余弦函数的图像与性质
余弦函数图像与性质
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1-
P1
p1/6o1M-源自 1Ao63
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 2
x
-1 -
作法:
(1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
32
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(o2 ,0)
( 2 ,0)
2
3
-1
( ,-1)
线
4
5 6 x
正弦函数的性质
• 我们已经学习了正弦函数的性质，能不能 类比学习余弦函数的性质呢？
1. 定义域 2. 值域 3. 周期性 4. 单调性 5. 奇偶性 6. 对称性
都是这两个函数的周期。
即2k k Z,k 0 是它的周期，
最小正周期为 2
-4 -3
正弦、余弦函数的相同性质
y
1
-2
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x 5 6 x
一定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y=cosx (xR) 是偶函数
-4 -3
余弦函数的图像与性质PPT
所以 cos 3＜sin 1 ＜ cos 7 .
2
10
4
答案: cos 3＜sin 1 ＜ cos 7
2
10
4
类型一 余弦函数的图像及应用 【典例】用“五点法”作函数y=1-cosx(0≤x≤2π)的 简图.
世纪金榜导学号70034021
【审题路线图】用“五点法”作函数y=1-cosx(0≤x≤2π) 的简图⇒根据余弦函数图像的五个关键点列表⇒在坐标 系中描出五个关键点⇒用平滑的曲线连接五个点.
2.比较下列各组数的大小.
(1)-sin46°与cos221°.
2cos( 23 )与cos( 17 ).
5
4
【审题路线图】1.配方法⇒求出最值⇒写出值域. 2.用诱导公式化角在同一单调区间内⇒利用正(余)弦函 数单调性⇒写出答案.
【解析】1.y (cos x 1 )2 1 .
24
因为-1≤cosx≤1,
所以当cosx=1
2
时,ymax=
1 4
.
当cosx=-1时,ymin=-2.
所以函数y=-cos2x+cosx的值域是[2，1 ].
4
答案: [2，1]
4
2.(1)-sin46°=-cos44°=cos136°, cos221°=-cos41°=cos139°. 因为180°>139°>136°>0°, 所以cos139°<cos136°,即-sin46°>cos221°.
【解析】列表:
x cosx
0
π 3
2π
2
2
1
0
-1
0
1
1-cosx
01
2
高中数学第一章 §6 余弦函数的图像与性质
[核心必知]余弦函数的图像与性质[问题思考]1．如何由y ＝cos x ，x ∈R 的图像得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像？提示：只需将y ＝cos x ，x ∈R 的图像向右平移π2个单位即可得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像，并且方法不唯一．2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？提示：不是．余弦函数y ＝cos x 在[0，π2]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝12，cos 390°＝32.却有cos 60°<cos 390°.所以函数y ＝cos x 在第一象限内不是减函数．3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x ＝k π(k ∈Z )；它的对称中心有无数个，其坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )．讲一讲1．画出函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图像． [尝试解答] 按五个关键点列表：如图所示：1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像． 练一练1．用“五点法”画出y ＝3＋2cos x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表(2)讲一讲2．(1)求下列函数的定义域． ①y ＝32－cos x ； ②y ＝log 12(2cos x －2)．(2)求函数y ＝3－2cos(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2的值域． [尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有32－cos x ≥0， ∴cos x ≤32.可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 故所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .②要使函数有意义，则有2cos x －2>0， ∴cos x >22，故所求定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)∵π6≤x ≤π2，∴0≤2x －π3≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴－12≤cos(2x －π3)≤1，∴1≤3－2cos(2x －π3)≤4，故函数的值域为[1，4]．1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．2．求三角函数的值域，要充分利用sin x 和cos x 的有界性，对于x 有限制范围的，可结合图像求值域．练一练2. 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最值．解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.讲一讲3．(1)判断函数f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )的奇偶性．(2)求函数y ＝cos(π6－x )的单调减区间．[尝试解答] (1)∵f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )＝－cos x －x sin x ，∴f (－x )＝－cos(－x )－(－x )sin(－x ) ＝－cos x －x sin x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)y ＝cos(π6－x )＝cos(x －π6)，令2k π≤x －π6≤π＋2k π(k ∈Z )，得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k πk ∈Z .1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f (－x )与f (x )的关系确定奇偶性．2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．练一练3．比较下列各组值的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 7π6；(2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8 ＝－cos π8.而cos 7π6＝－cos π6∵0<π8<π6<π2.∴cos π8>cos π6.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8<cos 7π6.(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°) ＝－sin 14°＝－cos 76°， cos 160°＝cos(180°－20°) ＝－cos 20°.∵0°<20°<76°<90°， ∴cos 20°>cos 76°， ∴－cos 20°<－cos 76°， ∴sin 194°>cos 160°.函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π [解析] 法一：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积， 又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 法二：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC 的面积(如图(2))． ∵|AC |＝2π，B 到AC 距离等于4.∴S 平面图形＝S △ABC ＝ 12×2π×4＝4π.法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD 的面积(如图(3)) ∵|AB |＝π，|AD |＝4. ∴S 平面图形＝S 矩形ABCD ＝4π. [答案] D1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3.2．函数y ＝－cos x 在区间[－π，π]上是( ) A ．增加的 B ．减少的C ．先增加后减少D ．先减少后增加解析：选D 作出y ＝－cos x 的图像可得选项D 正确． 3．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )解析：选 C 在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，由图像可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π上，y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的．4．函数y ＝cos x1＋cos x 的定义域是________．解析：由1＋cos x ≠0得cos x ≠－1 ∴x ≠π＋2k π，k ∈Z∴ 定义域是{}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z . 答案： {}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z5．当x ∈[0，2π]时，方程sin x ＝cos x 的解集是________． 