2010届高三数学精品讲练直线和圆的方程
圆的方程专题2：直线系与圆系方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (解析版)
直线系与圆系方程1 直线系方程(1)过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零)(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C0=0；(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)【例】写出与直线x−2y+1=0平行、垂直的直线系方程.解与直线x−2y+1=0平行的直线系方程分别为x−2y+m=0，与直线x−2y+1=0垂直的直线系方程分别为2x+y+m=0.2 圆系方程(1)以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x−a)2+(y−b)2=λ(λ>0)；(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0；(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x−2y+1=0，圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2:x2+y2+x+y= 0，写出过直线l与圆C1交点的圆系方程，过圆C1与圆C2交点的曲线方程，过圆C1与圆C2交点的公共弦方程.解过直线l与圆C1交点的圆系方程为x2+y2+2x−2y+1+λ(x−2y+1)=0，化简为x2+y2+(2+λ)x−(2+2λ)y+1+λ=0；过圆C1与圆C2交点的曲线方程x2+y2+2x−2y+1+λ(x2+y2+x+y)=0，化简为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2+λ)x+(λ−2)y+1=0，令λ=−1，得过圆C1与圆C2交点的公共弦方程x−3y+1=0.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 ,y0)作圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2的切线l方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.解 切线方程为(1+2)(x +2)+(−2+1)(y +1)=1，化简为3x −y +4=0.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．解析 直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点为(1,5)，方法一(1)当斜率为−12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y −5=−12(x −1)．直线方程为x +2y －11=0．(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y －5=3−52−1(x －1)即为y =−2x +7．直线方程为2x +y −7=0．(3)平行于直线3x +y =1时，得直线斜率为k =－3，直线方程为y −5=−3(x －1)， 即直线方程为3x +y −8=0．方法二 由直线系方程可设所求直线为2x +3−y +λ(3x −y +2)=0(1) 2x +3−y +λ(3x −y +2)=0⇒(2+3λ)x −(λ+1)y +2λ+3=0直线的斜率为−12时，2+3λλ+1=−12，解得λ=−57， 故所求直线方程为x +2y －11=0．(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5λ=0⇒ λ=−45，故所求直线方程为2x +y －7=0．(3) 平行于直线3x +y =1时，2+3λλ+1=−3，解得λ=−56,故所求直线方程为3x +y －8=0．点拨 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【巩固练习】1.求过两直线x −2y +4=0和x +y −2=0的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点(2 ,1)； (2)和直线3x −4y +5=0垂直．答案 (1) x +2y −4=0 (2) 4x +3y −6=0解析 由{x −2y +4=0x +y −2=0 解得{x =0y =2，∴P(0 ,2)．(1)设过点P 的直线方程为x −2y +4+λ(x +y −2)=0，∵过点(2 ,1)，∴2−2+4+λ=0⇒λ=−4，故所求直线方程为x −2y +4−4(x +y −2)=0⇒x +2y −4=0.(2) 设所求直线为4x +3y +λ=0,∵过点P(0 ,2)，∴0+6+λ=0⇒λ=−6，故所求直线方程为4x +3y −6=0.【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线l 的方程．解析 方法一 当直线l 斜率不存在时，方程为x =−1，显然不是切线，故可设切线方程为y =k (x +1)+4，∵直线l 与圆相切，∴圆心(2 ,3)到直线l 的距离等于半径1，故√1+k 2=1，解得k =0或−34，故所求直线l 的方程为y =4或3x +4y −13=0．方法二 如方法一，设切线方程为y =k (x +1)+4，由{y =k (x +1)+4(x −2)2+(y −3)2=1得(1+k 2)x 2+(2k 2+2k −4)x +k 2+2k −4=0其判别式∆=(2k 2+2k −4)2−4(1+k 2)(k 2+2k −4)=0 , 解得k =0或−34 ,故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法三因为切线过点P(−1 ,4)，故可设所求直线的方程为A(x+1)+B(y−4)=0(其中A ,B不全为零)，∵直线l与圆相切，=1∴圆心(2 ,3)到直线l的距离等于半径1，故√A2+B2,B≠0．整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．点拨本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+ B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x=1或5x+12y+31=0解析因为切线过点P(1 ,3)，故设所求直线的方程为A(x−1)+B(y−3)=0(其中A ,B不全为零)，=2，∵直线l与圆相切，∴圆心(−1 ,0)到直线l的距离等于半径2，故√A2+B2,≠0，整理得B(5B+12A)=0，即B=0(这时A≠0)或A=−512故所求直线l的方程为x=1或5x+12y+31=0．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x+√3y−3=0.解析易发现点P(0,√3)在圆(x+1)2+y2=4上，故直线l的方程为(0+1)(x+1)+√3y=4，化简得x+√3y−3=0，即所求直线l的方程为x+√3y−3=0.【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．解析方法一(面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)∵圆x2+y2+2x−4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y−2)2=4．∴圆心坐标为(−1 ,2)，半径为r=2；∴圆心到直线2x−y+3=0的距离为d=，√5设直线2x−y+3=0和圆x2+y2+2x−4y+1=0的交点为A ,B，则|AB|=2√r 2−d 2=2√4−15=√19√5，∴过点A ,B 的最小圆半径为√19√5，联立{2x −y +3=0x 2+y 2+2x −4y +1=0得5x 2+6x −2=0，故x 1+x 2=−65，则圆心的横坐标为：12(x 1+x 2)=−35，纵坐标为2×(−35)+3=95，∴最小圆的圆心为(−35 ,95)，∴最小圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195．