2019年高中数学第六章推理与证明章末检测湘教版选修2-2
2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第6章 章末小结 Word版含解析
1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．5．直接证明——数学归纳法(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可，由n＝k⇒n＝k＋1时必须使用归纳假设，否则不算是数学归纳法．(2)数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．[例1] 给出下面的数表序列：表1 1 表21 34表3 …1 3 54 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．[解] 表4为1 3 5 74 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2] 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .[解析] 分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91. [答案]91解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12， 所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1. 答案：37 3n 2－3n ＋12.如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数S 3为28，按其规律再画下去，可得n (n ∈N ＋)层六边形，试写出S n 的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为a n ， 则a n 是以5为首项，4为公差的等差数列， 则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1＝n [5＋5＋4(n －1)]2＋1＝2n 2＋3n ＋1(n ∈N ＋).[例3] 在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D . 求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[证明] 如右图所示，由射影定理， AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. ∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中， AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________.答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a 2＋b 2，把上述结论类比到空间，写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A -BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则此四面体的外接球半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.[例4] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8. [证明] 法一：(综合法) ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 法二：(分析法)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8， 只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4. 即证b a ＋a b≥2.由基本不等式可知，当a ＞0，b ＞0时，b a ＋ab ≥2成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．5．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)．(1)证明：函数f(x)的图象在y轴一侧；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是图象上的两点，证明：直线AB的斜率大于零．证明：(1)由a x－1>0，得a x>1.①当a>1时，x>0，函数图象在y轴右侧；②当0<a<1时，x<0，函数图象在y轴左侧．故函数图象总在y轴一侧．(2)由于k AB＝y1－y2x1－x2，又由x1<x2，故只需证y2－y1>0即可．因为y2－y1＝log a(a x2－1)－log a(a x1－1)＝log a a x2－1a x1－1.①当a>1时，由0<x1<x2，得a0<a x1< a x2，即0<a x1－1<a x2－1.故有a x2－1a x1－1>1，log aa x2－1a x1－1>0，即y2－y1>0.②当0<a<1时，由x1<x2<0，得a0>a x1>a x2>1.即a x1－1>a x2－1>0.故有0<a x2－1a x1－1<1，∴y2－y1＝log a a x2－1a x1－1>0，即y2－y1>0. 综上，直线AB的斜率总大于零.[例5]已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[证明]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故假设不成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．6．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．答案：A[例6] 已知数列{a n }满足：a 1＝1,4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9(n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)由(1)的结果猜想a n 用n 表示的表达式； (3)用数学归纳法证明(2)的猜想． [解] (1)由a 1＝1及a n ＋1＝9－2a n4－a n，得 a 2＝9－2a 14－a 1＝73，a 3＝9－2a 24－a 2＝9－2×734－73＝135，a 4＝9－2a 34－a 3＝9－2×1354－135＝197.所以a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)观察a1，a2，a3，a4的值，分母构成正奇数数列2n－1，分子构成首项为1，公差为6的等差数列，故猜想：a n＝6n－52n－1，n∈N＋.(3)用数学归纳法证明上面的猜想．①当n＝1时，a1＝6×1－52×1－1＝1，猜想正确．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想正确，即a k＝6k－5 2k－1.所以当n＝k＋1时，a k＋1＝9－2a k4－a k＝9－2·6k－52k－14－6k－52k－1＝6(k＋1)－52(k＋1)－1.这就是说n＝k＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意正整数n都成立．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．7．在数列{a n}中，a1＝12，a n＋1＝3a na n＋3，求a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：a1＝12＝36，a2＝37，a3＝38，a4＝39，猜想a n＝3n＋5，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，即a k＝3k＋5，则当n＝k＋1时，a k＋1＝3a ka k＋3＝3·3k＋53k＋5＋3＝3(k＋1)＋5，所以当n＝k＋1时猜想也成立．由①②知，对n∈N＋，a n＝3n＋5都成立．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．答案：C2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．答案：D3．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)”时，第一步验证n＝1时，左边应取的项为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时，左边的最后一项为4，故为1＋2＋3＋4.答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.答案：A6．用数学归纳法证明“1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).答案：D7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 019的末两位数字为( ) A ．01 B ．43 C ．07D ．