12-02-24高三数学(理)《名师导学-专题5第13讲圆锥曲线的基本问题+练习讲评》(课件)
直击2024年高考——高三数学圆锥曲线考点精讲(全国版)
圆锥曲线考点精讲1．椭圆的定义平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．焦距的一半叫做半焦距。
2．椭圆的标准方程及简单几何性质3．椭圆离心率求解方法 (1)直接法求离心率直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)焦点三角形求离心率焦点三角形中焦距与另外两边长和的比为2c2a ，即离心率的值，同时我们也可以利用正弦定理把边的比转化为角度正弦值的比. (3)几何转化求离心率根据所给条件，挖掘几何图形中的线段长度关系，位置关系，图形角度关系等，求解出c 与a 的值或c 与a 的比值. (4)代数变形求离心率根据条件及几何图形，列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． 4．椭圆焦点有关的结论(1) 椭圆焦点三角形周长：()2l a c =+. (2) 椭圆焦点三角形面积：2tan2P S b c y θ==（θ 为焦点三角形的张角∠F 1PF 2）.(3)若焦点三角形的内切圆半径为r ，则面积还可表示为：S =12rl （l 为焦点三角形周长）.(4) 椭圆中的两个最大张角①已知1F 、2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，则当点P 为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠最大．②已知A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上的两个顶点，Q 为椭圆上任意一点，则当点Q 为椭圆短轴的端点时，AQB ∠最大． 5．双曲线的定义平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．6．双曲线的标准方程及简单几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
名师导学2018届高三数学文二轮复习课件：专题5第13讲圆锥曲线的综合问题 精品
即直线 l 的斜率为± 46.
【命题立意】本题主要考查直线与圆锥曲线的位 置关系；椭圆的性质．
考题 3(2015 湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所 示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长 杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可 沿滑槽 AB 滑动，且 DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带．动．N 绕 O 转动，M 处 的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点，AB 所在的直 线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
由已知， （2x－2）2＋4y2＝2x＋2， 则(x－1)2＋y2＝(x＋1)2，即 y2＝4x. 故曲线 C 的方程是 y2＝4x. (2)设点 E(x1，y1)，F(x2，y2)． 因为 E，F 在曲线 C 上，则yy2122＝＝44xx12，， 两式相减，得 y21－y22＝4(x1－x2)， 即yx11－－yx22＝y1＋4 y2.
(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x＝4 或
x＝－4，都有 S△OPQ＝12×4×4＝8. (ii)当直线 l 的斜率存在时，
设直线 l：y＝kx＋mk≠±12， 由yx＝ 2＋k4xy＋2＝m1，6 消去 y，可得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0. 因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0， 即 m2＝16k2＋4. ①
于是(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2 ③ 设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y＝kx＋1， 由yx＝2＝k4xy＋1，得 x2－4kx－4＝0， 由 x1，x2 是这个方程的两根，
高三数学(理)名师导学专题5第13讲圆锥曲线的基本问题2
e 2 2 ,它与抛物线 3
y A1
F1 O Q F2
x
Q ( 2 ,0 )的最小距离为 1,求此双曲线方程 .
湖南长郡卫星远程学校
A2
制作 06
2012年上学期
3.圆锥曲线标准方程及应用
例3. 设椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0 )的
左焦点为 F ,上顶点为 A,过点 A作垂直于 AF
的最大值 .
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2012年上学期
考题2 P ( x0 , y0 )( x0 a )是双曲线 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)上一点
,M,N
分别是双曲线 E的左 , 右顶点 ,直线 PM 、
PN的斜率之积为 1 . 5
(1)求双曲线的离心率 ;
湖南长郡卫星远程学校
、
1
F
2
,
过
F
的
1
直
线交椭圆
于
B、 D两
点
,
过
F
的
2
直线交椭圆
于
A 、 C 两 点 , 且 AC
BD , 垂 足 为 P , 如 图 所 示 . (1)设 P点的坐标
y A
为 ( x 0 , y 0 ), 证 明 :
x
2 0
y
2 0
1;
32
D
P
B
F1 O
F2
x
( 2 )求 四 边 形 ABCD
C
制作 06
2012年上学期
(2)过双曲线E的右焦点且斜率 为1的直线交双曲线于 A, B两点,O为 坐标原点,C为双曲线上一点 ,满足
高三数学圆锥曲线详细知识点
高三数学圆锥曲线详细知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。
它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。
