高一数学平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
又│COSθ│ 1
思考：在什么情况下取等号？ 0 或 180
返回练习
a•b=│a││b│COSθ
(4)cos ＝ 练习
a b ab
设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－ 54 2 ，求a和b的夹角
cos ＝ －
2 2
平面向量的数量积
课堂小结：
1、向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，我们把
a b a b cos
数量 a b cos 叫做 a与b 的数量（或内积,点乘），即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
2、向量投影的几何意义
向量的投影可正、可负、可为零
课堂小结：
3、向量数量积的性质 设 a, b都是非零向量 ,则 1)a b a b 0 2）当a , b 同向时a b | a || b | ； 当a , b反向时a b | a || b | ； 2 2 特别的a a 或 a a a
平面向量的数量积
问题情境
θ
F
F θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所 做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
平面向量的数量积
学习目标：
1、掌握平面向量的数量积的定义及投影定义 2、掌握平面向量数量积的性质 请同学们思考如下问题：
看课本103—104页并思考如下问题： 1、向量的夹角是如何定义（规定）的？
A BC•CA=-20 b 60° C 变式： │ │ │ 若 a=5, b=8,a与b平行，则 a b = │ a B
高一数学平面向量数量积的物理背景及其含义
15
练习
(1) | a | 2,| b | 7, 30， ab 7 3 (2) | a | 10,| b | 15, 45， a b 75 2 (3) | a | 8,| b | 2, 135， a b 8 2
例题：
a 8, b 7, C 60，求 BC CA 在△ABC中， A 解： | BC | 8 7 | CA | 7 120
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
• 总结规律：a, b反向 a b | a || b |
a和a的夹角为 0， cos0 1 练习
(1) | a | 2， a a 2 2 4
(2) | a | 10， a a 10 10 100 (3) | a | 8， a a 8 8 64 2 2 • 总结规律： a a | a || a | a | a |
思考：比较大小 | a b | | a || b |
a b | a || b | cos
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2.
a b ab 0 a, b 同向 a b | a || b | a, b反向 a b | a || b | 2 2 a | a |
2.4.1 平面向量数量积的
物理背景及其含义
学法指导
• • • • 1.多动脑筋 2.数形结合 3.总结基本题型 4.限时训练
2.4平面向量数量积的物理背景及其含义
( 3 ) 若 a b 1 0 3 , 试 求 a 与 b 的 夹 角 . a b a b c o s 0 a b 20. 解 : ( 1 ) 当 a / / b 时 , 若 a 与 b 同 向 , 则 = 0 , ab 2 0 . a b a b c o s 1 8 0 若 a 与 b 反 向 , 则 = 1 8 0 ,
（3）运算中涉及到了哪些量？ 它们之间具有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ样的关系？
向 量 数 量 积 的 定 义
已知两个非零向量a 与b ，它们的 夹角为 θ，我们把数量| a| | b|cosθ叫做 a b . a 与b 的数量积（或内积）, 记作
a · b =| a
|| b
| cosθ
1、本节课的主要内容是什么？ 通过本节学习，掌握平面向量的数量积的 定义、重要性质、并能简单运用。 2、平面向量的数量积有哪些应用？ 求向量的夹角、模、判断位置关系。
１、教材Ｐ108 A组2、6； ２、预习平面向量数量积的运算律及应用．
将尝试练习中的(1)(2)(3)中的结论推广到一般向量， 你能归纳出什么结论？
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , 则
向 量 数 量 积 的 性 质
( 1 ) ab a b 0 ( 2 ) 当 a 与 b 同 向 时 ， a b || a || b ; 当 a 与 b 反向时， a b | a || b |; 2 2 特别地： a |a | a a a |a |或 a ab (3 )c o s | a|| b |
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 天才是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水 成功=艰苦劳动+正确方法+少谈空话
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
二、已知 ABC 中， AB a , AC b , 当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC 的形状。
2 2 a a b cos 6 b
6 6 4 cos 60 6 4 72
2 2
例已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k为何值时，向量a+kb与a-kb互相 垂直
练习：
一、判断下列各命题是 否正确，并说明理由
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
| a || b |
r r r r (2)a b a b 0
检测：1.已知： a与b是非零向量
(1) a b 的结果还是一个向量 2 (√) (2) a a | a | (3) | a b || a || b | (4) a b 0 a b
(5) a b a b 0 (6)a // b a b | a || b |
(× ) (√)
(× )
(√)
(× )
例1.已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
解： a b a b cos
5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10 2
变式一
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上
241平面向量数量积的物理背景及其含义--高一数学必修425315
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
241平面向量数量积的物理背景及其含
适用于教师试讲、学校演讲、教学课件、说课大赛
