不定积分在经济中的应用举例
不定积分应用案例演示教学
不定积分应用案例演示教学
不定积分是微积分中一个重要的概念，它用于求解函数的原函数或者说反导数。
在实际应用中，不定积分可以用于解决很多实际问题，比如解决几何问题、物理问题和经济问题等。
以下是一些常见的不定积分应用案例的演示教学：
1. 几何问题：考虑一个函数f(x)，它表示一个曲线的高度。
我
们可以通过求解f(x)的不定积分来确定曲线下的面积。
具体来说，我们可以将f(x)积分后得到的原函数F(x)称为面积函数，
它表示从x=0到任意点x的曲线下的面积。
通过计算F(b)-F(a)，我们可以求出在点x=a和x=b之间的面积。
2. 物理问题：考虑一个运动的物体，在给定的时间t内，它的
速度v(t)表示物体在不同时间点的速度。
我们可以通过求解
v(t)的不定积分得到物体的位移函数s(t)，它表示物体在不同
时间点的位移。
通过计算s(b)-s(a)，我们可以求出物体在时间
t=b和t=a之间的位移。
3. 经济问题：假设一个公司的产量函数是y=f(x)，其中x表示
生产的投入，y表示产出。
我们可以通过求解f(x)的不定积分
来确定生产函数的积累函数F(x)，它表示从投入为0到任意点
x的累计产出。
通过计算F(b)-F(a)，我们可以求出在投入x=a
和x=b之间的产出增量。
通过以上这些案例的演示教学，学生可以更好地理解不定积分的概念和应用，并且具备解决实际问题的能力。
不定积分的应用
换元积分法
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x) f (u)du F (u) C F[(x)] C
例 例1 1
2 cos 2 xdx cos 2 x (2 x)dx cos 2 xd (2 x)
一、不定积分在几何中的应用
案例1 【曲线方程】 设曲线通过点（1,2）且曲线上任一点处的切线斜率等于这点 横坐标的两倍，求此曲线的方程。 ������ 解：设所求曲线方程为 y = f (x)������ 依题意f (x)是 2 x的一个原函数。
二、不定积分在物理中的应用
如果 t=0时开始结冰的厚度为0 即 y(0)=0代入上式得 C=0������
cos cos udu sin sin u C cos udu sin u C sin2 2 x C udu u C sin 2 x C sin x C
例 2 例
2
1 dx 1 1 (3 2x)dx 1 1 d (3 2x) 3 2x 2 3 2x 2 3 2x
三、不定积分在经济学中的应用
思考题 不定积分在我们的生活中有哪些实 际应用？������Fra bibliotek习题解答
第四节 不定积分的应用
课程回顾：基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数)
(2) x dx
1 1 x C 1
(9) csc2 xdx cot x C
1 dx arctan x C 2 1 x 1 dx arcsin x C (11) 1 x 2 (10) (12) sec x tan xdx sec x C (13) csc x cot dx csc x C
不定积分在经济问题中的应用教学课件
《不定积分在经济问题中的应用教学课件ppt》xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•不定积分简介•不定积分在经济问题中的应用•不定积分在经济问题的实际案例分析•不定积分在经济问题中的未来发展趋势及展望01不定积分简介不定积分的定义不定积分是微分的逆运算，可以理解为求一个函数的原函数或反导数。
定义：若函数f(x)的某一原函数为F(x)，则f(x)的不定积分就是F(x)+C，其中C是任意常数。
记作：∫f(x)dx线性性质∫(kf(x))dx=k∫f(x)dx，k为常数积分区间性质若f(x)在[a,b]上连续，则有∫(f(x))dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
