2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第二章 §4 导数的四则运算法则 精品
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案
高考八大高频考点例析[对应学生用书P52][考题印证][例1](陕西高考)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为________．[解析]观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n(n＋1)2.[答案]12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n(n＋1)2[跟踪演练]1．类比“在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2”，猜想“在空间直角坐标系中，球心在原点、半径为r的球面的方程为________________________________________________________________________”．解析：类比平面直角坐标系中圆的方程，从形式上易得空间直角坐标系中球面的方程为x2＋y2＋z2＝r2.答案：x2＋y2＋z2＝r22．(湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．解析：2位回文数有9个，4位回文数与3位回文数个数相等，都有9×10＝90个．而每一个4位回文数都对应着10个5位回文数，故5位回文数有9×10×10＝100×9个，可推出2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个．答案：909×10n3．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________．解析：观察规律可知第n个等式可为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)[考题印证][例2](陕西高考)设{a}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4n成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．[解](1)设数列{a}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋na4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2. (2)证明：法一：对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 法二：对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 1(1－q k )1－q ，S k ＋2＋S k ＋1＝a 1(1－q k ＋2)1－q ＋a 1(1－q k ＋1)1－q＝a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1(1－q k )1－q －a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q＝a 11－q[2(1－q k )－(2－q k ＋2－q k ＋1)] ＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．[跟踪演练]4．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 中有一个不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a ，b 都不能被5整除． 答案：B5．如图，几何体ABCDEP 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ∥EB ，且P A ＝2BE ＝4 2.(1)证明：BD ∥平面PEC ；(2)若G 为BC 上的动点，求证：AE ⊥PG .证明：(1)连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，又OF ∥P A ，且OF ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形， ∴EF ∥BD .又∵EF 平面PEC ，BD 平面PEC ， ∴BD ∥平面PEC .(2)连接BP ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°， ∴PB ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，P A 平面APEB ， ∴平面ABCD ⊥平面APEB ，∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ， ∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE ， ∴AE ⊥平面PBC ， ∵G 为BC 上的动点， ∴PG 平面PBC ，∴AE ⊥PG .6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．7．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N ＋)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N ＋，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意，有a 1＝1，b 1＝－1， b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2(13，13)．∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对于n ∈N ＋，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上.[考题印证][例3] (北京高考)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． [解] (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g ′(x )＜0，故g (x )单调递减； 当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g ′(x )＞0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．[跟踪演练]8．(新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D.[－2,0]解析：y ＝|f (x )|的图像如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a >0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意．当a ＝0时成立．当a <0时，有k ≤a <0，其中k 是y ＝|－x 2＋2x |在原点处的切线斜率，显然k ＝－2，于是－2≤a <0.综上，a ∈[－2,0]．答案：D9．(广东高考)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.解析：y ′|x ＝1＝0，即当x ＝1时，k ＋1x＝k ＋1＝0，解得k ＝－1.答案：－110．(江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2.答案：2[考题印证][例4] (新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0. [解] (1)f ′(x )＝e x －1x ＋m.由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2) 证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增，又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋1)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.[跟踪演练]11．(大纲版全国卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D.[3，＋∞)解析：f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，因为函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数， 所以f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立， 即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立． 设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )<0， 故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝3，故选D. 答案：D12．判断函数f (x )＝e x ＋e －x 在[0，＋∞)上的单调性．解：f ′(x )＝e x－e －x＝(e x )2－1e x.∵当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1，∴f′(x)≥0，∴f(x)＝e x＋e－x在[0，＋∞)上为增加的．13．(新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅲ)若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2].[考题印证][例5](江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．[解](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b ＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2·(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.[例6](浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．[解](1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a .②当a ≥1时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0,2]上单调递增，故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.③当0<a <1时，设x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ， 则0<x 1<x 2<2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． 列表如下：由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ， f (x 2)＝1－2(1－a )1－a ， 故f (x 1)＋f (x 2)＝2>0， f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a )1－a >0. 从而f (x 1)>|f (x 2)|.