23立体上直线的投影
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机械制图-点与直线在立体表面的投影
画透视图 中心投影法 投影方法 平行投影法 直角投影法（正投影法） 直角投影法（正投影法） 画工程图样 及正轴测图
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画斜轴测图 斜角投影法
中心投影法
投射中心 投射线 物体 投影 投影面
物体位置改 变，投影大 小也改变
投影特性
投射中心、物体、 投射中心、物体、投影面三者之间 的相对距离对投影的大小有影响。 的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ 正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而 水平线（平行于Ｈ 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ 铅垂线（垂直于Ｈ面）
● ●
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 影面上的投影重合为一 则称此两点为该 点时，则称此两点为该 投影面的重影点 的重影点。 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( 影加 )
a″ ″ c″ ″
c′● ′
●
a (c )
●
A、C为哪个投 、 为哪个投 影面的重影点 呢？
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二、直线的投影
两点确定一条直线， 两点确定一条直线，将两 点的同名投影用直线连接， 点的同名投影用直线连接， 就得到直线的同名投影。 就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性
解法一: 解法一
a′● ′ ax az ″ ●a″
通过作45° 通过作 °线 使a″az=aax ″
a● 解法二: 解法二 用圆规直接量 ″ 取a″az=aax
a′● ′ ax az
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画斜轴测图 斜角投影法
中心投影法
投射中心 投射线 物体 投影 投影面
物体位置改 变，投影大 小也改变
投影特性
投射中心、物体、 投射中心、物体、投影面三者之间 的相对距离对投影的大小有影响。 的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ 正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而 水平线（平行于Ｈ 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ 铅垂线（垂直于Ｈ面）
● ●
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 影面上的投影重合为一 则称此两点为该 点时，则称此两点为该 投影面的重影点 的重影点。 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( 影加 )
a″ ″ c″ ″
c′● ′
●
a (c )
●
A、C为哪个投 、 为哪个投 影面的重影点 呢？
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二、直线的投影
两点确定一条直线， 两点确定一条直线，将两 点的同名投影用直线连接， 点的同名投影用直线连接， 就得到直线的同名投影。 就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性
解法一: 解法一
a′● ′ ax az ″ ●a″
通过作45° 通过作 °线 使a″az=aax ″
a● 解法二: 解法二 用圆规直接量 ″ 取a″az=aax
a′● ′ ax az
中职机械制图教案：立体上点、线、面的投影(全3课时)
江苏省XY中等专业学校2022-2023-1教案教学内容1.点的三面投影习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示。
空间点A的位置确定后，那么它的三面投影（a、a′、a″）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。
2.点的三面投影规律（教师要注意解释）aa′⊥OX；a′a″⊥OZ；a′a yH= a″a yE点的投影规律与“长对正、宽相等和高平齐”是一致的。
3.点的投影和直角坐标系的关系A（x、y、z）空间A点到W面的距离为坐标X，即A→W=x；空间A点到V面的距离为坐标X，即A→V=y；空间A点到H面的距离为坐标X，即A→H=z。
空间点A与其坐标（x、y、z）式一一对应的关系，同样空间点A与其三面投影（a、a′、a″）也是一一对应的关系，从而我们可以得出点的投影与点的坐标也存在着一定的联系。
即水平投影a→(x、y)；正面投影a→(x、z)；侧面投影a→(y、z)教学内容教师提问：点的三个坐标值与点的位置有什么样的关系？即坐标值为多少时，点在空间？点在投影面上？点在投影轴上？点在原点？例题1：已知点A的V面投影a'和W面投影a X，求作H面投影a。