49解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，78＝5 764 801，… ∴7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4， 记7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数为f (n )，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， ∴72 019与73的末两位数相同，均为43.8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a ·b ＝b ·a ； ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确， ②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．答案：B9．已知a >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n . 答案：B10．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63， 此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64， 故AO ∶OM ＝64∶612＝3.11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840D.11 260解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110，⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110＝1840. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________．答案：在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→＋AD ―→)14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…， ∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2. 答案：n 216．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②当报出的数为3的倍数时，则报该数的同学需拍手一次． 当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．解析：设报出的第n 个数为a n ，则有a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋.a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，…，所以a 4，a 8为3的倍数，a 12＝a 10＋a 11＝2a 10＋a 9＝2a 8＋3a 9也为3的倍数，可得规律a 4m ( m ∈N ＋)为3的倍数．则当第30个数被报出时，报出的数中是3的倍数的有a 4，a 8，a 12，a 16，a 20，a 24，a 28，故五位同学拍手的总次数为7.答案：7三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出图形，可知凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，请归纳猜测凸n (n >3，n ∈N ＋)边形对角线的条数f (n )，并证明所得结论．解：由题意得，当n ＝4时，f (4)＝2＝4×12；当n ＝5时，f (5)＝5＝5×22；当n ＝6时，f (6)＝9＝6×32；…，由此猜测f (n )＝n (n －3)2， 即凸n (n >3，n ∈N ＋)边形有n (n －3)2条不同的对角线． 证明：因为凸n (n >3，n ∈N ＋)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n －3)条， 所以从所有的顶点出发的对角线有n (n －3)． 又每条对角线都被数了两次，所以凸n (n >3，n ∈N ＋)边形的对角线的条数为n (n －3)2.18．(本小题满分12分)△ABC 的三条高分别为h a ，h b ，h c ，r 为内切圆半径，且h a ＋h b ＋h c ＝9r ，求证：该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a ，b ，c ，故只需证a ＝b ＝c . 因为h a ＝2S a ，h b ＝2S b ，h c ＝2Sc ， 其中S 为△ABC 的面积， 所以h a ＋h b ＋h c ＝2S ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c .又因为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，h a ＋h b ＋h c ＝9r ，所以(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝9.所以a 2b ＋a 2c ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2a ＋c 2b －6abc ＝0. 将上式分解因式，得a (b －c )2＋b (c －a )2＋c (a －b )2＝0. 因为a >0，b >0，c >0，所以(b －c )2＝(c －a )2＝(a －b )2＝0.所以a ＝b ＝c .∴该三角形为等边三角形．19.(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB ， 因为直线SO 在平面SOB 内， 所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB . 所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾， 所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)，试利用三段论形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)21．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1(n ≥2)的值． 解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f (5)＝41. (2)可得f (2)－f (1)＝4×1； f (3)－f (2)＝8＝4×2； f (4)－f (3)＝12＝4×3； f (5)－f (4)＝16＝4×4； ……由上式规律，可得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)．由以上各式相加可得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋…＋(n －1)]＝4×(1＋n －1)(n －1)2＝2n 2－2n ，又f (1)＝1，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴原式＝11＋121－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n . 22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.S2＝a1＋a2＝12⎝⎛⎭⎫a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝2－1，S3＝a1＋a2＋a3＝12⎝⎛⎭⎫a3＋1a3.得a23＋22a3－1＝0，∴a3＝3－ 2.(2)猜想a n＝n－n－1(n∈N＋)．证明如下：①n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立；②假设n＝k时，a k＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎫a k＋1a k，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎫a k＋1＋1a k＋1－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0.∴a k＋1＝k＋1－k.即n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N＋时，a n＝n－n－1.。
[学习资料]高中数学第六章推理与证明6.3数学归纳法基础达标湘教版选修2_2
