2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义课件
2017-2018学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.
3.1.1 数系的扩充和复数的概念[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 答案：D2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，3a 的值为( ) A B ．1 C D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.答案：C4．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.答案：A5．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：B6．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3) i(x ∈R)，则x ＝________.解析：∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.答案：37．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.解析：因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1. 答案：18．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 解析：复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2.故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数． 答案：－29．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数；(2)z 是纯虚数． 解析：(1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解析：因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.[B 组 能力提升]1．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝3且y ＝5 B ．x ＝3且y ＝0 C ．x ＝2且y ＝0 D ．x ＝2且y ＝5解析：易知z 1＝2＋i由z 1＝z 2，即2＋i ＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝22x －y ＝1解得x ＝3且y ＝5.答案：A2．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a >0且a ＝±b解析：z 为纯虚数 ∴a ＋|a |≠0且a 2－b 2＝0 因此得a >0且a ＝±b . 答案：D3．已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，则实数m 的值是________． 解析：设x ＝a 为方程的一个实根则有a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0. 因为a ，m ∈R ，由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝112，a ＝－12.答案：1124．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2, 则a 的值为________． 解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.答案：05．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R)，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解析：由z 1＝z 2，即m ＋(4－m 2)i ＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，m ∈R)得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得λ＝4－4cos 2θ－3sin θ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916由于－1≤sin θ≤1.故－916≤λ≤7，即λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1(x ，y ∈R)，求复数z ＝x 2＋y i.解析：由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y .解之得x ＝－1，y ＝2 因此z ＝x 2＋y i ＝1＋2i.。
2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版[1]
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3．1 数系的扩充[学习目标］1。
了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念。
3。
掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．［知识链接]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引］1．复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R,i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i。
(3）复数集定义:全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系（1)复数(a＋b i，a，b∈R)错误!(2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a,b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d。
2017-2018学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第8课时 数系的扩充与复数的引入课件
类型三 两个复数相等的充要条件的应用 【例 3】 已知集合 M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－ 1,1,4i}，若 M∪P＝P，求实数 m 的值．
解析：因为 M∪P＝P，所以 M⊆P， 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
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类型一 复数的相关概念
【例 1】 (1)复数 3－i 的实部和虚部分别是( C )
A．3 和 1 B．3 和 i
C．3 和－1 D．3 和－i
(2)下列命题：
①若 z＝a＋bi，则仅当 a＝0，b≠0 时 z 为纯虚数；②若(z1－z2)2 ＋(z2－z3)2＝0，则 z1＝z2＝z3；③若实数 a 与 ai 对应，则实数集与 纯虚数集可建立一一对应关系．
(2)当 8＝(a2－1)＋(b＋2)i 时，得ab2＋－21＝＝08， ∴ab＝＝3－2 或ab＝ ＝－ －32. 由(1)知ab＝ ＝－ －32 不合题意，舍去，∴ab＝＝3－2. 综上，ab＝ ＝－ 2 3 或ab＝ ＝3－2.
讲重点 (1)通过第一条性质我们知道 i 是－1 的一个平方根，即 i 是方 程 x2＝－1 的一个解． (2)第二条性质是扩充数系的原则之一，这里只提加、乘运算， 不提减、除，并不是对减法和除法不成立，而是为了与后面讲复数 的四则运算时，只对加法和乘法法则作出规定，使把减法、除法定 义为加法、乘法的逆运算的做法相一致．学习时应注意这一点．
解析：(1)要使 z 是实数，m 需满足 m2＋2m－3＝0，且mmm－＋12 有意义即 m－1≠0，解得 m＝－3.
(2)要使 z 是虚数，m 需满足 m2＋2m－3≠0，且mmm－＋12有意义 即 m－1≠0，解得 m≠1 且 m≠－3.
2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的
3.1.1 实数系 3.1.2 复数的引入(一) 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.1.复数的有关概念(1)复数①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位.a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).(2)复数集 ①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数b ＝虚数b ⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝非纯虚数a(2)集合表示：3.复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .[情境导学]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数.数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题.探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数.思考2 如何理解虚数单位i?答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立.(4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数. 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数.①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由.(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数.解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数. (2)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数.(3)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3.∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究点二 两个复数相等思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值.解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.1.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5 D.±2，1 答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案 C3.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m m ＋＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4.下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R )是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数.其中正确命题的个数为( )A.3B.4C.5D.6 答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误.[呈重点、现规律]1.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.。
2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充与复数的概念优
[解析] ∵log12(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，
∴log12m＋n≥－1， －m2－3m＝0，
∴0m<＝m0＋或nm≤＝2，3.
