 恒成立， 1 需满足 2t≥1，所以 ≤t<1. 2 1 综上 t∈[ ，2]． 2 4．若直角坐标平面内的两点 P，Q 满足条件：①P，Q 都在函数 y＝f(x) 的图象上；②P，Q 关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数 y＝f(x)的 一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已
mx－1 1 在[ ，e]上是“e 度和谐函数” ，则 m 的取值范 x e
mx－1 x
x
1 1 x－1 h′(x)＝－ 2＋ ＝ 2 ， x x x 1 故当 x∈[ ，1)时，h′(x)<0，函数 h(x)单调递减； e 当 x∈[1，e]时，h′(x)≥0，函数 h(x)单调递增． 所以函数 h(x)的最小值为 h(1)＝－m＋1， 1 1 而 h( )＝－m＋e－1，h(e)＝－m＋ ＋1， e e 1 显然 e－1> ＋1， e 1 所以 h( )>h(e)， e 1 故函数 h(x)的最大值为 h( )＝－m＋e－1. e 1 故函数 h(x)在[ ，e]上的值域为[－m＋1，－m＋e－1]． e 由题意，得|h(x)|≤e，即－e≤h(x)≤e，
①f(2)＝0； ②f(x)的图象关于点(2,0)对称； ③f(x)在区间(3,4)上为常数函数； ④f(x)为偶函数． 其中真命题为________(写出所有真命题的序号)． 答案 ①②③ 解析 如图所示．
①由定义可知 2 的象为 0.即 f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称 的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知
x
答案 2 解析 ∵函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 2 ∴函数 f′(x)＝ ＋ 2>0，
x x
即函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 2 由 f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－ >0， e 知 x0∈(2，e)，∴[x0]＝2. 6．(2014·辽宁改编)已知定义在[0,1]上的函数 f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0； 1 ②对所有 x，y∈[0,1]，且 x≠y，有|f(x)－f(y)|< |x－y|. 2 若对所有 x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|<k 恒成立，则 k 的最小值为 ________． 答案 1 4
个函数： ①f(x)＝(x－1)2；②f(x)＝|2x－1|；③f(x)＝cos π x；④f(x)＝ex. 2
其中存在“稳定区间”的函数有________．(填出所有满足条件的函数 序号)
答案 ①②③ 解析 据已知定义所谓的“稳定区间”即函数在区间[a，b]内的定义
域与值域相等． 问题可转化为已知函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝x 是否相交，若相交 则两交点所在区间即为函数的“稳定区间” ，数形结合依次判断①②③ 均符合条件，而对于④易知由于 f′(x)＝ex，故 f(x)＝ex 在原点处的 切线方程即为 y＝x，故不符合条件．综上可知①②③均为存在“稳定 区间”的函数． 10．(2014·山东)已知函数 y＝f(x)(x∈R)．对函数 y＝g(x)(x∈I)， 定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为函数 y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x) 满足：对任意 x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x)) 对称．若 h(x)是 g(x)＝ 4－x2关于 f(x)＝3x＋b 的“对称函数” ，且
－m＋1≥－e， 所以 －m＋e－1≤e，
解得－1≤m≤1＋e.
