第2章 单元复习 学案 江苏省启东中学 高中数学 必修五
【配套K12】江苏省启东市高中数学 第二章 数列单元复习学案(无答案)苏教版必修5
第二章 数列单元复习【知识点】（一）等差、等比数列的性质1.等差数列{a n }的性质（1）a m =a k +（m －k ）d ，d =km a a k m --. （2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立.（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列.（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S =n n a a 1+，S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）；若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，奇偶S S =n n 1-，S 2n －1=（2n －1）a n （a n 为中间项）.2.等比数列{a n }的性质（1）a m =a k ·q m －k .（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2.（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m.（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立.（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a +d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a +d ，a +3d .三个数成等比数列，可设为qa ，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为3qa ，q a ，aq ，aq 3. （三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：a n =a 1q n －1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列；当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列.当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.【典型例题】例1已知数列{a n }，构造一个新数列a 1，（a 2－a 1），（a 3－a 2），…，（a n －a n －1），…，此数列是首项为1，公比为31的等比数列. （1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .例2在等比数列{a n}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设b n=log2a n，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n；（3）试比较a n与S n的大小.例3已知{a n}是等比数列，a1=2， a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n－2， Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.例4 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b m c +…+n n n b m c 1 =（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .。
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章课时2等差数列(1)
课时 2 等差数列（1）教课目的明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a1,d, n 中的三个，求此外一个的问题；教课过程1， 2， 3，4， 5， 6；①10， 8， 6，4， 2，；②1 1 1 121， 212 ，22， 222 ， 23，232 ， 24， 242 ， 25 ③2， 2， 2，2， 2，④请同学们认真察看这些数列有什么共同的特色?能否能够写出这些数列的通项公式？1、等差数列定义：2、等差数列的通项公式：[ 例题剖析 ]例 1（ 1）求等差数列 8， 5， 2的第 20 项（2）－ 401 能否是等差数列－ 5，－ 9，－ 13的项 ?假如是，是第几项 ?例 2 在等差数列 {a n}中，已知 a 5＝ 10，a 12＝ 31，求首项a1与公差 d..例 3（ 1）在等差数列{a n}中，已知a5＝ 10， a15＝ 25，求 a25.（ 2）已知数列 {a n}为等差数列， a3＝5，a 7＝－3，求 a15的值 .4 4例 4 已知等差数列 {a n}中， a15＝ 33， a45＝ 153，试问 217 能否为此数列的项？假如说明是第几项；若不是，说明原因 .例 5 两个等差数列5， 8，11，和3， 7，11，都有100 项，那么它们共有多少相同的项？例 6 一个首项为 23，公差为整数的等差数列，假如前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？当堂练习1．等差数列 {a n}中，已知a1 1, a2 a54, a n 33,则n为（）3A． 48 B．49 C． 50 D． 512.已知等差数列a n的首项为1，从第 10 项开始比 1 大，则公差d的取值范围是（）25( A) d 18 ( B) d 318 3 8 3 ( C) d ( D) d75 25 75 75 75 25。
高二数学必修5第2章第2课时学案[2]
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高二数学必修5第2章第1课时学案2.1数列的概念与简单表示（二）［学习目标］1.了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；2.掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．［自学质疑］一．写出下列数列的通项公式：①2，5-，10，17- ，．．．； ②23，415，635，863，．．．； ③12，2，92，8，252，．．．； ④0.5．0.55，0.555，0.5555，．．．． ⑤112，134，158，1716，．．．；二．思考：已知在数列{}n a 中12n n a a +=+，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？概念理解：1．递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），以及任一项n a 与前面一项n a （或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做{}n a 的递推公式．2．数列的前n 项的和通常记为n S ，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．