2014-2015新北师大版八年级数学下册三角形的证明检测题1
2014新版北师大版八年级下册第1章三角形的证明单元测试试卷及答案3
2014新版北师大版八年级下册第1章《三角形的证明》单元测试试卷及答案（3）一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）①②③①②④①③①②③④ D ． C A．B．．2．（3分）（2013?邢台一模）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）4cm cm 6cm 3cm 5B．．D．A．CB沿CD折叠，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD分）3．（3（2006?曲靖）如图，）点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（25°30°45°60°A．B．C．D．4．（3分）如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状5．（3分）（2004?河南）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB ）为（．A．B．C．b米D．a米米米、B…在射线ON上，点、?深圳）如图，已知：∠MON=30°，点AA、A（6．（3分）20121312，=1OAA、△ABA…均为等边三角形，若AA、BB…在射线OM上，△BA、△B131412232332 B△AA的边长为（）则7666 12 32 64 D ．B．C．．A小题，每小题3分，满分12分）二、填空题（共47．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=AC=20cm，∠BAC=150°，则S=_________ABC△2cm．8．（3分）（2007?天津）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_________．9．（3分）如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．10．（3分）（2011?济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，．_________=，则G于点CD⊥AG，F交于点CD与AE，AD=BE且总使三、解答题（共3小题，满分0分）11．（2011?日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD 延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．12．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=_________；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．13．（2013?抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是_________；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直三者之间的数量关系．BP、BF、DE接写出参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）①②③①②④①③①②③④ D ． B A．．C．考点：等边三角形的判定．分析：根据等边三角形的判定判断．解答：解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确．所以都正确．故选D．点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．2．（3分）（2013?邢台一模）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）4cm 6cm 3cm 5cm B．．A．C． D度角的直角三角形．考点：含30再根据三角形的一个外角等于与它不相邻分析：根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAC，角所对的直角边等于的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°斜边的一半解答即可．AC=BC，解答：解：∵，∠BAC=15°B=∴∠=30°，∠∴∠ACD=B+∠BAC=15°+15°BC，∵AD⊥∴AD=AC=×10=5cm．故选C．点评：本题考查了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．3．（3分）（2006?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B ）等于（A处，则∠E的中点AB点恰好落在．25°30°45°60°A．B．C．D．考点等边三角形的判定与性质专题压轴题分析先根据图形折叠的性质得BC=C再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=A，进而可判断BE是等边三角形，由等边三角形的性质及直三角形两锐角互补的性质即可得出结论解答解ABC折重合BC=CA中点AB是直角三角形CE=BE=A∴△BEC是等边三角形．∴∠B=60°，∴∠A=30°，故选B．点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．4．（3分）如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状考点：等边三角形的判定．分析：先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形．解答：解：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选B．点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．5．（3分）（2004?河南）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（）A．B．C．b米D．a米米米考点解直角三角形的应坡度坡角问题；等边三角形的性质专题压轴题分析根CM=C以及MC的度数可得CM为等边三角形．利用相应的三角数表示MM的长，可得到房间AA长相等解答解：点M垂线，垂足，连N设梯子底端点AB=，AB=ND=∴BN为等腰直角三角形CN为等边三角形18475=6，梯子长相∵NCB=4∴DNC=4∴MND=64=1∴cos15°=，又∵∠MCA=75°，∴∠AMC=15°，∴cos15°=，=．故可得：∵△CNM为等边三角形，∴NM=CM．∴x=MA=a．故选D．点评：此题是解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，作辅助线很关键．6．（3分）（2012?深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A、A、A…在射线ON上，点B、1312B、B…在射线OM上，△ABA、△ABA、△ABA…均为等边三角形，若OA=1，143113223223则△ABA ）的边长为（766．6 12 32 64 A．B．C．D．考点等边三角形的性质；3度角的直角三角形专题压轴题；规律型分析根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得，以=2得=4==8==16进而得出答案解答解：∵是等边三角形=，3412=6∴2=12∵MON=3∴1=18123=3又∵3=6∴5=1863=9∵MON1=3O===∵是等边三角形∴1110=6，13=6∵412=6∴167=3，58=9=2=2=4==8==16=1以此类推=32=3故选点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出AB=4BA，AB=8BA，AB=16BA进而发现规律是解题关键．233512241415二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）27．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=AC=20cm，∠BAC=150°，则S=100cm．ABC△考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．分析CB，B延长线，求C，根据三角形面积公式求出即可解答解：过C作CD⊥BA，交BA延长线于D，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∴DC=AC=10cm，2，（10=100cm）AB×CD=×20×∴S=ABC△．故答案为：100ABC△30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出点评：本题考查了三角形的面积，含的高．，AD=6，若°，BD平分∠ABC如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60天津）．8（3分）（2007?．3则CD=考点：含30度角的直角三角形．分析：由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．解答：解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，∴CD=BD=6×=3．故填空答案：3．点评：本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解．9．（3分）如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD=4cm．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析首先过PO于，O平分AOPO于，易PF=PPO，可求得PDF=3，然后由3角的直角三角形的性质，求得答案解答解：过PO于O平分AOPOPF=PE=2cPO∴PDFAOB=3PD=2PF=4c故答案为点评：此题考查了角平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10．（3分）（2011?济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意推出△CAE≌△BCD，可知∠DCB=∠CAE，因此∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，所以∠FAG=30°，即可推出结论．解答：解：∵AD=BE，∴CE=BD，∵等边三角形ABC，∴△CAE≌△DCB，∴∠DCB=∠CAE，∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，∴FG：AF=．故答案为．等边三角度角的直角三角形的性质、30含本题主要考查全等三角形的判定和性质、点评：形的性质，解题的关键在于根据题意推出△CAE≌△DCB和∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°．三、解答题（共3小题，满分0分）11．（2011?日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD 延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．考点全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题证明题；压轴题分析根据等腰直AB求C是A的垂直平分线求C平分AC根据三角形的外角性质求出BDECDE=6即可）连M，可MD是等边三角形，可求证EMCAD．再证AD≌EM即可解答证明）∵AB是等腰直角三角形∴BACABC=4∵CADCBD=1∴BADABD=41=3BD=AA的垂直平分线上AC=B也A的垂直平分线上即直CA的垂直平分线∴ACDBCD=4∴∠CDE=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC．（2）如图，连接MC．∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM．中，EMC△与ADC△在．，∴AD≌EMAAME=AD=B点评：此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．12．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=2；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．考点：含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：动点型．分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，再根据平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，从而得到∠ADE=∠HBE，然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根据等边三角形的判定即可证明．解答：（1）解：∵△BDE是等边三角形，∴∠EDB=60°，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°，，°ACB=90∵∠．∴∠ACF=180°﹣90°，∴AF=2AC=2×1=2；）证明：∵BD是等边三角形BE=B，EDBEBD=6BC中，ADEEDBCBD即ADE+6CBD+9∴ADE=3CB∵HBEABD=6，CBDABD=3∴HBE=3CB∴ADEHBADHB中，∴△ADE≌△HBE（SAS），∴AE=HE，∠AED=∠HEB，∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，即∠AEH=∠BED=60°，∴△AEH为等边三角形．点评：本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，（2）中求出∠ADE=∠HBE是解题的关键．13．（2013?抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是DE=BC；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=D，则可判DC为等边三角形，由DBDEB（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=DE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵点D是AB的中点，∴DB=DC，∴△DCB为等边三角形，∵DE⊥BC，∴DE=BC；BC．故答案为DE=（2）BF+BP=DE．理由如下：∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，而∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF，而CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC，∵DE=BC，DEBC=，∴DE；∴BF+BP=（3）如图，，DBF≌△DCP△）一样可证明2与（．∴CP=BF，而CP=BC+BP，BBP=B∴BF﹣BP=DE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．。
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》检测题(含答案)