这些曲线在数学和物理学中都有广泛的应用，因此掌握圆锥曲线的知识对于学生来说非常重要。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它由一个动点P和两个定点F1和F2确定。
椭圆的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
这个常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的形状由参数e = PF1 / 2a来确定，其中e称为离心率。
当e=0时，椭圆退化成一个圆。
椭圆有许多重要性质和公式，比如它的离心率范围是0<e<1，长轴和短轴的长度之间有关系a^2 = b^2(1 - e^2)。
此外，椭圆还有焦点、准线、主轴等概念，对于理解椭圆的性质和应用非常有帮助。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式。
它由一个动点P和两个定点F1和F2确定，类似于椭圆。
但不同的是，双曲线的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。
与椭圆不同的是，双曲线的离心率e>1，因此它的形状更加扁平。
双曲线也有许多重要的性质和公式。
比如，它的离心率范围是e>1，焦点与曲线的准线之间的距离等于常数2a。
双曲线还有渐近线，指的是双曲线两个分支无限远处趋于平行的直线。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的第三种形式。
它由一个定点F和一条直线l确定，定点F称为焦点，直线l称为准线。
抛物线的定义是动点P到焦点F的距离等于点P到直线l的距离，即PF = PD。
抛物线的形状是开口向上或向下的U形曲线。
抛物线也有许多特殊的性质和公式。
比如，抛物线的焦半径等于准线与焦点之间的垂直距离，焦半径的长度等于焦距的两倍。
抛物线还有焦平面和直径等概念，对于解决实际问题非常有帮助。
总结：在高三数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。
它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。
高中数学圆锥曲线知识点
高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。
用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，22221x y a b+=||x a ≤||y b ≤x a =±所围成的矩形里；y b =±②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点y -y (,)x y 也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于(,)x y -x x -x 轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
y x -x y -y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，x y 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭x y 圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
0x =y b =±1(0,)B b -2(0,)B b y 同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
0y =x a =±1(,0)A a -2(,0)A a x 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A 21B B 2a 2b a 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
b 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，a 22Rt OB F ∆2||OBb =，，且，即；2||OF c =22||B F a =2222222||||||OF B F OB =-222c a b =-④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
“高中数学课件-圆锥曲线”
抛物线
抛物线是另一种圆锥曲线形式，其特点是离焦点和准线的距离相等。它在物理学和工程学中常用于描述抛体的轨迹。
双曲线
双曲线是圆锥曲线的第三种形式，其特点是离焦点和准线的距离之差固定。它在物理、电子学和天文学中有广泛的 应用。
圆锥曲线的性质
对称性
圆锥曲线通常具有对称性，可 以通过某种轴或中心进行对称。
焦距与半径
焦距与半径是圆锥曲线的重要 性质，它们决定了曲线的形状 和特性。
离心率
离心率是描述曲线形状的重要 参数，在椭圆、抛物线和双曲 线中有不同的取值。
判定圆锥曲线的方法
1 焦点和准线
2 轨迹类型
根据给定的焦点和准线坐标， 可以确定圆锥曲线的形状和 方程。
圆锥曲线的轨迹类型（椭圆、 抛物线、双曲线）可以通过 经验判断或图形分析得出。
极坐标方程的抛物线
同样，抛物线也可以用极坐标方程来描述。通过极径和极角，我们可以方便地表示抛物线的形状和位置。
双曲线的性质
双曲线具有独特的性质，如焦点与准线的距离之差、离心率的关系、边缘的特点等。它在物理学和工程学中有广泛 的应用。
双曲线的方程
双曲线的方程可以通过焦点和准线的坐标来表示。这是描述双曲线形状和位 置的重要工具。
孤点椭圆
孤点椭圆是一种特殊的椭圆形状，它只有一个焦点，没有准线。它在天文学 和轨道动力学中有重要的应用。
抛物线的性质
抛物线具有许多有趣的性质，如焦点与准线的距离相等、对称性、方程的特 点等。
抛物线的方程
抛物线的方程可以通过焦点和准线的坐标，或者通过经验公式来表示。这是 描述抛物线形状和位置的重要工具。
高中数学课件——圆锥曲 线
让我们一起探索圆锥曲线吧！从基本形式到各种性质，以及判定方法和方程。 让数学变得有趣和令人着迷！
圆锥曲线高中数学讲解教案
圆锥曲线高中数学讲解教案
一、教学目标：
1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；
2. 掌握圆锥曲线的标准方程和性质；
3. 能够根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
4. 能够利用圆锥曲线解决实际问题。
二、教学重点：
1. 圆锥曲线的定义；
2. 圆锥曲线的标准方程；
3. 圆锥曲线的性质。
三、教学难点：
1. 圆锥曲线的方程求解；
2. 圆锥曲线的性质证明。
四、教学过程：
1. 圆锥曲线的定义和基本概念（15分钟）