所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}． (ⅰ)当0<a <23时，f (0)>|f (2)|.又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a )＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋2－3a >0，故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .(ⅱ)当23≤a <1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2)＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋3a －2，所以当23≤a <34时，f (x 1)>|f (2)|.故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a . 当34≤a <1时，f (x 1)≤|f (2)|. 故|f (x )|max ＝|f (2)|＝3a －1. 综上所述，|f (x )|max＝⎩⎪⎨⎪⎧3－3a ，a ≤0，1＋2(1－a )1－a ，0<a <34，3a －1，a ≥34.[跟踪演练]14．(重庆高考)设f (x ) ＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， 故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.15．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R .(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.解：(1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1， ∴f (x )min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx 2，∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴g (x )max ＝g (e)＝1e <12，∴f (x )min －g (x )max >12，∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[考题印证][例7] (重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[跟踪演练]16．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，以i －1<t ≤i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)．根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－t 2＋14t －40)e t 4＋50， 0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋50， 10<t ≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．问同一年内哪几个月份是枯水期？ (2)求一年内该水库的量大蓄水量(取e ＝2.7计算)．解：(1)①当0<t ≤10时，V (t )＝(－t 2＋14t －40)e x4＋50<50，化简得t 2－14t ＋40>0.解得t <4或t >10. 又0<t ≤10，故0<t <4.②当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋50<50，化简得(t －10)(3t －41)<0. 解得10<t <413.又10<t ≤12，故10<t <12. 综上所述，得0<t <4或10<t ≤12.故知枯水期为1月、2月、3月、11月、12月共5个月． (2)由(1)知V (t )的最大值只能在[4,10]内达到． 令V ′(t )＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表可知，V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2＋50＝108.32(亿立方米)． 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.[考题印证][例8] (湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D.4＋50ln 2(2)(江西高考)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 [解析] (1)令v (t )＝0，得7－3t ＋251＋t＝0， 解得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝7t －32t 2＋25ln(1＋t )⎪⎪⎪40＝7×4－32×42＋25ln 5＝4＋25ln 5，故选C.(2)S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1， S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59， 所以S 2<S 1<S 3. [答案] (1)C (2)B[跟踪演练]17．(湖南高考)若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵∫T 0x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3. 答案：3 18.∫20π(sin x －2cos x )d x ＝________. 解析：∫20π (sin x －2cos x )d x＝(－cos x －2sin x )|20π＝－1. 答案：－119．由直线x ＝0，x ＝2与抛物线y 2＝4x 围成的封闭区域的面积是________． 解析：由y 2＝4x 得y ＝±4x ，∴S ＝2∫204x d x ＝4∫2x d x ＝4×23x 32|20 ＝83×232＝1623. 答案：1623[考题印证][例9] (1)(新课标全国卷Ⅰ)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD.1－12i(2)(山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋iD.5－i(3)(北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D.第四象限[解析] (1)1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i. (2)因为(z －3)(2－i)＝5，所以z ＝52－i ＋3＝2＋i ＋3＝5＋i ，所以z ＝5－i.(3)(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ， 对应的复平面内点坐标为(3，－4)． [答案] (1)B (2)D (3)D[跟踪演练]20．(安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1 D.3解析：复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.答案：D21．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由题意得，a ＝1时，复数z ＝(1－2i)(1＋i)＝3－i ，所以复数z 对应的点在第四象限，若复数z ＝(a ＋2)＋(a －2)i 对应的点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，a －2<0， 解得－2<a <2，a ＝1不一定成立． 答案：A22．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数⎝⎛⎭⎫2z ＋z 2·z ＝________. 解析：对于2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ，故⎝⎛⎭⎫2z ＋z 2·z ＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案：2模块综合检测⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(六) 见8开试卷(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝(1＋i)(－2＋3i)(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－5＋iD.－5－i解析：z ＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i ＝－5＋i ，∴z ＝－5－i. 答案：D2．用反证法证明命题：“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线．则正确的序号顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→②D.②→③→①解析：反证法的步骤是：反设—归谬—结论．结合本题，故选B. 答案：B3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出一般结论为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋1答案：C4．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A.π2 B ．0 C ．－1D.1解析：∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2cos π2＝0.故选B. 答案：B5．(新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D.p 3，p 4解析：∵复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．答案：C6．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数的图像在点x ＝1处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝x －1 D.y ＝x ＋1解析：当x ＝1时，y ＝0；y ′＝ln x ＋1，k ＝1，所以切线方程为y ＝x －1. 答案：C7．(湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛-11f(x)g(x)dx ＝0，则称f(x)，g(x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f(x)＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D.3解析：对于①，⎠⎛-11sin 12x cos 12xdx ＝⎠⎛-1112sin xdx ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛-11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠⎛-11(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，⎠⎛-11x·x 2dx ＝⎠⎛-11x 3dx ＝0，所以③是一组正交函数．选C .答案：C8．已知函数f(x)(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1<0， ∴g (x )在R 上单调递减， ∵f (x 2)<x 2＋1，∴f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1.