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6．3 数学归纳法基础达标限时20分钟1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n ＝( )．A ．1B ．2C ．3D ．0解析 因为是证明凸n 边形，首先可先构成n 边形，故选C. 答案 C2．满足1·2＋2·3＋3·4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( )．A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,4解析 用排除法，将4,3依次代入，所以选C. 答案 C3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )．A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假使n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析 因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第k ＋1个正奇数即n ＝2k ＋1正确． 答案 B 4．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是________________． 解析 要想办法出现a k ＋1＋bk ＋1，两边同乘以a ＋b2，右边也出现了要证的⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1.答案 两边同乘以a ＋b25．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥1)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是____________． 答案 未用归纳假设6．平面内有n (n ∈N ＋，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f (n )＝n n －2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个， 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k ，∈N ＋，且(k >2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k－1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， 这表明，当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)、(2)可知，对n ∈N ＋(n ≥2)命题都成立．综合提高限时25分钟7．在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n则a k ＋1＝( )．A ．a k ＋12k ＋1B ．a k ＋12k ＋2－12k ＋4C ．a k ＋12k ＋2D ．a k ＋12k ＋1－12k ＋2解析 a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，所以，a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2. 答案 D8．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开 ( )．A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析 假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3.＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．故应选A. 答案 A9．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N ＋)． 解析 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1， 可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n210．楼梯共有n 级，每步只能跨上1级或2级，走完该n 级楼梯共有f (n )种不同的走法，则f (n )，f (n －1)，f (n －2)的关系为________． 答案 f (n )＝f (n －1)＋f (n －2) 11．用数学归纳法证明对n ∈N ＋都有11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn ＋＝nn ＋1.证明 ①当n ＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边． ∴n ＝1时，等式成立． ②假设11×2＋12×3＋…＋1kk ＋＝kk ＋1， 则n ＝k ＋1时，11×2＋12×3＋…＋1k k ＋＋1k ＋k ＋＝kk ＋1＋1k ＋k ＋＝k k ＋＋1k ＋k ＋＝k 2＋2k ＋1k ＋k ＋＝k ＋2k ＋k ＋＝k ＋1k ＋2＝k ＋1k ＋＋1. ∴n ＝k ＋1时，等式成立． 由①②知11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝nn ＋1.12．(创新拓展)已知，n ∈N ＋，A n ＝2n 2，B n ＝3n，试比较A n 与B n 的大小，并加以证明．解当n＝1时：A1＝2，B1＝3，有A1<B1；当n＝2时：A2＝8，B2＝9，有A2<B2；当n＝3时：A3＝18，B3＝27，有A3<B3.由上可归纳出当n∈N＋时，都有A n<B n.下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立)：(1)当n＝2时，由上可知不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时不等式成立，即2k2<3k，则3k＋1＝3×3k＝3k＋3k＋3k>2k2＋2k2＋2k2.由于2k2≥4k(k≥2)，2k2>2，所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．综合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2时，都有A n<B n成立．综上可知n∈N＋时，A n<B n成立．。
湘教版高中数学选修2
湘教版高中数学选修2-2目录：第六章推理与证明第一节合情推理和演绎推理第二节直接证明与间接证明第三节数学归纳法第六章推理与证明第三节数学归纳法第一课时我的学习目标：1.在学习过程中体会数学的简洁美，培养自己抽象、概括和简洁的表述能力2.体会特殊与一般，有限与无限的数学思想3.掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题4.知道数学归纳法的本质就是“递推思想”我的学习过程：一、生活引入（10分）1.每日一忆：数学中的推理有2.如果我们发现某座建筑里面有这么一个现象，第一个房间有一个人，第二个房间有2人，第三个房间有3人……，那么我们会做出什么样的猜想呢？二、基本功训练：1、知识点学习(20分)（1）掌握数学归纳法证明命题的步骤：1）观察与思考（多米诺骨牌flash课件播放）：怎样保证所有骨牌都会倒下呢？2）类比多米诺骨牌原理解决数学问题。
3）应用数学归纳法为什么要两个步骤？（2）数学归纳法的本质（原理）是：1）数学归纳法原理的理解：2）你能举例说明递推思想在现实生活中的体现吗？2、知识点演练（30分）（1）用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个等差数列，那么d n a a n )1(1-+=对一切的*N n ∈都成立。
（2）指出甲同学以下解题中存在的问题：关于等式：1+3+5+…+(2n -1)=n 2+1(n∈N +) 是否对一切正整数成立？ （同学甲）：成立。
（证明如下）证明：假如当n=k 时等式成立，即 1+3+5+…+(2k -1)=k 2+1 那么当n=k+1时，1+3+5+…+(2k -1)+(2k+1)=k 2+1+(2k+1)=(k+1)2+1 即当n=k+1时，等式也成立。
所以命题对于一切n∈N +都成立。
（3）指出以下乙同学解题中存在的问题：用数学归纳法证明： 1+3+5+…+(2n -1)=n 2(n∈N+) （同学乙）证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。
湘教版数学选修2-2配套课件：章末复习6推理与证明
图(1)
∴∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角．
∵MN＝ 6，∴sin∠MNG＝ 36，
∴直线
MN
与平面
DCEF
所成角的正弦值为
6 3.
法二 设正方形 ABCD，DCEF 的边长 为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x，y，z 轴正半轴建立 空间直角坐标系，如图(2)所示． 则 M(1,0,2)，N(0,1,0)， ∴M→N＝(－1,1，－2)． 又D→A＝(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量，
(2)要证平面 EFC⊥平面 BCD， 只需证 BD⊥平面 EFC，
EF⊥BD， 只需证CF⊥BD，
CF∩EF＝F.
因为EAFD∥⊥ABDD，， 所以 EF⊥BD. 又因为 CB＝CD，F 为 BD 的中点， 所以 CF⊥BD.所以平面 EFC⊥平面 BCD.
题型三 反证法
高中数学·选修2-2·湘教版
章末复习
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般， 部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理， 但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推 理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推 理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化 体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与 演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提， 后者论证前者的可靠性．
图(2)
∴cos〈M→N，D→A〉＝|MM→→NN|·|DD→→AA|＝－ 36， ∴MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为
|cos〈M→N，D→A〉|＝
6 3.
