弓形及组合图形的面积

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初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项

初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R 2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,⇒S 扇=12lR 。

二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。

三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。

1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S弓形=S 扇性AOB -S △AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形=12S 圆如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。

（右：乙图）解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360⋅=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=932，所以S 阴影ABC =(93122-)cm 2。

2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。

如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。

（部分与整体）解：做⊙O 的直径AB 1，则连结OC 、B 1C ，∠ACB=90°，∠B=∠B 1，AB 1=22，∵OA=2,∴S △AOC=1,S 扇形AOC =12,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =12-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN 与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ，MN=a ，ON ，CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。

五年级不规则图形面积计算

五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中 ∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

弓形及组合图形的面积

面积计算在数学中的重要性
01
面积计算是几何学中的基本概念之一，是学习其他几何知识的基础。
02
掌握面积计算方法有助于解决各种数学问题，如代数、解析几何和微积分等。
03
面积计算在数学建模和科学实验中也有广泛应用，如物理、化学和生物等学科。
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弓形及组合图形的面积
目录
• 弓形面积的基本概念 • 组合图形面积的计算 • 面积计算的几何意义及应用
01
弓形面积的基本概念
弓形定义
01
弓形是由直线和圆弧围成的平面图形，其中圆弧所对的圆心角小于180度。
02
弓形可以分为优弧弓形、劣弧弓形和半圆弓形，根据圆心角的大小和位置而定。
弓形面积的计算公式
复杂组合图形面积的计算需要综合考虑图形的形状、大小、位置等因素，采用合适的计算方法。
对于不规则的复杂组合图形，可以采用数学软件或计算器进行辅助计算，以提高计算的准确性和效率。
03
面积计算的几何意义及应用
面积与周长的关系
面积是二维图形所占空间量，而周长是二维图形边界的总长
度。
面积与周长之间没有直接的关系，但在某些特定情况下，如矩形或圆形，可以通过特
弓形面积的计算公式为：S = (θ/360) × π × r^2，其中θ为圆心角，r为半径。
对于优弧弓形和劣弧弓形，θ取正值；对于半圆弓形，θ取360度。
特殊弓形的面积计算
直角弓形
当圆心角θ为90度时，直角弓形面积等于(1/4) × π × r^2。
等腰弓形
当圆心角θ为180度时，等腰弓形面积等于(1/2) × π × r^2。
定公式相互转换。

2011中考数学真题解析99 圆的周长、弧长圆面积、弓形面积及简单组合图形的面积(含答案)

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编圆的周长、弧长圆面积、弓形面积及简单组合图形的面积一、选择题1. （2011台湾，27，4分）如图为△ABC 与圆O 的重叠情形，其中BC 为圆O 之直径．若∠A ＝70°，BC ＝2，则图中灰色区域的面积为何？（）A ．π36055 B ．π360110 C ．π360125D ．π360140考点：扇形面积的计算；三角形内角和定理。

专题：计算题。

分析：由∠A ＝70°，则∠B ＋∠C ＝110°，从而得出∠ODB ＋∠OEC ＝110°，根据三角形的内角和定理得∠BOD ＋∠COE ＝140°，再由扇形的面积公式得出答案．解答：解：∵∠A ＝70°， ∴∠B ＋∠C ＝110°， ∵BC ＝2，∴OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝1， ∴∠ODB ＋∠OEC ＝110°， ∴∠BOD ＋∠COE ＝140°， ∴S 阴影＝π360140．故选D ．点评：本题考查了扇形面积的计算和三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握． 2.（2011•宜昌，9，3分）按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径04=3，圆心角∠AOB=120°，则的长为（）A 、πB 、2πC 、3πD 、4π考点：弧长的计算。

专题：常规题型。

分析：弧长的计算公式为180n rπ，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长解答：解 1203180AB π⋅==2π．故选B ．点评：本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算．3. （2011福建省三明市，9,4分）用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（）A 、1.5cmB 、3cmC 、6cmD 、12cm考点：圆锥的计算。

分析：设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r ，依题意，得2πr =90π12180⨯⨯，解得r =3cm ．故选B ．点评：本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．4. （2006•浙江，8，3分）在△ABC 中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC 绕点B 旋转60°，顶点C 运动的路线长是（）A 、3π B 、32πC 、πD 、34π考点：弧长的计算；旋转的性质。

五年级不规则图形面积计算（供参考）

五年级不规则图形⾯积计算（供参考）五年级不规则图形⾯积计算我们曾经学过的三⾓形、长⽅形、正⽅形、平⾏四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，⼀般称为基本图形或规则图形.我们的⾯积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，⽽是由⼀些基本图形组合、拼凑成的，它们的⾯积及周长⽆法应⽤公式直接计算.⼀般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的⾯积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等⽅法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

⼀、例题与⽅法指导例1 如右图，甲、⼄两图形都是正⽅形，它们的边长分别是10厘⽶和12厘⽶.求阴影部分的⾯积。

思路导航：阴影部分的⾯积等于甲、⼄两个正⽅形⾯积之和减去三个“空⽩”三⾓形（△ABG、△BDE、△EFG）的⾯积之和。

例2 如右图，正⽅形ABCD的边长为6厘⽶，△ABE、△ADF 与四边形AECF的⾯积彼此相等，求三⾓形AEF的⾯积.思路导航：∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的⾯积彼此相等，∴四边形 AECF 的⾯积与△ABE 、△ADF 的⾯积都等于正⽅形ABCD 的1 3。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF 的⾯积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平⽅厘⽶）。

例3两块等腰直⾓三⾓形的三⾓板，直⾓边分别是10厘⽶和6厘⽶。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的⾯积。

思路导航：在等腰直⾓三⾓形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分⾯积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平⽅厘⽶）。

例4如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC（阴影部分）⾯积为5平⽅厘⽶. 求△ABD 及△ACE 的⾯积.BC思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等⾼，所以它们的⾯积相等，都等于5平⽅厘⽶.∴△ACD的⾯积等于15平⽅厘⽶，△ABD的⾯积等于10平⽅厘⽶。

小学数学组合图形面积

小学数学组合图形的面积，10种解题思路，值得收藏小学数学组合图形的面积，10种解题思路，值得收藏一、相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如：求下图整个图形的面积分析：半圆的面积+正方形的面积=总面积二、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差. 例如：下图，求阴影部分的面积。

分析：先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.例如：下图，求阴影部分的面积。

分析：通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形四、重新组合法这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如：下图，求阴影部分的面积。

分析：拆开图形，使阴影部分分布在正方形的4个角处，如下图。

五、辅助线法这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可例如：下图，求两个正方形中阴影部分的面积。

分析：此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如下图）根据梯形两侧三角形面积相等原理（蝴蝶定理），可用三角形丁的面积替换丙的面积，组成一个大三角ABE，这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半.六、割补法这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如：下图，若求阴影部分的面积。

分析：把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如：下图，求阴影部分的面积。

分析：可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

六年级数学思维：组合图形的面积计算,例题解析!

