1.1.1函数的平均变化率

学案1.1 .1 函数的平均变化率

编者：刘志英2009.2.18

【课标点击】

（一）学习目标

（1）掌握平均变化率的概念；能通过计算平均变化率了解曲线的陡峭程度，能理解平均变化率的实际意义；

（2）能熟练计算函数在某区间上平均变化率．

（二）教学重点，难点

（1）掌握平均变化率的概念并能熟练地计算．

【课前准备】

（一）问题导引

问题一：

如图，某市2004年4月20号最高气温为33.4C，而此前的两天，4月19号和4月18号最高气温分别为24.4C和18.6C，短短两天时间气温“陡增”14.8C，人们无不感叹：“天气热得太快了”．

问题二：（1）将该市2004年3月18号最高气温为3.5C与4月18号最高气温18.6C进行比较，两者的温差为15.1C，甚至超过了14.8C，人们却不发出上述感叹，为什么？

（2）从图象上观察，,B C 之间的曲线较,A B 之间的曲线谁更“陡峭”？

问题答案： 用比值33.418.6()3432C B C B

y y x x ----来近似地量化,B C 之间的曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间[32,34]上的平均变化率．

即气温在区间[1,32]上的平均变化率为

18.6 3.515.10.532131

-=≈-． 即气温在区间[32,34]上的平均变化率为33.418.614.87.434322-==-． 虽然,B C 与,A B 之间温差几乎相同，但平均变化率却相差很大．

【学习探究】

（一）自学课本第3、4页

知识点梳理：

1， 自变量的改变量

2， 函数值的该变量

3， 函数的平均变化率

（二）思考与讨论

函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率表示为：2121

()()f x f x x x --． 可以吗？ 在图形上的表现为：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。

（三）．典例示范

例1．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．

解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化 率为：6.5 3.51(/)30

kg -=-月． 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化 率为：118.60.4(/)126

kg -=-月． 例2． 如图水经过缸吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()5t V t e

-=

（单位3)cm 计算第一个10s 内V 的平均变化率．

解：区间[0.10]上，体积V 的平均变化率为：

3(10)(0) 1.83950.3161(/)10010

V V cm s --≈=--． 负号表示容器甲中的水在减少．

例3．已知2()f x x =，分别计算()f x 在下列区

间上的平均变化率：

（1）[1,3]； （2）[1,2]； （3）[1,1.1] ； （4）[1,1.001]．

解：（1）()f x 在[1,3]上的平均变化率为：22

(3)(1)3143131

f f --==--； （2）()f x 在[1,2]上的平均变化率为：22

(2)(1)2132121

f f --==--； （3）()f x 在[1,1.1]上的平均变化率为：22

(1.1)(1) 1.11 2.11.11 1.11

f f --==--； （4）()f x 在[1,1.001]上的平均变化率为：22

(1.001)(1) 1.0011 2.0011.0011 1.0011

f f --==--． 例4．已知函数()21f x x =+，()2

g x x =-，分别计算()f x ，()g x 在区间[31]--，

[0,5]上的平均变化率．

解：()f x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)

f f ---=---． ()f x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250

f f -=-． ()

g x 在区间[31]--上的平均变化率为：

(1)(3)2(1)(3)g g ---=----． ()g x 在区间[0,5]上的平均变化率为：

(5)(0)250

g g -=--． （四）变式拓展

1、一次函数y kx b =+在区间[,]m n 上的平均变化率有什么特点？（等于它的斜率）．

2．函数()f x 在区间[,]m n 上的平均变化率与曲线上两点(,())m f m ，(,())n f n 间的斜率有何关系？

3．练习：书5P 练习A 1，2，题

（五）归纳总结：

（六）当堂检测 书P 5练习A3题

【巩固提高】

A 组：书P 5练习B1、2题

B 组：

1．已知曲线212

y x =上两点的横坐标是0x 和0x x +∆，求过AB 两点的直线斜率；

2．一物体按规律210s t t =+作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平 均速度；