数学建模——蒙特卡洛简介
蒙特卡洛方法简介
1.蒙特卡洛方法的定义 2.蒙特卡洛方法的原理 3.蒙特卡洛方法应用举例
1.蒙特卡洛方法的定义
蒙特· 卡罗方法，是指将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用 电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，也称为统 计模拟方法或计算机随机模拟方法。为象征性地表明这一方法的概 率统计特征，故借用赌城蒙特卡洛命名。
3.蒙特卡洛方法应用举例
3.蒙特卡洛方法应用举例
Thank you!!
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期 望值时，可以通过蒙特卡洛方法，以这种事件出现的频率估计这一随 机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为 立概率统计模型 收集模型中风险变量的数据，确定风险因数的分布函数 根据分布函数，产生随机数 将随机数代入建立的数学模型，得到一个样本值 重复N次 得到N个样本值 统计分析估计均值，标准差
数学建模蒙特卡洛模拟方法详细案例
数学建模蒙特卡洛模拟方法详细案例
数学建模中的蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成和概率统计的方法，可以用于求解各种复杂的问题。
下面是一个详细的案例，以帮助你更好地理解蒙特卡洛模拟方法的应用。
案例：估计圆周率
假设我们要求解圆周率（π）的值。
我们可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计π的值。
1. 定义问题的概率模型：在这个案例中，我们使用一个简单的概率模型，即在一个边长为1的正方形内随机生成点，并计算这些点到正方形中心的距离。
2. 生成随机数：使用随机数生成器生成一系列的随机数，这些随机数代表点在正方形内的坐标。
3. 计算点到中心的距离：对于每个生成的点，计算它到正方形中心的距离。
4. 计算落在圆内的点的比例：将落在半径为1的圆内的点的数量除以总的点数。
这个比例近似于圆的面积与正方形的面积之比，也就是π/4。
5. 通过比例求解π：将步骤4中的比例乘以4，即可得到π的近似值。
通过多次重复上述步骤并取平均值，可以进一步提高估计的准确性。
需要注意的是，蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成和概率统计的方法，其结果具有一定的随机性和误差。
因此，在应用蒙特卡洛模拟方法时，需要选择合适的随机数生成器和概率模型，以确保结果的准确性和可靠性。
蒙特卡洛模拟通俗理解
蒙特卡洛模拟通俗理解蒙特卡洛模拟通俗理解蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的数值计算方法，它可以用来估计某些复杂系统的性质。
这种方法的基本思想是通过随机抽样来模拟系统的行为，从而得到对系统性质的估计。
下面将对蒙特卡洛模拟进行详细介绍。
一、蒙特卡洛模拟的基本原理1.1 随机抽样蒙特卡洛模拟的核心是随机抽样。
在进行蒙特卡洛模拟时，我们需要从所研究问题的所有可能情况中，随机地选取一些情况进行研究。
这些情况被称为“样本”，而从中选取样本的过程被称为“随机抽样”。
1.2 统计规律在进行随机抽样后，我们可以根据所得到的数据来推断整个系统的性质。
这种推断是基于统计规律进行的，即我们可以根据所得到数据中出现频率较高的情况来推断整个系统中该情况出现的概率。
二、蒙特卡洛模拟在实际问题中的应用2.1 金融领域在金融领域中，蒙特卡洛模拟被广泛应用于风险管理和衍生品定价。
例如，在进行股票期权定价时，我们可以通过随机抽样来模拟股票价格的未来走势，并根据所得到的数据来计算期权的价格。
2.2 物理领域在物理领域中，蒙特卡洛模拟被用于研究复杂系统的性质。
例如，在研究分子运动时，我们可以通过随机抽样来模拟分子的运动轨迹，并根据所得到的数据来计算分子的平均速度和能量。
2.3 生物领域在生物领域中，蒙特卡洛模拟被用于研究生物分子的结构和功能。
例如，在研究蛋白质折叠过程中，我们可以通过随机抽样来模拟不同构象之间的转换，并根据所得到的数据来推断蛋白质最稳定的构象。
三、蒙特卡洛模拟的优缺点3.1 优点（1）适用范围广：蒙特卡洛模拟可以用于研究各种类型的系统，包括物理、化学、生物等领域。
（2）精度高：通过增加样本量，蒙特卡洛模拟可以得到非常精确的结果。
（3）易于实现：蒙特卡洛模拟只需要进行随机抽样和统计分析，因此实现起来比较简单。
3.2 缺点（1）计算量大：蒙特卡洛模拟需要进行大量的随机抽样和数据处理，因此计算量比较大。
（2）收敛速度慢：在一些情况下，蒙特卡洛模拟需要进行很多次随机抽样才能得到收敛的结果。
蒙特卡罗简述
蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod）--也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
蒙特卡罗方法- 基本思想当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡罗方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡罗方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。
蒙特卡罗方法- 基本原理由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。
因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。
MonteCarlo(蒙特卡洛法)简介
一个例子 --
n=1000000; m=0; t=1; for i=1:n x=1; for k=1:7 ang=pi*rand; x=x+cos(ang); if x<0 l=0; t=0; end end if x>5 & t==1 l=1; else l=0; end m=m+l; t=1; end m/n
方差削减技术
对偶变量技术(适用正态分布函数） 取一组随机数Z_i，可得模拟值C_i ,i=1,2,..n 估计值为期平均C^ 再取Z_i 的对偶Z’_i=-Z_i,再生成估计值C’^ 然后去新的平均值C*=（C^+C’^)/2 则 varC*=1/2varC^+1/2cov(C^,C’^)< 1/2varC^+ 该技术使计算更稳定
随机数的取得
如果你对随机数有更高的要求，需要自己
编辑“随机数生成器” 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布） 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生一 个(0,1)中均匀分布的随机数 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
基本思想和原理
基本思想：当所要求解的问题是某种事件出现
的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它 们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事 件出现的频率，或者这个随机变数的平均值， 并用它们作为问题的解。 原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征， 利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模 拟实验。 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所 描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题 的近似解。。
实现从已知概率分布抽样
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法求助编辑百科名片蒙特卡罗模拟是一种计算机化的数学方法，允许人们评估定量分析和决策制定过程中的风险。
此方法首先被科学家用于研究原子弹；它以因赌场而闻名遐迩的摩纳哥旅游城市蒙特卡罗命名。
自从在二战中推出以来，蒙特卡罗模拟一直用于为不同的物理和概念系统建立模型。
专业人员将此方法广泛应用于不同领域，如金融、项目管理、能源、制造、工程、研发、保险、运输和环境。
蒙特卡罗模拟向决策者提供了采取任何措施可能产生的一系列可能结果和概率。
它说明了最大可能性，即全力以赴和最保守决策的结果，以及折衷决策的所有可能后果。
目录梗概基本思想工作原理工作过程优势分子领域数学领域1.积分2.圆周率3.应用题电脑领域展开梗概基本思想工作原理工作过程优势分子领域数学领域1.积分2.圆周率3.应用题电脑领域展开编辑本段梗概蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特卡罗模拟是一种计算机化的数学方法，允许人们评估定量分析和决策制定过程中的风险。
[1]20世纪40年代，在John von Neumann，Stanislaw Ulam和Nicholas Metropolis在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡洛方法。
此方法首先被科学家用于研究原子弹；它以因赌场而闻名遐迩的摩纳哥旅游城市蒙特卡罗命名。
自从在二战中推出以来，蒙特卡罗模拟一直用于为不同的物理和概念系统建立模型。