分析：根据点的投影规律可知：aa′⊥OX，过a′点作OX轴的垂线a′a X,所求a必定在a'a X的延长线上。
由aa X= a″a z，可确定a在a′a X延长线上的位置。
作图：（1）过a′作a′a X⊥OX并延长，如图2-14b所示。
（2）量取aa X= a″a z，可求得a。
也可如图2-14c 所示，利用45。
线作图。
4.两点的相对位置前面我们已经知道点在空间里的位置可由其坐标值来确定，假如空间里有两点A和B，那么它们之间的位置关系又如何确定？空间两点的位置关系可由两点的同名坐标值的差来确定。
如xA>xB、yB>yA、zA>zB，则点A在点B的左边、后面和上面。
例题2：已知空间点C（16，5，6），点D在点C 之右10mm、之前7mm、之上8mm，求作C、D两点的三面投影，如图2-16所示。
直线的投影
➢ 若直线上的点分线段成比例，则此点的各投影相应地分该线 段的同面投影成相同的比例，称为定比性。点E分直线AB为 AE 和EB 两段，则有
AE︰EB＝ae︰eb＝a′e′︰e′b′
➢ 当直线为一般位置直线或投影面垂直线时，判断点是否在直 线上，通过两面投影即可
➢ 当直线为投影面平行线时，应根据投影情况通过两面或三面 投影或定比性才能判断
1．ab ⊥OX a″b″⊥OZ
2．ab ＝a″b″＝AB 3．a ′b′积聚成一点
1．a′b′⊥OZ ab ⊥OYH
2．ab ＝a′b′＝AB 3．a″b″积聚成一点
课堂练习
1.当直线与投影面平行时，该投影面上的投影具有（ ） A.积聚性 B.真实性 C.类似性 D.收缩性
2.当直线与投影面垂直时，该投影面上的投影具有（ ） A.积聚性 B.真实性 C.类似性 D.收缩性
在《房屋建筑制图统一标准》中 规定，图线的宽度b宜从下列线宽 中选取：1.4，1.0，0.7，0.5， 0.35，0.25，0.18，0.13 mm。 每个图样应根据图样复杂程度与 比例大小先确定基本线宽b，再选 用表1-6中的相应线宽组。对于图 纸的图框线、标题栏外框线和标 题栏分格线，可采用表1-7所示的 线宽。
项目四
直线的投影
目录 CONTENTS
01 任务一 一般位置直线 02 任务二 特殊位置直线 03 任务三 直线上的点 04 任务四 两直线的相对位置
项目四
直线的投影
技术目标
能够根据直线的三面投影判 断直线的类型
能够判断两直线的相对位置
04
01
知识目标
了解直线的类型
第3页
教学 目标
02
知识目标
掌握一般位置直线、投影 面平行线、投影面垂直线 的投影特性
AE︰EB＝ae︰eb＝a′e′︰e′b′
➢ 当直线为一般位置直线或投影面垂直线时，判断点是否在直 线上，通过两面投影即可
➢ 当直线为投影面平行线时，应根据投影情况通过两面或三面 投影或定比性才能判断
1．ab ⊥OX a″b″⊥OZ
2．ab ＝a″b″＝AB 3．a ′b′积聚成一点
1．a′b′⊥OZ ab ⊥OYH
2．ab ＝a′b′＝AB 3．a″b″积聚成一点
课堂练习
1.当直线与投影面平行时，该投影面上的投影具有（ ） A.积聚性 B.真实性 C.类似性 D.收缩性
2.当直线与投影面垂直时，该投影面上的投影具有（ ） A.积聚性 B.真实性 C.类似性 D.收缩性
在《房屋建筑制图统一标准》中 规定，图线的宽度b宜从下列线宽 中选取：1.4，1.0，0.7，0.5， 0.35，0.25，0.18，0.13 mm。 每个图样应根据图样复杂程度与 比例大小先确定基本线宽b，再选 用表1-6中的相应线宽组。对于图 纸的图框线、标题栏外框线和标 题栏分格线，可采用表1-7所示的 线宽。
项目四
直线的投影
目录 CONTENTS
01 任务一 一般位置直线 02 任务二 特殊位置直线 03 任务三 直线上的点 04 任务四 两直线的相对位置
项目四
直线的投影
技术目标
能够根据直线的三面投影判 断直线的类型
能够判断两直线的相对位置
04
01
知识目标
了解直线的类型
第3页
教学 目标
02
知识目标
掌握一般位置直线、投影 面平行线、投影面垂直线 的投影特性
直线的投影
2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影
直线的三面投影
正平线
b” AB b’ a’ γ α a” b” a’ b’ a b a b β AB b” α
侧平线
a”
β a AB γ b
请点击鼠标左键显示后面内容
总有二组坐标相等,二个倾角为零. 2.投影面垂直线 2.投影面垂直线—— 总有二组坐标相等,二个Y 铅 垂直于 V 面的直线 X.Z坐标相等，称为 正垂线； X.Z坐标相等， 坐标相等 垂线； W Y.Z 侧 H α 直线与 V 面的夹角称为 β ；(总有二个倾角为0) 总有二个倾角为0) W γ
a’
b’ b
d’ d
a’ a
c’
0
a
c b
d
b’ b
c ’ e ’ d’
a’
x
b’
c’
Z
0
d
a
e
c
d’
c
0 Yw
b
b
d
Yh
请点击鼠标左键显示后面内容
练习1 练习1：已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， AB、 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，并填空。 在投影图中标注其投影位置，并填空。
a’’
X
c a
0
Y
b YH
线， ’b ’ 反映 AB 实长； 实长； a b
AB 是 正平线
a AC 是 水平线 线。 c 反映 AC
请点击解答显示其内容
a’
b’
