浅谈解决排列组合问题中学生易出现的错误
浅谈解决排列组合问题中学生易出现的错误
龙源期刊网
浅谈解决排列组合问题中学生易出现的错误作者：宋向娜
来源：《中国校外教育·综合(上旬)》2013年第05期
排列组合应用题的背景丰富，题型多样，变化万千，无特定的规律可循，有综合性强、应用性强、对运用数学思想的要求高等特点。
因此在学习过程中必须认真审题，多角度思考，把握问题的本质特征，化归为排列组合的常规模型去求解。
由于排列组合应用问题的抽象性，学生在解决起来易出现错误。
排列组合中心数学错误
一、重复计数
二、题意不明
三、遗漏计数
四、模型错用
排列组合的综合性问题处理时的注意事项：
1.考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”。
2.处理比较复杂的排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选后排，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能。
3.对于有多个约束条件的问题，应先分析每个约束条件，然后在综合考虑是分类或分步，或交替使用两个原理；也可以先不考虑约束条件，扣除不符合的情况获得结果。
4.排列组合的一些应用问题可构成模型，是指导解题实践的有力武器。
要掌握好每种模型的应用范围，不能混用。
5.由于排列组合问题的结果数量较大，难以直接检验其正确性，因此要注意用不同的途径来解题，以便相互照应，作出判断。
排列组合中的八大错误、24种技巧、三大模型 (1)
排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧三大模型一、知识点归纳 二、基本题型讲解三、排列组合解题备忘录 1.分类讨论的思想 2.等价转化的思想 3.容斥原理与计数 4.模型构造思想四、排列组合中的8大典型错误 1．没有理解两个基本原理出错 2. 判断不出是排列还是组合出错 3. 重复计算出错 4. 遗漏计算出错 5. 忽视题设条件出错 6. 未考虑特殊情况出错 7．题意的理解偏差出错 8. 解题策略的选择不当出错 五、排列组合24种解题技巧 1．排序问题相邻问题捆绑法 相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法） 定位问题优先法 多排问题单排法 圆排问题单排法 可重复的排列求幂法 全错位排列问题公式法 2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题） 相同物品分配的隔板法 全员分配问题分组法 有序分配问题逐分法 3．排列组合中的解题技巧 至多至少间接法染色问题合并单元格法 交叉问题容斥原理法 构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型） 错排模型 染色问题一．知识点归纳1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）4阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．5．排列数的另一个计算公式：mn A =!()!n n m -6组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合7．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 8．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且9组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；10．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +-m nC02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=;012nn n n n C C C++=11.“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：12.“２4个技巧”是迅速解决排列组合的捷径 二．基本题型讲解例1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数,（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； （2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）.解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为72066=A（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有14A 种选法，然后其他5人选，有55A 种选法，故排法种数为4805514=A A（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为35A ；②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有14A 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有14A 种选法，其余两棒次不受限制，故有221414A A A 种排法，由分类计数原理，共有25224141435=+A A A A 种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有2405522=A A 种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有2544A A （或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为48024066=-A ）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法1203336=A C 种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻例2 假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？ （1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有64446024597=C 种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有44232023397=C C 种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有32973C C 种第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有23973C C 种按分类计数原理有4469763329723397=+C C C C 种点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是46628839823=C C 种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A 、B 、C ，第一步先抽A 、B第二步再抽C 和其余2件正品，与第一步先抽A 、C （或B 、C ），第二步再抽B （或A ）和其余2件正品是同一种抽法，但在算式39823C C 中算作3种不同抽法例3 求证：①m n m n m n A mA A =+---111 ；②12112++-+=++m n m n m n m n C C C C证明：①利用排列数公式 左()()()()1!1!1!!n m n n m n m -⋅-=+---()()()()1!1!!n m n m n n m --+⋅-==-()==-mn A m n n !!右另一种证法：（利用排列的定义理解）从n 个元素中取m 个元素排列可以分成两类： ①第一类不含某特殊元素a 的排列有mn A 1-第二类含元素a 的排列则先从()1-n 个元素中取出()1-m 个元素排列有11--m n A 种，然后将a 插入，共有m 个空档，故有11--⋅m n A m 种，因此mn m n m n A A m A =⋅+---111②利用组合数公式 左()()()()()!!2!11!1!1!m n m n m n m n m n m n -++--+--+=()()()()()()()[]11211!1!1!+-+++++--⋅+-+m n m m m m n m n m n m n ＝()()()()()()()==+-++=+++-+=++12!1!1!212!1!1!m n C m n m n n n m n m n 右另法：利用公式111---+=m n m n m n C C C 推得左()()==+=+++=+++++-+1211111m n n n m n m n m n m n m n C C C C C C C 右点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质例4 已知f 是集合{}d c b a A ,,,=到集合{}2,1,0=B 的映射 （1）不同的映射f 有多少个？（2）若要求()()()()4=+++d f c f b f a f 则不同的映射f 有多少个？ 