人教A版高中数学必修空间中直线与直线之间的位置关系PPT精品课件

是否改变?
解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关.
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″
a ∠2
a′
O ∠1
在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)
DD'平行吗？
D
C
AБайду номын сангаас
B
D
A
C
B
公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
例1、 已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点，求证四边形EFGH是一个平行四边 形。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线
例2 下图长方体中
(1)说出以下各对线段的位置关系? ① EC 和BH是 相交 直线 ② BD 和FH是 平行 直线 ③BH 和DC是 异面 直线
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
C1 B1
D A
C B
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
空间中直线与直线之间的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
A
H E
D G
B F
C
四边形EFGH是菱形。
练习
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1 与 BC1 是什么位置关系？为什么？
D1
解：1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， A1 ∴ AB ∥ C1D1
C1 B1
2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1
D
∴ ABC1D1为平行四边形
A
故AD1 ∥ BC1
C B
㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b a′ ？ OP a
b′ θ a′
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 ,
记为a ⊥ b
O
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
数学必修2
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
六角螺母
C A
D B
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
D1 A1
关系如何? 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
在CAB和CAB中，AC / /AC,且AB / /AB
C
A
B
C
A
B
CAB CAB
C
A
B
∴EH
∥BD且EH
=
1 2
同理，FG ∥BD且FG
BD
1
=2
BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
A
H
E
D G
B
F
C
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
探 究
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四 边形EFGH是什么图形？
M
ab
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
(2)
b
A
a
(1)
a
b
(3)
探 究
下图是一个正方体的展开图，如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段 所在的直线是异面直线的有 3 对。
例3 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？ （3）那些棱所在的直线与直线EA垂直？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角， 又 BEF中∠EBF =45o ， 所以BE与CG所成的角是45o
C
B
A
CAB CAB 180
3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. (2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB 与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无 公 共 点 异面直线
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b
a
a与b是异面直线
O
H E
D A
G F
C B
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成
的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角。
异面直线所成的角的范围( 0o , 90o ]
C
A
G DB
HE
F
直线EF和直线HG 直线AB和直线CD
G(C) A E
H D
F (B)
直线AB和直线HG
3、平行公理的推导
㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'//AA',DD'//AA',那么BB'与