a’’
c’
d’
b’’
a
b
c d） （
一般位置
铅垂
请点击解答显示其内容
练习2 练习2： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三 已知直线AB AC的二投影 AB、 的二投影， 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。
b” AB b’ a’ γ α a” b” a’ b’ a b a b β AB b” α
侧平线
a”
β a AB γ b
请点击鼠标左键显示后面内容
总有二组坐标相等,二个倾角为零. 2.投影面垂直线 2.投影面垂直线—— 总有二组坐标相等,二个Y 铅 垂直于 V 面的直线 X.Z坐标相等，称为 正垂线； X.Z坐标相等， 坐标相等 垂线； W Y.Z 侧 H α 直线与 V 面的夹角称为 β ；(总有二个倾角为0) 总有二个倾角为0) W γ
a’
b’ b
d’ d
a’ a
c’
0
a
c b
d
b’ b
c ’ e ’ d’
a’
x
b’
c’
Z
0
d
a
e
c
d’
c
0 Yw
b
b
d
Yh
请点击鼠标左键显示后面内容
练习1 练习1：已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， AB、 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，并填空。 在投影图中标注其投影位置，并填空。
a’’
X
c a
0
Y
b YH
线， ’b ’ 反映 AB 实长； 实长； a b
AB 是 正平线
a AC 是 水平线 线。 c 反映 AC
请点击解答显示其内容
a’
b’
a’’
c’
d’
b’’
a
b
c d） （
一般位置
铅垂
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练习2 练习2： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三 已知直线AB AC的二投影 AB、 的二投影， 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。
第三章 平面立体的投影及线面投影分析-第一讲
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
Z
a
b Z
a(b)
V
a
b ab
A B O W
X
O b YH
YW
X
a
Ha
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应 的投影轴，且都等于该直线的实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平 行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间 直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必 垂直于积聚投影所在的投影面。
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
直线的分类
直线与投影面的夹角，称为直线与投影面的倾角。对水平投影面的倾 角叫水平倾角，用α表示；对正立投影面的倾角叫正面倾角，用β表示； 对侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用γ表示。 投影面垂直线
特殊位置直线 直 线 一般位置直线
直线在投影图上表现出来的特性，常与直线对投影面的倾斜状态有 关。根据直线与投影面的倾斜状态，直线分为三种类型：投影面平行线、 投影面垂直线、任意倾斜直线。
根据从属性判断点与直线的相对位置
V
n'
m'
N A
a'
M X B
n' b'
m'
a'
b'
X
O
O
b
n
m
a
H
a m b n
注意：对于侧平线还需考察侧面投影。
第三章 平面立体的投影及线2
b’ a’ V X H a d’ c’
b
d c
0
c1’
b1’ a1’
例题
求点S到平面ABC的距离
k1
s1 距离
例题
已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
d e
N
d
2、投影面平行面（目的是得到反映平面实形的投影）
平面与投影面的位置关系有三种：平行、垂直、任意斜平面。 投影面平行面其投影已反映实形，不需作辅助投影。
H
YH (a)投影面水平面
YH
（2）正平面：平行于正立投影面的平面 a、在V面投影反映实形 b、在H 、W面的投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OX、OZ
Z Z V W YW X X YW
H
YH
YH
(b)投影面正平面
（3）侧平面：平行于侧立投影面的平面 a、在W面投影反映实形 b、在H 、V面的投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OYH、OZ Z Z V W YW X X YW
⑴反映投影面垂直面实形的辅助投影
投影面垂直面本身垂直于原投影面之一，因此在垂直于原投影面内作一平行于垂直面的平面即可。 作图步骤： a.作O1X1∥ac(b),建立新投影体系V1/H. b.过a作的O1X1垂线，在垂线上量取a1´ax´=a´ax´,得a1´. c.过c(b)点作O1X1的垂线，在垂线上量取b1´b´x=b´bx´, c1´bx´=c´bx,得b1´和c1´. d.连接a1´b1´和a1´c1´和b1´c1´得△a1´ b1´c1´，即为△ABC的实形。
