例1如图所示,一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系.ppt
大学物理简谐运动
t
t2
t1
x
A
a
b
Ab
A2
t
x
o
A
v
π
A
t π 3 T 1 T
0
A 2
Aa
A
3
2π 6
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调 上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
物理学教程 （第二版）
x t 用旋转矢量图画简谐运动的
图
x A
x x Acos(t ) π
A
4
*
*
**
O
t O * T T * 3T T 5T
4* 2* 4
4
-A
-A
*
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
x t 用旋转矢量图画简谐运动的
3 简5谐– 运1 简动谐的运动能简量谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
例 质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0102 m 作简谐运
动，其最大加速度为 4.0m s2，求：
（1）振动的周期；
解:
amax A 2
amax 20s1
A
T 2π 0.314s
（2）通过平衡位置的动能；
Ep 1.0103J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
第四章 振动学基础§4.2简谐振动的图示法.讲解
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1
（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
2019/6/11
重庆邮电大学理学院
17
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，而是具有 向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
A
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
8、 在谐振动的合成中，用旋转矢量非常方便。
总之20，19/6旋/11 转矢量法在大学物重庆理邮电，大电学理路学院分析，等学科中有广泛15应用
例4.2.4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度
22
重庆邮电大学理学院
418
例4.2.5、一作简谐振动的物体，其振动曲
x/m
线如图所示。试写出该振动的表达式。
解：振动方程为 x Acos(t )
0.01
由振动曲线可知，振幅为 A 0.02 m
t = 0 时，
x0
A 2
0.01m
O
1
t/s
且其初始速度 v0 0
0.02
y
作旋转矢量图，如右图。
)
2
0 a v
(t )
2
v Asin(t )
x an r 2 A2
a
an
i
(t ) an i cos
【课件】牛顿运动定律的综合应用(7)连接体+课件-高一上学期物理人教版(2019)必修第一册
C．若F=10N则a=3.0m/s2
D．若F=15N则a=4.0m/s2
地面粗糙，AB粗糙
F
如图所示，小物块A叠放在长方体物块B上，B置于粗糙水平面上。A、B质量分别为mA=2kg，mB=1kg，
A、B之间动摩擦因数μ1=0.3，B与地面之间动摩擦因数μ2=0.1，现对A施加水平力F且F从0开始逐渐增
大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g=10m/s2。则下列说法正确的是（
）
A．当F小于6N时，A、B都相对地面静止
B．当F增大到6N时，A、B开始发生相对滑动
C．当F等于9N时，B的加速度为1m/s2
D．当F增大到12N时，A、B开始发生相对滑动
地面粗糙，AB粗糙
F
（多选）如图所示，物块A、B静止叠放在水平地面上，B受到大小从零开始逐渐增大的水平拉力F作用，
）
A．在相同时间内物块A、B运动的路程之比为1∶2
B．物块A、B的加速度之比为2∶1
C．轻绳的拉力为
2
D．B下落高度h时速度为 ℎ
如图所示，小车静止在平直路面上，车中挂着一个质量为m=2kg的小球，绳AC与水平车顶的夹角
θ=53°，绳子BC水平，重力加速度g=10m/s2，cos53°=0.6，sin53°=0.8．求：