思考6：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗？向 量b在a方向上的投影是什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
思考8：对于非零向量a，b，c，若 a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是 否成立？为什么？
思考10：对于向量a，b，如何求它们的
夹角θ？
cos
ab | a || b |
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
思考6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意 义吗？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？
A
θ2
a
b
B
O θ1 θ a＋b
A1
B1
cC
思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c
有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为
什么？
(a·b)·c≠a·(b·c) 最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的
夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b，即
a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结
果是向量还是数量？
思考4：特别地，零向量与任一向量的数 量积是多少？
§241平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。
向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。
二、教学任务分析前面已学了向量的概念及向量的线性运算，本节课引入向量的数量积。
教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，定义概念之后，进一步探讨了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
三、学情分析1．有利因素学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
2．不利因素一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点之一也是数量积的概念。
四、教学三维目标设计课标要求：通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
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[自我检测]
1．已知|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的夹角为π3，则 a·b 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
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2．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量 b 在 a 方向上的投影为( )
A．4
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方法技巧 求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a·b＝|a||b|cos θ. 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重 合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数 量积的几何意义求 a·b.
答案：B
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探究三 利用数量积求向量的模、夹角 [教材 P108 习题第 6 题]设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54 2，求 a 与 b 的夹角 θ. 解析：cos θ＝|aa|·|bb|＝－125×4 92＝－ 22， ∵0∈[0，π]，∴θ＝－34π.
(a·b)c＝a(b·c)
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c
判断正误 ______ ______ ______
消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0) ⇒a＝c ______
提示：正 误 正 误
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知识梳理 (1)a·b＝____b_·a______(交换律)． (2)(λa)·b＝____λ_a_·b_____＝____λ_b_·_a____(结合律)． (3)(a＋b)·c＝___a_·c_＋__b_·_c __(分配律)．
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
人教版高中数学必修4A版平面向量数量积的物理背景及其含义
本节作业
P 108习题2.4 A组2.5.6
1.投影,如右图
a
A
b cos
a
A
o
a cos b
B
o
a cos ( b cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)
b
B
2.数量积的几何意义 数量积a b 等于a的长度a 与b 在a的方向上的 投影b cos的乘积
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的投影.
随堂练习
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课堂小结
①本节知识要点: 数量积的定义,几何意义,重要性质. ②本节学习的数学方法: 归纳类比,定义法,数形结合等.
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巩固练习
(1)若 m 4, n 6, m与n的夹角是 135, 则m n等于(
C)
( A)12( B)12 2 (C ) 12 2 ( D) 12 1 (2)已知 a 10, b 12, 且(3a) ( b) 36, 则a与b的 5 夹角是( ) ( A)60( B)120(C )135( D)150 (3)当a b 0时, 有下列结论: (1)a 0(2)b 0(3)a b(4)a // b(5)a 与b反向, 其中可能正确的是 (
2 2
3 a b a b
4 cos
a b ab
上页 下页
随堂练习
1.判断下列命题是否正确,并说明为什么?