- 圆锥曲线的定义；
- 圆锥曲线的类别；
- 圆锥曲线的几何性质。
2. 圆锥曲线的标准方程和性质（20分钟）
- 圆的标准方程和性质；
- 椭圆的标准方程和性质；
- 双曲线的标准方程和性质；
- 抛物线的标准方程和性质。
3. 圆锥曲线的方程求解（30分钟）
- 根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
- 利用圆锥曲线求解实际问题。
4. 圆锥曲线的性质证明（15分钟）
- 圆锥曲线的对称性证明；
- 圆锥曲线的焦点、准线和直径关系证明。
五、教学总结：
通过本节课的学习，我们对圆锥曲线的定义、标准方程和性质有了更深入的了解，掌握了圆锥曲线的求解方法和应用能力。
希望同学们能够认真复习，做好练习，提高对圆锥曲线的理解和应用能力。
下节课将继续深入学习圆锥曲线的相关内容，敬请期待。
高中数学圆锥曲线知识全归纳
圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。
高中数学讲义-圆锥曲线
高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课 椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1422=+y x 的离心率为______3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为______ 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
高三圆锥曲线知识点ppt
高三圆锥曲线知识点ppt近年来，随着高中数学教育的不断推进和科技的快速发展，PPT已经成为教学中不可或缺的辅助工具之一。
PPT作为一种视觉化表达方式，可以更好地梳理知识结构、提供直观的图形展示，有助于学生更好地理解和掌握知识。
在高三阶段，圆锥曲线是数学课程中的重要知识点，为了更好地帮助学生掌握这一难点知识，授课教师制作了一份精美的圆锥曲线知识点PPT，下面让我们一起来了解一下。
第一部分：概述在本部分，PPT首先介绍了圆锥曲线的定义和分类。
圆锥曲线是指在一个平面上，圆锥和与它的母线相交所得到的曲线，主要包括椭圆、双曲线和抛物线。
通过比较这三种曲线的特点和方程形式，学生可以初步了解到圆锥曲线的基本特征。
第二部分：椭圆在这一部分，PPT详细讲解了椭圆的性质和相关公式。
首先，PPT通过图形展示，引导学生感受椭圆的形状和特点，进而引入椭圆的标准方程和参数方程。
接着，PPT解释了椭圆的离心率和焦点的概念，并提供了相应的计算公式。
最后，PPT通过实例演练，让学生熟悉椭圆的应用题解法和常见的考点。
第三部分：双曲线这一部分，PPT以与椭圆相似的方式，介绍了双曲线的性质和相关公式。
通过对比椭圆和双曲线的差异，PPT帮助学生理解双曲线的拉伸特点和方程形式。
同时，PPT还重点讲解了双曲线的渐近线和渐近方程，让学生认识到双曲线的特殊性质。
最后，通过一些典型例题，PPT引导学生掌握双曲线的求解方法和解题技巧。
第四部分：抛物线本部分，PPT将重点介绍抛物线的性质和相关公式。
PPT首先通过图形展示，引导学生认识抛物线的特点和形态。
接着，PPT 介绍了抛物线的标准方程和顶点坐标的计算方法。
而后，PPT进一步讲解了抛物线的对称轴和焦点的概念，并给出了相应的计算公式。
最后，PPT以一些典型例题，帮助学生巩固对抛物线的掌握。
第五部分：综合运用在这一部分，PPT整合了前面所讲的椭圆、双曲线和抛物线的知识，以一些综合性应用题的形式出现。
这些题目既考察学生对于圆锥曲线的理解，又培养了学生解决复杂问题的能力。
高三数二轮专题复习课件圆锥曲线
极坐标与圆锥曲线
理解极坐标与圆锥曲线的交汇点，掌 握利用极坐标解决圆锥曲线问题的方 法。
05
圆锥曲线解题技巧与策略
代数法求解圆锥曲线问题
利用代数方法进行求解
代数法是解决圆锥曲线问题的一种基本方法，主要通过将问题转化为代数方程， 然后进行求解。这种方法需要掌握圆锥曲线的标准方程和相关性质，以及代数方 程的求解技巧。
抛物线
离心率e为1，因为抛物线是所有点与固定点（焦 点）距离相等的点的集合。
03
圆锥曲线的应用
曲线的切线问题
切线斜率
通过求导数或利用曲线的参数方程，求出切线的斜率，进而求出 切线方程。
切线长
利用切线斜率和点到直线的距离公式，求出切线长。
切线与弦的关系
利用切线与弦的垂直关系，求出弦的中点坐标和长度。
THANKS
感谢观看
关于x轴和y轴都是对称的 。
抛物线
只有一条对称轴，通常为 y=x或y=-x。
曲线的范围
椭圆
在x轴和y轴上都有一定的范围， 确保所有点都在椭圆上。
双曲线
在x轴和y轴上都有一定的范围，确 保所有点都在双曲线上。
抛物线
只关于一个轴有范围，通常为y≥0 或y≤0。
曲线的顶点和焦点
椭圆
有两个顶点和两个焦点，顶点是 曲线的最高和最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
双曲线
有一个顶点和两个焦点，顶点是 曲线的最高或最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
抛物线
有一个顶点和焦点，顶点是曲线 的最高或最低点，焦点在顶点的
正上方或正下方。
曲线的离心率
椭圆
高三数学(理)圆锥曲线的定义人教版知识精讲
高三数学（理）圆锥曲线的定义人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：圆锥曲线的定义二. 重点、难点： 1. 第一定义椭圆：a PF PF 221=+ 双曲线：a PF PF 221=- 2. 第二定义e l P d PF=),(（1）)1,0(∈e 为椭圆 （2）1=e 为抛物线（3）),1(+∞∈e 为双曲线【典型例题】[例1] 求过M （2,3-）且与椭圆14922=+y x 共焦点的（1）椭圆方程（2）双曲线方程。
解：（1）设12222=+b y a x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+10155149222222b a b a ba ∴1101522=+y x （2）设12222=-b y a x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-235149222222b a b a ba ∴12322=-y x另解：14922=-+-λλy x ∴14499=-+-λλ ∴6±=λ∴6=λ时，双曲线12322=-y x 6-=λ时，椭圆1101522=+y x[例2]（1）P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，P 不在x 轴上，21F F 为焦点，α=∠21PF F ，求21PF F S ∆；（2）P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，P 不在x 轴上，21,F F 为焦点，α=∠21PF F ，求21PF F S ∆。
解：（1）221222142a PF PF PF PF =⋅++22122214cos 2c PF PF PF PF =⋅-+α∴2214)cos 1(2b PF PF =+⋅α∴αcos 12221+=⋅b PF PF∴αsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S F PF 2tan cos 1sin 22αααb b =+⋅=（2）221222142a PF PF PF PF =-+ 22122214cos 2c PF PF PF PF =⋅⋅-+α∴2214)cos 1(2b PF PF =-⋅⋅ααcos 12221-=⋅b PF PF∴2cot cos 1sin sin 21222121ααααb b PF PF S PF F =-⋅=⋅⋅=∆[例3]（1）已知椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x ，P 为M 上一点，︒=∠3021F PF ，12F PF ∠︒=120，求离心率；（2）已知双曲线M ：12222=-by a x ，P 为M 上一点，︒=∠1521F PF ，︒=∠7512F PF ，求离心率。
高考数学专题讲座 第12讲 圆锥曲线的概念与性质
高考数学专题讲座 第12讲 圆锥曲线的概念与性质一、考点要求1．圆锥曲线部分常常考查的是：①三种圆锥曲线的定义及简单几何性质的灵活运用；②求曲线方程（含指定圆锥轴线方程及轨迹方程）；③直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题），确定参数的范围；④在向量、函数、不等式、三角以及导数知识网络交汇点上的问题．2．掌握数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想以及定义法、等定系数法、参数法、类比等思想方法．二、基础过关1．已知平面内一条定线段AB 的长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |=3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值为 ．2．),(y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任一点，1F ，2F 是两焦点，则||||21PF PF ⋅的取值范围为 ．3．设点P 是双曲线12222=-by a x 上除顶点外的任意一点，1F ，2F 分别是左、右焦点，c 为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切于点M ，则|F 1 M |·|F 2 M |= ．4．椭圆C 与椭圆D ：14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线l ：x +y =0对称，则椭圆C 的方程是（ ）． A ．19)3(4)2(22=+++y x B ．14)3(9)2(22=-+-y x C ．14)3(9)2(22=+++y x D ．19)3(4)2(22=-+-y x 5． 对于每个自然数n ，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则112219991999A B A B A B +++的值是（ ）． （A ）19981999 （B ）20001999 （C ）19991998 （D ）199920006．已知F 1，F 2为椭圆Ｅ的左、右焦点，抛物线Ｃ以Ｆ1为顶点，Ｆ2为焦点，设Ｐ为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率e 满足｜PF 1｜＝e |PF 2|，则e 的值为 ．三、典型例题例1 例1．是否存在圆锥曲线C ，同时满足下列条件：（1）以原点O及直线x=1为焦点和相应的准线；（2）曲线的长为22的弦被直线x+y=0垂直平分，若存在，求出曲线C的方程；若不存在，说明理由．例2 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 1到右准线的距离为337，且离心率23=e ，（1）求椭圆的方程；（2）如图，过原点的两条直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，求证：四边形ABCD 是平行四边形； （3）在（2）中，若直线AD 经过左焦点F 1，求平行四边形ABCD 面积的最大值．xy ABC D O1F例3 已知椭圆C 的方程是)0(12222>>=+b a b y a x ，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B ，如图所示．（1） 当l 1与l 2夹角为60º，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程及离心率； （2） 求|FA||AP|的最大值．1l 2l xyABP FOl四、热身演练1．已知A （2，0），B （3，1），P 为双曲线1322=-y x 上任一点（P 在右支上），则|PA |+|PB |的最小值为 ．2．已知一抛物线C 的对称轴为x －y =0，准线为x +y -4=0，焦点为F （1，1），则抛物线的顶点为 ．3．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，C 为椭圆短轴上端点，向量FC →绕F 点顺时针旋转90º后得到向量 FC’→，其中'C 点恰好落在椭圆右准线上，则该椭圆离心率为 ．4．设抛物线)0(2>=a ax y 与直线)0(≠+=k b kx y 有两个交点，其横坐标分别为x 1，x 2，而直线b kx y +=与x 轴交点的横坐标为3x ，则一定有（ ）． A ．213x x x += B ．213111x x x += C ．321111x x x += D ．321x x x += 5．P 为曲线1162522=+y x 上一动点，F 为右焦点，设点A （43，2），则3|PA |+5|PF |的最小值是（ ）．A ．7B ．14C ．28D ．216．椭圆13610022=+y x 上一点到左、右焦点距离之比为1∶3，则此点到左、右准线的距离分别为 ．7．“抛物线22x y =上离点(0,)A a 最近的点恰好为顶点”成立的充要条件是（ ）．A ．0a ≤B ．12a ≤C ．1a ≤D ．2a ≤ 8．无论实数b 取何值，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，则实数k 的取值范围是 ．9．如图，已知椭圆中心O 是坐标原点，F 是它的左焦点，A 是它的左顶点，1l 、2l 分别为左、右准线，1l 交x 轴于点B ，P 、Q 两点在椭圆上，且1PM l ⊥于M ，2PN l ⊥于N ，QF AO ⊥，下列5个比值中：①PM PF ，②PF PN ，③AO BO，④AF BA ，⑤QFBF ． 其中等于该椭圆离心率的编号有 ．A NBPQ M y1l2lOFx10．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线01=-+y x 相交于P 、Q 两点，且OP →⊥OQ →（O 为原点），（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率在]22,33[上变化时，求椭圆长轴的取值范围．11．已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过A （a ，0），B （0，-b ）的直线到原点的距离是23．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．12．已知曲线C 的方程为1)4(22+=-+k y k kx （k ∈R ）． （1）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（2）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60º，求此双曲线的方程；（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P 、Q 关于直线l ：y =x -1对称，若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，说明理由．第12讲 圆锥曲线的概念与性质一、考点要求1．圆锥曲线部分常常考查的是：①三种圆锥曲线的定义及简单几何性质的灵活运用；②求曲线方程（含指定圆锥轴线方程及轨迹方程）；③直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题），确定参数的范围；④在向量、函数、不等式、三角以及导数知识网络交汇点上的问题．2．掌握数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想以及定义法、等定系数法、参数法、类比等思想方法．二、基础过关1．已知平面内一条定线段AB 的长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |=3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值为 ．分析：∵点P 的轨迹为双曲线右支，∴|OP |=a =32．2．),(y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任一点，1F ，2F 是两焦点，则||||21PF PF ⋅的取值范围为 ．],[22a b3．设点P 是双曲线12222=-by a x 上除顶点外的任意一点，1F ，2F 分别是左、右焦点，c 为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切于点M ，则|F 1 M |·|F 2 M |= ．分析：∵M 点即为顶点，∴|F 1 M |·|F 2 M|=（c －a ）·（c ＋a ）= b 2．4．椭圆C 与椭圆D ：14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线l ：x +y =0对称，则椭圆C 的方程是（ A ）． A ．19)3(4)2(22=+++y x B ．14)3(9)2(22=-+-y x C ．14)3(9)2(22=+++y x D ．19)3(4)2(22=-+-y x 5． 对于每个自然数n ，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则112219991999A B A B A B +++的值是（ D ）． （A ）19981999 （B ）20001999 （C ）19991998 （D ）199920006．已知F 1，F 2为椭圆Ｅ的左、右焦点，抛物线Ｃ以Ｆ1为顶点，Ｆ2为焦点，设Ｐ为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率e 满足｜PF 1｜＝e |PF 2|，则e 的值为 ．33三、典型例题例1．是否存在圆锥曲线C ，同时满足下列条件：（1）以原点O 及直线x =1为焦点和相应的准线；（2）曲线的长为22的弦被直线x +y =0垂直平分，若存在，求出曲线C 的方程；若不存在，说明理由．解：设存在满足条件的曲线C ，C 上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且弦AB 被直线x +y =0垂直平分，于是点B 的坐标为（-y 1，-x 1），又|AB |=22，则22)()(221221=+++y y x x ，化简整理得：2||11=+y x ， 又由条件（1）得：|1|)()(|1|1212112121---+-=-+=y x y x y x e ， ①整理得：|1||1|11--=-y x ， ②由①、②有⎩⎨⎧=-±=+221111y x y x ，解得A （2，0）、B （0，-2）．则120222-+=e =2，可见e 存在，因此满足条件的圆锥曲线存在，设P （x ，y ）是曲线C 上任意一点，由圆锥曲线的统一定义，得2|1|22=-+x y x ，化简整理得：048322=+--x y x ．