做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x3，如图所示．则（ ）
A．x1= x2= x3
B．x1 >x3= x2
C．若m1>m2，则 x1>x3= x2
D．若m1<m2，则 x1＜x3= x2
一列列驰骋的中欧班列将急需的防疫及生产生活物资送至沿线各国，为战胜疫情增添了信心和力量，成
《弹簧受力分析》PPT课件
C=D2/d 7~14 5~12 5~10 4~9 4~8 4~6
8FC
d 2
1
0.5 C
88FFCC
dd22
由于0.5/C远小于1，故由F
引起的剪切应力可忽略。
潘存云教授研制
Kτ T
τF τF τ∑
m
若考虑螺旋升角和簧丝曲率 对应力集中的影响，实际应力 分布与理论分析有差别。
其值可直接查表下表可得
潘存云教授研制
新疆大学专用
3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20
压缩弹簧或 无预应力的拉伸弹簧
n=--8-F-Gm-da-xC-3--λmax
Lh为钩环展开长度 λn ---工作变形量
n〉2
作者： 潘存云教授
续表16-4 圆柱螺旋弹簧几何尺寸计算
单位：mm
参数名称及代号
计算公式
压缩弹簧
拉伸弹簧
备注
总圈数n1
节距 p 轴向间距δ 展开长度L
冷卷： n1=n+(2~2.5) YII型热卷： n1=n+(1.5~2)
横向力: F” =Fcosα
轴向力: F’ =Fsinα
潘存云教授研制
B
A
F F”
T’=Tcosα
M=Tsinα αT
α
B
A
A-A
B-B
扭矩： T’=Tcosα
弯矩： M=Tsinα ∵ α =5˚ ~9˚ ∴ sinα≈ 0, cos α≈ 1 故截面B-B上的载荷可近似取为：
T d T’
潘存云教授研制
实践证明：弹簧内侧m点最容 易产生破坏。
新疆大学专用
未考虑簧丝 曲率的应力
第四章 运动和力的关系 连接体问题(课件)-高中物理课件(人教版2019必修第一册)
得T3－m1g＝m1a3，联立解得T3＝
F。综上分析可知，细线上拉力始终不变且
大小为
F，选项C正确。
+
+
【变式1】如果将【例题1】中的“拉力”改为“推力”，题目情景如下：将两质量不
同的物体P、Q放在倾角为θ的光滑斜面体上，如图甲所示，在物体P上施加沿斜面
向上的恒力F，使两物体沿斜面向上做匀加速直线运动；图乙为仅将图甲中的斜
在三个阶段的运动中，细线上拉力的大小 ( C )
A.由大变小
B.由小变大
C.始终不变且大小为
F
+
D.由大变小再变大
解析：在水平面上时，对整体由牛顿第二定律得F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a1，对
m1由牛顿第二定律得T1－μm1g＝m1a1，联立解得T1＝
F；在斜面上时，对整
+
【例】相同材料的物块m和M用轻绳连接，在M上施加恒力 F，使两物块作匀加速
直线运动,求在下列各种情况下绳中张力。
(1)地面光滑，FT=?
mF/(m+M)
(2)地面粗糙， FT =？
m
m
M
F
F
M
mF/(m+M)
(3)竖直加速上升（不考虑阻力）， FT =?
mF/(m+M)
F
F
M
M
m
(4)斜面光滑，加速上升， FT =?
D.a乙＞a甲＞a丙，F甲＝F乙＝F丙
解析： 以P、Q为整体由牛顿第二定律可得：
甲图：F－(mP＋mQ)gsin θ＝(mP＋mQ)a甲，解得：a甲＝
乙图：F＝(mP＋mQ)a乙，解得：a乙＝
(＋)
高中物理二轮专题——弹簧模型(解析版)
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高中物理二轮专题——弹簧模型(解析版)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容高中物理第二轮专题——弹簧模型高考分析：轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与之相关的物理模型并进行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高.在具体实际问题中，由于弹簧特性使得与其相连物体所组成系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性，加之弹簧在伸缩过程中涉及力和加速度、功和能等多个物理概念和规律，所以弹簧类问题也就成为高考中的重、难、热点.我们应引起足够重视.弹簧类命题突破要点：1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：Wk=-（kx22-kx12），弹力的功等于弹性势能增量的负值或弹力的功等于弹性势能的减少.弹性势能的公式Ep=kx2，高考不作定量要求，该公式通常不能直接用来求弹簧的弹性势能，只可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.一、“轻弹簧”类问题在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故簧轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹一端受力为，另一端受力一定也为。
