【精编】2017-2018年陕西省汉中市南郑中学高二(上)数学期中试卷和参考答案(文科)
陕西省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(八)
陕西省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（八）（文科）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下面哪些变量是相关关系（）A．出租车费与行驶的里程B．房屋面积与房屋价格C．人的身高与体重 D．铁块的大小与质量2．流程图中的判断框，有1个入口和（）个出口．A．2 B．3 C．1 D．43．若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是（）A．B．C．D．4．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示（）A．落在相应各组的数据的频数B．相应各组的频率C．该样本所分成的组数D．该样本的样本容量5．如图所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是（）A．B．C．D．6．数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（）A．a n=n+2 B．a n=C．a n=2n+1 D．a n=2n﹣17．已知数列{a n}的通项公式是a n=24﹣2n，在下列各数中，（）不是{a n}的项．A．﹣2 B．0 C．2 D．38．已知等差数列{a n}中，a1=﹣1，d=4，则它的通项公式是（）A．a n=﹣4n+3 B．a n=﹣4n﹣3 C．a n=4n﹣5 D．a n=4n+39．延川中学高二文科约有300人，其中特优班约有30人，实验班约有90人，普通班约有180人，想了解高二文科数学学习情况，现采用分层抽样抽取容量为30的样本进行考核，那么特优班、实验班、普通班各抽取的人数分别为（）A．6，9，15 B．3，9，18 C．3，6，11 D．3，8，1910．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．阅读流程图，其输出的结果是12．已知x与y之间的一组数据：（1，1），（2，3），（2，5），（3，7），则y与x 的线性回归方程必过点．13．﹣1与5的等差中项是．14．在等差数列{a n}中，a4=3，a11=﹣3，则S14=．三、解答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）15．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：哪种小麦长得比较整齐？（参考公式：平均数：；方差：）16．小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏公平吗？17．已知数列{a n}的通项公式a n=3n+1，求证：数列{a n}是等差数列．18．已知等差数列{a n}的前n项和，（1）求此数列的通项公式；（2）求S n的最小值．参考答案一、单项选择题1．C．2．A．3．B4．B．5．C．6．C．7．D．8．C．9．B．10．B二、填空题11．解：模拟执行程序，可得：x=2y=5，b=13，输出b的值为13．故答案为：13．12．解：∵=2，=4，∴数据的样本中心点是（2，4），∴y与x的线性回归方程必过点（2，4），故答案为（2，4）．13．解：设﹣1与5的等差中项是A，则A=．故答案为：2．14．解：由等差数列{a n}的性质可得：a4+a11=a1+a14=0，则S14==0，故答案为：0．三、解答题15．解：由题中条件可得：==13，…==13，…S2甲= [（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2+（10﹣13）2+（16﹣13）2+（13﹣13）2+（11﹣13）2+（15﹣13）2+（11﹣13）2]=3.6，…S2乙= [（11﹣13）2+（16﹣13）2+（17﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（19﹣13）2+（6﹣13）2+（8﹣13）2+（10﹣13）2+（16﹣13）2]=15.8，…∵=，S2甲＜S2乙，∴甲种小麦长得比较整齐…16．解：设（x，y）表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），即有36种基本事件．…其中点数之和为奇数的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）．即有18种．…所以小刚得的概率是=…则小明得的概率是1﹣…则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平…17．证明：由a n=3n+1得，a n=3（n+1）+1=3n+4，+1﹣a n=3n+4﹣（3n+1）=3为常数，所以a n+1所以数列{a n}是公差为3的等差数列．18．解：（1）∵数列{a n}是等差数列，设其首相为a1，公差为d，等差数列{a n}的前n项和，∴a1=S1=1﹣10=﹣9，=（n2﹣10n）﹣[（n﹣1）2﹣10（n﹣1）]=2n﹣11．a n=S n﹣S n﹣1n=1时，2n﹣11=﹣9=a1，∴a n=2n﹣11．（2）∵等差数列{a n}的前n项和：=（n﹣5）2﹣25，∴当n=5时，S n取最小值S5=﹣25．。
陕西省南郑县中学2017-2018学年高二9月月考数学试题 Word版含答案
2017-2018学年南郑中学9月月考高二数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的） 1.已知a ,b ,c ∈R,且a>b ,则( )A.ac>bcB. <C.a 2>b 2D.a 3>b 32.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－14n ＋65，则下列叙述正确的是( )A ．20不是这个数列中的项B ．只有第5项是20C ．只有第9项是20D ．这个数列第5项、第9项都是20 3. 若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化4..已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，且424a a -=，39s =则数列{}n a 的通项公式为（ ） A n a n = B 2n a n =+ C 21n a n =- D 21n a n =+5.x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．16．设a ＞0，b ＞0，若1是2a 与2b 的等差中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.147. 数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2 (n ∈N ＋)，则点A 1(1，a 1)，A 2(2，a 2)，…，A n (n ，a n )分布在( )A ．直线上，且直线的斜率为－2B ．抛物线上，且抛物线的开口向下C ．直线上，且直线的斜率为2D ．抛物线上，且抛物线的开口向上8．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A ．{x |x <－2，或x >3}B ．{x |x <－2，或1<x <3}C ．{x |－2<x <1，或x >3}D ．{x |－2<x <1，或1<x <3}9. 已知x >0，y >0.若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <210．已知函数f(x)＝2x，等差数列{a n }的公差为2.若f(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]＝ ( ) A ．8B ．4C ．－6D.1411.已知函数f(x)=ax 2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1},则函数y=f(-x)的图象可以为( )12. 直线x ＋my ＋1＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≥0，x －2≤0表示的平面区域有公共点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，－13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－34二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=错误！未找到引用源。
陕西省汉中中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
汉中中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学试题（卷）注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,再判断选项的正误得解.【详解】由题得集合A=,所以,A∩B={0},故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集。
【详解】不等式可化简为且根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为所以选A【点睛】本题考查了分式不等式的解法，切记不能直接去分母解不等式，属于基础题。