分析：（1）确定一个映射f ，需要确定d c b a ,,,的像（2）d c b a ,,,的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：（1）A 中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有433333=⋅⋅⋅个不同映射（2）根据d c b a ,,,对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有121314=P C 个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有624=C 个由分类计数原理共有1+12+6=19（个）点评：问题（1）可套用投信模型：n 封不同的信投入m 个不同的信箱，有nm 种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏例5 四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？ （2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？ 解：（1）如图，含顶点A 的四面体的三个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有353C 种取法含顶点A 的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理和点A 共面三点取法共有333335=+C 种（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（410C 种取法）减去4点共面的取法取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有464C 种取法 第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法 第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法根据分类计数原理4点共面取法共有6936446=++C故取4个点不共面的不同取法有()14136446410=++-C C （种）点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等 三、排列组合解题备忘录 ：⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有mm P⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 mn P 种不同的“插入”方法⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有mn C 种不同的“插入”方法⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以mm P (去除重复数)四．排列组合问题中的数学思想方法（一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。
排列组合常见解题错误剖析
排列组合常见解题错误剖析学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：1.“加法”、“乘法”原理混淆两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类方法，这n 类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.【例1】（93年高考题21）50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同）〖错解〗有))((1464424634C C C C ++＝46575种.〖错因〗分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.〖正解〗分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）24634C C 种；第二类，有4件次品的抽法同理有14644C C 种，最后由加法原理，不同的抽法共有24634C C +14644C C ＝4186种.【例2】（91年高考题10）从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（ ）（A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种〖错解〗有15242514C C C C ＝300种选法.〖错因〗同例1.〖正解〗（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有15242514C C C C +＝70种选法.所以选C .2．“排列”、“组合”概念混淆界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.【例3】（题目见上例）〖错解〗有15242514A A A A +＝140种选法，答A .〖错因〗元素与顺序无关，应是组合问题.【例4】（94年高考题10）有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040〖错解一〗分三步完成：首先从10人中选出4人，有410C 种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有24A 种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有22A 种方法，由乘法原理，不同的选法共有410C 24A 22A ＝5040种，选D.〖错因〗“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应为24C .〖错解二〗分三步完成，不同的选法共有410C 24C 22C ＝1260种，选A. 〖错因〗剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应为22A .〖正解一〗不同的选法有410C 24C 22A ＝2520种. 〖正解二〗先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有1718210C C C ＝2520种.〖正解三〗从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有28210A C ＝2520种，选C.【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.〖错解〗有34C =4 种.〖错因〗3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.〖分析〗对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.〖正解〗有3334A C ＝24（或34A =24）种植方法. 3、重复计数出增解【例6】（题目同例2）〖错解〗从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有171415C C C =140种选法.所以选A.〖错因〗若从甲型机中选出的是a 机和b 机，依错解会出现先取a 机后取b 机和先取b 机后a 取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.〖正解一〗（注意到错解正好多算一倍）1402171415=C C C . 〖正解二〗有15242514A A A A +=70种选法,所以选C.【例7】（95年高考题12）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.〖错解一〗从4只盒子中取出三只，有34C 种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只盒子内，有34A 种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有13C 种放法，所以共有34C 34A 13C ＝288种放法. 〖错解二〗分三步完成.首先取出3个盒子，有34C 种方法；再把球分为三组，有1224C C 种方法；最后把三组球排列后放入盒子，有33A 种方法.由乘法原理，共有34C 1224C C 33A ＝288种方法.〖错因〗同上题. 〖正解一〗在错解中消除重复，有2C 133434C A ＝144种放法. 〖正解二〗从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有3424A C ＝144种放法.〖正解三〗将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），有2444C A ＝144种放法.【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？〖错解一〗排在排头的有除甲之外的16A 种情形，排在尾的也有除乙之外的16A 种情形，两端排好后余下的排中间有55A 种情形，所以不同的排法有551616A A A =4320种.〖错因〗排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了555A 种情形.