∵m，n∈N， ∴m＝0，n＝1 或 n＝2．
『规律总结』 已知两个复数的大小求参数值时，一般先由 求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可．
• 〔跟踪练习4〕
• (1)已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且 2．
• (2)若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i 2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合 使z1<z2的m值的集合又是什么？
• [解析] (1)∵z<0，
• ∴z∈R．故复数的虚部k2－5k＋6＝0，即(k－2 ，
2．已知 A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3 则实数 a 的值为__－__1__．
[解析] 以 A∩B＝{3}为解题突破口，按题意 a2－3a－1＋(a ∴aa22－ －35aa－ －16＝ ＝30， . 解得 a＝－1．
[解析] (1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，z 是实数 (2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数． (3)当kk22－ －35kk－ －46＝ ＝00， ， 即 k＝－1 时，z 是零．
命题方向3 ⇨复数相等的条件
• 典例 3 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3 y－3i，求x与y．
要准确掌握复数的概念
• 典例 5 在下列命题中，正确命题的个数是( • ①两个复数不能比较大小；
• ②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z • ③若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2的全部内容。
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。
2．一致。
3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。
广东高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念1学案
3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数表示形式及其有关概念．【重点难点】重点：引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．难点：复数概念的理解．【学习过程】一．课前预习阅读教材5052P P -的内容，了解复数概念的建立过程，并注意一下问题：1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？（1）自然数：计数需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集N ，，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .3. 每次数系的扩充，解决了什么问题？（1）分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.（2）负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.（3）无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾.（4）在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程210x +=无解，那么在什么范围内才有解？二．课堂学习与研讨1.独立思考·解决问题1.实系数一元二次方程210x +=没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．要解决这一问题，最根本的问题是要解决1-的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于1-．N Z Q R2.根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做 ，并规定：（1）21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．3．复数的概念：根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数；a 叫做 ，b 叫做 ；这种形式的复数叫做复数的 ．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，有：*N N Z Q R C ．4.实数、虚数、纯虚数：对于复数),(R b a bi a ∈+，当且仅当0b =时，它是 ；当且仅当0a b ==，它是实数0；当0b ≠时，叫做 ；当0a =，0b ≠时，叫做 .5. 复数相等的充要条件：在复数集2{|,,1}C a bi a b R i =+∈=-中任取两个复数：a bi +，c di +，,,,abcd R ∈，规定：a bi c di a c +=+⇔=且b d =.2.师生探索，合作交流例1. 当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；动动手：1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？( 1 ) 217i + ；( 2 )2i - ；( 3 )0 ，( 4 )2i ；( 5 )sin cos 66i ππ- . 2.已知复数2(1)()z m i m i =+-+，当m 为何值时，z 是虚数？是纯虚数？例2.已知i y y i x )3()12(--=+-，其中，,x y R ∈，求x 与y ．动动手：已知2(12)320(,)x i x mi i x m R ++--=∈，求实数m 的值.3．达标检测(1)已知(21)(3)x i y y i -+=--，则,x y 分别是________________.(2)若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为_________________. (3)若()()2223256i 0x x x x --+-+=，则实数x 的值是 .4．归纳与小结(1)在(,)z a bi a b R =+∈中，实部是a ，虚部是b ，易错为虚部是bi ；(2)两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等；(3)在复数集中，如果两个复数中至少有一个是虚数，则这两个数不能比较大小，只有这两个数都是实数才可以比较大小.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的相关概
2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念检测新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念检测新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1。
1 数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．在2＋错误!，错误!i，0，8＋5i，（1－错误!）i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为（）A．0 B．1C．2 D．3解析：错误!i,(1－错误!)i是纯虚数,2＋错误!，0,0.618是实数,8＋5i是虚数．答案：C2．复数z＝a2－b2＋(a＋｜a|）i（a，b∈R)为实数的充要条件是（）A．|a|＝|b｜B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠b D．a≤0解析：因为z＝a2－b2＋（a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，所以a＋｜a|＝0，因此a≤0。