解析：在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，如图，可得x ＝π4或x ＝5π4.答案： {π4，5π4}6．比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5. cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减少的． 所以cos π4>cos 3π5即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点 答案：C2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．(－32，12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．MP B ．M PC ．M ＝PD ．M ∩P ＝∅解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴MP .二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________．解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．比较大小：sin 3π5________cos π5.解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点．答案：28．函数y ＝11－cos x 的值域是________．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴ 函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题9．求函数y ＝cos(3x －π4)的单调减区间． 解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ， 得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ， ∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]．∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12. ①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34. ②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.。
高中数学-必修二7.2余弦函数的图像与性质-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学-必修二7.2余弦函数的图像与性质-知识点1、余弦函数：y=cosx ，x ∈ R ，y ∈ [-1,1] ，需掌握余弦函数的五点法画图。
（0，1） （π/2，0） （π，-1） （3π/2，0） （2π，1）★因为cosx=sin( x +π/2)，所以，余弦曲线可以由正弦曲线向左平移π/2后得到。
2、余弦函数的最小正周期是2π。
①对于y=Acos （ωx+φ），ω≠0，T= ωπ；②形如y=x Acos ω的周期，常结合图像 来解决，通常，周期是减半的，即T= ω 。
3、余弦函数f(x)=cosx 是定义在R 上的 偶 函数，关于y 轴 对称。
余弦曲线是轴对称图形且对称轴不唯一，对称轴：直线x=k π，k ∈Z ；还是中心对称图形且对称中心不唯一，对称中心为：（k π+π/2，0），k ∈Z 。
4、余弦函数f(x)=cosx 的严格增区间是[2k π-π，2k π]，k ∈Z ；严格减区间是[2k π，2k π+π]，k ∈Z 。
在x=2k π，k ∈Z 时，有f(x)max = 1 ；在x=2k π+π，k ∈Z 时，有f(x)min = -1 ；值域为 [-1,1] ，称为有界性 。
5、求值域典例1：求y=sinxcosx+sinx+cosx 的值域。
思路：①换元，设t=sinx+cosx ，由辅助角公式可知t ∈[-2,2]，②改写式子，y=0.5(t 2-1)+t ，并通过配方求出值域。
y=0.5(t+1)2-1，y ∈[-1，0.5+2]。
6、求值域典例2：求y=2cosx 1sinx 5++的值域。
思路：①化为整式，利用辅助角公式将sinx 和cosx 合并。
去分母得：5sinx+1=ycosx+2y ⇒5sinx+1=ycosx+2y ⇒5sinx-ycosx =2y-1 ⇒5y 2+sin(x+φ)=2y-1。
②利用正弦函数的有界性构造不等式，从而求出值域。
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
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27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
余弦函数图像与性质
定义编辑角A的邻边比斜边叫做∠A的余弦，记作cosA（由余弦英文cosine简写得来），即cosA=角A的邻边/斜边（直角三角形）。
记作cos=x/r。
余弦是三角函数的一种。
它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
它是周期函数，其最小正周期为2π。
在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。
余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
2定理编辑简介三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。
（见解三角形公式，推导过程略。
）性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。
两根判别法若记m(c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值①若m(c1,c2）=2，则有两解；②若m(c1,c2）=1，则有一解；③若m(c1,c2）=0，则有零解（即无解）。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
角边判别法1、当a>bsinA时①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；⑤当b<a时，则有一解2、当a=bsinA时①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；3、当a<bsinA时，则有零解（即无解）3证明方法编辑平面向量证法∵如图，有a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b）·（a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵Cos（π-θ）=-CosC∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2abCosC即CosC=同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2）/(2ab)就是将CosC移到左边表示一下。
余弦函数的图像和性质
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
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还是和前两次一样.他决定拼一把,开始神血秘典の第四步——断血. 盘坐在祭坛中央,白重炙运起"夜皇决",封闭了身体中の阴脉和阳脉之间の连接穴道,直接断绝了两脉之间の血液流通. 顿时,白重炙の身体逐渐红了起来,体表の血脉条条鼓了起来. "好难受,这就是断血吗?这么好像被人捏住脖 子,要断气の感觉一样?啊?头怎么那么晕?神之精血怎么还不自救?" 此刻白重炙感觉自己就好像被人按住脑袋沉入水底般,那种要断气の感觉竟然是那么の恐怖.而且他の头脑也开始发晕,这是脑海开始缺氧の症状. 坚持,坚持！ 白重炙脑海中只留下坚持几个字,最后时候他选择了相信自己那个高 人老爹.死死控制"夜皇决"坚决封闭着穴道,断绝了血液の流通. 而此刻の白重炙,如果有外人看到の话,肯定会惊叫起来.因为此刻の白重炙早已不复原来の那位冷峻青年摸样.全身青筋暴涨,密密麻麻遍布全身,皮肤全部红の刺眼,耳口鼻开始慢慢渗血.全身看起来狰狞恐怖,恍如恶魔. 糟糕！ 白 重炙心里一疙瘩,暗暗叫苦起来,同时嘴里大量冒出鲜血.由于长期封闭血脉,血脉终于承受不住重荷爆裂开来. 完了！这下真の飘然西去死翘翘了…… 白重炙心里长叹一声,此刻他脑海却异常清醒,似乎到了回光返照の那一刻.恍惚间,他仿佛感觉自己可以看见自己の身体阴脉寸寸爆裂,大量の鲜 血狂涌而出.而且此刻他还仿佛能透过浓浓の白雾,看到了战智堂里众人面部各异の表情.他还看见妹妹夜轻语正站在旁边の角落里,遥遥の眺望着自己这个光圈,满脸の希翼,满脸の柔情…… 就在白重炙即将陷入昏迷,因大量失血而昏死过去之时. 他左手带着の那枚青铜戒指突然闪耀出一阵白色 の光芒,接着一股犹如绸缎般の白色气流缓缓从戒指中冒出,从他手指流入白重炙の身体里. 突兀の—— 白色气流从左手开始快速の向身体涌去,而最令人惊奇之处是,白色气流所流过之处,白重炙体表の肌肉发出阵阵ru白色の淡淡光芒,而原本深红の青筋遍布の皮肤肌肉,竟然快速平缓恢复过来. 而白色气流也不停留,快速在全身行走了一圈,最后停顿在了白重炙の身体心脏附近.而那里正是阴脉断裂の地方.仅仅一会儿,白色气流所游走过の地方,皮肤和肌肉已经全部复原了,和原来根本无二样,而只有胸口阴脉断裂の地方还发出淡淡のru白色光芒. 而此时身体发生の异状,白重炙却完全不 知道,因为他早已在白色气流涌出之前昏迷过去了. …… "都过去五多分钟了,怎么还没反应?" 而此时,站在大堂左角落の夜轻语,娥眉蹙起,满脸担忧.对于白重炙对这次觉醒仪式の看重,她看在眼里. 关于这次觉醒仪式,她不关心,她在意の是哥哥,如果失败,哥哥肯定会很伤心吧? "啊,变色了！" 旁边の人一声轻呼,夜轻语猛然抬头,欣喜の往中间の光圈看去,那是白重炙所在の祭坛.随即她又失望の低下了头,刚才变色の光圈是左边の光圈.而中间の那光圈依旧白の耀眼. 唉……等会该怎么安慰哥哪? 夜轻语一阵苦恼,眼神闪过一丝迷离,一丝落寞.而就在她目光随意の扫过光圈の时候,她 突然蒙了,脑袋仿佛慢了半拍般,接着她突然の跳了起来,大叫起来："变了,变了……我哥の光圈变色了！！" 突兀の声音响彻大堂,让所有の人注意力定格在中间那个光圈上. 空荡荡の大堂中,三个光圈,左边の光圈早就变幻了颜色,现在定格在黄色不动了.而中间の光圈开始有白色缓缓变成了红 色. 当前 第壹2章 零壹壹章 九彩光圈（下） "变了就变了,那么激动干什么,我看他能最多能变成橙色,能变能黄色,就顶天了！" 