又g (2)＝f (2)－2＝1， ∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2， 即x >2或x <－ 2. 答案：C9．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3D.2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 故所求面积S ＝∫20(－x 2＋2x ＋1)d x －∫201 d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪ 20－x ⎪⎪⎪20＝43. 答案：B10．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014，则a 2 014＝( )A ．2 015×2 013B ．2 015×2 014C ．2 015×1 008D.2 015×1 009解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2 018＝2 015×1 009.故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________． 答案：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．已知1＋2i a ＋b i ＝1＋i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.解析：∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝32b ＝12，∴ab ＝34.答案：3413．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调减区间是________． 解析：由f ′(x )＝x 2－4x ＋3<0得1<x <3，即函数f (x )的单调减区间为(1,3)， 又∵函数f (1＋x )的图像是由f (x )的图像向左平移1个单位得到， ∴函数f (1＋x )的单调减区间为(0,2)． 答案：(0,2)14．将正偶数按下表排成5列：那么解析：从2数起，2到16一组，一组两行，一行4个，也就是8个连贯偶数一组，所以从2数起，到2 014共有1 007(2 014除以2等于1 007)个偶数．然后1 007除以4等于251余3.也就说明2 014为第252行从右往左数第3个数，就是一组里第2行的最左边第二个，即2 014在第252行第2列．答案：252 2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.解：(1)依题意知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……，∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 17．(本小题满分12分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x .令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3. 当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0， 故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x ) ＞0， 故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0， 故g (x )在(3，＋∞)上为减函数；从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值，g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3.18．(本小题满分14分)(安徽高考)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *. (1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px ； (2)数列{a n }满足a 1>c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－pn .证明：a n >a n ＋1>c 1p.证明：(1)用数学归纳法证明：①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1p >1＋p ·1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k .因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p. 所以n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n . 综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，并且f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p⎝⎛⎭⎫1－c x p >0，x >c 1p .由此可得，f (x )在1,p c ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ， 从而a 1>a 2>c 1p.故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p成立，则 当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p. 所以n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．。
北师大版数学选修2-2全套教案
第一章 推理与证明课题：合情推理（一）——归纳推理课时安排：一课时课型：新授课 教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程： 一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
2、 三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒ 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m 均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。
2017-2018学年高中数学选修2-2全册教案北师大版149P
2017~2018学年北师大版高中数学选修2-2全册教案汇编目录归纳推理 (1)类比推理 (4)演绎推理 (7)分析法1 (11)分析法2 (14)综合法1 (17)综合法和分析法的应用 (20)反证法1 (23)反证法2 (27)数学归纳法 (31)第一章推理与证明 (35)变化的快慢与变化率——平均变化率 (39)变化的快慢与变化率——瞬时变化率 (44)瞬时速度与瞬时加速度 (47)导数的概念及其几何意义 (50)计算导数（一） (54)计算导数（二） (57)导数的加法与减法法则 (60)导数的乘法与除法法则 (63)导数的乘法与除法法则2 (66)简单复合函数的求导法则 (69)导数与函数的单调性（一） (73)导数与函数的单调性（二） (79)导数与函数的单调性（三） (83)函数的极值 (86)函数的最大值与最小值（二） (91)导数的实际应用（一） (95)导数的实际应用（二） (98)导数的实际应用（三） (103)导数应用小结与复习 (109)曲边梯形的面积 (114)汽车行驶的路程 (119)曲边梯形的面积 (124)微积分基本定理 (129)微积分基本定理 (131)4.3.1平面图形的面积 (136)4.3.1平面图形的面积 (140)4.3.2简单几何体的体积 (144)定积分的简单应用 (147)定积分 (151)数系的扩充与复数的概念 (155)复数的几何意义 (160)复数复数的乘法与除法 (163)复数的加法与减法 (166)第五章数系的扩充与复数的引入 (169)归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第二章4二项分布含解析
§4二项分布[对应学生用书P28］某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为45，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题．问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验,那么一共进行了多少次试验?每次试验有几个可能的结果?提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中（成功）,未投中（失败）．问题2：X＝0表示何意义?求其概率．提示：X＝0表示3次都没投中，只有C03＝1种情况，P(X＝0）＝C错误!错误!3。
问题3：X＝2呢？提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C错误!＝3种情况，每种情况发生的可能性为错误!2·错误!。
从而P(X＝2）＝C错误!错误!2·错误!.二项分布进行n次试验,如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功"和“失败"；(2）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p;（3）各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝C k n p k（1－p)n－k(k＝0，1，2，…,n)．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p 的二项分布,简记为X~B（n，p)．1．P（X＝k）＝C错误!·p k（1－p）n－k。
这里n为试验次数,p为每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立．错误!服从二项分布的随机变量的概率计算［例1]亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0。
6,试问3个投保人中：（1)全部活到70岁的概率；（2)有2个活到70岁的概率；(3）有1个活到70岁的概率．[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的,利用二项分布公式可求．[精解详析] 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的四则运算法则 第一课时参考教案
§4 导数的四则运算法则第一课时 导数的加法与减法法则一、教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数和、差导数公式的应用教学难点：函数和、差导数公式的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x （二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xx y +-=。
高中数学北师大版选修2-2教案-§2 微积分基本定理_教学设计_教案
教学准备
1. 教学目标
了解牛顿-莱布尼兹公式
2. 教学重点/难点
了解牛顿-莱布尼兹公式
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
（一）、复习：定积分的概念及计算
（二）、探究新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
后,汽车需走过21.90米才能停住.