例2 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 1到右准线的距离为337，且离心率23=e ，（1）求椭圆的方程；（2）如图，过原点的两条直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，求证：四边形ABCD 是平行四边形； （3）在（2）中，若直线AD 经过左焦点F 1，求平行四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）由已知，左焦点F 1（-c ，0），右准线x =a 2c，根据题意得，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+233372a c e c c a ，∴1,3,2222=-===c a b c a ， ∴椭圆的方程为1422=+y x ． （2）∵AC ，BD 都过原点，由椭圆的对称性，得AC 与BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形． （3）设直线AD 的倾斜角为θ，则0＜θ＜π，过原点O 作BC 、AD 间的垂线段，记垂线段的长为h ， ∴θsin 2c h=，即θsin 32=h ，若θ≠90º，设直线AD 的方程为)3(+=x k y ，代入椭圆方程，得1)3(4222=++x k x ，整理得：041238)41(2222=-+++k x k x k ，其中△=0)1(162>+k ， xy ABC D O1F设),(),,(2211y x D y x A ，∴2221222141412,4138k k x x k k x x +-=⋅+-=+，∴]4))[(1(||212212x x x x k AD -++=，将2121,,tan x x x x k +=θ代入并整理得，|AD |θθ22cos sin 44+=，∴S =θθθ22cos sin 4sin 38||+=⋅h AD =θθsin 1sin 338+，∵0sin >θ，∴32sin 1sin 3≥+θθ，∴43238=≤S （当且仅当θθsin 1sin 3=时取等号），又当θ=90º时，432<=S ，∴当33sin =θ时，4max =S ．例3 已知椭圆C 的方程是)0(12222>>=+b a b y a x ，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A B ，如图所示．（3） 当l 1与l 2夹角为60º，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程及离心率；（4） 求|FA||AP|的最大值．解：（1）∵双曲线的渐近线为x aby ±=，两渐近线的夹角为60º， 又1<ab，∴∠Pox =30º．∴3330tan =︒=a b ．∴a=3b ． 又c =2，222c b a =+，∴4322=+b b ，∴12=b ，32=a ．∴椭圆C 的方程是1322=+y x ． ∴离心率3622=-=a b a e ． （2） 由已知l ：)(c x b a y -=，与x aby =联立，解方程组得),(2c ab c a P ． 1l 2l xyABPFOl∴P 在椭圆的右准线上，A 在线段FP 上，设A 分FP →的比为λ（λ＞0），则)1,1(2λλλλ+⋅+⋅+c ab c a c A ，将A 点坐标代入椭圆方程，得22242222)1()(c a a a c λλλ+=++，等式两边同除以4a ，得 )1,0(,)1()(22222∈+=++e e e λλλ，3]22)2[(2222242+-+--=--=ee e e e λ≤222)12(223322)2(2-=-=+-⋅--e e ， ∴当222=-e ，即222-=e 时，λ有最大值12-，即|FA||AP|的最大值为12-．四、热身演练1．已知A （2，0），B （3，1），P 为双曲线1322=-y x 上任一点（P 在右支上），则|PA |+|PB |的最小值为 ．262．已知一抛物线C 的对称轴为x －y =0，准线为x +y -4=0，焦点为F （1，1），则抛物线的顶点为 ． (32 , 32) 3．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，C 为椭圆短轴上端点，向量FC →绕F 点顺时针旋转90º后得到向量 FC’→，其中'C 点恰好落在椭圆右准线上，则该椭圆离心率为 ．分析：由条件得，b =c ，∴e =22． 4．设抛物线)0(2>=a ax y 与直线)0(≠+=k b kx y 有两个交点，其横坐标分别为x 1，x 2，而直线b kx y +=与x 轴交点的横坐标为3x ，则一定有（ B ）．A ．213x x x +=B ．213111x x x += C ．321111x x x += D ．321x x x += 5．P 为曲线1162522=+y x 上一动点，F 为右焦点，设点A （43，2），则3|PA |+5|PF |的最小值是（ D ）A ．7B ．14C ．28D ．216．椭圆13610022=+y x 上一点到左、右焦点距离之比为1∶3，则此点到左、右准线的距离分别为 ．254、7547．“抛物线22x y =上离点(0,)A a 最近的点恰好为顶点”成立的充要条件是（ C ）．A ．0a ≤B ．12a ≤C ．1a ≤D ．2a ≤ 8．无论实数b 取何值，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，则实数k 的取值范围是 ．2222<<-k 9．如图，已知椭圆中心O 是坐标原点，F 是它的左焦点，A 是它的左顶点，1l 、2l 分别为左、右准线，1l 交x 轴于点B ，P 、Q 两点在椭圆上，且1PM l ⊥于M ，2PN l ⊥于N ，QF AO ⊥，下列5个比值中：①PMPF②PF PN，③AO BO，④AF BA ，⑤QFBF，其中等于该椭圆离心率的编号有 ． ③④⑤10．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线01=-+y x 相交于P 、Q 两点，且OP →⊥OQ →（O 为原点），（1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率在]22,33[上变化时，求椭圆长轴的取值范围． 解：（1）联立方程组⎩⎨⎧=-+=+01222222y x b a y a x b 消去y ，整理得0)1(2)(222222=-+-+b a x a x b a ①∵直线与椭圆有两个交点，∴①式判别式△＞0，即0)1)((4422224>-+-=∆b b a a a ，∴0)1(2222>-+b a b a ，∵0,022>>b a ，∴122>+b a ，设P 、Q 两点的坐标分别是),(),,(2211y x y x ．A O NB P QMFx y1l 2l∵OP →⊥OQ →，∴02121=+y y x x ②∵22111,1x y x y -=-=，代入②得0)1)(1(2121=--+x x x x ， 即01)(22121=++-x x x x ， ③由方程①得：22222122221)1(,2ba b a x x b a a x x +-=+=+， 代入③整理得：0222222222=++--b a a b a a ， ∴22222b a b a =+，故21122=+ba ． （2）∵ac e =，∴222222a b a a c e -==，即2222b a e a -=， 则2222e a a b -=，又22222b a b a =+，将2222e a a b -=代入其中得：)(222222222e a a a e a a a -=-+，∵02>a ，∴)1(22222e a e -=-，∴)1(2121)1(2)1(1)1(22222222e e e e e a -+=--+=--=． ∵2233≤≤e ，21312≤≤e ，∴1)1(21432≤-≤e ， ∴23452≤≤a ，又a ＞0，∴2625≤≤a ， ∴椭圆长轴长的取值范围为625≤≤a ．