方法二 依题意，可设过点A 、B 两点圆的方程为x 2+y 2+2x －4y +1+λ(2x −y +3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x +λ+1)2+(y −4+λ2)2=54λ2+λ+4 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即54λ2+λ+4取到最小值，而54λ2+λ+4=54(λ+25)2+195≥195，当λ=−25时取到最小值，此时圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195.点拨 本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0．(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程．解析 (1)证明：(圆心距C 1C 2∈(R −r ,R +r)⇔两圆相交)圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16∴C 2(−1 ,−1)，r =4∵圆C 1：x 2+y 2=10的圆心坐标为(0 ,0)，半径为R =√10∴|C 1C 2|=√2 ,∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10解得{x =3y =−1或{x =−1y =3，(这里还是有些计算量的)则交点为A (3 ,−1) ,B(−1 ,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P(6−n ,n)，则AP =BP ，解得n =3，故圆心P(3 ,3)，半径r =AP =4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．方法二 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x +2y −14+λ(x 2+y 2−10)=0(λ≠−1) 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+2x +2y −14−10λ=0 ∴圆心坐标为(−11+λ ,−11+λ)代入直线x +y −6=0可得：−11+λ−11+λ−6=0，∴λ=−43∴所求圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +2=0．点拨 此题是过圆与圆交点的圆系问题.① 两圆之间的位置关系看圆心距O 1O 2与两圆半径R 与r 之间的关系；② 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0和直线x －y +7=0的两个交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+5x －3y =0解析 (1)设圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21+λ(x －y +7)=0，代入(0,0)，可得21+7λ=0，∴λ=－3，∴圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21－3(x －y +5)=0，即x 2+y 2+5x －3y =0.2.求经过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0与直线x －y +5=0的交点且在y 轴上的弦长为2√33的圆的方程．答案 x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0解析 设所求的圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)+k(x −y +5)=0，且与y 轴的交点坐标为y 1、y 2，令x =0得(y 2−6y +21)+k(−y +5)=0，化简得y 2−(k +6)y +21+5k =0， ∴y 1+y 2=k +6，y 1⋅y 2=5k +21，由|y 1−y 2|=2√33两边平方得(y 1+y 2)2－4y 1⋅y 2=132，∴(k +6)2－4(5k +21)=132，化简得k 2－8k －180=0，解得k =－10或k =18，∴所求圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)－10(x −y +5)=0，或(x 2+y 2+8x −6y +21)+18(x −y +5)=0，∴所求圆的方程为x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0.3.求经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点，并且圆心在直线x −y −4=0上的圆的方程．答案 x 2+y 2−x +7y －32=0解析 设经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点的圆的方程，为(x 2+y 2+6x －4)+λ(x 2+y 2+6y －28)=0，即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy −4+28λ1+λ=0， 则它的圆心坐标为(−31+λ,−3λ1+λ)．再根据圆心在直线x −y −4=0上，可得−31+λ+3λ1+λ−4=0，解得λ=−7，故所求的圆的方程为x 2+y 2−x +7y －32=0．4.已知圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程． 答案 (1) x +y −3=0,√6 (2) (x −32)2+(y −32)2=32解析 (1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标是圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0，联立方程组的解，两方程相减得：x +y −3=0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x +y −3=0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x −1)2+(y −1)2=2，∴圆心C 2(1,1)，半径r =√2． 圆心C 2到直线AB 的距离d =√2=√2，|AB|=√6．即两圆的公共弦长为√6．(2)C 1(32,32),C 2(1,1)，直线C 1C 2方程：x −y =0．{x −y =0x +y −3=0，交点为(32,32)， 即为圆的圆心，半径r =√32， 所以圆的方程是：(x −32)2+(y −32)2=32．【A 组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l 1：x −2y +2=0，l 2：2x −y −2=0；答案 y =x解析 方法一 方程组{x −2y +2=02x −y −2=0得{x =2y =2所以，l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y =kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k =1，所以所求直线方程为y =x ．方法二 过直线l 1与l 2的交点的直线可设为x −2y +2+λ(2x −y −2)=0因为过原点，故2−2λ=0⇒λ=1，则所求直线方程为y =x .2.已知直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0的交点为A 、B ，(1)求弦长AB ；(2)求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案 (1) 45√5 (2) (x −45)2+(y +25)2=45解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0联立，消去x ，可得5y 2+4y =0，∴y 1=0,y 2=−45,∴{x1=0y 1=0,{x 2=85y 2=−45，∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=45√5.(2)所求圆的圆心为AB 中点C(45,−25)，所求面积最小的圆的方程是(x −45)2+(y +25)2=45.3.