人教版高中物理必修一精品课件 第3章 相互作用——力 1. 第2课时 实验探究弹簧弹力与形变量的关系
的图线如图所示。根据图线可知,弹簧发生弹性形
变时,弹力F的大小跟弹簧的伸长量x成正比。
2.计算弹簧的劲度系数:以弹簧伸长量为自变量,写出弹力和弹簧伸长量之
间的函数关系,则有F=kx,其中常数k为弹簧的劲度系数,大小等于F-x图像
Δ
的斜率,即 k=Δ 。
应用体验
【例2】 某同学做探究弹簧弹力与形变量的关系的实验时,设计了如图甲
所示的实验装置,将待测弹簧的一端固定在铁架台上,然后将毫米刻度尺固
定在弹簧一侧,并使弹簧另一端的指针恰好落在刻度尺上。他先测出不挂
钩码时弹簧的自然长度,然后在弹簧下端依次挂1、2、3、4、5个钩码,测
出弹簧相应的总长度。每个钩码的质量都是10 g。实验数据见下表。(g取
解得k=20 N/m。当F=0时,弹簧长度为原
长,l0=3.00 cm。
(3)在F-l图像中,当弹簧的弹力为零时,弹簧处于原长,故b的原长大于a的原
长,A正确;斜率表示劲度系数,故a的劲度系数大于b的劲度系数,B错误,C正
确;弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比,故D错误。
方法技巧
两类弹簧弹力图像的比较
5.0 N/m。(计算结果保留
量x。由图像可得结论:弹簧的劲度系数k=
2位有效数字,重力加速度g取10 m/s2)
解析 (1)实验中需要测量弹簧伸长的长度,故需要刻度尺。
(2)由于 F=kx=mg,则
k=
=
20×10-3 ×10
-2
4×10
N/m=5.0 N/m。
探究点二
误差分析和注意事项
知识归纳
(3)函数法:根据实验数据,找出弹力与弹簧伸长量的函数关系。
2024届高考一轮复习物理课件(新教材粤教版)：牛顿第二定律的基本应用
超重和失重问题
梳理 必备知识
1.实重和视重 (1)实重：物体实际所受的重力，与物体的运动状态 无关 (选填“无关” 或“相关”). (2)视重：当物体挂在弹簧测力计下或放在水平台秤上时，弹簧测力计 或台秤的示数称为视重.
2.超重、失重和完全失重的对比
名称
超重
失重
完全失重
现象 视重 大于实重 视重 小于 实重
(3)运动员滑上水平雪道后，在t′＝2.0 s内 滑行的距离x. 答案 59 m
运动员滑到B点时的速度vB＝v0＋at＝30 m/s 在水平雪道上运动员受力如图乙所示，建立如图乙 所示的直角坐标系，设运动员的加速度为a′， 根据牛顿第二定律，x方向上有－μFN′＝ma′， y方向上有FN′－mg＝0，又x＝vBt′＋ 12a′t′2 ， 联立解得x＝59 m.
开始弹簧处于拉伸状态，伸长量为x，设弹簧的 劲度系数为k，则kx＝0.5mg，剪断细线后a向下 做加速运动，a向下运动x时弹簧恢复原长，然 后a继续向下做加速运动，弹簧被压缩，弹簧弹力向上，开始弹簧弹 力小于a的重力沿斜面方向的分力F1＝2mgsin 30°＝mg，物块继续向下 做加速运动，设弹簧压缩量为x′时物块a所受合力为零，则kx′＝F1 ＝mg，x′＝2x，当物块a所受合力为零时速度最大，在此过程物块a 下滑的距离s＝x＋x′＝3x，D正确.
例7 (2023·四川金堂县淮口中学高三检测)如图所示，ABC是一雪道， AB段为长L＝80 m、倾角θ＝37°的斜坡，BC段水平，AB与BC平滑相连. 一个质量m＝75 kg的滑雪运动员(含滑雪板)，从斜坡顶端以v0＝2.0 m/s 的初速度匀加速滑下，经时间t＝5.0 s到达斜坡底端B点.滑雪板与雪道间 的动摩擦因数在AB段和BC段均相同(运动员可视为质点).取g＝10 m/s2， sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)运动员在斜坡上滑行时的加速度大小a； 答案 5.6 m/s2
14.1 如图所示,一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数.
k 0.72N m 1 6.0 s 1 m 0.02kg
已知 x0=0.05m ,v0=0 所以，振幅
v A x x0 0.05m
2 0
2 0 2
(a)
O
(b)
x
x (c) C x
初相
v0 tg 0 ,0或 x0
0
根据已知条件作相应的旋转矢量图，可得 于是可得简谐运动方程为
0.08 0.04
O
0.04 0.08
x/m
/3 t /3
0.08 0.04 O 0.04 0.08 x/m
解 由简谐运动方程
x A cos(t )
得
代入已知值得
2 1 s T 2
所以
0.04m (0.08m) cos 3
3
由旋转矢量图可知，应取
所以
1 x ( 0.08 m ) cos[，得
x 0.069 m
符号说明物体在平衡位置O的左方，受力为
F kx m x 1 2 (0.01kg)( s ) ( 0.069m ) 2 1.70 10 3 N
E A 2 ( ) e 2 t E A
设能量减小10%所需的时间为t2 ，则有
0.9 e 2t2
1 ln t2 0.9 87s 1.5 min 2
（4）从以上所得结果可见,空气的粘性对单摆的周期几乎没 有影响,而对振幅和能量有显著的影响, 表明能量比振幅要减 小的快. 即摆来回震动大约44次,其能量就减小了10%,因此要 维持等幅振动,就需要设法补充能量.
从旋转矢量图可知
1 4
则简谐运动方程为
x ( 0.0707 m ) cos[( 6.0 s )t ] 4
第四章 振动学基础§4.2简谐振动的图示法.
Mt 0 A
x
P点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。
2020/4/10
重庆邮电大学理学院
5
旋转矢量 A与谐振动的对应关系
旋转矢量
A
简谐振动 符号或表达式
模 AA 角速度
振幅
A
角频率
A
t
o
x
0
x
t=0时，A 与ox夹角
初相
0
旋转周期 t时刻，A与ox夹角
r A 在ox 上的投影
14
（7）、 比较两个振动，哪一个超前，哪一个落后。
x Acos t
A cos t π
2
a A 2cos t π
A
2A
A
a
x
由图看出：速度超前位移
π
加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
8、 在谐振动的合成中，用旋转矢量非常方便。
0 600
x
t=0
t T 12
A
O
tT 6
2020/4/10
x(cm)
x Acos(t )
3
T T T T 5T T 12 6 4 3 12 2
tT O
2
t(s)
T
重庆邮电大学理学院 3600 300
12
12
（5）、确定振动的速度和加速度
t
y vm t π
an
2 A
vm r
总之20，20/4旋/10 转矢量法在大学物重庆理邮电，大电学理路学院分析，等学科中有广泛15应用
例4.2.4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度
系数 k 0.72N m1，物体的质量m 20g .
2019-2020年高三物理一轮专题复习弹簧问题
2019-2020年高三物理一轮专题复习弹簧问题知识导图轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见，应引起足够重视。
2016年 第11题 18分 考查弹簧做功与弹性势能问题2014年 第6题 8分 考查弹簧的瞬时性问题模型2013年 第11题 18分 考查弹簧的临界问题及做功问题2011年 第6题 8分 考查弹力的计算及瞬时性问题1. 通过本节课的学习，让学生加深弹簧问题的几个考点，学会每个考点对应的解题方法。
2. 让学生认识到弹簧问题的共性：不能突变；弹簧问题一定要找到几个临界点。
3. 提升学生综合分析物理问题能力，学会用动量能量的观点解决物理问题。
题型分类及方法点拨类型一 弹簧的伸长量和弹力的计算方法点拨：这类题一般以单一问题出现，涉及到的知识点是胡克定律：F=kx . 解题的主要关键是找弹簧原长位置。
例题1： 如图所示，劲度系数为 k 2 的轻质弹簧竖直固定在桌面上，上端连一质量为 m 的物块，另一劲度系数为 k 1 的弹簧的上端 A 缓慢向上提，当提到下端弹簧的弹力大小恰好等于23mg 时，求 A 点上提的高度。
精华提炼：1212木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧。
在这过程中下面木块移动的距离为（ ）A.m 1g k 1B.m 2g k 1C.m 1g k 2D.m 2g k 2练习2. 一个长度为 L 的轻弹簧，将其上端固定，下端挂一个质量为 m 的小球时，弹簧的总长度变为 2L 。
现将两个这样的弹簧按如图所示方式连接，A 、 B 两小球的质量均为 m ，则两小球平衡时，B 小球距悬点 O 的距离为（不考虑小球的大小） ( )A. 3LB. 4LC. 5LD. 6L类型二 瞬时性问题 方法点拨：这类问题主要考查弹簧弹力不能发生突变这一特性。
第36讲 与弹簧相关的机械能守恒问题(解析版)
第36讲 与弹簧相关的机械能守恒问题1．（2022·江苏）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A 连接在一起，处于压缩状态．A 由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B 轻放在A 右侧，A 、B 由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A 、B 始终不分离，当A 回到初始位置时速度为零．A 、B 与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（ ）A ．当上滑到最大位移的一半时，A 的加速度方向沿斜面向下B ．A 上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化C ．下滑时，B 对A 的压力先减小后增大D ．整个过程中A 、B 克服摩擦力所做的总功大于B 的重力势能减小量【解答】解：A 、在最大位移处A 物体的加速度沿斜面向下，a m =mgsinθ−μmgcosθ−kA m，放上物体B ，两物体和弹簧系统的平衡位置变化，当位移处于原最大位移的一半时，不是系统所有受力均减半，故加速度不一定沿斜面向下，故A 错误；B 、A 向上滑时，AB 被弹起向上加速，合力等于零时，两物块速度达到最大，此时弹簧处于压缩状态。
随后弹簧弹力小于重力下滑分力及摩擦力总和，直到速度为零，整个过程弹簧弹力一直沿斜面向上，故B 正确；C 、对B 物体，其加速度a =m B gsinθ−μm B gcosθ−F N m B，向下滑的过程中，加速度先减小后反向增大，那么支持力（或压力）一直增大，不减小，故C 错误；D 、从放上B 物体，到恰返回原处时速度为零，由能量守恒可知，AB 克服摩擦做的功等于B 的重力势能的减小量，故D 错误。
故选：B 。
（多选）2．（2022·辽宁）如图所示，带电荷量为6Q （Q ＞0）的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a 点，其正上方L 处固定一电荷量为﹣Q 的球2，斜面上距a 点L 处的b 点有质量为m 的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b 点处于静止状态。
力学中的弹簧类问题课件
控制与执行机构
弹簧在航空航天器的控制与执行机构 中起到关键作用，如起落架的缓冲和 收放系统。
减震装置
卫星姿态调整
弹簧在卫星姿态调整机构中发挥重要 作用，通过弹簧的伸缩实现卫星姿态 的微调。
为了减轻着陆时对航空器的冲击，弹 簧被用于减震装置的设计。
CHAPTER
05
弹簧类问题04
弹簧在工程问题中的应用
弹簧在车辆工程中的应用
01
02
03
悬挂系统
弹簧用于车辆悬挂系统中 ，以吸收和缓冲路面不平 整引起的振动，提高乘坐 舒适性。
减震器
弹簧在减震器中起到关键 作用，控制车辆在行驶过 程中产生的冲击和振动。
弹性支撑
弹簧用于支撑车辆重要部 件，如发动机和变速器， 起到减震和保护作用。
总结词
弹簧的振动频率与阻尼系数有关，影响 振动的持续时间。
VS
详细描述
当一个振动物体连接到一个弹簧上时，弹 簧的劲度系数和阻尼系数将影响振动的频 率和持续时间。根据振动理论，弹簧的振 动周期与劲度系数和阻尼系数有关。因此 ，通过调整弹簧的劲度系数和阻尼系数， 可以改变振动的频率和持续时间。
弹簧的振动频率与阻尼
CHAPTER
02
弹簧动力学问题
弹簧与力的平衡
总结词
弹簧在力的作用下会产生形变，从而影响力的平 衡。
总结词
弹簧的弹力与形变量的关系是线性关系，可以用 胡克定律表示。
详细描述
当弹簧受到外力作用时，会发生形变，形变的大 小与外力的大小成正比，同时弹簧的弹力与形变 量的大小成正比。因此，弹簧可以用于平衡外力 ，维持系统的稳定。
将采集到的数据整理成表格，绘制形变量与作用力之间的关系图。
《功能关系》课件
EP mgh
相对性---参考平面 标量
与路径无关（微元思想方法）
系统性
弹性势能跟形变的大小有关系，对于弹簧还与劲度 系数有关。
参考平面选取不同，重力势能的数值就不同。
练一练：如图，质量m = 1kg的小球，从桌面上方高h1 = 1.2m的A 点下落到地面上的B点，桌面离地面的高度h2 = 0.8m．请按要求填 写下表．(g=10m/s²)
A
h1
参考面
小球在A处 的重力势能来自小球在B处 的重力势能
整个过程中 重力做功
整个过程中重力势 能的变化
特点：弹性势能跟形变的大小有关系。 例如，在弹性限度内，弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的 长度有关。另外，弹簧的弹性势能还跟弹簧的劲度系数有关。
学习小结
功能关系 W合＝ΔEk WG＝－ΔEp W弹＝－ΔEp W其他＝ΔE机 f滑动S相对＝Q
课堂小结
WG Ep1 Ep2 Ep
重力做功
重力势能
（重力和弹力外的其他力做多少功）
（系统机械能变化多少）
功能关系 ①合外力做功与动能的关系：W合＝ΔEk ②重力做功与重力势能的关系：WG＝－ΔEpG ③弹力做功与弹性势能的关系：W弹＝－ΔEp弹 ④重力弹力以外其他力做功与机械能的关系：W其他＝ΔE机
例题2：质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以一定的初速度，沿水平方向射入
木块，并留在木块中与木块一起匀速运动。已知当子弹恰好相对木块静止时，木块前进的距离为L，
子弹进入木块的深度为s，木块对子弹的阻力恒为f 。 若子弹与木块一起滑上一段粗糙水平面，
求：该过程子弹与木块动能总共改变多少？
v0
f1
f2
子弹在木块中相对位置不变， 子弹与木块之间的一对静摩擦力是否摩擦生热？
巧解弹簧类的两体问题
2013-10治学之法巧解弹簧类的两体问题文/何军例1.两个滑块1和2，质量分别为m和m ，用轻弹簧连接在一起，弹簧的原长为L 0，劲度系数为k 整个系统放置在光滑水平轨道上。
一开始用轻绳系住两物体，使弹簧处于压缩状态并处于静止。
如图1所示，某一时刻剪断轻绳，求两物体相对于质心的运动。
解析：以地面为参照系，需要对两个物体列牛顿定律方程，同时借助两者之间的关联方程。
通过解微分方程可以获得两物体相对于质心的运动方程。
此处不再叙述。
下面以质心组的思想分析该问题。
根据系统的动量守恒，可以知道不管物体m 1和m 2如何运动，系统的总动量和一开始相等，即总动量为零。
根据质心组思想，系统的质量归于一点，则该点处于静止状态。
由质心组x c =m 1x 1+m 2x 2m 1+m 2可知，质心距m 1的距离L 1=m 2L m 1+m 2。
原题的场景即可等效为图2所示的L 1=m 2L m 1+m 2的弹簧1系着m 1和L 2=m 1L m 1+n 2的弹簧2系着m 2固定在同一点。
相互关联的两个物体被等效为两个独立的运动场景。
弹簧1的劲度系数为k 1=（m 1+m 2）k m 2，弹簧2的劲度系数k 2=（m 1+m 2）k m 1。
根据简谐振动的知识，我们不难求解出两个物体的振动周期同为T =2πm 1m 2（m 1+m 2）k√，所以两个物体相对于质心做周期相同的简谐振动。
拓展：该系统一开始m 1获得一个瞬时速度v 1，根据动量守恒可得：m 1v 1=（m 1+m 2）v ，以质心为参照系，m 1和m 2同样是做周期相同的简谐振动。
由运动的合成和分解可知，m 1和m 2的对地运动是相对于质心的简谐振动和与质心一起的匀速运动合成而来。
这样的思想渗透到平时的问题处理中，例2.如图3在光滑水平面上，有两物体A 、B ，A 质量为2kg ，B 质量为4kg ，两物体由弹簧相连，处于静止状态，现给A 一个6m/s 的初速度，问两物体的最大、最小速度分别为多少？解析：我们将A 、B 两物体的运动看成A 、B 两物体的质心的匀速运动和A 、B 两物体关于质心的振动的合成。
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A cos( t ) 2 1 A=12cm ,T=2s s T x 0 12 cos( t )
t = 0 时,x0 = 0.06m ,v0 > 0
0 06 0 12 cos 1 cos 3 3 2
o
x/m
0.04 0.08
π 1 π m 0.01kg A 0.08 m s 2 3 π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3
t 1.0s 代入上式得
2
x 0.069 m
F kx m x
π 1 2 (0.01kg )( s ) (0.069m) 1.70 103 N 2
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的 劲度系数 k 0.72N m1 ，物体的质量 m 20g . （1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； 1 （3）若物体在 v0 0.30m s 处时速度不等于零，而 具有向右的初速度 x 0.05 m ，求其运动方程.
x/m
x A cos(t )
o
0.05
（1）把物体从平衡位置向右拉到 下后再释放，求简谐运动方程；