[1]蒙特卡罗模拟向决策者提供了采取任何措施可能产生的一系列可能结果和概率。
它说明了最大可能性，即全力以赴和最保守决策的结果，以及折衷决策的所有可能后果。
[1]与它对应的是确定性算法。
蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。
数学建模——蒙特卡洛简介
数学建模——蒙特卡洛方法（案例）蒙特卡罗方法是一种计算方法。
原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。
它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。
对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。
它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。
正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对(x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。
通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。
比如，计算函数y = x2 在[0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。
这个函数在(1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。
在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件y < x2）。
这个比重就是所要求的积分值。
用Matlab模拟100万个随机点，结果为0.3328。
四、交通堵塞蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。
下面的例子模拟单车道的交通堵塞。
根据Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。
▪当前速度是 v 。
▪如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。
▪如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。
▪此外，司机还会以概率 p 随机减速，将下一秒的速度降低到 v - 1 。
在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率p 为0.3 。
蒙特卡洛法的基本原理
蒙特卡洛法的基本原理蒙特卡洛法（Monte Carlo method）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于解决难以通过解析方法或传统数学模型求解的问题。
它在物理学、化学、工程学、计算机科学、金融学、生物学等领域都有广泛应用。
本文将介绍蒙特卡洛法的基本原理，包括随机数生成、统计抽样、蒙特卡洛积分、随机漫步等方面。
一、随机数生成随机数是蒙特卡洛法中的基本元素，其质量直接影响着计算结果的准确性。
随机数的生成必须具有一定的随机性和均匀性。
常见的随机数生成方法有：线性同余法、拉斯维加斯法、梅森旋转算法、反序列化等。
梅森旋转算法是一种广泛使用的准随机数生成方法，其随机数序列的周期性长、随机性好，可以满足大多数应用的需要。
二、统计抽样蒙特卡洛法利用抽样的思想，通过对输入参数进行随机取样，来模拟整个系统的行为，并推断出某个问题的答案。
统计抽样是蒙特卡洛方法中最核心的部分，是通过对概率分布进行样本抽取来模拟随机事件的发生，从而得到数值计算的结果。
常用的统计抽样方法有：均匀分布抽样、正态分布抽样、指数分布抽样、泊松分布抽样等。
通过对这些概率分布进行抽样，可以在大量随机取样后得到一个概率分布近似于输入分布的“抽样分布”，进而求出所需的数值计算结果。
三、蒙特卡洛积分蒙特卡洛积分是蒙特卡洛法的重要应用之一。
它利用统计抽样的思想，通过对输入函数进行随机抽样，计算其随机取样后的平均值，来估算积分的值。
蒙特卡洛积分的计算精度与随机取样的数量、抽样分布的质量等因素有关。
蒙特卡洛积分的计算公式如下：$I=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_{i})\frac{V}{p(X_{i})}$$N$为随机取样的数量，$f(X_{i})$为输入函数在点$X_{i}$的取值，$V$为积分区域的体积，$p(X_{i})$为在点$X_{i}$出现的抽样分布的概率密度函数。
通过大量的样本拟合，可以估算出$I$的值接近于真实积分的值。