n S 与n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意验证1n =的情况． ［精讲点拨］例1．（１）若数列{}n a 中，12a =，且各项满足121n n a a +=-，写出该数列的前四项．（２）若数列{}n a 中，11a =，24a =，且各项满足212n n n a a a ++=+，则26是该数列的第几项？例2．已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =-，求该数列的通项公式．例3．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-．（１）求数列{}n a 的通项公式；（２）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式．[课堂小练]（１）已知数列{}n a 满足11a =，122n n n a a a +=+*()n N ∈，写出它的前5项，归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．（２）数列{}n a 的前n 项和n S 满足lg(1)1n S n +=+，求该数列的通项公式．[矫正反馈]导学练 第9课时。
【配套K12】江苏省启东市高中数学 第2章 数列 课时1 数列教案 苏教版必修5
课时1 数列教学目标理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；.教学过程首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50① 1，2，22，23，…，263② 15，5，16，16，28③ 0，10，20，30，…，1000④ 1，0.84，0.842，0.843，… ⑤ 请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.1．数列定义：2．数列的通项公式：思考：（1）{a n }与a n 有何区别和联系？（2）数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？3、数列的表示法（1）解析法 （2）列表法 （3）图象法4、数列的分类（1） 按项数分（2） 按项与项的大小分有限项： 无限项： 递增数列：a n+1>a n 递减数列：a n+1<a n 摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定（3）[例题分析]例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝n n ＋1 ； (2)a n ＝(－1)n·n 例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5.例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数 ⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33 ⑷ 5， 55，555，5555⑸225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a 小结：例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？（1）1)29(2+-=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n n a n（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几无界数列项，若不存在，请说明理由当堂练习1．已知数列 ,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1，则65是此数列中的（ ） （A ） 第48项 （B ） 第49项 （C ） 第50项 （D ） 第51项2．数列{}n a 中，,654,32,1321++=+==a a a 109874+++=a ……，那么__________10=a。
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章单元复习
单元复习【知识点】（一）等差、等比数列的性质1.等差数列 { a n } 的性质a m a k（ 1） a m=a k+（ m－ k） d， d= .m k（ 2）若数列 { a n} 是公差为 d 的等差数列，则数列{ λ a n +b}（λ、b 为常数）是公差为λd的等差数列；若 { bn} 也是公差为 d 的等差数列，则{ λ 1an+λ 2bn} （λ1、λ 2 为常数）也是等差数列且公差为λ 1d+λ 2d.（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 a k， a k+m， a k+2 m，构成的数列仍为等差数列，公差为 md.（4）若 m、n、 l、 k∈N*，且 m+n=k+l ，则 a m+a n=a k+a l，反之不建立 .（5）设 A=a1+a2+a3+ +a n，B=a n+1 +a n+2 +a n+3+ +a2 n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+ +a3 n，则 A、B、 C 成等差数列 .（6）若数列 { a n} 的项数为 2n（n∈N*），则 S 偶－ S 奇=nd，S偶=an 1， S2n=n（ a n+a n+1）S奇a n（a n、 a n+1为中间两项）；若数列 { a n} 的项数为2n－ 1（ n∈N* S偶=n 1，S2n－1=（ 2n－ 1）a n），则 S 奇－ S 偶 =a n，S奇n（a n为中间项） .2.等比数列 { a n } 的性质（1） a m=a k· q m－k.（ 2）若数列 { a n} 是等比数列，则数列{ λ1a n} （λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{ b n} 也是公比为 q2的等比数列，则 { λ1a n· λ2 b n} （λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为 q· q2.（ 3）下标成等差数列且公差为m 的项 a k， a k+m， a k+2 m，构成的数列仍为等比数列，m公比为 q .（4）若 m、n、 l、 k∈N*，且 m+n=k+l ，则 a m· a n=a k·a l，反之不建立 .（5）设 A=a1+a2+a3+ +a n，B=a n+1 +a n+2 +a n+3+ +a2 n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+ +a3 n，则 A、B、 C 成等比数列，设M=a1· a2· · a n， N=a n+1· a n+2· · a2n， P=a2n+1·a2n +2· · a3 n，则 M、 N、P 也成等比数列 .（二）关于等差、等比数列注意以下想法：如三个数成等差数列，可设为a－d， a， a+d；若四个符号同样的数成等差数列，知其和，可设为 a－ 3d， a－d， a+d， a+3d.三个数成等比数列，可设为a， a，aq，若四个符号q同样的数成等比数列，知其积，可设为 a ，a， aq， aq3.q3 q（三）用函数的看法理解等差数列、等比数列1.