高级微观经济学期末复习

=0.1213
表明商品税对消费者的福利影响更差。
2.D.3 设x B , x B , [0,1].
令x = x+(1- ) x ,因为x是一个凸集，所以x X.
故pۤۤۤۤ∙x = (p∙x)+ (1- )(p∙x )≤ w+ (1- )w=w
因此，x B .
2.E.5 因为x(p,w)对w是一次齐次的，所以对任意 >0有x(p, w)= x(p,w).
根据UMP的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数:
x(p,w)=( b , b , b )+(w-p∙b)( /p , , )
其中p∙b=
将此需求函数代入u(•),得到间接效用函数:
v(p,w)= (w-p∙b)
（本题（a）中验证3.E.2和3.E.3不用作。）
解：3.G.3 (a) 假设 .对于效用函数:
(f)当80<y<100时,商品2是劣等品.
100∙120+100y>100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y
因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是,因为y<100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品.
(d)因为 =a+2b+c,第一种商品的税收收入与它相等，
因此， =( a+(3/2)b+c)-（a+2b+c）=-b/2
因为 =d+e+2g,第二种商品的税收收入与它相等，
因此， =(d+e+(3/2)g)-（d+e+2g）=-g/2
因为 =a+2b+2c, =d+2e+2g,两种商品的税收收入为：
答案：1、 ， ，
2、 ， ， （形式可能不一样）
四、证明对偶原理中的1. 2.
参考书
五、效用函数 ，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。
参考书
六、效用函数 ，求其货币度量的直接和间接效用函数。
答案：
七、效用函数 ，当 ， ，求其等价变化和补偿变化。
答案： ， ，
八、分析福利分析在税收方面的应用。
解：3.D.6 (a) 令 (x)=u(x) =(x - b ) (x - b ) (x - b ) ,
其中 , ,
因为函数u→u 是单调变换,
因此, , (•)与u(•)代表相同的效用水平.
因而我们可以不失一般性的假定 .
(b) 对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换：
lnu(x)= ln(x - b )+ ln(x - b )+ ln(x - b ).
但是，由于 / =
= +
所以 = / -
-
=-
因此一阶条件可以写为：
+ =0 l=1,2
又因为R= ,
则- = =
(a+b +c ) +(d+c +g ) =R
第二部分：厂商理论
一、厂商的生产函数 ，求其要素需求函数和条件要素需求函数
解答：（1）
（2）
二、产商的生产函数 ，求其成本函数和利润函数
解答：将要素需求函数带入利润函数表达式就得到利润函数，将条件要素需求函数带入成本函数表达式就得到成本函数
(e) 当y<75时,商品1是劣等品.
100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>100∙120+80y
因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y<75<100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1(在某一价格上)是劣等品.
lnu(x)= ln(x - b )+ ln(x - b )+ ln(x - b ).
根据EMP一阶条件得:
h(p,u)= ( b , b , b )+u
将此函数代入p∙h(p,u),得到支出函数:
e(p,u)=p∙b+u .其中, p∙b= .
(b)对(a)中求出的支出函数求导 ，通过与h(p,u)比较,可得到支出函数的导数即为（a）中所求出的希克斯需求函数。
若 ≠0，则 〉0，就可找到一组 值使得上式〉0.故得： =0
所以， = .
（d）因为对于任意价格， = ，所以消费者的无差异曲线呈L型，拐点在坐标轴的对角线上，如下图。
(e)根据d的结论，对于固定的 ，商品1和2的偏好可由 表示，商品1和2的需求也无收入效应。因此得到：
= + 或是该形式的单调变换。
解答：（1）完全价格歧视
, ,（ 舍去）
（2）无价格歧视
,（ 舍去）
2．一个卖方垄断者为两个空间上分离的市场服务，在这两个市场上，可以采取两种价格，不必担心市场之间的竞争和返销。卖方垄断者的需求和生产成本函数为：
，请确定 的值。
解答：由于两个市场分离，因此两个市场的价格、需求量独立
Max ， ，可得到
将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数 ，有
3．求支出函数
由间接效用函数，求反函数 得：
4．求希克斯需求函数
法一：将支出函数
代入瓦尔拉斯需求函数 ，得到
法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。
5．求货币度量的效用函数
（1）货币度量的直接效用函数
由 ，有
（2）货币度量的间接效用函数
参考书
五、分析生产集的性质
参考书
六、阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。
参考书
七、证明利润函数是价格的凸函数。
参考书
第三部分不确定性选择
一、一决策者的效用函数为 ，初始财富160000，5%损失70000，5%损失120000，问其愿意支付的最大保险金额多大？如果保险公司不承担损失中的7620，其愿意支付的最大保险金额又多大？
解答：用确定性等值，（1）
（2）
二*、期望效用函数的存在性证明
参考书
三、写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。
参考书
四、简要分析保险需求理论的基本框架。
参考书
五、简要分析资产组合理论的基本框架
参考书
六、假定个人具有效用函数 ，（1）计算当财富水平 时的绝对和相对风险规避系数。（2）计算彩票 的确定性等价和风险溢价（3）计算彩票 的确定性等价和风险溢价。将这一结果与（2）比较，并解释。
因此，x (p,w)= x (p,1)w.
因为当k≠l时， (p,1)/ = (p)/ =0
所以 x (p,1)只是关于p 的函数，即可记为x (p,w)= x ( p ).
又因为x(p,w)满足零次齐次性，所以x ( p )必定是p 的-1次方。
因此，存在 〉0时，使x ( p )= / p .
根据瓦尔拉斯定律,∑ p （ / p ）w=w∑ =w.
答案：
三、产商的生产函数 ，（1）用三种方法求其供给函数（2）假定生产要素2固定为k，再重新求其供给函数。
解答：（1）方法一：由利润函数求解供给函数
方法二：由生产函数求解供给函数
方法三：由成本函数求解供给函数（注意： 是利润最大化条件）
（2）同样的三种办法
四、厂商利润最大化条件、成本最小化的意义及应用边界
即,y<75时,消费者在第1年的消费束显示出优于第2年的消费束.
(c) 若100∙120+100y>100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y
即,y>80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.
(注:b,c假定弱公理成立)
(d) 无论y取何值,都有充分的信息来断定a,b,c 中有一个成立
对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。
解答：（1） ，
（2） ，
，
（3） ， ， 。
对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。
第四部分：局部、一般均衡和福利经济学
1．有一个卖方垄断者，其需求和成本函数分别为 和 ，请确定其在完全价格歧视和没有p价格歧视情况下的最大利润和对应的边际价格与数量。
（a+2b+2c）+（d+2e+2g）=a+2b+4c+d+2g
因此， =(a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g)-(a+2b+4c+d+2g)=-b/2-c-g/2
故， -（ + ）=-c
（e）问题可以转化为：
s.t. ≥R
其中， = -
= - -
建立拉格朗日函数： = + （R- ）
对 求一阶导数： - =0
第一部分：消费者理论
一、效用函数存在性证明
参考书
二、效用函数 ，求瓦尔拉斯需求函数
解答： 从效用函数 可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0， ，
或者由 可得到
实际上，这是一个边角解，
三、效用函数 ，求其1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数，2、希克斯需求函数，支出函数。
同样，可得当且仅当2 2的子矩阵为半负定矩阵时，3 3的斯拉茨基矩阵也是半负定矩阵。
因此，效用最大化所蕴含的参数限制为：c=e,b≤0,g≤0,且bg-c ≥0.
(b)首先，证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关，仅是前两种商品价格的函数，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。