众人突然间被惊了一下,下意识の蒙了一下,接着马上就有人反应过来,不满の说道.毕竟,今天本来就在此坐了一天了,像这种情况已经见怪不怪了. "额,还真给你说 中了,变黄色了." 众人被惊了一下,又开始谈笑起来,而夜轻语则痴痴の望着光圈,两行热泪盈眶而出.丝毫没有听闻别人の话语. 哥哥终于要成功了,她の心情此刻非常の激动. 而上面の四位长老却默默の坐在,上首位置,品着茶水,谈笑着.丝毫不在乎,毕竟下午の子弟都让他们失望太多了. "咦? 还在变?绿色了?这是哪家子弟啊,天赋还行啊." 光圈慢慢の有黄色转成绿色,而下面の众人也开始关注了起来,纷纷打听光圈里の人是谁?毕竟绿色光圈可是有可能召唤出四品战智,以后前途还是有の. "额?还再变?青色了！怎么可能?" 众人纷纷将注意力转移到了中间の光圈起来,三座光圈中,中 间那道光圈上面淡淡の青色光芒静静の在那里闪耀着.而上首の几位长老也停止了品茶,开始关注了起来. "我看看中间祭坛是谁?天赋不错啊……额,叫白重炙?咦,都十五岁了,还能出现青色光圈?难道是大器晚成?"天青长老翻开手册,点头微笑说道.一下午了终于再次出了个像样点の,他看起来很 是欣慰. 而就在天青长老满意の端起茶水,准备喝の时候,突然,大堂居然沸腾了起来. "啊,大家快看,又变了……" "天哪！变蓝色！又变紫了！和风公子一样の紫色光圈啊." "大喜事啊,今晚肯定要摆宴席庆祝了……" 天青长老再也坐不住了,哗の一声将茶水一丢,站了起来.旁边の三位长老早已 站了起来,三人眼冒精光,锁定了中间の那座祭坛. 中间の祭坛上,绿色慢慢褪去,一道紫色の光圈慢慢成形.如同一颗立起の紫蛋般.独立矗立在大堂中央. "天！还在变……" 而就在众人高兴不已,为白家再出一天才高兴万分激动不已の时候,一道声音如同见鬼般响起.紧接着一道声音突兀响在众 人の心头,众人连忙屏息闭嘴,大气不敢冒出. "全部给我安静,谁再出声,族法伺候！" 传音入密！ 中间の祭坛旁边凭空出现四道身影.天青长老眼冒寒光冷冷扫了众人一眼,显然刚才是这位天青长老用极高の功法直接传音到众人の耳边. 四位长老面色慎重,分开围住中间の祭坛. 中间の祭坛,紫 色の光圈竟然慢慢开始转换成黑色.最后完全转化成黑色光圈.犹如黑色水流一般在光圈上流转. 黑色光圈！这可是有希望召唤出和现代族长一样の八品战智啊. 然而！ 让众人更加疯狂の还在后面,光圈变化还没有停！ 黑色光圈居然快速转变,居然变幻成金色.而后炫目の金色一闪而逝,光圈居 然出现了九种颜色.犹如鸡蛋般の光圈上,红、橙、黄、绿、青、蓝、紫、黑、金九种颜色,相互交集,绽放出炫目の光彩. 九彩光圈！ 什么情况? 众人面面相觑,犹如傻子般互相对视,仿佛想在对方の眼睛里找到答案,然而,相互之间看到の除了迷茫,还是迷茫！ 而四位长老眼中也是迷茫之色.这 种情况别说他们主持觉醒仪式那么多年,没有遇到过,就是世家历史上也没有出现过啊. 陡然间,白须天青长老却似乎想到了什么,眼冒刺眼光芒,全身激动得颤抖了起来,转头对旁边の一位长老急切说道： "老二,你速速前去,把族长太上长老和众长老全部请来,如果我估计の没错,可能要出大事了 ……" 不到两三分钟,战智堂就集结了包括家主夜剑,战堂副长老夜枪在内の共十多名世家高层.而族长夜天龙和两名太上长老则在闭关,封闭了后山,直接被告知不是世家生死存亡大事,不得打扰. 众人围绕着这座九彩光圈,面色严肃の站着. "诸位,今日贸然请大家来,就是因为这座特殊の祭坛所 散发出の特殊光芒.这是世家没有经历过の事情,众所周知,世家历史上最奇特の光芒是夜若水先祖,觉醒时所产生の金色光芒,而那时他召唤出了世家历史上の第一只也是唯一一只九品圣智白虎,而现在这九彩光圈明显比紫色光圈还要高一级！所以……" 白须天青长老首先发话,神情很是激动,说 话间神采飞扬,兴奋不已. "难道?" "这…不会吧?" "传说竟然是真の?" 众长老听闻,仿佛白日见鬼般,全部面容失色,惊喜异常,不复以往の从容冷静.因为他们都想到了世家一位先祖所留下の一段留言.那位先祖就是世家唯一召唤
余弦函数的图像与性质
余弦函数的图像与性质考点解析余弦函数 y ＝cos x ，x ∈R1. 余弦函数的图象．根据角x + k·2π与角x 的余弦值相等，我们可以利用 (0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3 π2，0)，(2 π，1)这五个点作出余弦函数的简图.然后再沿x 轴向左、右分别平移2π，4π，… 就可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线.2. 余弦函数的性质．由单位圆中的余弦线或余弦函数图象,可得余弦函数的性质：（1）值域：［－1，1］当 x ＝2 k π，k ∈ Z 时， y max ＝1；当 x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，y min ＝－1．（2）周期性余弦函数是一个周期函数，2π，4 π，… ，－2π，－4π，…， 2 k π (k ∈Z 且k ≠0)，都是它的周期，2 π 是其最小正周期．（3）奇偶性由公式cos(－x )＝cos x 得知，余弦函数是偶函数，图象关于y 轴对称．（4）单调性余弦函数在闭区间［(2 k －1)π，2 k π］(k ∈Z)上，是增函数；在闭区间［2kπ，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上是减函数．基础知识训练()y 函数 A 2,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ B 5+2,2()66k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ()2+2,233k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦cos y x x =函数是（ ）1. 2.A. 奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数也是偶函数1π⎛⎫+ ⎪⎝⎭函数y=3cos x+的值域为（）3 A. [-4,4] B.[-4,2] C.[-2,4]D.⎡-⎣ 272cos ,63x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭函数的值域为（） A. [-1,1] B.[-2,2] C.[-1,2] D.[-3,3]2cos 2cos 3()y x x x R =-++∈函数的最大值和最小值分别是（） A.3,0 B.13-14， C.4,-1 D.4,0 cos (y x x R =∈关于函数），叙述正确的是（）（1）增函数 （2）减函数（3）奇函数 （4）偶函数 （5）周期函数 7.()42ππθ<<若，则下列不等式成立的是 A.sin cos tan θθθ<< B.cos sin tan θθθ<<C.tan cos sin θθθ<<D.sin tan cos θθθ<< 8.3cos 20,62y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭函数的值域是（）A.⎡-⎢⎢⎥⎣⎦B.3⎡-⎢⎢⎥⎣⎦C.3⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦D.⎡-⎣ 9.cos y x =函数的一个单调区间为（） A.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.函数 A.()5,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B.(),66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D.()2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 11.下列结论中，正确的是（） A.cos cos 32ππ< B.cos cos 36ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.25cos cos 36ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.25cos cos 36ππ< 12.cos 2y x =函数是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不对13.cos 02θθπθ≤<若且，则的值为（） A.4π B.34π C.544ππ或 D.744ππ或 14.1cos ,2arr θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若则的值为（）4. 1. 6.5. 3.A.3πB.23πC.-3πD.233ππ或综合知识训练 1.11cos y x =+函数的定义域为（）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,22ππ（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ（C ）{}Z k k x x ∈+≠,2ππ（D ）{}Z k k x x ∈≠,π2.已知函数()x f y =的定义域为[]1,1-，则()x f y cos 2=中x 的取值范围为（） （A ）)(32,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ（B ）)(3,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ（C ）)(232,23Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ（D ）)(23,23Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ3.若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πx y 的最大值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）324.函数x x y cos 4cos 2+=的值域是（ ）（A ）[]3,1- （B ）[]5,5- （C ）[]5,3- （D ）[]5,5- 5.下列关系式中，正确的是（ ）（A ）6cos 4cos ππ> （B ）⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos 3cos ππ。
余弦函数图像及性质
在信号处理领域，余弦函数可以作为基函数用于信号的分解与合成， 如傅里叶变换中的余弦级数展开。
经济学
在经济学中，余弦函数可以用于描述经济周期波动、季节性变化等 现象，为经济政策制定提供理论依据。
05 拓展：复合余弦函数及其 图像性质