关于等差数列，∵a n=a1+（ n－1） d=dn+（ a1－ d），当 d≠0 时， a n是 n 的一次函数，对应的点（ n， a n）是位于直线上的若干个点.当 d＞ 0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜ 0 时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.2若等差数列的前n 项和为S n，则 S n=pn +qn（ p、 q∈R） . 当 p=0 时， { a n} 为常数列；当 p≠0 时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.关于等比数列：a n=a1q n－1.可用指数函数的性质来理解.当 a1＞ 0，q＞ 1 或 a1＜0， 0＜ q＜1 时，等比数列是递加数列；当 a1＞ 0，0＜ q＜ 1 或 a1＜ 0， q＞1 时，等比数列 { a n} 是递减数列 .当 q=1 时，是一个常数列 .当 q＜0 时，没法判断数列的单一性，它是一个摇动数列.【典型例题】例 1 已知数列 { a n} ，结构一个新数列 a1，（ a2－ a1），（a3－a2），，（ a n－a n－1），，此数列是首项为 1，公比为1的等比数列 .3（ 1）求数列 { a n} 的通项；（2）求数列 { a n} 的前n项和S n.例 2 在等比数列 { a n }（ n∈N*）中， a1＞ 1，公比 q＞ 0.设 b n=log 2a n，且 b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列 { b n} 是等差数列；（ 2）求 { b n} 的前 n 项和 S n及 { a n} 的通项 a n；（3）试比较 a n与 S n的大小 .例 3 已知 { a n} 是等比数列， a1=2， a3=18； { b n} 是等差数列， b1=2， b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列 { b n} 的通项公式；（ 2）求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的公式；（3）设 P n=b1+b4+b7+ +b3n－2， Q n=b10+b12+b14+ +b2n+8，此中 n=1， 2，，试比较P n与 Q n的大小，并证明你的结论.例 4 已知等差数列 { a n} 的首项 a1=1，公差 d＞ 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列 { b n} 的第二项、第三项、第四项 .（ 1）求数列 { a n} 与 { b n} 的通项公式；（ 2）设数列 { c n} 对随意正整数c1+c2+c3+ +c n=（n+1 ）a n +1 建立，n 均有mb2 m2 b3 m n 1b nb1此中 m 为不等于零的常数，求数列{ c n} 的前 n 项和 S n.。
苏教版高中数学必修五学案第二章第、课时——数列复习课课时教师
学习札记第15、16课时 数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络【自学评价】 （一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列(1)定义(2)通项公式n a =1a +（ ）d=k a +（ ）d=dn +1a -d(3)求和公式nd a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=(4)中项公式A=2b a + 推广：2n a =(5)性质①若m+n=p+q 则②若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。
③n n n n n s s s s s 232,,-- 成 数列。
等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构学习札记部分无理数列、含阶乘的数列等。
3. :适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法。
5.常用结论1） 1+2+3+...+n = _________ 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3）_________n +++=L 33312 4） ___________n ++++=L 22221235） __________()n n =+11(_______)()n n =+11226） (______)()p q pq q p =<-11【精典范例】一 函数方程思想在研究数列问题中的运用【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a n ｝，其中S 3=S 11，问此数列前几项和最大？ （2）等差数列｛a n ｝中，S 10=100，S 20=300，求 S 30。
江苏省启东中学2017-2018学年高中数学苏教版一学案：第二章函数复习课
第二章 函数第11课时 第2章复习课 主备人：蔡 罡 学案18一、 学习目标1.归纳函数定义域、值域、解析式问题、奇偶性与单调性的基本题型2。
能解决函数的一些综合问题二、 释疑拓展题型一：定义域、值域、解析式问题 【例1】（1）已知函数41)(2-+=x xx f ，若其定义域为]1,[+a a ，值域为]161,21[-,求a 的值.(2）已知221)1(x x xx f +=-,则=)1(f变式跟踪1：（1）若函数3412++=ax ax y 的定义域为R ,则实数a 的取值范围 。
(2）若函数1)1(21)(2+-=x x f 的定义域和值域都是[]b ,1，则b 的值为___________题型二：奇偶性与单调性问题【例2】已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，对任意的),0(,+∞∈y x 都有 1-()()(）y f x f y x f +=+，且.5)4(=f(1)求)2(f 的值; （2）解不等式.3)2(≤-m f变式跟踪2：（1)设函数)(x f 定义在)1,1(-上，对任意21,x x ，满足0)]()()[(2121>--x f x f x x 且)21()(a f a f ->，则a 的取值范围为（2）若)(x f 在),0()0,(+∞⋃-∞上为奇函数，且在),0(+∞上是单调增函数，0)2(=-f ，则不等式0)(<x xf 的解集为题型三:任意、存在题型【例3】已知函数m x x x g x x x f --=-=1)(,1)(，若对任意]3,1[1∈x ，存在]1,2[2-∈x ，使得)()(21x g x f ≥,则实数m 的取值范围是变式跟踪3：已知)(x f 定义在]1,1[-上单调递增的奇函数，且2)1(=f ，若对任意)(322],1,1[2x f ak k x ≥+--∈对所有的]23,0[∈a 恒成立,则k 的取值范围为题型四：函数综合题【例4】已知函数2)(+=x xx f 。
高二数学新教材苏教版必修5学案：第2章 2.3.3 第2课时 数列求和