第三章立体上直 线的投影分析 3.2.5 直线的辅助 投影
两直线位置关系的判定： 判定两直线与投影面的位置关系 一、两条都为投影面斜直线。 1、其两面投影均相交。看交点是否符合点的投影规律：符合， 则两直线相交；否则就是交错。
3-3 平面立体-立体上各种位置直线的投影
一般位置直线的投影特性
各投影的长度均小于直线本身的实长； 直线的各投影均不平行于各投影轴。
§3-3 立体上各种位置直线的投影
本节结束
§3-3 立体上各种位置直线的投影
Y
二、投影面垂直线
2.正垂线 积聚性
V
a‘（b‘）
投影特性
1)a’b’ 积聚为一点； 2)ab =a”b” =AB ； 3)ab⊥OX 轴，a”b” ⊥OZ 轴。
Z
a'(b' ) b”
Z
b''
a''
B
X A b a O
a”
X
O b a
YW
实长
Y
YH
§3-3 立体上各种位置直线的投影
二、投影面垂直线
X
Z V
Z V a' A
W
b' B a "(b ") W
a" W
a' (b ') b
B A H a
b"
X
a" Y
a
b
Y H
§3-3 立体上各种位置直线的投影
三、一般位置直线
不平行于任何投影面的直线称为一般位置直线。
Z V k' A b' a" k" K B X a k b H Y W a'
b"
3.侧平线
投影特性 1)a” b” =AB ；
2)反映α、β实角； 3) ab∥OY 轴，a’b’∥OZ 轴。
Z V
a’ b’ X b a A β B
O
实长
β
a’
b’
Z
《直线的投影》课件
尺度
表示投影图与实际物体之间的比例关系，是制图时 必不可少的基本元素。例如，“1：100”表示实际长 度为1厘米的线段在图上的表示长度为1米。
直线投影的主要应用领域
1 建筑设计
投影法在建筑设计中得到广泛应用，如建筑 平面图、立面图等。
2 机械制图
机械零件的制图采用的就是正交投影法，通 过正面、侧面、后面投影图来表示三维零件 的全貌。
直线投影在电子工程中的应用
通过直线投影，电子工程师可以在不需要细节3D表示的情况下，快速精确地进行电路板的布局和定位，保证 电路板生产的全过程。
直线投影在艺术设计中的应用
直线投影在现代建筑和艺术设计中得到了广泛应用，它强调形态的简洁、准确、科技感，体现出现代艺术设计 与数学的关联性。
直线投影的优点和局限性
3 地理测量
4 电子工程
进行地图绘制时，经常采用大地坐标系，根 据这个坐标系得到的结果即为大地直线投影。
将电路板立体图像投影至平面上，方便进行 电路板生产和布线。
如何应用直线投影解决实际问题？
在物体制图时，如果要制作与该物体三维结构相关的平面图，那么使用直线投影就是比较好的选择，它可以帮 助工程师、设计师、绘图员等解决设计和生产中的问题。
《直线的投影》PPT课件
直线的投影是一种重要的工程学概念，我们将会深入研究投影原理和实际应 用。
什么是直线的投影？
直线投影是指将一个物体上各个点的坐标通过一个固定方向线投射到另一个 平面上，生成这些点在该平面上的映像。它是建筑、机械、电子、地理测量 和其他领域中最常用的绘图方式之一。
投影的定义和基本概念介绍
优点
• 概念简单 • 图形清晰整洁 • 容易取得尺寸和形状的数值信息 • 在建筑、机械、电子等领域得到广泛应用
《立体上直线的投影》课件
通过投影分析，设计师可以发现潜在的设计问题，并及时进行修正，从而提高产品 的质量和设计的效率。
立体几何问题的解决
立体几何是研究三维空间中图形和物 体的一门学科，而立体上直线的投影 是解决立体几何问题的重要工具之一 。
掌握立体上直线的投影原理和方法， 有助于提高解决立体几何问题的能力 和数学素养。
通过立体上直线的投影，可以解决各 种立体几何问题，如直线和平面的交 点、点到平面的距离、两平面之间的 夹角等。
表现力。
03
立体上直线的投影性质
直线在平面上的投影性质
01
02
03
04
直线在平面上的投影仍为直线 或点
直线与平面平行时，投影为一 点
直线与平面垂直时，投影为一 直线
直线与平面斜交时，投影为一 直线且与原直线不相交
直线与平面的关系
直线与平面平行：直 线与平面无交点
直线与平面斜交：直 线与平面有且仅有一 个交点
02
投影的基本概念
投影的定义
投影
根据光的直线传播原理， 将物体在某一方向上的投 影映射到某一平面上，以 反映物体的形状和大小。
投影面
接受投影的平面，通常为 垂直于投影方向的平面。
投影线
连接物体各点和投影面的 线，通常为平行于投影方 向的线。
投影的分类
01
正投影
当投影线与投影面垂直时，得到的投影称为正投影。正投影具有真实反
直线与平面的相交定理
总结词
当直线与平面相交时，该直线在平面上的投影是一条折线。
详细描述
当直线与平面相交时，该直线在平面上的投影是一条折线。这是因为直线与平面 的法线不平行也不垂直，所以直线上任意两点的投影会形成不同的距离和角度。
立体几何问题的解决
立体几何是研究三维空间中图形和物 体的一门学科，而立体上直线的投影 是解决立体几何问题的重要工具之一 。
掌握立体上直线的投影原理和方法， 有助于提高解决立体几何问题的能力 和数学素养。
通过立体上直线的投影，可以解决各 种立体几何问题，如直线和平面的交 点、点到平面的距离、两平面之间的 夹角等。
表现力。
03
立体上直线的投影性质
直线在平面上的投影性质
01
02
03
04
