概率统计2007期末
2007级理工科概率统计期末考试试题B机答案
B 卷 第 1页 共2页华侨大学07～08学年第一学期《概率统计》期末考试试卷(B 卷) 考试日期：2008年 月 日上午8：30－10：30一、填空题（每空3分，共30分）1. 已知随机事件A ，B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P ．2. 社会上定期发行某中奖劵，中奖率为p .某人每次购买一张，若没有中奖，接着再买一张，直到中奖为止，X 为总共购买的奖券张数，则对1,2,k = ，==)(k X P ，EX = .3. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K=),(y x f ⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它。
,0;0,10),1(x y x x y K 4. 设随机变量Y X ,满足 ()4,()1,D X D Y ==28)23(=-Y X D ，则XY ρ= ． 5. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .6. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，3211)22(3ˆX k X kX -++=μ是μ的无偏 估计量，则常数=k .7. 设随机变量()~0,2X U ，则2X Y =的概率密度函数为 . 8. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得 样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为 .9. 原假设0H 为真时，作出拒绝0H 的决策，称为犯第 类错误.B 卷 第 2页 共2页二、(10分) 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一件合格品被误认为是次品的概率是0.02；一件次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.三、(10分) 学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分.根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占10％、70％、20％.现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率.四、(15分) 设二维随机变量( X , Y )的联合密度函数为：⎩⎨⎧+∞<<<<=+-.,0,0,10,),()(他其y x be y x f y x试求(1)常数b ； (2) X 和Y 各自的边缘密度函数；(3)函数),max(Y X U =的分布函数.五、(15分) 设总体X 的概率密度为(1),(0,1),(,)0,(0,1),x x f x x θθθ⎧+∈=⎨∉⎩ 其中1θ>-为未知参数.已知12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本.求：(1)未知参数θ的矩估计量；(2)未知参数θ的最大似然估计量；(3))(X E 的最大似然估计量.六、(10分)国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在区间[2000,4000]（单位：吨）上服从均匀分布，若每出售一吨，可得外汇3万美元，如销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元，问应组织多少货源，才能使平均收益最大？七、(10分) 某电子产品的一个指标服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15个产品，测得该指标的样本均值为2.60，样本标准差为1.20．(1) 取显著性水平α =0.05，问是否可以认为该指标的平均值显著地不等于2？ (2) 求该指标的方差的置信水平为0.95的置信区间．附常用分布的分布表值：(2)0.9772Φ= 9680.0)856.1(=Φ 0.0250.05 1.96, 1.645z z ==1448.2)14(025.0=t , ()0.0515 1.7531t = 629.5)14(,119.26)14(2975.02025.0==χχB 卷 第 3页 共2页华侨大学07-08第一学期 概率统计期末考试（B 卷）答案一、填空题：（每空3分，共30分）1．62.0； 2．()11k p p --⋅，1p； 3．24； 4．0.5； 5．0.9544； 6．4；7．⎩⎨⎧<<=；他其)(0,)40(/25.0)(y yy f 8．上限为 15.2630； 9．一．二、【10分】设A 为被查后认为是合格品的事件，B 为抽查的产品为合格品的事件. …………… 2分9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ，…………… 4分.998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P…………… 4分三、【10分】 设i X 为第i 位学生的得分)100,2,1( =i ，则总得分∑==1001i i X X ，且9.1)(=i X E29.0)(=i X D 199.1100)(=⨯=X E29.0100)(⨯=X D …………… 6分由中心极限定理，)29190180()29190200()200180(-Φ--Φ=<<X P 936.01)856.1(2=-Φ= ……… 4分四、【15分】（本大题(1)-(2)小题各6分，(3)小题3分）(1)()()101,x y f x y dxdy dx bedy+∞+∞-+-∞==⎰⎰⎰()1101x y b e dx e dy b e +∞---==-⎰⎰,故111b e-=-(2)()()10,01,10,xx y X e be dy x f x e-+∞-+-⎧= <<⎪=-⎨⎪ ⎩⎰其它，B 卷 第 4页 共2页()()10,0,0,x y y Y bedx e y f y -+-⎧= <⎪=⎨⎪ ⎩⎰其它.