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》检测试卷（含答案）一、选择题(每题3分，共30分)1．若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．100°2．已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是( )A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( ) A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a与b相交 D．a⊥b4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A．3，4， 5 B．1，2， 3C．6，7，8 D．2，3，45．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b 上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是( ) A．30° B．35°C．40° D．45°6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6C．8 D．107．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC 于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是( )A．∠CAD＝30° B．AD＝BDC．BE＝2CD D．CD＝ED8．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( ) A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )A．7 B．14C．17 D．2010．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③DA平分∠EDF；④EF垂直平分AD.其中结论正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题．14．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC 的长为________．16．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD 于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________．17．等腰三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝12AC，则等腰三角形ABC底角的度数为________．18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE＝________．19．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为________．20．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC 的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．23．如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．24．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在格点上，按要求画图．(1)在图①中画出一个面积为4的等腰三角形ABC(点C在格点上)，使A，B，C中任意两点都不在同一条网格线上；(2)在图②中画出一个面积为5的直角三角形ABD(点D在格点上)，使A，B，D中任意两点都不在同一条网格线上．25．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q 运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．26．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题．(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．参考答案一、1.D 2.D 3.C 4.B 5．C 6．C 7.C 8.D 9.C 10．C二、11. 110°12. 313．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假14．20°15. 2716. 70°17．45°或15°或75°18．219．3 320．47三、21.解：如图，△PBD为所求作的三角形．22．(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∴△BDE≌△CDF(AAS)．(2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2.∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3.23．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BE，CD是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠DBC＝∠ECB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(2)解：点O在∠BAC的平分线上．理由：∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴点O在∠BAC的平分线上．24．解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．25．解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．理由：∵点Q到达点C时，BQ＝BC＝6 cm，∴t＝62＝3.∴AP＝3 cm.∴BP＝AB－AP＝3 cm＝AP.∴点P为AB的中点．∴PQ⊥AB.(2)能．∵∠B＝60°，∴当BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形．∴6－t＝2t，解得t＝2.∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．26．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－80°)÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°.故∠B 为50°或20°或80°.(2)分两种情况：①当90≤x ＜180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个．②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180－x 2°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝(180－2x )°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝x °.当180－x 2≠180－2x 且180－2x ≠x 且180－x 2≠x ， 即x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，当0＜x ＜90且x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明测试题(附答案)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明测试题（附答案）一、单选题1.到三角形三个顶点距离相等的点是（）A. 三角形三条边的垂直平分线的交点B. 三角形三条角平分线的交点C. 三角形三条高的交点D. 三角形三条边的中线的交点2.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( )A. 2.5sB. 3sC. 3.5sD. 4s3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是( )A. 68°B. 112°C. 124°D. 146°4.如图，在△ABC中，∠C=90 ，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，CD=5cm，则DE的长是（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm5.已知一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为（）A. B. C. D.6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC 的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD∶AD的值为( )A. B. C. D.9.有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )A. △ABC三条角平分线的交点处B. △ABC三条中线的交点处C. △ABC三条高的交点处D. △ABC三边垂直平分线的交点处10.如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是( )A. AC＝ADB. AC＝BCC. ∠ABC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠BAD11.在△ABC中，AB=AC，∠C=75°，则∠A的度数是（）A. 30°B. 50°C. 75°D. 150°12.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB 的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③AM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个二、填空题13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是________．14.如图，在△ABC中，AB=a,AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、AB分别于点D、E，则△AEC的周长等于________。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专项测试题_附答案解析(一)
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专项测试题_附答案解析(一)第一章三角形的证明专项测试题(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1）.2）.D. 无法确定3、下列说法中，不正确的是（）.A. 线段有1条对称轴B.C. 角只有1条对称轴D. 底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴4是（）5B. 无法确定6的依据是（）7）8、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条高的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点9）10、某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为接触，则容器中液体的高度至少应为（）11）D. 以上都不对12、使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等13）14）15（）A. 不能确定二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_________________________，这个逆命题是________命题.17、如图，已知PE⊥OA，PF⊥OB，且PE=PF，则点P的位置在________上.181920的大小为度．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）212223的长．第一章三角形的证明专项测试题(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1）.【答案】C【解析】.2）.D. 无法确定【答案】B【解析】解：如图所示.3、下列说法中，不正确的是（）.A. 线段有1条对称轴B.C. 角只有1条对称轴D. 底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴【答案】A1条对称对称轴，本说法正确.故正确的答案是：线段有1条对称轴.4是（）【答案】D5B. 无法确定【答案】C6的依据是（）【答案】A【解析】解：）【答案】A【解析】解：8、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条高的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点【答案】D【解析】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点．9）【答案】D【解析】解：10、某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为接触，则容器中液体的高度至少应为（）【答案】A【解析】解：11）D. 以上都不对【答案】B【解析】解：还需补充一对直角边相等，12、使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等【答案】D【解析】解：一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故错误；两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故错误；一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故错误；应相等，也可证全等，故正确．13）【答案】C【解析】解：14）【答案】C【解析】解：15（）A. 不能确定【答案】D【解析】解：二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_________________________，这个逆命题是________命题.【答案】如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真.【解析】解：命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是“如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”．17、如图，已知P E⊥OA，PF⊥OB，且PE=PF，则点P的位置在________上.【解析】解：由题意知，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，.18【答案】8【解析】解：19【答案】14【解析】解：20的大小为度．【答案】40三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21【解析】证明：..22【解析】证明：23【解析】解：。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；B ．每个命题都有逆命题；C ．每个定理都有逆定理；D ．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 2．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．在ABC 中，已知::5:12:13AC BC AB =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ．若ABC 的面积为S ，则ACD △的面积为（ ）A ．14SB ．518SC ．625SD ．725S 4．如图，在ABC 中，PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，且分别与AB 交于点M ，N 连接CM ，CN ．有下列四个结论：①P A B ∠=∠+∠；②ACB MCN P ∠=∠+∠；③ACB ∠与P ∠是互为补角；④MCN △的周长与AB 边长相等其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．下列几组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A ．3，4，6 B ．1，13C ．5，12，14 D 555 6．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，BE=10cm ，则AC 等于（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm7．如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，AB 交于点D ，E ．连接BD ．则下列结论不正确的是（ ）A ．BCD △的周长等于AB BC +B ．AD BD BC == C ．::ABD CBD S S AB BC =△△ D ．12ED AB = 8．如图，在ABC 中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，与BC 交于点E ，分别以点E 和点C 为圆心、大于12EC 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若45B ∠=︒，2C CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．25︒C ．30D ．35︒9．如图，ABC 中，BAC 60∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分ADF ∠；④2AB AC AE +=．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③④C ．①②④D ．②④ 10．如图所示，在ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的平分线，且交AD 于P ，如果1AP =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 11．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（ ）A ．65°B ．25°C ．50°D ．65°或25° 12．如图，A ，B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C 也在格点上，且ABC 为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C 的个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题13．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．14．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长为___________．15．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______．16．如图，在ABC 中，6,,BC AD DC =分别平分,BAC ACB ∠∠，点E 为BC 上一点，若105ADC ︒∠=，则CD DE +的最小值为________．17．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 是它的角平分线，若:3:2AB AC =，且2BD =，则点D 到直线AB 的距离为______．18．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，32AC =，24BC =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则AE 的长是__________．