第2课时 数列求和学习目标：1.掌握一些数列常见的求和方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等．(重点、难点)2.在求和过程中，体会转化与化归思想的应用.3.错位相减时的项数计算．(易错点)1．分组求和法若c n ＝a n ＋b n ，{a n }，{b n }，{c n }前n 项和分别为A n ，B n ，C n ，则C n ＝A n ＋B n ，以此可以对数列{a n }分组求和．2．错位相减法求和设数列{a n }为等比数列且公比q ≠1，则 S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n . 两式相减，(1－q )S n ＝a 1(1－q n )， 所以S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)．这种求和的方法叫错位相减法． 3．裂项相消法求和将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n 个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的．这种求和的方法叫裂项相消法．4．数列{a n }的a n 与S n 的关系：数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[基础自测]1．若a n ＝1n (n ＋1)，则数列{a n }的前10项和S 10＝________.[解析] ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.[答案] 10112．数列112，214，318，4116，…的前n 项和是________．[解析] S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋1－12n .[答案]n (n ＋1)2＋1－12n分组求和求和：S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n . [思路探究] 先分析通项a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2＝x 2n ＋1x 2n ＋2，再分组求和，注意x 的取值范围．[解] 当x ≠±1时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎨⎧4n ，x ＝±1，(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ，x ≠±1.[规律方法] 分组求和法的求和策略有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可.像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形.[跟踪训练]1．已知数列1＋1，1a ＋4，1a 2＋7，…，1a n －1＋3n －2，…，求其前n 项的和．[解] 设S n ＝(1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋7＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＋3n －2将其每一项拆开再重新组合得，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1a 2＋…＋1a n －1＋(1＋4＋7＋…＋3n －2)，当a ＝1时，S n ＝n ＋(3n －1)n 2＝(3n ＋1)n 2；当a ≠1时， S n ＝1－1a n 1－1a ＋(3n －1)n 2＝a －a 1－n a －1＋(3n －1)n 2.错位相减法求和n 1n n n [思路探究] 利用错位相减法求T n ，但本题需注意n 的范围． [解] T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n . 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，① 3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，② ①－②得：－2T n ＝1＋(4－3)＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1， ∴T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －123n －1(n ≥2)． 又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －123n －1(n ∈N *)．[规律方法]1．若c n ＝a n ·b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则{c n }的前n 项和可用错位相减法求得．2．用错位相减法求和时应注意：①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和．②注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号．提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和． [跟踪训练]2．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和S n .[解] S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①12S n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n ×12n ＋1＝1－12n －n ×12n ＋1，∴S n ＝2－12n －1－n2n .裂项相消法求和求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2. [思路探究] 由1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1逐项裂项相消求和． [解] ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1， ∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1 ＝34－2n ＋12n (n ＋1). [规律方法]1．裂项相消法的裂项方法 (1)1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1；(3)1n ＋1＋n＝n ＋1－n .2．如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项相消法求和．[跟踪训练] 3．求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n. [解] ∵11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.数列求和的综合应用[探究问题]1．如何求数列{(－1)n }的前n 项的和？[提示] 分n 为奇、偶数两类分别求数列{(－1)n }的和．2．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 与S n 间存在怎样的关系？