本科线性代数自测复习题
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量v = (1, 2, 3)，向量w = (4, 5, 6)，则向量v与向量w 的点积为：A. 32B. 34C. 36D. 38答案：A3. 对于线性变换T: R^3 → R^2，如果T(x, y, z) = (x + z, y - z)，那么T的秩是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB = BA，则称矩阵A和B是可交换的。
若A和B是两个n阶实对称矩阵，且AB = BA，那么：A. A和B一定可交换B. A和B一定不可交换C. A和B可交换或不可交换D. 无法判断A和B是否可交换答案：A5. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. trace(A) = trace(A^T)D. A * A^T 一定是对称矩阵答案：C6. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若AB = 0，则：A. 必有B = 0B. 必有A = 0C. 必有rank(A) + rank(B) ≤ max(m, p)D. rank(AB) ≤ rank(A)答案：D7. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本定理？A. 每个向量都可以由V的一组基唯一表示B. V中任意两个不同的向量都是线性无关的C. V中任意非零向量都是可逆的D. V中任意两个向量都线性相关答案：A8. 设λ是n阶方阵A的一个特征值，对应的特征向量为v，则：A. (A - λI)v = 0B. Av = vC. A^2v = λ^2vD. (A + I)v = λv答案：A9. 对于任意矩阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^2|B. det(A) = det(A^2)C. trace(A) = trace(A^2)D. A^2 一定是可逆的答案：B10. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB = Im，则：A. B一定是A的逆矩阵B. A一定是B的逆矩阵C. A和B互为逆矩阵D. A和B不一定是方阵答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 设矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则A的特征多项式为f(λ) = _______。
线性代数自测题一
自测卷一 一、单项选择题1．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则 ( )()A . B A +可逆；()B . kA 可逆（k 为常数）；()C . AB 可逆；()D . 111)(---=BA AB .2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中( )． ()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； ()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．3．设A 是65⨯矩阵，而且A 的行向量线性无关，则( )． ()A . A 的列向量线性无关；()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关；()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关； ()D . 线性方程组B AX =有唯一解．4．设n 阶矩阵A 非奇异（n 2≥），A 的伴随矩阵是*A ，则 ( ) 成立.()A . A A A n 1**)(-=； ()B . A AA n 1**)(+=；()C . A AA n 2**)(-=； ()D . A AA n 2**)(+=.5．对n 元方程组( ).()A . 若AX=0只有零解，则AX=b 有唯一解； ()B . AX=0有非零解的充要条件是0=A ；()C . AX=b 有唯一解的充要条件是r (A )=n ；()D . 若AX=b 有两个不同的解，则AX=0有无穷多解.二、填空题1．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为2．已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ．3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+a y x y x y x 25320有解，则=a ．4．设A 是n 阶矩阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()1*2-A必有一个特征值是 ． 5．若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a的取值范围是 ．三．设n 阶矩阵A 和B 满足条件：AB B A =+． ⑴ 证明：E A -是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位． ⑵ 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A ． 四．当a 、b 为何值时，线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++12323122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 五． 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=122113221A ,求A 的特征值与特征向量. 六． 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125 七． 若二次型323121232221222x x x x x x x x x f βα+++++=经正交变换后可变为标准形23222y y +，求α，β．并求出该正交变换．八． 已知三维线性空间的一组基底为()0111，，=α，()1012，，=α，()1103，，=α求向量()002，，=β在上述基底下的坐标．九．设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得O A =k （O 为n 阶零矩阵），则称A 是n阶幂零矩阵．求证：⑴. 如果A 是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 的特征值全为0． ⑵. 如果O A ≠是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 不与对角矩阵相似．自测题一答案一、单项选择题1． C 2． C 3．B 4．C 5． D 二、填空题（每小题3分，共15分。
线性代数第一章自测题