六年级数学思维：组合图形的面积计算，例题解析！主要题型：一、求不规则图形面积（阴影部分面积）；二、求不能直接利用公式计算的图形面积；三、求规则图形的面积，但条件比较隐蔽，用常规思路无法解答。

基本解题思路：解题的基本思路是，先通过分割、切拼、旋转、平移、翻折、缩放、等积替换等方法，把不规则图形转化为规则图形（或规则图形面积的和差），让隐蔽条件明朗化，再合理运用面积公式，巧求不规则图形面积。

解题技巧：这一块分六讲，以后会陆续更新，每一块各有侧重地介绍了六种求面积的计算方法，但每一种解题方法并不是孤立存在的，在实际解题时一道题常常需要综合运用多种方法，才能巧妙解题。

例如加减法求面积常需要对图形进行割补，而用割补法求面积常需要添加辅助线、平移、旋转、进行加减运算等。

在解答图形面积问题时，关键就是要注意寻找不同图形或同一个图形的各个部分之间的内在联系，可以变换角度或适当添加辅助线帮助观察，特别要注意观察图形边角的形状、长度和角度，及是否隐藏有等底等高之类的条件。

从而根据图形的形状特征，合理地进行分割重组，化不规则为规则，巧妙地运用题目给出的各种条件。

小学阶段常见的面积公式：长方形的面积＝长×宽S＝ab正方形的面积＝边长×边长S＝a.a＝a2三角形的面积＝底×高÷2S＝ah÷2平行四边形的面积＝底×高S＝ah梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2S＝（a＋b）h÷2圆的面积＝圆周率×半径×半径S＝πr2今天我们讲第一块内容：加减法求面积方法介绍：根据组合图形的形状特征，从整体上观察，将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积。

再变化角度思考，通过相加或相减求出所求图形的面积。

例题1：求下图中阴影部分的面积（最后结果保留一位小数）。

（单位：厘米）【解析】：上图阴影部分可以分割成3个完全相同的弓形，先求出其中一个弓形的面积，再求出3个弓形的总面积就是所求阴影部分的面积。

五年级奥数.几何.扇形周长与面积和弓形面积(A级).学生版

圆规和直尺圆规和直尺一块儿住进了文具盒。

圆规说：“我能画圆，你行吗？”“我横竖都会画，你行吗？”直尺很不服气。

文具盒听了，说：“别争了，谁能画一面扇形，谁就最行。

”圆规和直尺都为难了。

文具盒又说：“你俩一块儿合作，不就行了吗？” 圆规和直尺同心协力，很快画好了扇形。

从此，它们成了好朋友。

编后语：圆规和直尺各有自己的长处，也各有自己的不足，两者是不应互相瞧不起的。

后来，由于双方的真诚合作，充分发挥了各自的优势，创造了许多新的事物。

这则寓言告诉我们这样一个道理：一个人的智慧和力量是有限的，众人合作就会创造出新事物，新生活。

圆的知识：1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心.2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径.4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧.5. 圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2.知识框架课前预习扇形的周长与面积和弓形面积扇形的知识：1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r nπ.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：1. 弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形.【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】重点：圆与扇形的面积和周长计算公式；弓形的面积公式。

难点：计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。

计算面积时，首先要根据图形组合的形式，用会求的图形的面积去求的题目所要求的图形面积。

五年级不规则图形面积计算

五年级不规那么图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为根本图形或规那么图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以根本图形的形状出现，而是由一些根本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规那么图形。

那么，不规那么图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为根本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影局部的面积。

思路导航：阴影局部的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白〞三角形〔△ABG、△BDE、△EFG〕的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 思路导航：∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10〔平方厘米〕。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合局部〔阴影局部〕的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影局部面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17〔平方厘米〕。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，假设△ABC 〔阴影局部〕面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.B C思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