微分性质d/dx∫f(x)dx=f(x)，即求不定积分时，积分符号内的函数正好是原函数的导数。
010203按照函数类型分类幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
按照难度和复杂程度分类简单不定积分和复杂不定积分。
02不定积分在经济问题中的应用通过使用不定积分，我们可以解决投资组合问题，优化资产配置。
总结词不定积分在投资组合问题中有着重要的应用。
投资组合问题主要研究如何分配资产以最小化风险，并最大化收益。
不定积分可以用于解决这类问题，通过建立数学模型，计算出最优的资产配置比例。
例如，假设我们有两个资产，每个资产都有不同的预期收益和风险，我们可以通过不定积分来找到最优的投资组合比例，以最大化收益并最小化风险。
详细描述投资组合问题总结词不定积分在消费理论中也有着重要的应用，主要研究消费者的购买行为和消费习惯。
详细描述消费理论主要研究消费者的购买行为和消费习惯。
不定积分在这个领域也有着重要的应用，例如，我们可以使用不定积分来计算消费者的最优消费路径。
假设我们有一个消费者，他有一定数量的资金，他需要在一定时间内消费完这些资金。
我们可以通过不定积分来计算出最优的消费路径，使得消费者可以最大化他的效用。
消费理论总结词不定积分在经济增长问题中也有着重要的应用，主要研究如何实现经济的持续增长。
第四章 不定积分
由 v(t) 0, 得t 2
刹车距离 s(2) 25 22 100 2 100 33.3
3
3
3
例2 （生物种群生长的数学模型）1798年，英国人口学家 Malthus根据大量的人口统计资料指出：假设没有人口的移入 和迁出，那么人口增长率是与当时的人口数量成正比的. 如果
在 t 时刻的人口数量为 P(t) ， t 为以年为单位，则其增长率
解： 设在刹车过程中，t 时刻汽车的速度为 v(t) ，路程为 s(t) . 由题意，v(t) a ，因此
v(t) adt at b(b为未知量)
又 s(t) v(t)
s(t)
(at
b)dt
1 2
at 2
bt
c(c为未知量)
t 0,由s(0) 0有c 0,b v(0)
v(t) at v(0),s(t) 1 at2 v(0)t 2
的变化率为 dT ，则牛顿冷却定律为
dt
dT dt
k (T
Tm )
其中k 0是比例系数.
（1）本例中 Tm 20, 于是
dT k(T 20)
dt
令 y T 20，注意到 y dy d (T 20) dT
dt
dt
dt
因此 y ky
解得 y Bekt , B为常数.即 T Bekt 20
(1) v(0) 60(km/ h) 601000 50 (m / s)
60 60 3
由 v(1) 0, a v(0) 50 (m / s2 )
3Hale Waihona Puke 刹车距离 s(1) 1 a v(0) 25
（2）
v(0)
2
120(km/
h)
12031000
不定积分的实际应用案例
不定积分的实际应用案例
案例名称：购物优惠券的价值估计
背景：
一家电商公司推出了一种购物优惠券，顾客可以在该电商平台使用优惠券抵扣购物金额。
公司希望通过数学模型来评估这种优惠券的实际价值，以便更好地制定促销策略。
问题：
该电商公司希望通过不定积分的方法来估计每张优惠券的平均价值，并与优惠券面额做对比。
公司认为，优惠券所带来的每张订单附加收入是该优惠券的价值。
他们决定使用不定积分来计算这个价值。
解决方案：
公司根据历史数据发现，顾客在使用优惠券后，平均下单金额是一个与购物金额成正比的函数。
假设这个函数为f(x)，其中x表示不打折时的购物金额。
为了计算优惠券的价值，公司决定将不定积分应用于该函数。
他们计算了不定积分
\int f(x)dx，其中积分变量x从0到无穷大。
这个不定积分表示的是，将所有可能的购物金额与下单金额的函数值乘积相加，从0到无穷大的总和。
通过计算此不定积分，公司确定了每张优惠券的平均价值。
然后，他们将这个平均价值与优惠券的面额进行比较，以评估优惠券的实际效果。
结论：