直线在平面上的投影仍为直线 或点
直线与平面平行时，投影为一 点
直线与平面垂直时，投影为一 直线
直线与平面斜交时，投影为一 直线且与原直线不相交
直线与平面的关系
直线与平面平行：直 线与平面无交点
直线与平面斜交：直 线与平面有且仅有一 个交点
02
投影的基本概念
投影的定义
投影
根据光的直线传播原理， 将物体在某一方向上的投 影映射到某一平面上，以 反映物体的形状和大小。
投影面
接受投影的平面，通常为 垂直于投影方向的平面。
投影线
连接物体各点和投影面的 线，通常为平行于投影方 向的线。
投影的分类
01
正投影
当投影线与投影面垂直时，得到的投影称为正投影。正投影具有真实反
直线与平面的相交定理
总结词
当直线与平面相交时，该直线在平面上的投影是一条折线。
详细描述
当直线与平面相交时，该直线在平面上的投影是一条折线。这是因为直线与平面 的法线不平行也不垂直，所以直线上任意两点的投影会形成不同的距离和角度。
机械制图习题集项目3 绘制简单形体的三视图——答案
项目3 绘制简单形体的三视图1.说明三视图之间的投影关系和方位关系，并在各视图中注明其方位。
班级：姓名：学号：2.分析下列三视图，找出其对应的轴测图，并在轴测图中填上对应三视图的编号。
班级：姓名：学号：3.分析下列三视图，找出其对应的轴测图，并在轴测图中填上对应三视图的编号。
班级：姓名：学号：1.根据立体图中各点的位置，画出它们的三面投影，并量出各点到投影面的距离及坐标值。
（单位：mm；度量值取整数）班级：姓名：学号：2.根据各点的三面投影图，作出它们的立体图，并写出各点的坐标值。
（单位：mm；度量值取整数）A（15、15、20）、B（20、0、25）、C（0、20、0）3.已知点A在V面前方30mm，点B在H面上方20mm，点C在V面上，点D在H 面上，点E在X轴上，补全各点的两面投影。
班级：姓名：学号：4.已知各点的两面投影，求作第三面投影，并说明两点的相对位置。
点A在点B的（上、下）下方，（左、右）左方，（前、后）后方；点C在点A的（上、下）上方，（左、右）右方，（前、后）前方。
5.已知各点的两面投影，求作第三面投影，并说明两点的相对位置。
点C、B的重影点是 c″（b″），点B在点C的正右方。
点A、B的重影点是 a（b），点B在点A的正下方。
点D在 Y 轴上。
班级：姓名：学号：6.根据所给点的三面投影，对比它们的相对位置。
（单位：mm；度量值取整数）7.已知立体上各点的两面投影，求作第三面投影。
并说明各点的相对位置。
点A与点B的相对位置：点A与点B没有上、下和前、后之分，只有左、右差别；点B在点A的正右方；它们的 Z 和 Y 坐标值相等， X 坐标值不相等。
点C与点D的相对位置：点C与点D没有上、下和左、右之分，只有前、后差别；点D在点C的正后方；它们的 Z 和X 坐标值相等， Y 坐标值不相等。
点E与点F的相对位置：点E与点F没有左、右和前、后之分，只有上、下差别；点F在点E的正下方；它们的 X 和 Y 坐标值相等， Z 坐标值不相等。
立体几何之点和直线的投影
点在直线上，点的投影必在直线 a
的同名投影上。
➢定比性：
点的投影将线段的同名投影分割
b
c
B
C A
ac
b H
成与空间相同的比例。
AC/CB=ac/cb= ac / cb
2020/9/27
8
例：判断点K是否在线段AB上。
b
a
a
k a a
k K点在直线AB上 b
k●
●k
b
b
a k●
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
21
例：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。
d' a'
b’ c'
d
b
a
c
2020/9/27
22
c' b' (d')
a (d)
b
c
两直线交错
19
例：判断图中两条直线的相对位置关系。
a'
c'
b' d'
a d
b
c
两直线交错
2020/9/27
a' d'
b'
c'
b
a
d
c
两直线交错垂直
20
例：求作水平线L，使其距H面的距离为15， 且与直线AB、CD都相交。
b'
d'
a'
c'
15
a
c
b
d
2020/9/27
a
b
a b
实长 a
b α γ
a b
a b
a β γ
b
a
的同名投影上。
➢定比性：
点的投影将线段的同名投影分割
b
c
B
C A
ac
b H
成与空间相同的比例。
AC/CB=ac/cb= ac / cb
2020/9/27
8
例：判断点K是否在线段AB上。
b
a
a
k a a
k K点在直线AB上 b
k●
●k
b
b
a k●
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
21
例：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。
d' a'
b’ c'
d
b
a
c
2020/9/27
22
c' b' (d')
a (d)
b
c
两直线交错
19
例：判断图中两条直线的相对位置关系。
a'
c'
b' d'
a d
b
c
两直线交错
2020/9/27
a' d'
b'
c'
b
a
d
c
两直线交错垂直
20
例：求作水平线L，使其距H面的距离为15， 且与直线AB、CD都相交。
b'
d'
a'
c'
15
a
c
b
d
2020/9/27
a
b
a b
实长 a
b α γ
a b
a b
a β γ
b
a
工程制图3-3