1 k 0.72N m 1 解： 6.0s m 0.02kg
x 0.05m 处停
X
o 0.05
v x0 0.05m A x v0 t an 0 o A x x0 0 或 π 由旋转矢量图可知 0 1 x A cos(t ) (0.05m) cos[(6.0s )t ]
0.26m s 1（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
6.0s 1 A 0.05m
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零，而 是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程.
1 v 解: A＇ 0.0707 m 6.0s x v0 tan＇ 1 x0
2 0
2 0 2
因为 v 0
0 ，由旋转矢量图可知 π 1 x A cos(t ) (0.0707 m) cos[( 6.0s )t ]
4
π 3π ＇ 或 4 4
o
π 4
x
A＇ ＇ π 4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振幅 为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1） t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力； π A
o π 3 x
s 已知 A=12cm 3 振动方程： x 0.12 cos( t ) 3
1
⑵ t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度
3 dx 1 v t 0.5 0.12 sin( t ) t 0.5 0.189 m s dt t 0.5 3 dv 2 2 a t 0.5 0.12 cos( t ) t 0.5 0.103 m s dt t 0.5 3
x
t 0.5
0.12 cos( t
)
t 0.5
1.039m
⑶某时刻ｔ1 质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动
求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 法一： 振动方程： x 0.12 cos( t 3)
0.06 0.12 cos ( t1 3 )
v0 0
3
vπ
3
0.08 0.04
解:
A 0.08 m
t 0, x 0.04m 代入 x A cos(t ) π 0.04m (0.08m) cos 3
0.04 0.08 2π π 1 s T 2
o
x/m
v
0.08 0.04
cos ( t1 3 ) 1 2 2 t1 ∵ v <0
3 3
2 4 t1 或 3 3 3 t1 1 s
t2时刻质点回到平衡位置x=0,且 v>0
3 11 t2 t2 s v 3 2 6 11 5 0.12 0.06 o t t2 t1 1 s v 6 6
（2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3 法一: 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所
需要的最短时间为
1 π arccos ( ) 2 2 3 t s s 0.667 s π2 3
2 0
2 0 2
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解:
0 x A cos(t ) A cos(t )
π 由旋转矢量图可知 t 3
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3
A
π 3
A
o
A 2
x
v A sin t
π 1 π 0.04 m (0.08m) cos[( s )t ] 2 3
t
法二:
t
时刻 起始时刻
0.08
t π 3 π 3 0.04 o 0.04
π 1 s 2
x/m
0.08
π t 3
2 s 0.667 s 3
例3 一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。 当t=0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求⑴振动 方程。⑵t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。⑶ 如果某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求 从该位置回到平衡位置所需要的时间。