（三）、小结：本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式. （四）、课堂练习：
（五）、课后作业：五、教后反思：。
高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第二章 §4 导数的四则运算法则
§导数的四则运算法则已知()＝，()＝.问题：()，()的导数分别是什么？提示：′()＝，′()＝.问题：试求()＝＋的导数．提示：因Δ＝Δ＋Δ＋(Δ)，＝＋＋Δ，当Δ→时，′()＝＋.问题：()的导数与()，()的导数有何关系？提示：()的导数等于()，()的导数和．问题：对于任意函数()，()都满足(()＋())′＝′()＋′()吗？提示：满足．导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[()＋()]′＝′()＋′()，[()－()]′＝′()－′().已知函数()＝，()＝.问题：[()·()]′＝′()·′()成立吗？提示：不成立，因为[()·()]′＝()′＝，而′()·′()＝·＝.问题：能否用()和()的导数表示()·()的导数？如何表示？提示：能．因′()＝，′()＝，(()())′＝，有(()())′＝′()()＋()′()．问题：对于其他函数还满足上述关系吗？提示：满足．导数的乘法与除法法则()若两个函数()和()的导数分别是′()和′()，则[()()]′＝′()()＋()′()′＝.()[()]′＝′()．．注意()()的导数是′()()与()′()之和；的导数的分子是′()()与()′()之差，分母是()的平方．．[()()]′≠′()′()，′≠.．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数之积．[例]求下列函数的导数：()＝－－＋；()＝＋；()＝·；()＝.[思路点拨]结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．[精解详析]()′＝(－－＋)′＝()′－()′－′＋′＝－－.()′＝(＋)′＝()′＋()′＝＋).()′＝()′·＋·( )′＝·＋· .()′＝＝＝.[一点通]解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套模块综合检测 含解析 精品
阶段质量检测(六) 模块综合检测 [考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝(1＋i)(－2＋3i)(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－5＋i D ．－5－i2．用反证法证明命题：“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的序号顺序为( )A ．①→②→③B ．③→①→②C ．①→③→②D ．②→③→①3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出一般结论为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋14．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A.π2B ．0C ．－1D ．15．(新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 46．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数的图像在点x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋17．(湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．38．已知函数f(x)(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)9．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3D ．210．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014，则a 2 014＝( )A ．2 015×2 013B ．2 015×2 014C ．2 015×1 008D ．2 015×1 009答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是____________________________________________________________________.12．已知1＋2ia ＋b i＝1＋i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.13．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调减区间是________． 14．将正偶数按下表排成5列：那么三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．17．(本小题满分12分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．18．(本小题满分14分)(安徽高考)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *. (1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px ； (2)数列{a n }满足a 1>c 1p，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－pn. 证明：a n >a n ＋1>c 1p.答 案1．选D z ＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i ＝－5＋i ，∴z ＝－5－i. 2．选B 反证法的步骤是：反设—归谬—结论．结合本题，故选B. 3．选C4．选B ∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2cos π2＝0.故选B. 5．选C ∵复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题． 6．选C 当x ＝1时，y ＝0；y ′＝ln x ＋1，k ＝1，所以切线方程为y ＝x －1.7．选C 对于①，⎠⎛1－1sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛1－112sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，⎠⎛1－1x·x 2d x ＝⎠⎛1－1x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数．选C .8．选C 令g(x)＝f(x)－x ，则g ′(x)＝f ′(x)－1<0，∴g(x)在R 上单调递减，∵f (x 2)<x 2＋1，∴f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1. 又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2， 即x >2或x <－ 2.9．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 故所求面积S ＝∫20(－x 2＋2x ＋1)d x －∫201 d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪ 20－x ⎪⎪⎪20＝43. 10．选D 5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2018＝2 015×1 009.故选D.11．在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．解析：∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝32b ＝12，∴ab ＝34.答案：3413．解析：由f ′(x )＝x 2－4x ＋3<0得1<x <3，即函数f (x )的单调减区间为(1,3)， 又∵函数f (1＋x )的图像是由f (x )的图像向左平移1个单位得到， ∴函数f (1＋x )的单调减区间为(0,2)． 答案：(0,2)14．解析：从2数起，2到16一组，一组两行，一行4个，也就是8个连贯偶数一组，所以从2数起，到2 014共有1 007(2 014除以2等于1 007)个偶数．然后1 007除以4等于251余3.也就说明2 014为第252行从右往左数第3个数，就是一组里第2行的最左边第二个，即2 014在第252行第2列．答案：252 215．解：(1)依题意知函数f (x )的定义域为{x |x >0}，∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……，∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 17．解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x .令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x ) ＞0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数；从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值，g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3.18．证明：(1)用数学归纳法证明：①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1p >1＋p ·1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p.所以n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立． 再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，并且f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p⎝⎛⎭⎫1－c x p >0，x >c 1p . 由此可得，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫c 1p ，＋∞上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ， 从而a 1>a 2>c 1p.故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式a k>a k＋1>c 1p成立，则当n＝k＋1时，f(a k)>f(a k＋1)>f(c 1p)，即有ak＋1>a k＋2>c1p.所以n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n>a n＋1>c 1p均成立.。
高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第二章 计算导数(第4讲)
4．基本初等函数的导数公式：
函数
导数
函数
导数
■合作探究（对学、群学）
例1:（1）求函数 在x=2处的导数；
（2）求函数 在x=a处的导数；
（3）求函数 的导数。
【教学流程】
■自主学习（课前完成，含独学和质疑）
阅读教材内容，完成下列问题：
1．函数f(x)在x=x0处的导数的定义是。
2．求函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤：
（1）求函数的改变量 _______________
（2）求平均变化率 _______________
（3）取极限得导数 _______________
例2:（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）求过曲线 上点P 且与过点的切线垂直的直线方程。
例3：求下列函数的导数：
（1）y=3 (2) (3) (4) (5)
■知识总结（评价提升）
1.讨ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ“导函数”与“函数在一点x0处的导数”的区别与联系。
2.根据函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤写出求函数y=f(x)导函数的步骤。
A.2B. C.－1D.0
3.曲线3x2－y＋6=0在x=－ 处的切线的倾斜角是（）
A. B.－ C. πD.－ π
4．设曲线 在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（）
A．（1，1）B．（－1，1）C．（ , ）D．（- , ）
5.函数y= 图像上一点P，以P为切点的切线L的倾斜角范围是__________
6.求函数 的导函数 ，并利用导数 求 ， 的值。
高中数学北师大版选修2-2第二章《习题2—4》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版选修2-2第二章《习题2—4》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.了解导数概念的实际背景;
2.通过函数图像直观理解导数的几何意义;
3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数;
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数.