如何由S n 求通项a n?[提示] 由S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a 1＝S 1， ∴a n ＝⎩⎨⎧S n －S n －1(n ≥2)，a 1(n ＝1).已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11＝6n ＋5. 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，则a 1＝2b 1＋d ＝11，a 2＝b 2＋b 2＋d ＝2b 1＋3d ＝17. 解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n＝3(n ＋1)·2n ＋1.所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式相减，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×[4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2]＝－3n ·2n ＋2.所以T n ＝3n ·2n ＋2.母题探究：1.(变条件)把例中的条件改为“数列{a n }是首项为2的等差数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝a n ·a n ＋1，数列{b n }是以12为首项的等比数列，且b 1b 2b 3＝164”，求数列{a n }，{b n }的通项公式． [解] 设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意得4a 1＝a 1(a 1＋d )， 解得d ＝2，所以a n ＝2n . 由b 1b 2b 3＝b 32＝164，解得b 2＝14， 从而公比q ＝b 2b 1＝12，所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.2．(变条件)本例中的条件改为“数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －b (a 是既不为0也不为1的常数)．”若{a n }是等比数列，求b .[解] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a n ＝S 1＝a －b .∵{a n }为等比数列，∴a 1，a 2，a 3成等比数列，∴a 22＝[(a －1)·a ]2＝a 1·a 3＝(a －b )·(a －1)·a 2，∵a ≠0且a ≠1，∴a －1＝a －b ，∴b ＝1. 经验证当b ＝1时，{a n }为等比数列， ∴b ＝1.[规律方法] (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列．(3)等比数列中用到的数学思想： ①分类讨论思想：利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论. ②函数思想：等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1（q n －1）（q ≠1）.设A ＝a 1q －1，则S n ＝A （q n －1）也与指数函数相联系.③整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解.1．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为( )A ．978B ．557C ．467D ．979A [由c 1＝a 1＋b 1，b 1＝0，知a 1＝1，设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，则c 2＝q ＋d ＝1，c 3＝q 2＋2d ＝2，解得q ＝2，d ＝－1，故a n ＝2n －1，b n ＝1－n ，故{c n }的前10项和为(1＋2＋22＋…＋29)＋(0－1－2－3－…－9)＝1－2101－2－9×(1＋9)2＝978.]2．已知a n ＝(－1)n n ，则S 2 017＝________.[解析] ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝1，…，a 2 015＋a 2 016＝1，a 2 017＝－2 017. ∴S 2 017＝1 008－2 017＝－1 009. [答案] －1 009 3．已知a n ＝1n 2＋3n ＋2，则S n ＝________.[解析] ∵a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2.[答案]12－1n ＋24．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是________．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，整理可得 13a n ＝－23a n －1， 即a na n －1＝－2， 故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1. [答案] a n ＝(－2)n －15．求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .[解] 当a ＝1时，S n ＝12n (n ＋1)；当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ，aS n ＝1＋2a ＋3a 2＋4a 3＋…＋nan －1，(1－a )S n ＝－1－1a －1a 2－1a 3－…－1a n －1＋na n＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a 2＋…＋1a n －1＋n a n ， ∴S n ＝a (a n －1)－n (a －1)a n (a －1)2(a ≠1)，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n (n ＋1)(a ＝1)，a (a n－1)－n (a －1)a n (a －1)2(a ≠1).由Ruize收集整理。
高中苏教版数学必修5 第2章 章末复习课课件PPT
(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以2ann－＋11－2an－n 2＝3. 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝2a－11＝2， 所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.
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等差数列、等比数列的判定方法 1定义法：an＋1－an＝d常数⇔{an}是等差数列；aan＋n 1＝qq为常 数，q≠0⇔{an}是等比数列. 2中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；a\o\al(2,n ＋1)＝an·an＋2an≠0⇔{an}是等比数列.
1，n＝1， ∴an＝13·43n－2，n≥2.