答案：D3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( ）A．－2＋i B．2＋iC． 1－2i D．1＋2i解析：由i2＝－1,得x i－i2＝1＋x i,则由题意得1＋x i＝y＋2i，所以由复数相等的充要条件得x＝2,y＝1，故x＋y i＝2＋i.答案：B4．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数;②若z2，1＋z错误!＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3解析：在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制,故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z错误!＋z错误!＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误;在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案：A5．已知集合M＝{1，2，（m2－3m－1)＋（m2－5m－6)i｝，N＝{－1，3},且M∩N＝｛3}，则实数m的值为( ）A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6解析:由于M∩N＝{3｝,故3∈M,必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z＝m2(1－i)－m（m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z＝m2＋m2i－m2－m i＝（m2－m）i，所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.答案：0或17．已知x2－x－6x＋1＝（x2－2x－3)i（x∈R)，则x＝________．解析:因为x∈R，所以错误!∈R，由复数相等的条件得：错误!解得x＝3.答案：38．若复数m－3＋（m2－9)i≥0，则实数m的值为________．解析：依题意知错误!解得错误!即m＝3.答案：3三、解答题9．已知关于实数x,y的方程组错误!有实数解，求实数a，b的值．解：对①,根据2x－1＋i＝y－（3－y)i（x，y∈R）,得错误!解得错误!③把③代入②，得5＋4a－（6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，所以错误!解得错误!10．已知m∈R,复数z＝错误!＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，（1）z∈R；（2)z是虚数;(3)z 是纯虚数．解：（1）复数z＝错误!＋（m2＋2m－3)i是实数，则错误!解得m＝－3，所以当m＝－3时，z∈R。
文科学案3.1.1数系的扩充和复数的引入
第三章 数系的扩充和复数的引入一、［课标要求］1．复数的概念① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件.③ 了解复数的代数表示法及其几何意义.二、［知识盘点］1.复数的有关概念（1）复数的单位为 ，它的平方等于 ，即 。
（2）复数：形如 的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为 。
（3）两个复数相等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。
2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点 一一对应。
（2）在复平面内，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）.（4）向量OZ 的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 ，记作 ，并且||______.z =（5）相等的向量表示 复数。
三、课前预习1．指出下列各数中，哪些是实数，试找出它们各自的实部和虚部？哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？72+，618.0， i 72， 0， i ， 2i ， 85+i ， i 293-， )31(-i ， i 22-2．说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？i 312+-， i +2， 22， i 3-，0四、典型例题例1、实数x 取何值时，复数(2)(3)z x x i =-++：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【变式训练1】当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例2、求适合下列方程的x 和y (,)x y R ∈的值：（1）(2)6()x y i x x y i +-=+-；（2）(1)(2)0x y x y i ++--+=.【变式训练2】已知,x y 是实数，且2222x y xyi i -+=，求,x y 的值。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
引入一个新数：
i
满足
(i) 1
2
现在我们就引入这样一个数 i ，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和 分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .
第三章 数系的扩充和复数的概念
3.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1
数系的扩充和复数的概念
知识回顾
数的概念是从实践中产生
N R Q Z
和发展起来的。随着生产和
科学的发展，数的概念也不
断的被扩大充实
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集
有理数集
实数集
我们可以用下面一组方程来形象的说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程
2
x 1 0 没有实数根．
2
x 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
讲解新课
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部
练一 练
虚部
其中
i 称为虚数单位。
说出下列复数的实部和虚部
0,
2 1 , －2＋ i , 2 3
2018学年高中数学选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 精品
复数相等的充要条件
已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，
N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4
B．－1
C．－1或4
D．－1或6
[思路点拨] M∩N＝{3} ⇒ 3∈M ⇒ m2－3m－1＋m2－5m－6i＝3 ⇒ m2－3m－1＝3且m2－5m－6＝0 ⇒ 求得m的值
2．复数代数形式的应用 (1)由代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数． 若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R) 若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相 等或不相等，但当两个复数都是实数时，可以比较大小．
【错解】 由－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i，得
－2＋a＞－5， －b－a＞a＋2b－6，
解得ab＞＜－2. 3，
【错因】 错解想当然地认为大的复数所对应的实部和虚 部都大，而忽视了只有实数才能比较大小的前提，因此本题中 的复数应为实数．
【正解】 由－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i，可得 a＋3＋(－3b＋6)i＞0，
[提示] 引入一个新数：i―规―定→i2＝－1
复数的概念及其代数表示法
1．复数的定义：形如___a_＋__b_i___的数叫作复数．其中i叫 作____虚__数__单__位_____，满足：i2＝__－__1__.