复合余弦函数形式
一般形式
y = A·cos(ωx + φ) + k，其中 A、ω、φ、 k 均为常数，且 A ≠ 0，ω > 0。
与正弦函数图像比较
余弦函数与正弦函数的图像形状相似，但相位相差π/2。这意味着余弦函 数的图像相对于正弦函数图像向左或向右移动了π/2个单位。
在同一周期内，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷位置互换。具体来说， 正弦函数在π/2处达到波峰，在3π/2处达到波谷；而余弦函数在0处达到 波峰，在π处达到波谷。
有界性
复合余弦函数的值域为 [k - A, k + A]。
单调性
在每个周期内，复合余弦函数 在特定区间内单调递增或单调
递减。
06 总结回顾与思考题
关键知识点总结
余弦函数定义
$y = cos x$，其中$x$为自变量， $y$为因变量，表示单位圆上与 $x$轴正方向夹角为$x$的点的 $y$坐标。
正弦函数和余弦函数的周期性相同，均为2π。因此，它们的图像在长度 上相等，只是相位上有所差异。
03 余弦函数性质分析
值域与定义域
值域
余弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的 所有取值都落在这个区间内。
定义域
余弦函数的定义域为全体实数，即R。
单调性
余弦函数在整个定义域上不具备 单调性。
在[π, 2π]区间内，余弦函数是单 调递增的。
余弦函数的图像与性质
§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质邓州市三高中：王豪欣1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2．会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 余弦函数的图像与性质阅读教材P 31～P 33“思考交流”以上部分，完成下列问题． 1．利用图像变换作余弦函数的图像因为y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位长度得到．如图1-6-1是余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像，叫作余弦曲线．图1-6-12．利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的简图(如图1-6-2)．图1-6-23．余弦函数的性质图像定义域 R 值域 [－1,1]最大值，最小值 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； 当x ＝2kπ＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 周期函数，T ＝2π单调性 在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增加的； 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减少的 奇偶性偶函数，图像关于y 轴对称判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的图像关于坐标原点对称．( )(2)余弦函数y ＝cos x 的图像可由y ＝sin x 的图像向右平移π2个单位得到．( )(3)在同一坐标系内，余弦函数y ＝cos x 与y ＝sin x 的图像形状完全相同，只是位置不同．( )(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．( )【解析】 (1)错；余弦函数y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，即可看作是y ＝sin x 向左平移π2个单位得到的，因而(2)错；(3)正确；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，相同的最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而(4)错．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×[小组合作型]五点法作图用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 【精彩点拨】 利用“五点法”： 列表―→描点―→连线 【自主解答】 列表：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121作函数y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0,2π]的图像的步骤1．列表：由x＝0，π2，π，3π2，2π时，cos x＝1,0，－1，0,1，求出y值．2．描点：在同一坐标系中描五个关键点．3．连线：用光滑曲线．[再练一题]1．作出函数y＝1－13cos x在[－2π，2π]上的图像．【解】①列表：x 0π2π3π22πy＝cos x 10－101y＝1－13cos x23143123②作出y＝1－13cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出y＝1－13cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．如图所示：余弦函数图像的应用已知(1)y≥12时x的集合；(2)－12≤y≤32时x的集合．【精彩点拨】画出函数y＝cos x(x∈R) 的图像，观察图像，求出它在一个周期上的解集，再根据余弦函数的周期性，把它拓展为整个定义域上的解集．【自主解答】 用“五点法”作出y ＝cos x 的简图．(1)过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12点作x 轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12点，在[－π，π]区间内，y ≥12时，x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π3≤x ≤π3.当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32点分别作x 轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，－12，k ∈Z ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2k π，－12，k ∈Z 点和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，32， k ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，32，k ∈Z 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y ≤32时x 的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ －2π3＋2k π≤x ≤－π6＋2k π或π6＋2k π≤x ≤⎭⎬⎫2π3＋2k π，k ∈Z利用余弦曲线求解cos α≥a 或cos α≤a (|a |<1)的步骤：1.作出余弦函数在一个周期内的图像(选取的一个周期不一定是[0，2π]，应根据不等式来确定)；2.作直线y ＝a 与函数图像相交；3.在一个周期内确定x 的取值范围；4.根据余弦函数周期性确定最终的范围.[再练一题]2．在同一坐标系中，画出函数y ＝sin x 与y ＝cos x 在[0,2π]上的简图，并根据图像写出sin x ≥cos x 在[0,2π]上的解集．【解】 用“五点法”画出y ＝sin x 与y ＝cos x 的简图如下：由上图可得sin x ≥cos x 在[0,2π]上的解集为[π4，5π4]．余弦函数的单调性及应用(1)函数y ＝1－2cos x 的单调增区间是 ； (2)比较大小cos 263π cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－133π.【精彩点拨】 (1)y ＝1－2cos x 的单调性与y ＝－cos x 的单调性相同，与y ＝cos x 的单调性相反．(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．【自主解答】 (1)由于y ＝cos x 的单调减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，所以函数y ＝1－2cos x 的增区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．(2)由于cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝cos 2π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝cos π3， y ＝cos x 在[0，π]上是减少的． 由π3<2π3知cos π3>cos 2π3， 即cos263π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3. 【答案】 (1)[2k π，2k π＋π]k ∈Z (2)<1．形如y ＝a cos x ＋b (a ≠0)函数的单调区间 (1)当a >0时，其单调性同y ＝cos x 的单调性一致； (2)当a <0时，其单调性同y ＝cos x 的单调性恰好相反．2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．[再练一题]3．(1)比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π；(2)求函数y ＝log 12(cos 2x )的增区间． 【解】 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π5＝cos 3π5，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3π5<π，且y ＝cos x 在[0，π]上递减， ∴cos 3π5<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.(2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减． ∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4，k ∈Z .[探究共研型]与余弦函数有关的最值问题探究1 【提示】 不是．