五年级不规则图形面积计算

五年级不规则图形面积计算之袁州冬雪创作我们曾学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无不规则图形.那末，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就可以处理了.一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积.思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空缺”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和.例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的1 3.在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2.所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）.例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米.如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积.思路导航：在等腰直角三角形ABC中∵AB=10BC∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）.例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.思路导航：△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米.又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米.二、巩固训练1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的45，求正方形ABCD的面积.解：过E作BC的垂线交AD于F.在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF.2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=23BC.求阴影部分的面积.解：保持DF.∵AE=ED，∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED3. 如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？解：保持AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，∴S△AGD=AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），D∴DE=3.2（厘米）.4. 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2即45=（AD+BC）×6÷2，45=（AD+10）×6÷2，∴AD=45×2÷6-10=5米.∴△ADE的高是2米.△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：保持CE，ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，而 DEFG的面积也是△CDE面积的2倍.ABCD的面积与 DEFG的面积相等.（一）不规则图形面积计算（2）不规则图形的别的一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形停止适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才干处理.（二）例题与方法指导例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积.解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半.解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半.解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2. 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积.解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积.例4. 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长.分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，便可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.（三）巩固训练1. 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积.分析阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）的面积之差.而（I）的面积等于边长为6的正方形的面积减去14以6为半径的圆的面积.2. 如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和ⅡⅡ=S，由于：3. 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.4. 如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积（π取3.14）.解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（操纵对称性质）.总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到处理.常常使用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加便可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积当作是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去外面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为4的三角形，面积可直接求出来.四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据详细情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采取相减法便可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据详细情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采取相加、相减法处理即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法处理，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另外一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到处理.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形.八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另外一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以当作半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积.十、重叠法：这种方法是将所求的图形当作是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）处理.例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.2010年五年级奥数题：图形与面积（B）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那末它的周长是_________ 厘米．2．（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日揭幕，下面的图形中，每小方格的面积是1．那末7，2，1三个数字所占的面积之和是_________ ．3．（3分）如图中每小方格的面积都是1平方厘米，那末用粗线围成的图形面积是_________ 平方厘米．4．（3分）（2014•长沙摹拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那末阴影部分的面积是_________ 平方厘米．5．（3分）在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于_________ 平方厘米．6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB 是_________ 厘米．7．（3分）如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那末它的宽DE是_________ 厘米．8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那末这个大矩形的面积是_________ ．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是_________ ．10．（3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是_________ 平方厘米．二、解答题（共4小题，满分0分）11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．12．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．13．一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3．求大长方形的面积．14．（2012•武汉摹拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那末三角形ADG的面积是_________ ．2010年五年级奥数题：图形与面积（B）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那末它的周长是170 厘米．考点：巧算周长．分析：要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，然后先算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论．解答：解：400÷16=25（平方厘米），因为5×5=25（平方厘米），所以每个小正方形的边长为5厘米，周长为：（5×4+5×4+5×3+5×2+5×3+5）×2，=85×2，=170（厘米）；答：它的周长是170厘米．点评：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论．2．（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日揭幕，下面的图形中，每小方格的面积是1．那末7，2，1三个数字所占的面积之和是25 ．考点：组合图形的面积．分析：此题需要停止图形分解：“7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形；“2”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；“1”分成一个梯形和两个长方形．然后停止图形转换，依据题目条件即可求出成果．解答：解：“7”所占的面积和=+3+4=，“2”所占的面积和=3+4+3=10，“1”所占的面积和=+7=，那末7，2，1三个数字所占的面积之和=++10=25．故答案为：25．点评：此题关键是停止图形分解和转换．3．（3分）如图中每小方格的面积都是1平方厘米，那末用粗线围成的图形面积是 6.5 平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积．解答：解：大正方形的面积为4×4=16（平方厘米）；粗线以外的图形面积为：整格有3个，左上，右上，右中，右下，左中，右中，共有3++5×=9.5（平方厘米）；所以粗线围成的图形面积为16﹣9.5=6.5（平方厘米）；答：粗线围成的图形面积是6.5平方厘米．故此题答案为：6.5．点评：此题关键是对图形停止合理地割补．4．（3分）（2014•长沙摹拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那末阴影部分的面积是24 平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：两个正方形的面积减去两个空缺三角形的面积．解答：解：4×4+8×8﹣×4×（4+8）﹣×8×8，=16+64﹣24﹣32，=24（cm2）；答：阴影的面积是24cm2．故答案为：24．点评：求组合图形面积的化为求常常使用图形面积的和与差求解．5．（3分）在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于12 平方厘米．考点：相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的周长和面积．分析：根据题意，毗连AD，即可知道△ABD和△ADC的关系，△ADE和△BDE的关系，由此即可求出四边形AEDC的面积．解答：解：毗连AD，因为BD=2DC，所以，S△ABD=2S△ADC，即，S△ABD=18×=12（平方厘米），又因为，AE=BE，所以，S△ADE=S△BDE，即，S△BDE=12×=6（平方厘米），所以AEDC的面积是：18﹣6=12（平方厘米）；故答案为：12．点评：解答此题的关键是，根据题意，添加辅助线，帮忙我们找到三角形之间的关系，由此即可解答．6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB 是 3.2 厘米．考点：组合图形的面积．分析：毗连BE、AF可以看出，三角形ABE的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面积公式便可以求出OB的长度．解答：解：如图毗连BE、AF，则BE与AF相交于D点S△ADE=S△BDF则S△ABE=S正方形=×（4×4）=8（平方厘米）；OB=8×2÷5=3.2（厘米）；答：OB是3.2厘米．故答案为：3.2．点评：此题主要考察三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可．7．（3分）如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那末它的宽DE是3.2 厘米．考点：组合图形的面积．分析：毗连AG，则可以依据题目条件求出三角形AGD的面积，因为DG已知，进而可以求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解．解答：解：如图毗连AGS△AGD=S正方形ABCD﹣S△CDG﹣S△ABG，=4×4﹣3×4÷2﹣1×4÷2=16﹣6﹣2=8（平方厘米）；8×2÷5=3.2（厘米）；答：长方形的宽是3.2厘米．故答案为：3.2．点评：依据题目条件做出合适的辅助线，问题得解．8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那末这个大矩形的面积是243 ．考点：组合图形的面积．分析：从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的，也就是说长是相等的，那末根据矩形的面积公式知，如果长相同，面积之比也就是宽之比，反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20和16的矩形，可以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩形面积加起来就是大矩形的面积．解答：解：由图和题意知，中间上、下小矩形的面积比是：20：16=5：4，所以宽之比是5：4，那末，A：36=5：4得A=45；25：B=5：4得B=20；30：C=5：4得C=24；D：12=5：4得D=15；所以大矩形的面积=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243；故答案为：243．点评：此题考察了如果长方形的长相同，宽之比等于面积之比，还考察了比例的有关知识．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是60 ．考点：组合图形的面积．分析：根据题意：正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，可毗连DP，然后再操纵三角形的面积公式停止计算即可得到答案．解答：解：阴影部分的面积=×DH×AP+×DG×AD+×EF×AD+×MN×BP=×4×AP+×3×12+×3×12+×4×BP=2AP+18+18+2BP=36+2×（AP+BP）=36+2×12=36+24=60．答：这个图形阴影部分的面积是60．点评：此题主要考察的是三角形的面积公式．10．（3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是 4 平方厘米．考点：重叠问题；三角形的周长和面积．分析：因为S△EFC+S△GHC=四边形EFGH面积÷2=12，S△AEF+S△AGH=四边形EFGH 面积÷2=12，所以S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影部分的总面积是10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣（S△ABE+S△ADH）=四边形ABCD面积÷4﹣2=6﹣2=4平方厘米．解答：解：由题意推出：S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影面积10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣（S△ABE+S△ADH）=四边形ABCD面积÷4﹣2=6﹣2=4平方厘米．故答案为：4．点评：此题在重叠问题中考察了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常出色．二、解答题（共4小题，满分0分）11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．考点：等积变形（位移、割补）．分析：如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采取数小三角形的法子来计算面积．解答：解：如图，S△PEF=3，S△CDE=9，S四边形ABQP=11．上述三块面积之和为3+9+11=23．因此，阴影四边形CEPQ面积为54﹣23=31．点评：此题主要操纵面积分割，用数基本小三角形面积来处理问题．12．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．考点：等积变形（位移、割补）．分析：由图及题意知，可把涂阴影部分小正六角星形等分成12个小三角形，且都与外围的6个空缺小三角形面积相等，已知涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，可求出大正六角星形中心正六边形的面积，而这个正六边形又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，进而可求出大正六角星形面积解答：解：如下图所示，涂阴影部分小正六角星形可等分成12个小三角形，且都与外围的6个空缺小三角形面积相等，所以正六边形ABCDEF的面积：16÷12×（12+6）=24（平方厘米）；又由于正六边形ABCDEF又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，所以大正六角星形面积：24×2=48（平方厘米）；答：大正六角星形面积是48平方厘米．点评：此题要借助求正六边形的面积来解答，它既可看做是18个小正三角形，又可看做是6个大点的正三角形组成．13．一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3．求大长方形的面积．考点：比的应用；图形划分．分析：要求大长方形的面积，需求出它的长和宽，由条件“在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3”可知：D的宽是大长方形宽的，D′的宽是大长方形宽的，D的长是×（28﹣大长方形的宽），D′的长是×（28﹣大长方形的宽），由此即可以列式计算．解答：解：设大长方形的宽为x，则长为28﹣x因为D的宽=x，D′的宽=x，所以，D′的宽﹣D的宽=．D长=×（28﹣x），D′长=×（28﹣x），D′长﹣D长=×（28﹣x），由题设可知：=即=，于是=，x=8．于是，大长方形的长=28﹣8=20，从而大长方形的面积为8×20=160平方厘米．答：大长方形的面积是160平方米．点评：此题比较复杂，主要考察比的关系，应操纵比的意义，找清数量见的比，再操纵题目条件，便可以停止计算求得成果．14．（2012•武汉摹拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那末三角形ADG的面积是40 ．考点：三角形的周长和面积．分析：可以把S△ADE当作是一个整体，根据各线段的关系和左右两部分面积的关系，可以列出一个方程，求出S△ADE的面积，然后再根据所求三角形与S△ADE的关系求出答案．解答：解：由题意知，S△AEG=3S△ADE，S△BFE=S△BEC，设S△ADE=X，则S△AEG=3X，S△BFE=（38﹣X），可列出方程：（38﹣X）+3X=65，解方程，得：x=10，所以S△ADG=10×（1+3）=40．故答案为：40．点评：此题考察了如何操纵边的关系求三角形的面积．。

六年级奥数：扇形的周长与面积和弓形面积

六年级奥数：扇形的周长与面积和弓形面积圆规和直尺圆规和直尺一块儿住进了文具盒。

圆规说：“我能画圆，你行吗？”“我横竖都会画，你行吗？”直尺很不服气。

文具盒听了，说：“别争了，谁能画一面扇形，谁就最行。

”圆规和直尺都为难了。

文具盒又说：“你俩一块儿合作，不就行了吗？”圆规和直尺同心协力，很快画好了扇形。

从此，它们成了好朋友。

编后语：圆规和直尺各有自己的长处，也各有自己的不足，两者是不应互相瞧不起的。

后来，由于双方的真诚合作，充分发挥了各自的优势，创造了许多新的事物。

这则寓言告诉我们这样一个道理：一个人的智慧和力量是有限的，众人合作就会创造出新事物，新生活。

知识框架圆的知识：1.当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O叫做这个圆的圆心.2.连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3.连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径.4.圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧.5.圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2.扇形的知识：1.扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角.2.我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：【例 1】弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形.【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】重点：圆与扇形的面积和周长计算公式；弓形的面积公式。