2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即__z_＝__a_＋__b_i _， 这种表示形式叫作复数的代数形式，其中实数a叫作复数z的 __实__部___，实数b叫作复数z的___虚__部____．
特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用 的是标准形式的代数式，若不是复数的标准代数形式，应先化 为复数的标准代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解、 判断复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的 实部是否有意义．
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系
= =
1, 1
C.
������ ������
= =
0, 2
D.
������ = -1, ������ = -1
解析:由
������ + ������ = 2, 得 ������-������ = 0,
������ ������
= =
1, 1.
故选B.
答案:B
知识梳理
3.复数的分类 (1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时, 它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数. 这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下: 复数������ 实数(������ = 0)
我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,且b=d .
温馨提示应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两
边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解. 【做一做2】 满足x+y+(x-y)i=2的实数x,y的值为 ( )
A.
������ ������
= =
2, 0
B.
������ ������
要条件;但若a=0,且b=0,则a+bi=0为实数,即不是充分条件.故选B.
答案:B
重难聚焦
1.数系扩充的一般原则是什么? 剖析数系扩充的脉络是:自然数系→整数系→有理数系→实数系 →复数系,用集合符号表示为N→Z→Q→R→C. 从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩 充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加 法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换律和结 合律,乘法对加法满足分配律. 一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则: (1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集; (2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性 质(如运算定律)依然适用; (3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变; (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.
2017-2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充教案苏教版选修1_2
3.1数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。
教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业1、【自主学习】(课前完成)阅读教材《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：(1) 你对数的发展的了解(2) 由得你有，何困惑？(3)方根2-=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？(5)复数的有关概念？(6)实数集R与复数C的关系？2、【合作探究】探究任务一：数系的扩充过程。
问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数
3.1.2 复数的几何意义[课时作业][A 组 基础巩固]1．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：∴m ＋3>0，m －1<0，∴－3<m <1，故选A.答案：A2．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是( )A.π6B ．－π6 C.2π3 D.5π6 解析：∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)，∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π. 答案：D3．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．±1或0 解析：由题意得： a 2＋4＝4＋1 ⇒a 2＝1⇒a ＝±1.答案：C4．向量OA →对应的复数为1＋4i ，向量OB →对应的复数为－3＋6i ，则向量OA →＋OB →对应的复数为( )A ．－3＋2iB ．－2＋10iC ．4－2iD ．－12i解析：向量OA →对应的复数为1＋4i ，向量OB →对应的复数为－3＋6i ，所以OA →＝(1,4)，OB →＝(－3,6)，所以OA →＋OB →＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，所以向量OA →＋OB →对应的复数为－2＋10i.答案：B5．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1，3)D ．－1＋3i解析：∵|OZ →|＝|z |＝2，及OZ →与实轴正方向夹角为120°.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)则x ＝|z |·cos 120°＝2cos 120°＝－1，y ＝|z |sin 120°＝ 3.∴复数z ＝－1＋3i.答案：D6．在复平面内，复数z ＝sin 2＋cos 2i 对应的点位于________象限．解析：由π2<2<π，知sin 2>0，cos 2<0 ∴复数z 对应点(sin 2，cos 2)位于第四象限．答案：第四7．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________．解析：由题意得z ＝a ＋i ，根据复数的模的定义可知|z |＝ a 2＋1.因为0<a <2，所以1<a 2＋1<5，故1<a 2＋1< 5.答案：(1，5)8．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．解析：由模的计算公式得x －22＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 答案：(x －2)2＋y 2＝89．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点(1)位于第二象限；(2)位于直线y ＝x 上．解析：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.10．已知m ，n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋log 2(m －2)i 为纯虚数，复数z ＝m ＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，求|z |.解析：由纯虚数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ log 2m 2－3m －3＝0，log 2m －2≠0，解得m ＝4.所以z ＝4＋n i.因为z 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，所以4＋n －2＝0，所以n ＝－2.所以z ＝4－2i ，所以|z |＝ 42＋－22＝2 5. [B 组 能力提升]1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则OC →(O为坐标原点)对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：由复数的几何意义，则A (6,5)，B (－2,3)又点C 为线段AB 的中点∴点C 的坐标为(2,4)故向量OC →的对应复数z c ＝2＋4i.答案：C2．已知z ＝cos π4＋sin π4i ，i 为虚数单位，那么平面内到点C (1,2)的距离等于|z |的点的轨迹是( )A ．圆B ．以点C 为圆心，半径等于1的圆C ．满足方程x 2＋y 2＝1的曲线D ．满足(x －1)2＋(y －2)2＝12的曲线 解析：设所求动点为(x ，y )，又|z |＝cos 2π4＋sin 2π4＝1， 所以x －12＋y －22＝1，即(x －1)2＋(y －2)2＝1.故所求点的轨迹是以C (1,2)为圆心，以1为半径的圆．答案：B3．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________.解析：解法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i. 根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧ x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，∴z ＝i.解法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ，等式两边取模，得|z |＝|z |－12＋12. 两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1.把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i.答案：i4．已知实数m 满足不等式|log 2m ＋4i|≤5，则m 的取值范围为________。
2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.