余弦函数y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos 60°<cos 390°.探究2 对于y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型的函数如何求最值？ 【提示】 利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值．求下列函数的最值． (1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.【精彩点拨】 本题中的函数可以看作是关于cos x 的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．【自主解答】 (1)y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，y max ＝14. 当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的最大值为14，最小值为－2. (2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154； 当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.求值域或最大值、最小值问题，一般依据为： (1)sin x ，cos x 的有界性；(2)sin x ，cos x 的单调性；(3)化为sin x ＝f (x )或cos x ＝f (x )，利用|f (x )|≤1来确定； (4)通过换元转化为二次函数.[再练一题]4．已知函数y ＝－cos 2x ＋a cos x －12a －12的最大值为1，求a 的值.【导学号：66470018】【解】 y ＝－cos 2 x ＋a cos x －12a －12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24－a 2－12.∵－1≤cos x ≤1，于是①当a2<－1，即a <－2时，当cos x ＝－1时， y max ＝－32a －32.由－32a －32＝1，得a ＝－53>－2(舍去)；②当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24－a 2－12. 由a 24－a 2－12＝1，得a ＝1－7或a ＝1＋7(舍去)； ③当a 2>1，即a >2时，当cos x ＝1时，y max ＝a 2－32. 由a 2－32＝1，得a ＝5. 综上可知，a ＝1－7或a ＝5.1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－1【解析】 ∵－1≤cos x ≤1， ∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3. 【答案】 B2．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )【解析】 结合函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像(略)知都减少的区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )． 【答案】 C3．函数y ＝cos x1＋cos x的定义域是 .【导学号：66470019】【解析】 由题意知1＋cos x ≠0，即cos x ≠－1，结合函数图像知⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠2k π＋π，k ∈Z . 【答案】{}x | x ≠2k π＋π，k ∈Z4．满足2＋2cos x ≥0(x ∈R )的x 的集合是 ． 【解析】 ∵2＋2cos x ≥0，∴cos x≥－22，结合图像(略)知：－34π＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪2kπ－34π≤x≤2kπ＋3π4，k∈Z5．画出y＝1－3cos x在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．【解】列表：x 0π2π32π2πcos x 10－1011－3cos x －2141－2由图像可知，函数y＝1－3cos x在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，单调减区间为[π，2π]．11。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质
1.6 余弦函数的图像与性质1．余弦函数的图像(1)余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x __________单位长度得到． (2)余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像叫作________．图像如下：预习交流1类比学习正弦函数图像的方法，观察上图，在[0,2π]上画余弦函数y ＝cos x 的图像的五个关键点分别是什么？预习交流2 要得到y ＝cos x ，x ∈[－2π，0]的图像，只需将y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像向________平移________个单位．2．余弦函数的性质预习交流3正弦函数与余弦函数的图像与性质有哪些联系？ 预习交流4(1)使cos x ＝1－m 有意义的m 的取值范围是( )．A ．m ≥0B ．0≤m ≤2C ．－1＜m ＜1D ．m ＜－1或m ＞1(2)函数y ＝－2cos x 的定义域是______． (3)比较大小：cos 27°______cos 63°；cos 215°______cos 230°.答案：1．(1)向左平移π2个 (2)余弦曲线预习交流1：提示：用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1)．预习交流2：左 2π2．R [－1,1] 2k π 1 (2k ＋1)π －1 2π [2k π－π，2k π] [2k π，2k π＋π] 偶 y x ＝k π预习交流3：提示：(1)定义域都是R ，值域都是[－1,1]，也称正弦、余弦函数的有界性．(2)最小正周期都是2π.(3)图像形状相同，只是在坐标系中位置不同．(4)sin 2x ＋cos 2x ＝1.预习交流4：(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) (3)＞ ＜1．余弦函数的图像及应用画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．思路分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线．利用余弦函数的图像解不等式cos x ≥12.函数y ＝1＋cos x 的图像( )．A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称(1)作函数y ＝a cos x ＋b 的图像的步骤．(2)利用函数的图像解不等式时，要准确作出函数的图像，找出一个周期内与x 轴交点的横坐标是关键．2．余弦函数的定义域求下列函数的定义域． (1)y ＝11＋cos x；(2)y ＝log 312－cos x . 思路分析：按照求函数定义域的方法进行即可．求下列函数的定义域： (1)y ＝32－cos x ；(2)y ＝log 12(2cos x －2)．前面学习的求函数定义域的方法对余弦函数仍然适用．在此特别强调，要充分利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，准确写出解集．3．余弦函数的值域(最值)已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，(1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3(1－cos 2x )－4cos x ＋4的最大值、最小值．思路分析：(1)函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上是先增后减的函数，求其值域可利用函数图像．(2)可用换元法，转化为求二次函数的最大值、最小值问题．1．函数y ＝e cos x的值域是______．2．求函数y ＝－cos 2x ＋cos x ＋2的最大值及相应的x 的值．(1)求形如y ＝a cos x ＋b 的三角函数的最值时，既要注意x 的限定范围，又要注意a 的正、负对最值的影响． (2)形如y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (a ≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题．4．余弦函数单调性的应用(1)比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小；(2)求y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调区间．思路分析：(1)利用诱导公式化简，结合同一区间上函数的单调性比较大小； (2)把2x ＋π4看作一个整体，利用y ＝cos x 的单调性求解．求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调递减区间．(1)比较余弦值大小的常用方法是首先利用诱导公式化简到同一单调区间上，再利用单调性比较大小；(2)求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的关键是把ωx ＋φ看成一个整体．然后利用余弦函数的单调区间建立不等式，解出x .注意当ω＜0时，要先利用诱导公式化负为正．5．余弦函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋34x . 思路分析：根据函数奇偶性的定义作出判断，注意诱导公式的应用．1．函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的图像( )． A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π4对称2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝sin 2x ＋cos x ，求f (x )的解析式．1.有关函数奇偶性的结论：(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形； 偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0. 对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． 2．函数奇偶性的应用：(1)画关于原点对称的区间上的图像．(2)判断函数的单调性(或比较函数值的大小)． (3)求函数的解析式．答案：活动与探究1：解：画法一：按五个关键点列表：画法二：先用五点法画y =cos x ，x ∈[0,2π]的图像，再作它关于x 轴的对称图形，即得到y =-cos x ，x ∈[0,2π]的图像．活动与探究2：解：在同一坐标系中，作出y ＝cos x 和y ＝12的图像如图所示．由图可知，不等式cos x ≥12的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z.迁移与应用：B 解析：y ＝1＋cos x 的图像由y ＝cos x 的图像向上平移1个单位得到，又因为y ＝cos x 的图像关于y 轴对称，故y ＝1＋cos x 的图像也关于y 轴对称．活动与探究3：解：(1)要使函数有意义，需满足1＋cos x ≠0， ∴cos x ≠－1.∴x ≠2k π＋π，k ∈Z .故所求函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，需满足12－cos x ＞0，∴12－cos x ＞0，cos x ＜12. ∴2k π＋π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z .故所求函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z .迁移与应用：解：(1)要使函数有意义，则有32－cos x ≥0， ∴cos x ≤32.∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 故所求函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .(2)要使函数有意义，则有2cos x －2＞0， ∴cos x ＞22，故所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z.活动与探究4：解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，作出函数y ＝cos x 的图像(图像略)，从图像上可知 当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝2π3时，y min ＝cos 2π3＝－12，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)设t ＝cos x ，由(1)知，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. ∴y ＝－3(1－t 2)－4t ＋4＝3t 2－4t ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－13.根据二次函数的图像，可知当t ＝23，即cos x ＝23时，y min ＝－13.当t ＝－12，即cos x ＝－12时，y max ＝154.迁移与应用：1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 解析：∵cos x ∈[－1,1]，∴e cos x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e .2．解：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －cos x ＋14＋94＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94. ∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时，y max ＝94.活动与探究5：解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4， 而π＞3π5＞π4＞0，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 3π5＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4. (2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )，∴函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )． 由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，∴函数的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 迁移与应用：解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z .∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．活动与探究6：解：(1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． (2)函数的定义域为R .f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋34x ＝cos 34x . ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝cos 3x 4＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．迁移与应用：1.C 解析：由题意知f (x )＝－4cos 2x 为偶函数，所以该函数的图像关于y 轴对称．2．解：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0.∴f (－x )＝sin(－2x )＋cos(－x )＝－sin 2x ＋cos x . 又f (－x )＝－f (x )，∴x ＜0时，f (x )＝sin 2x －cos x .从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x ＋cos x 0sin 2x －cos x(x >0)，(x ＝0)，(x <0).1．函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π3的值域是( )．A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[－1,0]2．函数y ＝－23cos x ，x ∈[0,2π]，其单调性是( )．A ．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是减函数C ．在[π，2π]上是增函数，在[0，π]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2的奇偶性是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数4．(1)比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18__________cos π10； (2)函数y ＝2cos x ＋1的定义域是__________．5．画出函数y ＝－3cos x ＋2的简图，根据图像讨论函数的性质．答案：1．B 解析：∵函数y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减函数，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π3，cos 0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 2．A 解析：由于当x ∈[0,2π]时，函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y ＝－23cos x 在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．3．A 解析：函数的定义域为R ，且y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2＝sin 12x ，故所给函数是奇函数．4．(1)＞ (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＝cos π18，∵0＜π18＜π10＜π，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos π18＞cos π10，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞cos π10. (2)由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12，∴2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )． 5．解：－1 2 5函数y ＝－3cos x ＋2的主要性质有(见下表)：。
余弦函数的性质与图像
唯一确定的余弦 cosx
与之对应，所以 y cos x, xR
是一个函数，一般称为余弦
函数．
x
P(cosx,sinx)
如何研究余弦函数？
回顾：我们是如何研究正弦函数的？
方案
正弦函数
列表、描点、连线
正弦函数
的图像
的解析式
正弦函数的性质
单位圆
发现
诱导公式等
理解
如何研究余弦函数？
2
4
4
当 t 2x 0 ，即 x 时，f x max 2 ．
8
4
所以函数 f x 在 ,0 上的最小值为 1，
2
最大值为 2 ．
3
y 2cost ， t , ．
4 4
π
4
O
3π
4
y sin x
2
2
y cos x 0 ．
y
y=sinx
y=cosx
x
以上性质也可以通过定义，从单位圆看出
x
P(cosx,sinx)
2.余弦函数y=cosx的性质
(3)周期性：最小正周期是
因为 cos 2k x cos x k Z
所以余弦函数的周期是 2k kZ 且 k0
3 4
3 4
即 cos(1 x+6 ) cos(1 x ) ，即 f x 6 f x
3
4
3 4
所以函数的最小正周期为 6 ．
1
余弦函数的图像和性质
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
余弦函数的图像和性质ppt课件
2
y=sin(x+φ)，当φ=kπ+ (k∈Z)时是偶函数.