求圆心在直线3x +4y −1=0上，且过两圆x 2+y 2−x +y －2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+2x −2y −11=0解析设所求圆的方程为(x2+y2−x+y−2)+m(x2+y2−5)=0．整理得(1+m)x2+(1+m)y2−x+y−2−5m=0．圆心坐标为(12(1+m),−12(1+m))代入3x+4y−1=0得m=−32，∴所求圆的方程为x2+y2+2x−2y−11=0．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.答案x+y=4解析设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；∴x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；∴直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；∴x0+y0=4；∴点P的轨迹方程为x+y=4．故答案为：x+y=4．5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．答案(1)3x2+3y2−5x−14=0(2) 2x−2y=3.解析(1)设圆的方程为x2+y2+3x+λ(x2+y2−3)=0，因为点M(2,－2)在圆上，所以λ=−145，所求圆的方程是3x2+3y2−5x−14=0；(2)以MO为直径的圆C的方程为x2+y2−2x+2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB方程为是2x−2y=3．若切点弦的公式可直接得到2x−2y=3.6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．答案(1)(x−2)2+y2=4 (2)(−1 ,−3)和(2 ,0)解析(1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．由题意可得，d2+(√3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a =2或a =−12(舍)．∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)证明：∵P 是直线x +y +4=0上的点，∴P(m,−m −4)．∵PA 为圆的切线，∴PA ⊥AC,即过A,B,C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y +m +4)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m)(x −2)+y(y +m +4)=0，即x 2+y 2－2x +4y +m(－x +y +2)=0．故{x 2+y 2−2x +4y =0−x +y +2=0，解得{x =−1y =−3或{x =2y =0．因此经过A,P,C 三点的圆必过定点(－1,－3)和(2,0)．【B 组---提高题】1.已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 过定点( )A ．(−12,−12)B ．(−1,−1)C ．(−12,12)D ．(12,−12)答案 A解析 根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0),P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．2.已知圆C 的方程为(x +2)2+y 2=4，点M 在圆C 上运动，点N 的坐标是(2,0)．(1)若线段MN 的中点形成的轨迹为G ，求轨迹G 的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．答案(1)x2+y2=1(2) (18,0)解析(1)设线段MN的中点(x,y)，则M(2x−2,2y)∵NM在圆(x+2)2+y2=4上运动∴(2x−2+2)2+(2y)2=4,即x2+y2=1①；(2)连接OA,OB，∵PA,PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP，∴A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8,b),b∈R，则线段OP的中点坐标为(4,b2)∴以OP为直径的圆方程化简得：x2+y2－8x－by=0,b∈R，②∵AB为两圆的公共弦，∴①－②得：直线AB的方程为8x+by=1,b∈R，即8(x−18)+by=0，则直线AB恒过定点(18,0)．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．答案(1)x2+y2=2(2) ±√3(3)(12,−1)解析(1)设点Q(x ,y)，依题意知|QM||QN|=√(x+2)2+y2√(x+1)2+y2=√2 ，整理得x 2+y 2=2，∴曲线C 的方程为x 2+y 2=2；(2)∵点O 为圆心，∠AOB =π2，∴点O 到l 的距离d =√22r ，∴√k 2+1=√22⋅√2⇒k =±√3 ；(3)由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆)设P(t ,12t −2)，则圆心(t 2 ,t 4−1)，半径√t 24+(t4−1)2得(x −t 2)2+(y −t 4+1)2=t 24+(t 4−1)2即x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0 又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0即 (x +y2)t −2y −2=0(直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由{x +y 2=02y +2=0得 {x =12y =−1，∴直线CD 过定点(12 ,−1).。
高三数学总复习教案第七章直线和圆的方程(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第七章 直线和圆的方程1 直线方程和两条直线的位置关系 1、直线l 经过原点和点（1-,1-），则它的倾斜角是（ A ）。
A.4π B.54π C.4π或54π D.4π-2、两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是（ B ）A.52C.32D.23、如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ D ）A.1B.13-C.23- D.2-4、两直线20x +=340y +-=的夹角是（）A.030B.060C.090D. 0120 答案：B 解析：2112tan 1k k k k θ-=+5、过点A(3，0)，且平行于直线230x y -=的直线方程是 。
答案：2360x y --=6、点（2，5）关于直线0x y +=的对称点的坐标是 。
答案：（－5，－2） 【典型例题】 【例1】 求满足下列条件的直线l 的方程。
（1） 在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6。
（2）与直线240x y -+=的夹角为045，且焦点在x 轴上。
解：（1）设直线的方程为13x ya +=-，由题意得1362a -=，4a ∴=±。
当4a =时，直线l 的方程为143x y+=-即34120x y --=。
当4a =-时，直线l 的方程为143x y+=--即34120x y ++=。
（2）直线240x y -+=交x 轴于点（2,0-），可设l 的方程为(2)y k x =+。
由两直线夹角公式有02tan 4512kk-=+，13k ∴=或3k =-。
∴l 的方程为1(2)3y x =+或3(2)y x =-+，即320x y -+=或360x y ++=。
注意：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数。
变式1.将直线1y x =+绕它上面一点(沿逆时针方向旋转015，得到的直线方程是。
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
直线和圆的方程高三数学第七章第五节.