19．如图，在第1个1A BC 中，36B ∠=︒，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是________________．20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若15AB =，ABD ∆的面积是30，则CD 的长为__________三、解答题21．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 上一点，且AE =DE ． （1）求证：DE //AC ．（2）若BE =5，BC =12，求△AED 的周长．22．已知A （3， 5），B （-1， 2），C （1， 1）．（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC ；（2）△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，10AB =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．24．如图，已知△ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若DC＝3，AD＝5，AB＝4．求证：AB⊥BD．25．阅读下列材料，完成相应任务．三角形中边与角之间的不等关系学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．如图1，在△ABC中，已知AB＞AC＞BC．求证：∠C＞∠B＞∠A．证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的点C′处，折痕AD交BC于点D．则∠A C′D=∠C．∵∠A C′D=∠B+∠BDC′（依据1）∴∠A C′D＞∠B∴∠C＞∠B（依据2）如图3，将△ABC折叠，使边CB落在CA上，点B落在CA上的点B′处，折痕CE交AB于点E．则∠CB′E=∠B．∵∠CB′E=∠A+∠AEB′∴∠CB′E＞∠A∴∠B＞∠A∴∠C ＞∠B ＞∠A ．归纳总结：利用轴对称的性质可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题是常用的方法．类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．如图1，已知△ABC 中，∠C ＞∠B ＞∠A ．求证：AB ＞AC ＞BC ．下面是智慧小组的证明过程（不完整）．证明：如图2，在∠BCA 的内部，作∠BCF =∠B ，CF 交AB 于点F ．则CF =BF （依据3）在△ACF 中，AF +CF ＞AC ，∴AF +BF ＞AC ，∴AB ＞AC ；…任务一：①上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？依据1： ；依据2： ； 依据3： ．②上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是_____________；（填正确选项的代码） A ． 转化思想 B ． 方程思想 C ． 数形结合思想任务二：请将智慧小组的证明过程补充完整，并在备用图中作出辅助线．任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有__________（将正确的代码填在横线处）．①在△ABC 中，AB ＞BC ，则∠A ＞∠B ；②在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，∠C =89°，则△ABC 是锐角三角形；③Rt △ABC 中，∠B =90°，则最长边是AC ；④在△ABC 中，∠A =55°，∠B =70°，则AB =BC ．26．已知：如图，,,C D Rt AC BD AD ∠=∠=∠=与BC 相交于点P ．求证：（1）Rt ABC Rt BAD ≌．（2）PAB △是等腰三角形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．2．C解析：C【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE=DF，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．【详解】解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE=DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，∴BD=CD ，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），∴∠EDB=∠CDF ，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．3．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，再根据AAS 得出ACD AED ≅，从而得出ACD △的面积=AED 的面积和BE 的长，继而得出AED 的面积和BED 的面积比，即可得出答案【详解】解：∵::5:12:13AC BC AB =，设AC=5k ，BC=12k ，AB=13k ，∴AC 2+BC 2=AB 2∴ABC 为直角三角形，∠C=90°，∵AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，∴∠CAD=∠BAD ，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD ，∴ACD AED ≅， ∴△△S S =ACD AED ，AE=AC=5k ，∴BE=13k-5k=8k ，∵AED 和BED 同高， ∴8:5△BE △S :S =D AED ，∵ABC 的面积为S ， ∴518△S =ACD S ． 故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，根据同高得出8:5△BE △S :S =D AED 是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，即可判定④正确．【详解】解：∵PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，∴90CDP ∠=︒，90CEP ∠=︒，又∵360P AC DP B C CE P ∠∠+∠=∠++︒，∴180P ACB ∠=︒∠+，故结论③正确；又∵180AC A B B ∠+︒∠+∠=， ∴P A B ∠=∠+∠，故结论①正确； 直线PD 是AC 的垂直平分线，AM CM ∴=，∴A ACM ∠=∠同理，NB NC =，B BCN ∠=∠，∵AC MC ACB M N N BC ∠∠+∠∠=+，∴M ACB N A C B ∠∠∠=+∠+，∴ACB MCN P ∠=∠+∠，故结论②正确； AMN △的周长为MC MN NC =++，∴AMN 的周长=AM MN NB AB ++=，故结论④正确；综上所述，①②③④正确，共4个．故选D ．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．D解析：D【分析】要能作为直角三角形三边长，需验证两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A 、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；B 、12+12≠2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；C 、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；D 2+（2＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形． 6．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE ，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12AE ． 【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE=10(cm)，∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=12AE=12×10=5(cm)． 故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 7．D解析：D【分析】根据MN 是AB 的垂直平分线，等腰三角形的性质、角平分线的性质逐条判断即可．【详解】解：由作图可知，MN 是AB 的垂直平分线，∴BD=AD ，BCD △的周长等于BC+DC+BD=BC+DC+AD=BC+AC ，∵AB AC =∴BCD △的周长=AB BC +，A 正确；∵AB AC =，36A ∠=︒，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD=AD ，∴36A ABD ∠=∠=︒，∠BDC=72°=∠C ，BC=BD=AD ，B 正确；∵36ABD CBD ∠=∠=︒，∴点D 到AB 、BC 的距离相等，∴::ABD CBD S S AB BC =△△C 正确； 如果12ED AB =，则DE=AE ， ∠A=45°，与题意不符，D 错误；故答案为：D ．【点睛】 本题考查了垂直平分线的作法和等腰三角形的性质与判定以及角平分线的性质，解题关键是熟知垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，并能够灵活运用这些知识进行推理． 8．A解析：A【分析】根据作图过程可得，AP 是EC 的垂直平分线，可得AE ＝AC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再根据∠B ＝45°，∠C ＝2∠CAD ，即可求出∠CAD 的度数，进而即可求解．【详解】解：由作图过程可知：AP 是EC 的垂直平分线，也是∠CAE 的角平分线，∴AE ＝AC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∵∠B ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∵∠C ＝2∠CAD ，∴3∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝30°，∴∠EAD ＝30°，∴BAE ∠=45°-30°=15°．故选：A ．【点睛】本题考查了作图−基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 9．C解析：C【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD．同理：DF=12 AD．∴DE+DF=AD．∴②正确．③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC是否等于60°不知道，∴不能判定MD平分∠EDF，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．10．C解析：C【分析】由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得到AP=BP=AE=PE=1，CE=BE=2，即可求出AC 的长度．【详解】解：∵在ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴60ABC ∠=︒，∵AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的角平分线，∴30ABP DBP BAP ∠=∠=∠=︒，∴1AP BP ==，∵90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴60EAP AEP ∠=∠=︒，∴△APE 是等边三角形，∴AP=BP=AE=PE=1，∵30DBP C ∠=∠=︒，∴CE=BE=1+1=2，∴213AC CE AE =+=+=；故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．11．D解析：D【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【详解】解：①当为锐角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠A ＝50°，∴∠B=∠C=180502︒-︒ =65°； ②当为钝角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠BAC ＝∠ADE+∠AED ＝40°+90°＝130°，∴∠B=∠C=1801302︒-︒ =25°． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 12．B解析：B【分析】分两种情况：①AB 为等腰三角形的底边；②AB 为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．【详解】解：如图所示：①AB 为等腰三角形的底边，符合条件的点C 的有5个；②AB 为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C 的有3个．所以符合条件的点C 共有8个．故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．二、填空题13．5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可【详解】解：∵∠C ＝90°DE ⊥AB ∴∠C=∠AED=90°在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中∴Rt∆解析：5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线，然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可.【详解】解：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt∆AC D 和Rt∆AED 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt∆ACD ≌Rt∆AED ，∴∠CAD=∠EAD ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝12∠BAC ， ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠CAB ＝45°，∴∠CAD ＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD ＋∠C ＝112.5°.故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．14．【分析】由已知条件利用线段的垂直平分线的性质得到AD＝CDAC＝2AE结合周长进行线段的等量代换可得答案【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线∴AD＝CDAC＝2AE＝6cm又∵ABD的周长＝AB+B解析：19cm【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【详解】AE ，解：∵DE是AC的垂直平分线，3cm∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为：19cm．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．15．88【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4设底边长为x则有x+4×2=20解得：x=12此时三角形的三边长为4412解析：8，8【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案．【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，则有x+4×2=20，解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，∵4+4＜12，∴不可以组成三角形；若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，则有2x+4=20，解得：x=8，∵4+8＞8，∴可以组成三角形；∴三角形的另两边的长分别为8，8．故答案为：8，8．【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．16．3【分析】如图过作于连接先说明平分当时可得可得所以当三点共线时此时最短再求解结合从而可得答案【详解】解：如图过作于连接分别平分平分当时则所以当三点共线时此时最短分别平分即的最小值是故答案为：【点睛】 解析：3【分析】如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD 先说明BD 平分,ABC ∠ 当DE BC ⊥时，可得,DP DE = 可得,CD DE CD DP +=+ 所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，再求解30ABC ∠=︒，结合,CP AB ⊥ 从而可得答案． 【详解】解：如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，BD ∴平分,ABC ∠当DE BC ⊥时，则,DP DE =,CD DE CD DP ∴+=+所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，105ADC ∠=︒，18010575DAC DCA ∴∠+∠=︒-︒=︒，,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，()2150,BAC BCA DAC DCA ∴∠+∠=∠+∠=︒18015030ABC ∴∠=︒-︒=︒，,CP AB ⊥116322CP BC ∴==⨯=， 即CD DE +的最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含30的直角三角形的性质，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．