(3) 由于()()(),X Y f x y f x f y =⋅，因此X 和Y 相互独立，故()()()()()()(),U X Y F u P U u P X u Y u P X u P Y u f u f u =≤=≤≤=≤≤=⋅从而当u <时，()0U F u =.当01u ≤<时，()()()()211.1u uuU X Y e F u f x dx f y dy e---==-⎰⎰当1u ≥时，()()()101uuU X Y F u f x dx f y dy e -==-⎰⎰，综上()()210,0,1,1,11,.u U u u e F u u e e u --- <⎧⎪-⎪= 0≤<⎨-⎪⎪- 1≤⎩X 与Y相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X =. …………… 本大题每小题各5分五、【15分】（1） 矩估计量12ˆ1XX θ-=- …………… 6分 （2）极大似然估计量11ˆ11ln ni i X n θ==--∑…………… 6分 （3）)(X E 的极大似然估计量∑=-=++=ni in X X E 11ln 112ˆ1ˆ)(ˆθθ …………… 3分六、【10分】B 卷 第 5页 共2页设组织t 吨货源时，收益为()()3,,3,,3,4,.t t X t t X t W X X t X X t X t X t >⎧ >⎧⎪==⎨⎨-- ≤- ≤⎪⎩⎩又()~2000,4000X U ，则()1,20020000,.X x f x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它 …………… 4分从而()()()()2400020004374000200020001000tt t X t x t t t E W X W x f x dx dx dx t +∞-∞-==+=-+-⎰⎰⎰，易知当()()70500t dE W X tdt=-=即3500t =时，平均收益最大.故应组织3500吨货源. ……… 6分七、【10分】(1)设2:,2:10≠=μμH H，则(14)X Y t =，且拒绝域D 为:1448.2)14(15/2025.0=>-=t S X T1.93652.1448X =≈<， 因此不能拒绝0H ，不可以认为该指标的平均值显著地不等于2； …………… 5分 (2)因为222(1)(14)n S χσ- ，令2220.9750.0252(1)(14)(14)n S χχσ-<<则该指标的方差的置信水平为0.95 的置信区间为22220.0250.975(1)(1),(0.7719,3.5815)(14)(14)n S n S χχ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． …………… 5分。
概率论与数理统计2007—2008学年第一学期期末考试试卷及参考答案与评分标准
2007-2008学年第一学期期末考试试卷考试科目：概率论与数理统计 得 分：学生所在系： _________ 姓名 ______________ 学 号：______________________（考期：2008年1月22日，闭卷，可用计算器）一、 （15分）一串0,1数字（独立同分布）组成的序列中1的概率p 代表了某种有用的 信息，由于某种原因需要对其保密。
现对该串数字进行随机加密，对序列中的每一个数字抛 一枚硬币（每次正面出现的概率为〃），若抛出的为正面，则原序列的数字不变，若抛出的 为反面，则原序列中相应的数字由工变成1-工（即0变成1, 1变成0）。
加密后的序列可 以公布，其中1的概率p*可以估计出来。
若知道〃的值，就可以从加密后的序列中的1的频 率为〃*计算出原序列的p,所以〃称为“密钥”。
（1） 现己知p = 0.7 ,如果“密钥” "=0.4,试求p ；（2） 试说明为什么均匀硬币（7 = 0.5）不适合用来加密。
二、 （15 分）设随机变量 X 满足：| X |< 1, P （X = -1） = 1/8, P （X = 1） = 1/4 ,而且, X 在（-1, 1）内任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。
试求：（1） X 的概率分布函数F （x ） = P （X < x ）；（2）X 取负值的概率； （3） X 的数学期望项X ）。
三、（20分）二维随机变量（X,F ）的密度函数为:（1）试求系数A = ? ； （2） X 与Y 是否独立?（3）试求Z = X + Y 的密度函数心（z ）；(4) 试求W (X|X + y = l)of(x, y)=（而-（35）3 > 0, > > 0)其他四、（20分）设样本（X“X2，・・・,X〃）抽自正态总体X ~N（", 1）,々为未知参数（1）试求0 = P（X>2）的极大似然估计0"（结果可用（D（.）的形式表示）;（2）写出日的（1一。
07级概率论与数理统计期末复习课件
(B)A
2
,A3
,A
相互独立
4
(D)A
2
,A3
,A
两两独立
4
(3)假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30% ，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则 取到的是一等品的概率为（ ）
（A）2/3 （B）1/3 （C）3/5 （D）2/5
(4)做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p，
则在第n次成功之前恰失败m次的概率( ).