〖正解一〗减去重复数，应为551616A A A -555A ＝3720种. 〖错解二〗头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有25A 种排法，余下的人排中间有55A 种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有25A 55A 种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有66A 种，因此不同的排法共有25A 55A +266A ＝3840种. 〖错因〗甲排尾且乙排头已包含在甲排尾或乙排头的情形中，因此重复计算了55A 种排法.〖正解二〗减去重复数，应为25A 55A +266A -55A ＝3720种排法. 重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）【例9】（题目同例8）〖错解〗总排法数为77A ，去掉甲排头的排法66A 种，再去掉乙排尾的排法66A 种,得满足题意的排法：77A －266A ＝3600（种）.〖错因〗甲排头的排法中已含有乙排尾的情况，同理，乙排尾的排法中也含有甲排头的情况.而错解中甲排头，同时乙排尾的排法被减去两次，从而造成漏解.（甲、乙作为有限制条件的特殊元素，对其排法须同时考虑，否则会因顾此失彼而出错）〖正解一〗（方法同错解，补上被多减的部分）有77A －266A +55A ＝3720种排法.〖正解二〗分为两类：甲排中间5个位，有551515A A A 种方法；甲排尾，有66A 种方法，由加法原理，共有551515A A A ＋66A ＝3720种排法. 【例10】（90年高考题13）A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A 、B 可以不相邻），那么不同的站法有（ ）种.(A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120〖错解〗把A 、B “捆绑”为一个元素（B 在A 的右边），与C 、D 、E 一起全排列，有44A ＝24种站法，答A.〖错因〗审题不严，未注意到“A 、B 可以不相邻”而漏解.〖正解一〗按B 的位置分为四类：B 排第一、二、三、四位时的排法数分别是44A 、333A 、233A 、33A ，所以共有44A +333A +233A +33A =60种排法，选B. 〖正解二〗利用对称关系（注意到A 在B 左边与A 在B 右边的排列情形是对称相同的），有255A =60(种)，选B . 【例11】（97年高考题15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141〖分析〗考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式410C －446C ＝150而错选A ；若只考虑到情形①、②，就会由算式410C －446C －3＝147而错选B ；若只考虑到情形①、③，就会由算式410C －446C －6＝144而错选C ；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果410C －446C －6－3＝141，选D.（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面如对90年高考题13，不会利用对称关系解决，选择分类法后由于情形较复杂而易因考虑不周出错.如在高考90年题（14）、96年题（17）及97年题（15）中，应该用间接法而不恰当地选用了直接法.【例12】（93年高考题17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种〖正解一〗A 的卡分给B 、C 、D 三人，有13C 种方法；设B 拿到A 的卡，则B 的卡可分给A 、C 、D 三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有11C 种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法. 〖正解二〗设A 先拿卡有13C 种方法；然后由A 拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法. 或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.6、应用对称关系不当一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决（如高考90年题13），但首先应判断清楚该问题是否具有对称性.【例13】（87年高考题14）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.〖错解〗（应用对称关系）有4355A =90个. 〖错因〗1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不相邻的情形有占总数的43，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，不具有对称性.〖正解〗：有2433A A （或55A -4422A A ）＝72个.。
初中数学复习排列与组合的常见问题
初中数学复习排列与组合的常见问题初中数学复习之排列与组合的常见问题排列与组合是初中数学中的一个重要概念，涉及到各种问题和应用场景。
在复习中，我们往往会遇到一些常见问题，本文将对这些问题进行详细讨论。
1. 什么是排列与组合？排列和组合都属于数学中的计数原理，主要研究对象的排序和选择。
排列是指从给定的对象中按照一定顺序选择若干个进行排列，组合是指从给定的对象中选择若干个进行组合，顺序不重要。
2. 如何计算排列数和组合数？排列数的计算可以使用阶乘来表示，假设有n个对象，则全排列数为n!，表示从n个对象中依次选择的所有可能性。
当不全排列时，可以使用公式nPm = n! / (n-m)!来计算，其中n为总数，m为选择的个数。
组合数的计算可以使用公式C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)来表示，其中n为总数，m为选择的个数。
3. 如何应用排列与组合解决实际问题？排列与组合在实际问题中有广泛的应用，下面以几个常见的问题进行说明：(1) 钥匙的开锁密码由4个数字组成，每个数字从0-9中选择，且不可重复使用。
问一共有多少种可能的密码？解：这是一个排列问题，因为选择的数字是按照一定的顺序进行的。
根据排列数的计算公式，可知总数为10个数字选择4个进行排列，即10P4 = 10! / (10-4)! = 10*9*8*7 = 5040种密码。
(2) 从10个人中选择3个人组成一支篮球队，其中1人担任队长。
问一共有多少种选择的可能性？解：这是一个组合问题，因为选择的人员只涉及到组合，顺序不重要。
根据组合数的计算公式，可知总数为10个人选择3个进行组合，再由其中1人担任队长，即C(10,3) * 3 = 120种可能性。
(3) 一张CD有10首歌曲，某人想选择其中5首歌曲制作成一张个人CD，问一共有多少种选择的可能性？解：这是一个组合问题，选择的歌曲只涉及到组合，顺序不重要。
根据组合数的计算公式，可知总数为10首歌曲选择5首进行组合，即C(10,5) = 252种可能性。
解排列组合问题常见错误(八大错误)
解排列组合问题常见错误1、没有理解两个基本计数原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即分类计数加法原理和分步计数乘法原理，理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提。
例1、（1995上海卷）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的取法有 种。
错解：因为可以取2台原装与3台组装或取3台原装与2台组装，所以只有2种取法。
错因分析：错解的原因在于没有意识到“取2台原装与3台组装或取3台原装与2台组装”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法。
正解：由错因分析知，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装中任意取2台，有26C 种取法；第二步在组装中任意取3台，有35C 种取法。
根据分步计数乘法原理，有2365C C 种取法。
同理，完成第二类办法有3265C C 种取法。
在根据分类计数加法原理，完成任务共有23326565350C C C C +=种取法。
例2、在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种。
A 、34AB 、34C 、43D 、34C错解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A 。
错因分析：错解的原因在于没有理解分步计数乘法原理，盲目地套用公式。
正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由分步计数乘法原理，共有433333⨯⨯⨯=种。
说明：本题还有这样的错解，甲、乙、丙夺冠均有四种情况，由分步计数乘法原理，共有34种。
这种错解的原因在于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有四种夺冠可能。