2学情分析
3重点难点
利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【讲授】导数的概念及其运算
知识梳理
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f′(x0)表示,记作
f′(x0)= =li .
(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x 0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
2.函数y=f(x)的导函数
(2)如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f′(x):f′(x)= ,则f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数.
3.基本初等函数的导数公式。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案
§2微积分基本定理[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛12x d x 的值． 提示：⎠⎛12x d x ＝32.问题3：求F (2)－F (1)的值． 提示：F (2)－F (1)＝12×22－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？ 提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )| b a 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫b a f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40][例1] 计算下列各定积分： (1)∫10(2x ＋3)d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x )d x ；(3)∫31⎝⎛⎫2x －1x 2d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴∫0－π(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )| 0－π＝1－e－π. (3)∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2， ∴∫31⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x | 31＝7＋13＝223. [一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎛1e.1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln e －ln 1＝1. 答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ； (3)∫21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x＝x 33|21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x＝(－cos x )|π－sin x |π0＝2.(3)∫21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211x d x ＝12x 2|21＋ln x|21＝12×22－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：(1)20π⎰ sin 2x 2d x ；(2) ⎠⎛23(2－x 2)·(3－x )d x . 解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π2 ＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛23(6－2x －3x 2＋x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝⎛⎭⎫6×3－32－33＋14×34－⎝⎛⎭⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨] 按f (x )的分段标准，分成⎣⎡⎦⎤0，π2，⎣⎡⎦⎤π2，2，[2,4]三段积分求和． [精解详析]图像如图．⎠⎜⎛2π2⎠⎛04f (x )d x ＝20π⎰sin x d x ＋22π⎰d x ＋⎠⎛24(x －1)d x＝(－cos x ) |20π＋x|22π＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |42＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. [一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56. 答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |－1＋13x 3|10＝cos 1－53.[例3] 已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值． [精解详析] f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝⎛⎭⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t |x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________.解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪10＝k －1＝2 013，∴k ＝2 014. 答案：2 0147．已知函数f (a )＝∫a 0sin x d x ，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f (a )＝∫a 0sin x d x ＝－cos x |a＝－cos a ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx |10＝a 2＋b ＝1， 所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．[对应课时跟踪训练(十五)]1．下列积分值等于1的是( ) A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x 解析：∫101d x ＝x ⎪⎪10＝1.答案：C2．(福建高考)⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD.e ＋1解析：⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2) |1＝(e 1＋1)－e 0＝e.答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C.答案：C4．函数F (x )＝∫x 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________.解析：∫a－a x 2d x ＝x 33| a －a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3.答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a 03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1. 答案：17．求下列定积分： (1)∫212x 2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x . 解：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x＝∫21(2x ＋1x＋1)d x ＝∫212x d x ＋∫211x d x ＋∫211d x ＝x 2 |21＋ln x |21＋x |21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π02sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) |π0＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m /s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2 |200＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.。