通过不定积分的实际应用，该电商公司成功估计了每张优惠券的平均价值，并基于这个价值制定了更好的促销策略。
这个案例表明，不定积分作为数学工具，可以在实际应用中发挥重要作用，帮助企业做出决策。
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用经济学中不定积分和定积分是一种重要的计算工具，具有广泛的实际应用。
不定积分和定积分在经济生活中有着重要的意义，它可以帮助经济学家和经济管理者更好地了解和研究经济问题，有助于更好地推进经济发展和管理经济。
本文将简要介绍不定积分和定积分在经济生活中的应用。
不定积分在经济生活中的应用不定积分的应用在经济学中很广泛，可以用来解决许多经济中的问题。
首先，它可以用来计算价格。
不定积分可以用来计算出给定价格下消费者需求量和生产商供给量之间的关系，进而了解消费者和生产商在某一价格水平下多大程度上能够受到价格影响。
其次，不定积分可以用来计算投资成本。
不定积分可以用来计算投资成本，以判断投资成本究竟有多大，是否值得投入。
投资者也可以运用不定积分法来分析所考虑的投资项目的投资回报率，以更快地、更高效地学习投资过程的风险和收益。
定积分在经济生活中的应用定积分也在经济生活中有着重要的应用。
首先，它可以用来计算消费函数。
函数可以用来展示消费者在不同收入水平下的消费水平，这有助于经济学家和政策制定者更好地理解消费者的消费行为，推动经济发展。
其次，定积分也可以用来计算税收函数。
税收函数可以用来计算税收对投资的影响，以判断出税收的调节幅度，有助于政府制定出合理的税收政策，推动经济发展。
此外，定积分还可以用来计算产出函数。
产出函数可以用来计算不同生产要素投入水平下生产总量的大小，有助于计算出不同生产要素对总产出的贡献度，以及它们投入和产出间的关系。
结论从上述内容可以看出，不定积分和定积分在经济生活中有着重要的应用。
不定积分可以用来计算价格和投资成本，而定积分则可以用来计算消费函数、税收函数和产出函数。
因此，不定积分和定积分都是经济学上重要的工具，它们对经济管理者来说是不可或缺的。
它们的正确运用可以帮助经济学家和经济管理者更深入地理解和研究经济状况，有助于推动经济发展。
不定积分的实际案例课程思政
不定积分的实际案例课程思政一、课程思政目标本课程思政的目标是让学生通过学习不定积分的实际案例，了解数学在现实生活中的应用，培养学生的数学应用意识和能力，同时引导学生树立正确的价值观和人生观。
二、案例介绍1. 案例一：汽车加速时间问题汽车加速时间是指汽车从静止状态开始，到达到一定速度所需的时间。
根据汽车的动力性能要求，可以通过积分求得加速时间，进而优化汽车的发动机和传动系统，提高汽车的性能。
这个案例可以引导学生认识到数学在工程技术中的应用，培养学生的工程意识和实践能力。
2. 案例二：流体动力学问题流体动力学是研究流体运动规律的科学，涉及到流体的压力、速度、阻力等参数。
通过积分可以求解流体运动过程中的流量、速度分布等实际问题，为航空航天、船舶制造等领域提供理论支持。
这个案例可以引导学生认识到数学在自然科学中的应用，培养学生的科学精神和创新意识。
3. 案例三：经济数学模型问题经济数学模型是用于描述经济现象数量关系的数学模型，如消费函数、投资收益率曲线等。
通过建立经济数学模型并进行积分运算，可以分析和预测经济现象的发展趋势，为经济决策提供依据。
这个案例可以引导学生认识到数学在经济学中的应用，培养学生的经济意识和市场观念。
三、思政教育1. 爱国主义教育通过介绍数学在国家发展中的应用，激发学生的爱国热情和民族自豪感，引导学生树立为祖国繁荣富强而努力学习的信念。
2. 科学精神教育通过案例介绍，培养学生的科学精神，鼓励学生勇于探索、敢于创新，树立不怕困难、勇攀科学高峰的信念。
3. 实践意识教育通过汽车加速时间问题和流体动力学问题的案例，引导学生认识到数学在工程技术中的应用，培养学生的实践意识和动手能力。
4. 价值观教育通过经济数学模型问题的案例，引导学生认识到数学在经济发展中的作用，培养学生的经济意识和市场观念，树立正确的价值观和人生观。