、选择题答案：A解析：圆x 2 + y 2 + 2x — 4y + 1= 0关于直线2ax — by + 2 = 0(a , b € R )同步检测训练1 . (2009陕西师大附中二模)在圆x 2+ y 2= 5x 内，过点|, | 有 J ，B . {4,5,6}D . {4,5,6,7}最小弦长为数列的首项 a 1,最长的弦为a n ,其中公差d € n 条弦的长度成等差数列,，那么n 的集合是（ ）A . {3,4,5}C . {3,4,5,6} 答案：D解析：圆x 2 + y 2= 5x 的圆心为5,最小弦长为数列的首项 a 1,它等于与过最长的弦长为a n ,它的长度为直径，则a n = 5, d = 1=-— n — 1 n — 10，半径5，过点5 3有n 条弦的长度成等差数列， 丿 2 辽 2丿5, 3的直径垂直的弦的长度， 则a 1= 2 ：25 — 4 = 4,W 丄n — 1_1 1，又公差d * .6, 31< -,4W n W 7, n 的集合是{4,5,6,7}，故选 D. 32. (2009 广东重点中学)圆 x 2 + y 2 + 2x — 4y + 1= 0 关于直线 2ax — by + 2 = 0(a,b € R )对称, 则ab 的取值范围是()" 1——OO —、,4—1 0^ A. C. B. 0,4 —O 1，4丿D. 1OO上，求得 a + b = 1, ab = a(1 — a)=— a 2+ a =—3. （2009广西柳州三模）曲线 C : rx = cos 0, y =— 1 + sin 0（0为参数）与直线x + y + a = 0有公共点,那么实数a 的取值范围是（）A . （1,2） [0,1 + 2][.2 — 1 , . 2 + 1]解析：曲线C :x = cos 0 y =— 1 + sin 0即x 2+ （y + 1）2= 1与直线x + y + a = 0有公共点，则圆心到直线的距离|a —J < 1,那么实数a 的取值范围是[1 —羽，1 +迄],故选C.4. （2009石家庄一模）过圆x 2+ y 2= 1上一点P 作切线与x 轴，y 轴的正半轴交于 A 、B 两点，贝U |AB|的最小值为A . 2 答案：( )C. 2D. 3 解析: 设切线方程为 + = 1（a >0, b>0）,则圆心到切线的距离 十〒=1弓+拱1, 咕+b 2|AB|= ,a 2 + b 2= ； (a 2+ b 2)(^+ 古)= 2 + 字 + 器》2，故选 A.5. (2009西城4月)与直线x — y — 4= 0和圆x 2+ y 2+ 2x — 2y = 0都相切的半径最小的圆的方程是()A . (x + 1)2+ (y +1)2= 2B . (x + 1)2+ (y + 1)2= 4对称，则圆心在直线a—1 2+1<-, ab的取值范围是2 4 4故选A.解析：圆x 2 + y 2 + 2x — 2y = 0的圆心为（一1,1）,半径为，2,过圆心（—1,1）与直线x — y — 4 =0垂直的直线方程为 x + y = 0,所求圆的圆心在此直线上，排除 A 、B ，圆心（—1,1）到直线6. （2009安阳）已知直线x + y = a 与圆x 2+ y 2= 4交于A 、B 两点，且O ）A + OB|= |OA — OB I ,其中O 为原点，则实数a 的值为（）A . 2B . — 2C . 2 或—2 D. ,6或—.6答案：C解析：由|OA + OB|=|OA — OB 得|OA + OBf =|OA — OBf , OAOB = 0, OA 丄OB ,三角形 AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为.2, |a 2= .2, a = i2,故选 C.7. （2009河南实验中学 3月）若直线I : ax + by = 1与圆C ： x 2+ /= 1有两个不同交点， 则点P （a , b ）与圆C 的位置关系是（ ）A .点在圆上B .点在圆内C .点在圆外D .不能确定答案：CC C1C C 解析：直线I : ax + by = 1与圆C ： x 2 + /= 1有两个不同交点，则 —22<1, a 2 + b 2>1,寸a + b 点P （a , b ）在圆C 外部，故选C.8. （2009湖北荆州质检二 8）已知直线x + y + m = 0与圆x 2+ y 2= 2交于不同的两点 A 、B ,答案：A解析：由|OA +OB|》A B =|OA —OB 得|OA + OB|2》|OA — OB f , OA OB >0,0<z AOB <n三角形AOB 为等腰直角三角形或顶角为锐角的等腰三角形，圆心到直线的距离1 < d< 2,曇<迈，那么实数 m 的取值范围是（—2,—磁］U ［迈，2）.故选A. 二、填空题9. （2009朝阳4月）已知动直线I 平分圆C ： （x — 2）2 + （y — 1）2= 1,则直线I 与圆O ： x = 3cos 0,（0为参数）的位置关系是 .2 2C . (x — 1)+ (y +1) = 2 答案：C2D . (x — 1)2+ (y + 1) = 4 x — y —4 = 0的距离为则所求圆的半径为 2，故选C. O 是坐标原点, |OA + OB|> |AB| A . (— 2,— 2]U [ 2, 2)C . [ — . 2, 2]，那么实数m 的取值范围是（B . （— 2,2） D . （— 2, 2］y = 3sin 0答案：相交解析：动直线I 平分圆C:（x — 2）2 + （y —1）2= 1，即圆心（2,1）在直线上，又圆 x = 3cos 0,O ： y =3sin 0,2 2 2 2即x + y = 9,且2 + 1 <9, (2,1)在圆O 内，则直线I 与圆O ： x = 3cos 0, y = 3sin 0（0为参数）的位置关系是相交，故填相交.10. (2008福建)若直线3x + 4y + m = 0与圆’ x = 1 + cos 0, j y =-2+sin 0（为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是答案：（ — 8, 0） U （10,+^ ） 解析：把圆的参数方程化成普通方程为消去a得y=—获，故圆心必在直线⑶解：由题意得.5|a —2|= |a|,解得y= —^x 上.5土. 5 a= 2 .2 2(x—1)+ (y+ 2)=1,由已知直线与圆相离，|3X 1 + 4X (—2) + m| …5 >1，解得m<0 或m>10,故填(一a, 0) U (10,+ ).11. (2008湖南文)将圆x2+ y2= 1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C,则圆C的方程是;若过点(3,0)的直线I和圆C相切，则直线I的斜率是 _________________________________ .答案：(x—1)2+ y2= 1 玄3或一¥3 3解析：因为圆平移后半径不变，圆心变化，所以圆心(0,0)向右平移1个单位后得到点(1,0), 即平移后的圆心 C.所以圆C的方程为(x—1)2+ y2= 1.设I 的方程为y= k(x—3)，即kx—y —3k= 0.则鑒1, k占三、解答题12. 已知圆C: x2+ y2+ 2x—4y + 3= 0•若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.解：•/切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，•••切线的斜率是±1或过原点.