难点：计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。

计算面积时，首先要根据图形组合的形式，用会求的图形的面积去求的题目所要求的图形面积。

弓形(弧形)面积全能公式计算表

弓形(弧形)面积全能公式计算表弓形(弧形)面积计算全能公式表静闲翡翠林于2014年6月27日创建2014年11月16日完善弧(弓)形面积==面积--扇形中的三角形面积弦心距==2√[半径2--(弦长÷2)2]弦心距==半径--矢高扇形中的三角形面积==2√[半径2--(弦长÷2)2]×半径÷2扇形面积==半径2×3.14÷360×弧对应圆心角周长==半径×2×3.14==直径×3.14弧与周长的%==弧÷周长×100弧对应圆心角==(弧÷周长×100)×360÷100弧对应圆心角==弧÷周长×360矢高==半径--弦心距说明：2√[……]：表示括号内的计算结果必须开二次方；弧两端点对应圆心的三角形就是扇形中的三角形(等腰)；弦中点到圆心的距离，简称“弦心距”，也可叫“中位线”；弧中点到弦中点的距离，简称“矢高”；弧长、弦长、半径、矢高、中心角等可全部或部分从电子图中获取；以上计算公式可利用电子表格创建一个非常方便的功能计算表如下弓形(弧形)面积全能公式计算表部位名称弧长矢高弦长弦心距半径周长弧/ 周%中心角弧面积123456789计算式：2=5--4 6=5×2×3.14 7=1÷6×100 8=7×360÷100 8=1÷6×3604=5--√[52--(3÷2)2] 9=5×5×3.14÷360×8--3×(5--2)÷2 2居室台顶3.5910.3403.5084.3604.70029.51612.16643.7990.7912居厅台顶4.2660.4764.1214.2244.70029.51614.45352.0311.3213居厅台顶4.2640.3414.1906.2596.60041.44810.28837.0350.9593居室台顶6.9310.9376.7805.6636.60041.44816.72260.2003.675注：计算式中的黑体字是常数，其余数是计算列序的编号；。

人教版九年级数学上册《圆、扇形、弓形的面积》导学案

圆、扇形、弓形的面积素质教育目标1．复习圆面积公式，并在它的基础上推导扇形面积公式．应用圆面积公式和扇形面积公式进行一些相关计算．2．经过扇形面积公式的推导，培育学生抽象、理解、归纳、归纳能力；经过一些相关圆面积和扇形面积的计算培育学生正确、快速的运算能力．经过扇形面积公式的灵巧运用，培育学生发散思想能力．经过例题教课，培育学生察看、抽象、归纳、迁徙能力．3．在扇形面积公式的推导和例题教课过程中，浸透“从特别到一般，再由一般到特别”的辩证思想；在学生进行稳固练习的过程中向学生浸透“透过现象看本质”抓主要矛盾的思想；浸透相互依存、联系和相互转变的看法．教课要点、难点、疑点及解决方法1．要点：扇形面积公式的导出及应用．2．难点：对相关练习题的剖析．3．疑点及解决方法：与弧长公式近似，学生对公式中“n”的正确理解是疑点，解决方法是与弧长公式中的“n”相类比．教法学法和教具1, 教法：指引学生探究研究发现法。

2, 学法：学生主动探究研究发现法。

3, 教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板教课步骤讲话引入：前方我们在推导弧长公式时是将360°的圆心角分红360 等份，这些角的边将圆周分红 360 平分，每一等份，我们称其为1°的弧．在此基础上，我们推导了弧长公式．大家想一想看，将360°的圆心角分红360 等份后，这些角的边不单将周长分红360 等份，面积不也同时分红360 等份了吗？圆被这些角的边切割后所成的图形就是我们今日所要学习的扇形．讲堂探练指引学生剖析：如图，圆心角的两边将圆切割成两部份，切割后所成的图形，我们称之为扇形．1、哪位同学能给扇形下一个定义？( 安排上等生回答：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径构成的图形叫做扇形．)2、将 360°的圆心角分红360 等份，这360 条半径将圆切割成360 个哪位同学记得圆的面积公式？( 安排中下生回答：S=π R2)3、哪位同学知道，圆心角1°的扇形其面积应等于什么？( 安排中下4、假如一个扇形的圆心角为n°，则它的面积又应当是多少？( 安排5、公式中的“ n”与弧长公式中的“n”意义完整同样，它表示1°的倍数， n 的值与 n°的值同样．6、哪位同学回答弧长公式？( 安排中下生回答 )7、此刻我们把扇形面积公式边形以下：1n RR 哪位同学发现扇形面积公式还s扇形2180能够如何表示？ ( 安排中下生回答s扇形1LR 2讲堂练习题一：（指引学生剖析达成）1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则这个扇形的面积，S 扇 =____．R=____．=____．S 扇 =____．长=____．讲堂练习题二：）已知扇形的圆心角为150°，弧长为20π cm，则 S 扇 =____．（指引学生剖析达成）讲堂练习题三：已知一扇形的面积240πcm2，它的圆心角度数是150°，则这扇形的弧长是 ____；哪位同学剖析一下这题的解题思路？( 安排中上生回答：经过公式案： 20π cm)讲堂练习题四：已知一扇形的面积240π cm2，它的弧长是20π cm，则这扇形的圆心角是____ ．哪位同学剖析一下这题的解题思路：( 安排中下生回答：经过公式讲堂练习题五：一个扇形的半径等于一个圆的半径的 2 倍，且面积相等，求这个扇形的圆心角．哪位同学剖析一下这题的解题思路？( 安排中上生回答：设扇形半请同学们达成本题．( 答案： n° =90°)例 1 如图，已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆构成的圆环的面积．（指引学生剖析达成）1、哪位同学知道圆环的面积怎么求？( 安排中下生回答：外接圆的面积—内切圆的面积) ，2、假如设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r3 ，3、哪位同学发现R、 r3 与已知边长 a 有什么联系？讲堂练习题六：1．已知正方形的边长为a，求它的内切圆与外接圆构成的圆环的面积；2．已知正五边形的边长为a，求它的内切圆与外接圆构成的圆环的面积．( 安排学生在练习本上达成)经过前方 3 题的练习，你有什么发现？( 安排中上学生回答：假如正总结、扩展（指引学生反省学习）部署作业教材 P． 173．练习 1、 2、 3、4； P． 180 中 10．11板书设计教后札记：学生对圆和扇形及弓形的相关看法和计算方法和公式能够理解，可是，在应用培育学生的题方面有难度，解题不周祥，要指导学生对公式的应用和计算方法的反省学习，耐心、意志、正确的学习态度。