17．【分析】根据角平分线的性质利用面积比求出BD:DC=3:2代入求值即可【详解】解：∵平分∠BACDC ⊥ACDE ⊥AB ∴DC=DE ∵∴即点到直线的距离为故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质解题关 解析：43【分析】根据角平分线的性质，利用面积比求出BD:DC=3:2，代入2BD =求值即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC=DE ，12ABD S AB DE =⨯⨯，12ACD S AC CD =⨯⨯, 132122ABD ACD AB DE S S AC CD ⨯⨯==⨯⨯, 12ABD S DB AC =⨯⨯， 1212ABD ACD DB AC S S AC CD ⨯⨯=⨯⨯， 32BD CD =， ∵2BD =，∴43CD =， 43ED = 即点D 到直线AB 的距离为43， 故答案为：43． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，解题关键是利用面积公式，通过角平分线的性质得出面积比，再根据面积比求出边长比．18．25【分析】首先连接BE 根据线段垂直平分线的性质可得AE ＝BE 然后设AE ＝x 由勾股定理可得方程：x2＝242＋（32−x ）2继而求得答案【详解】解：连接BE ∵AB 的垂直平分线分别交ABAC 于点DE ∴解析：25【分析】首先连接BE ，根据线段垂直平分线的性质，可得AE ＝BE ，然后设AE ＝x ，由勾股定理可得方程：x 2＝242＋（32−x ）2，继而求得答案．【详解】解：连接BE ，∵AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，∴AE ＝BE ，设AE ＝x ，则BE ＝x ，EC ＝AC−AE ＝32−x ，∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝32，BC ＝24，∴x 2＝242＋（32−x ）2，解得：x ＝25，故答案为：25，【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．19．【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和分别求出的度数找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数【详解】解：在中是的外角同理得第个三角形中以为顶点的 解析：20201722⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭︒【分析】 先根据等腰三角形的性质求得1BA C ∠的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出213243DA A EA A FA A ∠∠∠、、的度数，找出规律即可得到第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数．【详解】解：在1CBA 中，136,B A B CB ∠=︒=1180722B BAC ︒-∠∴∠==︒1211,A A A D BA C =∠是12A A D 的外角，211117222DA A BAC ∴∠=∠=⨯︒ 同理得2321()722EA A ∠=⨯︒， 3431()722FA A ∠=⨯︒ ∴第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()722n -⨯︒ ∴第2021个三角形的底角度数是：20201()722⨯︒，故答案为：20201()722⨯︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 20．4【分析】过点作的垂线交于点根据角平分线的性质可得再根据三角形的面积即可求出DH 从而求出结论【详解】解：如图过点作的垂线交于点由题意可得：平分∵∴∵的面积为∴即∴∴故答案为：4【点睛】本题考查的是角 解析：4【分析】过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，根据角平分线的性质可得CD DH =，再根据三角形的面积即可求出DH ，从而求出结论．【详解】解：如图，过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，由题意可得：AD 平分BAC ∠，∵DH AB ⊥，90C ∠=︒∴CD DH =，∵15AB =，ABD △的面积为30，∴1302AB DH ⨯⨯=，即115302DH ⨯⨯=， ∴4DH =，CD=，∴4故答案为：4．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析;（2）18【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”和等边对等角的性质即可得到∠EAD=∠CAD，从而得到平行；（2）根据三角形的中位线和勾股定理分别求出△AED的边长即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∵AE=DE，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EDA=∠CAD，∴DE//AC；（2）∵AD是BC边上的中线，即D是BC的中点，DE//AC，∴DE是△ABC的中位线，∵BE=5，∴AE=DE=5，AB=10，∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BC=12∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴AD==，8∴△AED的周长为5+5+8=18．【点睛】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，注意等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．22．（1）见解析；（2）是，理由见解析【分析】（1）在平面直角坐标系中描出A、B、C三点，再顺次连接三点即可做出△ABC；（2）利用网格特点，分别求出AB2、AC2、BC2，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】（1）如图所示；（2）△ABC 是直角三角形，理由为：∵AB 2=42+32=25，AC 2=22+42=20，BC 2=12+22=5，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°．【点睛】本题考查平面直角坐标系、勾股定理及其逆定理，熟练掌握网格结构和平面直角坐标系，准确找出对应点的位置，会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解答的关键． 23．254【分析】首先连接BE ，根据线段垂直平分线的性质，可得AE ＝BE ，然后设AE ＝x ，由勾股定理可得方程： ()222=6+8x x -，继而求得答案．【详解】解：连接BE ，在Rt △ABC 中，AC ＝8，AB ＝10∴BC ＝6∵AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，∴AE ＝BE ，AD ＝BD ＝5设AE ＝x ，则BE ＝x ，EC ＝AC−AE ＝8−x ，∵Rt △BCE 中，∠C ＝90°，BE=x ，EC ＝8−x ，BC ＝6，∴()222=6+8x x - 解得：25=4x ， 故答案为：254，【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）作BC的垂直平分线交AC于D，则DC=DB，所以AC=AD+BD，于是可判断D点满足条件；（2）利用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，从而得到结论．【详解】解：（1）如图，点D为所作；（2）证明：∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC=3，在△ABD中，∵BD=3，AB=4，AD=5，∴BD2+AB2=AD2，∴△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，∴AB⊥BD．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理的逆定理．25．任务一：①依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②A；任务二：见解析；任务三：②③④【分析】任务一：①根据三角形的外角性质、等量代换以及三角形中等角对等边性质即可写出依据；②根据分析过程渗透的思想为转化的思想方法；任务二：仿照推导AB＞AC的方法证明AC＞BC即可证明结论正确；任务三：根据结论“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等边对等角”进行判断即可解答．【详解】解：任务一：①根据推导过程可知：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等量代换；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②根据推导过程体现了转化的数学思想方法，故选：A；任务二：智慧小组的证明过程补充如下：证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF=BF，（等边对等角）在△ACF中，AF+CF＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；同理，如图，在∠ABC的内部，作∠ABG=∠A，BG交AC于点G，如图，则AG=BG在△BCG中，BG+CG＞BC，∴BG+CG＞BC，∴AC＞BC∴AB＞AC＞BC．任务三：①∵AB＞BC，∴∠C＞∠A，错误；②∵在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=89°，∴∠C＞∠A＞∠B，又∠C=89°＜90°，∴△ABC是锐角三角形，正确；③∵Rt△ABC中，∠B=90°，则最长边是斜边AC，正确；④∵在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣55°﹣70°=55°，∴∠A=∠C∴AB=BC，正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查三角形的边与角之间的不关系的推导及其应用，涉及三角形的外角性质、等腰三角形的等角对等边性质、三角形的内角和定理、判断三角形的形状、命题的证明等知识，掌握在一个三角形中，大角对大边，小角对小边这一性质的推导过程，会利用转化的思想进行命题的证明是解答的关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得∠ABP=∠BAP，从而得到PA=PB，即可得证．【详解】解：（1）∵∠C=∠D=Rt∠，AC=BD，AB=BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABP=∠BAP，∴PA=PB，∴△PAB是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，证明Rt△ABC≌Rt△BAD是解题的关键．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测(答案解析)
一、选择题1．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交 AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于点N ，连接EN ，下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②DF= DN ；③AN = BF ；④EN ⊥NC ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （3，2），点P （m ，0），若△POA 是等腰三角形，则m 可取的值最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 4．数学课上，探究角的平分线的作法时，小宇用直尺和圆规作∠AOB 的平分线，方法如下： 如图，（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ； （2）分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ；（3）画射线OC ．射线OC 即为所求． 其中的道理是，作出△OMC ≌△ONC ，根据全等三角形的性质，得到∠AOC =∠BOC ，进而得到OC 是∠AOB 的平分线． 其中，△OMC ≌△ONC 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS5．如图，AE 与BF 交于点O ，点O 在CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法正确的是（ ）A ．BAE GCE ∠=∠B ．点O 到ABC 三边的距离相等C ．AO BO CO ==D ．OG OE OF ==6．如图，在Rt ABC △中，CA CB =，D 为斜边AB 的中点，Rt EDF ∠在ABC 内绕点D 转动，分别交边AC ，BC 于点E ，F （点E 不与点A ，C 重合），下列说法正确的是（ ）①45DEF ︒∠=；②222BF AE EF ；③2CD EF CD <≤A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 7．如图，△ABC 中，DC =2BD =2，连接AD ，∠ADC =60°．E 为AD 上一点，若△BDE 和△BEC 都是等腰三角形，且AD =31+，则∠ACB =（ ）A ．60°B ．70°C ．55°D ．75°8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠A ＝30°，BD ＝1，则AD 的长为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．239．如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，AB 交于点D ，E ．连接BD ．则下列结论不正确的是（ ）A ．BCD △的周长等于AB BC +B ．AD BD BC == C ．::ABD CBD S S AB BC =△△ D ．12ED AB = 10．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,0，以线段OA 为边在第四象限内作等边ABO ，点C 为x 轴正半轴上一动点（1OC >），设点C 的坐标为(),0x ，连结BC ，以线段BC 为边的第四象限内作等边CBD ，直线DA 交y 轴于点E ，点E 的坐标是（ ）A ．()0,3B ．0,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．30,x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 11．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（ ） A ．65° B ．105° C ．55°或105° D ．65°或115° 二、填空题13．如图，OA OB OC ==且30ACB ∠=︒，则AOB ∠的大小是______度．14．在ABC ∆中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，4AB =，点P 、M 、N 分别在边AB 、BC 、CA 上，连接PM 、MN 、NP ，则PMN ∆周长的最小值为__________15．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠︒；④()12AD AB AC BC =+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．16．已知：如图，在△ABC 中CD 交AB 边于点D ，直线DE 平分BDC ∠且与直线BE 相交于点E ，2BDC A ∠=∠，3E ∠=∠．求证：//CD EB证明：理由如下：DE 平分,BDC ∠（已知）_____ 2.∴=∠2,BDC A ∠=∠（已知）2,A ∴∠=∠（等量代换）____//____,______________,______________)∴(____3,______________,______________)∴=∠(又3,E ∠=∠（已知）________.∴=（等量代换）//____,______________,______________)CD ∴(17．如图，DE ∥BC ，AE ＝DE ＝1，BC ＝3，则线段CE 的长为_____．18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，点O 是AB 边的中点，点P 是射线AC 上的一个动点，BQ ∥CA 交PO 的延长线于点Q ，OM ⊥PQ 交BC 边于点M ．当CP ＝1时，BM 的长为_____．19．如图所示，在ABC 中，AB AC =，BAD ∠=α，且AE AD =，则EDC ∠=______．20．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ．那么下列结论：①BD=DC ；②△BED 和△CFD 都是等腰三角形；③点D 是EF 的中点；④△AEF 的周长等于AB 与AC 的和．其中正确的有______．（只填序号）三、解答题21．已知：如图，ABC ∆中，,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线，,BD CE 相交于点O ，联结OA DE ,．