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数列通项公式的求法 1定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方 法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目. 2已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}
的通项an可用公式,
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求数列的通项公式
【例2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an； (2)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝13Sn，求an. 思路探究：(1)已知Sn求an时，应分n＝1与n≥2讨论； (2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解．
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3通项公式法：an＝kn＋bk，b是常数⇔{an}是等差数列；an ＝c·qnc，q为非零常数⇔{an}是等比数列.
4前n项和公式法：Sn＝An2＋BnA，B为常数，n∈N*⇔{an}是 等差数列；Sn＝Aqn－AA，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N* ⇔{an}是等比数列.
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1．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn. (1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章 课时12 数
课时12 数列的求和1．倒序相加法：将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。
如等差数列的求和公式()21na a S n n +=的推导。
2．错位相减法：这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{}n n b a ⋅的前n 项和，其中{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列。
例1求数列{}n n 2⋅的前n 项和n S3．分组求和法：将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和 例2 121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a ，求数列{}n a 的前n 项和n S4．公式法：利用已知的求和公式来求积，如等差数列与等比数列的求和公式。
再如下面几个重要公式（1）()21...321+=+++n n n ；（2）()212...531n n =-++++ （3）()12...642+=++++n n n ；（4）()()12161...3212222++=++++n n n n （5）()2333321...321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n例3求数列()()1,...23,12,1⋅--⋅n n n n 的和5．拆项（裂项）相消法例4 ()11+=n n a n ，求数列{}n a 的前n 项和n S例5 1412-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和n S常用技巧：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111；（2）()n k n k n k n -+=-+11 （3）()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++2111121211n n n n n n n 6．通项化归法 例6．求数列n ++++++...3211,...,3211,211,1的前n 项和n S练习：求数列5，55，555，5555，…前n 项和n S7．奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n 为奇数、偶数进行讨论，一般地，先求n S 2，再求12+n S ，且12212+++=n n n a S S例6若()()3411--=-n a n n ，求数列{}n a 的前n 项和n S8．利用∑符号求和：∑=++++=n i n i a a a a a 1321 例7（1）()∑==-20121n n（2）()∑==+10123k k。
苏教版高中数学必修五第2章复习课.docx
复习课数列课时目标综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．一、填空题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c2.已知等比数列{a n 11233＋a 4＋a 5＝________. 3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为________．4．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项为______________．5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是________． 6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于________．7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____________．9．如果b 是a ，c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且x ，y ，z 都是正数，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝______.10．等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝____________. 二、解答题11．设{a n }是等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项a n .12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．能力提升13．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋…＋k n .14．设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1 (n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1.1．等差数列和等比数列各有五个量a 1，n ，d ，a n ，S n 或a 1，n ，q ，a n ，S n .一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和d (或q )，问题可迎刃而解．2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．复习课 数 列答案作业设计 1．1解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.2．84解析 由题意可设公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3， 又a 1＝3，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×4×(1＋2＋4)＝84. 3．8解析 设项数为2n ，公比为q . 由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1.① S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n .②②÷①得，q ＝17085＝2，∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 1(1－q 2n )1－q ＝1－22n1－2，∴2n ＝8.4．a n ＝n ＋1解析 由题意a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，∴a 1＝2d ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35.∴d ＝1，a 1＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.5.34解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.6．132解析 ∵{a n }是各项不为0的正项等比数列，∴{b n }是等差数列． 又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2，∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，＝－(n －232)2＋2324∴当n ＝11或12时，S n 最大，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 7．2,4,8解析 设这三个数为a q ，a ，aq .由a q·a ·aq ＝a 3＝64，得a ＝4.由a q ＋a ＋aq ＝4q ＋4＋4q ＝14.解得q ＝12或q ＝2. ∴这三个数从小到大依次为2,4,8. 8．