五年级不规则图形面积计算

五年级不规则图形面积计算之迟辟智美创作我们曾学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状呈现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无不规则图形.那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了.一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部份的面积.思路导航：阴影部份的面积即是甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和.例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都即是正方形ABCD的1 3.在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2.所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）.例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米.如右图那样重合.求重合部份（阴影部份）的面积.思路导航：在等腰直角三角形ABC中BC∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部份面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）.例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部份）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.思路导航：△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都即是5平方厘米.∴△ACD的面积即是15平方厘米，△ABD的面积即是10平方厘米.又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米.二、巩固训练1. 如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的45，求正方形ABCD的面积.解：过E作BC的垂线交AD于F.在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF.2. 如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=23BC.求阴影部份的面积.解：连结DF.∵AE=ED，∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED3. 如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE即是几多厘米？D解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG 中，AD=4，DC=4（AD上的高）.∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，∴S△AGD=AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），∴DE=3.2（厘米）.4. 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部份面积.解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2即45=（AD+BC）×6÷2，45=（AD+10）×6÷2，∴AD=45×2÷6-10=5米.∴△ADE的高是2米.△EBC的高即是梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，5. 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结CE，ABCD的面积即是△CDE面积的2倍，而 DEFG的面积也是△CDE面积的2倍.ABCD的面积与 DEFG的面积相等.（一）不规则图形面积计算（2）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，经常要变更图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和＝S A＋“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S A∪BS b-S A）合并使用才华解决.∩B（二）例题与方法指导例1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部份的面积.解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，获得右图.这时，右图中阴影部份与不含阴影部份的年夜小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部份的面积即是正方形面积的一半.解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补助在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部份的面积是正方形面积的一半.解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部份的面积是正方形的一半.例2. 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部份面积.解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC ＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘份的面积.米，求阴影部例4. 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积年夜7平方厘米，求BC长.分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积年夜7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积年夜7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.（三）巩固训练1. 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部份的面积.分析阴影部份的面积，即是底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）的面积之差.而（I）的面积即是边长为6的正方形的面积减去14以6为半径的圆的面积.2. 如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB达到AC的位置，求阴影部份的面积（取π=3）.解：整个阴影部份被线段CD分为Ⅰ和ⅡⅡ=S，由于：3. 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部份的面积.4. 如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部份面积（π取3.14）.解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（利用对称性质）.总结：对不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部份的和、差关系，问题便获得解决.经常使用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部份的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体动身直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部份的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为4的三角形，面积可直接求出来.四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部份面积，可以把它拆开使阴影部份分布在正方形的4个角处，这时采纳相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采纳相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部份的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部份切割下来补在图形中的另一部份使之成为基本规则图形，从而使问题获得解决.例如，如右图，欲求阴影部份的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部份面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部份切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出头具名积.例如，如右图，欲求阴影部份面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部份平行移到右边正方形内，这样整个阴影部份恰是一个正方形.八、旋转法：这种方法是将图形中某一部份切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出头具名积.例如，欲求图（1）中阴影部份的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部份的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而获得一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部份的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部份的面积.十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部份，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决.例如，欲求右图中阴影部份的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部份的面积恰好是两个扇形重叠的部份.2010年五年级奥数题：图形与面积（B）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如图是由16个同样年夜小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是_________厘米．2．（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1．那么7，2，1三个数字所占的面积之和是_________．3．（3分）如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是_________平方厘米．4．（3分）（2014•长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部份的面积是_________平方厘米．5．（3分）在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC 的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积即是_________平方厘米．6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是_________厘米．7．（3分）如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE是_________厘米．8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个年夜矩形的面积是_________．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB 上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部份的面积是_________．10．（3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部份的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是_________平方厘米．二、解答题（共4小题，满分0分）11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．12．如图，涂阴影部份的小正六角星形面积是16平方厘米．问：年夜正六角星形面积是几多平方厘米．13．一个周长是56厘米的年夜长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所获得的差，与D'的长减去在D的长所获得的差之比为1：3．求年夜长方形的面积．14．（2012•武汉模拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG的面积是_________．2010年五年级奥数题：图形与面积（B）参考谜底与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如图是由16个同样年夜小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是170厘米．考点：巧算周长．分析：要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，然后先算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论．解答：解：400÷16=25（平方厘米），因为5×5=25（平方厘米），所以每个小正方形的边长为5厘米，周长为：（5×4+5×4+5×3+5×2+5×3+5）×2，=85×2，=170（厘米）；答：它的周长是170厘米．点评：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论．2．（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1．那么7，2，1三个数字所占的面积之和是25．考点：组合图形的面积．分析：此题需要进行图形分解：“7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形；“2”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；“1”分成一个梯形和两个长方形．然后进行图形转换，依据题目条件即可求出结果．解答：解：“7”所占的面积和=+3+4=，“2”所占的面积和=3+4+3=10，“1”所占的面积和=+7=，那么7，2，1三个数字所占的面积之和=++10=25．故谜底为：25．点评：此题关键是进行图形分解和转换．3．（3分）如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是 6.5平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：由图可以观察出：年夜正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积．解答：解：年夜正方形的面积为4×4=16（平方厘米）；粗线以外的图形面积为：整格有3个，左上，右上，右中，右下，左中，右中，共有3++5×=9.5（平方厘米）；所以粗线围成的图形面积为16﹣9.5=6.5（平方厘米）；答：粗线围成的图形面积是6.5平方厘米．故此题谜底为：6.5．点评：此题关键是对图形进行合理地割补．4．（3分）（2014•长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部份的面积是24平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积．解答：解：4×4+8×8﹣×4×（4+8）﹣×8×8，=16+64﹣24﹣32，=24（cm2）；答：阴影的面积是24cm2．故谜底为：24．点评：求组合图形面积的化为求经常使用图形面积的和与差求解．5．（3分）在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC 的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积即是12平方厘米．考点：相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的周长和面积．分析：根据题意，连接AD，即可知道△ABD和△ADC的关系，△ADE和△BDE的关系，由此即可求出四边形AEDC的面积．解答：解：连接AD，因为BD=2DC，所以，S△ABD=2S△ADC，即，S△ABD=18×=12（平方厘米），又因为，AE=BE，所以，S△ADE=S△BDE，即，S△BDE=12×=6（平方厘米），所以AEDC的面积是：18﹣6=12（平方厘米）；故谜底为：12．点评：解答此题的关键是，根据题意，添加辅助线，帮手我们找到三角形之间的关系，由此即可解答．6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是 3.2厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接BE、AF可以看出，三角形ABE的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面积公式就可以求出OB的长度．解答：解：如图连接BE、AF，则BE与AF相交于D点S△ADE=S△BDF则S△ABE=S正方形=×（4×4）=8（平方厘米）；OB=8×2÷5=3.2（厘米）；答：OB是3.2厘米．故谜底为：3.2．点评：此题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可．7．（3分）如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE是3.2厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接AG，则可以依据题目条件求出三角形AGD的面积，因为DG已知，进而可以求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解．解答：解：如图连接AGS△AGD=S正方形ABCD﹣S△CDG﹣S△ABG，=4×4﹣3×4÷2﹣1×4÷2=16﹣6﹣2=8（平方厘米）；8×2÷5=3.2（厘米）；答：长方形的宽是3.2厘米．故谜底为：3.2．点评：依据题目条件做出合适的辅助线，问题得解．8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个年夜矩形的面积是243．考点：组合图形的面积．分从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的，也就是说长是相等的，那析：么根据矩形的面积公式知，如果长相同，面积之比也就是宽之比，反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20和16的矩形，可以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩形面积加起来就是年夜矩形的面积．解答：解：由图和题意知，中间上、下小矩形的面积比是：20：16=5：4，所以宽之比是5：4，那么，A：36=5：4得A=45；25：B=5：4得B=20；30：C=5：4得C=24；D：12=5：4得D=15；所以年夜矩形的面积=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243；故谜底为：243．点评：此题考查了如果长方形的长相同，宽之比即是面积之比，还考查了比例的有关知识．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB 上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部份的面积是60．考点：组合图形的面积．分析：根据题意：正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，可连接DP，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可获得谜底．解答：解：阴影部份的面积=×DH×AP+×DG×AD+×EF×AD+×MN×BP=×4×AP+×3×12+×3×12+×4×BP=2AP+18+18+2BP=36+2×（AP+BP）=36+2×12=36+24=60．答：这个图形阴影部份的面积是60．点评：此题主要考查的是三角形的面积公式．10．（3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部份的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是4平方厘米．考点：重叠问题；三角形的周长和面积．分析：因为S△EFC+S△GHC=四边形EFGH面积÷2=12，S△AEF+S△AGH=四边形EFGH 面积÷2=12，所以S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影部份的总面积是10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣（S△ABE+S△ADH）=四边形ABCD面积÷4﹣2=6﹣2=4平方厘米．解答：解：由题意推出：S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影面积10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣（S△ABE+S△ADH）=四边形ABCD面积÷4﹣2=6﹣2=4平方厘米．故谜底为：4．点评：此题在重叠问题中考查了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常精彩．二、解答题（共4小题，满分0分）11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．考点：等积变形（位移、割补）．分析：如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采纳数小三角形的法子来计算面积．解答：解：如图，S△PEF=3，S△CDE=9，S四边形ABQP=11．上述三块面积之和为3+9+11=23．因此，阴影四边形CEPQ面积为54﹣23=31．点评：此题主要利用面积分割，用数基本小三角形面积来解决问题．12．如图，涂阴影部份的小正六角星形面积是16平方厘米．问：年夜正六角星形面积是几多平方厘米．考点：等积变形（位移、割补）．分析：由图及题意知，可把涂阴影部份小正六角星形等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，已知涂阴影部份的小正六角星形面积是16平方厘米，可求出年夜正六角星形中心正六边形的面积，而这个正六边形又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个年夜角的面积相等，进而可求出年夜正六角星形面积解答：解：如下图所示，涂阴影部份小正六角星形可等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，所以正六边形ABCDEF的面积：16÷12×（12+6）=24（平方厘米）；又由于正六边形ABCDEF又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个年夜角的面积相等，所以年夜正六角星形面积：24×2=48（平方厘米）；答：年夜正六角星形面积是48平方厘米．点评：此题要借助求正六边形的面积来解答，它既可看作是18个小正三角形，又可看作是6个年夜点的正三角形组成．13．一个周长是56厘米的年夜长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所获得的差，与D'的长减去在D的长所获得的差之比为1：3．求年夜长方形的面积．考点：比的应用；图形划分．分析：要求年夜长方形的面积，需求出它的长和宽，由条件“在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所获得的差，与D'的长减去在D的长所获得的差之比为1：3”可知：D的宽是年夜长方形宽的，D′的宽是年夜长方形宽的，D 的长是×（28﹣年夜长方形的宽），D′的长是×（28﹣年夜长方形的宽），由此即可以列式计算．解答：解：设年夜长方形的宽为x，则长为28﹣x因为D的宽=x，D′的宽=x，所以，D′的宽﹣D的宽=．D长=×（28﹣x），D′长=×（28﹣x），D′长﹣D长=×（28﹣x），由题设可知：=即=，于是=，x=8．于是，年夜长方形的长=28﹣8=20，从而年夜长方形的面积为8×20=160平方厘米．答：年夜长方形的面积是160平方米．点评：此题比力复杂，主要考查比的关系，应利用比的意义，找清数量见的比，再利用题目条件，就可以进行计算求得结果．14．（2012•武汉模拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG的面积是40．考点：三角形的周长和面积．分析：可以把S△ADE看成是一个整体，根据各线段的关系和左右两部份面积的关系，可以列出一个方程，求出S△ADE的面积，然后再根据所求三角形与S△ADE的关系求出谜底．解答：解：由题意知，S△AEG=3S△ADE，S△BFE=S△BEC，设S△ADE=X，则S△AEG=3X，S△BFE=（38﹣X），可列出方程：（38﹣X）+3X=65，解方程，得：x=10，所以S△ADG=10×（1+3）=40．故谜底为：40．点评：此题考查了如何利用边的关系求三角形的面积．。