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理编程及应用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理编程及应用蒙特卡罗方法是一种基于随机数的数学建模算法，它在估计和模拟复杂的数学问题时非常有用。
蒙特卡罗方法的原理是通过随机抽样来进行近似计算，然后使用统计学方法来分析和推断结果。
蒙特卡罗方法的核心思想是通过进行大量的随机样本实验，来估计问题的解或者概率。
它的基本过程如下：1.问题建模：将要解决的问题转化为数学模型，并明确需要估计的量。
2.随机抽样：根据问题的性质和要求，设计合适的随机抽样方法，生成大量的随机样本。
3.计算估计量：对每个样本，将其代入数学模型，计算得到估计量的值。
4.统计分析：对所有样本的估计量进行统计分析，包括计算均值、方差等。
5.结果解释：根据统计分析的结果，得出对问题的估计值和置信区间。
蒙特卡罗方法的一个重要特点是可以处理复杂的问题，因为需要进行大量的随机实验。
它广泛应用于科学研究、金融决策、工程设计等领域。
下面以两个实际应用为例介绍蒙特卡罗方法的具体编程和应用。
实例一：估计π的值蒙特卡罗方法可以用来估计π的值。
其基本思路是以原点为中心，边长为2的正方形内切一个以原点为圆心的半径为1的圆，通过生成大量的随机点，并统计落在圆内的点的个数来估计圆的面积，然后根据面积比例来估计π。
编程步骤如下：1.生成随机点：生成大量的随机点，均匀分布在正方形内。
2.判断点位置：判断每个点是否落在圆内，即判断点的横坐标和纵坐标的平方和是否小于13.统计结果：统计圆内的点的个数。
4.计算面积和π的估计值：根据圆内点的个数，计算圆的面积和π的估计值。
实例二：金融风险分析蒙特卡罗方法可以用于金融风险分析，例如估计一些投资组合的回报率和风险。
编程步骤如下：1.生成随机数：生成符合历史回报率的随机数序列，代表不同的投资回报率。
2.计算投资回报率：根据生成的随机数序列，计算投资组合的回报率。
3.重复实验：重复上述步骤多次，生成多个投资回报率的样本。
4.统计分析：对多个投资回报率样本进行统计分析，计算均值、方差等指标。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的计算方法，可以用于解决众多复杂的数学问题，涉及到概率统计、数值计算、优化问题等多个领域。
蒙特卡洛方法的核心思想是通过随机抽样来近似计算问题的解，其优点在于适用范围广，对于复杂的问题能够给出较为准确的结果。
本文将介绍蒙特卡洛方法的基本原理、应用领域以及优缺点。
蒙特卡洛方法的基本原理是利用随机抽样来估计问题的解。
通过生成服从特定分布的随机数，然后根据这些随机数来近似计算问题的解。
蒙特卡洛方法的核心思想是“用随机数来代替确定性数”，通过大量的随机抽样来逼近问题的解，从而得到较为准确的结果。
蒙特卡洛方法的随机性使得其能够处理复杂的问题，尤其在概率统计领域和数值计算领域有着广泛的应用。
蒙特卡洛方法的应用领域非常广泛，其中包括但不限于，概率统计、金融工程、物理学、生物学、计算机图形学等。
在概率统计领域，蒙特卡洛方法可以用来估计各种概率分布的参数，进行模拟抽样，计算统计量等。
在金融工程领域，蒙特卡洛方法可以用来进行期权定价、风险管理、投资组合优化等。
在物理学领域，蒙特卡洛方法可以用来模拟粒子的行为、计算物理系统的性质等。
在生物学领域，蒙特卡洛方法可以用来模拟生物分子的构象、预测蛋白质的结构等。
在计算机图形学领域，蒙特卡洛方法可以用来进行光线追踪、图像渲染等。
蒙特卡洛方法的优点在于适用范围广，能够处理各种复杂的问题，且能够给出较为准确的结果。
蒙特卡洛方法的缺点在于计算量大，需要进行大量的随机抽样才能得到较为准确的结果，且随机抽样的过程可能会引入误差。
因此，在实际应用中需要权衡计算成本和精度要求，选择合适的抽样方法和样本量。
总之，蒙特卡洛方法是一种重要的计算方法，具有广泛的应用价值。
通过随机抽样来近似计算问题的解，能够处理各种复杂的问题，且能够给出较为准确的结果。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点和要求来选择合适的抽样方法和样本量，以平衡计算成本和精度要求。
希望本文能够帮助读者更好地理解蒙特卡洛方法的基本原理、应用领域以及优缺点，为实际问题的解决提供一些参考和启发。
蒙特卡洛拟合曲线-概述说明以及解释
蒙特卡洛拟合曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述蒙特卡洛拟合曲线是一种常用的数学建模方法，通过使用统计模拟的方法，将一组已知的数据点与最优拟合曲线进行匹配，以便预测未知数据点的值或拟合观测数据。
在科学研究和工程实践中，准确地描述和预测实际数据是一项重要的任务。
然而，由于数据的复杂性和不完美性，常规的拟合方法可能无法达到所需的精度和准确性。