《学案导学设计》高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 2
1
【学习要求】
1．理解导数的概念以及导数和变化率的关系．
本 课
2．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义．
时 栏
3．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
目
开 【学法指导】
关
通过导数的定义体会其中蕴涵的逼近思想，利用数形结合思
想进一步直观感受这种思想．
2
填一填·知识要点、记下疑难点
答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，
本 课
导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
时
栏 目
问题3
导数在实际问题中有什么意义？
开 关
答 导数可以刻画事物变化的快慢．
6
研一研·问题探究、课堂更高效
例1
蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝
120 t＋5
＋
15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单
课 时
有一个交点，和曲线只有一个交点的直线
栏
目 和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线
开
关 是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
11
研一研·问题探究、课堂更高效
例2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变
化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像．
根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，
的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
13
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练2 (1)根据例2的图像，描述函数h(t)在t3和t4附近增
(减)以及增(减)快慢的情况．
解 函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：感悟导数的运算法则问题
感悟导数的运算法则问题熟练掌握导数的运算是学好导数的前提，也是近年高考考查的一个方面，这部分主要考查公式的运用和运算法则以及综合应用。
一、求导公式以及导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：（1）sin y x x =（2）ln 21x x y x =-+； 分析：仔细观察和分析所给函数表达式的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数的求导公式可以迅速解决一类简单函数的求导问题。
若不直接具备求导法则条件，可先进行适当的恒等变形。
解析：（1）///(sin )y x x =+sin cos x x x =++。
（2）///21(1)ln ln ()(2)2ln 21(1)x x x x x x y x x +-=-=-++ 211ln 2ln 2(1)x x x x +-=-+。
评注：运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数的基本步骤如下：（1）分析函数()y f x =的结构和特征；（2）选择恰当的求导法则和导数公式求导；（3）整理得结果。
二、导数运算在解析几何中的应用例2 在抛物线21y x x =+-上取横坐标分别为11x =与23x =的两点，过这两点引割线，在抛物线上哪一点处的切线平行于所引的割线？分析：要求平行于所引割线的切线，则切线的斜率应与所引割线的斜率相等。
解析：将11x =与23x =代入抛物线方程，得11y =211y =，则所引割线的斜率与切线斜率均为2121y y k x x -=-11131-=-=5。
设符合题意的切点坐标为00(,)x y ，∵/21y x =+，∴0215x +=，∴02x =，代入抛物线方程得05y =， 故在抛物线上过点(2,5)处的切线平行于所引的割线。
评注：导数不仅有求斜率的功能，而且还有求点的坐标的功能。
三、导数计算的创新应用例3 求满足下列条件的函数()f x 。
（1）()f x 是三次函数，且(0)3f =，/(0)0f =，/(1)3f =-，/(2)0f =；（2）/()f x 是一次函数，2/()(21)()1x f x x f x --=。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：导数的创新应用
导数的创新应用有好多数学问题，利用函数导数求解，可以使得有些数学问题得到简化．下面选解几例．一、求数列的n 项和例1 已知x≠0，x≠－1，求数列1，2x ，3x 2，…，nx 1-n ，…的前n 项和．分析：根据题特点，可构造等式1 + x + x 2+ x 3+ … + x n=x x n ---111，求导即可． 解：当x≠0，x≠－1时，1 + x + x 2+ x 3+ … + x n=x x n ---111，两边都是关于x 的函数，求导得：1+ 2x + 3x 2+ …+ nx 1-n ='---)11(1x x n =21)1()1(1x nx x n n n -++--． 评注：这样的问题可以通过错位相加(减)求和，但运用导数运算更加简明．二、求组合数的和例2 求和：C 1n + 2C 2n + 3C 3n + … + nC n n ．分析：根据题特点，可构造等式(1 + x)n = 1 + C 1n x + C 2n x 2+ C 3n x 3+ … + C n n x n ，求导即可．解：由二项展开式，得：两边求导，得：n(1 + x)1-n = C 1n + 2C 2n x + 3C 3n x 2+ … + nC n n x1-n ． 令上式x = 1，得：C 1n + 2C 2n + 3C 3n + … + nC n n = n·21-n ． 评注：：利用组合数的性质或构造概率模型都可以求解，但运算量都比求导麻烦．三、证明不等式例3 证明：321sin (0)x x x x x x -++>>∈R ，．分析：构造函数，求导，再用单调性即可解决．证明：构造32()1f x x x x =-++，则2()321f x x x '=-+．该二次式的判别式4120∆=-<，()0f x '>∴，()f x ∴是R 上的增函数．0x >∵，()(0)1f x f >=∴，而sin 1x ≤，321sin x x x x -++>∴．评注：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用(0)1f =架桥铺路，使问题得解.四、方程根的问题例4求证方程xlgx ＝1在区间（2，3）有且仅有一个实根.分析：可构造函数，利用导数法解决．解：设y ＝f(x)＝xlgx －1，∴y′＝lgx ＋lge ＝lgex ，当x ∈（2，3）时，y′＞0，∴f(x)在（2，3）上为增函数，又f(2)＝2lg2－1＝lg0.4＜0，f(3)＝3lg3－1＝lg2.7＞0，∴在（2，3）内xlgx －1＝0有且仅有一个实根.评注：本题是通过构造函数f(x)＝xlgx －1，利用导数判断函数f(x)在区间(2，3)上的单调性及函数f(x)在两个端点的值的符号进行求解的.一般地，如果函数在区间(a ，b)上具有单调性，那么，当f(a)f(b)＜0时，方程f(x)＝0在区间(a ，b)有唯一解；当f(a)f(b)＞0时，方程f(x)＝0在区间(a ，b)无实数解．。
《学案导学设计》高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 2