(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN， 且平面MBEN与平面DCEF交于EN，
湘教版数学选修2-2章末检测6推理与证明 Word版含解析
章末检测一、选择题．由＝＋＝＋＋＝＋＋＋＝，…，得到＋＋…＋(－)＝用的是( ) ．归纳推理．演绎推理．类比推理．特殊推理答案．在△中，、分别为、的中点，则有∥，这个问题的大前提为( ) ．三角形的中位线平行于第三边．三角形的中位线等于第三边的一半．为中位线．∥答案解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：为△的中位线；结论：∥.．对大于或等于的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：＝＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝＋＋＝＋＋＋根据上述分解规律，若＝＋＋＋…＋，的分解中最小的正整数是，则＋＝( ) ．．．．答案解析∵＝＋＋＋…＋＝×＝，∴＝.∵＝＋＝＋＋，＝＋＋＋，∴＝＋＋＋＋，∵的分解中最小的数是，∴＝，＝，∴＋＝＋＝.．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( ) ．假设是有理数．假设是有理数．假设或是有理数．假设＋是有理数答案解析应对结论进行否定，则＋不是无理数，即＋是有理数．．已知(＋)＝，()＝(∈*)，猜想()的表达式为( )答案解析当＝时，()＝＝＝，当＝时，()＝＝＝；当＝时，()＝＝＝，故可猜想()＝，故选.．对“，，是不全相等的正数”，给出下列判断：①(－)＋(－)＋(－)≠；②＝与＝及＝中至少有一个成立；③≠，≠，≠不能同时成立．其中判断正确的个数为( ) ．．．．答案解析若(－)＋(－)＋(－)＝，则＝＝，与“，，是不全相等的正数”矛盾，故①正确．＝与＝及＝中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“，，是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有。
高中数学第六章推理与证明章末归纳课件湘教版选修2_2
3．数学归纳法
学习数学归纳法时，首先要明确不完全归纳和完全 归纳的作用、区别与联系．数学归纳法事实上是一 种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的 问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必 须进行恒等变换．
垂直，锐角对应着侧面与底面所成的二面角．
【例 2】 设 f(x)＝ax＋2a－x，g(x)＝ax－2a－x，其中 a>0 且 a≠1. (1)5＝2＋3，请你来表 示； (2)从(1)中的解能获得什么结论？能否将其推广？
解 (1)由 f(3)g(2)＋g(3)f(2) ＝a3＋2a－3·a2－2a－2＋a3－2a－3·a2＋2a－2＝a5－2a－5， 又 g(5)＝a5－2a－5， 因此 g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
点评 通过此例可看到观察、归纳、猜想、证明的 思想方法．其基本思路是：在探讨某些问题时，可 以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题 的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出合理 的猜想；最后用数学归纳法给出证明．
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
【例 3】 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则
A．ab≤12 C．a2＋b2≥2
B．ab≥12 D．a2＋b2≤3
( )．
解析 因为 a≥0，b≥0，所以 a＋b≥2 ab.又因为 a＋b＝2，
湘教版数学选修2-2第6章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据分析法的定义可知选A.2.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C.观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从等三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.3.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B ，∴a <b .则画线部分是演绎推理的( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．三段论解析：选B.由题意知，该推理中的大前提为：三角形中大角对大边；小前提为：∠A <∠B ；结论为a <b ，故选B.4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B.根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60°”．故选B.5.若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b ≥2 解析：选D.∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a ＜0，b ＜0时，明显错误．对于D ，∵ab ＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2. 6.在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：⊕a b c d a a b c db b b b bc c b c bd d b b d⊗ a b c d。
2019年高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.1归纳分层训练湘教版选修2-2
6．1.1 归 纳一、基础达标1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●● ○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A2．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，…的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为( )A ．nB ．n ＋1C ．2nD ．2n－1答案 C解析 集合{a 1}的子集有∅，{a 1}共2个；{a 1，a 2}的子集有∅，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个；集合{a 1，a 2，a 3}的子集共8个，猜测含n 个元素的集合的子集有2n个，故选C. 3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1 234×9＋5＝11111 12 345×9＋6＝111111 A ．1111110 B ．1111111 C ．1111112 D ．1111113答案 B解析 由数塔运算积的知识易得B. 4．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n]的值( )A ．一定是零B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数答案 C解析 当n ＝1时，值为0，当n ＝2时，值为0， 当n ＝3时，值为2， 当n ＝4时，值为0， 当n ＝5时，值为6. 5．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为实数)，推测a ＝________，b ＝________. 答案 6 35 6．设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x3x ＋4， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x7x ＋8， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝________. 答案xn－x ＋2n解析 先求分母中x 项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n. ∴f n (x )＝xn－x ＋2n.7．设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋ (1)n ＋，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．解 n ＝1,2,3,4时，S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.猜想：S n ＝nn ＋1.证明如下：1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 二、能力提升8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125答案 D解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,510的末四位数字为5 625,511的末四位数字为8 125,512的末四位数字为0 625，…， 由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，所以52 011＝54×501＋7末四位数字为8 125.9．(2013·湖北(理))古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ......可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝(k2－1)n 2－(k2－2)n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.10．(2013·陕西(理))观察下列等式：12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律，第n 个等式可为________． 答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n n ＋2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n n －2＋n 2＝n n ＋2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝－n ＋12n (n ＋1)．·11．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a. 猜想a n ＝n －－n －an －n －a(n ∈N *)．(2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3. 同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 12．观察以下等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，sin 240°＋cos 270°＋sin 40°·cos 70°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°·cos 45°＝34.…写出反映一般规律的等式，并给予证明． 解 反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)： sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin α·cos (α＋30°)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°) ＝sin 2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°) ＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)2＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin α·cos α＋32sin α·cos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.·三、探究与创新13．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，求a 2，a 3，a 4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．解 {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24， a 4＝2a 32＋a 3＝25，…， 所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)． 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列{1a n }是以1a 1＝1为首项， 公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．。
(优选)2019年高中数学模块检测湘教版选修2-2