而蒙特卡洛拟合曲线的独特之处在于其能够灵活地适应不完美的数据，并提供可靠的预测结果。
蒙特卡洛拟合曲线的核心思想是基于随机抽样和模拟实验，在拟合曲线的过程中，通过随机生成一组参数，然后用这些参数计算出拟合的曲线，并与实际数据进行比较。
通过大量的重复实验，找到使得拟合曲线与实际数据最接近的参数组合，从而获得最佳的拟合曲线。
与传统的拟合方法相比，蒙特卡洛拟合曲线具有以下优势。
首先，它可以利用随机性和概率的特点，克服数据不确定性和误差带来的影响，提高拟合的准确性和鲁棒性。
其次，通过模拟实验的方式，蒙特卡洛拟合曲线可以生成多个曲线拟合结果。
这样，我们可以得到拟合曲线的置信区间和不确定度，进一步评估拟合结果的可靠性。
蒙特卡洛拟合曲线在许多领域中有广泛的应用前景。
在物理学、化学、生物学等自然科学领域中，蒙特卡洛拟合曲线可以用于分析实验数据、建立数学模型，并对实际系统的性质进行预测。
在工程技术领域，蒙特卡洛拟合曲线可以用于优化设计和预测性能，提高产品和系统的可靠性。
综上所述，蒙特卡洛拟合曲线是一种强大的数学建模工具，它通过统计模拟的方法能够更好地拟合和预测实际数据。
在科学研究和工程实践中，蒙特卡洛拟合曲线具有广泛的应用前景，将为我们提供更准确和可靠的数据分析和预测能力。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：首先，介绍文章的主要结构和组成部分。
说明文章的整体安排，包括引言、正文和结论三个部分，每个部分的内容和主旨。
其次，解释每个部分的具体内容和重点。
引言部分用于提出问题和研究的背景，引起读者的兴趣；正文部分是论文的主体，包括蒙特卡洛方法介绍和拟合曲线的概念两个小节；结论部分总结了蒙特卡洛拟合曲线的优势，并展望了应用前景。
蒙特卡洛介绍
蒙特卡洛简介
蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种统计技术，主要用于估算复杂系统的各种数值解。
其基本思想是通过随机抽样来模拟或估算一个过程，从而得到期望的统计结果。
以下是对蒙特卡洛方法的简要介绍：
历史背景：
蒙特卡洛方法得名于摩纳哥的蒙特卡洛赌场。
这个方法是在二战期间，由于需要解决核反应的随机扩散问题，由科学家们（如尤里·乌兰贝克、尼古拉·梅特罗波洛斯和约翰·冯·诺伊曼）在洛斯阿拉莫斯实验室中首次提出并使用的。
工作原理：
1. 随机抽样：根据某个分布（通常是均匀分布）生成大量随机样本。
2. 评估函数：对每个随机样本评估一个函数或模型。
3. 分析结果：基于评估的结果，计算所需的统计量（如均值、方差等）。
应用领域：
1. 金融：用于估算金融衍生品的价格和风险。
2. 物理：模拟复杂的物理过程，如核反应。
3. 工程：进行可靠性分析和风险评估。
4. 计算生物学：模拟生物分子的动力学。
5. 优化：搜索复杂的解空间以找到最优解。
优点：
1. 灵活性：可以应用于各种复杂的数学问题和模型。
2. 并行性：由于每个样本的评估是独立的，所以蒙特卡洛模拟非常适合并行计算。
缺点：
1. 收敛速度：需要大量的样本才能得到精确的估计。
2. 计算成本：可能需要大量的计算资源。
结论：
蒙特卡洛方法是一种强大而灵活的工具，它为解决许多复杂的数学和工程问题提供了手段。
尽管它有一些局限性，但在很多情况下，它都是最好的或唯一可行的解决方案。
数学建模专题三 Monte Carlo模拟
2019/5/18
Lxy, China Jiliang Universty
16
结果比较
理论计算和模拟结果的比较
分类 项目
无效射击
有效射击
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
平均值
模拟 理论
０．６５ ０．７５
０．３５ ０．２５
０．５ ０．３３
虽然模拟结果与理论计算不完全一致，但它却能更加真实地表 达实际战斗动态过程．
x=randperm(6); y=x(1); switch y
Lxy, China Jiliang Universty
10
问题分析
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
需要模拟出以下两件事：
[1] 观察所对目标的指示正确与否 模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2． 因此，可用投掷一枚硬币的方式予以确定，当硬币出现正面时为
指示正确，反之为不正确．
4
举例
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
2019/5/18
L
d
p
2L d
Lxy, China Jiliang Universty
5
Solution
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
... ...
2019/5/18
Lxy, China Jiliang Universty
19
Matlab中的取整函数
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
fix(x) : 截尾取整，直接将小数部分舍去 floor(x) : 不超过 x 的最大整数 ceil(x) : 不小于 x 的最小整数 round(x) : 四舍五入取整
蒙特卡洛方法及应用
蒙特卡洛方法及应用蒙特卡洛方法是一种基于随机采样的数值计算方法，它在各种科学和工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍蒙特卡洛方法的基本原理、算法和在各个领域中的应用，以帮助读者更好地理解和应用这种方法。
蒙特卡洛方法是一种基于概率的统计方法，它通过随机采样来模拟复杂系统的行为。
这种方法最早起源于20世纪中叶，当时科学家们在使用计算机进行数值计算时遇到了很多困难，而蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案。
蒙特卡洛方法的基本原理是，通过随机采样来模拟系统的行为，并通过对采样结果进行统计分析来得到系统的近似结果。
这种方法的关键在于，采样越充分，结果越接近真实值。
蒙特卡洛方法的算法主要包括以下步骤：1、定义系统的概率模型；2、使用随机数生成器进行随机采样；3、对采样结果进行统计分析，得到系统的近似结果。
蒙特卡洛方法在各个领域中都有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，蒙特卡洛方法被用来模拟股票价格的变化，从而帮助投资者进行风险评估和投资策略的制定。
在物理领域中，蒙特卡洛方法被用来模拟物质的性质和行为，例如固体的密度、液体的表面张力等。
在工程领域中，蒙特卡洛方法被用来进行结构分析和优化设计等。
总之，蒙特卡洛方法是一种非常有用的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来得到系统的近似结果。
这种方法在各个领域中都有着广泛的应用，并为很多实际问题的解决提供了一种有效的解决方案。
随着金融市场的不断发展，期权作为一种重要的金融衍生品，其定价问题越来越受到。
而蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法作为两种广泛应用的定价方法，具有各自的特点和优势。
本文将对这两种方法在期权定价中的应用进行比较研究，旨在为实际操作提供理论支持和指导。
一、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机模拟的数学方法，其基本原理是通过重复抽样模拟金融市场的各种可能情况，从而得到期权的预期收益。
该方法具有以下优点：1、可以处理复杂的金融市场情况，包括非线性、随机性和不确定性的问题。
数学建模-蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法的特点 • 优点：
• 1、能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的 特点及物理实验过程 • 2、受几何条件限制小 • 3、收敛速度与问题的维数无关 • 4、具有同时计算多个方案与多个未知量的能力 • 5、误差容易确定 • 6、程序结构简单，易于实现
• 缺点：
• 1收敛速度慢 • 2误差具有概率性 • 3在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关
什么是随机数？
• 在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本的 分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称 为随机数序列，其中每一个体称为随机数 • 符号： 1 2
，
• 两个特点：独立性，均匀性
产生随机数 • 随机数表方法 • 物理方法
随机数表
• 随机数表是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字 组成，每个数字以0.1的等概率出现，数字 之间相互独立，这些数字序列叫作随机数 字序列。 • （如果要得到n位有效数字的随机数，只需 将表中每n个相邻的随机数字合并在一起， 且在最高位的前边加上小数点即可。例如， 某随机数表的第一行数字为7 6 3 4 2 5 8 9 1...，要想得到三位有效数字的随机数一次 为0.763，0.425，0.891...）
基本思想
• 当所求问题的解是某个事件的概率，或者 是某个随机变量的数学期望，或者是与概 率，数学期望有关的量时，通过某种试验 的方法，得出该事件发生的概率，或者该 随机变量若干个具体观察值的算术平均值， 通过它得到问题的解。 • 当随机变量的取值仅为 1 或 0 时，它的数学 期望就是某个事件的概率。或者说，某种 事件的概率也是随机变量（仅取值为 1 或 0 ） 的数学期望。
蒙特卡罗方法实验
面积、体积计算问题
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用一、前言1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam和Nick Metropolis共同发明了蒙特卡罗方法。
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
二、蒙特卡罗方法的基本原理以及思想1、蒲丰投针实验其基本思想源于法国数学家蒲丰提出著名的蒲丰投针实验，并以该方法求圆周率。
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：求出π值。
其中Ｎ为投针次数，n为针与平行线相交次数。
这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
2、射击问题设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。
则该运动员的射击成绩为用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
蒙特卡洛介绍
用蒙特卡洛方法解决食堂排队问题
(3)COUNTIF函数: =COUNTIF(rang,criteria)该公式用于统计在一定判断 标准下满足条件的个数，其中公式中第一项为数据所 在范围；第二项为判断标准；既满足第二项条件的第 一项数据的个数。
用蒙特卡洛方法解决食堂排队问题
学生食堂的排队问题是一个学生们十分关心的问题， 学生希望增加窗口数，减少排队等待时间。然而就食堂的 角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提 高学生对该食堂的满意度，从而让更多的学生到该食堂就 餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两 者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双 方来说都是很重要的。蒙特卡罗方法，或称计算机随机模 拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法，通过建立动 态模型，模拟食堂窗口的排队问题，当只有一个窗口服务 的情况下，前一个学生未被服务完毕的时候，后一个学生 必须等待，直到前一个学生离开服务台，后一个学生才能 被服务。而如果有两个窗口服务的时候，则可以节省等待 时间。
伪随机数的产生
进行计算机模 拟需要大样本 的均匀分布随 机数数列，如 何获得？
蒙特卡洛的方法基础
真随机数：由随机物理过程来产生，例如：放射性衰变、电子设备的热噪 音、宇宙射线的触发时间等等
伪随机数：由计算机按递推公式大量产生
伪随机数的产生
蒙特卡洛的方法基础
设 为2s个数码，自乘后，去头截尾，然后相应的 除以 或 ，作为[0,1]上的伪随机数，如此重复这 一过程，直至或者为0，或者与已出现的数字重复（周期 性）时为止。公式表示如下：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学建模
——蒙特卡洛方法（案例）
蒙特卡罗方法是一种计算方法。
原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。
它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。
对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。
它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。
正方形部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形部，随机产生10000个点（即10000个坐标对(x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的部。
如果这些点均匀分布，那么圆的点应该占到所有点的π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。
通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。
比如，计算函数y = x2 在[0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。
这个函数在(1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。
在该正方形部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件y < x2）。
这个比重就是所要求的积分值。
用Matlab模拟100万个随机点，结果为0.3328。
四、交通堵塞
蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统部的随机运动。
下面的例子模拟单车道的交通堵塞。
根据Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。
▪当前速度是 v 。
▪如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。
▪如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。
▪此外，司机还会以概率 p 随机减速，将下一秒的速度降低到 v - 1 。
在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率p 为0.3 。
左图中，横轴
代表距离（从左到
右），纵轴代表时间
（从上到下），因此
每一行就表示下一
秒的道路情况。
可以看到，该模型
会随机产生交通拥
堵（图形上黑色聚
集的部分）。
这就证明了，单车道即使没有任何原因，也会产生交通堵塞。
某产品由八个零件堆叠组成。
也就是说，这八个零件的厚度总和，等于该产品的厚度。
已知该产品的厚度，必须控制在27mm以，但是每个零件有一定的概率，厚度会超出误差。
请问有多大的概率，产品的厚度会超出27mm？
取100000个随机样本，每个样本有8个值，对应8个零件各自的厚度。
计算发现，产品的合格率为99.9979%，即百万分之21的概率，厚度会超出27mm。
证券市场有时交易活跃，有时交易冷清。
下面是你对市场的预测。
▪如果交易冷清，你会以平均价11元，卖出5万股。
▪如果交易活跃，你会以平均价8元，卖出10万股。
▪如果交易温和，你会以平均价10元，卖出7.5万股。
已知你的成本在每股5.5元到7.5元之间，平均是6.5元。
请问接下来的交易，你的净利润会是多少？
取1000个随机样本，每个样本有两个数值：一个是证券的成本（5.5元到7.5元之间的均匀分布），另一个是当前市场状态（冷清、活跃、温和，各有三分之一可能）。
模拟计算得到，平均净利润为92, 427美元。