2
(3)余弦函数的对称轴和对称中心
①对称轴方程为x=kπ(k∈Z).
②对称中心的坐标为( +kπ,0)(k∈Z).
2
【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为______. 【解析】因为x∈R，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. 答案：偶函数
33 3
3
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2019/5/10
类型二 余弦函数的奇偶性及应用
【典例2】
(1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是
R上的偶函数，则φ的值为( )
A.0
B.
C.
D.π
4
2
(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3 )的奇偶性为
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
3.余弦函数的最值 (1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义 域来确定. (3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.
第13节 余弦型函数的图像和性质
【解答】解：函数 f（x）=Acos（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）为奇函数， 所以 φ= ；f（x）=﹣Asinωx，函数图象向右平移 个单位得到的图象关于 y
轴对称，f（x）=﹣Asin[ω（x﹣ ）]=）=﹣Asin（ωx﹣ ω]，
∴=
= ，∴ω=6 故选：B．
二.最值
例 2：已知函数
，
的最大值为 4，则正实数 a 的
值为
．
解：在区间[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，cos（2x+ ）∈[﹣1， ]，
函数
，
故答案为：2．
的最大值为 a+3=4，则正实数 a=2，
练习：已知 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期为 π，f（0）
A．x=
B．x=
C．x=π D．x=
【解答】解：将函数 y=cos（x﹣ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变）， 得到函数 y=cos（ x﹣ ）的图象，再向左平移 个单位， 得到 y=cos[ （x+ ）﹣ ）]即 y=cos（ x﹣ ）的图象， 令 x﹣ =kπ 可解得 x=2kπ+ ，故函数的对称轴为 x=2kπ+ ，k∈Z， 结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线 x= ， 故选：D．
cos（ +φ）=0，令 +φ= ，可得 φ= ，∴f（x）=cos（πx+ ），
由
，单点递减（k∈Z），解得：2k﹣ ≤x≤2k+ ，k∈
Z．故选 D
A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k∈Z C．（k﹣ ，k﹣ ），k∈Z
余弦函数的定义和性质
余弦函数的定义和性质余弦函数，也称为cos函数，是数学中一种非常重要的三角函数，与正弦函数、正切函数等三角函数一起，构成了三角函数中的基本三角函数系统。
余弦函数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将从余弦函数的定义、图像、周期、奇偶性、性质等方面进行探讨。
一、余弦函数的定义在平面直角坐标系中，假设点P(x,y)的横坐标为x，纵坐标为y，则点P与x轴正方向的夹角记作θ，且点P到直线x=1的距离为cosθ。
于是，可以得到余弦函数的定义：余弦函数cosθ定义为点(x,y)所在的直线x=1与x轴正方向的夹角θ的余弦值。
其函数图像如下所示：二、余弦函数的图像在一般情况下，余弦函数的函数图像呈现出波形。
其周期为2π，即在任意一段长度为2π的区间内，余弦函数的取值相同。
其图像的一些特点如下：1. 对任意实数x，cos(x+2kπ)=cos(x)，其中k为任意整数。
2. 对任意实数x，cos(-x)=cos(x)。
3. 当x=0时，cos(0)=1。
4. 当x=π/2时，cos(π/2)=0。
5. 当x=π时，cos(π)=-1。
6. 当x=-π/2时，cos(-π/2)=0。
7. 当x=-π时，cos(-π)=-1。
8. 对于任意实数x，-1≤cos(x)≤1。
三、余弦函数的周期性余弦函数的周期为2π，这意味着余弦函数的取值在区间[0,2π]中是有规律可循的，而在一个周期内，余弦函数的取值是不断重复的，无限循环地变化着。
因此，在处理余弦函数时，周期性是十分重要的一个特性。
四、余弦函数的奇偶性余弦函数是偶函数，即对于任意实数x，cos(-x)=cos(x)。
这意味着余弦函数是对称的，其函数图像在y轴上是对称的。
由于它的奇偶性，使得在某些问题中，可以用余弦函数的对称性简化计算。
五、余弦函数的性质1. 导数：cosθ的导数为-sinθ。
因此，cosθ在其导数为0的点处取得极值，在θ=2kπ，k为整数时，cosθ取得最大值1，在θ=(2k+1)π，k为整数时，cosθ取得最小值-1。
4.7 余弦函数的图像和性质
4.7 余弦函数的图像和性质我们用描点法作出了正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π个单位长度)得到了正弦函数y＝sin x, x∈R的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．对于余弦函数y＝cos x, x∈R, 可否用同样的方法来研究？把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出函数y=cos x在各分点及区间端点的正弦函数值.用描点法作出余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像.(1)列表.根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝cos x 在 [0,2π]上的图像.用描点法作出余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像.(1)列表.(2)描点作图.不难看出下面五个点是确定余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像的关键点.因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图.由诱导公式cos(2kπ+x)＝cos x (k∈Z)可知, 将函数y＝cos x在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函y＝cos x, x∈R的图像.余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内,可以看出：把正弦函数y＝sin x, x∈R的图像向左平移个单位长度，就得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像．y＝sin x, x∈R若将正弦函数y＝sin x, x∈R的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像, 如果是, 需平移多少？(1)定义域.余弦函数的定义域是实数集R.观察余弦曲线，类比正弦函数，得到关于正弦函数y＝sin x，x∈R的结论:(2)值域. 余弦函数的值域是[-1, 1].