11．已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过A （a ，0），B （0，-b ）的直线到原点的距离是23．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．解：（1）由332=e ，∴3422222=+=ab a ac ，∴223b a =， 在RT △AOB 中，ab b a 21232122=⋅+ ，即222243)(b a b a =⋅+，解之得，1,322==b a ，∴双曲线的方程为1322=-y x ． （2）由方程组⎩⎨⎧=-+=33522y x kx y 消去y 得，07830)31(22=---kx x k ，在⎩⎨⎧≠->∆03102k 条件下由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+22122131103130k y y k k x x ，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则CD 的中点)2,2(2121y y x x E ++，即)315,3115(22k k k E --， B （0，-1），依题意得BE ⊥CD ，∴1-=⋅CDBE k k ，∴13115131522-=⋅-+-k k k k ，解之得：72=k ，∴7±=k ，以检验得，7±=k 均符合题意，∴7±=k ．12．已知曲线C 的方程为1)4(22+=-+k y k kx （k ∈R ）． （1）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（2）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60º，求此双曲线的方程；（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P 、Q 关于直线l ：y =x -1对称，若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）曲线C 的方程可化为：141122=-+++k k y k k x ，由曲线C 为椭圆可得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≠+>-+>+k k k k k k k k 41104101， )4,2()2,0(⋃∈k ．（2）由已知条件，渐近线的方程为x y 3±=，即0322=-y x ， ① 由1)4(22+=-+k y k kx 知，当它表示双曲线时， 其渐近线方程可写为0)4(22=-+y k kx ， ② ∴由①、②得143--=k k ，∴k =6． 因此，所求双曲线方程为72622=-y x ，即1727622=-y x ．（3）假设存在这样的两点),(),,(2211y x Q y x P ，且直线PQ 的方程为b x y +-=，则由⎩⎨⎧=-+-=72622y x bx y 消去y 得 0724422=--+b bx x ．∵△=0)72(41622>++b b ，且b b x b x y y b x x 3)()(,212121=+-++-=+-=+，∴PQ 的中点M 的坐标为)23,2(bb -，∴M 应在直线1-=x y 上， ∵1223-=-=b b ，∴21-=b . 故存在这样的两点P 、Q ，它所在的直线方程为21--=x y ．。
高三数学 圆锥曲线知识全面讲解(已囊括圆锥曲线所有而定知识点与教学内容)
芯衣州星海市涌泉学校椭圆1. 椭圆的定义及性质 （1） 椭圆的定义：平面内与两定点1F 、2F 的间隔的和等于定长〔定长大于两定点间的间隔〕的点的轨迹，其中两定点1F 、2F 叫焦点，定点间的间隔叫焦距。
〔焦距，焦半距，长轴，长半轴，短轴，短半轴〕（2） 标准方程：①焦点在x 轴上，中心在原点：();012222>>=+b a by a x 焦点1F ()0,c -、2F ()0,c ，其中22b a c -=.②焦点在y轴上，中心在原点：();01y 2222>>=+b a bx a .焦点1F ()c -,0、2F ()c ,0，其中22b a c -=.（3） 性质：〔焦点在x 轴上〕①顶点：()()()()b B b B a A a A ,0,,0,0,,0,2121--。
长轴a A A 221=，短轴b B B 221=；②离心率：ace =〔焦距与长轴之比〕；③准线方程：c a x 2±=；④范围：a x a≤≤-，b y b ≤≤-.2.椭圆的几何性质的应用〔1〕椭圆中有“四线〞〔两条对称轴、两条准线〕，“六点〞(两个焦点、四个顶点).〔2〕点()00,y x p 与椭圆12222=+b y a x 的关系：①()00220220,1y x P by a x ⇔=+在椭圆上；②()00220220,1y x P b y a x ⇔>+在椭圆外；③()0022220,1y x P by a x ⇔<+在椭圆内； 3.与椭圆相关的综合问题 〔1〕0>∆，直线与椭圆有两个公一一共点Q P 、，此时弦长求法：由根与系数关系得到弦长公式()()[]QP Q P x x x x k PQ 4122-++=；〔2〕0=∆,直线与椭圆有一个公一一共点；〔3〕0<∆，直线与椭圆无公一一共点. 双曲线双曲线的定义和性质 （1） 双曲线的定义： ①()212122F F a a PF PF <=-方程为双曲线；②双曲线的第二定义——平面内到一个定点F 的间隔和到一条定直线l 的间隔的比是常数e ，且1>e 的动点的轨迹叫做双曲线。
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练习讲评
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2012年上学期
2
13 2 1 2
B.a 13
2
C.b
2
D.b 2
2
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制作 06
2012年上学期
考题3 在平面直角坐标系 中, 点 xOy
P ( a , b )( a b 0)为动点, F1、F2分别为椭 圆 x a
2 2
y b
2 2
1的左、右焦点已知F1 PF2 .