求证：（1）OB OC =；（2）OA 垂直平分DE ．22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 上一点，且AE =DE ． （1）求证：DE //AC ．（2）若BE =5，BC =12，求△AED 的周长．23．（1）猜想：如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题：如图3，F 是角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点D 、E 、A 互不重合，在运动过程中线段DE 的长度始终为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状，并说明理由．24．如图，//CD AB ，BC 平分ACD ∠，CF 平分ACG ∠，40BAC ∠=，12∠=∠．解答下列问题：（1）求1∠度数；（2）求4ACE ∠∠的值． 25．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）连结DF，求证：AB垂直平分DF；（3）连结AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．26．如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE=DF，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．【详解】解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，∴DE=DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．2．D解析：D【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，∴△AFE为等腰三角形，∴结论①正确；∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，∴∠AMF=90°，∴∠DBF=∠DAN，∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∴AD=BD，∴△DBF≌△DAN，∴DF= DN，AN=BF，∴结论②③正确；∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，∴△BMA≌△BMN，∴AM=MN，∴BE是线段AN的垂直平分线，∴EA=EN，∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，∴AD∥EN，∵AD⊥BC∴EN⊥NC，∴结论④正确；故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．3．C解析：C【分析】分两种情况分析：①以点OP为底，②OP为腰，讨论点P的个数，再求出m的值即可.【详解】解：由点P（m，0）知点P在x轴上，分两种情况：当OP为底时，以A点为圆心OA为半径画圆，交x轴于点P，以OA=AP为腰，点P的坐标为m=2×3=6，当OP为腰时，以O为圆心，OA长为半径，画圆交x轴于两点P，点P在y轴左侧或右侧，22+2313∴m=13点P在y轴右侧，以OA为底，作AO的垂直平分线交x轴与P，过A作AB⊥x轴，()22+-23m则m=()2223m +-，解得m=136，综上，共有4个点P ，即m 有4个值，故选择：C.【点睛】本题考察等腰三角形的性质，解题时分两种情况进行讨论，注意以点A 、O 为顶角顶点时应以点为圆心画弧线，避免有遗漏．4．A解析：A【分析】根据角平分线的作图方法解答即可；【详解】根据角平分线的作法可知，OM=ON ，CM=CN ，又∵OC 是公共边，∴△OMC ≌△ONC 的根据是“SSS”，故选：A ．【点睛】本题考查了作图-基本做图，全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可以作判断．【详解】解：根据作图痕迹可知AE 和BF 为△ABC 的角平分线，O 为交点，根据三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可知点O 到ABC 三边的距离相等，故B 选项正确，符合题意，其它选项皆不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了基本作图-角的平分线、角平分线的性质，明确三角形的角平分线交于同一点，且交点到三边的距离相等．6．A解析：A【分析】①证明∠A=∠DCB ，AD=CD ，∠ADE=∠CDF ，根据ASA 证明△ADE CDF ≅∆得ED=FD ，从而可判断①；②运用SAS 证明△EDC FDB ≅∆，得到CE BF =，再由222CE CF EF +=即可判断②；③当DE AC ⊥时，DE最短，从而可得2CD DE CD ≤<，整理后代换即可判断③． 【详解】解：①∵,90CA CB ACB =∠=︒，∴△ABC 是等腰直角三角形∴∠45A B =∠=︒∵点D 是AB 的中点，∴,DA DB DC CD AB ==⊥，∠45DCB DCA =∠=︒∵∠EDF ADC =∠∴∠EDF EDC ADC EDC -∠=∠-∠∴∠ADE CDF =∠在△ADE 和△CDF 中A DCB AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE CDF ≅∆∴,DE DF AE CF ==∴△DEF 是等腰直角三角形∴∠45DEF =︒，故①正确；②∵∠90EDF CDB ︒=∠=∴∠EDF CDF CDB CDF -∠=∠-∠∴∠EDC FDB =∠在△EDC 与△FDB 中DE DF EDC FDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDC FDB ≅∆∴CE BF =∵222CE CF EF +=∴222BF AE EF ，故②正确；③∵△DEF 是等腰直角三角形，∴EF =∵当DE AC ⊥时，2DE ==最短，∴DE CD ≤< ∴CD ≤<即CD EF ≤<，故③错误； ∴综上，正确的是①②，故选：A ．【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质求解即可；【详解】∵60EDC ∠=︒，∴60EBD BED ∠+∠=︒，∵△BDE 是等腰三角形，∴30EBD BED ∠=∠=︒，1BD DE ==，∵△BEC 是等腰三角形，∴30EBD ECD ∠=∠=︒，∵60EDC ∠=︒，∴90DEC ∠=︒，在Rt △DEC 中，∵30ECD ∠=︒，1DE =，∴tan 30DEEC ==︒又∵AD 1， ∴AE AD DE EC =-==，∴△AEC 为等腰三角形，又∵90DEC AEC ∠=∠=︒，∴45ECA EAC ∠=∠=︒，∴453075ACB ACE ECD ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．8．C解析：C【分析】求出∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案．【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD 是高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=30°，∵BD=1，∴BC=2BD=2，∵在△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=AB-BD=4-1=3，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是得出BC=2BD 和AB=2BC ，难度适中．9．D解析：D【分析】根据MN 是AB 的垂直平分线，等腰三角形的性质、角平分线的性质逐条判断即可．【详解】解：由作图可知，MN 是AB 的垂直平分线，∴BD=AD ，BCD △的周长等于BC+DC+BD=BC+DC+AD=BC+AC ，∵AB AC =∴BCD △的周长=AB BC +，A 正确；∵AB AC =，36A ∠=︒，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD=AD ，∴36A ABD ∠=∠=︒，∠BDC=72°=∠C ，BC=BD=AD ，B 正确；∵36ABD CBD ∠=∠=︒，∴点D 到AB 、BC 的距离相等，∴::ABD CBD S S AB BC =△△C 正确； 如果12ED AB =，则DE=AE ， ∠A=45°，与题意不符，D 错误；故答案为：D ．【点睛】 本题考查了垂直平分线的作法和等腰三角形的性质与判定以及角平分线的性质，解题关键是熟知垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，并能够灵活运用这些知识进行推理． 10．A解析：A【分析】由等边三角形的性质可得AO ＝OB ＝AB ＝1，BC ＝BD ＝CD ，∠OBA ＝∠CBD ＝60°，可证△OBC ≌△ABD ，可得∠BAD ＝∠BOC ＝60°，可求∠EAO ＝60°，即可求OE 点E 坐标．【详解】解：∵△AOB ，△BCD 是等边三角形，∴AO ＝OB ＝AB ＝1，BC ＝BD ＝CD ，∠OBA ＝∠CBD ＝60°，∴∠OBC ＝∠ABD ，且OB ＝AB ，BC ＝BD ，∴△OBC ≌△ABD （SAS ），∴∠BAD ＝∠BOC ＝60°，∴∠EAO ＝180°−∠OAB−∠BAD ＝60°，在Rt △AOE 中，AO ＝1，∠EAO ＝60°，∠OEA=30°，∴AE=2 AO=2，∴∴点E 坐标(0，故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．11．D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．12．D解析：D【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°−25°＝65°．综上所述，顶角的度数为：65°或115°．故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．二、填空题13．【分析】设∠OAC=x∠CAB=y根据等腰三角形的性质则∠OCA=x∠OBA=x+y∠OBC=x+30°利用三角形内角和定理计算即可【详解】解：设∠OAC=x∠CAB=y∵OA=OC∴∠OCA=x∵解析：60．【分析】设∠OAC=x，∠CAB=y，根据等腰三角形的性质，则∠OCA=x，∠OBA=x+y，∠OBC=x+30°，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：设∠OAC=x，∠CAB=y，∵OA=OC，∴∠OCA=x，∵OA=OB ，∴∠OBA=x+y ，∵OC=OB ，∴∠OBC=x+30°，∵30ACB ∠=︒，∴∠CAB+∠OBA+∠OBC=150°，∴y+x+y+ x+30°=150°，∴2(x+y)=120°，∵∠AOB=180°-2∠OBA=180°-2(x+y)，∴∠AOB=180°-120°=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练应用性质，合理引进未知数，采用设而不求的思想计算是解题的关键．14．2【分析】作点M 关于AC 的对称点M′作点M 关于AB 的对称点M′′连接AMM′M′′M′M′′交AB 于点P′交AC 于点N′作AH ⊥BC 于点H 由对称性可知：当点M 固定时周长的最小值=M′M′′再推出M′解析：【分析】作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值= M′M′′，再推出，进而即可求解．【详解】如图，作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：MN′=M′N′，MP′=M′′P′，AM=AM′=AM′′，∴当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值=MN′+MP′+N′P′= M′N′+M′′P′+N′P′= M′M′′， ∵45A ∠=︒，∠M′AC=∠MAC ，∠M′′AB=∠MAB ，∴∠M′A M′′=90°，即∆ M′A M′′是等腰直角三角形，∴M′M′′，∴当AM 最小时，M′M′′的值最小，即AM 与AH 重合时，M′M′′的值最小，∵60B ∠=︒，4AB =，AH ⊥BC ，∴∠BAH=30°，∴AH=AB 2M′M′′的值最小， ∴PMN ∆周长的最小值．故答案是：26．【点睛】本题主要考查轴对称—线段和的最小值，直角三角形的性质，作点M关于AB，AC的对称点，把PMN∆周长化为两点间的线段长，是解题的关键．15．①②③④【分析】由在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+解析：①②③④【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③1902BOC A∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°12-∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确．∴AM=AD ，BM=BN ，CD=CN ，∵AM+BM=AB ，AD+CD=AC ，BN+CN=BC ，∴AD=12（AB+AC -BC ）故④正确， 故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．ACDE 同位角相等两直线平行；两直线平行内错角相等；；EB 内错角相等两直线平行【分析】由平分可得由可得可推出利用平行线性质可得由利用传递性可得利用判定定理可得【详解】证明：理由如下：平分（已知）（已解析：1∠，AC ，DE ，同位角相等，两直线平行；1∠，两直线平行，内错角相等；1∠，E ∠；EB,内错角相等，两直线平行【分析】由DE 平分,BDC ∠可得1 2.∠=∠由2,BDC A ∠=∠可得2,A ∠=∠可推出AC //DE,利用平行线性质可得13,∠=∠由3,E ∠=∠利用传递性可得1 E.∠=∠利用判定定理可得//BE CD ．【详解】证明：理由如下： DE 平分,BDC ∠（已知）_1 2.∴∠=∠2,BDC A ∠=∠（已知）2,A ∴∠=∠（等量代换）AC //DE,∴（同位角相等，两直线平行）13,∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）又3,E ∠=∠（已知）1 E.∴∠=∠（等量代换）//BE CD ∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：1∠；AC DE,，同位角相等，两直线平行；1,∠两直线平行，内错角相等；1E ∠∠，；BE,内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角分线性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线性质是解题关键．17．【分析】由平行线的性质可得∠ADE=∠B 由AE=DE=1可得∠ADE=∠DAE 易得∠DAE=∠B 可得AC=BC 易得结果【详解】解：∵DE ∥BC ∴∠ADE ＝∠B ∵AE ＝DE ＝1∴∠ADE ＝∠DAE ∴∠解析：【分析】由平行线的性质可得∠ADE=∠B ，由AE=DE=1，可得∠ADE=∠DAE ，易得∠DAE=∠B ，可得AC=BC ，易得结果．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∵AE ＝DE ＝1，∴∠ADE ＝∠DAE ，∴∠DAE ＝∠B ，BC ＝3，∴AC ＝BC ＝3，∴CE ＝AC ﹣AE ＝3﹣1＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质等，关键是运用性质定理得出AC=BC=3．18．5或1【分析】如图设BM=x 首先证明BQ=AP 分两种情形利用勾股定理构建方程求解即可【详解】解：如图设BM ＝x 在Rt △ABC 中AB ＝10AC ＝6∴BC ＝＝＝8∵QB ∥AP ∴∠A ＝∠OBQ ∵O 是AB 的解析：5或1【分析】如图，设BM=x ，首先证明BQ=AP ，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．【详解】解：如图，设BM ＝x ，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，∴BC ＝22AB AC -＝22106-＝8，∵QB ∥AP ，∴∠A ＝∠OBQ ，∵O 是AB 的中点，∴OA ＝OB ，在△OAP 和△OBQ 中，A OBQ OA OBAOP BOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAP ≌△OBQ （ASA ），∴PA ＝BQ ＝6﹣1＝5，OQ ＝OP ，∵OM ⊥PQ，∴MQ ＝MP ，∴52+x 2＝12+（8﹣x ）2，解得x ＝2.5．当点P 在AC 的延长线上时，同法可得72+x 2＝12+（8﹣x ）2，解得x ＝1，综上所述，满足条件的BM 的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 19．【分析】根据等边对等角和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论【详解】解：根据题意：在△ABC 中AB=AC ∴∠B=∠C ∵AE=AD ∴∠ADE=∠AED ∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC 化简可得解析：12α 【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论．【详解】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC，化简可得：∠α=2∠EDC，∴∠EDC=12α，故答案为：12 ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，关键是熟悉三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的知识点．20．