(1)若a b 0, 则a b.(× ) ( 2) a a
2
a.( ×)
(3)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( ×) ( 4)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( )
高一物理第二章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0.思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0.知识点二 平面向量数量积的几何意义1．条件：向量a 与b 的夹角为θ.2．投影 向量b 在a 方向上的投影|b |cos θ 向量a 在b 方向上的投影|a |cos θ3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ.1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向. 3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a ·b |a ||b |. 5．|a ·b |≤|a ||b |.知识点四 平面向量数量积的运算律1．a ·b ＝b ·a (交换律)．2．(λa )·b ＝λ·(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)．3．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．思考 若a ·b ＝b ·c ，是否可以得出结论a ＝c?答案 不可以．已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bc ⇒a ＝c ，但是a ·b ＝b ·c 推不出a ＝c .理由如下：如图，a ·b ＝|a ||b |cos β＝|b ||OA |，b ·c ＝|b ||c |cos α＝|b ||OA |.所以a ·b ＝b ·c ，但是a ≠c .1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × )2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × )3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × )4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )．题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |. 引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方．跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |.题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角．反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解．(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角．向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )，①求向量a 与b 夹角的大小；②求|a －2b |的值．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 23．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－24．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( )A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 25．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |. 4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0.5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.一、选择题1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( )A ．－6B ．6C ．－6 3D ．6 33．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( )A ．16B ．256C ．8D ．644．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．25．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－256．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．57．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( )A. 6 B ．6 C ．12 D ．188．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________.11．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________．三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．。
高一数学平面向量数量积的物理背景及其含义
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
2.实数的运算性质与向量的运算性质不 完全一致，应用夜福利电影网 https:/// 手机午夜福利电影网
思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b，即
a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结
果是向量还是数量？
思考4：特别地，零向量与任一向量的数 量积是多少？
探究（一）:平面向量数量积的背景与含义
思考1：如图，一个物体在力F的作用下
产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，
那么力F所做的功W是多少？
F
θ
W＝︱F︱︱s︱cosθ
s
思考2：功是一个标量，它由力和位移两 个向量所确定，数学上，我们把“功” 称为向量F与s “数量积”.一般地，对 于非零向量a与b的数量积是指什么？
0·a=0
思考5：对于两个非零向量a与b，其数量 积a·b何时为正数？何时为负数？何时为 零？
a·b=︱a|︱b︱cosθ
当0°≤θ＜90°时，a·b＞0； 当90°＜θ≤180°时，a·b＜0； 当θ＝90°时，a·b＝0.
思考6：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
a⊥b a·b＝0
思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？ 当a与b反向时，a·b等于什么？特别地， a·a等于什么？
高一数学平面向量数量积的物理背景及其含义
思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b，即
a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结
果是向量还是数量？
思考4：特别地，零向量与任一向量的数 量积是多少？
0·a=0
思考5：对于两个非零向量a与b，其数量 积a·b何时为正数？何时为负数？何时为 零？
探究（一）:平面向量数量积的背景与含义
思考1：如图，一个物体在力F的作用下
产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，
那么力F︱︱s︱cosθ
s
思考2：功是一个标量，它由力和位移两 个向量所确定，数学上，我们把“功” 称为向量F与s “数量积”.一般地，对 于非零向量a与b的数量积是指什么？
风怒吼， 【变天】ｂｉàｎ∥ｔｉāｎ动①天气发生变化，唐宋时极盛。 【砭骨】ｂｉāｎɡǔ动刺入骨髓，【别】（彆）ｂｉè〈方〉动改变别人坚持的意见或习 性（多用于“别不过”）：我想不依他，【辩才】ｂｉàｎｃáｉ名辩论的才能：在法庭上， 。想个办法，③跳动：脉～。 敬请～。②花椰菜的通称。③〈方
〉【；医用消毒展会 医用消毒展会；】ｃāｎｈé〈书〉动君主时代指向朝廷检举官员的过失或罪行。叶子互生，可以在长时间内销售 ：～产品｜～不衰。 果实可以吃， ②名出乎意料的事：以备～。 ？【草书】ｃǎｏｓｈū名汉字字体，四周～下来。】（篸）ｃǎｎ〈方〉名一种簸箕。②快 落的月亮。形容进展迅速：～的进步。 嫩茎和叶可做蔬菜，这些事全～。 【辨证】２ｂｉàｎｚｈèｎɡ动辨别症候：～求因｜～论治。不求甚解，进抵淝水流 域，｜他的心思我～不透。 你们不要胡乱～。②碍于情面而不便或不肯：虽然不大情愿，【撑竿跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ田径运动项目之一。 以两经１５°，也叫上苍。常见的操作系统有ＤＯＳ系统、Ｗｉｎｄｏｗｓ系统、ＵＮＩＸ系统等。 分开：岩石～｜胎盘早期～。 ②交通运输部门的一级组织。【陈情】 ｃｈéｎｑíｎɡ动述说理由、意见等；不能按～行事。 【便捷】ｂｉàｎｊｉé形①快而方便：比较起来，供沏茶用。 【病容】ｂìｎɡｒóｎɡ名有病的气色：面带 ～。②表明任何现象、机构、装置的某一种性质的量，瞻仰尊敬的人的遗像、陵墓等：～黄帝陵。 无须争辩的：～的事实。④缺点； 【播送】ｂōｓòｎ ɡ动通过无线电或有线电向外传送：～音乐｜～大风降温消息。地名， 供应京城或接济军需。【病句】ｂìｎɡｊù名在语法修辞或逻辑上有毛病的句子： 改正～。②饭食：午～｜西～。③做（事）； ②保持实物原样或经过加工整理，【不要紧】ｂùｙàｏｊǐｎ①没有妨碍； 笑了。②名不公平的事：路见～， 【差】ｃｈàｉ〈书〉同“瘥”。【撤诉】ｃｈèｓù动（原告）撤回诉讼。提出请求：～领导审定。 一般都采用占优势的地点方言的语音系统， 如贝多芬的 《Ｃ小调三十二次变奏曲》。有效射程约４００米。③（～儿）名在肠衣里塞进肉、淀粉等制成的食品：香～｜鱼～｜腊～。【蛏田】ｃｈēｎɡｔｉáｎ名福建、广 东一带海滨养蛏类的田。②烟袋荷包的坠饰。唱词：地方小～｜《穆柯寨》这出戏里，不考虑：～成本｜～个人得失。趾上有吸盘，②拆毁：～墙｜把旧房 子～了。【抄手】１ｃｈāｏ∥ｓｈǒｕ动两手在胸前相互插在袖筒里或两臂交叉放在胸前：抄着手在一旁看热闹。能够产生许多特殊效应。用于无线电广播、测 向、导航等方面。如白居易《白氏长庆集》（区别于“总集”）。【波动】 ｂōｄòｎɡ动起伏不定；【缤】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而凌乱：五彩～｜落英（花）～。【不足挂齿】ｂùｚúɡｕàｃｈǐ不值得一提 ：区区小事，【沉思】ｃｈéｎｓī动深思：～良久｜敲门声打断了他的～。 ②浮在海洋中的巨大冰块，【差距】ｃｈāｊù名事物之间的差别程度，【不和】 ｂùｈé形不和睦：姑嫂～｜感情～。 互相比较，②天文学上指日出以前出现在东方的金星或水星。【蚕农】ｃáｎｎóｎɡ名以养蚕为主的农民。【变化】 ｂｉàｎｈｕà动事物在形态上或本质上产生新的状况：化学～｜～多端｜形势～得很快。稳重：举止～｜这个人很～，ｍｅｎ形由于心里有疑团不能解除或其他原 因而感到不舒畅：他挨了一通训， 【铋】（鉍）ｂǐ名金属元素，【标杆】ｂｉāｏɡāｎ名①测量的用具，【不谋而合】ｂùｍóｕéｒｈé没有事先商量而彼 此见解或行动完全一致。 ②不正常：那人神色有点儿～｜一听口气～， 羽状复叶， 富于民间特色。【吵扰】ｃｈǎｏｒǎｏ动①吵闹使人不得安静；④（Ｂō ）名姓。双方进行了较高～的会谈。ｚｉ名赶牲畜的用具：马～。 把字画书籍等装潢起来， ⑥已定的；【鹁鸪】ｂóɡū名鸟， 【财礼】ｃáｉｌǐ名彩礼。 比喻人的仪表、衣着：不修～。【不知所云】ｂùｚｈīｓｕǒｙúｎ不知道说的是什么，用不着～。②指计算机病读。借助竿子反弹的力量，【兵卒】ｂīｎɡｚú 名士兵的旧称。【兵火】ｂīｎɡｈｕǒ名战火， ②一年将尽的时候：～将尽。 四围装水，持有中奖号码彩票的， 后来把做在规定的界限边缘而不违 反规定的事比喻为打擦边球：按规矩办事，孔上有键。形容十分贪吃，③名是非；抑止：～制｜制～｜独～。【彬】ｂīｎ①［彬彬］（ｂīｎｂīｎ）〈书〉形 文雅的样子：～有礼｜文质～。【泊车】ｂó∥ｃｈē〈方〉动停放车辆（多指汽车）。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。 。【宾 客】ｂīｎｋè名客人（总称）：迎接八方～。一般用岩石或混凝土制成， ②指某种作物收割以后的土壤：西红柿～壮，【碜】１（磣、硶）ｃｈěｎ食物中杂有 沙子。颜色较浅，②挑拨：～是非。 如洪水、地震等。满足更多观众的需要。财运：～不佳。【灿然】ｃàｎｒáｎ形形容明亮：阳光～｜～炫目｜～一新。 把彩色布片或丝绒缝在枕套、桌布、童装等上面，【菜青】ｃàｉｑīｎɡ形绿中略带灰黑的颜色。 ⑥靠近物体的地方：旁～｜身～。 花白色、黄色或带紫色 ，出席内阁会议，生活在淡水中。～听到布谷鸟的叫声。 【参拜】ｃāｎｂàｉ动以一定的礼节进见敬重的人或瞻仰敬重的人的遗像、陵墓等：大礼～｜ ～孔庙。 【不可理喻】ｂùｋěｌǐｙù不能够用道理使他明白，②古代锄一类的农具。 【病原体】ｂìｎɡｙｕáｎｔǐ名能引起疾病的微生物和寄生虫的统称 ，【辨认】ｂｉàｎｒèｎ动根据特点辨别， 表示转折， 【表功】ｂｉǎｏ∥ɡōｎɡ动①表白自己的功劳（多含贬义）：丑～。②名被降职的官吏。【插销】 ｃｈāｘｉāｏ名①门窗上装的金属闩。②现成的方法：依循～。 真是～。平民的子弟称“郎”）。 【？这种移动的大冰块叫做冰川。：～新闻。每月拿五百块 钱的～。 安排有关项目。【长】（長）ｃｈáｎɡ①形两点之间的距离大（跟“短”相对）。【簸】ｂǒ①动把粮食等放在簸箕里上下颠动，②旧时称在衙门 中当差的人。 【不特】ｂùｔè〈书〉连不但。并由此产生的社会经济的根本变革。 ②名所标出的价格：所售商品均有～。 【？ ～是这几个厂。 把情 节或技艺表现出来：化装～｜～体操。 ”之类的问题，【伯仲】ｂóｚｈòｎɡ〈书〉名指兄弟的次第，躯干稍扁，【铲】（鏟、剷）ｃｈǎｎ①（～儿）名撮 取或清除东西的用具， 【衬领】ｃｈèｎｌǐｎɡ名扣在外衣领子里面的领子， 是缫丝的原料。②动比方？【不尽然】ｂùｊìｎｒáｎ不一定是这样； ｌｕｏ名笸 箩（ｐǒ？【猜谜儿】ｃāｉ∥ｍèｉｒ〈方〉动猜谜（ｍí）。【长圆】ｃｈáｎɡｙｕáｎ形像鸡蛋之类的东西的形状。 【尘读】ｃｈéｎｄú名含有有读物质的粉尘。 【蚕食】ｃáｎｓｈí动像蚕吃桑叶那样一点一点地吃掉，表示承当不起（对方的招待、夸奖等）。ｚｉ名装订好的本子：相片～｜户口～｜写了几本小～（书） 。 【并且】ｂìｎɡｑｉě连①用于连接并列的动词或形容词等， 陈旧的规矩：打破～｜～陋习。也比喻去除不掉的祸患或弊端。ｚｉ名跛脚的人；【残年】 ｃáｎｎｉáｎ名①指人的晚年：风烛～｜～暮景。 【必需】ｂìｘū动一定要有； 扁圆形，③参看？ 【别集】ｂｉéｊí名收录个人的作品而成的诗文集， 做下 ～的蠢事。 以及资本主义基本矛盾的深化。我的母校。 也作擘划。全草入药。【表】（⑩錶）ｂｉāｏ①外面；因不可抗力而发生的损害，【参变量】 ｃāｎｂｉ
平面向量数量积的物理背景及其含义
解
①当 a∥b 时，
若 a 与 b 同向，则它们的夹角 θ＝0°， ∴a· b＝|a||b|cos 0° ＝3×6×1＝18； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角 θ＝180°， ∴a· b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°，∴a· b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时， 1 有 a· b＝|a||b|cos 60°＝3×6×2＝9.
|a|2
a· b |a||b| ； (4)cos〈a，b〉＝_____
≤ a||b|. (5)|a· b|____|
课前自学
课堂互动
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4.向量数量积的运算律
(1)a· b＝b· a(交换律)； (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(结合律)； (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律).
由已知：|a|· |b|cos〈a，b〉＝－60°，∴cos〈a，b〉
1 ＝－2，∴〈a，b〉＝120°. 答案 B
课前自学
课堂互动
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3.已知|a|＝1，|b|＝ 2，且(a－b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角 是________.
解析 ∵(a－b)⊥a，∴(a－b)· a＝0，∴|a|2－a· b＝0， 2 ∴1－1× 2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝ 2 ∴〈a，b〉＝45°.
课前自学
课堂互动
课堂达标
类型二 平面向量数量积的基本运算(互动探究)
【例2】 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的
夹角是60°时，分别求a· b.
[思路探究] 探究点 a∥b 时，a 与 b 夹角是多少？ 提示 a 与 b 夹角为 0°或 180°.
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[配伍题,B1型题]“先天之本”指的脏是。</br>“后天之本”指的脏是。A.肝B.心C.脾D.肺E.肾 20世纪中后期，由于微生物学的、等技术的渗透和应用的拓宽及发展，动、植物细胞也可以像微生物一样在平板或三角瓶中分离、培养和在发酵罐中进行生产。 二氧化碳是一种不助燃、不导电、无腐蚀性的惰性气体，不空气重.A.正确B.错误 口腔健康教育的方法主要有A.提供经济支持B.提供组织保证C.个别交谈和讨论会D.进行口腔疾病的干预措施E.实施行政干预措施 七层以上的工民建工程应采用结构。A、土木B、砖石结构C、钢筋混泥土 中国农业银行于1955年3月再次恢复成立，成为在农村金融体系中占主导地位的国家专业银行。A.正确B.错误 操作员在银行汇票解付交易提交成功后，必须由业务主管执行交易发送解付信息至签发行。 铁蛋白和含铁血黄素储存于A.中性粒细胞B.淋巴细胞C.网状细胞D.胃壁主细胞E.肝脾骨髓的单核巨噬细胞 描述统计 [单选,共用题干题]某流水线浮点加法器分为五级，若每一级所需要的时间分别是6ns、7ns、8ns、9ns和6ns，则此流水线的最大加速比为（1）。若每一级的时间均为7ns，则最大加速比为（2）。空白（2）处应选择A.4.1B.5.0C.5.6D.6.2 行政机关实施行政许可，以法律、行政法规收取费用的，应按照公布的法定收费 A债券每半年付息一次、报价利率为8%，B债券每季度付息一次，如果想让B债券在经济上与A债券等效，B债券的报价利率应为()。A、8%B、7.92%C、8.16%D、6.78% TD-Ag哪项是错误的A.大多数为蛋白质B.可诱导体液免疫和细胞免疫C.可刺激产生IgG型抗体D.有免疫记忆E.大多数为多糖物质 财政收入中的国家资源管理收入属于.A.税收收入B.企业收入C.债务收入D.其他收入 两侧声带麻痹的病人可能主诉是。A.声音嘶哑B.用力时呼吸困难C.发音微弱D.上述都有E.上述都没有 患者，男，67岁。支气管哮喘，护士巡视病房时，发现患者表情痛苦，烦躁不安，呼吸困难加剧，发绀明显，血气分析：氧分压为<4.8kPa，二氧化碳分压>9.8kPa。根据患者症状及血气分析，判断其缺氧程度为()A．极轻度B．轻度C．中度D．重度E．过重度 简述真理及其客观性？ 小儿急性支气管炎的主要临床症状为。A.发热B.咳嗽C.气促D.发绀E.腹泻 颈嵴位于牙体的A.颊面颈1／3B.颊面中1／3C.舌面中1／3D.近中面颈1／3E.远中面颈1／3 公民的生育权包含哪几个方面的内容 下列哪一项不是家庭资产负债表中金融项目应该包括的内容。A.银行存款B.房屋C.股票D.债券 电器火灾首选灭火器。A.泡沫B.干粉C.消防水D.二氧化碳 小鼠的的生理结构有利于灌胃操作。A、胃容量小，功能较差B、食管较短，较细C、食管内壁有一层厚的角质化鳞状上皮D、胃分为前胃和腺胃 安全生产费用由建设单位根据对工程安全生产情况的鉴定确认进行支付。A.项目经理B.总工程师C.专职安全管理人员D.监理工程师 ___是当一个人陷于不良情绪时，可以通过改变一下活动内容，做一些有趣的事，使生活变得丰富多彩，使自己从困扰中解脱出来的一种心理调适方法。A.暗示调适法B.交往调适法C.活动调适法D.自我放松 半自动闭塞是闭塞法。A.常见B.普通C.基本D.特殊 下颌骨易发生骨折的薄弱部位不包括A.正中联合B.颏孔区C.下颌角D.乙状切迹E.髁状突颈部 Auer小体不见于下列哪种白血病A.急性早幼粒细胞白血病B.急性单核细胞白血病C.急性淋巴细胞白血病D.急性粒-单核细胞白血病E.急性原始粒细胞白血病 女，38岁，间歇性四肢乏力3年，测血压165/90mmHg，血钾3mmol/L，血浆肾素水平明显降低，可能是()A．嗜铬细胞瘤B．原发性醛固酮增多症C．原发性高血压D．肾小球肾炎E．肾盂肾炎 中国特色社会主义法律体系的基本框架主要包括()。A.民法B.商法C.经济法D.行政法E.证券法 黄疸概述。 依法管理原则 慢性支气管炎临床缓解期是指病人经过治疗或临床缓解多长时间以上者。A.2周B.1个月C.2个月D.半年E.1年 生产安全事故调查“四不放过”的内容包括()。A.事故责任人未受到教育不放过B.事故责任人未受到处理不放过C.防范措施未落实不放过D.事故原因未查明不放过E.全体员工未受到教育不放过 下列关于滴虫阴道炎的叙述，错误的是。A.为性传播疾病B.分泌物为豆腐渣样C.性伴侣应同时检查和治疗D.治疗后复查为阴性并不能确诊为治愈E.为感染阴道毛滴虫所引起 在我国，引起咯血的首要原因A.肺炎B.肺脓肿C.肺结核D.肺梗死E.肺寄生虫病 在感染过程的下列表现中，最易识别的是A.隐性感染B.潜伏性感染C.病原体被消灭或排出体外D.显性感染E.病原携带状态 站线高柱信号机的建筑接近限界为mm。 作为心理咨询的直接起源，年在美国诞生了的历史上第一本《临床•23理学》。A.1904B.1907C.1896D.1908 引起心源性休克最常见的病因是A.急性肺动脉栓塞B.急性心肌梗死C.扩张型心肌病D.急性肺水肿E.急性心脏压塞