2、判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列问题还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题。
例3、有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？错解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种排法。
排列组合教学反思
排列组合教学反思引言排列组合是数学中的一个非常重要的分支，同时也是高中数学中的一个必修内容，掌握好排列组合能力不仅可以为后续的学习奠定基础，更能够锻炼学生的逻辑思维能力和数学分析能力。
然而，我们在教学过程中也发现了一些问题，这就需要我们进行反思，并进行一些改进措施。
排列组合教学中存在的问题问题一：对概念的理解不准确首先，我们发现一些学生对于排列和组合的概念理解不够准确。
有的同学认为，排列和组合没有本质的区别，因此出现了“全排列就是组合”的认识。
还有一些同学对于是否考虑顺序的问题掌握不好，对于排列问题和组合问题的解法有所混淆。
导致了一些同学在解答排列组合题目时，出现了混乱的情况。
问题二：练习题集单一在实际教学中，我们发现练习题的资源单一，仅有的一些练习题们在形式和难度上比较单一，难以满足不同水平的学生进行练习，也不利于学生全面巩固知识。
问题三：应用能力的薄弱再次，我们观察了一些同学在排列组合应用实际问题时的表现，发现理论解题能力提升的同时，同学们在应用领域的发掘能力未得到充分的锻炼。
同学们对于解题思路的拓展还不够自如，较少有能够全方位思考问题的能力。
排列组合教学改进措施为了解决教学过程中的上述问题，我们需要进行一系列改进措施，提高排列组合课程的授课质量，并助力同学在学习和解题中得到更加全面的提高。
措施一：概念讲解的针对性由于同学们对于“排列”和“组合”定义模糊的问题，我们需要在课堂之中特别强调二者的区别，并且详细讲解不同的计算方式。
同时，我们还需引导同学们加强思考，理清题目的含义，充分理解题目涉及到的概念及其意义。
措施二：种类丰富的练习题为了解决练习题集单一的问题，我们应该在教学过程中注重搜集种类丰富的排列、组合题，其中既包括经典题型，也应该包括新颖的难度适中的练习题，满足不同学生的需求。
措施三：排列组合应用实践的锻炼为了提高同学们的实际应用能力，我们需要利用实际例子，对排列、组合等数学知识进行应用，让同学们接触更多不同领域、多维度的实例问题。
对一类排列组合问题的错误剖析 doc
对一类排列组合问题的错误剖析430077 武汉市东湖中学 涂阳树 杨 勇排列组合的知识不仅广泛应用于平时生活、生产实践中，而且是进一步学习概率统计的基础，它具有灵活性强、抽象性强、思想方法新颖独特等特点，学生在解答这类问题时很容易出现重复或遗漏的现象，而且有时很难发现问题出现在哪儿，因此在平时的教学中对学生容易产生混淆、错误的问题有必要引导学生探究清楚。
1 问题的提出有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？这是一个很常见的小问题，一般说来，学生的做法主要是下面的三种解法，记为： 解法一：按分步原理，第一步确保1个一等品，有116C 种取法；第二步从余下的19个零件中任意取2个有219C 种不同的取法，故共有116C 219C =2736种取法。
解法二：将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类记数原理有：11363161421624116=++C C C C C 种解法三：考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：113634320=-C C 种显然，第一种做法是错误的，且有1600种取法是重复的，不过到底重复在什么的地方，很多学生仍然是一头雾水，而且平时在做类似的问题时一不小心就重复了很多，因此有必要进一步探究。
2 问题的探究为了便宜思考，首先我们不妨将问题中的数字变小零件编号，例如：有5个零件，其中3个一等品（编号为A 、B 、C ），2个二等品（编号为D 、E ），若从5个零件中任意取2个，那么至少有1个是一等品的不同取法有多少种？若按第一种的解法应有：121413=C C 种，现将其一一列举如下：AD 、AE 、BD 、BE 、CD 、CE ；AB 、BA 、AC 、CA 、BC 、CB经观察发现，“恰有1个一等品”的取法没有重复，“恰有2个一等品”的取法重复了3种，而且“恰有2个一等品”的取法中的任意的2个一等品是分两步完成的：其中第1个一等品有12C 种取法，与先后顺序有关，而结果与先后顺序无关的，故重复了31022312=-C C C ）（种。
高中排列组合教学中常见的错误与评析
Teachingseafaring 教海探航Cutting Edge Education 教育前沿 313高中排列组合教学中常见的错误与评析文/杨欣欣摘要：自古以来，随机事件在日常生活中无处不见，了解随机事件是人们必须具备的基本素质之一。
随着高中新课改的开始，概率教学正式进入高中课程，受到越来越多的重视和探讨，但学生对概率存在许多错误的理解，致使高考中概率题的得分率一直不高。
本研究试图对概率教学中重要考点之一的排列组合常见的错误进行归类，联系课程标准的要求及高考走向，找到学生的相关误区所在。
关键词：高中；排列组合教学；典型错误历年来考察排列组合的得分率并不是很高，其中老师的教学问题与学生的认知问题逐渐暴露出来。
根据心理学的相关知识，学生的认知发展经历了感知运算阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段，高中生已处在形式运算阶段，已具备完善的逻辑思维能力，并具有分析不确定事件的能力。
但是学生在学习排列组合知识后还是出现听得懂但不会做的现象。
这与学生长达十几年学习确定性事件导致的思维固化有关，无法灵活的运用逆向的、发散的思维解决问题。
随着新课程改革的开展，将其放入选修部分，目的是让学生不过分依赖排列组合的使用，简化计算。
求解排列组合问题的思路为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘。
本研究立足高考，以高考常见考点中的常犯错误为出发点，拟定研究以下问题：（1）高中排列组合教学中的典型错误；（2）高中排列组合教学中典型错误的评析。
1 “至多”、“至少”问题这类问题为高考常见的问题，在面对所求情况较多时，我们难以分类清楚，做到不重不漏，所以通常使用间接法，求其对立面。
它适用于反面明确且易于计算的问题。
但学生在高考时间重压下，思虑不够，直接从正面分类，导致重、漏。
例1（2014.全国Ⅰ.5）4位同学各自在周六、周天两天中任选一天参加公益活动。
则周六、周天都有同学参加公益活动的概率为多少？错解：采用正面求解，算得周六、周天都有同学参加公益活动的种数为：。
(整理版)排列组合二项式定理之二――易错篇
排列、组合、二项式定理之二――易错篇排列组合问题中，元素间的异同关系，元素的重复占位等问题错综复杂，“分类〞与“分步〞各环节又相互影响，如果不能审清题意，制定合理、准确的解题方案，就不可防止地出现“重〞或“漏〞的错误。
本文从排列组合易错问题入手进行分析探讨，希望能成为引“玉〞之“砖〞。
一、两个根本原理本节思维误区通常是：“完成一件事〞的任务不明确；分类与分步混淆或分类不准确。
例1、4名同学争夺三个工程的冠军，冠军获得者可能的种数是。
错解：每名同学夺冠有三种可能，故有34种。
错因分析：上解法误认为每个同学夺冠都有三种可能性，犯了分步混淆的错误。
正解：事件是“确定三项冠军有得主〞，可分为三个步骤：即每一项冠军都有4种可能情况，故冠军获得者可能的种数为43。
例2、从100到999的三位数中，含有0的三位数有多少个？错解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个。
故共有90＋90=180个。
错因分析：分类应注意“不重不漏〞，上解法中重复计算了个位和十位都是0的情形。
正解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个；但个位数是0且十位数也是0的9个重复了，故共有90＋90－9=171个。
二、排列问题本节思维误区通常是：⑴概念模糊；⑵重复或遗漏：①类与类之间不相互独立，即类与类之间有重复局部；②分类不完备，即分类没有包含所有可能情况；③分步设计不合理，缺乏可行性；④出现隐性问题；⑤轻视计算或算法不当。
例3、8个人排成两排，每排4人，有多少种排法？A种，另4 个人排成一排有44A种，两排交换位错解：8个人中取4个人排成一排有48A种，故共有排法48A·44A·22A=80640种。
置有22A包含了8个人中任取4个人的所有可能的排列，当然也包括错因分析：事实上，48A，那么每种排法又重复了一次。
初学排列组合易发生的错误分析
数 学 通 讯 2001 年第 10 期
初学 排列 组合 易发生的 错误 分析
彭盛祖
(湖南省邵东二中 ,湖南 42源自800)中图分类号 :O122. 4 - 42 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2001) 10 - 0008 - 02
(答案 1 84. 2 44. 3 16. )
个同学每个同学获得冠军又有 5 种可能 , 由乘法原
理知获得冠军的可能种数是 57 . 只要仔细想一下 ,就
会觉得这种解法太糊涂了 , 每个比赛项目的冠军获
得者只有一人 ,照这种解法 ,每一项的冠军获得者最
多就有七人了.