②④【分析】由平行线得到角相等由角平分线得角相等根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案【详解】解：∵EF∥BC∴∠EDB=∠DBC∠FDC=∠DCB∵∠ABC与∠ACB的平分线交于解析：②④【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∴∠EDB =∠EBD，∠FCD=∠FDC，∴ED=EB，FD=FC，即△BED和△CFD都是等腰三角形；故②正确；∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AB+AC；故④正确；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠DBC不一定等于∠DCB，∴BD与CD不一定相等，故①错误．∵BE与CF无法判定相等，∴ED与DF无法判定相等，故③错误；综上，正确的有②④．故答案为：②④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．【详解】（1）∵,,AB AC BD CE 分别是,AC AB 上的中线，∴BE=CD ，∠EBC=∠DCB ，∵BC=CB ，∴△EBC ≌△DCB ，∴∠ECB=∠DBC ，∴OB=OC ；（2）设AO 与DE 的交点为F ，∵△EBC ≌△DCB ，∴EC=DB ，∵OB=OC ；∴OD=OE ，∴点O 在线段DE 的垂直平分线上，∵AE=AD ，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，∴直线AO 是线段DE 的垂直平分线，∴OA 垂直平分DE ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．22．（1）见解析;（2）18【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”和等边对等角的性质即可得到∠EAD=∠CAD ，从而得到平行；（2）根据三角形的中位线和勾股定理分别求出△AED 的边长即可．【详解】（1）证明：∵AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD=∠CAD ，∵AE =DE ，∴∠EAD=∠EDA ，∴∠EDA=∠CAD ，∴DE//AC ；（2）∵AD 是BC 边上的中线，即D 是BC 的中点，DE//AC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∵BE=5，∴AE=DE=5，AB=10，∵AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，BC=12∴AD ⊥BC ，BD=CD=6， ∴8AD ==， ∴△AED 的周长为5+5+8=18．【点睛】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，注意等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．23．（1）DE BD CE =+；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到90BAD CAE ∠+∠=︒，根据等角的余角相等得到ABD CAE ∠=∠，再证明()ADB CEA AAS ≌△△，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据条件证明()BAD ACE AAS ≌即可得解；（3）根据等边三角形的判定证明即可；【详解】解：（1）DE BD CE =+，理由：∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADB CEA AAS ≌△△， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+，故答案为DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立；理由如下：∵BAD CAE 180BAC ∠∠∠+=︒-，BAD ABD 180ADB ∠∠∠+=︒-，90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠， 在BAD 和ACE 中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴()BAD ACE AAS ≌， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE DA AE BD CE =+=+；（3）DFE △为等边三角形，理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，∴BD AE =，ABD CAE ∠=∠，∴ABD FBA CAE FAC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，在FBD 和FAE 中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FBD FAE SAS ≌，∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DFE 为等边三角形．【点睛】 本题主要考查了三角形综合，结合三角形全等证明、等边三角形的判定是解题的关键． 24．（1）70°；（2）32 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ，再利用平角定义可得∠BCF =90°，进而可得CB ⊥CF ，计算出∠ACB 的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；（2）利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE 的度数，根据∠4的度数可得结果．【详解】解：（1）∵BC 平分∠ACD ，CF 平分∠ACG ，∴∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ， ∵∠ACG +∠ACD =180°，∴∠ACF +∠ACB =90°，∴CB ⊥CF ，∵∠BAC =40°，∵CD//AB ，∴∠ACG =40°，∴∠ACF =20°，∴∠ACB =90°-20°=70°，∴∠BCD =70°，∵CD ∥AB ，∴∠2=∠BCD =70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°；（2）∵∠BCD =70°，∴∠ACB =70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE =30°，∵CF 平分∠ACG ，∴∠ACF =∠4=20°， ∴4ACE ∠∠=3020︒︒=32． 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF 是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）由AAS 证明△ACD ≌△CBF 即可；（2）由全等三角形的性质得CD ＝BF ，由CD ＝BD ，得BF ＝BD ，证出∠ABC ＝∠ABF ，由等腰三角形的性质即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得AD ＝CF ，由垂直平分线的性质得AD ＝AF ，得出AF ＝CF 即可．【详解】（1）证明：∵CE ⊥AD ，∠BCF +∠ADC ＝90°，∵∠BCA ＝90°，BF ∥AC ，∴∠CBF ＝180°﹣∠BCA ＝90°，∴∠BCF +∠CFB ＝90°，∴∠CFB ＝∠ADC ，在△ACD 和△CBF 中，ACD CBF ADC CFB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBF （AAS ）；（2）证明：由（1）得：△ACD ≌△CBF ，∴CD ＝BF ，∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD ，∴BF ＝BD ，∵∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABF ＝90°﹣∠ABC ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABF ，∵BF ＝BD ，∴AB 垂直平分DF ；（3）解：△ACF 是等腰三角形，理由如下，如图：连接AF由（1）得：△ACD ≌△CBF ，∴AD ＝CF ，由（2）得：AB 垂直平分DF ，∴AD ＝AF ，∴AF ＝CF ，∴△ACF 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理是解题关键．26．见解析【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE= BE∴AE=EF【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．。
八年级数学下册第一章三角形的证明检测题新版北师大版
7．已知△ABC 的三边长分别为 4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分
割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(B)
A．3 条 B．4 条 C．5 条 D．6 条
8．已知等边△ABC 的边长为 12，D 是 AB 上的动点，过 D 作 DE⊥AC 于点 E，过 E 作 EF
解：(1)∵DE 是线段 AB 的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE 平分∠ BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60° －30°＝90°
(2)∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE 平分∠BAC，CE＝1，∴AC＝ 3，∴AB＝2 3
证明：过点 A 作 AP⊥BC 于 P.∵AB＝AC，∴BP＝PC，∴AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP－DP＝ PC－PE，∴BD＝CE
18．(7 分)(成都期末)如图，在△ABC 中，∠B＝30°，边 AB 的垂直平分线分别交 AB 和 BC 于点 D，E，且 AE 平分∠BAC.
(1)求∠C 的度数；(3 分) (2)若 CE＝1，求 AB 的长．(4 分)
,第 12 题图)
,第 13 题图)
,第
14 题图) 13．如图，已知点 B，C，F，E 在同一条直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF， 还需添加一个条件，这个条件可以是 AC＝DF(答案不唯一)．(只需写出一个) 14．如图，△ABC 的周长为 22 cm，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，垂足为 D，若△BCE 的周长为 14 cm，则 AB＝8 cm. 15．如图，在△ABC 中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D 是 BC 边上的中点，E 是 AB 边上 一动点，则 EC＋ED 的最小值是 5.
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题
·1.4角平分线一、选择题1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条角平分线的交点2.如图，在△ABC中，＝90°，AE平分， CE＝6，则点E到AB的距离是（）A. 8B. 7C. 6D. 53.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是（）A. 点F在BC边的垂直平分线上B. 点F在∠BAC的平分线上C. △BCF是等腰三角形D. △BCF是直角三角形4.△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD：DC=9：7，则点D到AB的距离为（）A. 18cmB. 16cmC. 14cmD. 12cm5.如图，直线a，b，c表示交叉的公路，现要建一货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有（）A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处6.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是（）A. PD=PEB. P E=OEC. ∠DPO=∠EOPD. PD=OD 7.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5,DE=2，则△BCE的面积等于（）A. 5B. 7C. 10D. 38.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD=10，AC=8,CD=6,则点D到AB边的距离是（）A. 8B. 7C. 6D. 无法确定9.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1=8，ED=2，AC=3，则AB 10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC的长是（）A. 5B. 6C. 7D. 811.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（）A. 6B. 12C. 18D.24二、填空题12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，AC=5，DC=3，则点D到AB的距离是________．13.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P 到边OB的距离为________．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD=2，则△ABD的面积为________ ．15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD：DC=3:2，则点D到AB的距离________cm．16.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD=2，BC=5，则△BCD的面积是________．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若BD=5，BC=4，则点D到边AB的距离为________．18.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=70°，则∠BOC的度数为________．19.表示三条相互交叉直线工路上，现要建一个货运中转站，要求它到三条公路的距离相等，则选择的地址有________处．20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是________．21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④DA平分∠CDE；⑤S△ABD ：S△ACD=AB：AC．其中，正确的有________个．三、解答题22.如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：BD=CD．23.现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．24.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．25.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．（1）求证：S△ABD ：S△ACD=AB：AC；（2）若AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．答案：1. A2.C3.B4.C5.D6.A7.A8.C9.C10.A 11.C 12.3 13.6 14.8 15.4 16.517.318.125° 19.4 20.30 21.522.证明：∵PB⊥BA，PC⊥CA在Rt△PAB与Rt△PAC中∴Rt△PAB≌Rt△PAC（HL）∴∠APB=∠APC在△PBD与△PCD中∴△PBD≌△PCD（SAS）∴BD=CD23.解：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，则P为这个中心医院的位置．24.证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．25.（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，（2）解：∵S△ABD ：S△ACD=AB：AC=BD：CD，∵BC=6，掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。
八年级数学下册第一章三角形的证明检测题新版北师大版
