《误差理论与测量平差基础教学课件》第三讲共40页文档
《误差理论与测量平差》课件
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
二、参数估计方法 （1）矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样 函数的估计。 1 x 子样均值 n x 是母体数学期望的最优无偏估计，它是子 样的一阶原点矩。 矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。
n i 1 i
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
参数估计的优劣进行评价是按以下三个方面来进行的 为 的无 (1)无偏性：设 为参数 的估计量，若 E ( ) ，则 偏估计。
1 E ( x ) E ( x1 ) E ( x2 ) ... E ( xn )} n x X ~ N ( , )
dV
ˆ
得极值点 V P 1 AT K
（利用 P P T）
第四讲 平差方法——条件平差
3、将V代入条件方程AV+W=0 得 AP1 AT K W 0
Na K W 0
K Na 1W
4、 5、
V P1 AT K QAT K
ˆ L V L
第四讲 平差方法——条件平差
（2）最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参 数估计方法。 设母体的分布函数为f（x;θ），θ 为未知参数， 对 χ 抽得到的子样为（ x1，x2，…xn），则 χ 落在 χi（1≤i≤n） 邻域 dx 上的概率为 f（xi;θ）dx，因子样观测值互相独 立，所以子样观测值同时出现的概率为
P f ( x1 ; ) f ( x2 ; )... f ( xn ; )(dx) f ( xi ; ) (dx) n
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
平差原则和任务 平差的原则： ①估计的无偏性、有效性、一致性； ②最大概率原则； ③最小二乘法则。 平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验， 按一定的准则 —— 最小二乘原理，求出数学模型中待 定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。
《误差理论与测量平差基础》word资料40页
《误差理论与测量平差基础》授课教案2019～2019第一学期测绘工程系2019年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
误差理论与测量平差讲解
河南城建学院测绘与城市空间信息系课程设计报告设计名称学生学号学生班级学生姓名专业指导教师时间 2012.12.24 至2012.12.28 2012年月日目录1、课程设计的目的 (2)2、课程设计题目内容描述和要求 (2)2.1 高程控制网： (2)2.2 平面控制网： (3)3、课程设计报告内容 (5)3.1 高程控制网条件平差 (5)3.2 高程控制网间接平差 (9)3.3 平面控制网间接平差 (13)4.程序验证(用平差程序计算，并列表比较分步手算与程序计算结果) (20)5.总结 (20)1、课程设计的目的《测量平差》是一门理论与实践并重的课程，测量平差课程设计是测量数据处理理论学习的一个重要实践环节，是在我学习了专业基础理论课《误差理论与测量平差基础》课程后进行的一门实践课程，其目的是增强我对测量平差基础理论的理解，牢固掌握测量平差的基本原理和公式，熟悉测量数据处理的基本原理和方法，灵活准确地应用于解决各类数据处理的实际问题，并能用所学的计算机基础知识，编制简单的计算程序。
通过课程设计，培养了我运用本课程基本理论知识和技能，分析和解决本课程范围内的实际工程问题的能力，加深对本课程理论的理解与应用。
2、课程设计题目内容描述和要求2.1 高程控制网：总体思路：现有等级水准网的全部观测数据及网型、起算数据。
要求对该水准网，分别用条件、间接两种方法进行严密平差，并进行平差模型的正确性检验。
水准网的条件平差：①列条件平差值方程、改正数条件方程、法方程；②利用自编计算程序解算基础方程，求出观测值的平差值、待定点的高程平差值；③评定观测值平差值的精度和高程平差值的精度。
④进行平差模型正确性的假设检验。
水准网的间接平差：①列观测值平差值方程、误差方程、法方程；②利用自编计算程序解算基础方程，求出观测值的平差值、待定点的高程平差值；③评定观测值平差值的精度和高程平差值的精度。
④进行平差模型正确性的假设检验。
测量平差基础课件——误差传播定律
§1-4精度和衡量精度的指标
二、衡量精度的指标
2. 平均误差
在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。
以 表示 。
E( ) f ()d Fra biblioteklim n n
ˆ n
平均误差与中误差的关系：
1.253 5
2
4
2 0.7979 4
5
所以 也可以作为衡量精度的指标。 2020/6/11 19
E() E(内E。(L) L)
E(L) E(L) 0
12
§1-3偶然误差的规律性
二、偶然误差的表示方法
1.表格法：见上页 2.直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以 区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 3.误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方 条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分 布曲线，或称为误差分布曲线。
0.495
1.在一定的观测备条注 件下， 误vi差/ n 的绝对值有一定的 限d值 ，或者说，超出一
定 的00..概限05率67值45为的零误d。=差0，.0其2″出现
20..绝46对0值较小的误差比
绝 的 3差0000.....概 出对绝2210率 现9287值对5500大 的较值。概大相率等间值的等相误的于左的同差正。出负区端误现误 40.偶.0然30误差的差数学算期望入为 零0，.0即00： 该 区 间
N
表
例[1-1] 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问：这两段距离的 真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？