对于任一随机事件A,规定一个实值函数P( A),
A F.如果P( A)满足下列三个公理： (1)(非负性) P( A) 0; (2)(规范性) P() 1; (3)(可列可加性) 如果事件A1, A2,
两两互不相容，那么
P(Ai ) P( Ai ),
i 1
i 1
则称P( A)是事件A的概率。
x
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)Cnn-+1m-1pn (1 p)m (C)Cnn+mpn (1 p)m
(B)pn (1 p)m (D)Cnn-+1m-1pn-1(1 p)m-1
(5)设A, B是两个随机事件,且0 P( A) 1, P(B) 0,
P(B | A) P(B | A),则必有( ).
( A)P( A | B) P( A | B) (B)P( A | B) P( A | B)
广州大学2007至2008学年第二学期概率论与数理统计期末考试试题A
广州大学2007至2008学年第二学期概率论与数理统计期末考试试题A学院领导审批并签名A 卷广州大学2007-2008学年第二学期考试卷课程：概率论与数理统计考试形式：闭卷考试题次一二三四五六七八总分分数15 15 12 10 16 12 1010100得分评卷人一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1 对于任意两个事件A与B,必有P(A-B)=( C )A. P(A)-P(B) BP(A)-P(B)+P(AB) C P(A)-P(AB) D P(A)+P(B)2.某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ D ）。
A. 0.76B. 0.4C.0.32 D. 0.53.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( C )A f(x)单调不减 B C D4.设随机变量与相互独立，且，服从于参数为9的泊松分布，则（C ）。
A. –14B. –13C.40 D. 416.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为若X与Y独立,则( A )二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）（1）设A、B为互不相容的随机事件则（0.9）（2）三个人独立地破译密码，他们能译出的概率分别为、、，此密码能被译出的概率为（3/5）。
（3）已知随机变量，且，则（3）。
（4）设和是相互独立的两个随机变量，且服从（－1，2）上的均匀分布，，则（1/2），（19/4）。
（5）设随机变量和相互独立，，，令，则（），（），的概率密度函数为（）。
三、（本大题共2小题，每小题6分，总计12分）1．袋子内放有两个伍分、三个贰分和伍个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率。
解法1：。
6分解法2：。
6分2. 甲、乙是位于某省的二个城市，考察这二城市六月份下雨的情况，以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件，根据以往的气象纪录知, ,求和.解: 。
2007-2008(1)期末考试试卷(B)(概率统计)
考试课程： 班级： 姓名： 学号：------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 2 页)1）求b a ,应满足的条件；2）若X 与Y 相互独立，求b a ,的值。
7已知连续型随机变量),(Y X 的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它情况00,404),(x y x Axyy x f ，求：1）常数A ；2）边缘概率密度)(y f Y 。
8 设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它情况010)1(),(x x x f βββ，其中β未知，且1->β。
求1）β的矩估计量；2）β的极大似然估计量。
三 应用题（每小题8分，共16分）1 已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X ，现随机地抽取9个试件进行抗压试验（单位Pa 510），测得样本均值50.457=x ，样本方差2222.35=s 。
已知2230=σ，求总体均值μ的95％的置信区间。
（注：8331.1)9(,2622.2)9(,645.1,96.105.0025.005.0025.0====t t z z ）2某中电子元件要求其寿命不得低于10小时，今在生产的一批元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为10.2小时，样本标准差为0.5小时，设元件寿命总体服从正态分布，问在 显著水平05.0=α下这批元件是否合格？ （注：0639.2)24(,7081.1)25(,7109.1)24(025.005.005.0===t t t ，0595.2)25(025.0=t ）四 证明题（共6分）设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自总体X 的一个样本，设μ=EX ，2σ=DX ，其中∑==n i i X n X 11，212)(11∑=--=n i iX X n S ，证明：22)(σ=S E 。
青岛理工大学概率统计期末试卷—B(附答案)
学号：姓名：班级：..........................................................密.......................................................封...........................................................线..........................................................专业本科各专业年级2007级班2008~2009学年第 1 学期概率论与数理统计课程期末试卷试卷类型：B 卷青岛理工大学试卷纸共 4 页第 1 页试题要求：1、试题后标注本题得分；2、试卷应附有评卷用标准答案，并有每题每步得分标准；3、试卷必须装订，拆散无效；4、试卷必须..........................................................密.......................................................封..........................................................线....................................................................................................................密.......................................................封..........................................................线....................................................................................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................2008年下学期概率统计试卷(B)参考答案1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 发生, B , C 中至少有一个不发生表示为(空1) .2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y . 则P {Y =2}=(空2) . 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4} =41×(0+21+31+41)=4813. 3. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 则常数c = (空3) . 概率}0|1{≠<X X P =(空4) .解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++=所以3516c =. 所求概率为P {X <1| X 0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 4. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计{|2|P X Y +≥12}=(空5) .解 {2}2()()22(4)E X Y E X E Y +=+=⨯+-=,{2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-⨯840.5124=-⨯⨯⨯=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤2411236=. 5. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X N μσ 的样本, 且Y 1231134X X kX =++为μ的无偏估计量, 则常数k =(空6) . 解 要求1231111()3434E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.1.设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A) ()()()P A P AB P AB =+. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C) ()()()P A B P A P B -=-. (D) ()()()P AB P A P B =.解 由文氏图易知本题应选(D).2. 设事件A 与B 独立, 则下面的结论中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P P P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).3. 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为随机变量X 的分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A) 0()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-. (C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).4. 设随机变量X 服从标准正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=. 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) /2u α . (B) 1/2u α- . (C) (1)/2u α-. (D) α-1u . 解 答案是(C).5. 设连续型随机变量X 的概率密度为f (x ), 则31Y X =+的概率密度为g (y )为( ).(A)111()333f y -. (B) 3(31)f y +. (C) 3()1f y +. (D) 1133()f y -.解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). 6. 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布，则().E X np =(C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解 )1,1(~-U X , 则3112212)()(22==-=a b X D . 选(B). 7. 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D). 8. 已知X 1,X 2,…,X n 是来自总体2(,)X N μσ 的样本, 则下列结论中正确的是( ).(A) ().E X n μ= (B) 2().D X σ=(C) 22().E S σ= (D) 以上全不对.解 选(C).9. 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 则下列结论中正确的是( ).(A) X +Y 服从标准正态分布. (B) X 2+Y 2服从2χ分布.(C) X 2和Y 2都服从2χ分布. (D)22X Y服从F 分布.解 因为随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 但X 与Y 不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).10. 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .(A) X 和S 2. (B) X 和211()nii X nμ=-∑. (C) μ和σ2. (D) X 和211()nii X X n=-∑.解 选(D).三、(10分)在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球取自第二箱的概率. 解 以A 表示“取得的球是白球”，i H 表示“取得的球来自第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. ...................... 4分 (1) 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. ............ 4分(2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==. .................. 2分 四、(10分) 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它 求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}22P Y X ≤≤；(3) X 与Y 是否独立？并说明理由. 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩ ............................. 2分当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰; 当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它 ............................... 2分(2) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. ............................. 4分 (3) 因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以X 与Y 是否独立. …………………………………2分 五、(10分)设随机变量(X , Y )的分布律为若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 和协方差Cov(X ,Y ). 解 首先，由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次，由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，得3.0=b . 进而1.0=a . ...................................................... 2分由此可得边缘分布律于是 4.14.026.01)(=⨯+⨯=X E , 5.05.015.00)(=⨯+⨯=Y E .