为等腰三角形 . (1)求椭圆的离心率 ; e ( 2)设直线PF2与椭圆相交于 , B两点, A M是直线PF2上的点, 满足 AM BM 2, 求 点M的轨迹方程 .
湖南长郡卫星远程学校 制作 06 2012年上学期
1.圆锥曲线的定义及应用
例1. (1)在平面直角坐标系 中,已知 xOy
湖南长郡卫星远程学校 制作 06 2012年上学期
y A
P
F O Q x
PQ .
(1)求椭圆C的离心率 ; (2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线 l:x 3 y 5 0相切, 求椭圆C的方程.
y A
P F
O
Q x
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2012年上学期
[备选题]
例4. 椭圆E的中心在坐标原点 , 焦点 O
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制作 06
2012年上学期
( 3)点P是抛物线y 4 x上一动点 ,
2
则点P到点A( 0， 1)的距离与点 到直 P 线x 1的距离和的最小值是 ( A. 5 C.2 B. 3 D. 2 )
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2012年上学期
2.圆锥曲线几何性质及应用22来自y21
2
2
y
2
1
2
5 C. x
4 y 1 D.
4 x
5 y 1
2012年上学期
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3
6
制作 06
6
3
考题2 已知椭圆C1 :
与双曲线C 2 : x
2
x a
2 2
y b
2 2
1( a b 0)
y
2
4
1有公共的焦点 C 2 ,
的一条渐近线与以 1的长轴为直径的圆相 C 交于A, B两点, 若C1恰好将线段 AB三等分, 则( ) A.a
1 3 在x轴上, 离心率为 , 点P (1， ), 点A, B在 2 2 椭圆E上, 且 PA PB m OP ( m R ). (1)求椭圆E的方程及直线 的斜率 AB ; ( 2)求证 : 当PAB的面积取得最大值 时, 原点O是PAB的重心.
湖南长郡卫星远程学校 制作 06 2012年上学期
圆锥曲线的基本问题
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2012年上学期
考题1 已知双曲线
x a
2 2
y b
2
2 2
1( a 0, b 0)
2
的两条渐近线均和圆 : x y 6 x 5 0 C 相切, 且双曲线的右焦点为圆 的圆心, 则该 C 双曲线的方程为 ( A. x
2
) B. x
ABC的顶点A( 4,0)和C ( 4,0), 顶点B在椭 圆 x
2 2
y
1上, 则 5 2
sin A sin C sin B
等于( 5 3
)
25 A. 4 5
9 B.
C.
5 4
D.
制作 06
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2012年上学期
( 2)已知双曲线
x
2
y
2
1的左支上
25
9
一点M到右焦点F2的距离为 , N是线段 18 MF 2的中点, O是坐标原点 则 | ON | 等于 , ( ) A.4 B.2 C.1 D. 2 3
湖南长郡卫星远程学校 制作 06
F1
O
Q F2 A2
x
2012年上学期
3.圆锥曲线标准方程及应用
例3. 设椭圆C :
x a
2 2
y b
2 2
1( a b 0)的
左焦点为F , 上顶点为A, 过点A作垂直于AF 的直线交椭圆 于 C 另外一点P , 交x轴 正半轴于点 , 且 Q AP 8 5
例2. 如右图, 以F1 ( 2 10 ,0)和F2 ( 2 10 ,0)
为焦点的椭圆的离心率 e y
2
2 2 3
, 它与抛物线
4 3
x交于A1 , A2两
y
A1
点, 以OA1 , OA2为两条 渐近线的双曲线上 的动点P ( x , y )到定点 Q ( 2,0)的最小距离为 1, 求此双曲线方程 .