误差理论与测量平差基础间接平差.pptx
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3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立
（1）、水准网
在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差
值作为待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 Xˆ数1 关Hˆ系E , 。Xˆ 2如 图Hˆ F，选
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合
的误差方v程i 为aˆ：0 aˆ1xi aˆ2 xi2 aˆ3 xi3 yi
b、曲面拟合
曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。 将地H面i 视 为a0 一 a个1x连i 续a2的yi 曲 a面3 x，i2 则a高4 yi程2 可a5表xi y达i 为平面 坐标的函数，且可用多项式表达为：
有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是
选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即
t=2m 。一般地，边长观测值可由下图表示，于是
k
有：
Si
j
vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2 Si
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例如在下图，我们选 Xˆ1 Xˆ C , Xˆ 2 YˆC , Xˆ 3 Xˆ D , Xˆ 4 YˆD
教材：7－5 习题：7.2.16
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（5）、导线网
导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m
（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边
长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和
边长误差方程两类。
vi ˆik ˆij arctan
可Yˆk以先Yˆi Xˆ k Xˆ
列角度误 arctan
《误差理论与测量平差基础》第三章
1n 2n 2 n
§3.1 协方差传播律
设有t个 X 的线性函数： n ,1 Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
Z的方差为： DZZ E Z E ( Z )Z E ( Z )
E ( KX k 0 K X k 0 )( KX k 0 K X k 0 )
E K ( X X )( X X )T K T
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
E ( Z ) E ( KX K 0 ) K x K 0
D ZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z )) T ]
t ,t
E[( KX K x )( KX K x ) T ]
KE[( X x )( X x ) T ]K T
T
§3.1 协方差传播律
例3-4 在一个三角形中，同精度独立观测得到
三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将
闭合差平均分配后各角的协方差阵。 例3-5 设有函数： 已知:
Z F1 X F1 Y
t ,1 t , n n ,1
t , r r ,1
DXX、DYY 和DXY DZZ、DZX 和DZY
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E (Z )) ]
T r ,t
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
《测量平差基础》课件
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
误差理论PPT课件
图1-1 对正态分布的影响示意图
图1-2 对正态分布的影响示意图
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在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中， 当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分 布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误 差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概 率密度函数为
f (x)
( x )2
物理量进行多次重复测量，测量仪器读数的平均 值为L’,基准仪器读数的平均值为L0’,则Δ= L’L0’，看作是测量仪器对该物理量测量时的误差。
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三、系统误差的综合 1.代数综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小和符号： 绝对误差： Δ= Δ1+ Δ2+…+ Δn 相对误差：δ=δ1+ δ2+…+ δn
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置测信量区值间取与为真值的X若（0 干或倍数，学即期：望 ）偏差 x 的
望 的估计值，不是真值。既然是估计值，就
一定存在差值，而且这偏差值是随机误差。那么， 如何评价算术平均值的随机误差(离散度)的大小？ 和其它随机变量一样，算术平均值也是用其方差 或标准差来评价。我们先分析算术平均值的方差：
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2
X
X
2
1 n
n i 1
2
X
i
1 n2
估计值 ˆ X 与ˆ 2 X 来代替上两式中的 X 2 X
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(4)（正态分布时）测量结果的置信度 由上述可知，可用测量值 Xi 的算术平均值 X