3．(2014·苏州模拟)对于函数 f(x)，若任意的 a，b，c∈R，f(a)，
f(b) ，f(c)为某一三角形的三边长，则称 f(x) 为“可构造三角形函
ex＋t 数” ．已知函数 f(x)＝ x 是“可构造三角形函数” ，则实数 t 的取值 e ＋1 范围是________． 1 答案 [ ，2] 2 解析 因为对任意的实数 x1，x2，x3∈R， 都存在以 f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，
元素是否具有性质 P，并恰当构造反例，进行否定． (1) 当 n ＝ 10 时 ， A ＝ {1,2,3 ， … ， 19,20} ， B ＝ {x ∈ A|x>9} ＝
OC，即 x1x2＋y1y2＝0 成立，故 M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}是“垂直双点
集” ． 对于③，M＝{(x，y)|y＝log2x}，如图 2 所示，在曲线 y＝log2x 上， 取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂 直，所以不是“垂直双点集” ．
对于④，M＝{(x，y)|y＝ex－2}，如图 3 所示，在曲线 y＝ex－2 上， 对任意(x1，y1)∈M，总存在(x2，y2)∈M，使得 x1x2＋y1y2＝0 成立，例 如取(0，－1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义． 8．如图展示了由区间(0,4)到实数集 R 的一个映射过程：区间(0,4)中 的实数 m 对应数轴上的点 M(如图 1)，将线段 AB 围成一个正方形，使 两端点 A，B 恰好重合(如图 2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系 中，使其中两个顶点在 y 轴上(如图 3)，点 A 的坐标为(0,4)，若图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N(n,0)，则 m 的象就是 n，记作 f(m)＝n.现给 出以下命题：
S 满足性质 P： “存在不大于 n 的正整数 m，使得对于 S 中的任意一对元
素 s1，s2，都有|s1－s2|≠m” ，则称 S 为理想集．对于下列命题： ①当 n＝10 时，集合 B＝{x∈A|x>9}是理想集； ②当 n＝10 时，集合 C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是一个理想集； ③当 n＝1 000 时，集合 S 是理想集，那么集合 T＝{2 001－x|x∈S} 也是理想集． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)． 答案 ②③ 解析 根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的
y2)∈M，使得 x1x2＋y1y2＝0 成立，则称集合 M 为“垂直双点集” ．给出
下列四个集合： 1 ①M＝{(x，y)|y＝ }；②M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}；③M＝{(x，y)|y
x
＝log2x}；④M＝{(x，y)|y＝ex－2}．其中是“垂直双点集”的序号是 ________． 答案 ②④ 1 解析 对于①，y＝ 是以 x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角
h(x)>g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是________．
答案 (2 10，＋∞) 解析 由已知得
h(x)＋ 4－x2
2
＝ 3x ＋ b ， 所 以 h(x) ＝ 6x ＋ 2b －
4－x2.h(x)>g(x)恒成立， 即 6x＋2b－ 4－x2> 4－x2， 3x＋b> 4－x2 恒成立． 在同一坐标系内，画出直线 y＝3x＋b 及半圆 y＝ 4－x2(如图所示)， 可得
x
为 90°，在同一支上，任意(x1，y1)∈M，不存在(x2，y2)∈M，满足“垂 直双点集”的定义；对任意(x1，y1)∈M，在另一支上也不存在(x2，y2)
∈M，使得 x1x2＋y1y2＝0 成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不 是“垂直双点集” ．
对于②，M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}，如图 1 所示，在曲线 y＝sin x ＋1 上，对任意的点 B(x1，y1)∈M，总存在点 C(x2，y2)∈M，使得 OB⊥
b
10
>2，即 b>2 10，故答案为(2 10，＋∞)．
11．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数 为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2 x，f2(x)＝log2 (x＋ 2)，f3(x)＝(log2 x)2，f4(x)＝log2(2x)．则“同形”函数是________． 答案 f2(x)与 f4(x) 解析 f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将其向下平移 1 个单位得到 f(x) ＝log2x，再向左平移 2 个单位，即得到 f2(x)＝log2(x＋2)的图象．故 根据新定义得，f2(x)＝log2 (x＋2)与 f4(x)＝log2 (2x)为“同形”函 数． 12．已知集合 A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)．对于 A 的一个子集 S，若
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以函数为背景的创新题型
1．设 D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域 D 夹在直线 y＝ －1 与 y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为 S，则函数 S＝f(t)的 图象的大致形状为________．
答案 ③ 解析
如图，平面区域 D 为阴影部分，当 t＝－1 时，S＝0，排除④；当 t＝ 1 1 － 时，S> Smax，排除①②. 2 4 2．设函数 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对 任意的 x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤k(k>0)，则称 f(x)与 g(x)在 [a， b]上是 “k 度和谐函数” ， [a， b]称为 “k 度密切区间” ． 设函数 f(x) ＝ln x 与 g(x)＝ 围是________． 答案 [－1，e＋1] 解析 设 h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－数在此区间上为常数函数；④因为函数