正确解答 (方法 1) 把 7 名同学做“位置”, 把
五个比赛项目做“元素”, 第一个项目的冠军有 7 个
位置可放 ,同理其他四个项目的冠军也都分别有 7
个位置可放. 由乘法原理得获冠军的可能种数是 7
×7 ×7 ×7 ×7 = 75 ,故应选 (A) .
(方法 2) 7 名同学去争夺五项冠军的获得情况
可分为五类 :
第一类 :五项冠军被一个同学全部夺得 ,可能情 况有 7 种.
第二类 :五项冠军被 2 个同学全部夺得 ,又有两 种可能情况 :一名夺得一项 , 另一名夺得四项 ; 或一 名夺得两项 ,另一名夺得三项 ,获得冠军的可能种数
都可由男生担任 , 也都可由女生担任 , 但 P37 里的 3 项工作全是由男生担任的 , 剩下的两项工作全是女
生担任的 , 这就与题意不同了. 理解题意还是要从
“做一件事”是如何完成的入手.
正确解答 (方法 1) 先从 5 项工作里任选 3 项
由男生担任 ,有 C35 P37 种分工方法 , 然后把剩下的两
排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧和三大模型
排列与组合的⼋⼤典型错误、24种解题技巧和三⼤模型总论：⼀、知识点归纳⼆、常见题型分析三、排列组合解题备忘录1．分类讨论的思想2.等价转化的思想3.容斥原理与计数4.模型构造思想四、排列组合中的8⼤典型错误1．没有理解两个基本原理出错2.判断不出是排列还是组合出错3.重复计算出错4.遗漏计算出错5.忽视题设条件出错6. 未考虑特殊情况出错7．题意的理解偏差出错8.解题策略的选择不当出错五、排列组合24种解题技巧1．排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3．排列组合中的解题技巧⾄多⾄少间接法染⾊问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型）错排模型染⾊问题⼀．知识点归纳▲▲▲⼆．基本题型讲解▲▲▲三、排列组合解题备忘录▲▲▲四．排列组合问题中的数学思想⽅法▲▲▲五．排列组合中的易错题▲▲▲六．练习▲▲▲七．排列组合问题经典题型与通⽤⽅法▲▲▲⼋、排列组合中常见模型▲▲▲附录▲▲▲14种策略7⼤模型“绝杀”排列组合▲▲▲排列组合问题是⾼考的必考题，它联系实际⽣动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题⽅法，识别并化归到模式，熟练运⽤，是解决排列组合应⽤题的有效途径。
第⼀部分——组合的常见技巧第⼆部分——排列组合的常见模型。
5、解排列组合问题常见错误(八大错误)
解排列组合问题常见错误（八大错误）1、没有理解两个基本计数原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即分类计数加法原理和分步计数乘法原理，理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提。
例1、（1995上海卷）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的取法有 种。
错解：因为可以取2台原装与3台组装或取3台原装与2台组装，所以只有2种取法。
错因分析：错解的原因在于没有意识到“取2台原装与3台组装或取3台原装与2台组装”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法。
正解：由错因分析知，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装中任意取2台，有26C 种取法；第二步在组装中任意取3台，有35C 种取法。
根据分步计数乘法原理，有2365C C 种取法。
同理，完成第二类办法有3265C C 种取法。
在根据分类计数加法原理，完成任务共有23326565350C C C C +=种取法。
例2、在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种。
A 、34AB 、34C 、43D 、34C错解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A 。
错因分析：错解的原因在于没有理解分步计数乘法原理，盲目地套用公式。
正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由分步计数乘法原理，共有433333⨯⨯⨯=种。
说明：本题还有这样的错解，甲、乙、丙夺冠均有四种情况，由分步计数乘法原理，共有34种。
这种错解的原因在于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有四种夺冠可能。
2、判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列问题还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题。
例3、有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？错解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种排法。
排列组合中常见错例剖析
A、1260 B、2025 C、2520 D、5040
错解一：分三步完成：首先从10人中选出4人，有 种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有 种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有 种方法，由乘法原理，不同的选法共有 ＝5040种，选D.