§2导数的概念及其几何意义一、基础过关1．函数f(x)＝x2－1在x＝1处的导数是() A．0 B．1C．2 D．以上都不对2．设函数f(x)＝3＋2，且f′(－1)＝3，则a等于() A．－1D．13. 已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′()与f′()的大小关系是()A．f′()>f′()B．f′()<f′()C．f′()＝f′()D．不能确定4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是() A．(0,0) B．(2,4)C．(，) D．(，)5．设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是()A．1 B．－1D．－26．曲线f(x)＝－在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－2二、能力提升7．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝. 8．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝.9．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为．10．一质点按规律s＝s(t)＝2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s 时的瞬时速度为8 m，求常数a的值．11．求过点P(－1,2)且与曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．12．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．三、探究与拓展13．设函数f(x)＝x3＋2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．14．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图像的大致形状：(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．答案1．C2345 6 7．38.3910．解Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt.由题意知，在t＝2 s时，瞬时速度为s′(2)＝＝4a，故4a＝8，所以a＝2.11．解曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率f′(1)＝＝(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.12．解(1)由错误!解得错误!或错误!.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴f′(x)＝＝＝(Δx＋2x)＝2x.∴f′(－2)＝－4，f′(3)＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.13．解∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(＋－9x0－1)＝(3＋20－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴＝3＋20－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3＋20－9.即f′(x0)＝3＋20－9.∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.14．解相应图像如下图所示．。
高中数学第二章概率4二项分布2教案北师大版选修2_
4 二项分布一、教学目标：1、知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
2、过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =.称A 与B 独立 4 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验5．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．（二）、探析新课：例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次∴从低层到顶层停不少于3次的概率3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率． 解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=．答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=） 解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=．∴()1()10.2n P B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得，lg 0.2lg 0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-，∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384例4．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是（三）、课堂小结：本节课学习了n次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用（四）、课堂练习：练习册第60页练习1、3（五）、课后作业：课本第56页习题2-4中A组2、5 B组中题目。
【数学】高中数学北师大版选修22配套备课资源第2章42
【关键字】数学4.2导数的乘法与除法法则一、基础过关1．函数y＝的导数是( )A. B.C. D.2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )A．－1 B．－C．2 D．03．设曲线f(x)＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0笔直，则a等于( ) A．2 B. C．－D．－24．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )A．e2 B．e C. D．ln 25．曲线f(x)＝在点(1,1)处的切线方程为________．6．设f(x)＝aex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________.7．求下列函数的导函数：(1)f(x)＝(x2＋7x－5)sin x；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝.二、能力提升8．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A. B.C. D.9．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[，]C．[，2] D．[，2]10．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值为________．11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程．12．已知偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．三、探究与拓展13．已知曲线C1：y ＝x2与曲线C2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C1和C2都相切，求直线l 的方程．答案1．B 2.B 3.D 4.B 5.x ＋y －2＝0 6.17．解 (1)f ′(x)＝(x2＋7x －5)′sin x ＋(x2＋7x －5)(sin x)′＝(2x ＋7)sin x ＋(x2＋7x －5)cos x.(2)f ′(x)＝ ＝.(3)f ′(x)＝(x ＋2sin x －2x)′x －＋(x ＋2sin x －2x)·′ ＝(1＋2cos x －2xln 2)x －－(x ＋2sin x －2x)x －. 8．D 9.D 10. 11．解 ∵y ′＝2x ＋1，∴直线l1的方程为y ＝3x －3.设直线l2与曲线y ＝x2＋x －2的切点为B(b ，b2＋b －2)， 则l2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b2－2. ∵l1⊥l2，∴2b ＋1＝－，b ＝－. ∴直线l2的方程为y ＝－x －. 12．解 ∵f(x)的图像过点P(0,1)，∴e ＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e ＝ax4－bx3＋cx2－dx ＋e. ∴b ＝0，d ＝0，∴f(x)＝ax4＋cx2＋1. ∵函数f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， 可知切点为(1，－1)，∴a ＋c ＋1＝－1.① ∵f ′(1)＝＋， ∴＋＝1.②由①②解得a ＝，c ＝－. ∴函数y ＝f (x )的解析式为 f (x )＝52x 4－92x 2＋1.13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② 因为两切线重合， 所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 4.1
本
课
研一研
时 栏
目
练一练
开
关
填一填 研一研 练一练
4．1 导数的加法与减法法则
【学习要求】
本 1．理解导数的加减法法则．
课
时 栏
2．运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数．
目 开
【学法指导】
关
应用导数的运算法则可以解决比较复杂的函数的求导问题，简
化求导过程，体现了数学中的转化思想.