3.若满足，约束条件，则的最大值为（）A. B. 1 C. -1 D. -3【答案】B【解析】如图，画出可行域，目标函数为表示斜率为-1的一组平行线，当目标函数过点时，函数取值最大值，，故选B.4.在中，若，则等于（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】由已知得sinB=2sinAsinB,又∵A,B为△ABC的内角,故sinB≠0,故sinA=,∴A=30°或150°.5.设，且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质对四个选项分别进行分析、判断可得结论．详解：对于A，当时，不等式不成立，故A不正确．对于B，当时，不等式不成立，故B不正确．对于C，当时，不等式不成立，故C不正确．对于D，根据不等式的可加性知不等式成立，故D正确．故选D．点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运用不等式的性质进行推理判断．（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．（3）特殊值验证法，即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．6.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 3B. 1C. 0D. -1【答案】C【解析】由，故选C.7.已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. 或B. 或C. D.【答案】D【解析】试题分析：恒成立，，当且仅当即时等号成立，所以，即，解之得，故选D.考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式的解法.【名师点睛】本题考查基本不等式与一元二次不等式的解法，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.视频8.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A. 6斤B. 7斤C. 8斤D. 9斤【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找出五个数中成等差数列的数组数，求出基本事件个数，求比值即可.【详解】“1”“2”“3”“4”“6”这五个数中成等差数列的数有“1,2,3”，“2,3,4”，“2,4,6”三组，从五个数中随机选取三个小球有，故所求概率为.【点睛】本题考查主要考查古典概型的应用.10.已知函数，则下列结论错误的是（）A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在区间上单调递减【答案】B【解析】【分析】根据周期的公式得到故A正确；函数图像的对称轴为可判断B错误；零点为，可判断C正确；单调减区间为可得到D正确.【详解】函数，周期为：故A正确；函数图像的对称轴为，不是对称轴，故B不正确；函数的零点为，当k=1时，得到一个零点为；函数的单调递减区间为：，解得x的范围为，区间是其中的一个子区间，故D正确.故答案为：B.【点睛】函数（A>0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数;（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=;（3）单调性：根据y=sin t和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间;（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x;利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.11.已知函数，且，则等于（）A. －2013B. －2014C. 2013D. 2014【答案】D【解析】当n为奇数时，，当n为偶数时，所以，故，所以，故选D.12.已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，，且公差不为0，若，则（）A. 45B. 15C. 10D. 0【答案】A【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得（-x）+f（x）=0，又由g（x）=f（x-5）+x且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，可得f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，结合等差数列的性质可得f（a1-5）=-f （a9-5）=f（5-a9），进而可得a1-5=5-a9，即a1+a9=10，进而计算可得答案．【详解】根据题意，函数y=f（x）为定义域R上的奇函数，则有f（-x）+f（x）=0，∵g（x）=f（x-5）+x，∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，即f（a1-5）+a1+f（a2-5）+a2+…+f（a9-5）+a9=45，即f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）=0，又由y=f（x）为定义域R上的奇函数，且在R上是单调函数，f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）是9项的和且和为0，必有f（a1-5）+f（a9-5）=0，则有a1-5=5-a9，即a1+a9=10，在等差数列中，a1+a9=10=2a5，即a5=5，则a1+a2+…+a9=9a5=45；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题(把答案填在答题纸的相应位置上)13.设向量，，若与垂直，则的值为_____【答案】【解析】与垂直14.设，则______．【答案】-1【解析】由题意，得；故填.15.如图，为了测量，两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度：，，，，且与互补，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】分别在△ACD，ABC中使用余弦定理计算cosB，cosD，令cosB+cosD=0解出AC．【详解】在△ACD中，由余弦定理得：cosD==，在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∵B+D=180°，∴cosB+cosD=0，即+=0，解得AC=7．故答案为：．【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于中档题．16.已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．【答案】9【解析】【分析】圆x2+y2-2x-4y+3=0关于直线ax+by-1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+2b=1，代入，利用基本不等式，确定最小值．【详解】由题设直线ax+by-1=0（a＞0，b＞0）过圆心C（1，2），即a+2b=1，∴，当且仅当a=b时的最小值为9，故答案为：9．【点睛】本题考查关于点、直线对称的圆的方程，基本不等式，考查计算能力，是基础题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17.已知为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．【答案】(1);(2).【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。
2018年陕西省汉中市南郑中学高二上学期数学期中试卷和解析(理科)
2017-2018学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8，则a5=（）A．16 B．16或﹣16 C．32 D．32或﹣322．（5分）在△ABC中，a=7，b=4，c=，则△ABC中最小的角为（）A．B．C．D．3．（5分）不等式x 2﹣3x﹣4＞0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞1或x＜﹣4}C．{x|x＞4或x＜﹣1}D．{x|﹣4＜x＜1}4．（5分）下列命题中的假命题是（）A．对任意x∈R，2x﹣1＞0 B．存在x∈R，tanx=2C．存在x∈R，lgx＜1 D．对任意x∈N*，（x﹣1）2＞05．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=30°，则三角形的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定6．（5分）已知第I象限的点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则的最小值为（）A．3B．4C．4 D．27．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=9，a6+a4=2，则当S n取最大值时，n等于（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A．511个B．512个C．1023个D．1024个9．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2]C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）10．（5分）已知A={x||x﹣1|≥1，x∈R}，B={x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x ∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n=（）A．2n+1﹣1 B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n+112．（5分）设不等式组表示的区域为D，若对数函数y=log a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[2，+∞）二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知：0＜x＜1，则函数y=x（3﹣2x）的最大值是．14．（5分）在△ABC中，，A=45°，则△ABC的外接圆半径为．15．（5分）设x，y∈R且x+y=5，则3x+3y的最小值是．16．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．则角C为．三、解答题（第17题10分，其余大题每题12分，共计70分）17．（10分）已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．求通项a n及S n．18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsin A．（1）求角B的大小；（2）若a=3，c=5，求b．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）某人承揽一项业务，需制作文字标牌2个，绘画标牌4个．现有两种规格原料，甲规格每张3m2，可制作文字标牌1个和绘画标牌2个；乙规格每张2m2，可制作文字标牌2个和绘画标牌1个．设甲种规格原料用x张，乙种规格原料用y张，目标函数用料总面积Z，（1）求x，y满足的约束条件；（2）求目标函数用料总面积Z最小值，并求出最优解．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c满足a2+b2=c2+ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中b n＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．2017-2018学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8，则a5=（）A．16 B．16或﹣16 C．32 D．32或﹣32【解答】解：∴q=2∴a5=a1•q4=16故选：A．2．（5分）在△ABC中，a=7，b=4，c=，则△ABC中最小的角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a=7，b=4，c=，∴△ABC中，由三角形中大边对大角可得C为最小角，由余弦定理可得13=49+48﹣2×7×4cosC，解得cosC=，∴C=．故选：B．3．（5分）不等式x 2﹣3x﹣4＞0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞1或x＜﹣4}C．