作为数学期望 的估计值，即真值 X0 的近似值。 其分布离散程度可用贝塞尔公式等方法求出的重复
性标准差 ˆ x（标准偏差的估计值）来表征
误差理论与测量平差基础CH03
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-1 协防差传播律
2、多个观测值线性函数的方差阵
t×1
Z 和 Y 为多个观测值线性函数：
r×1 t ×1
Z = K X + K0
t×nn×1
t×1
r ×1
Y = F X + F0
r×nn×1
r×1
数学期望分别为： E (Z ) = K µ X + K 0
1×1
Z = f ( X ) = f ([X1 , X2 , · · · , Xn ]T )
n×1
在近似值X 0 按泰勒(台劳)级数展开(乎略二次以上项)
1×1
Z = k1 X1 + k2 X2 + · · · + kn Xn + k0 = K X + k0
1×nn×1
1×1
∂f ki = ( ∂ Xi )0
20
0 1 0.8 0.6 C 0.4 0.2 0
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-2 协防差传播律的应用
三、若干独立误差的联合影响
一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响，如测角受 到照准、读数、目标偏心仪器偏心等误差的影响，观测结果真误 差是各独立误差的代数和 ∆Z = ∆1 + ∆2 + · · · + ∆n 它们的方差之间的关系为
2 2 2 2 σZ = σ1 + σ2 + · · · + σn
2 DZZ = σZ = KDXX K = K 2 DXX
变成上一章中所讲的方差的运算规则。
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-1 协防差传播律
误差理论和测量平差 第三讲
国土信息与测绘工程系教案（首页）班级：课程：误差理论与测量平差授课日期：年月日第周A.提出问题，导入新课观测必然有误差，那么如何评定观测值的质量呢，下面我们讲精度、准确度和精确度，以及测量的不确定度的基本概念。
本次课程的内容：精度、准确度和精确度。
测量的不确定度B.授课章节名称：§2.4 精度、准确度和精确度，§2.5 测量的不确定度教学要点：1、精度、准确度和精确度2、测量的不确定度重点：1、精度、准确度和精确度2、测量的不确定度难点：1、精度、准确度和精确度2、测量的不确定度C.教学过程设计精度准确度精确度测量的不确定度 作业题布置第三讲同学们，我们上一节课学习了如何衡量观测结果的精度，即中误差、平均误差和或然误差，另外学习了极限误差和相对误差的基本概念。
本次课程我们将学习衡量观测值质量的各种指标§2.4 精度、准确度和精确度一、精度精度：是指误差分布的密集或离散的程度，也就是观测值与数学期望的接近程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。
1、方差和协方差的基本概念设两个随机变量X 和Y ，其真值分别为)(~X E X =、)(~Y E Y =，真误差分别为X X E X -=∆)(、Y Y E Y -=∆)(，并且0)(=∆X E 、0)(=∆Y E ；那么它们的方差和协方差分别定义为：[]{})()(222X X E X E X E ∆=-=σ，[]{})()(222Y Y E Y E Y E ∆=-=σ[][]{})()()(Y X XY E Y E Y X E X E ∆∆=-⋅-=σ在相同测量条件下，随机变量X 和Y 的方差和协方差的计算公式是：[]nnx x n x x x n Xn∆∆=∆+⋅⋅⋅+∆+∆=∞→∞→limlim222221σ[]nnyxn y x y x y x n XY nn ∆∆=∆∆+⋅⋅⋅+∆∆+∆∆=∞→∞→limlim2211σ表明协方差是两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，其估值公式就是：[]nx x X ∆∆=2ˆσ，[]nyxXY∆∆=σˆ当两个随机变量X 和Y 随机独立，或者说两个（两组）观测值X 和Y 的真误差之间互不影响，则称为这些观测值是不相关的观测值，这样有[][]{}0)()()()()(=∆∆∆∆=-⋅-=Y X Y X XY E E E Y E Y X E X E ＝σ2、自协方差阵和互协方差阵的基本概念在实际测量和数据处理中，经常遇到由n 个不同精度相关的物理量组成的向量（矩阵）的问题。
误差理论与测量平差基础3
，
各角的同精度独立观测值见表 1。现选 D A B 的最或是值为参数， 试按附有参数的条件平差求观测值的平差值和参数的平差值。
角号 1 2 3
观测值
6 0 0 0 0 3
6 0 0 0 0 2 6 0 0 0 0 4
角号 4 5 6
观测值
5 9 5 9 5 7
5 2 4
ˆ S A B s in X ˆ ˆ S B D s in ( L 3 L 5 )
1
side14
取X 0
1 0 1 .7 3 2 0
3 0 0 0 0 0 ，将非线性条件线性化后，得条件方程为：
1 0 0 .5 7 7 0
1 0 0 .5 7 7 0 .5 7 7
2V
T
P 2K
T
T
A 0
2 K
B 0
side9
即：
PV A K 0
T
B K 0
T
或
V P
T
1
A K
T
称为改正数方程
B K 0
AV B x W 0 T B K 0 T V QA K
AQA K B x W 0
ˆ X 3 0 0 0 0 5 .4
5 9 5 9 5 6 .3
5 9 5 9 5 8 .3
6 0 0 0 0 5 .0
5 9 5 9 5 6 .0
5 9 5 9 5 9 .0
检核略。
side16
3、附有参数的条件平差的计算步骤
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Precision
Accuracy
Not Precise & not exact
Precise and exact (accurate)
Internal Reliability
External Reliability
No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation
第二讲 误差分类及其特性（复习）
思考题
1、什么是真值和估值？哪些量是估值？ 2、什么是真误差？测量条件相同，真误差是否相同？ 3、测量误差可分为几类？各类误差处理方法有何不同？ 4、偶然误差的概率特性是什么?它服从什么分布? 5、真值的统计学意义是什么?
No.2 Classes of Errors and Its Characteristics
o
A：顶峰高而且陡峭
B：顶峰低而且平缓
No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation
1、What’s The Precision?
Probability Distribution Function(PDF)
A：亦高亦陡
B：亦低亦缓
No.3 Standard of Precision and ters Estimation
1、What’s The Precision?
2) Definition of Precision(精密度) The degree of closeness of repeated measurements made under certain conditions to each other (Random error).
True value
No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation
1、What’s The Precision?
4) Definition of Accuracy（精确度） The degree of closeness of a measurement to the true value.
No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation
1、What’s The Precision?
1) Meaning of Precision Example:
测区A: 落于-0″.60～+ 0″.60的比例
66.5%
测区B: 落于-0″.60～+ 0″.60的比例
上节课内容回顾：
1、真值和真误差 2、误差分为粗差、系统误差和偶然误差三类 3、偶然误差特性：有界性、聚中性、对称性 4、偶然误差的数学期望等于零 5、仅含偶然误差的观测值与其偶然误差同分布 6、仅含偶然误差的观测值的数学期望是真值
第三讲 精度估计标准，参数估计
Standard of Precision and Parameters Estimation
1、What’s The Precision? 2、Variance and Standard Error 3、Average Error 4、Probable Error 5、Relative Error 6、Bound of Errors 7、Parameters Estimation (self-study)
1、What’s The Precision?
5) Notes
1.精密度（通常说的精度）反映偶然误差的影响，准确度 反映系统误差的影响，精确度反映二者的综合影响；
2.一组观测值可能很精密，即精度很高，但可能极不准确 （含有较大的系统误差或者粗差）；只有当观测值仅含 有偶然误差时，精度、准确度和精确度才是统一的；
Analyze: 1、A较B误差更集中在零的附近
49.2%
2、A误差分布较密集，离散度小；B误差分布较 分散，离散度大
No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation
1、What’s The Precision?
Probability Distribution Histogram(PDH)
The relations of three definitions ?
No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation
1、What’s The Precision?
Precise but not exact
Not Precise but exact
Expectation
No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation
1、What’s The Precision?
3) Definition of Exactness(准确度) The degree of closeness of a measurement’s expectation to true value. (Systematic error)
Conclusions:
①一定测量条件下的一组观测值，它对应一种确定的分 布；
②如果误差分布较为密集，亦即离散度较小时，表明该 组观测值质量较好，精度较高；
③如果误差分布较为分散，亦即离散度较大时，表明该 组观测值质量较差，精度较低.
No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation
2 D L E L E L 2 L E L 2 f L d
第三讲 精度估计标准，参数估计
Standard of Precision and Parameters Estimation
3.今后如无特别声明，我们所说的精度就是指没有系统 误差的情况。
第三讲 精度估计标准，参数估计
Standard of Precision and Parameters Estimation
2、Variance and Standard Error
1) Definition of Variance 描述随机变量离散程度的特征值，是随机变 量与其数学期望之差的平方的数学期望