错因剖析：上解法中将“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义误解为“甲、乙、丙三人互不相邻”的情形.事实上，“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.
例13、两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）种.
错因剖析：分类与分步混淆不清，即加法原理与乘法原理混淆，从而引起失误.
二、排列、组合问题判断失误.通常是在判断一个问题是排列还是组合问题时，未考虑元素的顺序性而导致失误.
例2、有大小形状相同的3个红球和5个白球排成一排，共有种不同的排法.
错解：因为是8个小球的全排列，所以共有 种方法.
错因剖析：上解法中没有考虑3个红球（或5个白球）是完全相同的，因而同色球之间互换位置是同一种排法.
正解1：（直接法）第一问中“黑色正方形互不相邻”包含两层意思：一是不涂黑色；二是若涂黑色，则黑色正方形不相邻.可分类四类：①不涂黑色时只有一种方案；②只有一个正方形涂黑色，有6种方案；③有二个正方形涂黑色，采用“插空法”，有 种方案；④有三个正方形涂黑色，采用“插空法”，有 种方案．故黑色正方形互不相邻的方案共有1＋6＋10＋4=21种.第二问中“至少有两个黑色正方形相邻”可分为五类：①二个黑色正方形时，有5种方案；②三个黑色正方形时，有如图□■■□■□和□■■■□□的两种情形，共有 种方案；③四个黑色正方形时，有如图□■■■■□、□■■■□■和□■■□■■的三种情形，共有 种方案；④五个黑色正方形时，有如图■■■■■□、■■■■□■和■■■□■■的三种情形，共有 种方案；⑤六个黑色正方形相邻时，只有1种方案．故共有5＋16＋15＋6＋1=43种方案.
排列组合常见解题错误剖析
排列组合常见解题错误剖析排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率，这应是教师在进行排列组合教学与复习时不可或缺的一个环节.学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：1.“加法”、“乘法”原理混淆两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类方法，这n 类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.【例1】（93年高考题21）50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同）〖错解〗有))((1464424634C C C C ++＝46575种.〖错因〗分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.〖正解〗分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）24634C C 种；第二类，有4件次品的抽法同理有14644C C 种，最后由加法原理，不同的抽法共有24634C C +14644C C ＝4186种.【例2】（91年高考题10）从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（ ）（A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种〖错解〗有15242514C C C C ＝300种选法.〖错因〗同例1.〖正解〗（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有15242514C C C C +＝70种选法.所以选C .2．“排列”、“组合”概念混淆界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.【例3】（题目见上例）〖错解〗有15242514A A A A +＝140种选法，答A .〖错因〗元素与顺序无关，应是组合问题.【例4】（94年高考题10）有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040〖错解一〗分三步完成：首先从10人中选出4人，有410C 种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有24A 种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有22A 种方法，由乘法原理，不同的选法共有410C 24A 22A ＝5040种，选D. 〖错因〗“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应为24C .〖错解二〗分三步完成，不同的选法共有410C 24C 22C ＝1260种，选A. 〖错因〗剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应为22A .〖正解一〗不同的选法有410C 24C 22A ＝2520种. 〖正解二〗先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有1718210C C C ＝2520种.〖正解三〗从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有28210A C ＝2520种，选C.【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.〖错解〗有34C =4 种.〖错因〗3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.〖分析〗对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.〖正解〗有3334A C ＝24（或34A =24）种植方法. 3、重复计数出增解【例6】（题目同例2）〖错解〗从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有171415C C C =140种选法.所以选A.〖错因〗若从甲型机中选出的是a 机和b 机，依错解会出现先取a 机后取b 机和先取b 机后a 取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.〖正解一〗（注意到错解正好多算一倍）1402171415=C C C . 〖正解二〗有15242514A A A A +=70种选法,所以选C.【例7】（95年高考题12）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.〖错解一〗从4只盒子中取出三只，有34C 种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只盒子内，有34A 种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有13C 种放法，所以共有34C 34A 13C ＝288种放法. 〖错解二〗分三步完成.首先取出3个盒子，有34C 种方法；再把球分为三组，有1224C C 种方法；最后把三组球排列后放入盒子，有33A 种方法.由乘法原理，共有34C 1224C C 33A ＝288种方法. 〖错因〗同上题. 〖正解一〗在错解中消除重复，有2C 133434C A ＝144种放法. 〖正解二〗从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有3424A C ＝144种放法.〖正解三〗将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），有2444C A ＝144种放法.【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？〖错解一〗排在排头的有除甲之外的16A 种情形，排在尾的也有除乙之外的16A 种情形，两端排好后余下的排中间有55A 种情形，所以不同的排法有551616A A A =4320种.〖错因〗排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了555A 种情形.〖正解一〗减去重复数，应为551616A A A -555A ＝3720种. 〖错解二〗头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有25A 种排法，余下的人排中间有55A 种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有25A 55A 种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有66A 种，因此不同的排法共有25A 55A +266A ＝3840种.〖错因〗甲排尾且乙排头已包含在甲排尾或乙排头的情形中，因此重复计算了55A 种排法. 〖正解二〗减去重复数，应为25A 55A +266A -55A ＝3720种排法.重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）【例9】（题目同例8）〖错解〗总排法数为77A ，去掉甲排头的排法66A 种，再去掉乙排尾的排法66A 种,得满足题意的排法：77A －266A ＝3600（种）.〖错因〗甲排头的排法中已含有乙排尾的情况，同理，乙排尾的排法中也含有甲排头的情况.而错解中甲排头，同时乙排尾的排法被减去两次，从而造成漏解.（甲、乙作为有限制条件的特殊元素，对其排法须同时考虑，否则会因顾此失彼而出错）〖正解一〗（方法同错解，补上被多减的部分）有77A －266A +55A ＝3720种排法.〖正解二〗分为两类：甲排中间5个位，有551515A A A 种方法；甲排尾，有66A 种方法，由加法原理，共有551515A A A ＋66A ＝3720种排法. 【例10】（90年高考题13）A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A 、B 可以不相邻），那么不同的站法有（ ）种.(A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120 〖错解〗把A 、B “捆绑”为一个元素（B 在A 的右边），与C 、D 、E 一起全排列，有44A ＝24种站法，答A.〖错因〗审题不严，未注意到“A 、B 可以不相邻”而漏解.〖正解一〗按B 的位置分为四类：B 排第一、二、三、四位时的排法数分别是44A 、333A 、233A 、33A ，所以共有44A +333A +233A +33A =60种排法，选B.〖正解二〗利用对称关系（注意到A 在B 左边与A 在B 右边的排列情形是对称相同的），有255A =60(种)，选B . 【例11】（97年高考题15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141〖分析〗考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式410C －446C ＝150而错选A ；若只考虑到情形①、②，就会由算式410C －446C －3＝147而错选B ；若只考虑到情形①、③，就会由算式410C －446C －6＝144而错选C ；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果410C －446C －6－3＝141，选D.（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面如对90年高考题13，不会利用对称关系解决，选择分类法后由于情形较复杂而易因考虑不周出错.如在高考90年题（14）、96年题（17）及97年题（15）中，应该用间接法而不恰当地选用了直接法.【例12】（93年高考题17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种〖正解一〗A 的卡分给B 、C 、D 三人，有13C 种方法；设B 拿到A 的卡，则B 的卡可分给A 、C 、D 三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有11C 种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法. 〖正解二〗设A 先拿卡有13C 种方法；然后由A 拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法.或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.6、应用对称关系不当一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决（如高考90年题13），但首先应判断清楚该问题是否具有对称性.【例13】（87年高考题14）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.〖错解〗（应用对称关系）有4355A =90个. 〖错因〗1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不相邻的情形有占总数的43，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，不具有对称性.〖正解〗：有2433A A （或55A -4422A A ）＝72个.。
高一数学中的排列组合问题怎么解决
高一数学中的排列组合问题怎么解决在高一数学的学习中，排列组合问题常常让同学们感到困惑和棘手。
但其实，只要掌握了正确的方法和思路，这些问题便能迎刃而解。
首先，我们要理解排列和组合的基本概念。
排列是指从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列；而组合则是指从给定的元素中，选取若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
比如说，从 5 个不同的球中取出 2 个排成一列，这就是排列问题；而从 5 个不同的球中取出 2 个放在一个盒子里，这就是组合问题。
那么，如何解决这些问题呢？一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理这两个原理是解决排列组合问题的基础。
分类加法计数原理：如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
分步乘法计数原理：如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
例如，从甲地到乙地，有 3 条公路直达，有 2 条铁路直达。
那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种不同的走法，这就是分类加法计数原理的应用；而从甲地经过丙地到乙地，甲地到丙地有 2 条路可走，丙地到乙地有 3 条路可走，那么从甲地经过丙地到乙地共有 2×3 ＝ 6 种不同的走法，这就是分步乘法计数原理的应用。
二、排列数和组合数的计算公式排列数公式：Anm ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) （n, m∈N，且m≤n）特别地，当 m ＝ n 时，Anm ＝ n!（n 的阶乘，即 n! ＝ n×（n 1)×（n 2)×…×2×1）组合数公式：Cnm ＝ Anm ／ Amm ＝ n! ／ m!（n m)！（n, m∈N，且m≤n）在计算排列数和组合数时，要注意准确运用公式，并且要注意计算的准确性。
高考数学排列组合和概率易错点
2019高考数学排列组合和概率易错点也许同学们正迷茫于该怎样复习，查字典数学网小编为广大朋友编辑了数学排列组合和概率易错点，希望对广大考友有所帮助!1.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。
2.二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。
二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。
二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r.3.你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。
)4.求分布列的解答题你能把步骤写全吗?5.如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义。
)要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
6.你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率) 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅 谈 解 决 排 列 组 合 问 题 中 学 生 易 出现 的 错 误
◆ 宋 向娜
（ 河北省蠡县中学）
【 摘要】排列组合应用题 的背景丰富 ， 题型 多样 ， 变化万千 ， 无特定的规律 可循 ， 有综合 性强、 应 用性 强、 对运用数 学思 想的要 求高等特点。
因此 在 学 习过 程 中 必须 认 真 审题 ， 多角 度 思 考 ， 把握 问题 的本 质 特 征 ， 化 归 为排 列 组 合 的 常 规 模 型 去 求 解 。 由 于排 列 组 合 应 用 问题 的 抽
三、 遗漏 计 数
例５ ． 从１ ， ３ ， ５ ， ７， ９中 任取 ３个 数 字 ， 从２ ， ４， ６， ８中任 取 ２个 数 字 ， 一共
可 以组成多少个没有重复数字的五位 数？ 情况是相 同的 分 法， 所 以一 共 重复 了 Ａ 种情 况 ， 故 正 确 的解 法 是
，１ ２ ，１ ２ ，１ ２
＝
错解 ： 先从 １ ， ３ ， ５ ， ７ ， ９中任取 ３个数字排列 有 』 ４ ： 种， 再从 ２ ， ４ ， ６ ， ８中
１ ５种分法。如果分成 ３组 ， 一组 １本， 一组 ２本 ， 一组 ３本 ， 分法
任取２ 个数字排列有Ａ ： 种， 故共有Ａ 』 ４ ＝ １ ２ ０个五位数。
错 因： 都是重复计数 ， 像错解① 中 ， 每 次取出的都是一只 ， 个 数一样 ， 所
分配方案共有多少种？
错解 ： 隔板模型。４名教 师排成一列 ， 在他们 之间形成 的 ３个空隙 中任
１ ８种 。
以重复了Ａ ： 次， 类似例 １ 错解， 正确的结果是 １ Ｉ １ １ 种
。
若不理解可 选 ２ 个插入２ 块隔板， 分成３组， ３ 组在排序分配到３所中学， 共有 Ｃ ２ Ａ ；＝ 错因： 模型用错。隔板法是相 对于相 同的元 素来说 的， 不 同的元素是
②先从 ６双取一 双 ， 从取出 的一双 中拿一只有 ｃ ｏ ＇ ｃ 种 ， 再从剩下的 ５ 双 中 取 一 双 ，从 一 双 中 拿 一 只 有 ｃ ｃ 种 ，这 样 取 下 去，共 有
ｃ ６ Ｉ 乙 ２ Ｉ ｃ ｃ２ ］ Ｌ４ ｉ 乙ｉ ｃ Ｃ 种情况 。
２
错解 ： 从正方体 的 ８个 顶点 中任取 ４个 排除正方体 ６个面上 四点共线的情况， 共有 Ｃ 一 ６＝ ６ ４个 三棱锥 。 错 因： 遗漏计数。如图， 还需要考虑像 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 这样的四点共面 的其他
法。
错解： 先从 １ ５种假货种取出一种有 ｃ ： 种取法， 再从３ ４种商品中取出 ２ 种有 ｃ 种取法， 故共有 ｃ ： ｃ ； 种取法。
错因： 题意不 明。题中指 出某 一种假 货必须在 内 ， 是确 定的 某一种元 正解 ： 在１ ５种假货中已经有一种被选取 ， 那么可直接在 ３ ４种商品中选
例１ ． 有 ６本不 同的书 ， 分成 ３组 ， 每组 ２本。有多少种不 同的分发？
错解 ： 先从 ６ 本书 中拿出 ２ 本成 一组 有 ｃ ： 种拿法 ， 再从 剩下的 ４本 中 少种？
拿出２ 本成一组有 ｃ ： 种拿法， 最后剩下的２ 本书成一组， 共有 ｃ ２ ｃ Ｃ ； 种分
６ 种情况。因此正确的答案是 ｃ ：一 １ ２ ＝ ５ ８ 个三棱锥。
四、 模 型 错 用
③先从每双中拿出一只， 在从 ６ 只中取出４只， 共有 Ｇ ： １ Ｌ １ 【 Ｊ １ ｃ Ｃ ｃ １ ： ｃ ：
种 情况 。
例７ ． 将 ４名教 师分配到 ３所 中学任教 ， 每所 中学至少 １名 ， 则不 同的
—
Ａ ３
则为ｃ ｃ Ｃ ；： ６ ０ 种。这种情况下不会出现重复现象， 主要因为所拿的个
数 不 同。
然后在排序， 共有 ｃ ３ ｌ Ｊ ２ 』 ４ ｉ＝ ７ ２ ０ ０ 。 例２ ． ６双鞋 号 互不 相 同的 鞋 子 混 装 在一 只 口袋 中 ， 从 中任 意 取 出 ４只 ， 中选２个，
错因 ： 遗 漏计数 。所选 出的“ ３个数 ” 与“ ２个数” 之间没有排序。 正解 ： 避 免错 误 最佳 方 法是 ： 先选 后排 法。先从 １ ， ３ ， ５ ， ７， ９中选 ３个 ， 再从 ２ ， ４， ６， ８
例６ ． 以正 方 体 的 顶 点 为 顶 点 的 三 棱 锥
Ａ ｄ
以把元素变少 ， 自行 安排 ， 便全然大悟。
正解 ： 先拿双在拿单 ， 这样 可避免重复 。先从 ６双 中拿 出 ４双 ， 在从 ４
双中 各拿一只， 有ｃ ： ｃ ｃ １ Ｌ １ ｃ ＝ ２ ４ ０ 种情况。
二、 题意不明
不能使 用的。比如 四名教师分别用 Ａ 、 Ｂ 、 ｃ 、 Ｄ表示 ， 排成 一列 Ａ Ｂ ｃ Ｄ ， 中
象性 ， 学生在解决起 来易出现错误 。 【 关键词ｌ排列组合 中心数 学 错误
一
、
重 复计 数
例４ ． 某市工商局对 ３ ５种 商品进行抽 样检查 。 鉴定 结果有 １ ５种假货 ， 现从 ３ ５种商品 中取 出 ３种 ， 其 中某 一种假 货必 须在 内 ， 不 同 的取法 有 多
４只鞋子没有成双的 。 有多少种情况？
错解： ①先从 １ ２只中取出一只， 有ｃ ： 种取法， 在把与取出的那只成双 的个 数 是
一
的去掉， 再从剩下的１ ｏ只中取出 １ 只， 有ｃ ： 。 种取法， 像这样取 ４次， 共有 的所有种数是 Ｃ ； 中， ｃ ： ｃ ｃ ｃ 种情况。
错因 ： 重复计数 。先拿后拿本身就有顺序 ， 由于拿 的个 数一样 ， 所 以出 现 了 重 复。 如
ａ ｂ ｃ ｄ
６ 本 书 分 别 为 ｎ ， ｂ ， ｃ ， ｄ， ｅ 厂， 方 框 表 示 组 素 ， 没有选择性 。
ｅ ｆ ｃ ａBiblioteka ＇ ａ ｂ 两种
取 ２种 即可 ， 共有 ｃ ＝ ５ ６ １ 种取法。