2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 详解答案 第一节 直线与圆 广东、北京、天津详解答案

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6．选 A
3 3 设所求圆的圆心坐标是 a，a (a>0)，则点 a，a (a>0)
12 12 |3a＋ a ＋3| 3a＋ a ＋3 到直线 3x＋4y＋3＝0 的距离 d＝ ＝ 5 5 2 ≥ 12 3a× a ＋3 12 ＝3， 当且仅当 3a＝ a ， a＝2 时取等号， 即 5 3，即所求圆的方程
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12．解：(1)依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x－ 3y－4 4 ＝0 的距离，即 r＝ ＝2， 1＋3 故圆 O 的方程为 x2＋y2＝4. (2)不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，x1<x2. 由 x2＝4，即得 A(－2,0)，B(2,0)． 设 P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得 x＋22＋y2· x－22＋y2＝x2＋y2，
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1 1 故△AOB 面积 S＝ 2|AB|×d＝ 2×2 4－d2 ×d＝ 4d2－d4＝ －d2－22＋4. 1 1 2 2 而d＝ ，因为 1＋k ≥1，所以 d ＝ ∈(0,1]． 1＋k2 1＋k2
2
显然当 d2∈(0,1]时，S 单调递增， 所以当 d2＝1，即 k＝0 时，S 取得最大值 3，此时直线 m 的 方程为 y－1＝0.
3 C1C3 的中点，∴C22，2.
32 9 x－ ＋(y－2)2＝ . C2 的方程为 2 4
32 9 x－ ＋(y－2)2＝ 答案： 2 4
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6． A 选
当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时， 符合条件． 圆
心 O 与 P 点连线的斜率 k＝1， 所以直线 OP 垂直于 x＋y－2＝0. 7．解析：依题意，设所求直线 l1 的方程是 3x＋4y＋b＝0，则由 直线 l1 与圆 x2＋(y＋1)2＝1 相切，可得圆心(0，－1)到直线 3x |b－4| ＋4y＋b＝0 的距离为 1，即有 5 ＝1，解得 b＝－1 或 b＝9. 因此，直线 l1 的方程是 3x＋4y－1＝0 或 3x＋4y＋9＝0.
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3x－y－1＝0， 10．解：解方程组 x＋y－3＝0，
得交点 P(1,2)．
(1)若点 A，B 在直线 l 的同侧，则 l∥AB. 3－2 1 而 kAB＝ ＝－2， 3－5 1 由点斜式得直线 l 的方程为 y－2＝－2(x－1)， 即 x＋2y－5＝0；
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(2)若点 A，B 分别在直线 l 的异侧，则直线 l 经过线段 AB 的
＝1，圆的半径为 2，所以弦长|AB|＝2 22－12＝2 3.
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4．选 C
欲使直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，
只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径 2即可，即 |a－0＋1| 2 2≤ 2，化简得|a＋1|≤2， 1 ＋－1 解得－3≤a≤1.
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5．选 A
答案：3x＋4y－1＝0 或 3x＋4y＋9＝0
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8．解析：注意到与直线 x－y－2＝0 平行且距离为 1 的直线方程 分别是 x－y－2＋ 2＝0、x－y－2－ 2＝0，要使圆上有且只 有两个点到直线 x－y－2＝0 的距离为 1，需满足在两条直线 x－y－2＋ 2＝0、x－y－2－ 2＝0 中，一条与该圆相交且另 | 2－2| |－2－ 2| 一条与该圆相离，所以 <r< ，即 2－1<r< 2 2 2 ＋1.
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即 x2－y2＝2.
PA · ＝(－2－x，－y)· PB (2－x，－y)
＝x2－4＋y2＝2y2－2.
x2＋y2<4， 内，故 2 2 x －y ＝2，
由于点 P 在圆 O
由此得 y2<1，
PB 所以 PA · 的取值范围为[－2,0)．
12 1 1 2 2 的圆心到 y＝a的距离为a，由 2 ＝( 3) ＋a ，a>0，得 a＝1.
答案：1
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9．解析：设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＝0，圆心 |k＋k| C(1,0)到直线 l 的距离为 2 ，∵直线 l 将圆 C 分成弧长之 k ＋1 比为 1∶3 的两段圆弧，∴直线 l 被圆所截得的弦所对的圆心 π 角为2，又圆 C 的半径为 2， π |k＋k| 3 ∴ 2×cos4＝ 2 ，解得，k＝± 3 ， k ＋1 3 3 ∴直线 l 的方程为 y＝ 3 (x＋1)或 y＝－ 3 (x＋1)． 3 3 答案：y＝ 3 (x＋1)或 y＝－ 3 (x＋1)
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2．选 A
由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，
1 1 所以 kl＝－k ＝－ ＝1，又直线 l 经过 PQ 的中点(2,3)， 4－2 PQ 1－3 所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0. 3． B 选 圆 x2＋y2＝4 的圆心(0,0)到直线 3x＋4y－5＝0 的距离 d
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3 5 3－2 4．解析：由已知得，线段AB的中点E 2，2 ，kAB＝ ＝－1， 1－2
5 3 故线段AB的中垂线方程为y－ 2 ＝x－ 2 ，即x－y＋1＝0.因为圆 C经过A，B两点，故圆心在线段AB的中垂线上．又因为直线 m：3x－2y＝0平分圆的面积，所以直线m经过圆心．
此圆 C 的方程是 x2＋(y－1)2＝10.
答案：x2＋(y－1)2＝10
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例 3：思路点拨：(1)由圆心到弦的距离可得 m，n 的关系，再利 用基本不等式求解；(2)作出草图，判定圆心到 P 点的距离，联立 方程组求解．
解析：(1)由题意知
1 1 Am，0，B0，n，圆的半径为
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(2)直线与圆的位置关系如图所示，设 P(x，y)，则∠APO＝30° ， 且 OA＝1.在直角三角形 APO 中，OA＝1，∠APO＝30° ，则 OP ＝2，即 x2＋y2＝4.又 x＋y－2 2＝0，联立解得 x＝y＝ 2，即 P( 2， 2)．
答案：(1)3
(2)( 2， 2)
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冲关集训 1．选 A 与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程可设为：x－2y＋c ＝0，将点(1,0)代入 x－2y＋c＝0，解得 c＝－1，故直线方程 为 x－2y－1＝0. 2．选 C ∵l1⊥l2，∴k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0， 解得 k1＝－3，k2＝1.∴k＝－3 或 1. 3．选 A 由条件知 O，A，B，P 四点共圆，从而 OP 中点(2,1) 1 为所求圆的圆心，半径 r＝2|OP|＝ 5.
依题意得，圆心到直线的距离等于半径，
2
1 1 2 即有|cos θ＋sin θ－1|＝4，|cos θ－cos θ|＝4，cos θ－cos2θ＝ 1 1 2 或 cos θ－cos θ＝－4(不符合题意，舍去)．由 cos θ－cos2θ 4 1 1 3 ＝4，得 cos θ＝2，又 θ 为锐角，所以 sin θ＝ 2 ，故该直线 cos θ 3 的斜率是－ sin θ ＝－ 3 .
答案：(1)B (2)4x－3y－4＝0
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例 2：思路点拨：先确定圆心坐标，再利用公式求圆心到直线的 距离，得圆的半径即可．
解析：设所求圆的半径是 R.依题意得，抛物线 y2＝4x 的焦点坐 标是(1,0)，则圆 C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线 4x－3y－2
|AB|2 |4×0－3×1－2| 2 2 ＝0 的距离 d＝ 2 2 ＝1，则 R ＝d ＋ 2 ＝10，因 4 ＋－3
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5 中点4，2，
5 y－2 2－2 由两点式得直线 l 的方程为 ＝ ， x－1 4－1 即 x－6y＋11＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 x＋2y－5＝0 或 x－6y＋11＝0.
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11．解：(1)证明：直线 m：kx－y＋1＝0 可化为 y－1＝kx， 故该直线恒过点(0,1)， 而(0,1)在圆 O：x2＋y2＝4 的内部，所以直线 m 与圆 O 恒 有两个相异交点． 1 (2)圆心 O 到直线 m 的距离为 d＝ 而圆 O 的半径 2， 1＋k r＝2， 故弦 AB 的长为|AB|＝2 r2－d2＝2 4－d2，
3 因此所求圆的圆心坐标是2，2，半径是
为(x－2)
2
32 ＋y－2 ＝9.
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7．解析：所求直线过圆：x2＋2x＋y2＝0 的圆心 C(－1,0)，斜率 为 1，故方程为 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
1 8．解析：由题意得公共弦所在直线的方程为 y＝a，圆 x2＋y2＝4
答案：( 2－1， 2＋1)
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课时检测(十五) 1．选 Cx2＋y2＝1， 法一：由 x＝y 得2x2＝1，
2 2 解得x＝ 2 或x＝－ 2 ， 2 2 这时y＝ 2 或y＝－ 2 ，即A∩B中有两个元素． 法二：由集合A、集合B表示的几何意义知，集合A表示圆心 为(0,0)的圆，集合B表示过(0,0)的直线，故有两个交点，即 A∩B的元素个数为2.
考点例题
第 一 阶 段
专 题 五
第 一 节
冲关集训
课时检测（十五）
第一阶段
二轮专题复习
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专题五
解析几何
第一节
直线与圆
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考点例题
例 1：思路点拨：(1)由平行关系确定 a 的值，再利用点到直线的 距离公式求距离； (2)关键找出直线的斜率，而斜率与直线的倾斜角有关．
解析：(1)由 l1∥l2， 知 3＝a(a－2)且 2a≠6(a－2)，2a2≠18， 求得 a＝－1， 2 所以 l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋3＝0，两条平行直线 l1 与 l2 间的 8 2 距离为 d＝ 2 2＝ 3 . 1 ＋－1
x－y＋1＝0， 由 3x－2y＝0， x＝2， 解得 y＝3，
即圆心的坐标为C(2,3)，