组合图形的面积的方法汇总课件

割补法求面积
方法介绍:在组合图形中除了多边形外还有由圆、扇形、弓形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,解题时常常需要将不规则的组合图形进行适当的分割,并根据形状的互补性,重新拼组,转化成规则的几何图形来计算面积。
求图中阴影面积。 (单位:厘米)
【解析】解法一：如下图，把图形分割后,将①号扇形拼到A处,将②号扇形拼到B处 ,把求阴影部分面积转化为求长为半圆直径、宽为半圆半径的长方形的面积。 4×2＝8(平方厘米)
解法二：如下图,把图形分割后,将①号弓形拼到A处,将②号弓形拼到B处,把求阴影部分面积转化为求两个三角形的面积和。拼成的每个三角形的底是半圆直径长4厘米,高为半圆半径长是直径的一半。所求阴影部分面积为： 4×(4÷2)÷2×2＝8(平方厘米)
求图中阴影面积(最外面是正方形)
如右图,根据图形的对称性对图形进行分割,再将①号阴影部分拼到A空白处,把求阴影部分面积,转化为求长为b、宽为a的长方形的面积。则所求阴影部分面积为ab。
求阴影部分面积。 (单位：厘米)
【解析】如图,把上图中阴影部分分割为3部分:再根据每部分图形的形状,将①号阴影部分向右平移到A空白处,将②号阴影部分向左平移到B空白处。从而把求不规则的阴影部分面积,转化为求长方形的面积。所求阴影部分面积为： 4×2＝8 (平方厘米)
图中正方形边长为8m,求阴影部分面积。
• 已知图中两个正方形的边长分别为1cm和2cm。求阴影部分面积
【解析】图中阴影部分面积就等于三角形BFE的面积与图形左下角空白部分面积之差。可以先用□AEFG的面积减去以GF为半径的1/4圆的面积,求出图形左下角空白部分面积： 12-3.14×12 ×1/4=0.215(平方厘米) 所求阴影部分面积为： (2＋1) ×1÷2-0.215=1.285(平方厘米)

组合图形的面积的方法汇总

➢ 旋转平移法求面积
方法介绍:在求组合图形阴影部分面积时,阴影部分可能是一个不规则图形或零散分布的几个图形,根据图形形状特征,先将其中的一部分绕某个点旋转或绕某条直线平移后,与其中的另一部分拼成比较规则的图形,再用相应规则图形的面积公式求解,这种求面积的方法就叫做旋转平移法。旋转平移法求面积的实质也是割和补,只不过是通过旋转、平移的方式来补。
➢ 割补法求面积
方法介绍:在组合图形中除了多边形外还有由圆、扇形、弓形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,解题时常常需要将不规则的组合图形进行适当的分割,并根据形状的互补性,重新拼组,转化成规则的几何图形来计算面积。
求图中阴影面积。(单位:厘米)
【解析】解法一：如下图，把图形分割后,将①号扇形拼到A处,将②号扇形拼到B处, 把求阴影部分面积转化为求长为半圆直径、宽为半圆半径的长方形的面积。 4×2＝8(平方厘米)
【解析】如图,画出正方形的两条对角线,把正方形分成4个相同的三角形。再将①号②号阴影部分分别绕正方形中心点旋转90°,拼A空白处和B空白处,阴影部分被割补成2个三角形,其面积正好等于长方形面积的一半。所求阴影部分面积为：82÷2＝32（平方米）
➢ 放大法求面积
方法介绍：减法的差不变性质:被减数和减数同时增加(或减少)同一个数,它们的差不变。在求两个不规则图形(或无法直接求出单个图形面积的两个图形)的面积差时,或已知面积差求面积或线段长度时,我们常常需要根据差不变性质,把这两个图形都加上同一个图形拼成规则的两个图形,把原来两个图形的面积差转化成拼成的这两个规则图形的面积差,从而使隐蔽
求阴影部分面积。(单位：厘米)
【解析】如图,把上图中阴影部分分割为3部分:再根据每部分图形的形状,将①号阴影部分向右平移到A空白处,将②号阴影部分向左平移到B空白处。从而把求不规则的阴影部分面积,转化为求长方形的面积。所求阴影部分面积为：4×2＝8（平方厘米）

小学数学组合图形面积

小学数学组合图形的面积，10种解题思路，值得收藏小学数学组合图形的面积，10种解题思路，值得收藏一、相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积•例如：求下图整个图形的面积分析：半圆的面积+正方形的面积=总面积二、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差例如：下图，求阴影部分的面积。

分析：先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可•三、直接求法这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积例如：下图，求阴影部分的面积。

分析：通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形四、重新组合法这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可•例如：下图，求阴影部分的面积。

分析：拆开图形，使阴影部分分布在正方形的4个角处，如下图五、辅助线法这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可例如：下图，求两个正方形中阴影部分的面积。