切线不过原点时，设切线方程为y=—x+ b或y= x+ c,分别代入圆C的方程得2x2—2(b —3)x+ (b2—4b+ 3) = 0 或2x2+ 2(c—1)x+ (c2—4c + 3) = 0,由于相切，则方程有等根，•- A1= 0,即[2( b—3)]2— 4 X 2 X (b2—4b+ 3) = —b2+ 2b+ 3 = 0,• b = 3 或—1,A2= 0,即[2(c—1)]2—4X2X (c2—4c+ 3)=—c2+ 6c—5 = 0.• c= 5 或1,当切线过原点时，设切线为y= kx,即kx—y= 0.由| pk^~2=羽，得k= 2±6.• y= (2 ±. 6)x，故所求切线方程为：x+ y—3= 0, x+ y+ 1 = 0, x—y+ 5= 0, x—y+ 1 = 0, y= (2 ±6)x.13. 已知曲线C：x2+ y2—4ax+ 2ay —20+ 20a= 0.(1) 证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；(2) 当a z2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；(3) 若曲线C与x轴相切，求a的值.(1) 证明：曲线C的方程可变形为(x2+ y2—20) + (—4x+ 2y+ 20)a = 0,x2+ y2—20= 0 x= 4由，解得，—4x+ 2y+ 20= 0 y= —2点(4, —2)满足C的方程，故曲线C过定点(4, —2).(2) 证明：原方程配方得(x—2a)2+ (y+ a)2= 5(a—2)2••• a丰2时，5(a —2)2>0 , • C的方程表示圆心是(2a, —a),半径是一5|a —2|的圆.设圆心坐标为(x, y)y=—a综上，存在这样的点 Q ，其坐标为 ，0).14. 已知圆C : x 2 + y 2— 2x + 4y — 4= 0,问是否存在斜率是 1的直线l ，使I 被圆C 截得 的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线 I 的方程；若不存在，说明理由.解：假设存在直线I 满足题设条件，设I 的方程为y = x + m ，圆C 化为(x — 1)2+ (y + 2)2 =9，圆心C(1，— 2)，则AB 中点N 是两直线x — y + m = 0与y + 2=— (x — 1)的交点即N(—卫宁， m — 1 厂)，以AB 为直径的圆经过原点,•••|AN|= |ON|，又 CN 丄 AB ，|CN|= |1+ 2+ m|，V 2•••|AN|=、k — (3+m ^. m + 1 2丄 m — 1 2 2丿+I 2丿，由 |AN|= |ON|，解得 m =— 4 或 m = 1.•••存在直线I ，其方程为y = x — 4或y = x + 1.15.Cy\XA 1 丿B X如右图，圆 O : x 2+y 2=l6与x 轴交于A 、B 两点，11、12是分别过A 、B 点的O O 的切线， 过此圆上的另一点 P(P 点是圆上任一不与 A 、B 重合的点)作此圆的切线，分别交l i 、12于C 、 D 点，且 AD 、BC 两直线的交点为 M.(1)当P 点运动时，求切点 M 的轨迹方程； (2)判断是否存在点Q(a,0)(a>0)使得Q 点到轨迹上的点的最近距离为庁•若存在，求出所 有这样的点Q ;若不存在，请说明理由. 解：(1)设 P(x °，y °)， M(x ， y)，则 x 0+ y 2= 16，切线 CD 为 沁+ y °y = 16. 16 + 4x ° 由 A( — 4,0)，B(4,0)，得 C( — 4， 0)，y o 16 — 4x 0 D(4， ). y0 '4 — x °•直线 AD : y =-2y~(x + 4)，直线 BC : 代入 x 0+ y 2= 16，得 x 2 + 4y 2= 16.•••点P 与A 、B 都不重合，• y 丰0. 故所求的轨迹方程是 x 2 + 4y 2= 16(y 丰0). (2)存在.4 + x °y = — (x — 4)，联立解得 x o = x ,11y o = 2y.假设存在满足条件的点 Q(a,O)，则d = \; (x — a)2 + y 2 =4 2 4 23玄)+ 16— 3a (— 4<x<4)，4则当一4<尹4，即0<a<3时,d min — £ ■ f 16 — 3a当a > 3时，因为一<，解得 a = 2 3.4<x<4，此时d 不存在最小值.又 |0N| =。
2010高三数学高考复习回归课本教案：直线与圆的参数方程
2010高考复习数学回归课本：直线与圆的参数方程一．考试内容：直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题.曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念.圆的参数方程.二．考试要求：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域.(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用.(5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.【注意】本部分内容在高考中主要考查两个类型的问题：①基本概念和求直线方程；②直线与圆的位置关系等综合性试题. 求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．三．基础知识:1.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2..两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 3.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.4. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.5．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．6.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).7. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.8. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.9. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).10. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数． 11.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.13.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22B A CBb Aa d +++=.14.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .15.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±四．基本方法和数学思想1.设三角形的三个顶点是A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3）,则⊿ABC 的重心G 为（3,3321321y y y x x x ++++）； 2.直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2: A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0；3.两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2221BA C C d +-=； 4.Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；5.过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2;6.以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；8.圆的性质的应用.初中知识回顾:五．高考题回顾一、相切问题：1．（04年辽宁卷.13）若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 .2. 北京卷）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π3. （天津卷）将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11 二、公共点问题：4.（04年北京卷.理12）曲线C ：{cos 1sin x y θθ==-+（为参数）的普通方程是________，如果曲线C 与直线0x y a ++=有公共点，那么实数a 的取值范围是_______.5.(全国卷I)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）（A ）），（2222- （B ）），（22- （C ）），（4242-（D ）），（8181- 6(04年福建卷.文理13）直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于 .三、方程问题：6.(04年上海卷.文理8）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --, 则圆C 的方程为 .7. （湖南卷）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、 B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .四、对称问题：8.（04年全国卷二.文理4）已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为（ ）.A.22(1)1x y ++=B.221x y +=C.22(1)1x y ++=D.22(1)1x y +-=9.（上海）直线y=21x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 x+2y-2=0 ．五、最值问题：10.（04年全国卷三. 文16）设P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为 .六、线性规划问题：11. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（C ）（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）212. (湖北卷）某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.13. （江西卷）设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- . 七.与向量相结合14.(湖南卷）已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅ ＝ .六.课本中习题归纳一、直线的方程及其位置关系 1（1）直线的倾斜角α的取值范围是 。
高三数学高考复习必备精品教案直线圆的方程
城东蜊市阳光实验学校直线、圆的方程一．【课标要求】1．直线与方程〔1〕在平面直角坐标系中，结合详细图形，探究确定直线位置的几何要素；〔2〕理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；〔3〕根据确定直线位置的几何要素，探究并掌握直线方程的几种形式〔点斜式、两点式及一般式〕，体会斜截式与一次函数的关系；2．圆与方程回忆确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探究并掌握圆的标准方程与一般方程。
二．【命题走向】直线方程考察的重点是直线方程的特征值〔主要是直线的斜率、截距〕有关问题，可与三角知识联络；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。
预测2021年对本讲的考察是：〔1〕2道选择或者者填空，解答题多与其他知识结合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；〔2〕热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程三．【要点精讲】1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，那么称其正切值为该直线的斜率，即k=tanα;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan 1212x x y y --=α〔假设x1＝x2，那么直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900〕。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在〔垂直于x 轴〕的直线；两点式不能表示平行或者者重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或者者重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。
2010届高三数学精品讲练：函数
2010届高三数学精品讲练：函数一、典型例题例1、已知1x 3x 2)x (f -+=，函数y=g(x)图象与y=f -1(x+1)的图象关于直线y=x 对称，求g(11)的值。
分析：利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f -1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。
∵ y=f -1(x+1)∴ x+1=f(y)∴ x=f(y)-1∴ y=f -1(x+1)的反函数为y=f(x)-1即 g(x)=f(x)-1∴ g(11)=f(11)-1=23 评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f -1(b)。
例2、设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f(x)+f(x+2)=0，当-1<x ≤1时，f(x)=2x-1，求当1<x ≤3时，函数f(x)的解析式。
解题思路分析：利用化归思想解题∵ f(x)+f(x+2)=0∴ f(x)=-f(x+2)∵ 该式对一切x ∈R 成立∴ 以x-2代x 得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)当1<x ≤3时，-1<x-2≤1∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5∴ f(x)=-2x+5（1<x ≤3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。
在化归过程中还体现了整体思想。
例3、已知g(x)=-x 2-3，f(x)是二次函数，当x ∈[-1，2]时，f(x) 的最小值，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。
分析：用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax 2+bx+c （a ≠0）则f(x)+g(x)=(a-1)x 2+bx+c-3由已知f(x)+g(x)为奇函数⎩⎨⎧=-=-03c 01a ∴ ⎩⎨⎧==3c 1a ∴ f(x)=x 2+bx+3下面通过确定f(x)在[-1，2]上何时取最小值来确定b ，分类讨论。
2010年高考数学试题(大纲课程卷)分类解析(四)——直线和圆的方程、圆锥曲线方程
⑤ 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
条 平行 直 线 间 的距 离 ．
面向量等工具 ，合理 调控综合程度 ，宽角度 、高视点 、多层次 助于高校选拔人才 ，有助于 中学实施素质教育”的原则． 本 年度各地高考数 学大纲卷涉及解 析几何 内容 的试题情 况
理 ２ １
椭圆标准方程及其简单 的几何性质 ， 抛物线方程 ，两直线垂直 的条件 ，三角形垂心 、重心
收稿 日期 ：２ １— ７ ３ ０００— １
作者简介 ：王发成 （９ ３ ） １６ 一 ，男，河北衡水冀 州人，研 究生学历 ，国家数 学奥林 匹克高级教 练员，河北省劳动模 范、河北省首届 名师，中学特 级教 师。主要从事数 学教育与中学教学研 究．
卷）考 查的特 点与 趋势 ，基本 上继 承和 发扬 了 “ 题型 、 内容 和难度相 对稳 定 ，突 出考 查数 学主 干知 识 。注 重通性 通 法的 同时适度 创新 ”的特 点 ，命题 日趋 成 熟 ，多数 题 目源于教 材 又高 于教 材 ，且 注意知识 的综 合运 用 ，宽 角度 、高视 点 、 多
见下表 ．
⑥ 掌握两点间的距 离公 式 、点到直线的距离公式 ，会求两 地考查了解析几何 的基 本思想和学生 的数学素养 ，遵循 了 “ 有
（） ２ 圆与方程．
① 掌握确定圆的几何要素 ，掌握 圆的标 准方程与一般方程．
② 能根据 给定直线 、圆的方程判断 直线与 圆的位 置关 系 ；
学教 学 实际 ，有针 对性地提 出高考 复 习的几点建议 ． 关键词 ：命题趋势；试题评析；复习建议
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。
2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。
3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。
二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。
4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。
5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
2010年高考数学试题（新课程卷）分类解析（九）--直线和圆的方程
2010年高考数学试题（新课程卷）分类解析（九）--直线和
圆的方程
王欣; 秦毅
【期刊名称】《《中国数学教育（高中版）》》
【年(卷),期】2010(000)007
【摘要】直线和圆的方程是进一步研究圆锥曲线的基础，它们渗透到平面解析几何的各个部分，是解决解析几何问题的重要工具之一，是高考必考内容之一．文章结合2010年的高考数学试题，通过案例分析，研究了这部分试题的命题规律及试题特点，给出了复习建议，让学生和教师对这一部分的复习有一个明确的方向．【总页数】4页(P62-65)
【作者】王欣; 秦毅
【作者单位】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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2010届高三数学精品讲练：直线和圆的方程一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q （x 0，4x 0），M （m ，0）∵ Q ，P ，M 共线∴ k PQ =k PM∴ m64x 6x 4400-=-- 解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0∴ x 0-1>0∴ 1x x 10m x 2x 4|OM |21S 02000OMQ -===∆ 令x 0-1=t ，则t>0 )2t1t (10t )1t (10S 2++=+=≥40 当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。
要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。
分析：（1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2) 即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1，k AB=2∴ k21k 2k 11k +-=-+ ∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。
一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。
也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y)为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得2|1y x |5|5y x 2|-+=--，化简即可。
还可注意到，AB 与AC 关于AE 对称。
例3、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；（2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。
分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。
总之，要数形结合，拓宽解题思路。
（1）法一：从数的角度若选用标准式：设圆心P （x ，y ），则由|PA|=|PB|得：(x 0-5)2+(y 0-2)2=(x 0-3)2+(y 0-2)2又2x 0-y 0-3=0两方程联立得：⎩⎨⎧==5y 4x 00，|PA|=10 ∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10若选用一般式：设圆方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则圆心（2E ,2D --） ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----⨯=++++=++++03)2E ()2D (20F E 2D 3230F E 2D 5252222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=31F 10E 8D法二：从形的角度AB 为圆的弦，由平几知识知，圆心P 应在AB 中垂线x=4上，则由⎩⎨⎧==--4x 03y x 2得圆心P （4，5） ∴ 半径r=|PA|=10显然，充分利用平几知识明显降低了计算量（2）设A 关于直线x+2y=0的对称点为A ’由已知AA ’为圆的弦∴ AA ’对称轴x+2y=0过圆心设圆心P （-2a ，a ），半径为R则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2 又弦长22d R 222-=，2|1a a 2|d +--=∴ 2)1a 3(2R 22-+= ∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+2)1a 3(2- ∴ a=-7或a=-3当a=-7时，R=52；当a=-3时，R=244∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244例4、已知方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0表示一个圆，（1）求实数m 取值范围；（2）求圆半径r 取值范围；（3）求圆心轨迹方程。
分析：（1）m 满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m 2)]2-4(16m 4+9)>0，即7m 2-6m-1<0∴ 1m 71<<- （3）半径r=716)73m (71m 6m 722+--=++- ∵ 1m 71<<- ∴ 73m =时，774r max = ∴ 0<r ≤774 （3）设圆心P （x ，y ），则⎩⎨⎧-=+=1m 4y 3m x 2 消去m 得：y=4(x-3)2-1 又1m 71<<-∴ 4x 720<< ∴ 所求轨迹方程为(x-3)2=41(y+1)（4x 720<<） 例5、如图，过圆O ：x 2+y 2=4与y 轴正半轴交点A 作此圆的切线 ，M 为 上任一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，求△MAQ 垂心P 的轨迹方程。
分析：从寻找点P 满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。
连OQ ，则由OQ ⊥MQ ，AP ⊥MQ 得OQ ∥AP同理，OA ∥PQ又OA=OQ∴ OAPQ 为菱形∴ |PA|=|OA|=2设P(x ，y)，Q(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧-==2y y x x 00又x 02+y 02=4∴ x 2+(y-2)2=4（x ≠0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
同步练习（一）选择题1、若直线(m 2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m 取值范围是A 、-1<m ≤21B 、21-≤m ≤1C 、21<m<1D 、21≤m ≤1 2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4π，则m 值为 A 、 31-或-3 B 、-3或31 C 、-3或3 D 、31或3 3、点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是A 、 2B 、6C 、22D 、104、过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有A 、 1条B 、2条C 、3条D 、4条5、圆x 2+y 2-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=900，则C 的值是A 、 -3B 、3C 、22D 、86、若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r 取值范围是A 、 （4，6）B 、[4，6）C 、（4，6]D 、[4，6]7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转2π后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x 2+(y-1)2=R 2相切，则正数R 等于A 、 21B 、22C 、1D 、2 8、 方程x 2+y 2+2ax-2ay=0所表示的圆A 、关于x 轴对称B 、关于y 轴对称C 、关于直线x-y=0对称D 、关于直线x+y=0对称（二）填空题9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a ，b ），（d ，e ）的直线方程是___________________。
10、已知{(x ，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
11、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++010y 5x 206y 3x 5015y 8x 3，则x-y 的最大值为________，最小值为________。
12、过点A （2，1），且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。
13、已知圆：(x-1)2+y 2=1，作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是__________________。
（三）解答题14、已知y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程，A （-4，2），B （3，1），求点C 坐标，并判断△ABC 形状。
15、已知n 条直线：x-y+c i =0（i=1，2，…，n ），其中C 1=2，C 1<C 2<C 3<…<C n ，且每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n ，（1）求C n ；（2）求x-y+C n =0与坐标轴围成的三角形面积：（3）求x-y+C n-1=0与x-y+C n =0与x 轴、y 轴围成的图形面积。
16、已知与曲线C ：x 2+y 2-2x-2y+1=0相切的直线 交x 、y 轴于A 、B 两点，O 为原点，|OA|=a ，|OB|=b ，a>2，b>2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求△AOB 面积的最小值。
17、已知两圆x 2+y 2=4和x 2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线y=25x+b 两侧，求b 取值范围；（2）求过点A （0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k 的范围。
18、当0<a<2时，直线 1：ax-2y-2a+4=0与 2：2x+a 2y-2a 2-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a 应取何值？参考答案（一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D （二）9、3x-2y+C=0 10、2 11、6，-5 12、x+y=3或x-2y=0 13、41y )21x (22=+-（x ≠0）（三）14、C （2，4），∠C=90015、（1）2)1n (n 2C n += （2）4)1n (n 22+（3）n 3 16、（1）利用圆心到直线距离等于半径（2）(x-1)(y-1)=21(x>1，y>1)（3）322+17、（1）画图 3≤b ≤5（2）k ∈（25,25-）18、21。