第一章 行列式（√）1．若111213212223313233a a a a a a d a a a =，则131211232221333231a a a a a a d a a a =. 2.互换行列式的任意两行，行列式值不变. （ ） 3.排列631254的逆序数是6. （ ）4.对角行列式的值等于其所有对角元素的乘积． （ ）5.分块对角阵的行列式等于对角线上各方块行列式之积．（ ）6.设A 为3阶方阵，2A =，则12TA A =__________. 7.逆序数()21n τ= _____________. 8.排列32514的逆序数是： ． 9.排列631254的逆序(631254)t = 8 .10.设四阶行列式1112224333444pa b c p a b c D p a b c p a b c =,则第四列的代数余子式之和 = 0 .11.设3312243,0311A tB ⨯-⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭且AB=0,则t = 3 . 12.设a 、b 为实数，则当a =＿_＿且b =＿_＿时，010000=--a b ba13.==343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x D __________________________. 14.设D 为一个三阶行列式，第三行元素分别为-1，2,3，其余子式分别为1,2,1，则D ____________=.15.设211111401D-=-，ijA为D中元素ija的代数余子式，则313233A A A++=_______.16.sin coscos sinαααα-=_____________.17.00102000n=_____________.18.设211111401D-=-，ijA为D中元素ija的代数余子式，则313233A A A++=_______.19．若D是n阶行列式，下列说法中错误的是（）．.A D与T D相等；.B若D中有两行元素成比例，则D等于零；.C若D中第i行除()j i,元外都为零，则D等于()j i,元与它的代数余子式的乘积；.D D的某一行元素与另一行的对应元素的余子式乘积之和为零．20.行列式349571214-的元素23a的代数余子式23A为（）A. 3B.3-C.5D.5-21．方程111012λλλλ-=的实根个数为（）A. 0B. 1 .C 2 .D 3 22．23.计算行列式2111121111211112D=；1311131113D=；21111351925D=；1411141114D=；21111241416D =；0100421523132131---；1000313333133331；3112513420111533D ---=---；=aa a a 111111111111 24.设3351110243152113------=D D 的()j i ,元的代数余子式记作ijA ，求 34333231223A A A A +-+25.设 3142313150111235------=D .D 的()j i ,元的余子式记作ijM ，求14131211M M M M -+-．26.设 4001030100214321=D ，D 的()j i ,元的代数余子式记作ij A ， 求14131211A A A A +++．。
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。
答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。
答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。
答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。
《线性代数》自测题二及 答案
测试题二（矩阵）一．单项选择题1. 设A 为n 阶矩阵，且O A =3，则（ C ）（A ）A E A E +-,均不可逆; （B ）A E -不可逆，但A E +可逆（C ）A E -,E A A +-2均可逆;（D ）A E -可逆,但E A A +-2不可逆2．设B A ,都是n 阶非零矩阵，且O AB =，则B A ,的秩（ B ）（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n（C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n3．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ D ）．（A ）11)()(--=k k A A ； （B ）T k k T A A )()(=； （C ）k k A A )()(**=； （D ）**=kA kA )(．4． 设B A ,为n 阶矩阵，下列结论正确的是（ D ）（A ）||||||B A B A +=+ （B ）||||||B A B A -=-（C ）若B AB =，则BA AB = （D ）若E B AB +=，则BA AB = 5．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．（A ）111)(---=B A AB ； （B ）A A =-； （C ）B A B A B A +-=-22； （D ）A A 22=．6．设()353=⨯A R ，那么53⨯A 必满足 （ D ）．（A ）三阶子式全为零； （B ）至少有一个四阶子式不为零；（C ）二阶子式全为零； （D ）至少有一个二阶子式不为零．7．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212122122111，02121≠n n b b b a a a ，秩=A （B ）． （A ）0； （B ）1 ； （C ）2； （D ）n ．8．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，则=*C （ C ）． （A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B B O O A A ； （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A A O O B B ； （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A O O A B ； （D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B O O B A ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，A 与B 等价，下列结论不正确的是（ A ）．（A ）若0||>A ，则0||>B（B ）若0||≠A ，则存在可逆矩阵P 使得E PB =（C ）若A 与E 等价，则B 是可逆矩阵（D ）存在可逆矩阵Q P ,，使得B PAQ =10．设)3(≥n n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a b a b a b a a A ，其中0≠ab ，若1)(-=n A r ，则b a , 应满足（ B ） （A ）0=+b a （B ）a n b )1(-= （C ）0=-b a （D ）a n b )1(-=11．设B A ,均为n m ⨯矩阵，1)(r A r =，2)(r B r =,若方程组α=Ax 有解，β=Bx 无解，且r B A r =),,,(βα，则（ D ）（A ）21r r r += （B ）21r r r +≤ （C ）121++=r r r （D ）121++≤r r r二．填空题1．若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ，那么=20042003AP P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2143． 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-212B A 2 ． 3．已知53)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a A 00，则=)(A f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-53005322b b a a ． 4．若C B A ,,均为n 阶矩阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A 3E ． 5．α是三维列向量，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----='111111111αα，则='αα 3 ．6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A = A A n 2||-．三．判断题（正确打V ，错误打×）1．*A A =的充分必要条件是1-=A A A ．（ × ）2．3223⨯⨯B A 不可逆．（ V ）3．如果E AB =，则1-=A B ．（ V ）4．B A ,为n 阶非零矩阵，若,O AB =则0==B A ．（ V ）5．()ij a A =为n 阶可逆矩阵，若A 的每行元素之和全为a ，则1-A 的每行元素之和全为1-a ．（ V ）6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A A -=-（ × ）四．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ，求n A ． 五．讨论参数a 的取值，求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=68963642321a A 的秩．六．设122101221,021425000A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，是否存在可逆阵P 使PA B =,若存在，求出P 。
自考本线性代数试题及答案
自考本线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 0; 0, 1]C. [2, 3; 4, 5]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设A为n阶方阵，若存在常数k使得A^2 = kA，则称A为幂等矩阵。
若A是幂等矩阵且|A|≠0，则k的值是：A. 0B. 1C. -1D. n答案：B3. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. tr(A) = tr(A^T)D. A + A^T 总是对称矩阵答案：C4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB=BA，则称A和B可交换。
若A和B可交换，且|A|=5，|B|=3，则|AB|的值是：A. 15B. 5C. 3D. 无法确定答案：A5. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本假设？A. 向量加法满足交换律B. 向量加法满足结合律C. 标量乘法对向量加法满足分配律D. 所有选项都是答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 设向量α=(1, 2, 3)^T，β=(-4, 5, -6)^T，向量α和β的点积α·β等于______。
答案：-37. 若矩阵A的特征值为2，则矩阵2A的特征值为______。
答案：48. 设矩阵B可以表示为B=P^(-1)AP，其中P是可逆矩阵，那么B和A 是______相似的。
答案：相似9. 对于任意矩阵A，tr(A)表示矩阵A的______。
答案：迹（或特征值之和）10. 设A是一个3×3的矩阵，且A^3 = A，则A的一个特征值可以是______。
答案：1三、解答题（共75分）11. （15分）证明任意n阶方阵A，|A^T| = |A|。
证明：设A是一个n阶方阵，其行列式为|A|。
根据行列式的性质，我们知道行列式与行（列）的置换有关。
对于矩阵A的转置矩阵A^T，它的行（列）与A的列（行）相对应。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个不是方阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 2]C. [1, 2; 3, 4; 5, 6]D. [1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8]答案：B2. 对于向量空间中的向量组，线性相关的定义是什么？A. 向量组中的任意向量都可以用其他向量表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为零向量C. 向量组中的向量线性组合为零向量D. 向量组中所有向量都是零向量答案：A3. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵对角线上的元素B. 使得方程Ax = λx 成立的标量λC. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 对于矩阵 A，下列哪个矩阵是 A 的伴随矩阵？A. A^TB. A^(-1)C. adj(A)D. det(A)答案：C5. 如果一个向量是另一个向量的标量倍，这两个向量是什么关系？A. 线性无关B. 线性相关C. 正交D. 单位向量答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指_________。
答案：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目7. 向量空间的基是指一组_________的向量，它们能生成整个向量空间。
答案：线性无关8. 对于任意矩阵 A，|A| 表示_________。
答案：矩阵 A 的行列式9. 如果矩阵 A 可逆，那么 A 的逆矩阵记作_________。
答案：A^(-1)10. 线性变换 T: R^n → R^m 的标准矩阵是指_________。
答案：线性变换 T 对标准基的坐标表示矩阵三、解答题（共75分）11. （15分）设 A 是一个3×3 的实对称矩阵，证明其特征值都是实数。
答案：略12. （20分）给定两个向量 v1 = [1, 2, 3]^T 和 v2 = [4, 5, 6]^T，求它们的叉积v3 = v1 × v2，并证明 v3 与 v1, v2 都正交。
线性代数自测习题及答案
自测复习题21填空题 （1） 向量组[][][]1232,2,7,3,1,2,1,5,12a a a T T T ==-=线性 关。
（2） 4维向量组[]11,4,0,2a T =-，[]25,11,3,0a T =-，[]33,2,4,1a T =--，[]42,9,5,0a T =--， []50,3,1,4a T=-的秩是 ，且一个极大无关组为 。
的秩为，则向量组的秩为）已知向量组（321321,3,,4a a a a a a - 。
=⨯m A A n m 则的行向量组线形无关，，且的秩为矩阵）已知（35 ，m n 。
（6）已知秩为3的向量组1234,,,a a a a 可由向量组123,,βββ线性表示，则向量组123,,βββ必线性 。
（7）设20,,k k βT ⎡⎤=⎣⎦能由[]11,1,1a k T =+，[]21,1,1a k T =+，[]31,1,1a k T =+唯一线性表出，则k 满足 。
（8）设A 为4阶方阵，且()2r A =，则*0A x =的基础解系所含解向量的个数为 。
2选择题（1）设向量组()I 123,,a a a ；1234(),,,a a a a II ；1235(),,,a a a a III ；()V I 12345,,,a a a a a +，且()()3r r I =II =，()4,r III =则()r V I =（ ）。
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5（2）设向量β可由向量组12,,....m a a a 线性表示，但不能由向量组121(),,....m a a a -I 线性表示，若向量组121(),,...,m a a a β-II ，则m a （ ）。
（A ）既不能由（I ）线性表示，也不能由（II ）线性表示（B ）不能由（I ）线性表示，但可由（II ）线性表示（C ）可由（I ）线性表示，也可由（II ）线性表示（D ）可由（I ）线性表示，但不可由（II ）线性表示（3）n 维向量组12,,.....(3)s a a a s n ≤≤线性无关的充要条件是（ ）。
(参考资料)线性代数(本科)总复习题答案
２１．设 A 为 m × k 矩阵， B 为 l × n 矩阵，如果 A + BC T 有意义，则矩阵 C 的行、列数为 Ｄ （Ａ） m × l （Ｂ） m × n （Ｃ） k × l （Ｄ） k × n
２２．在上题的条件下，有 Ａ
（Ａ） m = l （Ｂ） m = n （Ｃ） k = l （Ｄ） k = n ２３． m × n 非齐次线性方程组 AX = b 有无穷多解的充分必要条件是 Ｄ
( ) （Ａ） r(A) = m （Ｂ） r(A) < n （Ｃ） r(A) = n （Ｄ） r(A) = r A~ < n
１１．设 u1, u2 均为非齐次线性方程组 AX = b 的解，则下列哪一个也是方程组 AX = b 的解 Ｄ （Ａ） u1 + u2 （Ｂ） u1 − u2 （Ｃ） 2u1 + u2 （Ｄ） 2u1 − u2
１２．设 A, B 为同阶可逆矩阵，则有 Ｂ
( ) ( ) ( ) ( ) （Ａ） A2B2 T = AT BT 2
（Ｂ） AT BT −1 = A−1B −1 T
( ) ( ) （Ｃ） A−1B −1 2 = A2 B 2 −1
（Ｄ）都不对
１３．设向量组α1,α 2 ,L,α r 及向量 β 满足 r(α1,α 2 ,L,α r , β ) = r(α1,α 2 ,L,α r ) = r ，则 Ａ
（Ａ） β 可由α1,α 2 ,L,α r 线性表示，且表示法唯一 （Ｂ） β 未必可由α1,α 2 ,L,α r 线性表示
线性代数（本科）总复习题答案
一、单项选择题
１．矩阵运算 AB 有意义是 A + BT 有意义的 Ｂ
（Ａ）充分条件 （Ｂ）必要条件 （Ｃ）充要条件
线性代数习题╱第二章自测题
第二章自测题一、填空1． 设n 阶可逆矩阵A 满足2|A|=|kA|, (k>0), 则k=2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，而2≥n 为正整数，则12--n n A A =3． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ，B 为三阶非零矩阵，且0=AB ，则t =4． 设1)1,0,1(--=α，矩阵TααA =， n 为正整数，则||n A bE -= 5． 设A 为3阶方阵，将A 按列分块则),,(321A A A A =，已知,3||=A 则|,,2|2331A A A A +=6． 设A 为奇数阶可逆矩阵，且T A A=-1，|A|=1，则|I －A|=7． 设(1,0,1)T α=-，矩阵TααA =， n 为正整数，则||n A bE -= 二、计算 1． 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2103B ，计算2A-3B 2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101012111B ，求AB-BA3． 计算nθθθθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-cos sin sin cos 和n⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01104． 求逆矩阵（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--221021132 （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001100011000115． 设矩阵A ，B 满足E BA BA A 82*-=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100420221A ，*A 是A 的伴随矩阵，求B6． 用分块矩阵的方法求下列矩阵的逆矩阵（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000000121nn a a a a （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100001003102020102 解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01000001000011000121n n a a a a ，（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100000100000100232102101021021三、证明1． 设方阵A 满足方程0422=+-I A A ，证明：A+I 和A －3I 都可逆，并求它们的逆矩阵。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（）。
A. 齐次方程组Ax=0只有零解B. 齐次方程组Ax=0有非零解C. 齐次方程组Ax=0只有零解，且α1，α2，α3线性相关D. 齐次方程组Ax=0只有零解，且α1，α2，α3线性无关答案：A2. 矩阵A与矩阵B相等的充分必要条件是（）。
A. A与B的行数相同B. A与B的列数相同C. A与B的行数相同，且A与B的列数相同D. A与B的行数相同，且A与B的列数相同，且对应元素相等答案：D3. 设A为n阶矩阵，若A的行列式|A|=0，则A是（）。
A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 正交矩阵D. 反对称矩阵答案：B4. 设A为3阶矩阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2)，则A的迹为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -3答案：C5. 设A为3阶矩阵，且A的秩为2，则A的零度为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|=______。
答案：42. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\)，则矩阵A的逆矩阵A^{-1}=______。
答案：\(\begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{bmatrix}\)3. 若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与向量β的夹角的余弦值为______。
答案：\(\frac{1}{3}\)4. 设矩阵A的特征值λ1=2，λ2=3，对应的特征向量分别为α1和α2，则矩阵A+E的特征值λ3=______，对应的特征向量为______。
答案：3，α1；4，α25. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\)，则矩阵A的秩为______。
线性代数复习题
线性代数复习题(选择填空题)-D O C(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k --D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或2k =B 、1k =或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭B A 、4B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ=DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++=AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+B 、AB BA =C 、AB BA =D 、A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =CA 、11ABC --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是CA 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A -C 、()B A n m 1-+D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+,232αα+，312αα+练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββD 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中D 是错误的 A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A A D 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是DＡ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是C A 、12,x x 中的一个B 、()/123C 、()/111D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -=DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是13练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a ==24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是AB BA =16、设3318A ⨯=，则()22A =1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -=6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A +=0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --=1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -=1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。
线性代数自测习题及答案
自测复习题1一． 填空题1. 已知1201,3410A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20012002B AB =___________． 2. 线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k =_________。
3. 6阶行列式00010000012000012300400005000067＝__________。
4. 设A 为3阶方阵，且3A =，则TA A =___,*A A = ,**()A =___,1*32A A --= 。
5． 如果n 阶行列式n D 中每一行上的n 个元素之和等于零，则n D =___。
6. 已知1234522211312451112243150D =，则 4142434445222A A A A A ++++=_____。
7. 方程的通解为___________．8. 设121000000000000n n a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则1-A ＝___________。
9.已知A 为n 阶矩阵，A 可逆，则1[()()]()E E A E A E A -+-++＝__________。
⎩⎨⎧=-+=++01654321x x x x x x10. 若线性方程组Ax =b 的增广矩阵()=B A,b 经初等行变换化为12340012004λ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭,则当_______λ=时，此线性方程组有无穷多解.二、选择题1. 已知A 为m ×n 矩阵，且()R A r =，则A 中必成立（ ）。
（A ） 没有等于零的1r -阶子式，至少有一个r 阶子式不为零 （B ） 有等于零的r 阶子式，没有不等于零的1r +阶子式 （C ） 有不等于零的r 阶子式，所有1r +阶子式全为零 （D ） 任何r 阶子式不等于零，任何1r +阶子式都等于零２．设A ＝1100011000111001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1234a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Ax b =有解的充分必要条件为（ ）。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中的基是一组向量，以下哪个不是基的性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 张成整个空间D. 可以是空间中的任意向量2. 矩阵A和矩阵B相乘，结果矩阵的行列式等于：A. A的行列式乘以B的行列式B. B的行列式乘以A的行列式C. 两个矩阵的行列式之和D. 无法确定3. 对于线性变换，以下哪个说法是错误的？A. 线性变换保持向量的加法运算B. 线性变换保持标量的乘法C. 线性变换保持向量的长度D. 线性变换保持向量的点积4. 一个矩阵的特征值是指：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的行列式C. 使得矩阵的某个特征向量不为零的标量D. 矩阵的迹5. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵6. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中最大的线性无关行或列的数量D. 矩阵的行数或列数7. 线性方程组的解集可以是：A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 无限多个解8. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵的对角线元素之和D. 矩阵的转置矩阵9. 向量空间的维数是指：A. 空间中向量的个数B. 空间中基的向量个数C. 空间中任意向量的个数D. 空间中线性无关向量的最大个数10. 线性变换的核是指：A. 变换后为零向量的集合B. 变换后为单位向量的集合C. 变换后为任意向量的集合D. 变换后为非零向量的集合二、简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个例子。
2. 描述如何计算矩阵的特征值和特征向量。
3. 解释什么是正交矩阵，并给出正交矩阵的一个性质。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定矩阵A = \[\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
《线性代数》单元自测题
《线性代数》基础习题第一章 行列式一、 填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有负号的项，则i = ，j = 。
2． 在四阶行列式中，带正号且同时包含因子23a 和31a 的项为__ ___。
3． 在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取 。
4．已知xx x x x x f 42124011123313)(--=，则)(x f 中4x 的系数为 。
5． 行列式=600300301395200199204100103__ __。
二、 计算下列各题：1．计算63123112115234231----=D 。
2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值。
3．计算ab b a b a b a D n 000000000000=4．计算nD n 222232222222221=5．计算ab b b b a b bb b a bb b b a D n = 6．计算4443332225432543254325432=D 7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。
第二章 矩阵一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221,则R(A)= 。
2．设A 是3阶方阵，且m A =，则1--mA = 。
3．=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20092010100001010534432121001010100 。
4．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A 。
5．设A 为3阶方阵，1A =-，A 按列分块为()321A A A A =，()32122A A A B =，则*B = 。
线性代数复习题带参考答案
线性代数复习题带参考答案线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<="" )6.设A 为n 阶方阵，r (A )B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（）A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =??200540093的三个特征值，则321λλλ=（） A.20 B.24 C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案2003年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对任意n阶方阵A、B总有( )A．AB=BA B．|AB|=|BA|2．在下列矩阵中，可逆的是 ( )3．设A是3阶方阵( )A．-2D．24．设A是m×n矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关5．设有m维向量组，则 ( )A．当m<n时，(I)一定线性相关 B．当m>n时，(I)一定线性相关C．当m<n时，(I)一定线性无关 D．当m>n时，(I)一定线性无关6．已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )A．Ax=2x8．设矩阵的秩为2，则λ= ( )A．2 8．1C．0 D．-l9．二次型的矩阵是( )10．二次型是 ( )A．正定的 B．半正定的C．负定的 D．不定的第二部分非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错选、不填均无分。
1 1．行列式的值为___．12．设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为__．13．设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α=3β=____．14．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为____．15．设m×n矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为____．16．若线性方程组无解，则=______．17．设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_______．18．设矩阵，则A的全部特征值为___．19．设P为n阶正交矩阵，α、β为n维列向量，已知内知(α，β)=-l，则(Pa，Pβ)________20．设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=______.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21．设向量22．设，矩阵X满足方程求矩阵X．23．当t取何值时，向量组线性相关?24．求下列矩阵的秩：25．设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．27．设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A．28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围．四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30．设向量β可由向量组线性表示．试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关．参考答案一、单项选择题二、填空题11．O13．(1,-4,-l3)14．115．ml6．017．418．1，1，-l19．-l20．O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关．所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵．故1，0．-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论4．1知A可对角化，令矩阵由上式得28．解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30．证由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数2005年10月自考线性代数试题答案全国2004年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。
《线性代数》第一章 自测练习题解
第一章 自测练习题及解答一. 单项选择题1. 方程0881441221111132=--x x x 的根为（ B ）. （A ）1，2，3; （B ）1，2，-2;（C ）0，1，2; （D ）1，-1，2.2. 已知3阶行列式ij a ,ij ij a b =,,3,2,1,=j i 则行列式=ij b （ B ）.（A ）ij a ; （B ）0; (C)ij a 的绝对值; （D ）ij a - .3. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则（ A ）.（A ）0≠λ且1≠λ; （B ）0=λ或1=λ;（C ）0=λ; （D ）1=λ.4.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111c b a （ D ）.（A ）0; （B ）1; （C ）-4; （D ）4. 5.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ).（A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n二. 填空题1. 排列134782695的逆序数为 10 .2. 已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A 4 .3. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i （8，3） .4. =5678901201140010300020001000 120 .5. 设xx x x x D 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 . 三. 判断题（正确打V ，错误打×） 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为n .( × )2. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( V )3. 若V 为范德蒙行列式,ij A 是代数余子式，则V A nj i ij =∑=1,.( V )4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ,2,1.=,则0>ij a .( × )5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × )四. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++.=-1 五. 计算行列式600300301395200199204100103=2000六. 计算行列式1111111*********--+---+---x x x x =4x 七. 计算行列式cc b ba a------1111111=1八. 计算行列式3833262290432231----=50- 九. 计算行列式ba a a a a ab a a a a a b a n n n +++ 321321321=11-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑n ni ib a b十. 计算行列式n2222232222222221=-2（n-2）！。
线性代数试题（本科）[精选多篇]
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线性代数试题（本科）[精选多篇]第一篇：线性代数试题(本科)线性代数试题(一)一、填空（每题2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。
2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D=。
3.关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是，结论是。
4.n阶矩阵A可逆的充要条件是，设A*为A的伴随矩阵，则A-1=。
5.若n阶矩阵满足A2-2A-4I=0,则A-1=。
⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪2 ⎪2⎪(1234)⎪3⎪(1234)3 ⎪⎪4⎪4⎪⎝⎭6.=，⎝⎭=。
7.设向量组α1,α2,α3线性相关，则向量组α1,β1,α2,β2,α3,β3一定线性。
A-1A*A8.设A三阶矩阵，若=3，则= ,=。
9.n阶可逆矩阵A的列向量组为α1,α2,Λαn，则r(α1,α2,Λαn)=。
10.非齐次线性方程组Am⨯nX=b有解的充要条件是。
二、单项选择题（10分，每题2分）k-12k-1≠0的充要条件是（）1．2。
（a）k≠1（b）k≠3（c）k≠-1,且k≠3（d）k≠-1,或k≠3 2.A,B,C 为n阶方阵，则下列各式正确的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,则A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A-Bd)AC=BC且C可逆,则A=B 3.设A为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A-1≠0A≠0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量组线性相关4.设矩阵A=(aij)m⨯n，AX=0仅有零解的充要条件是（）(a)A的行向量组线性无关(b)A的行向量组线性相关(c)A的列向量组线性无关(d)A的列向量组线性相关5.向量组α1,α2,Λαs的秩为r,则下述说法不正确的是（）(a)α1,α2,Λαs中至少有一个r个向量的部分组线性无关(b)α1,α2,Λαs中任何r个向量的线性无关部分组与α1,α2,Λαs可互相线性表示(c)α1,α2,Λαs中r个向量的部分组皆线性无关(d)α1,α2,Λαs中r+1个向量的部分组皆线性相关三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）1．5级排列41253是一个奇排列。
本科线性代数自测复习题
本科线性代数自测复习题太原理工大学2013级《线性代数》复习自测题2014年4月复习题（一）1-5题为判断题1．向量组A：，，与向量组B：，，等价。
（）2．齐次线性方程组的非零解向量的分量全部不为零。
（）可以经过初等变换化为。
（）4．如果，那么成立。
（）5．已知阶方阵的特征值为；的特征值为；的特征值为，那么。
（）6-10题为单项选择题6．已知非齐次线性方程组无解，并且其增广矩阵的秩等于4，那么系数矩阵的秩等于（）（Ａ）3；（Ｂ）2；（Ｃ）1；（Ｄ）0。
7．已知三阶方阵，则的逆矩阵等于（）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。
8. 若、都是阶矩阵，并且可逆，那么（）（Ａ）和相等；（Ｂ）和不相等；（Ｃ）和相似；（Ｄ）和不相似。
9．设二阶正定矩阵的特征值不相同，那么方程表示（）（Ａ）圆；（Ｂ）椭圆；（Ｃ）双曲线；（Ｄ）抛物线。
10.若阶矩阵的每行元素之和都等于，则的每行元素之和都等于（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）。
11-15题为填空题11．若方阵满足，则的特征值等于。
12．若，则行列式。
13．已知向量组线性无关，则向量组，，也线性无关的充分必要条件是常数满足。
14．已知是线性空间上的线性变换，并且，。
则。
15．已知通过向量组线性表示的方式不唯一，则常数应该满足的条件为。
16．计算行列式。
17．求解线性方程组。
18．已知矩阵，求正交矩阵，使得。
19．已知，，，求解矩阵方程。
20．证明向量组，，线性无关；将向量用线性表示；如果，求出。
复习题（一）解答1. ×。
因为的秩为，而的秩为，所以它们不等价。
2. √。
因为的秩为，所以方程组存在非零解，基础解系中只有一个向量，方程通解为，对于任意非零解应该满足，即非零解向量的分量全部不等于零。
3. √。
因为为方阵，所以与是同型矩阵，而，所以与等价，因此可以经过初等变换化为。
4．√。
矩阵与其伴随矩阵是可交换的，而当矩阵可交换时成立。
5. √。
利用以及即可。
6. Ａ。
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太原理工大学2013级《线性代数》复习自测题2014年4月复习题（一）1-5题为判断题1．向量组A：，，与向量组B：，，等价。
（ ）2．齐次线性方程组的非零解向量的分量全部不为零。
（ ）可以经过初等变换化为。
（ ）4．如果，那么成立。
（ ）5．已知阶方阵的特征值为；的特征值为；的特征值为，那么。
（ ）6-10题为单项选择题6．已知非齐次线性方程组无解，并且其增广矩阵的秩等于4，那么系数矩阵的秩等于 （ ）（Ａ）3； （Ｂ）2； （Ｃ）1； （Ｄ）0。
7．已知三阶方阵，则的逆矩阵等于 （ ）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。
8. 若、都是阶矩阵，并且可逆，那么（ ）（Ａ）和相等；（Ｂ）和不相等；（Ｃ）和相似；（Ｄ）和不相似。
9．设二阶正定矩阵的特征值不相同，那么方程表示 （ ）（Ａ）圆； （Ｂ）椭圆； （Ｃ）双曲线； （Ｄ）抛物线。
10.若阶矩阵的每行元素之和都等于，则的每行元素之和都等于（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）； （Ｄ）。
11-15题为填空题11．若方阵满足，则的特征值等于 。
12．若，则行列式 。
13．已知向量组线性无关，则向量组，，也线性无关的充分必要条件是常数满足 。
14．已知是线性空间上的线性变换，并且，。
则 。
15．已知通过向量组线性表示的方式不唯一，则常数应该满足的条件为 。
16．计算行列式。
17．求解线性方程组。
18．已知矩阵，求正交矩阵，使得。
19．已知，，，求解矩阵方程。
20．证明向量组，，线性无关；将向量用线性表示；如果，求出。
复习题（一）解答1. ×。
因为的秩为，而的秩为，所以它们不等价。
2. √。
因为的秩为，所以方程组存在非零解，基础解系中只有一个向量，方程通解为，对于任意非零解应该满足，即非零解向量的分量全部不等于零。
3. √。
因为为方阵，所以与是同型矩阵，而，所以与等价，因此可以经过初等变换化为。
4．√。
矩阵与其伴随矩阵是可交换的，而当矩阵可交换时成立。
5. √。
利用以及即可。
6. Ａ。
因为方程组无解，所以，并且，所以系数矩阵的秩等于3。
7. C。
根据逆矩阵的定义，直接验证即可。
注意可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵，所以B,D一定错误。
8. Ｃ。
因为，所以和相似。
9. B。
因为为二阶正定矩阵，所以通过正交变换后，二次型化为，并且，所以方程表示椭圆。
10.Ｄ。
阶矩阵的每行元素之和都等于，当且仅当，其中（此时是的一个特征值）。
因此由知，所以的每行元素之和都等于。
. 。
若是的特征值，则由可知，所以。
12. 。
。
13. 。
设，即，而线性无关，所以，此方程组仅有零解当且仅当行列式，所以。
（记，，，可直接写出行列式，其中第列就是用线性表示的系数。
）14. 。
因为向量，而是线性变换，它保持线性运算，所以。
15. 。
线性表示方式不唯一说明向量组是相关的，三个向量组成的行列式一定为0。
16．（利用行列式的性质，化为上三角，也可以结合展开定理降阶。
或者二者联合使用。
（四阶行列式的计算是必须掌握的内容）17．。
（线性方程组的求解要求掌握）18．因为，所以的特征值为。
对于，解方程组，得到一个特征向量，同理，对于分别得到特征向量，。
将分别单位化后的向量记为，则。
（求特征值与特征向量，并与对角矩阵相似的内容要求掌握）19．因为，而都可逆，所以，按照伴随矩阵方法或者初等变换的方法可求得，，所以。
（求逆矩阵的方法要求掌握）20．记，所以 线性无关，并且。
如果，由于 线性无关，因此表示法唯一，所以，解得。
或者因为，也得到此结果。
注意此题的解法：以给定的向量为列写出一个矩阵（即使所给定的向量是行向量），对作初等行变换，将化为行最简型矩阵,一切答案就显而易见了。
从17-20题的解答可以看出，利用初等变换可以（1）解线性方程组；（2）求矩阵的特征向量；（3）求矩阵的逆；（4）求矩阵的秩；（5）判断向量组的线性相关性，求向量组的秩和其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
因此初等变换的方法要特别熟练掌握。
复习题（二）1-5题为判断题1．设为阶正交阵，则其伴随矩阵也一定是正交矩阵。
（ ）2. 如果维向量与的内积 ，则向量一定线性相关。
（）3. 设为阶矩阵，对任何的维列向量，有解，则可逆。
（）4. 若方阵与相似，则有 ( ). 若n阶方阵的，则对任何n维向量组 则 一定线性相关。
（ ）6-10题为单项选择题6. 设是方阵，则下列结论错误的是（ ）与行列式相同； 与的秩相同；与特征值相同； 与特征向量相同。
7. 已知为阶可逆阵，是的逆阵，则 （ ）1； ； ； 。
8. 非齐次线性方程组 ，，则 （ ）时，方程有解； 时，方程有唯一解；时，方程有唯一解； 时，方程有无穷多解9. 设是3阶方阵，中有3个列向量依次为 则（）； ；； 。
10. ，，，，其中 为任意实数，则 （ ）线性相关； 线性无关；线性相关； 线性无关。
11-15题为填空题11. 二次型正定，则的取值范围12. 已知，则 。
13. 已知是线性空间上的线性变换，；，则14. 已知是实对称矩阵的一个特征向量，则相应的特征值= 。
15. 已知向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的一个最大无关组为 。
16.计算四阶行列式17.线性方程组。
（1）求出它所对应的齐次线性方程组的一个基础解系；（2）求该非齐次方程组的通解。
18． 设矩阵，，且，求矩阵。
19．设，，,求的特征值。
20． 已知，，，具体求出所有的使的不全为零的常数，并求该向量组的秩和一个最大无关组。
21．证明题（1）若是齐次线性方程组的一个基础解系，证明：也是该方程组的基础解系。
（2）设都是阶正交阵，证明：也是正交阵。
复习题（二）解答1． √； 2. ; 3. ; 4. √； 5. .6. D;7. B;8. A;9. D; 10. B.11. ； 12. ； 13. ； 14.； 15.16.===-14417.(1). 齐次线性方程组的一个基础解系X=(2). 非齐次线性方程组的一个通解X=18. ；。
19. 对称阵，一定能对角化，得，由特征值性质：有的特征值为：；，，伴随矩阵的特征值为：又，即的特征值为的特征值为。
20. 是齐次线性方程求解；向量组的秩是2；最大无关组。
21. 证明：(1) 因是齐次线性方程组的解，由解的性质,也是该方程组的解,设一组数使整理是齐次线性方程组的一个基础解系，线性无关，，得有线性无关，它们也是该方程组的基础解系。
（2） 设都是阶正交阵， 即 ，所以 也是正交阵。
复习题（三）1-5题为判断题（每小题2分），向量组都线性无关。
（ ） 2．若矩阵和的乘积可逆，则和都可逆。
（ ）3．齐次线性方程组有形如的解。
（ ）4．若阶方阵满足,则对任意维列向量均有。
（ ）5．上的线性变换是一个正交变换。
（ ）6-10题为单项选择题（每小题2分）6．已知是矩阵, 是矩阵，则齐次线性方程组与（ ）（Ａ）无公共解；（Ｂ）只有公共零解； （Ｃ）必有公共非零解；（Ｄ）同解。
7.若矩阵的特征值为 ，则下列矩阵可逆的是 （ ）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。
8. 设,则与 （ ）（Ａ）合同，且相似；（Ｂ）合同，但不相似；（Ｃ）不合同，但相似；（Ｄ）既不合同，也不相似。
9．已知维向量组满足：秩=秩，秩，那么，向量组的秩为 （ ）（Ａ）4；（Ｂ）3；（Ｃ）2；（Ｄ）1。
10. 已知为矩阵，为矩阵，且，则 （ ）（Ａ）的行向量组线性无关，的列向量组线性无关；（Ｂ）的行向量组线性无关，的行向量组线性无关；（Ｃ）的列向量组线性无关，的行向量组线性无关；（Ｄ）的列向量组线性无关，的列向量组线性无关。
11-15题为填空题（每小题2分）11． 若为可逆矩阵，且，是的代数余子式，则。
12. 二次型的秩为2，则= 。
13． 四阶实对称矩阵满足，且,则 。
14． 线性空间的维数等于 。
15．设四阶方阵 ，且线性无关，。
已知，则线性方程组的通解为 。
16．计算四阶行列式。
17．求解线性方程组。
18．已知，求解矩阵方程。
19．已知矩阵与矩阵相似。
（1）求参数；（2）求正交矩阵,使。
20．讨论参数的取值，求向量组的秩和一个最大线性无关组。
21．证明题（1）已知为三阶方阵，为三维非零列向量，且，，记，证明线性无关。
（2）设为阶矩阵，且，判断是否为正定矩阵？说明理由。
复习题（三）解答1． √； 2. ; 3. ; 4. √； 5. √.6. C;7. C;8.B;9. B; 10.A.11. 1； 12. 5； 13. 8； 14.2； 15. k为任意实数16. : 17. 解: 增广矩阵所以原方程组的通解为，k为任意实数。
18. 解：由，得所以19. 解：由与相似，知是的一个特征值，所以解得，即，的特征值为对应的特征向量为单位化后得，所求正交矩阵20. 解：当是，，为一个最大线性无关组；当是，，为一个最大线性无关组；21. （1）证明：由于是矩阵的不同特征值的特征向量，所以线性无关，故可逆，记，则可逆，所以的列向量组也线性无关，即线性无关。
（2）证明：是，，对称。
由，所以只有零解，因此对，，从而，故正定。
自测题1-5题为填空题：1． 设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，则= .2．二次型正定，则的取值范围为 ., 所以3． 线性空间的维数等于 .，所以 4． 设三阶方阵的各行元素之和均为，向量，是线性方程组的两个解，则= .，，，，所以5． 设，则= ., 所以6-10题为单项选择题：6. 设，，，，其中 ，，，为任意实数，则（Ｂ）（Ａ） 线性相关； （Ｂ）线性无关；（Ｃ）线性相关； （Ｄ）线性无关.因为，，线性无关，所以线性无关7. 设为阶矩阵，且，，均为奇异矩阵， （Ｂ）（Ａ） ； （Ｂ） ； （Ｃ） ； （Ｄ） .因为，所以的特征值为，所以8. 已知是矩阵, 是矩阵，则齐次线性方程组与（Ｃ ）（Ａ）无公共解；（Ｂ）只有公共零解；（Ｃ）必有公共非零解；（Ｄ）同解.考虑齐次线性方程组，由于，所以有非零解9. 设矩阵，且存在矩阵使得，又，则（Ｄ）（Ａ）； （Ｂ）； （Ｃ）； （Ｄ）.因为，，所以方程组的基础解系所含解向量的个数等于,即，而显然，所以，所以10. 已知矩阵与相似，且，则秩与秩之和等于（ ）（Ａ）； （Ｂ）； （Ｃ）； （Ｄ）., 所以的特征值为，所以，（因为是单特征值），所以11-15题为判断题，正确打√，错误打×：11． 设为阶方阵，则可以经过初等变换化为. （ √）因为与 秩相同，又为阶方阵，所以与在初等变换下的标准型相同，所以可以经过初等变换化为.12． 如果可由唯一线性表示,则线性无关. （ √ ）因为可由唯一线性表示，所以方程组有唯一解，所以，所以线性无关.13． 齐次线性方程组有形如的解. （ × ）如果，其中为的列，则可由线性表示，矛盾！14．若按定义阶行列式的展开式中每一项都不为零,则. （ × ）15．若实对称矩阵与相似，则与合同. （√）因为实对称矩阵与相似，所以存在正交矩阵使得所以，所以,所以,所以与合同.16．（12分）计算四阶行列式．17．（12分）求线性方程组的通解．18．（12分） 设矩阵，其中，，求．19．（12分）求向量组 、、、的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示．20．（12分）设矩阵相似于对角矩阵，试确定常数的值，并求可逆矩阵，使得．,所以的特征值为，因为特征值的重数为2，所以，所以，又，所以.21． （5分）设为阶方阵，且，，，证明．证明 因为所以,所以，所以，所以.22．（5分）设是非齐次线性方程组的一个解，，，是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1），，，线性无关；（2），，，线性无关．证明（1）设，如果，则可由，，线性表示，这与是非齐次线性方程组的一个解矛盾！所以，所以，而，，是基础解系，所以线性无关，所以，所以，，，线性无关.（2）设, 所以，如果，则可由，，线性表示，这与是非齐次线性方程组的一个解矛盾！所以，所以，而，，是基础解系，所以线性无关，所以，结合，所以，所以，，，线性无关．2013-2014学年第二学期《线性代数》考前答疑安排时间：2014年6月23日——6月27日每天下午：2:30—6:00地点：行知楼B328（如果学校安排有变化，授课教师会另行通知）。