分析：此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如下图）根据梯形两侧三角形面积相等原理（蝴蝶定理），可用三角形丁的面积替换丙的面积,组成一个大三角ABE ,这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半•六、割补法这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形, 从而使问题得到解决•例下图，若求阴影部分的面积。

如：分析：把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半七、平移法这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积•例如：下图，求阴影部分的面积。

分析：可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

弓形及组合图形的面积

阴影面积计算练习
8扇形AOB中∠AOB=1500,C为OB的中点，且弧AB的长为20π，求阴影部分面积。
9等腰Rt△ABC中，AC=BC＝2，以AC为直径的⊙O交AB于D,求阴影部分面积。
阴影面积计算练习
10矩形ABCD中，AB=1,BC＝2，以B为圆心以BC为半径作弧CE 交AD于F,交BA的延长线于E，求阴影部分面积。
例如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积
变式：若水面高为0.9cm，求截面上有水部分的面积。
D
0
A
D
B
E
A
B
0
C
C
S 弓形 = S 扇形 ± S三角形
扇形面积计算练习（二）
1PA切⊙O于A,PA= 5 3 ,PB=5,求阴影部分面积。
2半径为1的⊙A 、⊙B、 ⊙C 两两外切,求阴影部分面积。 3等边△ABC的边长为1，弧AB、弧BC、弧AC 两两外切且相等,求阴影部分面积。
11OA⊥OB, 弧AB 为⊙O的一段弧，弧BC为⊙A的一段弧, AC∥OB, OA=1, 求阴影部分面积。
阴影面积计算练习
12Rt△ABC中，AC=6,BC＝8，∠ACB=900, 分别以AC、BC为直径作半⊙O,求阴影部分面积。
阴影面积计算练习 12边长为2的正方形ABCD中，分别以各边为直径向内作半圆，求阴影部分面积。
扇形面积计算练习（二）
4直径AB＝4，C、D为三等分点,求阴影部分面积。
阴影面积计算练习
5⊙O半径为R,直径AB⊥CD,以B为圆心、以BC为半径的弧 CED,求阴影部分面积。 6半径为2 的扇形AOB中OA⊥0B,以OA、OB为直径向内作半圆,求阴影部分面积。 7半径为4的半圆中，C为OA的中点，CD⊥AB,以C为圆心、以CD 为半径弧,求阴影部分面积。

圆、扇形、弓形的面积(精选8篇)