第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．满足下列条件的三角形不是直角三角形的是(A)A．三个内角之比为3∶4∶5B．三边之比为3∶4∶5C．三个内角之比为1∶2∶3D．三边之比为1∶2∶ 32．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于(A)A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm错误!,第5题图) ,第6题图)3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝2，则AB的长为(C)A．1B.2C．2D．44．下列命题的逆命题为假命题的是(D)A．等腰三角形“三线合一”B．角平分线上的点到角两边距离相等C．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．全等三角形对应角相等5．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为(A)A．1B．2C．3D．无法确定6．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠BAC＝60°，∠ECD ＝40°，则∠ABE＝(C)A．10°B．15°C．20°D．25°7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D，E 两点，若BD＝2，则AC的长是(C)A．23B．33C．43D．8 3,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，若∠B＝70°.则∠BCE的度数为(B)A ．55°B ．50°C ．40°D ．35°9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是△ABC 内的两点，AD 平分∠BAC，∠EBC ＝∠E ＝60°.若BE ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BC 的长为(C)A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．12cm10．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD⊥AC 于点D ，下列结论：①EF＝BE ＋CF ；②∠BOC＝90°＋12∠A；③点O 到△ABC 各边的距离都相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn ；⑤S △EOB＝S FOC .其中，正确的有(B)A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知：在△ABC 中，AB ≠AC ，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设∠B ＝∠C．12．如图，已知AB⊥CD，垂足为B ，BC ＝BE ，若直接应用“HL ”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC ＝DE ．,第12题图) ,第13题图),第14题图)13．如图，AB ∥CD ，O 为∠BAC，∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于点E ，且OE ＝1，则AB 与CD 之间的距离等于____．14．如图，在△ABC 中，AB ，AC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O ，若∠BAC 等于84°，则∠OBC＝____.15．(2018·长春)如图，在△ABC 中，AB ＝AC.以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB 的大小为 度．,第15题图) ,第16题图),第17题图) ,第18题图)16．如图，在等边△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，已知AB ＝8，则BF 的长为____．17．如图，在平面直角坐标系中，OA ＝OB ＝5，AB ＝10.若点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为(－2，1)．18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，点D 为AB 的中点，且OD⊥AB，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF(点E 在BC 上，点F 在AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为____度．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知AB ＝CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BF ＝DE.求证：AB∥CD.证明：∵AE⊥BD，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD＝90°. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋FE ＝DE ＋EF ，即BE ＝DF.在Rt △AEB 和Rt △CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，AB ＝CD ，∴Rt △AEB≌Rt △CFD(HL)，∴∠B ＝∠D，∴AB ∥CD.20．(6分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，O 是BD 与CE 的交点，求证：BO ＝CO.证明：∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠CEB＝90°， 在△BCE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC＝∠ACB，∠CEB ＝∠BDC＝90°，BC ＝CB ，∴△BCE ≌△CBD(AAS)，∴∠BCE ＝∠CBD，∴BO ＝CO.21．(8分)如图，已知点A，B在直线l的两侧，按要求作图．(保留作图痕迹，不要求写作法)(1)在直线l上求作一点P，使PA＝PB；(2)在直线l上求作一点Q，使l平分∠AQB.解：作图略．22．(8分)某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港“海天”号每小时航行12海里．它口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解：设港口位于点O，两轮船离开港口1小时后，“海天”号到达点A，“远航”号到达点B，如图所示，则OA＝12×1＝12海里，OB＝16×1＝16海里，AB＝20海里．∵AB2＝202＝400，OA2＋OB2＝122＋162＝400，∴OA2＋OB2＝AB2，则△OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°.∴点A的位置有两种(如图点A1，A2)，∵“远航”号沿东北方向航行，∴∠1＝45°.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°.∴“海天”号沿西北方向或东南方向航行．23．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC.(1)求证：AE＝EC；(2)若DE＝2，求BC的长．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∠BAC＝120°.∵AB⊥AD，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DA＝DC.∵DE⊥AC，∴AE＝EC.(2)∵∠C＝30°，DE⊥AC，∴DC＝2DE＝4，∴AD＝4.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8，∴BC＝BD＋DC＝12.24．(8分)如图，△ABC为等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若AB＝1，求DE的长．解：(1)证明：点过P 作PF∥BC 交AC 于点F ， ∴∠AFP ＝∠ACB，∠FPD ＝∠Q，∠PFD ＝∠QCD. ∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB＝60°，∴∠A ＝∠AFP＝60°，∴△APF 是等边三角形．∴AP＝PF. ∵AP ＝CQ ，∴PF ＝CQ.在△PFD 和△QCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PFD＝∠QCD，PF ＝QC ，∠FPD ＝∠Q，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ.(2)∵△APF 是等边三角形，PE ⊥AC ， ∴AE ＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD ＝DF ， ∴DE ＝EF ＋DF ＝12AC.∵△ABC 为等边三角形，AB ＝1， ∴AC ＝1，∴DE ＝12.25．(10分)如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H.(1)线段BH 与AC 相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由；(2)求证：BG 2－GE 2＝EA 2.解：(1)BH ＝AC ，证明如下：∵CD⊥AB，BE ⊥AC ，∴∠BDH ＝∠BEC＝∠CDA＝90°.∵∠ABC ＝45°，∴∠BCD ＝180°－90°－45°＝45°＝∠ABC，∴DB ＝DC. ∵∠BDH ＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠A ＋∠ACD＝90°，∠A ＋∠HBD＝90°， ∴∠HBD ＝∠ACD.在△DBH 和△DCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDH＝∠CDA，BD ＝CD ，∠HBD ＝∠ACD，∴△DBH ≌△DCA(ASA)，∴BH ＝AC.(2)证明：连接CG ，由(1)知，DB ＝CD ，∵F 为BC 的中点，∴DF 垂直平分BC ，∴BG ＝CG.∵BA ＝BC ，BE ⊥AC ，∴EC ＝EA.在Rt △CGE 中，由勾股定理，得CG 2－GE 2＝CE 2，∵CE ＝AE ，BG ＝CG ，∴BG 2－GE 2＝EA 2.26．(12分)已知△ABC 是等边三角形，过点C 作CD∥AB，且CD ＝AB ，连接BD 交AC 于点O.(1)如图①，求证：AC 垂直平分BD ；(2)点M 在BC 的延长线上，点N 在AC 上，且ND ＝NM ，连接BN. ①如图②，若点N 在线段CO 上，求∠NMD 的度数； ②如图③，若点N 在线段AO 上，求证：NA ＝MC.解：(1)证明：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵CD ∥AB ，∴∠ABO ＝∠CDO.∵∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，∴∠CBO ＋∠CDO＝60°， ∴∠BCD ＝120°，∴∠ACD ＝∠ACB＝60°.∵CD ＝AB ＝BC ，∴BO ＝DO ，CO ⊥BD ，∴AC 垂直平分BD.(2)①由(1)知，AC 垂直平分BD ，∴NB ＝ND ，∠CBD ＝12∠ABC＝30°，∴∠DBN ＝∠NDB，∴∠BND ＝180°－2∠NBD.∵ND＝NM ，∴NB ＝NM ，∴∠NBM ＝NMB ，∠BNM ＝180°－2∠NBM，∴∠DNM ＝360°－180°＋2∠NBD－180°＋2∠NBM＝2(∠NBD＋∠NBM)＝60°.②连接AD ，由题意知，△ACD 是等边三角形，∴∠ADC ＝60°，AD ＝CD.与(1)同理可证∠NBO＝∠NDO，∠NMB ＝∠NBM，∠BND ＝180°－2∠NBO，∠BNM ＝180°－2∠NBM，∴∠MND ＝∠BND－∠BNM＝2(∠NBM－∠NBO)＝60°.∵ND ＝NM ，∴△MND 是等边三角形，∴DN ＝DM ，∠NDM ＝60°，∠ADC ＝∠NDM，∴∠NDA ＝∠MDC，在△AND 与△MDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DN ＝DM ，∠NDA ＝∠MDC，AD ＝DC ，∴△AND ≌△CMD ，∴NA ＝MC.。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题
第一章三角形的证明一、选择题 (本大题共 8 小题，每题 4 分，共 32 分 )1．以下命题的抗命题是真命题的是()A ．假如 a＞ 0， b＞ 0，则 a＋b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若 a＝b，则 |a|＝ |b|2．如图 1， AB⊥ AC 于点 A， BD⊥ CD 于点 D，若 AC＝BD，则以下结论中不正确的选项是 ()图 1A ．∠ A＝∠ D B．∠ ABC＝∠ DCBC．OB＝OD D．OA＝OD3．假如等腰三角形的一个外角为140°，那么该等腰三角形的底角为 () A．40°B．60°C．70°D．40°或 70°4．如图 2，一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里抵达 B 地，再由 B 地向北偏西 20°的方向行驶 40 海里抵达 C 地，则 A，C 两地相距()图2 A．30 海里B．40 海里C．50 海里D．60 海里5．如图3，在△ABC中， AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB 的垂直均分线交AC 于点D，则△ BDC 的周长是 ( )图 3A．9B．10C．11D．156．如图 4，在△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ A＝30°，BD 为△ ABC 的角均分线，若 AC＝ 12，则△ ABD 中 AB 边上的高为 ()图 4A．3B．4C．5D．67．如图 5，AD 是△ ABC 的角均分线， DE⊥ AB 于点 E，DF ⊥AC 于点 F，S△ABC ＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是 ()图 5A ．6 B．5 C．4 D．38．如图 6，长方体的底面边长分别为2 cm 和 3 cm，高为 6 cm.假如用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面环绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要()图 6A ．11 cm B．2 34 cmC．(8＋2 10)cm D．(7＋ 3 5)cm二、填空题 (本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 )9．在△ ABC 中，AB＝AC，BC＝ 4，∠ A＝ 60°，则△ ABC 的周长是 ________．10．用反证法证明“一个三角形中不行能有两个角是直角”时，第一步应假定____________．11．如图 7，已知 OC 均分∠ AOB，CD∥OB，若 OD＝6 cm，则 CD 的长为________cm.图 712.如图 8，△ ABC 的边 AB，AC 的垂直均分线订交于点P，连结 PB， PC.若∠A＝75°，则∠ BPC 的度数是 ________．图 813．如图 9，在长方形 ABCD 中， AB＝2，BC＝3，对角线 AC 的垂直均分线分别交 AD，BC 于点 E，F，连结 CE，则 CE 的长为 ________．图 914．如图 10，∠ BOC＝60°，A 是 BO 延伸线上的一点， OA＝ 10 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm/s 的速度挪动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1 cm/s 的速度挪动，假如点 P，Q 同时出发，用 t s 表示挪动的时间，当 t＝ ________时，△POQ是等腰三角形．图 10三、解答题 (本大题共 3 小题，共 38 分 )15．(12 分)如图 11，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°， AE 均分∠ CAB，EF⊥AB 于点 F.若 AC＝ 12，BC＝16，CE＝6.(1)求 EF 的长；(2)求△ AEB 的面积．图 1116．(12 分 )如图 12，AD 为△ ABC 的角均分线， DE⊥ AB 于点 E，DF⊥ AC 于点 F，连结 EF 交 AD 于点 O.(1)求证： AD 垂直均分 EF；(2)若∠ BAC＝ 60°，写出 DO 与 AD 之间的数目关系，并证明．图 1217．(14 分 )如图 13 所示，在△ ABC 中，∠ A＝90°，∠ B＝ 30°， AC＝6 cm，点 D 从点 A 开始以 1 cm/s 的速度向点 C 运动，点 E 从点 C 开始以 2 cm/s 的速度向点 B 运动，两点同时运动，同时停止，运动的时间为 t s，过点 E 作 EF∥ AC 交 AB 于点 F.(1)当 t 为什么值时，△ DEC 为等边三角形？(2)当 t 为什么值时，△ DEC 为直角三角形？(3)求证： DC＝EF.图 13答案1．2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．D 8．B9． 1210．一个三角形中有两个角是直角11． 612． 150°1313． 61014．3或1015．解： (1)∵∠ C＝90°，∴ AC⊥ BC.又 AE 均分∠ CAB，EF⊥AB，∴EF＝CE.又 CE＝6，∴ EF＝6.(2)在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，AC＝12，BC＝16， CE＝ 6，∴BE＝BC－CE＝16－6＝10，∴S△AEB＝1·＝1× ×＝2BE AC 21012 60.16．解： (1)证明：∵ AD 为△ ABC 的角均分线，DE⊥ AB， DF⊥ AC，∴DE＝DF ，∠ AED＝∠ AFD＝90°.在 Rt △AED 和 Rt △AFD 中，∵DE＝DF，AD＝AD，∴R t△ AED≌Rt△AFD(HL) ，∴ AE＝ AF.∵DE＝DF，AE＝AF，∴点 A， D 都在 EF 的垂直均分线上，∴AD 垂直均分 EF.1(2)DO＝4AD.1 证明：∵ AD 为△ ABC 的角均分线，∠ BAC＝60°，∴∠ EAD＝30°，∴DE＝2 AD.∵∠ EAD＝30°，DE⊥AB，AD⊥EF，∴∠ DEO＝30°，1 1∴DO＝2DE，∴DO＝4AD.17．解：由题意得 AD＝t cm，CE＝2t cm，则 DC＝(6－ t)cm.在△ ABC 中，∵∠ A＝90°，∠ B＝30°，∴∠ ACB＝ 60°.(1)若△ DEC 为等边三角形，则CE＝ DC，∴2t＝6－t，解得 t＝ 2，∴当 t 为 2 时，△ DEC 为等边三角形．(2)若△ DEC 为直角三角形，当∠ CED＝ 90°时，∵∠ ACB＝60°，∴∠ CDE＝ 30°，∴CE＝1，∴＝1－，解得＝；2DC 2t 2(6 t) t当∠ CDE＝90°时，同理可得∠ CED＝30°，1∴2CE＝ DC，1∴2×2t＝ 6－ t，∴ t＝3，∴当 t 为 1.2 或 3 时，△ DEC 为直角三角形．(3)证明：∵∠ A＝90°，∠ B＝30°， AC＝ 6 cm，∴BC＝12 cm，∴BE＝(12－2t)cm.∵EF∥AC，∴∠ BFE＝∠ A＝90°.∵∠ B＝30°，1 1∴EF＝2BE＝2(12－2t)＝(6－t)cm.∵DC＝(6－ t)cm，∴DC＝EF.。