5解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12； S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11. 则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192， ∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5. 9．0解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为d ，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z＝d log m y 2xz＝d log m 1＝0.10．48解析 易知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝3S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝9，∴S 6S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12＝S 3·q 12＝3×24＝48. 11．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d . ∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d.∴b 1b 2b 3＝b 32＝18，∴b 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178b 1·b 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18.当⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0舍去)此时，b n ＝b 1qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18·4n －1＝22n －5. 由b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125－2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝5－2n . 当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18时，q 2＝116，∴q ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－14<0舍去此时，b n ＝b 1q n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3＝12na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a n ＝2n －3.综上所述，a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.12．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.13．解 由题意知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )． ∵d ≠0，由此解得2d ＝a 1.公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3.∴ak n ＝a 1·3n －1.又ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n ＋12a 1，∴a 1·3n －1＝k n ＋12a 1.∵a 1≠0，∴k n ＝2·3n －1－1，∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)－n ＝3n－n －1.14．(1)证明 由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t 3t.又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ，① 3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t .②①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0. ∴a n a n －1＝2t ＋33t，(n ＝2,3，…)． ∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列．(2)解 由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t ，得b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13.(3)解 由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列．于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋b 6(b 5－b 7)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－43·12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n ＋13＝－49(2n 2＋3n )．。
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章 课时6 等差数列的习题课
课时6 等差数列的习题课【知识点】1．等差数列的定义：等差数列的通项公式：等差数列的求和公式：2．性质小结：设{n a }是公差为d 的等差数列，那么：性质1：d m n a a m n )(-+=（mn a a d m n --=）。
性质2：若l k n m a a a a l k n m N k l n m +=++=+∈则且,*,,,,。
注意：①等差数列的求和公式可化为n d a n d S n )2(212-+=，当d ≠0时，此式可看作二次项系数为2d ，一次项系数为)2(1d a -，常数项为0的二次函数。
②由此可知：当d>0时，n S 有最小值；当d<0时， n S 有最大值。
③图象：抛物线x d a x d y )2(212-+=上的一群孤立点。
性质3： 数列前n 项和n S 与通项为n a 之间的关系是⎩⎨⎧∈≥-==-*)2(,)1(,11N n n S S n S a n nn 且，当11不符合--=n n n S S a a 的表达式时，通项公式要分段表示。
二、例题讲解例1等差数列{n a }的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =（m ≠n ）, 求前m+n 项和n m S +。
例2一个首项为正数的等差数列，前5项之和与前13项之和相等，那么这个数列的前几项之和最大？例3已知等差数列{n a }中，满足,3,231-==d a 求数列{}n a 的前n 项和n S例4（1）一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项的和之比为32:27,求公差。
（2）项数为奇数项的等差数列,奇数项之和为44，偶数项之和为33，求项数及中间项。
小结：例5已知数列{n a }的前n 项和为（1）n n S n -=22（2）12++=n n S n ，求数列{n a } 的通项公式。
【提高与巩固】1． 等差数列{n a }的公差为21,且前100项和145100=S ,求99531a a a a ++++ 的值。
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章课时3等差数列(2)
课时 3 等差数列（2）教课目的明确等差中项的观点，进一步娴熟掌握等差数列的通项公式及推导公式教课过程问题：假如在 a 与 b 中间插入一个数A，使 a、A、b 成等差数列，那么 A 应知足什么条件？假如 a、A、b 成等差数列，那么 a 叫做 a 与 b 的等差中项 .a＋ b1、A＝2 a， A， b 成等差数列 .2、在一等差数列中，有以下性质（1）a n a ma n a m）；(n m) d （ dmn（2）若m, n,l , k N *, 且 m n k l ,则 a an aka 。
m l[ 例题剖析 ]例 1 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.例 2 已知数列的通项公式为 a n＝ pn＋ q，此中 p、 q 是常数，且 p≠ 0，那么这个数列能否必定是等差数列？假如是，其首项与公差是什么？例 3 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.例 4 已知数列 {a n}为等差数列， a1＝ 2，a 2＝ 3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12 项是新数列的第几项？（2）新数列的第 29 项是原数列的第几项？例 5 在等差数列 {a n}中，若 a3＋ a8＋ a13＝ 12， a3a8a13＝ 28，求a n的通项公式.当堂练习1. 在等差数列 a n 中， a1 a4 a7 39 ， a2 a5 a8 33 ，则 a3 a6 a9=2．已知方程(x2 2x m)( x 2 2x n) 0 的四个根构成的一个首项为1的等差数列，则4| m n |。
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章 课时9 等比数列的前n项和(1)
课时9 等比数列的前n项和（1）
教学目标
会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的综合能力，提高学生的数学修养
教学过程
等比数列求和公式：
（1）当q＝1，S n＝na1
（2）当q≠1时，S n＝a1（1－q n）
1－q①
或S n＝a1－a n q
1－q②
若已知a1，q，n，则选用公式①；当已知a1，q，a n时，则选用公式②.