观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, y max=1;当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, y min=1.(3) 周期性.观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:余弦函数是周期为2π的周期函数．观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:(4) 奇偶性由图像关于y轴对称和诱导公式cos(−x)=cos x可知, 余弦函数是偶函数．余弦函数y＝cos x在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1．观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:(5) 单调性.例1利用五点法作出函数y=-cos x在[0,2π]上的图像．解(1)列表.(2)根据表中x ,y 的数值在平面直角坐标系内描点(x ,y )，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cos x 在[0,2π]上的图像.例1 利用五点法作出函数y=-cos x 在[0,2π]上的图像．解 (1)列表.例2 求函数y＝3cos x＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合．解由余弦函数的性质知,-1≤cos x≤1 ,所以-3≤3 cos x≤3 ,从而 -2≤3 cos x+1≤4 ,即 -2 ≤ y ≤ 4.故函数的最大值为4，最小值为-2.函数y＝3cos x＋1取最大值时的x的集合, 就是函数y=cos x取得最大值时的x的集合 {x|x=2kπ, k∈Z};函数y＝3cos x＋1取最小值时的x的集合, 就是函数y=cos x取得最小值时的x的集合 {x|x=2kπ+π, k∈Z}．例3不求值比较下列各组数值的大小：解根据余弦函数的图像和性质可知：(1) 因为 , 余弦函数y=cos x在区间[0, π,]上是减函数, 所以(2) 因为 , 余弦函数y=cos x在区间[-π,0]上是增函数, 所以例3不求值比较下列各组数值的大小：解根据余弦函数的图像和性质可知：练习1. 用五点法作出函数y=cos x -1在[0, 2π]上的图像．2.求下列函数的最大值和最小值，及取得最大值、最小值时自变量x的集合．练习3. 不求值，比较下列各组数的大小.1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.再见。
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小结：
一般地，函数y A cos( x )( x R)(其中A, , 为常数，且A 0, 0)的周期为T 2
.
例4： 求下列函数的单调区间：
(1) y=2cos(-x ) (2) y=3sin(2x
4
)
达标训练：
(1)函数y = cos x递增区间是 ____________.
单调性 单调递减区间： [2k ,2k 2 ]
对称轴
x k (k Z )
对称中 心
( k ,0) 2
(k Z )
2、类型题：
（1）求周期 （2）求最值 （3）求单调区间 （4）判断奇偶性
3、数学思想
（1）数形结合 （2）类比推理
作业：
P53 练习A 练习B 3 2
y
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
定义域 值 域 周 期
奇偶性
R [-1,1]
2
偶函数
单调性 单调递增区间： [2k , 2k 2 ]
单调递减区间： [2k , 2k ]
(k Z ) (k Z )
对称轴
对称中 心
x k (k Z )
( k ,0) 2
能力目标：
培养学生对图象的认知能力，加强数形结合思想的 应用以及解决问题的能力。
情感态度和价值观目标：
1、让学生数形在学习中体会数学美，认识数学的对称 、和谐、统一美； 2、渗透数形结合思想； 3、培养辩证唯物主义观点。
知识回顾：
1、如何作出正弦函数的图象（在精确度要 求不太高时）？
y
1
2
余弦函数图象与性质
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=cosx (xR)
知识与技能目标：
1、会用五点作图法作出y＝cosx的图像； 2、能根据正弦函数y＝sinx图像和类比的思想分析归纳 余弦函数的重要性质并能简单应用。 3、掌握余弦型函数 y = A cos(wx + y ) 的图像和性质。
(k Z )
例1、求下列函数的最大值和最小值：
1 2 (2) y (cos x ) 3 2
(1) y 3 cos x 1
x 练习：求函数y 2 - cos 的最大值和最小值，并分别 3 写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
x x 解：当 cos 取得最大值1时，y 2 cos 取得最小值1，此时 3 3 x 2k (k Z), 即x 6k (k Z ). 3 x x 当 cos 取得最小值 1时，y 2 cos 取得最大值3，此时 3 3 x 2k (k Z), 即x 3 6k (k Z ). 3
4
5
6
x
余弦函数的奇偶性、单调性：
2、余弦函数的单调性 y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
例2、判断下列函数的奇偶性：
(1) y=cosx+2 (2)y=sinx·cosx
变式练习：
(1) y cos 3x, (2) y sin x cos x (3) y 1 cos x
1 π 例3、求函数y = 2cos( x - )的周期。 3 4
1 1 解：因为y 2 cos( x ) 2sin( x ) 3 4 3 4 2 1 2sin( x ) 3 4 2 所以这个函数的周期为 6 1 3
新授：
-4 -3 -2 -
y
1
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=sin(x+ )=cosx, xR 2 y 余弦函数的图象
1 -4 -3 -2 -
正弦曲线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线
2 3 4
o
-1
5
6
x
3 五个关键点： (0,1) ( ,0) ( ,-1) ( ,0) ( 2 ,1) 2 2
、5
6
x
定义域
值 域
周 期
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间： [
奇偶性
单调性
2
2k ,
2
2k ] (k Z )
3 单调递减区间： [ 2k , 2k ] (k Z ) 2 2
对称轴
对称 中心
x
2
k (k Z )
(k ,0)
(k Z )
3
(2)求y=2cos(3x-
)的单调减区间
5 （3）试判断函数 f ( x) cos 2 x 的奇偶性： 2
课堂总结：
1、基础知识梳理： 定义域 值 域 周 期 R [-1,1]
2
偶函数
奇偶性
单调递增区间： [2k , 2k ]
(k Z ) (k Z )
一、余弦函数和性质：
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
1
y=cosx (xR)
y
-4 -3 -2 -
o
-1
2345 Nhomakorabea6x
二、余弦函数的奇偶性、单调性：
(0,0) o
( ,1) 2
五点画图法
( ,0) ( 2 ,0)
2
-1
3 ( ,-1) 2
3 2
2
x
3 五个关键点： (0,0) ( ,1) ( ,0) ( 2 ,-1) ( 2 ,0) 2
y
2、正弦函数的性质
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
1、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3