[2] ab∥OYH ；a〞b〞∥OYw ,反映室长
铅垂线
立体三图视
a′
直线投影图
a〞
z a′
C′
a〞 c〞 yw
C′
c〞
A
o
x
b
a[c]
C
a[c] yH
特性：[1]
ac 线积聚成一点
[2] a′c′∥OZ；a〞c〞∥OZ，反映实长
侧垂线
立体三图视
a′ d′
a〞[d〞]
直线投影图
a′ x
d′
z
a〞 [d〞]
S P
主视图投影方向
正垂面的投影特性
z γ α x o YH
主视图投影方向
投影特性：1、正面投影积聚成直线。
2、水平投影和侧面投影为类似性。 3、α、γ为实角。
YW
铅垂面的投影特性
z x β o γ YH
主视图投影方向
投影特性：1、水平投影积聚成直线。
2、正面投影和侧面投影为类似性。 3、β、γ为实角。
A R Q P S P
{
V-----正垂面 H-----铅垂面 W----侧垂面
Q
P
Q
S S
P
A R B
B
主视图投影方向
投影面垂直面的举例
投影面垂直面 : 只垂直于投影面的平面
平面只垂直于 V-----正垂面 H-----铅垂面 W-----侧垂面 蓝色的平面 粉色的平面 黄色的平面 S P Q
{
o a″ b Y
a b =ABcosα a′b′=ABcosβ a″b″=ABcosγ
X
A a H
α
一般位置的直线，对 三个投影面都是倾 斜的。所以一般位 置直线的投影特性 是： 三个投影都是倾斜 直线，并且都小于 实长。
机械制图直线的投影
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
铅垂线（垂直于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
垂直于某一投影面而 与其余两投影面平行
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
第3页，本讲稿共29页
1.一般位置直线
如图,直线AB与三个投影面都倾斜。V面投影a’b’,H面投影ab,W面投影a”b”。
b a
.b a
c
两直线在H 面上的投 影相互垂
c直
垂直交叉呢？
第27页，本讲稿共29页
例1：过C点作直线与AB垂直相交（即
C点到AB的垂线---距离投影）。
a
. d
AB为正平线, 正面投
影反映直角。
c ●
b
c●
a
d
b
第28页，本讲稿共29页
例 作交叉两直线AB、CD的公垂线EF，分别与AB、CD交于E、F ，并标明AB、CD间的真实距离。
又EF为正平线,ef反映实长。即为 AB、CD间的距离。
e
f
第29页，本讲稿共29页
直线上的点具有两个特性：
1. 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影 上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2.定比性 直线上的点,分线段之比在投影中不变。
B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
b
c
B
C
a
X
O
A cb c
a
即 A C: C
a
b a
b
a 投影特征：三斜无实长
第4页，本讲稿共29页
2.投影面平行线
1)水平线(//H,直线上点的Z坐标都相等)
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与某投影面垂直的直线称为该面的垂直线． 与某投影面垂直的直线称为该面的垂直线．
horizontal Obliquity α 倾 角 βis the oblique angles of the corresponding line formed with the frontal plane. γ profile 面的夹角: 面的夹角: 面的夹角: 均为0 90° 与H面的夹角:α；与V 面的夹角:β；与W面的夹角:γ。（均为0° 或90° ） 请 点Characteristics Its projection on its vertical plane converges to a point. 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 击 投影特性
Z
AB
´ a´ X
´ b´
c"
b"
请 点 击 解 答 显 示 其 内 容
´ c´ 0 c
a"
Yw
AC
a
Frontal line 正平线 正平线
b YH
AB AC
， a´b´ = AB； AB； ， ac = AC。 AC。
Horizontal line 水平线 水平线
b" W γ a´ X A b a H Y β α 0 a" V b´ B Z
a´ ´ X b a O
a" YW
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YH
Exercises
练习题
1. Given positions of line AB & CD, label its CD, projection in view and fill the vacancy.
直线的投影
ab a´b´ 同面投影的连线来确定。 直线的投影由直线上两端点A、B同面投影的连线来确定。 a"b"
V
The result of projection is a line connecting the projected points of the two end points of the line. line.