同时，引导学生树立诚信、公正、责任等道德观念，培养良好的道德品质和社会责任感。
不定积分和定积分在经济生活中的应用
不定积分和定积分在经济生活中的应用
不定积分和定积分是微积分中的重要概念，它们在经济生活中有广泛的应用。
计算收益和成本：不定积分可以用于计算企业的收益和成本。
对于一个企业来说，经营过程中会有许多收入和支出，这些数据可以通过建立合适的数学模型进行计算。
不定积分可以帮助企业对收入和支出进行积分计算，以便更好地掌握经营状况。
评估投资价值：定积分可以用于评估不同投资方案的价值。
在投资决策中，需要综合考虑各种因素，如收益率、风险等。
通过建立合适的数学模型，可以用定积分计算不同投资方案的总收益或总成本，从而比较它们的优劣，作出合理的决策。
估算市场需求：定积分可以用于估算市场的需求量。
对于某种商品或服务，需求量通常随着价格的变化而变化。
通过建立合适的数学模型，可以用定积分计算不同价格下的市场需求量，以便制定合适的价格策略。
风险分析和管理：定积分可以用于分析和管理风险。
在金融领域中，不同的金融工具会涉及不同的风险，如市场风险、信用风险等。
通过建立合适的数学模型，可以用定积分计算不同风险下的概率和损失，从而更好地进行风险管理和控制。
综上所述，不定积分和定积分在经济生活中有广泛的应用，可以帮助企业和个人更好地理解和应对经济变化，制定合理的决策和策略，实现自身和社会的利益最大化。
不定积分在经济生活中的应用
不定积分在经济生活中的应用
无限积分在经济生活中的应用
无限积分在生活中的应用非常广泛。
从经济方面来看，无限积分在宏观经济结构分析、政策分析以及定量分析等方面发挥着重要作用。
在金融市场方面，无限积分不仅可以求解输出目标，而且可以对多个变量间的相互作用有效的描述，在复杂金融网络的研究中具有特殊的用途。
它还可以用于企业财务管理和投资决策，此外，它在游戏理论分析中也有重要的作用。
更重要的是，无限积分在经济管理的有效实施上也发挥了重要作用，比如在国家经济管理和政策对策中有着举足轻重的作用，可以帮助政府部门调整宏观经济政策；在企业经营管理中，可以通过灵活运用无限积分，在企业产品和服务的定价中规避市场上的垄断难题，从而增加企业的竞争优势；同样，在营销管理中也可以采用无限积分的方法，比如潜在需求的预测和竞争对抗策略的制定，可以使营销顺利进行；此外，无限积分在知识管理和技术创新中也发挥着重要作用，可以帮助企业有效的管理知识资源，也有助于市场、科技、人力资源的整合。
因此，无限积分的应用范围及作用远不止于此，它在各个领域都有其特殊的用处，可以更好的引导经济发展，提高社会效益。
§4.5 不定积分应用案例
1
处的一质点铅直上抛. 为了求出所跳高度
与时间 t 的函数关系， 建立如图4-6所示
x x(t )
x0 x(0) 1
的坐标系.
0 图4-6 跳高示意图
微积分 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
由
dv g dt
及 v(0) v0 , 得
v(t ) gt v0 ,
2 1.13s . gm
微积分 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
比较 t 0.45 s 与 t 1.13 s 不难看出， 同样是跳2米高，在月球上
所需时间比在地面上要慢一个因子0.4(0.45 1.13 0.398) ,
这个结论具有普遍性.
kg
2
2 kg
③黄灯时间的确定 黄灯时间应当保证已经过线的车辆顺利通过路口. 若十字路口的宽度为 D , 车辆平均车身长为 l ,则过线的车辆应通过
L D l . v0
的路程最长可达到 L D l . 因而，为了保证过线的车辆全部顺利通
过，黄灯持续时间至少为 T
微积分 第4章 不定积分
2g tm ,（4.5.9） gm
将（4.5.8）、（4.5.9）两式代入（4.5.7）式， 便有
g 9.8054 2g 2 2g 1 1 1 7.3078 (m ) . xm gm ( ) 2g ( )1 gm 1.5545 2 gm gm
.