{x|x＞4或x＜﹣1}D．{x|﹣4＜x＜1}【解答】解：不等式x 2﹣3x﹣4＞0化为（x﹣4）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞4，∴不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞4}．故选：C．4．（5分）下列命题中的假命题是（）A．对任意x∈R，2x﹣1＞0 B．存在x∈R，tanx=2C．存在x∈R，lgx＜1 D．对任意x∈N*，（x﹣1）2＞0【解答】解：A中，对任意x∈R，2x﹣1＞0是真命题；B中，存在x∈R，tanx=2是真命题；C中，存在x=∈R，lgx＜1是真命题；D中，当x=1时，（x﹣1）2=0，故对任意x∈N*，（x﹣1）2＞0是假命题，故选：D．5．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=30°，则三角形的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定【解答】解：由正弦定理可得，即160=，∴sinB=，故B 可能是个锐角，也可能是钝角，故三角形的解的个数是2，故选：C．6．（5分）已知第I象限的点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则的最小值为（）A．3B．4C．4 D．2【解答】解：由点P（a，b）是第一象限的点，所以a＞0，b＞0，又点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，所以a+2b﹣1=0，即a+2b=1，所以，当且仅当即时上式“=”成立，所以的最小值为．故选：A．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=9，a6+a4=2，则当S n取最大值时，n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=9，a6+a4=2，∴2a1+8d=2，即2×9+8d=2，解得d=﹣2．∴a n=9+（n﹣1）（﹣2）=11﹣2n，由a n≥0，解得，∴当n=5时，S n取最大值．故选：B．8．（5分）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A．511个B．512个C．1023个D．1024个【解答】解：经过3个小时，总共分裂了九次，就是29=512个，故选：B．9．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2]C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立②当a≠2时，要求解得：a∈（﹣2，2）综合①②可知：a∈（﹣2，2]故选：C．10．（5分）已知A={x||x﹣1|≥1，x∈R}，B={x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x ∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A={x||x﹣1|≥1，x∈R}={x|x﹣1≥1或x﹣1≤﹣1}={x|x≥2或x≤0}，B={x|log2x＞1，x∈R}={x|log2x＞log22，x∈R}={x|x＞2}，∵B⊊A∴“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件故选：B．11．（5分）已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n=（）A．2n+1﹣1 B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n+1【解答】解：由题意可得，∴a2﹣a1=2a3﹣a2=22…以上n﹣1个式子相加可得，a n﹣a1=2+22+…+2n﹣1==2n﹣2∴a n=2n﹣1故选：B．12．（5分）设不等式组表示的区域为D，若对数函数y=log a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[2，+∞）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若0＜a＜1，则由图象可知对数函数的图象与区域m没有交点．若a＞1，当对数函数图象经过点A时，满足条件，此时，解得A（8，3），此时log a8=3，解得a=2，∴当1＜a≤2时，也满足条件．∴实数a的取值范围是（1，2]，故选：C．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知：0＜x＜1，则函数y=x（3﹣2x）的最大值是．【解答】解：∵函数y=x（3﹣2x）=﹣2x2+3x的图象是开口朝下，且以直线x=为对称轴的抛物线，由0＜x＜1得，当x=时，函数y=x（3﹣2x）取最大值，故答案为：14．（5分）在△ABC中，，A=45°，则△ABC的外接圆半径为1．【解答】解：设外接圆的半径为r，则由正弦定理可得，∴=2r，∴r=1，故答案为1．15．（5分）设x，y∈R且x+y=5，则3x+3y的最小值是．【解答】解：由3x＞0，3y＞0，∴3x+3y≥2 =18所以3x+3y的最小值为18故答案为：16．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．则角C为．【解答】解：∵，∴acosB+bcosA=2ccosC，由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin（A+B）=2sinCcosC．∵0＜c＜π，∴sinC＞0，∴，∴C=，故答案为：．三、解答题（第17题10分，其余大题每题12分，共计70分）17．（10分）已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．求通项a n及S n．【解答】解：由已知可得，a1=19，d=﹣2．∴a n=a1+（n﹣1）d=19﹣2（n﹣1）=21﹣2n；=20n﹣n2．18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsin A．（1）求角B的大小；（2）若a=3，c=5，求b．【解答】解：（1）∵锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsin A．∴sinA=2sinBsinA，∵角A是△ABC的内角，∴sinA≠0，∴sinB=，∵△ABC是锐角三角形，∴B=．（2）∵a=3，c=5，B=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣=7．解得b=．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有，解得a1=3，d=2，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n====（﹣），所以数列{b n}的前n项和T n=（1﹣﹣）=（1﹣）=，即数列{b n}的前n项和T n=．20．（12分）某人承揽一项业务，需制作文字标牌2个，绘画标牌4个．现有两种规格原料，甲规格每张3m2，可制作文字标牌1个和绘画标牌2个；乙规格每张2m2，可制作文字标牌2个和绘画标牌1个．设甲种规格原料用x张，乙种规格原料用y张，目标函数用料总面积Z，（1）求x，y满足的约束条件；（2）求目标函数用料总面积Z最小值，并求出最优解．【解答】解：（1）设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌（x+2y）个，绘画标牌（2x+y）个．由题意可得：…（5分）（2）所用原料的总面积为z=3x+2y，作出可行域如图，…（8分）在一组平行直线3x+2y=t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x+y=4和直线x+2y=2的交点（2，0），∴最优解为：x=2，y=0，最小值为：6m2…（10分）∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料0张，可使总的用料面积最小．…（12分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c满足a2+b2=c2+ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a2+b2=c2+ab，∴cosC===，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）由已知sinA+sinB=sinA+sin（π﹣C﹣A）=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin（A+）≤．当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中b n＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），∴a n=2S n﹣1+1（n∈N*，n＞1），﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），∴a n+1﹣a n=2a n，∴a n+1=3a n（n∈N*，n＞1）（2分）∴a n+1而a2=2a1+1=3=3a1，=3a n（n∈N*）∴a n+1∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a n=3n﹣1（n∈N*）（4分）∴a1=1，a2=3，a3=9，在等差数列{b n}中，∵b1+b2+b3=15，∴b2=5．又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{b n}的公差为d，∴（1+5﹣d）（9+5+d）=64（6分）解得d=﹣10，或d=2，∵b n＞0（n∈N*），∴舍去d=﹣10，取d=2，∴b1=3，∴b n=2n+1（n∈N*），（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知T n=3×1+5×3+7×32++（2n﹣1）3n﹣2+（2n+1）3n﹣1①3T n=3×3+5×32+7×33++（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n②（10分）①﹣②得﹣2T n=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n﹣1﹣（2n+1）3n（12分）=3+2（3+32+33++3n﹣1）﹣（2n+1）3n=，∴T n=n•3n（14分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
陕西省汉中中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)
汉中中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学试题（卷）注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,再判断选项的正误得解.【详解】由题得集合A=,所以,A∩B={0},故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集。