模块检测一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理答案 B解析由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.2．(2013·浙江)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)( ) A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i答案 B解析(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选B.3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于( ) A．10 B．10ln 10＋lg eC.10ln 10＋ln 10 D．11ln 10 答案 B解析∵f′(x)＝10x ln 10＋1x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．没有出错答案 A5．观察下列数表规律则数2 007的箭头方向是( )答案 D解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)·4⇒n ＝502∈N *.故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→a n ，故选D. 6．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5 D ．以上都不对答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a －b ＝01－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去． 7．给出下列命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )；②⎠⎛－10x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ⎠⎛a b d t ＝b －a ≠⎠⎛ba d x ＝a －b ，故①错．y ＝x 2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.故③错．故选B.8．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AOOM＝3，故选C. 9．曲线y ＝在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12，∴y ＝在(4，e 2)处的切线斜率为12e 2.∴过点(4，e 2)的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，它与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)和(0，－e 2)， ∴S ＝12×2×e 2＝e 2.故选D.10．(2013·湖北)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12答案 D解析 函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个根，有数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)，所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.故选D.二、填空题11．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________.答案 i解析 设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(1＋i)＝1－i ， 即a －b ＋(a ＋b )i ＝1－i.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以z ＝－i ，z ＝i.12．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________．答案 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为解析 正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为.13．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是________．答案 [3,12]解析 因为f (x )有两个极值点x 1，x 2，所以f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f －，f －，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，画出可行域如图所示．因为f (－1)＝2b －c ，由图知经过点A (0，－3)时，f (－1)取得最小值3，经过点C (0，－12)时，f (－1)取得最大值12，所以 f (－1)的取值范围为[3,12]．14.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191.三、解答题15．(2013·青岛二中期中)(1)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z2＋i 的虚部．(2)已知z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i(i 为虚数单位)，且z 1z 2为纯虚数，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ， 得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋23－y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，∴z ＝3＋4i ，复数z 2＋i ＝3＋4i2＋i ＝2＋i ，虚部为1.(2)z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝3a －8＋a ＋25，且z 1z 2为纯虚数则3a －8＝0，且4a ＋6≠0，解得a ＝83.16．已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a3＋b3＋c3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3. 17．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2n －n ＋＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明． 解 若存在常数a ，b 使等式成立， 则将n ＝1，n ＝2代入上式， 有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2n －n ＋＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立． 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2k －k ＋＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时， 121×3＋223×5＋…＋k 2k －k ＋＋k ＋2k ＋k ＋＝k 2＋k 4k ＋2＋k ＋2k ＋k ＋＝k ＋12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3 ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋2k ＋＝k ＋12k ＋1·k ＋k ＋k ＋＝k ＋k ＋4k ＋6＝k ＋2＋k ＋k ＋＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立，综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．18．(2013·广东)设函数f (x )＝(x －1)e x－kx 2(其中k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x－x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x－2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表(ln 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝e x＋(x －1)e x－2kx ＝x e x－2kx ＝x (e x－2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln (2k )， 令g (k )＝ln(2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－k k ＞0，所以g (k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递增，所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e ＜0， 从而ln (2k )＜k ，所以ln(2k )∈[0，k ]， 所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以M ＝max{f (0)，f (k )}＝max{－1，(k －1)e k －k 3} 令h (k )＝(k －1)e k－k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k－3k )， 令φ(k )＝e k－3k ，则φ′(k )＝e k－3＜e －3＜0， 所以φ(k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减，而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)＜0， 所以存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，φ(k )＞0，当k ∈(x 0,1)时φ(k )＜0， 所以φ(k )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12e ＋78＞0，h (1)＝0， 所以h (k )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立， 当且仅当k ＝1时取得“＝”．综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k－k 3.。
(优选)2019年高中数学模块检测湘教版选修2-2
模块检测一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理答案 B解析由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.2．(2013·浙江)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)( ) A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i答案 B解析(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选B.3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于( ) A．10 B．10ln 10＋lg eC.10ln 10＋ln 10 D．11ln 10 答案 B解析∵f′(x)＝10x ln 10＋1x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．没有出错答案 A5．观察下列数表规律则数2 007的箭头方向是( )答案 D解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)·4⇒n ＝502∈N *.故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→a n ，故选D. 6．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5 D ．以上都不对答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a －b ＝01－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去． 7．给出下列命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )；②⎠⎛－10x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ⎠⎛a b d t ＝b －a ≠⎠⎛ba d x ＝a －b ，故①错．y ＝x 2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.故③错．故选B.8．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AOOM＝3，故选C. 9．曲线y ＝在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12，∴y ＝在(4，e 2)处的切线斜率为12e 2.∴过点(4，e 2)的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，它与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)和(0，－e 2)， ∴S ＝12×2×e 2＝e 2.故选D.10．(2013·湖北)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12答案 D解析 函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个根，有数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)，所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.