3.1.1数系的扩充和复数的概念［课时作业］［A组基础巩固］1 .下面四个命题(1) 0 比一i 大;(2) 两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数;⑶x + y i = 1 + i的充要条件为x = y= 1 ；(4)如果让实数a与a i对应，那么实数集与纯虚数集 --------- 对应，其中正确的命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3解析：(1)0比—i大，实数与虚数不能比较大小；(2) 两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；(3) x + y i = 1 + i的充要条件为x = y= 1是错误的，因为没有表明x, y是否是实数；⑷当a= 0时，没有纯虚数和它对应.A .答案：A2 22. 复数z= a —b + (a+ |a|)i( a, b€ R)为实数的充要条件是()iA. | a| = | b|B. a v 0 且a=—bC. a> 0 且a^ bD. a<0解析：复数z为实数的充要条件是a+ | a| = 0,故a w 0.答案：D3. a= 0是复数z= a+ b i( a, b€ R)为纯虚数的()A. 充分条件但不是必要条件、)B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：a= 0且0,贝U z= a+ b i是纯虚数，若z = a+ b i是纯虚数，则a= 0.a= 0是z= a+ b i为纯虚数的必要但不充分条件.答案：B4. (i —i—1)3的虚部为()A. 8iB.—8iC. 8D.—8解析：(i.2—i ) = (i —.) = (i . ) = ( . ) = (2i) =—8i，虚部为一8答案：D5.若1+ 2i 是关于x 的实系数方程x 2 + bx + c = 0的一个复数根，则()A. b = 2, c = 2 B . b =- 2, c = 3C. b =-2, c =- 1D. b = 2, c =- 1解析：由题意知1+ 2i 是实系数方程x 2+ bx + c = 0的一个根，•••(1 + 2i) 2+ b (1 + 2i) + c = 0，即(2 2 + 2b )i + b + c - 1 = 0, ••• 2 2 + 2b = 0, b + c - 1 = 0,解得 b =- 2, c = 3. 答案：B£6. _______________________________________________________ 若复数z = (m + 1) + (吊―9)i v 0,则实数 m 的值等于 __________________________________________ .解析：••• z = ( m + 1) + (n l -9)i v 0,「. z 为实数，Cj2• m — 9= 0，得 n =± 3,--n = — 3.答案：—3|7.关于x 的方程3x 2- x -1 = (10 -x - 2x 2)i 有实根，则实数2a 的值为 解析：设方程的实数根为x = m ,则原方程可变为3吊-|m - 1 = (10 — m - 2m )i ,⑵z 是虚数； (3) z 是纯虚数； 1⑷ z = 2+ 4i.解析：⑴若z € R,帚 + 2 m- 3 = 0,则m 须满足cm — 1 工 0.解之得mi=- 3.r" 2m + 2 m — 3工0⑵ 若z 是虚数，则 m 须满足＜m — 1 工 0,解之得m 皆1且m ^— 3.⑶若z 是纯虚数，rm /.-------- =0,则m 须满足仆1m + 2 m — 3工 0.解之得m = 0或m =— 2.1⑷若 z= 2 + 4i ,fm21则m 须满足m — 12'方程组无解m i + 2 m — 3= 4,所以mE ?.阳―|m- 1 =0, 2J0 - m - 2m = 0,71解得a = 11或a =- -571答案：11或—55&若(x - 2y )i = 2x + 1 + 3i ，则实数x , y 的值分别为]2x + 1 = 0,解析：依题意得x - 2y = 3,r1 x =- 2, 所以」7 4.“亠 1 7 答案：—2,- 49.已知m€R,复数z =m m+? m — 1+ (吊+ 2m — 3)i ，当m 为何值时,(1) z € R ;10.已知M= {1 , (m j—2m) + ( n i+ m—2)i} , P= { —1,1,4i}，若MJ P= P,求实数m的值.解析：••• MU P= P,「. M P.2 2 2 2•••(m—2m) + (m + m—2)i =—1 或(m—2rr) + ( m+ m—2)i = 4i.由(m l—2m) + ( rm + m—2)i =—1,rT — 2m=— 1, 得 2 解得m= 1.m+ m—2= 0.由(m l—2n) + ( m + m—2)i = 4i ,匚2m —2m= 0,得2 解得m= 2.m+ m—2 = 4.■-综上可知，实数m的值为1或2.[B组能力提升]1.已知集合M= {1,2 , (r m- 3件1) + (吊一5论6)i} , N= {—1,3} , M T N=⑶，则实数m的值为(A. 4B.—1C.—1 或4D.—1 或6解析：由MA N=⑶得3€ M故(m l—3m- 1) + (m i—5 m- 6)i =3,m—3 m—1 =3,因此得2m= 4 或m=—1,解得m= 6或m=—1.，所以m的值为一1.答案：B2. 2 2若复数(x + y —4) + (x —y)i是纯虚数，则点(iw x , y)的轨迹是(A. 以原点为圆心，以2为半径的圆B. 两个点，其坐标为C. 以原点为圆心，以D. (2,2) , ( —2, —2)2为半径的圆和过原点的一条直线2为半径的圆，并且除去两点(.2, 2) , ( —2, —2)以原点为圆心，以解析：因为复数(X2+ y2—4) + (x —y)i是纯虚数, x +y —4 =0,x —丰f2 2 , 小■ x + y —4= 0, X —y = 0,x =—,2,y=—Z x=、2, y=V2故点(X, y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(.2, ,2) ,( —2, 2).答案:3.若x是实数，y是纯虚数，且满足3x+ 1 + 4i =—y,则x =解析: 设y = b i( b€ R, 0),则有3x+ 1 + 4i =—b i ,故 y = — 4i.答案：02a — 7a + 6 2 z = 2 + (a 2— 5a — 6)i( a € R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别a — 1为：(1) 实数；(2)虚数；(3)纯虚数.解析：(1)当z 为实数时，a — 5a — 6= 0,a =— 1 或 a = 6, 则仁a — 1工 0,a ^± 1.•••当a = 6时，z 为实数.[a — 5a — 6工 0,(2) 当z 为虚数时，则有\ 2a — 1工 0.a ^— 1 且 a z 6,• laz± 1,即 a z±i 且 a z 6.•••当a z±i 且a z6时，z 为虚数.(3) 当z 为纯虚数时，,2a — 5a — 6 z 0,a z — 1 且 a z 6, a =6 且 a z± 1.3x + 1= 0,所以有4=— b .1X=— 3,，解得l b=— 4.答案：-1 一4i4.已知2Z 1 = — 4a + 1 + (2 a + 3a )i ,Z 2 = 2a + (a 2+ a )i ,其中 a € R , z i >Z 2，贝U a 的值 解析：由 __ 22 a + 3a = 0,Z 1> Z 2,得 a 2+ a = 0,—4a + 1 > 2a ,亠 3a = 0或 a = — 2, 即 a = 0或 a =— 1,1 a v —.k6解得a = 0.5.已知复数贝U 有 J a 2— 7a + 6〔a 2— 1=0.•不存在实数a使z为纯虚数.26.已知关于x 的方程x + (k + 2i) x + 2+ k i = 0有实根，求这个实根以及实数k 的值.解析：设x = x o 是方程的实根，代入方程并整理得(x 0+ kx c + 2) + (2x o + k )i = 0.x 2+ kx o + 2 = 0, 由复数相等的条件得＜ 2x o + k = 0,•••方程的实根为x = , 2或x =-2,•••相应的k 的值为k =-2 2或k = 2 2.Xo=解得丿X o = 或』-2,K =-2谑,。
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)
解析：由(1＋i)x＝1＋yi
.
所以，|x＋yi|＝ x2＋y2＝ 2.
答案：B
探究一 复数与复平面内点的关系 [例 1] (1)实部为－2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的( A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 )
复平面内的点Z(a，b) ． → 平面向量OZ .