请Characteristics Shows its true length and the inclination angles formed with the axes of projection show the oblique formed with the other two planes of projection. 点 在所平行的面上的投影反映实长, 在所平行的面上的投影反映实长,且反映其对另外两投影面的倾角。 投影特性 击 Its projections on the other two projection planes are shorter than its true length, and are all vertical to the axis of projection. 鼠 在另外两个投影面上的投影长度比实长短, 在另外两个投影面上的投影长度比实长短,且垂直于相应的投影轴。 标 Frontal line 正平线 Profile line 侧平线 左 Horizontal line 水平线 Z a″ AB AB a′ Z a″ a′ b′ Z a″ b″ 键 a′ γ βα 显 b′ α b″ b″ b′ 示 YW X YW 后 X X YW a a 面 β γ 内 b a b AB b Y YH YH 容 H
z
V
a´ ´
x
a´ ´ a"
0
A a a
Yw
H
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YH
1. The vertical line of a projection plane 投影面垂直线
H-plane, H-perpendicular (铅垂线) 垂线) Definition If it is vertical to the V-plane, it is called a V-perpendicular line. (正垂线) 垂线) 定 义 W-plane, W-perpendicular (侧垂线) 垂线)
Characteristics Three projections on the projection planes are shorter than its true length, and all oblique angles are not true. true. 投影特性
三投影均小于实长，其倾角均不反映真实大小。 三投影均小于实长，其倾角均不反映真实大小。 b´ Zb" ´
a´ ´ b´ ´ c´ ´ d´ ´ a b c(d)
a line in general position 一般位置直线
a" b" c" d"
请 点 击 解 答 显 示 其 内 容
H-perpendicular 铅垂线
2. Given two projections of line AB & CD, draw the third projection and fill in the blank. CD, 的二投影,求第三投影,并填空。 它们是什么直线? 已知直线AB、AC 的二投影,求第三投影,并填空。(它们是什么直线? 哪个投影反映实长? 哪个投影反映实长?)
已知立体上直线AB、CD 的空间位置, AB、 的空间位置, 在投影图中标注其投影位置,并填空。 在投影图中标注其投影位置,并填空。
2.
Given two projections of line AB & CD, draw CD, the third projection and fill the vacancy.
Projection of Lines for a Solid
立体上直线的投影
Projection of lines 直线的投影 Characteristics of line projection 直线的投影特性 Exercises 练习题
请点击相应标题显示其内容
Projection of lines
H
2.Parallel 2.Parallel line of a projection plane 投影面平行线
H-plane, horizontal (水平线) 平线) line. (正平线) 平线) Definition If it is parallel with the V-plane, it is called a frontal W-plane, profile (侧平线) 平线) 定 义 与某投影面平行的直线称为该面的平行线． 与某投影面平行的直线称为该面的平行线． α horizontal Obliquity βis the oblique angles of the corresponding line formed with the frontal plane. profile 倾 角 γ 面的夹角: 面的夹角: 面的夹角: 总有一个为0 与H面的夹角:α;与V 面的夹角:β;与W面的夹角:γ。 (总有一个为0° )
鼠 Its projections on the other two planes are both parallel with an axis of projection, and shows its true length. 标 在另外两个投影面上的投影均平行相应的投影轴，且反映实长。 在另外两个投影面上的投影均平行相应的投影轴，且反映实长。 左 W-perpendicular line 侧垂线 V-perpendicular line 正垂线 键 H-perpendicular line 铅垂线 c′(d′) Z d″ c″ Z f′ Z e″(f″) e′ 显 a″ a′ ● ● AB AB CD 示 EF o o 后 YW b″ YW b′ X X 面 d X o YW CD 内 f Y ● EF e 容 c H a(b) YH Y
3. A line in general position
Definition 定 义
一般位置直线
The line being projected is oblique with the three planes of projection. 与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。 与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。
a´ ´ b´ ´
a´ z ´
a" b"
A
B
b
a"
W
x
b´ ´
0
Yw
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b"
H
b a
a
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YH
Characteristics of line projection 直线的投影特性
1. Linearity 直线性： 直线性： 2. Parallelism 平行性： 平行性： 3. Subordinative 从属性： 从属性： 4. Proportionality 定比性： 定比性： The projection of a line produces a line. 直线的投影仍然是直线(特殊情况积聚为点) 直线的投影仍然是直线(特殊情况积聚为点)。 The parallelism of lines before and after projection does not change. 平行直线的各同面投影仍然平行。 平行直线的各同面投影仍然平行。 The projection of a point on a line must be on the projected line. 若点在线上,则其投影应在线的投影上。 若点在线上,则其投影应在线的投影上。 The partition of point on a line must be equal to on the projected line. 点分线段长度之比等于其投影分线段投影长度之比。 点分线段长度之比等于其投影分线段投影长度之比。
horizontal Obliquity α 倾 角 βis the oblique angles of the corresponding line formed with the frontal plane. γ profile 面的夹角: 面的夹角: 面的夹角: 均为0 90° 与H面的夹角:α；与V 面的夹角:β；与W面的夹角:γ。（均为0° 或90° ） 请 点Characteristics Its projection on its vertical plane converges to a point. 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 击 投影特性
Z
AB
´ a´ X
´ b´
c"
b"
请 点 击 解 答 显 示 其 内 容
´ c´ 0 c
a"
Yw
AC
a
Frontal line 正平线 正平线
b YH
AB AC
， a´b´ = AB； AB； ， ac = AC。 AC。
Horizontal line 水平线 水平线
b" W γ a´ X A b a H Y β α 0 a" V b´ B Z
a´ ´ X b a O
a" YW
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YH
Exercises
练习题
1. Given positions of line AB & CD, label its CD, projection in view and fill the vacancy.
直线的投影
ab a´b´ 同面投影的连线来确定。 直线的投影由直线上两端点A、B同面投影的连线来确定。 a"b"
V
The result of projection is a line connecting the projected points of the two end points of the line. line.
请Characteristics Shows its true length and the inclination angles formed with the axes of projection show the oblique formed with the other two planes of projection. 点 在所平行的面上的投影反映实长, 在所平行的面上的投影反映实长,且反映其对另外两投影面的倾角。 投影特性 击 Its projections on the other two projection planes are shorter than its true length, and are all vertical to the axis of projection. 鼠 在另外两个投影面上的投影长度比实长短, 在另外两个投影面上的投影长度比实长短,且垂直于相应的投影轴。 标 Frontal line 正平线 Profile line 侧平线 左 Horizontal line 水平线 Z a″ AB AB a′ Z a″ a′ b′ Z a″ b″ 键 a′ γ βα 显 b′ α b″ b″ b′ 示 YW X YW 后 X X YW a a 面 β γ 内 b a b AB b Y YH YH 容 H
z
V
a´ ´
x
a´ ´ a"
0
A a a
Yw
H
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YH
1. The vertical line of a projection plane 投影面垂直线
H-plane, H-perpendicular (铅垂线) 垂线) Definition If it is vertical to the V-plane, it is called a V-perpendicular line. (正垂线) 垂线) 定 义 W-plane, W-perpendicular (侧垂线) 垂线)
Characteristics Three projections on the projection planes are shorter than its true length, and all oblique angles are not true. true. 投影特性
三投影均小于实长，其倾角均不反映真实大小。 三投影均小于实长，其倾角均不反映真实大小。 b´ Zb" ´
a´ ´ b´ ´ c´ ´ d´ ´ a b c(d)
a line in general position 一般位置直线
a" b" c" d"
请 点 击 解 答 显 示 其 内 容
H-perpendicular 铅垂线
2. Given two projections of line AB & CD, draw the third projection and fill in the blank. CD, 的二投影,求第三投影,并填空。 它们是什么直线? 已知直线AB、AC 的二投影,求第三投影,并填空。(它们是什么直线? 哪个投影反映实长? 哪个投影反映实长?)
已知立体上直线AB、CD 的空间位置, AB、 的空间位置, 在投影图中标注其投影位置,并填空。 在投影图中标注其投影位置,并填空。
2.
Given two projections of line AB & CD, draw CD, the third projection and fill the vacancy.
Projection of Lines for a Solid
立体上直线的投影
Projection of lines 直线的投影 Characteristics of line projection 直线的投影特性 Exercises 练习题
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Projection of lines
H
2.Parallel 2.Parallel line of a projection plane 投影面平行线
H-plane, horizontal (水平线) 平线) line. (正平线) 平线) Definition If it is parallel with the V-plane, it is called a frontal W-plane, profile (侧平线) 平线) 定 义 与某投影面平行的直线称为该面的平行线． 与某投影面平行的直线称为该面的平行线． α horizontal Obliquity βis the oblique angles of the corresponding line formed with the frontal plane. profile 倾 角 γ 面的夹角: 面的夹角: 面的夹角: 总有一个为0 与H面的夹角:α;与V 面的夹角:β;与W面的夹角:γ。 (总有一个为0° )
鼠 Its projections on the other two planes are both parallel with an axis of projection, and shows its true length. 标 在另外两个投影面上的投影均平行相应的投影轴，且反映实长。 在另外两个投影面上的投影均平行相应的投影轴，且反映实长。 左 W-perpendicular line 侧垂线 V-perpendicular line 正垂线 键 H-perpendicular line 铅垂线 c′(d′) Z d″ c″ Z f′ Z e″(f″) e′ 显 a″ a′ ● ● AB AB CD 示 EF o o 后 YW b″ YW b′ X X 面 d X o YW CD 内 f Y ● EF e 容 c H a(b) YH Y
3. A line in general position
Definition 定 义
一般位置直线
The line being projected is oblique with the three planes of projection. 与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。 与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。
a´ ´ b´ ´
a´ z ´
a" b"
A
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a"
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Yw
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b"
H
b a
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YH
Characteristics of line projection 直线的投影特性
1. Linearity 直线性： 直线性： 2. Parallelism 平行性： 平行性： 3. Subordinative 从属性： 从属性： 4. Proportionality 定比性： 定比性： The projection of a line produces a line. 直线的投影仍然是直线(特殊情况积聚为点) 直线的投影仍然是直线(特殊情况积聚为点)。 The parallelism of lines before and after projection does not change. 平行直线的各同面投影仍然平行。 平行直线的各同面投影仍然平行。 The projection of a point on a line must be on the projected line. 若点在线上,则其投影应在线的投影上。 若点在线上,则其投影应在线的投影上。 The partition of point on a line must be equal to on the projected line. 点分线段长度之比等于其投影分线段投影长度之比。 点分线段长度之比等于其投影分线段投影长度之比。