【详解】不等式可化简为且根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为所以选A【点睛】本题考查了分式不等式的解法，切记不能直接去分母解不等式，属于基础题。
3.若满足，约束条件，则的最大值为（）A. B. 1 C. -1 D. -3【答案】B【解析】如图，画出可行域，目标函数为表示斜率为-1的一组平行线，当目标函数过点时，函数取值最大值，，故选B.4.在中，若，则等于（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】由已知得sinB=2sinAsinB,又∵A,B为△ABC的内角,故sinB≠0,故sinA=,∴A=30°或150°.5.设，且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质对四个选项分别进行分析、判断可得结论．详解：对于A，当时，不等式不成立，故A不正确．对于B，当时，不等式不成立，故B不正确．对于C，当时，不等式不成立，故C不正确．对于D，根据不等式的可加性知不等式成立，故D正确．故选D．点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运用不等式的性质进行推理判断．（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．（3）特殊值验证法，即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．6.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 3B. 1C. 0D. -1【答案】C【解析】由，故选C.7.已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. 或B. 或C. D.【答案】D【解析】试题分析：恒成立，，当且仅当即时等号成立，所以，即，解之得，故选D.考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式的解法.【名师点睛】本题考查基本不等式与一元二次不等式的解法，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.视频8.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A. 6斤B. 7斤C. 8斤D. 9斤【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找出五个数中成等差数列的数组数，求出基本事件个数，求比值即可.【详解】“1”“2”“3”“4”“6”这五个数中成等差数列的数有“1,2,3”，“2,3,4”，“2,4,6”三组，从五个数中随机选取三个小球有，故所求概率为.【点睛】本题考查主要考查古典概型的应用.10.已知函数，则下列结论错误的是（）A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在区间上单调递减【答案】B【解析】【分析】根据周期的公式得到故A正确；函数图像的对称轴为可判断B错误；零点为，可判断C正确；单调减区间为可得到D正确.【详解】函数，周期为：故A正确；函数图像的对称轴为，不是对称轴，故B不正确；函数的零点为，当k=1时，得到一个零点为；函数的单调递减区间为：，解得x的范围为，区间是其中的一个子区间，故D正确.故答案为：B.【点睛】函数（A>0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数;（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=;（3）单调性：根据y=sin t和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间;（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x;利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.11.已知函数，且，则等于（）A. －2013B. －2014C. 2013D. 2014【答案】D【解析】当n为奇数时，，当n为偶数时，所以，故，所以，故选D.12.已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，，且公差不为0，若，则（）A. 45B. 15C. 10D. 0【答案】A【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得（-x）+f（x）=0，又由g（x）=f（x-5）+x且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，可得f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，结合等差数列的性质可得f（a1-5）=-f（a9-5）=f（5-a9），进而可得a1-5=5-a9，即a1+a9=10，进而计算可得答案．【详解】根据题意，函数y=f（x）为定义域R上的奇函数，则有f（-x）+f（x）=0，∵g（x）=f（x-5）+x，∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，即f（a1-5）+a1+f（a2-5）+a2+…+f（a9-5）+a9=45，即f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）=0，又由y=f（x）为定义域R上的奇函数，且在R上是单调函数，f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）是9项的和且和为0，必有f（a1-5）+f（a9-5）=0，则有a1-5=5-a9，即a1+a9=10，在等差数列中，a1+a9=10=2a5，即a5=5，则a1+a2+…+a9=9a5=45；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题(把答案填在答题纸的相应位置上)13.设向量，，若与垂直，则的值为_____【答案】【解析】与垂直14.设，则______．【答案】-1【解析】由题意，得；故填.15.如图，为了测量，两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度：，，，，且与互补，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】分别在△ACD，ABC中使用余弦定理计算cosB，cosD，令cosB+cosD=0解出AC．【详解】在△ACD中，由余弦定理得：cosD==，在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∵B+D=180°，∴cosB+cosD=0，即+=0，解得AC=7．故答案为：．【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于中档题．16.已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．【答案】9【解析】【分析】圆x2+y2-2x-4y+3=0关于直线ax+by-1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+2b=1，代入，利用基本不等式，确定最小值．【详解】由题设直线ax+by-1=0（a＞0，b＞0）过圆心C（1，2），即a+2b=1，∴，当且仅当a=b时的最小值为9，故答案为：9．【点睛】本题考查关于点、直线对称的圆的方程，基本不等式，考查计算能力，是基础题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17.已知为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．【答案】(1);(2).【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。
陕西省南郑县高二上学期期终考试数学试卷 有答案
陕西省南郑县高二上学期期终考试数学试卷考试时间：120分钟 总分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 命题p ：3是奇数，q ：5是偶数，则下列说法中正确的是( ）.A ．p 或q 为真B ．p 且q 为真C ．非p 为真D ． 非q 为假2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(0,4)D ．(0，－4) 3．设a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5 D.75．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ． (12 ，12)6．双曲线x 2－y 2＝1的焦点到其渐近线的距离等于( )A.12B.22 C ．1 D. 2 7．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，则f ′(x 0)表示( ) A ．自变量x ＝x 0时对应的函数值B ．函数值y 在x ＝x 0时的瞬时变化率C ．函数值y 在x ＝x 0时的平均变化率D ．无意义 8．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ． 1B ． －π4C . π4 D. 5π49． 若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A . 14 B ． 1 C ． 4 D ． 810．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( ）.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上)11. 已知x x x f cos ln )(+=，则=)2(/πf .12．命题：任意x ∈R ，使x 2＋x ＋7>0的否定为________．13．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝______.14．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．15．函数32395y x x x =--+在区间[44]-，上的最大值为 . 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16. (12分) 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，求双曲线的方程 。