即，在月球上能跳高的高度约为7.3078米. 用与上面完全类似的推导可以得出， 在月球上跳2米高所需 初速为 2 gm 1.763m / s(见（4.5.8）式） 所用时间为
则有
vm (t ) gm t v0 ,
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用不定积分和定积分是数学中的重要概念，也是经济生活中经常用到的概念。
它们都具有重要的经济价值，在实际应用中发挥着重要作用，有助于社会经济发展。
本文以“简述不定积分和定积分在经济生活中的应用”为标题，结合相关知识结构和实例，就它们在社会经济中的应用进行分析和论述。
首先，介绍一下不定积分。
不定积分是数学中比较复杂的概念，也是一种无穷小的运算，它会产生连续的解决方案。
根据微分积分理论，不定积分可以替换某些一些固定积分，它可以解决一些在固定积分中解决不了的问题。
不定积分可以在社会经济领域中用来分析一些金融机构或市场以及其他经济行为，例如分析股票投资的回报报酬率、股息收入比例等问题。
例如，一家公司的股东希望了解股票投资的回报率，这时就可以使用不定积分技术进行分析，从而使该公司的股东更好地了解投资回报率的情况。
其次，介绍一下定积分。
定积分是数学中关于求定积分的一种方法，是一种端到端的数学计算，可以用来计算一个函数的积分值。
定积分可以在经济学和社会经济学中用于各种应用，例如经济分析、投资评价、价格分析等。
例如，当一家投资公司考虑一项投资时，可以使用定积分技术来计算这项投资所带来的预期回报，以及投资过程中可能存在的风险，从而辅助公司决策。
它还可用于金融市场的定价分析，例如期权、期货等金融工具的定价，以及股票投资的定价分析。
最后，结合具体的实例来总结不定积分和定积分在经济生活中的应用。
比如，在社会经济方面，可以使用不定积分和定积分分析投资回报率、股票投资价格或股息收入比例等问题，也可以使用定积分方法计算投资所带来的预期回报和投资过程中的风险等问题。
此外，不定积分和定积分的技术也可以用于市场分析、价格分析等，可以增强市场参与者对市场开发有效的投资策略和操作策略，促进市场的发展。
综上所述，不定积分和定积分有重要的应用价值，在经济生活中发挥着重要作用，有助于社会经济发展。
经济参与者应当仔细研究不定积分和定积分的原理，以有效应用这些技术，促进社会经济的发展。
积分在经济分析中的应用
而由第三章导数定义的引入知: 一个量在某点的瞬 而由第三章导数定义的引入知 “一个量在某点的瞬 时增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内的 平均改变量的极限(导数 导数), 平均改变量的极限 导数 即
K ( t + ∆t ) − K ( t ) dK ( t ) dK ( t ) lim = ⇒ = I (t ) ∆t → 0 dt ∆t dt
x ( t ) = kt , t ∈ [ 0, T ] , k > 0
欲在T时将数量为 的该商品销售完 试求： 的该商品销售完， 欲在 时将数量为A的该商品销售完，试求： 1）t时商品的剩余量，并确定 值。 ） 时商品的剩余量 并确定k值 时商品的剩余量， 2）在时间段[0，T]上的平均剩余量。 ）在时间段 ， 上的平均剩余量。 上的平均剩余量
3 2
= 10 3 − 10 × 10 2 + 100 × 10 + C 3500
即C = 2500, 故所求总成本函数为
C (q ) = q 3 − 10q 2 + 100q + 2500
另解： 另解：总成本函数为：
C (q ) = ∫ C ′( x )dx + C ( 10 )
q 10
x
令 L′( x ) = 0
得驻点 x = 4 而 L′′(4) < 0
百台) 万元). 故当产量 x = 4(百台)时, 有最大利润 L(4) = 9(万元 百台 万元 此时的总成本为： 万元) 此时的总成本为： C(4) =19 (万元 万元 及总收入为： 万元)。 及总收入为：R(4) = 28(万元 。 万元
2.已知净投资函数(流量), 求总资本量. 由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程, 由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程, 而资本总量又是随时间的变化而变化的, 而资本总量又是随时间的变化而变化的, 所以资本 的函数, 称之为资本函数. 总量是时间t 的函数, 即 K = K(t ), 称之为资本函数.