故选D.二、填空题11．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________.答案 i解析 设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(1＋i)＝1－i ， 即a －b ＋(a ＋b )i ＝1－i.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以z ＝－i ，z ＝i.12．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________．答案 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为解析 正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为.13．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是________．答案 [3,12]解析 因为f (x )有两个极值点x 1，x 2，所以f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f －，f －，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，画出可行域如图所示．因为f (－1)＝2b －c ，由图知经过点A (0，－3)时，f (－1)取得最小值3，经过点C (0，－12)时，f (－1)取得最大值12，所以 f (－1)的取值范围为[3,12]．14.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191.三、解答题15．(2013·青岛二中期中)(1)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z2＋i 的虚部．(2)已知z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i(i 为虚数单位)，且z 1z 2为纯虚数，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ， 得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋23－y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，∴z ＝3＋4i ，复数z 2＋i ＝3＋4i2＋i ＝2＋i ，虚部为1.(2)z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝3a －8＋a ＋25，且z 1z 2为纯虚数则3a －8＝0，且4a ＋6≠0，解得a ＝83.16．已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a3＋b3＋c3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3. 17．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2n －n ＋＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明． 解 若存在常数a ，b 使等式成立， 则将n ＝1，n ＝2代入上式， 有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2n －n ＋＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立． 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2k －k ＋＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时， 121×3＋223×5＋…＋k 2k －k ＋＋k ＋2k ＋k ＋＝k 2＋k 4k ＋2＋k ＋2k ＋k ＋＝k ＋12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3 ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋2k ＋＝k ＋12k ＋1·k ＋k ＋k ＋＝k ＋k ＋4k ＋6＝k ＋2＋k ＋k ＋＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立，综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．18．(2013·广东)设函数f (x )＝(x －1)e x－kx 2(其中k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x－x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x－2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表(ln 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝e x＋(x －1)e x－2kx ＝x e x－2kx ＝x (e x－2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln (2k )， 令g (k )＝ln(2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－k k ＞0，所以g (k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递增，所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e ＜0， 从而ln (2k )＜k ，所以ln(2k )∈[0，k ]， 所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以M ＝max{f (0)，f (k )}＝max{－1，(k －1)e k －k 3} 令h (k )＝(k －1)e k－k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k－3k )， 令φ(k )＝e k－3k ，则φ′(k )＝e k－3＜e －3＜0， 所以φ(k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减，而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)＜0， 所以存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，φ(k )＞0，当k ∈(x 0,1)时φ(k )＜0， 所以φ(k )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12e ＋78＞0，h (1)＝0， 所以h (k )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立， 当且仅当k ＝1时取得“＝”．综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k－k 3.。
【2019最新】高中数学第六章推理与证明6-1合情推理和演绎推理6-1-1归纳基础达标湘教版选修2_2
【2019最新】高中数学第六章推理与证明6-1合情推理和演绎推理6-1-1归纳基础达标湘教版选修2_2 归纳基础达标限时20分钟1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案 A2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，a n}的子集个数为( )A．n B．n＋1C．2n D．2n－1解析集合{a1}的子集有∅，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测n个元素的集合的子集有2n个，故选C.答案 C3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析由数塔运算积的知识易得B为真．答案 B4．n个连续自然数按规律排列下表：0 3 → 47 → 811…↓↑↓↑↓↑1 →2 5 → 69 → 10根据规律，从2010到2012箭头方向依次为________．解析观察特例规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数例，由2,3,4知2010到2012为↑→，故答案为↑→.5．已知2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415，…， 若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为实数)，推测a ＝________，b ＝________. 答案 6 356．设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．解 n ＝1,2,3,4时，S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.猜想：S n ＝nn ＋1.证明如下：1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 综合提高限时25分钟7．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n]的值( )A ．一定是零B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析 当n ＝1时，值为0， 当n ＝2时，值为0， 当n ＝3时，值为2， 当n ＝4时，值为0， 当n ＝5时，值为6. 答案 C8．(2011·江西)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )．A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,510的末四位数字为 5 625，511的末四位数字为8 125,512的末四位数字为0由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，∴52 011＝54×501＋7末四位数字为8125. 答案 D9．(2011·山东)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x3x ＋4， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x7x ＋8， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝________. 解析 先求分母中x 项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n. ∴f n (x )＝xn－x ＋2n .答案xn－x ＋2n10．(2011·陕西)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72， 所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)211．观察以下等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，sin 240°＋cos 270°＋sin 40°·cos 70°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°·cos 45°＝34.…写出反映一般规律的等式，并给予证明． 解 反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)： sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°) ＝sin 2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋32sin α ·cos α－12sin 2α＝sin 2α＋34 cos 2α＋14sin 2α－32sin α·cos α＋32sin α·cos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.12．(创新拓展)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，求a 2，a 3，a 4并猜想数列的通项公式，并给出证明． 解 {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24， a 4＝2a 32＋a 3＝25，…， 所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．此猜想正确． 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项， 公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n－1)12＝n2＋12，即通项公式a n＝2n＋1(n∈N＋)．。
【精选】2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第6章 章末小结(含解析)