陕西省汉中市南郑中学2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题只有1个正确答案，请把正确答案涂在答题卷（卡）相应位置．1．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．62．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．3．古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金多少斤？（）A．B．C．2 D．4．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞05．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣86．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解 B．两解 C．一解或两解D．无解7．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则8．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B． C． D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．910．下列说法错误的是（）A．如果命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”C．若命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣3＜0，则¬p：∀x∈R，x2+2x﹣3≥0D．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件=，若a1=，则a2016的值是（）11．数列{a n}满足a n+1A．B．C．D．=f（a n）12．给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＞a n（n∈N*），则该函数的图象是（）得到的数列{a n}满足a n+1A． B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式＞1的解集是．=，则=．14．若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC15．已知数列{a n}的前n项和为S n满足S n=a n+，则{a n}的通项公式．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求通项公式a n（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．19．已知数列f（x1），f（x2），…f（x n），…是公差为2的等差数列，且x1=a2其中函数f（x）=log a x（a为常数且a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）若a n=log a x n，求证++…+＜1．20．根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1，a2，…，a n，…，a2015；已知函数f（x）=a2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是a1，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．（Ⅰ）求函数y=f（x）表达式；（Ⅱ）已知△ABC中三边a，b，c对应角A，B，C，a=4，b=4，∠A=30°，求f（B）．21．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n的信息如图．（1）求a n；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=|2n﹣5|•a n，求数列{b n}的前n项和T n．2016-2017学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题只有1个正确答案，请把正确答案涂在答题卷（卡）相应位置．1．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．6【考点】基本不等式．【分析】由于x＞0，利用基本不等式求得函数的最小值．【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：B．2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．【考点】三角形的面积公式．=即可得出．【分析】利用三角形面积公式S△ABC===．【解答】解：S△ABC故选B．3．古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金多少斤？（）A．B．C．2 D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d=，a1=．∴该问题中未到三人共得金=a5+a6+a7=3a1+15d=斤．故选：D．4．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0【考点】二次函数的性质．【分析】由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，知a＜0，且△=b2﹣4ac＜0．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，∴a＜0，且△=b2﹣4ac＜0，综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．故选A．5．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．6．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解 B．两解 C．一解或两解D．无解【考点】正弦定理．【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．【解答】解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选B7．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则【考点】不等关系与不等式．【分析】对于A、当c＜0时，不成立；对于B、当c=0时，不成立；D、当a＞0．b＜0时，不成立，从而得出正确选项．【解答】解：A、当c＜0时，不成立；B、当c=0时，不成立C、∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0∴一定有a＞b．故C成立；D、当a＞0．b＜0时，不成立；故选C．8．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B． C． D．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理可求得答案．【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，=故选：D9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n 取最小值．故选A ．10．下列说法错误的是（ ）A ．如果命题“￢p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0﹣3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x ﹣3≥0D ．“sin θ=”是“θ=30°”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由复合命题的真假和真值表，可判断A ；由否命题的形式，既对条件否定，又对结论否定，可判断B ；由含有一个量词的命题的否定形式，可判断C ；根据充分必要的定义，结合诱导公式，即可判断D ．【解答】解：A ．如果命题“￢p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，则p 为假命题，q 一定是真命题，故A 正确；B ．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”，故B 正确；C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0﹣3＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x ﹣3≥0，故C 正确；D ．θ=30°可推出sin θ=，但sin θ=推不出θ=30°，因为sin150°=，故“sin θ=”是“θ=30°”的必要不充分条件，故D 错． 故选D ．11．数列{a n }满足a n +1=，若a 1=，则a 2016的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由数列{a n }满足a n +1=，a 1=，可得a n +3=a n ．【解答】解：∵数列{a n }满足a n +1=，a 1=，∴a 2=2a 1﹣1=，a 3=2a 2﹣1=，a 4=2a 3=，…， ∴a n +3=a n ．则a 2016=a 671×3+3=a 3=．故选：C．12．给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），则该函数的图象是（）A． B．C．D．【考点】数列的函数特性；函数的图象；数列递推式．【分析】由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．【解答】解：由a n+1=f（a n）＞a n知f（x）的图象在y=x上方．故选A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式＞1的解集是{x|﹣2＜x＜﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】把不等式右边的“1”移项到不等式左边，通分后根据分母不变只把分子相减计算后，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，然后根据两数相除，异号得负，根据商为负数得到x+2与3x+1异号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式，移项得：＞0，即＜0，可化为：或，解得：﹣2＜x＜﹣或无解，则原不等式的解集是{x |﹣2＜x ＜﹣}．故答案为：{x |﹣2＜x ＜﹣}14．若在△ABC 中，∠A=60°，b=1，S △ABC =，则=．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】又A 的度数求出sinA 和cosA 的值，根据sinA 的值，三角形的面积及b 的值，利用三角形面积公式求出c 的值，再由cosA ，b 及c 的值，利用余弦定理求出a 的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S △ABC =，∴bcsinA=×1×c ×=，解得c=4，根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：15．