[例题分析]
例1求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
例2一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人?.
例3在a ，b 之间插入10个数，使它们同这两个数成等比数列，求这10个数的和.
例4等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：
（1）通项公式a n ；（2）前100项之和S 100
例5设数列｛a n ｝，a 1＝
6
5
，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β且满足3α－αβ＋3β＝1.
（1）求证:｛a n －2
1
｝为等比数列； （2）求a n ；
（3）求｛a n ｝的前n 项和S n .
当堂练习
1．等比数列｛a n｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为2、等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项和为。
高中数学 第二章 第2课时1学案 苏教版必修5 学案
听课随笔第2课时【学习导航】 知识网络 学习要求 1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，2. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1．如果a n ≠0，且a n +12=a n a n +2对任意的n ∈N *都成立，则数列{a n }___________.2．等比数列的递增和递减性. 在等比数列{a n }中(1)若a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1则数列递增，(2)若a 1＞0,0＜q ＜1,或a 1＜0，q ＞1 ,则数列递减；(3)若q =1，则数列为_____________；(4)若q ＜0，则数列为____________.3．对于k 、l 、m 、n ∈N *，若m n p q +=+，则_________________；【选修延伸】【例1】（１）在等比数列{a n }中，是否有a 2n＝a n-1 a n +1（ｎ≥２）？（２）如果数列{a n }中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有a 2n ＝a n-1 a n +1，那么，{a n }一定是等比数列吗？ 【解】 【例2】如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长． 【解】 追踪训练一 １．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数． ２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ听课随笔中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ， Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．3．在等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9，那么a 3等于( )A.4B.23C.916D.2 4.等比数列{a n }的公比为2，则432122a a a a++的值为( )A.41B.21C.81D.1【选修延伸】【例3】数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ ⑴求证{1}n a +是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式。
高中数学必修五全套学案(2)(K12教育文档)
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§1。
1.1 正弦定理学习目标1。
掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备∆CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。
如图,在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ，AB =c ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =,sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==． (探究2：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =, 同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．新知：正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1)在ABC ∆中,一定成立的等式是（ )．A ．sin sin a A bB = B 。
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单元复习
【知识点】
（一）等差、等比数列的性质
1.等差数列{a n }的性质 （1）a m =a k +（m －k ）d ，d =
k
m a a k
m --.
（2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是
等差数列且公差为λ1d +λ2d .
（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .
（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立.
（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列.
（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇
偶S S =
n
n a a 1+，S 2n =n （a n +a n +1）
（a n 、a n +1为中间两项）；
若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，奇
偶S S =
n
n 1
-，S 2n －1=（2n －1）a n （a n 为中间项）.
2.等比数列{a n }的性质 （1）a m =a k ·q m －
k .
（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为
q 的等比数列；若
{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2
为常数）也是等比数列，公比
为q ·q 2.
（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m .
（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立.
（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，
则M 、N 、P 也成等比数列.
（二）对于等差、等比数列注意以下设法：
如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a +d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a +d ，a +3d .三个数成等比数列，可设为
q
a
，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为
3
q a ，q a ，aq ，aq 3
. （三）用函数的观点理解等差数列、等比数列
1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.
若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.
2.对于等比数列：a n =a 1q n －
1.可用指数函数的性质来理解.
当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.
当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. 【典型例题】
例1已知数列{a n }，构造一个新数列a 1，（a 2－a 1），（a 3－a 2），…，（a n －a n －1），…，此数列是首项为1，公比为
3
1
的等比数列. （1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .
例2在等比数列{a n}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设b n=log2a n，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.
（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n；
（3）试比较a n与S n的大小.
例3已知{a n}是等比数列，a1=2，a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.
（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；
（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n－2，Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，
其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.
例4 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.
（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意正整数n 均有
11b c +22mb c
+323b m c +…+n
n n b m c 1 =（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .。