最新-高中数学《双曲线》文字素材1 新人教A版选修1-1 精品
人教A版高中数学选修1-1课件：2.2.2双曲线的几何性质.pptx
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
二、导出双曲线 y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0)
的简单几何性质
y
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4
y2 42
x2 32
1
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a4
渐近线方程: y 4 x 3
小结
方程
a,b,c关 系
椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞b＞0)
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a＞0b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞0b＞0)
图象
y
M
F1 0
F2 X
Y F1 0
p F2 X
范围
对称性 顶点
离心率 渐近线
|x|a,|y|≤b
|x|≥a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
（-a,0)(a,0) (0,b)(0,-b) 长轴：2a短轴：2b
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y
xa
o
或
x x a
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
人教版高中数学选修1-1第二章双曲线的定义与标准方程
上面 两条合起来叫做双曲线
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
1．已知双曲线的一个焦点坐标为( 6，0)，且经过点(－5,2)，
则双曲线的标准方程为
()
A.x52－y2＝1
B.y52－x2＝1
C.2x52 －y2＝1
D.x42－y22＝1
解析：依题意可设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, 4 1 0 )
3
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲
2m m1
线，求m的取值范围.
解: 由 (2m )(m 1)0得 m2或 m1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
高中数学第二章2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．2.2 双曲线的简单几何性质预习课本P49～53，思考并完成以下问题1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？[新知初探]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴实轴：线段A1A2，长：2a；2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案：5双曲线的几何性质[典例] 22虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值；(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． [注意] 求性质时一定要注意焦点的位置． 1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：选C 双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y 216－x 29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确． 2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：2由双曲线的几何性质求标准方程[典例] (1)(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1(2)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析] (1)由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22. 故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，代入点(2，－2)得b 2＝－2(舍去)； 当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a2＝1，代入点(2，－2)得a 2＝2. 所以所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1. [答案] (1)B (2)y 22－x 24＝1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率[典例] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[解析] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a2a 2－y 2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.[答案] 2＋ 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解，若已知a ，b ，可利用e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解．[活学活用]1．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为AO ＝AF ，F (c,0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝ca >2.答案：(2，＋∞)2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×(4a )×(2c )×cos 30°，整理得(e －3)2＝0，所以e ＝ 3.答案： 3层级一 学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32， 则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23， 从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝c a＝2. 答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二 应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m2，y 0＝x 0＋m ＝3m2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
[圆锥曲线与方程]文字素材1 新人教a版选修1-1
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对课本一道习题的变式研究题目：过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为，求证 .证明：在本题中，直线过焦点，具有上述性质，反之若直线与抛物线的两个交点的纵坐标具有，直线是否经过焦点呢？变式1，若抛物线上两个动点的纵坐标分别是且满足，则直线经过焦点 .证明：设的坐标分别为、 .若，则由，，知，所以，，此时直线过焦点 .若，由直线的斜率公式得：，又代入得因此三点共线，直线过焦点 .即是过焦点的充要条件。
变式2 设是抛物线对称轴上的一个定点，过的直线交抛物线于两点，其纵坐标为，求证是定值。
证明：因为与抛物线交于两点，因此可设的方程为代入中消去得：，由韦达定理知（定值）变式3 设抛物线上面动点分别为，，且满足（为常数），问是否恒过来某一定点？解：当时，，的方程为将代入化简，整理得的方程为，即过定点 .当时，结论成立，（实际上时，同号，点在对称轴的同侧且，所以当时，必有）变式4 设抛物线的两动点，，满足（是常数），求中点的轨迹方程。
解：设的坐标为，则，，又在抛物线上，所以有，，则，将，代入化简得点的轨迹方程是 .由以上可知，对课本题进行联想、引申和改造，可以得到综合性强，形式新颖的命题，多思考、多训练可提高思维的广阔性与灵活性，培养探索创新的能力。
从离心率看圆锥曲线间的关系早在17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一个形状的新思想的影响下，法国天文学家开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述．他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指明抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆．从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆，都可以从其中的一个连续地变为另一个，从而辩证地看到了各类圆锥曲线间的关系．下面我们从离心率对圆锥曲线的形状的影响入手，来研究圆锥曲线间的关系，为了讨论这个问题，我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来．1．椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆按向量平移得到，即．作椭圆的半通径（即过椭圆焦点且垂直于长轴的半弦），用表示，易证，同时易知．故椭圆的方程可写成．类似地，将双曲线按向量平移得到，即．作双曲线的半通径（即过双曲线焦点且垂直于实轴的半弦），用表示，易证，同时易知．故双曲线方程可写成．对于抛物线，为半通径长，离心率，它也可写成，于是在同一坐标系下，三种曲线有统一方程，其中是曲线的半通径长，当，，时分别表示椭圆、抛物线、双曲线．2．从离心率看圆锥曲线间的关系设椭圆、双曲线、抛物线有相同的半通径，即统一方程中的不变，令离心率变化，在这种情况下，我们讨论曲线变化趋势．在同一坐标系下，作出这三种曲线如图所示，设，，分别是抛物线焦点、椭圆的左焦点和双曲线的右焦点，则有，，，所以．这说明点在点右侧，而点在点左侧．由此，我们来看三种曲线的位置关系（由曲线的对称性，只考虑第一象限内的情况），从统一方程不难看出，当任意取定时，设椭圆、抛物线和双曲线上对应点的纵坐标分别为，，，有．这说明，双曲线在抛物线上侧，而椭圆在抛物线下侧．下面我们进一步讨论圆锥曲线间的关系．（1）当离心率由小于1无限趋近于1时，．（符号“→”表示无限趋近于）．即．这说明椭圆的左焦点无限趋近于抛物线的焦点，且椭圆在第一象限内向上移动无限接近抛物线．又因为，所以．由于由小于1无限趋近于1，所以．这说明椭圆右焦点沿轴正向趋于无限远．因此可以看出，在椭圆的情况下，当时，椭圆的极限情况就是抛物线．（2）当离心率由大于1无限趋近于1时，，即．这说明双曲线右焦点无限接近于抛物线的焦点，且双曲线右支在第一象限内向下移动无限接近抛物线．又因为，所以．由于由大于1无限趋近于1，所以．这说明双曲线左焦点沿轴负方向趋于无限远．因此可以看出，在双曲线的情况下，当时，双曲线的极限情况就是抛物线．（3）在椭圆情况下，当时有，，，．故当时，椭圆的极限情况是以点为圆心、以为半径的圆．这个事实也可以从统一方程中，令，得到的就是这个圆的方程：．平面解析几何疑难解答◆解析几何学是怎样产生的？它要研究的基本问题是什么？在十七世纪，从封建社会内部产生出来的资本主义生产关系，处于它的上升时期，曾促进了社会生产的迅速发展。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《第三章 导数及其应用》归纳整合
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2．曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1)判断 P 点是否在曲线上； (2)如果曲线 y＝f(x)在 P(x0， f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)，可得方程为 x＝x0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的 切线斜率为 f′(x0)． 3． 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数， 熟记 基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会 给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变 形是优化解题过程的关键．
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(2)由 f(x)＝x3－3x2＋2 得，f′(x)＝3x2－6x. 由 f′(x)＝0 得，x＝0 或 x＝2. ①当 0<t≤2 时， 在区间(0， t)上 f′(x)<0， f(x)在[0， t]上是减函数， 所以 f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当 2<t<3 时，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
(x1，x2) －
x2 0 极小值
(x2，＋∞) ＋
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此时
a－ f(x)在0，
a2－8 上单调递增， 2
a－ 在 a＋ 在
a2－8 a＋ a2－8 ， 上单调递减， 2 2
a2－8 ，＋∞ 上单调递增． 2
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4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义 域，解决问题的过程只能在函数的定义域内进行，通过讨论导 数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上 为增(或减)函数的充分条件．
最新-高中数学《双曲线》文字素材2 新人教A版选修1-1 精品
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=. 8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
最新-人教A版高中数学选修11 专题222双曲线的简单几何性质 课件 共35张 精品
2.1.5 双曲线的简单几何性质
1．掌握双曲线的简单的几何性质， 2．能灵活的运用性质解决问题．
1.双曲线的定义是怎样的？ 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
知识导学
双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质
t;0，b>0)
9k k
9k k
把(3,9 2)代入②，得 k＝9，
故所求双曲线方程为 y2 －x2＝1. 81 9
(2)方法一 首先确定所求双曲线的标准类 型，可在图中判断一下点 P(2，－1)在渐近线 y＝－3x 的上方还是下方．如图所示，x＝2 与 y＝－3x 交点为 Q(2，－6)，P(2，－1)在 Q(2，－6)的上方，所以焦点在 x 轴上．
∴所求的距离为 d 3 5 3 ． 32 42
4．（已知双曲线 x2 ky2 1 的一个焦点是 ( 5, 0) ，则其渐近线的方程
为（ ）
A．
y
1 4
x
【答案】D
B． y 4x
C．
y
1 2
x
D． y 2x
【解析】双曲线 x2 y2 1 的一个焦点是 ( 5, 0) ， 1 k
∴1 1 5 ，即 k 1 ， ∴渐近线的方程为 y 2x ．
因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，离心率 e＝c＝ 13，
a3 渐近线方程 y＝±bx＝±2x.
a3
问题探究
探究2：与双曲线离心率相关的问题
例
2、已知 F1
，F2
高中数学 2.2双曲线及其方程课件 新人教A版选修1
例3 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1， F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲 线的标准方程。
变式 已知双曲线的焦距为10，双曲线上一 点P到两焦点F1、F2的距离的差的绝对值等 于8，求双曲线的标准方程.
Hale Waihona Puke 例4 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆 炸声比在B处晚2s，且声速为340m/s,求炮弹爆 炸点的轨迹方程。
焦点
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
（±c，0）
（±c，0）
（0，±c）
a.b.c的 关系
（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
m-1 > 2-m > 0 ∴1.5<m<2 变3、对1、2条件下，求焦点坐标。
解：（± 2m 3 ，0）
例2、已知双曲线 x y 1 上一点 P到 9 16 双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另一个焦点 的距离为 3或15 .
思考：
2
2
变式一、若把距离9改为3，则现在有几解？ 变式二、若把距离9改为7，则现在有几解？
F(0, ± c)
F ( ±c,0)
a.b.c的 关系
c2=a2+b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
归 纳 小 结
椭
定义
圆
双曲线
| |MF1 | － | MF2| | =2a
|MF1 | + | MF2 | =2a x2 y 2 2 1(a b 0) 2 标 准方 a b 程 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
最新整理高二文数 选修1-1 第2章 2.2 双曲线 Word版含解析.doc
第2章 2.2 双曲线看一看一、双曲线的有关概念(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线．(2)双曲线的焦点和焦距：双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.二、双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是2222=1(a>0,b>0)x y a b-,焦点F 1(,0)c －,F 2(),0c .双曲线中a 、b 、c 的关系是222c a b ＝＋．（2）双曲线方程有两种表达式,但总有0,0a b >>,判断双曲线所在的坐标轴要看2x 和2y 系数的符号,当2x 的系数为正时,焦点在x 轴,当2y 的系数为正时,焦点在y 轴.（3）在双曲线的标准方程里,a>b 不一定成立,要注意与椭圆中的,,a b c 的区别,在椭圆中有222a c b ＝＋,在双曲线中有222c a b ＝＋.三、双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0,b>0)y 2a 2－x2b 2＝1 (a>0,b>0)图形性质 焦点 ()12F (,0),0c F c －，12F (0)(0)c F c ，－，，焦距 12||2F F c ＝范围x a x a y ≥≤∈R 或－， y a y a x ≥≤∈R 或－，对称性x y 关于轴、轴和原点对称顶点 ()(,0),0a a －，(0)(0)a a ，－，，轴长实轴长＝2a ,虚轴长＝2b离心率e=(e>1)ca渐近线b y x a =±⋅a y x b=±⋅想一想1、理解双曲线的定义需要注意什么？2、如何用待定系数法求双曲线的方程？ 练一练 一、选择题1．【2017河南洛阳期末】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42．【2017河北唐山三模】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则C 的离心率为（ ） A.52 B. 52或5 C. 2 D. 53．【2017河北衡水押题卷】已知双曲线1C ： 2212x y -=与双曲线2C ： 2212x y -=-,给出下列说法,其中错误的是（ ） A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上 C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等4．【2017江西上饶二模】设点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的右焦点,点F 到渐近线的距离与双曲线的焦距之比为1:4,则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 30x y ±= B. 30x y ±= C. 150x y ±= D. 150x y ±=5．【2017山西运城4月模拟】已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的焦点到渐近线的距离为4,则双曲线C 的虚轴长为（ ）A. 4B. 8C. 45D. 256．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）A ． 221913x y -=B ．221139x y -=C ．2213x y -=D ． 2213y x -= 二、填空题7．【2017上海宝山区二模】已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =,则a =_______．8．【2017河北衡水摸底】已知点12,F F 分别是双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点, O 为坐标原点,点P 在双曲线C 的右支上,且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥,则双曲线C 的焦点的取值范围为__________．9．设P 是双曲线116922=-y x 上一点,M,N 分别是两圆：4)5(22=+-y x 和1)5(22=++y x 上的点,则||||PN PM -的最大值为____________．三、解答题10．已知双曲线的离心率等于2,且与椭圆221259x y +=有相同的焦点,求此双曲线方程．11．【2017安徽铜陵期中】已知双曲线22:14x C y -=, P 是C 上的任意点. （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为()5,0,求PA 的最小值.12．设,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线323y x =-与双曲线的右支交于,M N 两点,且在双曲线的右支上存在点D ,使OM ON tOD +=,求的值及点D 的坐标．乐一乐《悲伤的双曲线》如果我是双曲线,恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数,你就是那坐标轴 虽然我们有缘,能够生在同一个平面然而我们又无缘,恩~慢慢长路无交点为何看不见,等式成立要条件难到正如书上说的,无限接近不能达到注：如果我是双曲线---无限接近不能达到（重复一边）为何看不见,明月也有阴晴圆缺此事古难全,但愿千里共婵娟此事古难,但愿千里共婵娟。
【精编】人教A版高中数学选修1-1课件双曲线课件-精心整理
3
M
1的 满足
典 | MF1 | | MF2 | 2 则动点 M 的轨迹是（ ）
型 A.双曲线
B.双曲线的一个分支
例 题
B.C.两条射线
D. 一条射线
五 、
x2 y2 2、过双曲线 4 3 1 左焦点 F1 的
直线交双曲线的左支于M、N 两点，F2
典 为其右焦点，则| MF2 | | NF2 | | MN | ___
高 | PF1 | | PF2 | 等于（ ）
考 A. m a
B. 1 (m a)
2
C. m2 a2
D. m a
制作不易 尽请参考
六 、 走
3.设F1、F2
是双曲线
x2 9
y2 16
1
的两个
焦点，点 P 在双曲线上，且 F1PF2 60
求F1PF2 的面积______
线段F1F2的中点为原点建立直角
y
曲
坐标系
P
线 2.设点．设P（x , y）,双曲线的焦
的 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) F1
o F2 x
标 常数=2a
准 3.列式． |PF1 - PF2|= 2a
方 程
即| (x+c)2 + y2 -
(x-c)2 + y2 |= 2a
4.代点化简.
王彪
一、复习与回顾
1、椭圆的定义
平面内与两个定点 F1，F2 的距离之
和等于常数（大于| F1F2 |）的点轨
迹叫做椭圆
2、椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1
或
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双曲线的几何性质解读
1、 学习双曲线的渐近线时，要注意以下几点： （1） 明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分
别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线。
（2） 掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程式的方法。
最简单的方法是：把双曲
线标准方程式中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程。
（3） 掌握根据双曲线的渐近线方程求它的双曲线方程的方法。
简单的方法是：①如果两
条渐近线的方程为0Ax By ±=，那么可设双曲线的方程为
()()Ax By Ax By λ+-=；如果两条渐近线的方程为n
y x m =±，那么的双曲线方
程为
()222
2
0y
x m n
λλ-=≠，
（这里λ待定常数，其值可由题中的已知条件确定） 2、 注意特殊的双曲线
有两类特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质。
一类是等轴双曲线，其主要性质有：
a b =，离心率e =到两个焦点的距离的比例中项。
另一类是共轭双曲线，其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。
3、 重要结论 （1）
12,F F 是双曲线22
22
1y x a b
-
=的焦点，
P 是双曲线上的点，且12P F F θ∠=，则
12
2
cot
2
P F F S
b θ
∆
=，
（2）双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴
的弦最短，当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
（3）双曲线焦半径公式。
设(
)
00
,P y x 为双曲线22
22
1y
x a b
-
=()0,0a b >>上任一点，
焦点为
()()1
2
,0,,0,c c F F - 为离心率，则①当
P 点在可支上时，1
F P a x
|∣+ ＝，
20 F p a x ∣∣+ ＝-；
②当P 点在左支上时，1
2
, F F P a p a x x |∣-∣∣
- ＝-＝
⑷双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x 轴的弦长）为2
2
a
b 。
⑸处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。