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n =a n +，则{a n }的通项公式 ．【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式求出数列首项，进一步得到数列{a n }是以1为首项，以﹣2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．【解答】解：由S n =a n +，得，解得a 1=1；当n ≥2时，由S n =a n +，得S n ﹣1=a n ﹣1+，两式作差可得，即a n =﹣2a n ﹣1 （n ≥2），∴数列{a n }是以1为首项，以﹣2为公比的等比数列，则．故答案为：．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求通项公式a n（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由b n==23n﹣5=，结合等比数列的求和公式即可求解【解答】解：（I）由题意可得，∵d≠0∴∴a n=3n﹣5（II）∵b n==23n﹣5=∴数列{b n}是以为首项，以8为公比的等比数列∴=18．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π﹣（A+B）]进而根据题设条件求得cosC，则C可求．（2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB．【解答】解：（1）∴C=120°（2）由题设：∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°=∴19．已知数列f（x1），f（x2），…f（x n），…是公差为2的等差数列，且x1=a2其中函数f（x）=log a x（a为常数且a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）若a n=log a x n，求证++…+＜1．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）由已知可得f（x1）==2，利用等差数列的通项公式与对数的运算性质即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：a n=2n，可得=﹣．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x1）==2，公差d=2．∴f（x n）=2+2（n﹣1）=2n，∴log a x n=2n，解得x n=a2n．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得：a n=log a x n=2n，∴===﹣．∴++…+=+…+=1﹣＜1．20．根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1，a2，…，a n，…，a2015；已知函数f（x）=a2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是a1，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．（Ⅰ）求函数y=f（x）表达式；（Ⅱ）已知△ABC中三边a，b，c对应角A，B，C，a=4，b=4，∠A=30°，求f（B）．【考点】伪代码；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知算法语句可知所求为2015个奇数的和；根据a1=1，a2=4，得到函数的周期，由对称轴x=，结合|φ|＜得到φ，从而求出三角函数解析式；（Ⅱ）由正弦定理计算B，即可求f（B）．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，a n=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2而a1=1也符合a n=n2，知a1=1，a2=4，所以函数y=f（x）的最小正周期为1，所以ω=2π，则f（x）=4sin（2πx+φ），又函数y=f（x）的图象关于直线x=对称所以+φ=kπ+（k∈Z），因为|φ|＜，所以φ=，则f（x）=4sin（2πx+）（Ⅱ）由正弦定理计算，∴sinB=，∴B为或，可得f（B）=4sin（+）或4sin（+）21．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n的信息如图．（1）求a n；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？【考点】数列的求和；基本不等式；数列的函数特性．【分析】（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，由此能求出这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．【解答】解：（1）如图，a1=2，a2=4，∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．即从第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，当且仅当n=5时，年平均收益最大．所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．22．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=|2n﹣5|•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据4S1，3S2，2S3成等差数列．根据等差中项6S2=4S1+2S3，化简整理求得q=2，写出通项公式；（Ⅱ）讨论当n=1、2时，求得T1=6，T2=10，写出前n项和，采用错位相减法求得T n．【解答】解：（Ⅰ）∵4S1，3S2，2S3成等差数列，∴6S2=4S1+2S3，即6（a1+a2）=4a1+2（a1+a2+a3），则：a3=2a2，q=2，∴；（Ⅱ）当n=1，2时，T1=6，T2=10，当n≥3，T n=10+1×23+3×24+…+（2n﹣5）•2n，2T n=20+1×24+3×25+…+（2n﹣7）×2n+（2n﹣5）×2n+1，两式相减得：﹣T n=﹣10+8+2（24+25+…+2n）﹣（2n﹣5）×2n+1，=﹣2+2×﹣（2n﹣5）×2n+1，=﹣34+（7﹣2n）•2n+1，∴T n=34﹣（7﹣2n）•2n+1．∴．2016年12月19日。
陕西省南郑县中学高二上学期期中考试数学(理)试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题的四个选项只有一个是符合题目要求的。
（5*10=50）1、正弦定理是指（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）Cc B b A a sin sin sin == 2、若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=∙=>>，则下列不等式成立的是（ ） (A) R<P<Q (B) P<Q<R (C) Q<P<R (D) P<R<Q3、不等式0)3)(2)(1(>---x x x 的解集是（ ）。
A.（1，2）B. +∞）C.（1，3）D. （2，3）4、在△ABC 中，若A=30°，B=60°，则（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）5、已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．（－2，1 ）C ．[－1，2]D ．[1，2]6、在△ABC 中，，，A=45°，则B=（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°7、已知等差数列的前项和为，若 42009OB a OA a OC =+，且三点共线（为该直线外一点），则等于(A) 2012 ( B) 1006 (C) (D)8、不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．9、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A. B. C. D.10、若实数x,y 满足不等式组 则当恒成立时,实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（本题5小题，把正确答案写在题中的横线上，5*5=25分）11、设等比数列的公比，前项和为，则 。
高二数学上学期期中试题陕(共5页)
高二数学(shùxué)第一学期期中考试试题〔考试时间是是：120分钟，总分：150分〕〔第一卷选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1不等式表示的平面区域在直线的〔〕A．左上方 B．左下方 C．右上方 D．右下方2集合,那么〔〕A． B． C． D．3等差数列中，，那么〔〕A. B. C. D.4公比为2的等比数列{}n a的各项都是正数，且，那么〔〕A. 1B.2C. 4D.85假如，那么以下命题中正确的选项是〔〕A．假设，那么B．假设，那么C．假设，那么D．假设da>>,，那么bc6在中，假设，那么ABC∆的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定7在各项都为正数的等比数列{}n a中，首项，前三项和为，那么〔〕A.33B.72 C8等差数列(děnɡ chā shù liè){}n a的前项的和为，前项的和为，那么它的前项的和为( )A. B. C. D.9设，那么有( )A． B． C． D．10等差数列{}n a的公差不为零，首项，是和的等比中项，那么数列的前10项之和是〔〕A. 100B. 120C. 145D. 19011〔理科〕满足以下约束条件，那么〔〕A. 有最大值3，最小值0B. 有最大值5，最小值0C. 有最大值，最小值0D. 有最大值5，最小值2〔文科〕yx,满足以下约束条件，那么的最小值〔〕A. B. C. D.12〔理科〕关于的不等式的解集为，那么的取值范围〔〕A. B. C. D.〔文科〕关于x的不等式的解集为R，那么a的取值范围〔〕A. B. )2,(-∞ C. D.〔第二卷非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共(yīgòng)4小题，每一小题5分，一共20分．把正确答案填在后面的横线上．的解集是．∆中，且，那么．ABC15． .{}a中，，那么{}n a的前4项和为．n三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17.(10分)等比数列{}n a中，，公比，前项和，求首项∆中，分别为内角的对边，且18．(10分)在ABC〔1〕求；〔2〕假设，求.x,都是正数．19.(12分)y(1)假设，求的最大值；(2)假设(jiǎshè)，求的最小值．20.(12分)求解关于x的不等式.21．(12分)在约束条件下，〔1〕求的最大值和最小值.〔2〕求的最大值和最小值.22．(14分)函数满足，〔1〕当时，求的表达式.〔2〕设.〔3〕〔第三(d ì sān)问理科做，文科不做〕内容总结。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