故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=. ...................... 4分六、(10分)设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一整数. 该经销商店每销售一单位该种商品可获利500元; 若供大于求则削价处理, 每处理一单位该种商品亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利300元. 为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标, 试确定该经销商店对该种商品的进货量范围.解 设进货量为a 单位, 则经销商店所获利润为500300()300200,30,500100()600100,10.a a X a X a a X M X a X X a X a +-=+<=--=-⎧⎨⎩≤≤≤ ............ 4分 需求量X 的概率密度为()1,1030,200,.f x x =⎧<<⎪⎨⎪⎩其它 ........................... 2分 由此可得利润的期望值为30301010111()(600100)(300200)202020a a a aE M M dx x a dx x a dx =-++=⎰⎰⎰ .............. 2分 21535052502a a =-++依题意, 有21535052502a a -++≥9280,即21535040302a a -+≤0, 解得623≤a ≤26. 故期望利润不少于9280元的进货量范围为21单位~26单位. ................................................................ 2分七、(10分) 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为e ,0,(,)0,0,x x f x x λλλ->=⎧⎨⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求：(1) 未知参数λ的矩估计量; (2) 极大似然估计量.解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆXλ=. ................................ 4分 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数11nii inxx nni L eeλλλλ=--=∑==∏, ...................... 2分取对数1ln ln ()ni i L n x λλ==-∑.令1d ln 0,d ni i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆx λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX λ=. 4分八、(12分)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布(,1)N μ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm.(1) 取显著性水平α=0.05时, 是否可以认为μ=41？ (2) 求μ的置信水平为0.95的置信区间;(3) 问题(1)和(2)的条件与结论之间有什么关系? 解 (1) 提出假设 H 0: μ=μ0=41; H 1:μ≠μ0 . ................................... 2分 对于α=1-0.95= 0.05, 选取检验统计量X z =拒绝域为|z |>z 0.025=1.96 ............... 2分代入数据n =16, x =40, σ=1, 得到||x z ===4>1.96. 所以拒绝原假设, 不能认为μ=41 2分(2) 已知x =40, σ =1,α = 0.05, 查表可得0.025 1.96,z z α==所求置信区间为22()(40 1.96,40 1.96),x z x αα+=(39.51,40.49).= ..... 4分(3) 假设检验中的显著性水平α=0.05与置信区间估计的置信水平0.95满足关系0.95=1-α； .. 1分μ的双侧假设检验的接受域与μ的置信水平为0.95的置信区间相同...................... 1分 注意：题目参考数据: t 0.025(24)=2.0639, t 0.025(23)=2.0687, t 0.05(24)=1.7109, t 0.05(23)=1.7139z 0.025=1.96, z 0.05=1.65。
2007级概率统计(理工类)考试试卷A答案
暨 南 大 学 考 试 试 卷上分位数（除填空题外，其它题用到的分位数请详细列明）0025002582306, 92262..().().,t t == 00500581859, 91833..().().t t ==20.025(8)17.532χ=， 20.025(9)19.022=χ， 20.975(8) 2.18=χ， 20.975(9) 2.7=χ 108413().Φ= ，1645095(.).Φ=，1960975(.).Φ=， 2509938(.).Φ=得分 评阅人二、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）答案填写在右表1. 设随机变量X 服从正态分布2(,) N μσ，则随着标准差σ的增大，概率{}P X μσ-<如何变化（ C ）(A) 单调增大; (B) 单调减少; (C) 保持不变; (D) 增减不定。
2. 离散型随机变量X 的概率分布为()kP X k A λ== (1,2,k =)的充要条教 师 填写 2008 - 2009 学年度第__二_ 学期课程名称：__概率论与数理统计（理工类）_ 授课教师姓名：_____刘中学______考试时间:____2009__年 7_月__15__日课程类别必修[√ ] 选修[ ]考试方式开卷[ ] 闭卷[√ ] 试卷类别(A ，B,…) [ A ] 共 7 页考 生 填 写学院(校) 专业 班(级)姓名 学号 内招[ ] 外招[ ]题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分得 分题 号1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 C A D A C B B A 得 分件是（ A ）。
（A ）1(1)A λ-=+且0A >； （B ）1A λ=-且01λ<<； （C ）1A λ=-且1λ<； （D ）0A >且01λ<<. 3. 已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P AB =，则()P A B =（D ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6 ； (D) 0.75。
海师概率论与数理统计06--07(A)
○ 装
六. （15 分）设总体 服从指数分布，密度函数为：
f x;
解：
e
1
x
，
x 0 ， 0 .试求参数 的极大似然估计量.
解：
○ 订
○ 线
○
第 5 页（共 6 页） 第 6 页（共 6 页）
P ( A B) a b 1 .
○ 密
求： （1） 的特征函数 (t ) ； （2） E ( ) 及 D ( ) . 解：
（2）已知 P( A B) 1/ 8 ， P( A B) 1/ 3 ， P( B A) 1/ 4 ，求：------------------------------------------------------------------------------------------------
A3 ，它们的产品分别占全部产品的
10％，40％，
○ 密
50％，并且它们的废品率分别为 7％，2％，1％.令 B 表示“从产品中任 取一件，并发现是废品”这一事件，求： （1）
------------------------------------------------
P(B) ；
1
（2） 今从全部产品中任取一件，发现是废品，问它是 A 制造的概率.