1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．5．直接证明——数学归纳法(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可，由n＝k⇒n＝k＋1时必须使用归纳假设，否则不算是数学归纳法．(2)数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．[例1] 给出下面的数表序列：表1 1 表21 34表3 …1 3 54 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．[解] 表4为1 3 5 74 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2] 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .[解析] 分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. [答案]91解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12， 所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1. 答案：37 3n 2－3n ＋12.如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数S 3为28，按其规律再画下去，可得n (n ∈N ＋)层六边形，试写出S n 的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为a n ， 则a n 是以5为首项，4为公差的等差数列， 则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1＝n [5＋5＋4(n －1)]2＋1＝2n 2＋3n ＋1(n ∈N ＋).[例3] 在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D . 求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[证明] 如右图所示，由射影定理， AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. ∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中， AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________.答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a 2＋b 2，把上述结论类比到空间，写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A -BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则此四面体的外接球半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.[例4] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 法一：(综合法) ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 法二：(分析法)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8， 只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab ≥2.由基本不等式可知，当a ＞0，b ＞0时，b a ＋ab≥2成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．5．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)． (1)证明：函数f (x )的图象在y 轴一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是图象上的两点，证明：直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x －1>0，得a x >1.①当a >1时，x >0，函数图象在y 轴右侧； ②当0<a <1时，x <0，函数图象在y 轴左侧． 故函数图象总在y 轴一侧．(2)由于k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，又由x 1<x 2， 故只需证y 2－y 1>0即可．因为y 2－y 1＝log a (a x 2－1)－log a (a x 1－1)＝log a a x 2－1a x 1－1.①当a >1时，由0<x 1<x 2，得 a 0<a x 1< a x 2， 即0<a x 1－1<a x 2－1. 故有a x 2－1a x 1－1>1，log a a x 2－1a x 1－1>0， 即y 2－y 1>0. ②当0<a <1时， 由x 1<x 2<0， 得a 0>a x 1>a x 2>1. 即a x 1－1>a x 2－1>0. 故有0<a x 2－1a x 1－1<1，∴y 2－y 1＝log aa x 2－1a x 1－1>0，即y 2－y 1>0. 综上，直线AB 的斜率总大于零.[例5] 已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[证明]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，与a＋b＋c≤0矛盾，故假设不成立．∴a，b，c中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A[例6]已知数列{a n}满足：a1＝1,4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)的结果猜想a n用n表示的表达式；(3)用数学归纳法证明(2)的猜想．[解](1)由a1＝1及a n＋1＝9－2a n4－a n，得a2＝9－2a14－a1＝73，a3＝9－2a24－a2＝9－2×734－73＝135，a 4＝9－2a 34－a 3＝9－2×1354－135＝197.所以a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)观察a 1，a 2，a 3，a 4的值，分母构成正奇数数列2n －1，分子构成首项为1，公差为6的等差数列，故猜想：a n ＝6n －52n －1，n ∈N ＋. (3)用数学归纳法证明上面的猜想．①当n ＝1时，a 1＝6×1－52×1－1＝1，猜想正确．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，猜想正确，即a k ＝6k －52k －1. 所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝9－2a k4－a k ＝9－2·6k －52k －14－6k －52k －1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1.这就是说n ＝k ＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意正整数n 都成立．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．7．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，求a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时猜想成立， 即a k ＝3k ＋5， 则当n ＝k ＋1时，a k＋1＝3a ka k＋3＝3·3k＋53k＋5＋3＝3(k＋1)＋5，所以当n＝k＋1时猜想也成立．由①②知，对n∈N＋，a n＝3n＋5都成立．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．答案：C2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．答案：D3．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)”时，第一步验证n＝1时，左边应取的项为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n ＝1时，左边的最后一项为4，故为1＋2＋3＋4. 答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.答案：A6．用数学归纳法证明“1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).答案：D7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 019的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，78＝5 764 801，… ∴7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4， 记7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数为f (n )，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， ∴72 019与73的末两位数相同，均为43. 答案：B8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a ·b ＝b ·a ； ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确， ②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．答案：B9．已知a >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n . 答案：B10．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63， 此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64， 故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 答案：C11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840D.11 260解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110，⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110＝1840. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________．答案：在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→＋AD ―→)14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…， ∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2. 答案：n 216．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②当报出的数为3的倍数时，则报该数的同学需拍手一次． 当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．解析：设报出的第n 个数为a n ，则有a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋.a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，…，所以a 4，a 8为3的倍数，a 12＝a 10＋a 11＝2a 10＋a 9＝2a 8＋3a 9也为3的倍数，可得规律a 4m ( m ∈N ＋)为3的倍数．则当第30个数被报出时，报出的数中是3的倍数的有a 4，a 8，a 12，a 16，a 20，a 24，a 28，故五位同学拍手的总次数为7.答案：7三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出图形，可知凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，请归纳猜测凸n (n >3，n ∈N ＋)边形对角线的条数f (n )，并证明所得结论．解：由题意得，当n ＝4时，f (4)＝2＝4×12；当n ＝5时，f (5)＝5＝5×22；当n ＝6时，f (6)＝9＝6×32；…，由此猜测f (n )＝n (n －3)2， 即凸n (n >3，n ∈N ＋)边形有n (n －3)2条不同的对角线． 证明：因为凸n (n >3，n ∈N ＋)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n －3)条， 所以从所有的顶点出发的对角线有n (n －3)． 又每条对角线都被数了两次，所以凸n (n >3，n ∈N ＋)边形的对角线的条数为n (n －3)2.18．(本小题满分12分)△ABC 的三条高分别为h a ，h b ，h c ，r 为内切圆半径，且h a ＋h b ＋h c ＝9r ，求证：该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a ，b ，c ，故只需证a ＝b ＝c . 因为h a ＝2S a ，h b ＝2S b ，h c ＝2Sc ， 其中S 为△ABC 的面积， 所以h a ＋h b ＋h c ＝2S ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c .又因为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，h a ＋h b ＋h c ＝9r ，所以(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝9.所以a 2b ＋a 2c ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2a ＋c 2b －6abc ＝0. 