【精品】2018学年陕西省汉中市南郑中学高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2018学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2（n∈N*），则a n为（）A．n2﹣1B．n2C．2n D．2n﹣12．（5分）在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．（5分）不等式|x|x（1﹣2x）＞0的解集是（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若A=30°，B=60°，则a：b：c=（）A．1：2：3B．2：3：4C．1：：2D．1：：25．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．26．（5分）设a，b∈R且a+b=3，则2a+2b的最小值是（）A．4B．2C．16D．87．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④a＞b，则＞．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形9．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．192里B．96里C．48里D．24里10．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2]C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）11．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．12．（5分）数列{a n}，{b n}满足a n b n=1，a n=（n+1）（n+2），则{b n}的前10项之和为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）不等式（x﹣1）（x+6）（x+3）＜0的解集为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则a4+a5+a6=．15．（5分）已知x＞1，函数f（x）=x+的最小值是．16．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）$\begin{array}{l}17．（10分）求下列不等式的解集：（1）x2+2x﹣15＜0；（2）．18．设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．。
陕西省南郑中学高二上学期期中考试数学(文)试题.pdf
全卷21题，分为选择题和非选择题两部分共150分；考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 选择题：（本大题10小题，每题5分，共50分。
每个题给出4个选项，只有一个是正确答案）。
1．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则a∶b∶cA 1∶2∶3 B 3∶2∶1 C 2∶∶1D 1∶∶2 2. 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是() A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b }，则a + b的值为（ ）A －1B 1C 0D 2 4. 在△ABC中，若则∠ ( ) A． B． C． D． 5. 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“NM”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 命题“所有能被2整除的整都是偶”的否定是() A．所有不能被2整除的整都是偶 B．所有能被2整除的整都不是偶 C．存在一个不能被2整除的整是偶 D．存在一个能被2整除的整不是偶ABC中，∠A=60°,a=,b=4ABC （ ）A 无解B 有解C 有两解D 不能确定 8. 已知点P（）和点A（2,3）在直线l：x+4y-6=0的异侧，则（ ） A．B．C． D． 9. 下列结论正确的是 ( ) A 当 B C D 10. 10. 已知x、y满足以下约束条件 ，使z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）A －3B 3C －1D 1 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分） 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 不等式： 。
12. 不等式的解集是 。
13. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是 。
14. 在a克糖水中含有b克塘（a>b>0），若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了。
陕西省汉中市高二上学期期中数学试卷
陕西省汉中市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知条件p:x<1，条件，则p是q成立的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2016高二上·临川期中) 对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A . 如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB . 如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C . 如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD . 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3. （2分）设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A . 9，12B . 8，11C . 8，12D . 10，124. （2分）(2016·柳州模拟) 在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为（）A .C .D .5. （2分）如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子（假设它落在正方形区域内任何位置的机会均等），它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）A .B .C .D . 无法计算6. （2分）已知有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程为 = + x，方程中的回归系数（）A . 可以小于0B . 只能大于0C . 可以为0D . 只能小于07. （2分）同时掷两颗骰子，向上点数之和小于5的概率是（）A .B .D .8. （2分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱DD1⊥底面ABCD，P为底面ABCD内的一个动点，当△D1PC的面积为定值b（b＞0）时，点P在底面ABCD上的运动轨迹为（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆9. （2分） (2017高二下·福州期中) 已知曲线y= ﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为（）A . 3B . 2C . 1D .10. （2分） (2018高一下·定远期末) 扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C ， D ， E将弧AB等分成四份．连接OC ， OD ， OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是（）A .B .C .11. （2分）(2018高二上·黑龙江期中) 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，且两点为在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·綦江期末) 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足. 当点在圆上运动时，满足的动点的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共18分)13. （1分） (2016高一下·珠海期末) 从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本．若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．14. （15分） (2019高二下·临川月考) 已知曲线是中心在原点，焦点在轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是，线段是过曲线右焦点的一条弦，是弦的中点。
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2017-2018学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2（n∈N*），则a n为（）A．n2﹣1 B．n2C．2n D．2n﹣12．（5分）在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．（5分）不等式|x|x（1﹣2x）＞0的解集是（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若A=30°，B=60°，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：：2 D．1：：25．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．26．（5分）设a，b∈R且a+b=3，则2a+2b的最小值是（）A．4 B．2 C．16 D．87．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④a＞b，则＞．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（5分）在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形9．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．192 里B．96 里C．48 里D．24 里10．