2018高考数学异构异模复习第十四章推理与证明14.2直接证明与间接证明撬题理

2018高考数学异构异模复习考案 第十四章 推理与证明 14.2 直接
证明与间接证明撬题 理
1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根
B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根
C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
答案 A
解析 因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设为方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.
2.已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，a n ≤182a n －36，a n >18(n ＝1,2，…)．记集
合M ＝{a n |n ∈N *}．
(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；
(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合M 的元素个数的最大值．
解 (1)6,12,24.
(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．
由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n >18，可归纳证明对任意的n ≥k ，a n 是3的倍数．
如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．
如果k >1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，
于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意的n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数．
综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．
(3)由a 1≤36，
a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧ 2a n －1，a n －1≤18，2a n －1－36，a n －1>18，
可归纳证明a n ≤36(n ＝2,3，…)．
因为a 1是正整数，
a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1，a 1≤18，2a 1－36，a 1>18，
所以a 2是2的倍数．
从而当n ≥3时，a n 是4的倍数．
如果a 1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 是3的倍数．
因此当n ≥3时，a n ∈{12,24,36}．这时M 的元素个数不超过5.
如果a 1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 不是3的倍数．因此当n ≥3时，a n ∈{4,8,16,20,28,32}．这时M 的元素个数不超过8.
当a 1＝1时，M ＝{1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素．
综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8.
3．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．
(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)；
(2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.
证明 由题意得，S n ＝na ＋n n －1 2
d . (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12
d . 又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .
因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .
从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .
(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n
n 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *
，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)． 令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12
d ， D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有
An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)
在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得
A ＋
B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，
从而有⎩⎪⎨⎪⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0， ①19A ＋5B ＋cd 1＝0， ②
21A ＋5B ＋cd 1＝0， ③
由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.
即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12
d ＝0，cd 1＝0. 若d 1＝0，则由d 1－12
d ＝0，得d ＝0， 与题设矛盾，所以d 1≠0.
又因为cd 1＝0，所以c ＝0.。