→ ，并且规定，相等的向 为方便起见，我们常把复数 z＝a＋bi 说成点 Z 或说成向量OZ 量表示 同一个 复数．
3．复数的模
→ (1)定义：复数 z＝a＋bi(a、b∈R)对应的 向量OZ 的模叫复数 z 的模，记为|z|.
2 2 a ＋ b (r≥0 且 r∈R) ． (2)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝
3.1.2
复数的几何意义
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.了解复数的几何意义．
重点：复数的几何意义及复数的模.
2.理解复数的模的概念，会求复数的模. 难点：复数的几何意义及综合应用.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理] 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫作 实轴 ，y 轴叫作 虚轴 ，实 轴上的点都表示实数，除了 原点 外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
答案：C
4．已知 z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( A．z1>z2 C．|z1|>|z2| B．z1<z2 D．|z1|<|z2|
)
解析：|z1|＝ 52＋32＝ 34，|z2|＝ 52＋42＝ 41 ∴|z1|<|z2|.
答案：D
5．(2016· 高考全国Ⅰ卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x＋yi|＝( A．1 C. 3 B. 2 D．2
[双基自测] 1．其中说法错误的是( )
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (3)复数的模一定是正实数． → ＝(0，－3)，则OZ → 对应的复数 z＝－3i. (4)若OZ A．(2)(3) C．(1)(3) B．(3)(4) D．(1)(4)
1．实数 m 取什么值时，复平面内表示复数 z＝2m＋(4－m2)i 的点． (1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．
解析：复数 z＝2m＋(4－m2)i 对应复平面内点的坐标 P 为(2m,4－m2)． (1)若 P
2m＝0， 在虚轴上，则 2 4 － m ≠0，
即 m＝0.
(2)若点 P
(2)在复平面内，若复数 z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点满足如下条 件，分别求复数 z. ①在虚轴上；②在实轴负半轴上．
[解析]
(1)依题意， z＝－ 2＋i 对应点 Z(－2,虚轴上， 则 m2－ m－ 2＝ 0， 所以 m＝－ 1，或 m＝ 2， 此时， z＝6i，或 z＝0. ②若复数
[答案] D
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点 对应的复数即为向量对应的复数． 反之复数对应的点确定后， 从原点引出的指向该点 的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为 工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
→ 对应的复数为 2＋i. 2．在复平面内，O 是原点，向量OA → 对应的复数； (1)如果点 A 关于实轴的对称点为点 B，求向量OB (2)如果(1)中的点 B 关于虚轴的对称点为点 C，求点 C 对应的复数．
→ 对应的复数为 2＋i 解析：∵OA ∴点 A 的坐标为(2,1) (1)由于点 A 和点 B 关于实轴对称 ∴点 B 的坐标为(2，－1)， → 对应的复数 z ＝2－i 因此OB B (2)∵点 B(2，－1)与点 C 关于虚轴对称． ∴点 C 的坐标为(－2，－1)． → 对应的复数 z ＝－2－i. 故OC C
2m<0， 在第三象限，则 2 4－m <0，
解得 m<－2.
∴当点 P 位于第三象限时，实数 m 的范围是(－∞，－2)．
探究二
复数与复平面内向量的关系
→ → → [例 2] 设 O 是原点，向量OA，OB对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应 的复数是( A．－5＋5i C．5＋5i ) B．－5－5i D．5－5i
→ → [解析] 向量OA，OB对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一 → → 对应，可得向量OA＝(2，－3)，OB＝(－3,2)． → → → 向量BA＝OA－OB＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， → 根据复数与复平面内的点一一对应，得向量BA对应的复数是 5－5i.
答案：A
2．已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝( A. 5 C．－ 5 B．2 D．－2
)
解析：|z|＝|－1＋2i|＝ －12＋22＝ 5.
答案：A
3．复数 z＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
)
解析：z＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．
解析：(1)正确．根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实 数对应的点都在实轴上． (2)错误．根据虚轴的定义，y 轴叫虚轴，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所表示的 数 z＝0，除原点外，虚轴上的点表示纯虚数． (3)不正确，z＝0，|z|＝0. (4)由复数的几何意义可知(4)正确．
2 m － m－ 2<0， z 对应点在实轴负半轴上，则 2 m － 3m＋ 2＝ 0，
解得 m＝ 1. 所以 z＝－2.
[答案] (1)B
利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系： 复数的几何表示法即复数 z＝a＋bi(a， b∈R)可以用复平面内的点 Z(a， b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不 等式(组)求解．