圆、扇形、弓形的面积（精选8篇）圆、扇形、弓形的面积篇1(一)教学目标：1、把握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；2、通过扇形面积公式的推导，培育同学抽象、理解、概括、归纳力量和迁移力量；3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特别到一般，再由一般到特别”的辩证思想.教学重点：扇形面积公式的导出及应用.教学难点：对图形的分析.教学活动设计：（一）复习（圆面积）已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？S=πR2我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好讨论这样的图形引出一个概念.扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论1、迁移方法老师引导同学迁移推导弧长公式的方法步骤：（1）圆周长C=2πR；（2）1°圆心角所对弧长=；（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；（4）n°圆心角所对弧长=.归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）2、探究新问题老师组织同学对比讨论：（1）圆面积S=πR2；（2）圆心角为1°的扇形的面积=；（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；（4）圆心角为n°的扇形的面积=.归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则S扇形= （扇形面积公式）（三）理解公式老师引导同学理解：（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要留意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即根据上面推导过程记忆）；提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（老师组织同学探讨）S扇形=lR想一想：这个公式与什么公式类似？（老师引导同学进行，或小组协作讨论）与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，关心同学记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让同学在理解的基础上记住公式.（四）应用练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=____.2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.3、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数=____.4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=____.5、已知半径为2的扇形，面积为，则这个扇形的弧长=____.（，2，120°，，）例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.同学独立完成，对基础较差的同学老师指导（1）怎样求圆环的面积？（2）假如设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a 有什么联系？解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.S=.∵ ，∴S=.说明：要留意整体代入.对于教材中的例2，可以采纳典型例题中第4题，充分让同学探究.课堂练习：教材P181练习中2、4题.（五）总结学问：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形=lR.方法力量：迁移力量，对比方法；计算力量的培育.（六）作业教材P181练习1、3；P187中10.(二)教学目标：1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；2、培育同学观看、理解力量，综合运用学问分析问题和解决问题的力量；3、通过面积问题实际应用题的解决，向同学渗透理论联系实际的观点.教学重点：扇形面积公式的导出及应用.教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.教学活动设计：（一）概念与熟悉弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形.弓形是一个最简洁的组合图形之一.（二）弓形的面积提出问题：怎样求弓形的面积呢？同学以小组的形式讨论，沟通归纳出结论：（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.理解：假如组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；假如组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；假如组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观看它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.（三）应用与反思练习：(1)假如弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；(2)假如弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______.（同学独立完成，巩固新学问）例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)老师引导同学并渗透数学建模思想，分析：（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你供应了什么数学信息？（2）求截面上有水的弓形的面积为你供应什么信息？（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？同学完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法.反思：①要注意题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，依据条件特征，敏捷应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 .求与围成的新月牙形ACED的面积S.解：∵ ，有∵，，，∴ .组织同学反思解题方法：图形的分解与组合；公式的敏捷应用.（四）总结1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；2、应用弓形面积解决实际问题；3、分解简洁组合图形为规章圆形的和与差.（五）作业教材P183练习2；P188中12.(三)教学目标：1、把握简洁组合图形分解和面积的求法；2、进一步培育同学的观看力量、发散思维力量和综合运用学问分析问题、解决问题的力量；3、渗透图形的外在美和内在关系.教学重点：简洁组合图形的分解.教学难点：对图形的分解和组合.教学活动设计：（一）学问回顾复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？（二）简洁图形的分解和组合1、图形的组合让同学熟悉图形，并体验图形的外在美，激发同学的讨论爱好，促进同学的制造力.2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.以小组的形式协作讨论，班内沟通思想和方法，老师组织.给同学进展思维的空间，充分发挥同学的主体作用.归纳沟通结论：方案1.S阴=S正方形-4S空白.方案2、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S△AOB)=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD方案3、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S正方形AEOF)=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD方案4、S阴=4 S半圆-S正方形ABCD……………反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要仔细观看图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律.练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.解：连结AO，设P为其中一个三等分点，连结PA、PO，则△POA是等边三角形..∴说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积.练习2：教材P185练习第1题例5、已知⊙O的半径为R.（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).例5的计算量较大，老师引导同学完成.并进一步巩固正多边形的计算学问，提高同学的计算力量.说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关.实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积（三）总结1、简洁组合图形的分解；2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.（四）作业教材P185练习2、3；P187中8、11.探究活动四瓣花形在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示.再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示.探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份.（2）两朵“花”是相像图形.（3）试求两“花”面积提示：分析与解 (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.从而，∠ADP=30°.同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点.由对称性知，四段弧均被三等分.假如证明白结论(2)，则图 (12)也得相同结论.(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影.明显两“花”是相像图形；其相像比是AB ﹕EF =﹕1.(3)花形的面积为：， .圆、扇形、弓形的面积篇2(一)教学目标：1、把握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；2、通过扇形面积公式的推导，培育同学抽象、理解、概括、归纳力量和迁移力量；3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特别到一般，再由一般到特别”的辩证思想.教学重点：扇形面积公式的导出及应用.教学难点：对图形的分析.教学活动设计：（一）复习（圆面积）已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？S=πR2我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好讨论这样的图形引出一个概念.扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论1、迁移方法老师引导同学迁移推导弧长公式的方法步骤：（1）圆周长C=2πR；（2）1°圆心角所对弧长=；（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；（4）n°圆心角所对弧长=.归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）2、探究新问题老师组织同学对比讨论：（1）圆面积S=πR2；（2）圆心角为1°的扇形的面积=；（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；（4）圆心角为n°的扇形的面积=.归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则S扇形= （扇形面积公式）（三）理解公式老师引导同学理解：（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要留意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即根据上面推导过程记忆）；提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（老师组织同学探讨）S扇形=lR想一想：这个公式与什么公式类似？（老师引导同学进行，或小组协作讨论）与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，关心同学记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让同学在理解的基础上记住公式.（四）应用练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=____.2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.3、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数=____.4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=____.5、已知半径为2的扇形，面积为，则这个扇形的弧长=____.（，2，120°，，）例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.同学独立完成，对基础较差的同学老师指导（1）怎样求圆环的面积？（2）假如设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a 有什么联系？解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.S=.∵ ，∴S=.说明：要留意整体代入.对于教材中的例2，可以采纳典型例题中第4题，充分让同学探究.课堂练习：教材P181练习中2、4题.（五）总结学问：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形=lR.方法力量：迁移力量，对比方法；计算力量的培育.（六）作业教材P181练习1、3；P187中10.(二)教学目标：1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；2、培育同学观看、理解力量，综合运用学问分析问题和解决问题的力量；3、通过面积问题实际应用题的解决，向同学渗透理论联系实际的观点.教学重点：扇形面积公式的导出及应用.教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.教学活动设计：（一）概念与熟悉弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形.弓形是一个最简洁的组合图形之一.（二）弓形的面积提出问题：怎样求弓形的面积呢？同学以小组的形式讨论，沟通归纳出结论：（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.理解：假如组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；假如组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；假如组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观看它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.（三）应用与反思练习：(1)假如弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；(2)假如弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______.（同学独立完成，巩固新学问）例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)老师引导同学并渗透数学建模思想，分析：（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你供应了什么数学信息？（2）求截面上有水的弓形的面积为你供应什么信息？（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？同学完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法.反思：①要注意题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，依据条件特征，敏捷应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 .求与围成的新月牙形ACED的面积S.解：∵ ，有∵，，，∴ .组织同学反思解题方法：图形的分解与组合；公式的敏捷应用.（四）总结1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；2、应用弓形面积解决实际问题；3、分解简洁组合图形为规章圆形的和与差.（五）作业教材P183练习2；P188中12.(三)教学目标：1、把握简洁组合图形分解和面积的求法；2、进一步培育同学的观看力量、发散思维力量和综合运用学问分析问题、解决问题的力量；3、渗透图形的外在美和内在关系.教学重点：简洁组合图形的分解.教学难点：对图形的分解和组合.教学活动设计：（一）学问回顾复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？（二）简洁图形的分解和组合1、图形的组合让同学熟悉图形，并体验图形的外在美，激发同学的讨论爱好，促进同学的制造力.2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.以小组的形式协作讨论，班内沟通思想和方法，老师组织.给同学进展思维的空间，充分发挥同学的主体作用.归纳沟通结论：方案1.S阴=S正方形-4S空白.方案2、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S△AOB)=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD方案3、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S正方形AEOF)=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD方案4、S阴=4 S半圆-S正方形ABCD……………反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要仔细观看图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律.练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.解：连结AO，设P为其中一个三等分点，连结PA、PO，则△POA是等边三角形..∴说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积.练习2：教材P185练习第1题例5、已知⊙O的半径为R.（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).例5的计算量较大，老师引导同学完成.并进一步巩固正多边形的计算学问，提高同学的计算力量.说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关.实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积（三）总结1、简洁组合图形的分解；2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.（四）作业教材P185练习2、3；P187中8、11.探究活动四瓣花形在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示.再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示.探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份.（2）两朵“花”是相像图形.（3）试求两“花”面积提示：分析与解 (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.从而，∠ADP=30°.同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点.由对称性知，四段弧均被三等分.假如证明白结论(2)，则图 (12)也得相同结论.(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影.明显两“花”是相像图形；其相像比是AB ﹕EF =﹕1.(3)花形的面积为：， .圆、扇形、弓形的面积篇3教学目标：1、简洁组合图形的分解；3、通过简洁组合图形的分解，培育同学的观看力量、发散思维力量和综合运用学问分析问题、解决问题的力量.4、通过对s△与s扇形关系的探讨，进一步讨论正多边形与圆的关系，培育同学抽象思维力量和归纳概括力量.教学重点：简洁组合图形的分解.教学难点：正确分解简洁的组合图形.教学过程：一、新课引入：上节课学习了弓形面积的计算，并且从中获得了简洁组合图形面积的计算可转化为规章图形的和与差来解决的方法.今日我们连续学习“7.20圆、扇形、弓形的面积(三)”，巩固化简洁组合图形为规章图形和与差的方法.同学在学习弓形面积计算的基础上，获得了通过分解简洁组合图形，计算其面积的方法.但要正确分解图形，还需肯定题量的练习，所以本堂课为同学供应练习题让同学们相互切磋、探讨.通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系，随着正多边形边数增加，周长越来越趋向于圆的周长，面积越来越趋向于圆的面积，使同学初步体会极限的思想，了解s△与s扇形之间的关系.二、新课讲解：(复习提问)：1.圆面积公式是什么？2.扇形面积公式是什么？如何选择公式？3.当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4.当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5.当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？(以上各题均支配中下生回答.)(幻灯显示题目)：如图7-168，已知⊙o上任意一点c为圆心，以r从题目中可知⊙o的半径为r，“以⊙o上任意一点c为圆心，以r为半径作弧与⊙o相交于a、b.”为我们供应的数学信息是什么？(支配中上生回答：a、b到o、c的距离相等，都等于oc等于r.)转化为弓形面积求呢？若能，帮助线应怎样引？(支配中等生回答：能，连结ab.)大家观看图形不难发觉我们所求图形实质是两个弓形的组合，即倍？(支配中下生回答：因已知oa=oc=ac所以△oac是等边三角同学们争论讨论一下，s△aob又该如何求呢？(支配中上等生回答：求s△aob，需知ab的长和高的长，所以设oc与ab交点为d.∵∠aoc=60°，oa=r∴解rt△aod就能求出ab与高od.)连结oc交ab于d怎么就知od⊥ab？(支配中等生回答：依据垂径定理∵c是ab中点.)同学们相互讨论看，此题还有什么方法？下面给出另外两种方法，供参考：幻灯展现题目：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.请同学们认真观看图形，思索如何分解这个组合图形.同学间相互争论、讨论、沟通看法：现将同学可能提出的几种方案列出，供参考：方案1.s阴=s正方形-4s空白.观看图形不难看出sⅱ+sⅳ=s正方形-方案2.观看图形，由于正方形abcd∴∠aob=90°，由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分.观看发觉半圆aob的面积-△即可.即s阴=4s瓣而s瓣=s半⊙-s△aob∴s阴=4.(s半⊙-s△aob)=2s⊙-4s△aob=2s⊙-s正方形.方案4.观看扇形eao，一瓣等于2个弓形，一个s弓形=s扇oa-方案5.观看rt△abc部分.用半圆boc与半圆aob去盖rt△abc，发觉这两个半圆的和比rt△abc大，大出一个花瓣和两个弓形，而这两个弓形的和就又是一个瓣.因此有2个s瓣=2个s半圆-srt△abc=方案6.用四个半圆盖正方形，发觉其和比正方形大，大的部分恰是s即：在同学们充分争论沟通之后，要求同学认真回味展现出来的不同解法.尤其要琢磨这些解法是怎样观看、思索的.幻灯展现练习题：1.如图7-176，已知正△abc的半径为r，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；2.如图7-177，已知正方形abcd的半径r，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；它的内切圆面积3.如图7-178，已知正六边形abcdef的半径r，则它的外接圆的周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆。