电路(第八章)相量法

t
t1
解 i(t ) = 100cos(103 t +θ )
0
t = 0 →50 = 100cosθ
由于最大值发生在计时起点之后
i(t ) = 100cos(103 t − ) 3
当 10 t1 = π 3 有最大值
3
π
θ = ±π 3 π θ =−
3
t1＝ 3 ＝ .047ms 1 10
π 3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。
称为旋转因子。 除以旋转因子时， 故把 ejθ 称为旋转因子。当A除以旋转因子时， 除以旋转因子时 相当于A顺时针旋转一个角度 模不变。 相当于 顺时针旋转一个角度θ ，模不变。
几种不同θ 几种不同θ值时的旋转因子
Im
θ=
e
j
π
2
& + jI
0
& I
,
π
2
= cos
π
2
+ j sin
π 2
π
2
Re
8.2 正 弦 量
正弦量 正弦电流电路 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 为正弦电路或交流电路。 i T 波形： 波形：
1. 正弦量
瞬时值表达式： 瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
ψ/ω
O
t
周期T 和频率f 周期 (period)和频率 (frequency) : 和频率
1 f = T
单位： ， 兹 单位：Hz，赫(兹)
周期T 重复变化一次所需的时间。 单位： ， 周期 ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f 每秒重复变化的次数。 频率 ：每秒重复变化的次数。
2. 正弦量的三要素
A(t ) = 2Ie ejωt = 2 I ejωt
复常数
•
A(t)包含了三要素：I、 Ψ 、ω ，复常数包含了Ι , Ψ 。 包含了三要素： 、 包含了三要素
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定： 一般规定：|Ψ |≤π 。 ≤π
O
t
ψ =0 ψ =－π/2 －
ψ =π/2 π
例
100 50
i
已知正弦电流波形如图， 已知正弦电流波形如图，ω＝103rad/s，（1） ， ） 写出i(t)表达式； 写出 表达式； 表达式 （2）求最大值发生的时间 1 ）求最大值发生的时间t
A | A |∠θ1 | A | e | A | j(θ1−θ2 ) 1 1 1 = = = 1 e A2 | A |∠θ2 | A2 | ejθ 2 | A2 | 2 |A | = 1 θ1 −θ2 | A2 |
除法：模相除，角相减。 除法：模相除，角相减。
o
例1. 解
5∠47 + 10∠ − 25 = ?
ϕ = −300 − (−1500 ) = 1200
i2 (t ) = −3cos(100π t + 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 且在主值范围比较。 号，且在主值范围比较。
周期性电流、 4. 周期性电流、电压的有效值
& − jI
=+j
& −I
π θ=− , e 2
j−
π π = cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
θ = ±π , e j±π = cos(±π) + j sin(±π) = −1
都可以看成旋转因子。 一个复数乘以j， 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。即：一个复数乘以 ， π 相当于把该复数在复平面上逆时针旋转 2
设 u(t)=Umcos(ω t+ψ u), i(t)=Imcos(ω t+ψ i) 则 相位差 ：ϕ = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i 等于初相位之差 规定： 规定： |ϕ | ≤π (180°)。 °。
• ϕ >0， u超前 ϕ 角，或i 落后u ϕ 角(u 比i先到达最大值)； 超前i 先到达最大值) 超前 先到达最大值 u, i u i O
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
(1)幅值 振幅、 最大值) (1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。 角频率(angular frequency)ω (2) 角频率 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
i , Im , I
8.3 相量法的基础
1、正弦量的相量表示
两个正弦量的相加
i1 = 2 I1 cos(ω t +ψ1 )
i2 = 2 I2 cos(ω t +ψ2 )
角频率： 角频率： ω u, i 有效值： 有效值： I1 i1 初相位： 初相位： Ψ 1 0
ω
i1 Ii2 2 i2 Ψ
2
i1+i2 →i3
o
= 180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
= 182.5 + j132.5 = 225.5∠36o
旋转因子： (3) 旋转因子： 复数
Im
A• ejθ
θ A Re
ejθ =cosθ
+jsinθ =1∠θ ∠
0
A• ejθ 相当于 逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。 相当于A逆时针旋转一个角度 而模不变。
(1) i1(t ) = 10cos(100π t + 3π 4) i2 (t ) = 10cos(100π t −π 2)
(2) i1(t ) = 10cos(100π t + 300 ) i2 (t ) = 10sin(100π t −150 ) (3) u1(t ) = 10cos(100π t + 300 ) u2 (t ) = 10cos(200π t + 450 )
ω = 2π f = 2π T
单位： 单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2π π tωt
初相位(initial phase angle) ψ (3) 初相位
反映正弦量的计时起点。 反映正弦量的计时起点。 指正弦量在t=0时刻的相位 Ψ 时刻的相位。 指正弦量在 时刻的相位。 ψ/ω 用弧度或度表示。 用弧度或度表示。通常在 −1800 +1800 在 之间
ω
i3I3
Ψ3 ωt
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以， 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
正弦量
复数
正弦量的相量表示 造一个复函数
A(t ) = 2Ie
j(ωt +Ψ)
是一个正弦量 无物理意义 有物理意义
ϕ = 3π 4 − (−π 2) = 5π 4 > 0 ϕ = 2π − 5π 4 = 3π 4
i2 (t ) = 10cos(100πt −1050 )
ϕ = 300 − (−1050 ) = 1350
ω1 ≠ ω2
不能比较相位差
(4) i1(t ) = 5cos(100π t − 30 )
0
i2 (t ) = 3cos(100πt −1500 )
θ
0 a Re 0 a Re
jθ
A = a + jb
指数形式 A =| A| e
jθ
三 形 A =| A| (cosθ + j sinθ) 角 式
极坐标形式 A =| A| e =| A| ∠θ
两种表示法的关系： 两种表示法的关系：
Im b 直角坐标表示 极坐标表示 0 或
A |A|
A=a+jb A=|A|ejθ =|A| θ
θ
a Re
| A|= a2 + b2 b = θ arctg a
复数运算
a =| A | cosθ b =| A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算 (1)加减运算——采用代数形式 采用代数形式 加减运算 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
ψu ψi ϕ 先到达最大值。 • ϕ <0， i 超前 uϕ 角，或u 滞后 i ϕ 角,i 比 u 先到达最大值。 ，
ωt
特殊相位关系： 特殊相位关系：
ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u u i 0 u, i u i 0 iω t
ϕ ＝ 0， 同相： 同相：
u, i
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U=
1 2
Um
或
Um = 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um≈311V； ，则其最大值为 若一交流电压有效值为 ； U=380V， Um≈537V。 ， 。 ） 工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， 注 （ 1） 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如设 备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指 备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 的是最大值。因此， 的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大 值考虑。 值考虑。 （2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 ）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。