又fπ4＝ 2，∴所求切线方程为y＝ 2.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
填一填 研一研 练一练
本 1．函数f(x)＝sin x＋x的导数是
课 时
A．f′(x)＝cos x＋1
栏
目 B．f′(x)＝cos x－1
开
关 C．f′(x)＝－cos x＋1
D．f′(x)＝－cos x＋x
(A )
本 解析 ∵(ex)′＝ex.设切点坐标为(x0， ex0 )，则过该切点的切
课 时 栏
线斜率为
e
x
0
，令e
x
0
＝
e x 0 －0 x0－0 .
目
开 关
即x0·e x 0 ＝ e x 0 ，∴x0＝1.∴切点坐标为(1，e)．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
填一填 研一研 练一练
本
课 1．导数公式和导数的运算法则是计算导数的重要工具．
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的概念及其几何意义 第二课时参考教案
§2 导数的概念及其几何意义第二课时 导数的几何意义（一）一、教学目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数的概念及求法。
（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为xy ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。
这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。
如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。
直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。
该切线的斜率就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。
函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。
函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
1、导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.2、导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
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§4导数的四则运算法则[对应学生用书P21]已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2.问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x . 问题2：试求Q (x )＝x ＋x 2的导数．提示：因Δy ＝Δx ＋2x Δx ＋(Δx )2，ΔyΔx ＝1＋2x ＋Δx ，当Δx →0时，f ′(x )＝1＋2x .问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？ 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数和．问题4：对于任意函数f (x )，g (x )都满足(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )吗？ 提示：满足．导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ).已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2.问题1：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )成立吗？提示：不成立，因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4，而f ′(x )·g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3. 问题2：能否用f (x )和g (x )的导数表示f (x )·g (x )的导数？如何表示？提示：能．因f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x ，(f (x )g (x ))′＝5x 4，有(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．问题3：对于其他函数还满足上述关系吗？ 提示：满足．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ). (2)[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．注意f (x )g (x )的导数是f ′(x )g (x )与f (x )g ′(x )之和；f (x )g (x )的导数的分子是f ′(x )g (x )与f (x )g ′(x )之差，分母是g (x )的平方． 2．[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x ).3．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数之积．[对应学生用书P22][例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x 2＋log 3x ； (3)y ＝x 2·sin x ； (4)y ＝e x ＋1e x －1.[思路点拨] 结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋6′＝4x 3－6x －5. (2)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(3)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x ·sin x ＋x 2·cos x .(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.[一点通] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．下列求导运算中正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD.(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x ，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故D 错，故选B.答案：B2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B.163C.133D.103解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4， 解得a ＝103.答案：D3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D.ln 2解析：f ′(x )＝x ·1x ＋ln x ＝1＋ln x ，因为f ′(x 0)＝2，即1＋ln x 0＝2， 所以ln x 0＝1，x 0＝e. 答案：B4．求下列函数的导数． (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝lg x －1x2；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋cos x －x ·sin x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. (3)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.[例2] (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． [精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． [一点通](1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，然后根据其他条件列方程，求出切点，再求切线方程．5．曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率是( ) A ．4 B ．5 C ．6D.7解析：由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′| x ＝2＝7，故选D.答案：D6．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333 C. 3D.393解析：因为y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393，故选D.答案：D7．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D.y ＝3x解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0， ∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(0)＝－3， ∴所求切线方程为y ＝－3x ，故选B. 答案：B8．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R .若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式．解：f ′(x )＝1－ax 2，由导数的几何意义得f ′(2)＝3，于是a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上， 可得f (2)＝2－82＋b ＝－2＋b ＝7，解得b ＝9.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．[对应课时跟踪训练(八)]1．若f ′(x )＝f (x )，且f (x )≠0，则f (x )＝( ) A ．a x B ．log a x C ．e x D.e －x答案：C2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s 1＝t 3－2t 2＋t 和s 2＝3t 2－t －1，则在t ＝2时两个物体的瞬时速度的关系是( )A ．甲大B ．乙大C ．相等D.无法比较 解析：v 1＝s ′1＝3t 2－4t ＋1，v 2＝s ′2＝6t －1，所以在t ＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．答案：B3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析：设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x ＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0>0，所以a ＝2－1x 0<2.答案：B4．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x (x ＋3)2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x (x ＋3)2D.3x 2＋6x (x ＋3)2解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2·(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x(x ＋3)2.答案：A5．函数y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3的导数为________． 解析：y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，y ′＝3x 2－2x 3. 答案：3x 2－2x36．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ⇒f ′(e)＝－1e. 答案：－1e7．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1； (2)y ＝x tan x ； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝3ln x ＋a x (a >0，且a ≠1)．解：(1)∵y ＝x ·1x －x ＋1x －1＝－x ＋1x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x ′＝－12x＋－12x x＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (2)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫x －sin x 2cos x 2′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′ ＝1－12cos x .(4)y ′＝(3ln x ＋a x )′＝3x＋a x ln a .8．设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝a ·e x ＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x ＋b x，根据题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a e ＋b ＝e ，f ′(－1)＝a e －b ＝1e ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.。