北师大版八年级下《第一章三角形的证明》单元测试题(有答案)-(数学)
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.A . ①B . ②C .③D . ①和②2．下列说法中，正确的是（）.A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE =3cm ，那么AC 长为（）.A ．4cmB ．5cmC ．8cmD ．34cm4．如图3，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（）.A ．045 B ．055 C ．060 D ．0755．如图4，在ABC ∆中，AB=AC ，036A ∠=，BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）. A ．9个 B ．8个 C ．7个 D ．6个6．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处7．如图6，A 、C 、E 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；② CM ＝CN ；③ AC ＝DN. 其中，正确结论的个数是（）.A ．3个B ．2个C ． 1个D ．0个8．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC ∆≌EDC ∆，得ED=AB. 因此，测得DE 的长就是AB 的长，在这里判定ABC ∆≌EDC ∆的条件是( ). A ．ASA B ．SAS C ．SSS D ．HL9．如图8，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的位置，BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ∆）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC又∵BDE ∆与BDC ∆关于BD 对称，∴23∠=∠. ∴BDF ∆是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）. ①12∠=∠；②13∠=∠；③34∠=∠；④BDC BDE ∠=∠ A ．①③ B ．②③ C ．②① D ．③④10.如图9，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h . 张红的作法是：（1）作线段BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ，AC ，则△ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.A . （1）B . （2）C . （3）D . （4）二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）1．如图10，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使 △ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是____________.2．如图11，在Rt ABC ∆中，090,BAC AB AC ∠==，分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ，CE ，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE 的长为_______.3．如图12，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 等于_________度. 4．如图13，在等腰ABC ∆中，AB=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BCE ∆的周长为50，则底边BC 的长为_________.5．在ABC ∆中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为050，则 底角B 的大小为________.6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________.8．如图15，在ABC ∆中，AB=AC ，0120A ∠=，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么DE+DF= _______cm. 9．如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于点E ，若4BE =，则AC =_______ .10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）1．（7分）如图18，在∆ABC 中，090ACB ∠=，CD 是AB 边上的高，030A ∠=. 求证：AB= 4BD.2．（7分）如图19，在∆ABC 中，090C ∠=，AC=BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm. 你能否求出BDE ∆的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3．（10分）如图20，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点， BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD .(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．的命题： 命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号). (2)证明你写出的命题. 已知：求证： 证明：4．（8分）如图21，在ABC ∆中，090A ∠=，AB=AC ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E.求证：12CE BD =.5．（8分）如图22，在∆ABC 中，090C ∠=.（1）用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等. （保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠A 的度数.6．（8分）如图23，090AOB ∠=，OM 平分AOB ∠，将直角三角板的顶 点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问 PC 与PD 相等吗？试说明理由.四、拓广探索（本大题12分）如图24，在∆ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ， 交BC 的延长线于点M ，若040A ∠=. （1）求NMB ∠的度数；（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求NMB ∠的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？答案：一、精心选一选，慧眼识金 1．C ； 2．B ；3．D ．点拨：BC=BE=3cm ，AB=BD=5cm ； 4．C ．点拨：利用ABD ∆≌BCE ∆； 5．B ；6．D ．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件； 7．B ．点拨：①②正确； 8．A ； 9．C ；10．C ．点拨：在直线MN 上截取线段h ，带有随意性，与作图语言的准确性不相符. 二、细心填一填，一锤定音1．答案不惟一.如ACB DBC ∠=∠； 2．7厘米. 点拨：利用ABD ∆≌CAE ∆；3．030；4．23．点拨：由27BE CE AC AB +===，可得502723BC =-=；5．070或020.点拨；当ABC ∆为锐角三角形时，070B ∠=；当ABC ∆为钝角三角形时，020B ∠=； 6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理； 7．154cm . 点拨：设CD x =，则易证得10BD AD x ==-.在Rt ACD ∆中，222(10)5x x -=+，解得154x =. 8．10．点拨：利用含030角的直角三角形的性质得，()1122DE DF BD CD BC +=+=. 9．2. 点拨：在Rt AEC ∆中，030AEC ∠=，由AE=BE= 4，则得AC=2； 10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步. 三、耐心做一做，马到成功1．∵090ACB ∠=，030A ∠=，∴AB=2BC ，060B ∠=. 又∵CD ⊥AB ，∴030DCB ∠=，∴BC=2BD.∴AB= 2BC= 4BD. 2．根据题意能求出BDE ∆的周长.∵090C ∠=，090DEA ∠=，又∵AD 平分CAB ∠，∴DE=DC.在Rt ADC ∆和Rt ADE ∆中，DE=DC ，AD=AD ，∴Rt ADC ∆≌Rt ADE ∆（HL ）. ∴AC=AE ，又∵AC=BC ，∴AE=BC.∴BDE ∆的周长DE DB EB BC EB AE EB AB =++=+=+=. ∵AB=6cm ，∴BDE ∆的周长=6cm . 3．（1）①，③；②，④.（2）已知：D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD. 求证：OB ＝OC ，BE ＝CD .证明：∵AB=AC ，∠ABE ＝∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）.∴BE=CD. 又∵ABC ACB ∠=∠，∴BCD ACB ACD ABC ABE CBE ∠=∠-∠=∠-∠=∠∴BOC ∆是等腰三角形，∴OB ＝OC. 4．延长CE 、BA 相交于点F.∵0090,90EBF F ACF F ∠+∠=∠+∠=，∴EBF ACF ∠=∠.在Rt ABD ∆和Rt ACF ∆中，∵DBA ACF ∠=∠，AB=AC ，∴Rt ABD ∆≌Rt ACF ∆（ASA ）. ∴BD CF =.在Rt BCE ∆和Rt BFE ∆中，∵BE=BE ，EBC EBF ∠=∠， ∴Rt BCE ∆≌Rt BFE ∆（ASA ）. ∴CE EF =. ∴1122CE CF BD ==. 5．（1）图略. 点拨：作线段AB 的垂直平分线. （2）连结BP.∵点P 到AB 、BC 的距离相等， ∴BP 是ABC ∠的平分线，∴ABP PBC ∠=∠.又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴PA=PB ，∴A ABP ∠=∠. ∴00190303A ABP PBC ∠=∠=∠=⨯=. 6．过点P 作P E ⊥OA 于点E ，P F ⊥OB 于点F.∵OM 平分AOB ∠，点P 在OM 上，∴PE=PF.又∵090AOB ∠=，∴090EPF ∠=.∴EPF CPD ∠=∠，∴EPC FPD ∠=∠.∴Rt PCE ∆≌Rt PDF ∆（ASA ），∴PC=PD. 四、拓广探索（1）∵AB=AC ，∴B ACB ∠=∠.∴()()000011180180407022B A ∠=-∠=-=. ∴000090907020NMB B ∠=-∠=-=.（2）解法同（1）.同理可得，035NMB ∠=. （3）规律：NMB ∠的度数等于顶角A ∠度数的一半.证明：设A α∠=.∵AB=AC ，∴B C ∠=∠，∴()011802B α∠=-. ∵090BNM ∠=，∴()00011909018022NMB B αα∠=-∠=--=. 即NMB ∠的度数等于顶角A ∠度数的一半.（4）将（1）中的A ∠改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.。
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2014-2015新北师大版八年级数学下册三角形的证明检测题
班级姓名分数
一、填空题(每空3分，共36分)
1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝度．
2．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是度．
3．如图，AB＝AD，只需添加一个条件，就可以判定△ABC≌△ADE.
4．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点，且DA＝DB，DC＝AC．则∠B ＝度．
(第3题图) (第5题图) (第6题图) 6．如图,△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,∠A＝30°,BD＝1.5cm，则
AD= cm．
7．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，AB＝6cm，则BC＝cm．
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝度.
9．等边△ABC的周长为12cm，则它的面积为cm2．
10．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则
BC＝.
(第10题图) (第11题图)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB 于E，若DB＝10cm，则AC＝.
12．命题“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是。
二、选择题(每空3分，共24分)
13．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
14．下列命题中正确的是( )
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等D．一边对应相等的两个等边三角形全等15．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是( )
A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等
B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
D．以上说法都是错误的
16．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是( )
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2，3D．2，2，4
17．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD．若△ABC不动，将△BDC绕B 点旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为( )
A．AE＝CD B．AE>CD C AE<CD D．无法确定
（第17题图）（第18题图）
18．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则( )
A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定
19．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是( )
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
20．已知△ABC中，A B＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为( )
A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm 三、解答题(6+6+6+6+8+8分，共40分)
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．
22．已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．
23．已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．求证：AD＝BE．
24．求证：等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两个端点的距离相等．
25．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、B 都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．你知道线段AD、DE、BE的关系吗？证明你的结论。
26. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．
(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一
个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；
(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．。