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2]C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）11．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．12．（5分）数列{a n}，{b n}满足a n b n=1，a n=（n+1）（n+2），则{b n}的前10项之和为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）不等式（x﹣1）（x+6）（x+3）＜0的解集为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则a4+a5+a6=．15．（5分）已知x＞1，函数f（x）=x+的最小值是．16．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）$\begin{array}{l}17．（10分）求下列不等式的解集：（1）x2+2x﹣15＜0；（2）．18．设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若A=120°，b=3，c=5．（1）求a的值；（2）求sinB•sin C的值．20．（12分）解关于x的不等式x2+（1﹣a）x﹣a＜0．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2+ab．（1）求角C的大小；（2）若a+b=8，求三角形面积S的最大值．22．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．2017-2018学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2（n∈N*），则a n为（）A．n2﹣1 B．n2C．2n D．2n﹣1【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2（n∈N*），∴数列{a n}是公差为d=2的等差数列，则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，故选：D．2．（5分）在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：根据余弦定理得cosB===B∈（0，180°）∴B=60°故选：C．3．（5分）不等式|x|x（1﹣2x）＞0的解集是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，原不等式化为：x2（1﹣2x）＞0⇔2x﹣1＜0，解得：0＜x＜；当x＜0时，原不等式化为：﹣x2（1﹣2x）＞0⇔2x﹣1＞0，解得：x＞．又x＜0，∴不等式无解．综上所述，不等式|x|x（1﹣3x）＞0的解集是（0，）．故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若A=30°，B=60°，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：：2 D．1：：2【解答】解：在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若A=30°，B=60°，C=90°，则由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin60°：sin90°=1：：2，故选：D．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．6．（5分）设a，b∈R且a+b=3，则2a+2b的最小值是（）A．4 B．2 C．16 D．8【解答】解：∵2a＞0，2b＞0，a+b=3，∴2a+2b≥2=2=2=4（当且仅当a=b=时取“=”）．即2a+2b的最小值是4．故选：A．7．（5分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④a＞b，则＞．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：选项①ac2＞bc2，则a＞b正确，由不等式的性质可得；选项②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d正确，由不等式的可加性可得；选项③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，需满足abcd均为正数才可以；选项④a＞b，则＞错误，比如﹣1＞﹣2，但＜．故选：B．8．（5分）在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形【解答】解：∵，又∵cosC=，∴=，整理可得：b2=c2，∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．故选：A．9．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．192 里B．96 里C．48 里D．24 里【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96里，∴第二天走了96里，故选：B．10．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2]C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立②当a≠2时，要求解得：a∈（﹣2，2）综合①②可知：a∈（﹣2，2]故选：C．11．（5分）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选：A．12．（5分）数列{a n}，{b n}满足a n b n=1，a n=（n+1）（n+2），则{b n}的前10项之和为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a n b n=1，a n=（n+1）（n+2），∴=，∴{b n}的前10项之和S10=+…+（）==．故选：D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）不等式（x﹣1）（x+6）（x+3）＜0的解集为（﹣3，1）∪（﹣∞，﹣6）．【解答】解：不等式（x﹣1）（x+6）（x+3）＜0，即为或，即为或，可得x∈∅或﹣3＜x＜1或x＜﹣6，则解集为（﹣3，1）∪（﹣∞，﹣6）．故答案为：（﹣3，1）∪（﹣∞，﹣6）．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则a4+a5+a6=112．【解答】解：由题意，{a n}是等比数列，前n项和为S n，且，那么：，，则a4+a5+a6=S6﹣S3=128﹣16=112．故答案为：112．15．（5分）已知x＞1，函数f（x）=x+的最小值是3．【解答】解：∵x＞1∴x﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”故答案为：316．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于或．【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，当C=120°时，A=30°，故答案为：或三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）$\begin{array}{l}17．（10分）求下列不等式的解集：（1）x2+2x﹣15＜0；（2）．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣15＜0，∴（x+5）（x﹣3）＜0，解得：﹣5＜x＜3，故不等式的解集是（﹣5，3）；（2）∵≥2，∴≤0，解得：﹣1≤x＜0，故不等式的解集是[﹣1，0）．18．设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．∴，解得a1=9，d=﹣2，∴a n=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．（2）{a n}的前n项和S n==﹣n2+10n=﹣（n﹣5）2+25，∴当n=5时，S n取得最大值2519．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若A=120°，b=3，c=5．（1）求a的值；（2）求sinB•sinC的值．【解答】解：（1）△ABC中，A=120°，b=3，c=5，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=32+52﹣2×3×5cos120°=49，∴a=7；（2）由正弦定理得，=====；∴sinB•sinC=×=×3×5=．20．（12分）解关于x的不等式x2+（1﹣a）x﹣a＜0．【解答】解：不等式x2+（1﹣a）x﹣a＜0可化为（x+1）（x﹣a）＜0，①当a=﹣1时，不等式为（x+1）2＜0，此时不等式的解集为∅；②当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜a}；③当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣a＜x＜﹣1}．综上，a=﹣1时不等式的解集为∅；a＞﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜a}；a＜﹣1时，不等式的解集为{x|a＜x＜﹣1}．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2+ab．（1）求角C的大小；（2）若a+b=8，求三角形面积S的最大值．【解答】解：（1）∵a2+b2=c2+ab，∴变形得：a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理可得：cosC===，∵C∈（0，π），∴C=．（2）由a+b=8，可得：a+b=8≥2 （当且仅当a=b取等号），即有0＜ab≤16，可得△ABC的面积为S=absinC=ab≤=4，当且仅当a=b=4，取得最大值4．22．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n +1+b n +1=nb n ．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{b n }的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n +1+b n +1=nb n ．当n=1时，a 1b 2+b 2=b 1．∵b 1=1，b 2=，∴a 1=2，又∵{a n }是公差为3的等差数列，∴a n =3n ﹣1，（Ⅱ）由（I ）知：（3n ﹣1）b n +1+b n +1=nb n ．即3b n +1=b n ．即数列{b n }是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n }的前n 项和S n ==（1﹣3﹣n ）=﹣．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。