第五章 不定积分 《经济数学》PPT课件
【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理 设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法
定积分与不定积分
定积分与不定积分定积分与不定积分是微积分学中的两个重要概念。
它们分别用于求函数的面积和原函数。
定积分和不定积分是微积分中的基本工具，广泛应用于物理、经济、工程、计算机科学等各个领域。
本文将介绍定积分和不定积分的概念、性质以及它们的应用。
首先，我们来介绍不定积分。
不定积分，也称为积分，是求函数的原函数的过程。
给定一个函数f(x)，它的原函数F(x)满足F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的不定积分。
不定积分通常用∫f(x)dx表示，其中∫称为积分号，f(x)为被积函数，dx为积分变量。
求解不定积分的过程称为积分运算。
不定积分具有线性性质和区间可加性，即∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx，以及∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx。
接下来，我们来介绍定积分。
定积分是求函数曲线与x轴之间的面积的过程。
给定一个函数f(x)，要求解其在区间[a,b]上的定积分，可以将[a,b]分割成多个小区间，然后在每个小区间上构造矩形，最后将这些矩形的面积相加。
当区间的划分变得足够细密时，所得到的面积近似于真实的面积。
定积分的计算可使用积分的定义公式或牛顿-莱布尼茨公式。
定积分通常用∫[a,b]f(x)dx表示，表示函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值。
定积分具有线性性质和区域可加性，即∫[a,b](af(x)+bg(x))dx=a∫[a,b]f(x)dx+b∫[a,b]g(x)dx，以及∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx。
定积分和不定积分之间存在着重要的关系。
根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分可以看作是不定积分的一个特例。
具体地说，如果F(x)是f(x)的原函数，那么根据定积分的定义，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分可以表示为F(b)-F(a)，即定积分等于不定积分的值在区间端点上的差值。
不定积分的求解及相关应用
不定积分的求解及相关应用目录摘要一引言二不定积分的求解方法及所对应例题解析〔一〕基本公式法〔直接积分法〕〔二〕逐项积分法、因式分解法〔三〕“凑”微分法〔第一类换元法〕〔四〕第二类换元法〔参变量积分法〕〔五〕分部积分法〔六〕有理函数的积分〔七〕其他类型的积分举例三解不定积分的一般步骤四不定积分的应用举例（一）在几何中的应用（二）在物理中的应用（三）在经济学中的应用参考文献致谢【摘要】不定积分常见的计算方法在本科阶段可以归纳为七大类以及某些特殊不定积分的求解方法，如：基本公式法〔直接积分法〕、逐项积分法+因式分解法、换元积分法〔第一类换元法和第二类换元法〕、分部积分法、有理函数的积分以及一些特殊函数的积分技巧与方法〔三角函数有理式与简单无理函数的积分〕，并将结合实际例题加以讨论以便于解不定积分题目既能快捷又方便的寻找出最正确的解题方法。
〔英文摘要，暂略〕【关键词】不定积分基本公式法换元积分法分部积分法有理函数的积分三角函数有理式与简单无理函数的积分〔英文关键词，暂略〕一引言定积分的思想在古代就已荫芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。
直到牛顿一莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进一步发展做出了巨大的奉献。
在初学定积分时，学生学习的困难较大，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。
20世以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。
所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。
不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础。
第六讲 不定积分在经济(社会)中的应用
第六讲Ⅰ 授课题目（不定积分）：§5.6不定积分在经济（社会）中的应用例说。
Ⅱ 教学目的与要求：掌握数学建模方法，学会用不定积分知识解决简单的经济问题。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：不定积分的经济应用。
难点：经济学中的一些基本概念。
Ⅳ 讲授内容：一、 经济应用举例在导数的经济应用中，是已知某经济量函数，求其边际函数；现在反过来，若是已知边际函数，求其总经济量函数。
这便是不定积分的经济应用问题。
例1 （已知边际平均成本函数，求平均成本函数）。
设已知某厂产品的边际平均成本函数为21641)(QdQAC d -=假定该产品产量为4时，平均成本57=AC ，试求（1）平均成本函数 )(Q C 。
（2）总成本函数)(Q C 。
（3）产量为多少时平均成本最低。
解 因为总平均成本函数是边际平均成本函数的原函数，所以对边际平均成本函数积分便可以得到平均成本函数 )(Q C ，因此：（1）c QQ dQ QdQ AC M Q C ++=-==⎰⎰1641)1641()()(2由题设57)(=Q C ，则57416441=++⨯c所以52=c这样，平均成本函数为521641)(++=QQ Q C（2）因为总成本函数等于平均成本函数与产量 Q 的乘积，即 A C Q Q C =)( 所以165241)521641()(2++=++=Q Q Q QQ Q C（3）由存在极值的必要条件，平均成本最低的条件是：0)(=AC M ，则令 01641)(2=-='QAC解此，得 8=Q （只得正根） 根据实际问题，驻点唯一。
所以当 8=Q 时，平均成本最低。
例2 （已知边际收益函数，求总收益函数）已知某产品生产x 个单位时，边际收益函数为20100)(x x R MR -='= （元/单位产品）试求：（1）总收益函数（2）生产40个单位产品的总收益是多少？ 解 （1）因为c xx dx x MRdxx R +-=-==⎰⎰4100)20100()(2根据题设，可知 ,0)(=x R 则,0=c 所以总收益函数为40100)(2xx x R -= (元)（2）生产40个单位产品的总收益为元元3960)404040100()40(2=-⨯=R 例 3 （已知总产量的变化率，求总产量）某产品在时间 t （单位：h ）的总产量的变化率为t t f 2450)(+='求总产量函数)(t f 。
不定积分的应用
不定积分的应用【引言】不定积分是微积分中的重要概念之一，它是求解函数的原函数，也是求解定积分的一种方法。
在实际应用中，不定积分有着广泛的应用，例如在物理学、经济学、工程学等领域中的模型建立与求解、曲线的长度与面积计算等。
本文将以物理学中的运动学问题和经济学中的边际分析为例，来探讨不定积分的应用。
【主体部分】一、不定积分在物理学中的应用a. 运动学问题中的位移、速度和加速度在物理学中，不定积分常常被用来求解运动学问题中的位移、速度和加速度。
以匀加速直线运动为例，设物体的位移函数为S(t)，速度函数为v(t)，加速度函数为a(t)。
通过对加速度函数进行不定积分，可以求得速度函数v(t)，再对速度函数进行不定积分就可以求得位移函数S(t)。
这样，我们可以通过不定积分的方法求解物体在运动过程中的位移、速度和加速度。
b. 动能和功率动能是物体运动过程中的重要物理量，它定义为物体的质量m与速度的平方的乘积。
在一维运动中，假设物体的速度函数为v(t)，将其平方再乘以常数1/2m，就得到了物体的动能函数K(t)。
通过对动能函数进行不定积分，可以求得物体在任意时刻的动能。
二、不定积分在经济学中的应用a. 边际收益和边际成本在经济学中，边际分析是一种非常重要的方法，它分析的是增加一单位产品所带来的额外收益或成本变化。
而不定积分则可以帮助我们计算边际值。
例如，在生产函数中，设产量函数为Q(x)，其中x 为某种输入资源的使用量。
则边际收益函数MR(x)表示增加一单位输入资源所带来的额外盈利变化。
通过对MR(x)进行不定积分，可以求得总收益函数TR(x)。
同样地，边际成本函数MC(x)表示增加一单位输入资源所带来的额外成本变化，通过对MC(x)进行不定积分，可以求得总成本函数TC(x)。
b. 边际效用在消费者行为分析中，边际效用是指多消费一单位商品所带来的额外满足程度。
不定积分帮助我们计算边际效用。
例如，设消费者的效用函数为U(x)，其中x为消费某种商品的数量。
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1. 引例
已知某边际成本函数C(q) 2 7 , 固定成本为5000
如何求总成本函数 C C(x) . 3 q2
?
已学过的边际函数： 边际成本 MC C(x) 边际收入 MR R(x) 边际利润 ML L(x)
4.4 不定积分在经济问题中的应用
经济数学 2. 求解方法与步骤
方法： 通过求不定积分的方法 步骤： 1.对边际函数求不定积分；
(单位:件) , p 为单价(单位:元/件).又已知此种商品的边际成本
为 C(x) 10 0.2x,且C(0)=10,试确定当销售单价为多少时,总利 润为最大,并求出最大总利润.
分析: (1)边际成本－即成本函数的导数;
(2)假设商品的需求量 x =商品的销售量 x ;
(3)利润=收益-成本
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
课堂小结 1.理解不定积分应用于已知边际函数求相应经济函数的意义。 2.掌握已知边际函数应用不定积分直接或间接地求出相应的经济函数。 3.应用不定积分知识解决经济中的实际问题。
经济数学
3. 方法应用
例5
解： 由需求函数 x 100 5 p 得收益函数R:
R(x) xp 20 x 0.2x2
故边际利润为
Lx R(x) C(x)
20 0.4x (10 0.2x)
10 0.2x
令 L(x) 0 ，得 x 50
又 L(x) 0.2 0 故 x 50,即p 10 时,利润最大
C(x) 10 10 x 0.1x2. 故总利润函数为 L( p) 10 10 x 0.1x2. 所以当 x 50 时， p 10 时，总利润最大,最大利润为:240元.
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
3. 方法应用
训练题
某产品的边际成本MC＝2－x,固定成本C0＝100，边际收
（也称边际需求），其中
p
2
表示商品的价格,求这种商品的需求函数.
分析: (1)最大需求量A－可理解为价格为零时的需求,即
p 0, Q(0) A ;
(2)需求量变化率－即边际需求。
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
3. 方法应用
例4
解： 由 Q( p) Aln 2 (1) p,积分得 2
总产量函数 Q(t) .
分析: (1)总产量的变化率－即总产量函数的导数;
(2) t 0时，Q 0 －即初始条件．
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学 3. 方法应用
例2
解： 因为 Q(t) 136t 20 ,所以
Q(t) (136t 20)dt 68t 2 20t C (C为任意常数)
2.由给出的初始条件，确定积分常数C； 3.写出这个满足初始条件的经济函数。
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学 3. 方法应用
例1 某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本
q 为 C(q) 2 7 , 且固定成本是5000元.求总成本C与月产量 的函数
关系.
3 q2
又因为固定成本为5000元, 即C(0)=5000,代入上式得
C0=5000, 于是所求函数为:
C(q) 2q 21 3 q 5000
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学 3. 方法应用
例2
t 已知某厂生产某产品总产量 Q(t) 的变化率是时间
的函数 Q(t) 136t 20 ,当 t 0 时Q 0, ,求该产品的
又因为 t 0时，Q 0 ，代入上式得Ｃ＝０．
故所求总产量函数为
Q(t) 68t 2 20t
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
3. 方法应用
例3
已知某产品生产x 个单位时总收入R的变化率为
R(x) 200 x 100
(x 0)
求生产了50个单位产品时的总收入．
Q(
p)
[
A
ln
2
(
1 2
)
p
]dp
Aln 2 (1) p dp A(1) p C
2
2
将 p 0 ，Q A ， 代入上式得Ｃ＝０．
所以这种商品的需求函数为： Q( p) A(1) p 2
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
Байду номын сангаас
经济数学
3. 方法应用
例5
已知某种商品的需求函数 x 100 5 p ,其中x 为需求量
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
3. 方法应用
例5 解（续）：
又由边际成本 Cx 10 0.2x ,可得 总成本函数C :
C(x) C(x)dx (10 0.2x)dx 10x 0.1x2 C0
由初始条件C(0)=10,可得C0=10 则总成本函数为:
分析: (1)总收入R的变化率－即总收入函数的导数;
(2) x 0时，R 0 －即初始条件,为默认条件．
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
3. 方法应用
例3
解： 因为
R(x) 200
x
, 所以
100
R(x)
R(x)dx
200
x 100
dx
200 x
x2 200
益MR＝20－4x（单位：万元/台）。
求（1）总成本函数C(x)；
x2 C(x) 2x 100
2
（2）收益函数R(x)； R(x) 20x 2x2
（3）生产量为多少台时，总利润最大。
边际利润 L(x) 3x 18
当 x 6 时利润最大。
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
分析: (1)边际成本－即成本函数的导数; (2)固定成本5000元－即初始条件,产量为零时的成本．
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
3. 方法应用
例1
解： 因为 C(q) 2 7 ,所以 3 q2
C(q)
2
3
7 q2
dq
2q 21 3
q
C0
(C0为任意常数)
C
(C为任意常数)
又因为x 0时，R 0 ，代入上式得Ｃ＝０．
所以总收入函数为
x2 R(x) 200 x
200
4.4 不定积分在经济4.3问分题部中积的分应法用
经济数学
3. 方法应用
例4
已知某商品的最大需求量为A(即价格为零时的需求量),有关部门
给出这种商品的需求量 Q 的变化率模型为 Q( p) Aln 2 (1) p