将上式分解因式，得a (b －c )2＋b (c －a )2＋c (a －b )2＝0. 因为a >0，b >0，c >0，所以(b －c )2＝(c －a )2＝(a －b )2＝0. 所以a ＝b ＝c .∴该三角形为等边三角形．19.(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB ， 因为直线SO 在平面SOB 内， 所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB . 所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾， 所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，试利用三段论形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)21．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1(n ≥2)的值． 解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f (5)＝41. (2)可得f (2)－f (1)＝4×1； f (3)－f (2)＝8＝4×2； f (4)－f (3)＝12＝4×3； f (5)－f (4)＝16＝4×4； ……由上式规律，可得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)．由以上各式相加可得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋…＋(n －1)]＝4×(1＋n －1)(n －1)2＝2n 2－2n ，又f (1)＝1，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴原式＝11＋121－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， ∴a 2＝2－1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3. 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. ∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，n ∈N ＋时，a n ＝n －n －1.。
精品2019年高中数学第六章推理与证明6.3数学归纳法(2)分层训练湘教版选修2-2
6.3 数学归纳法(二)一、基础达标1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝n ＋n ＋2(n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4答案 D解析 等式左边的数是从1加到n ＋3.当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析 当n 取1、2、3、4时2n>n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项1k ＋B ．增加了两项12k ＋1和1k ＋C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开________． 答案 (k ＋3)3解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将 (k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________． 答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0， 解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1. 二、能力提升8．k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( )A ．f (k )＋k －1B ．f (k )＋k ＋1C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2答案 A解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．9．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 10．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n ＋2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立．则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________． 答案122＋132＋…＋1k2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3解析 观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3. 11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋1k ＋＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋ 13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立， 即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－k ＋＋1k ＋＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与创新13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12a n ≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d ＞0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)． 所以，a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32＞358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。
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第六章 推理与证明章末检测一、选择题1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋ (2n －1)＝n 2用的是( )A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．特殊推理 答案 A2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥BC 答案 A解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，n 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝( )A ．10B ．11C ．12D ．13 答案 B解析 ∵m 2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m ＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21，∴n 3＝53，n ＝5，∴m ＋n ＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A ．假设2是有理数B ．假设3是有理数C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数答案 D解析 应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数． 5．已知f (x ＋1)＝2fxfx ＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为 ( )A.42x＋2 B.2x ＋1 C.1x ＋1 D.22x ＋1答案 B解析 当x ＝1时，f (2)＝2ff＋2＝23＝22＋1， 当x ＝2时，f (3)＝2f f ＋2＝24＝23＋1； 当x ＝3时，f (4)＝2ff＋2＝25＝24＋1， 故可猜想f (x )＝2x ＋1，故选B. 6．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A.12 B ．－1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2， ∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能等于0D ．可正也可负答案 A解析 不妨设x 1－2<0，x 2－2>0， 则x 1<2，x 2>2，∴2<x 2<4－x 1，∴f (x 2)<f (4－x 1)，即－f (x 2)>－f (4－x 1)， 从而－f (x 2)>－f (4－x 1)＝f (x 1)，f (x 1)＋f (x 2)<0.10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋3 答案 A解 法一 (归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”． 故第n 个图案中有白色地面砖的块数是4n ＋2. 法二 (特殊值代入排除法)或由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，可排除B 答案 当n ＝2时，a 2＝10，可排除C 、D 答案． 二、填空题11．(2013·陕西(文))观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 按此规律，第n 个等式可为________．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n·1·3·5…(2n －1)12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________．答案 f (2n)>2＋n 2(n ≥2)解析 观测f (n )中n 的规律为2k(k ＝1,2，…) 不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…，∴f (2n)>2＋n 2(n ≥2)．13．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A.2kk ＋B.1k k ＋C.1k ＋k ＋D.2k ＋k ＋答案 D解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋k ＋＝2k ＋k ＋.故选D.14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析 由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.三、解答题15．已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．证明反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．16．设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．(1)求证：数列{S n}不是等比数列；(2)数列{S n}是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{S n}不是等比数列．(2)解当q＝1时，S n＝na1，故{S n}是等差数列；当q≠1时，{S n}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．17．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N＋，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9 900，问a n是数列的第几项？解(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3、4、5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a 10＝11×12＝132.a 10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵有99行100列．18．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]， 得g (2)＝ff－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝2，当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]，得g (3)＝f ＋f f －1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3， 猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立．①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立， 那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤fk ＋－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n 等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．。