七. （10 分）某工厂生产的电灯泡的使用时数用 表示， 假定 服从正态分布 N a, ，其中 a 及 都是未知参 数，现在观察 n 17 个灯泡，测得 17 个灯泡的使用时数
○ 封
x1, x2 ,, x17 ，并由此算得 x 1800 ， s 500 ，试问：给定显著性水平 0.05 ，该厂电灯泡的平均使用时数为“ a a0 2000 ” （小时）这个 结论是否成立？ （注： t 分布的双侧临界值表中， 从 可查得 t16 0.05 2.12 ）
07年4月概率论与数理统计(经管类)试题答案
6．设二维随机变量
）
A． 1 4
由
f
(x,
y)dxdy
(X
1
c
,Y)
的概率密度为
B． 1 2
1 1
1
dxdy
4c
，得 4c
f
7．设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则下列结论中正确的是（ D ）
A． E( X ) 0.5 ， D( X ) 0.5
C． E( X ) 2 ， D( X ) 4
17．设 ( X ,Y ) ～ N (0,0;1,1;0) ，则 ( X ,Y ) 关于 X 的边缘概率密度 f X (x) ___________．f Nhomakorabea (x)
1
2
x2
e 2．
18．设 X～ B 4, 1 ，则 E( X 2 ) ___________． 2
n 4, p 1 ， E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 np(1 p) n 2 p 2 5 ． 2
y
1 ，则常数
D．4
D．6
D．4
c
D． n 1(x 0 )
（ A
2
P( A B) P( A) P(B) P( A)P(B) 0.2 0.4 0.2 0.4 0.52 ． 12．从 0,1,2,3,4 五个数中任意取三个数，则这三个数中不含 0 的概率为___________．
07 年 4 月概率论与数理统计（经管类）试题答案
B． P( AB) P( A)P(B)
D． P( A B) 1
C． P(B)
07级《概率论与数理统计》期末考试A卷答案与评分标准
07级《概率论与数理统计》期末考试A卷答案与评分标准海南师范大学物理、电子、自动化、地理、城规、计算机专业《概率论与数理统计》2008—2009学年度第一学期期末考试（A ）卷答案与评分标准注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷4. 本试卷共五大题，满分100分，考试时间100分钟一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1、设A,B 为随机事件,若P(A ∪B)=P(A)+P(B),且P(A)>P(B)>0,则( D ); A: A,B 互不相容; B: A,B 非互不相容; C: A,B 相互独立; D: A,B 相互不独立;2、设随机变量X 只能取3,4,5, …,17这15个值, 且取每个值的概率均相同, 则概率P{0<="" 2A ：1514; B ：157; C ：152; D ： 154 ;3、己知二维随机向量(X,Y)具有联合密度:),,(,)1)(1(1),(22+∞<<-∞+∞<<-∞++=y x y x C y x f 则常数C=( D )A:1 ; B:π ; C:2π D: π2 4、己知随机变量X 服从二项分布B(5,0.2), 则D(X)/E(X)=（ B ）; A ：1 ; B 0.8; C: 0.2; D: 1.25; 5、己知随机变量X 的期望E(X)=20, 方差D(X)=8, 则( A );; A: P(|X-20|≥6)≤2/9 ; B: P(|X-20|≤6)≥2/9 ; C: P(|X-20|≤6)≤2/9 ; D: P(|X-20|≥6)≥2/9 ;6、设4321,,,X X X X 是来自正总体N(μ,σ2)的简单随机样本，下列四个μ的无偏估计量中, 最有效的是( B );A: )(313211X X X ++=μ; B: )(4143212X X X X +++=μ;C: 13X =μ,; D: 6233214X XX ++=μ;二、填空题（本题共6小题，每小题 3分，共18分。
概率论与数理统计B
江西财经大学08－09第二学期期末考试试卷试卷代码：03054B 授课课时：64 考试用时：110分钟 课程名称：概率论与数理统计 适用对象：2007级试卷命题人 徐晔 试卷审核人 何明一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。
每小题3分，共15分）1. 设随机事件B A ,互不相容，且6.0)(,3.0)(==B P A P ，则=)(A B P _______ 。
2. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，概率),(c Y b X a P ≤≤<可以用),(y x F 表示为 。
3. 设随机变量X ，Y 相互独立，X 服从]6,0[区间上的均匀分布，Y 服从二项分布)5.0,10(b 。
令Y X Z 2-=，则EZ = ，DZ = 。
4. 设54321,,,,X X X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随机样本，统计量()n t X X X X X C ~)(25242321+++，则常数=C ,自由度=n 。
5. 若随机变量21,X X 相互独立,且)2,1(~),3,3(~2221N X N X 。
令212X X X -=，则)1(>X P ＝ 。
1. 742. ),(),(c a F c b F -3.137-4.323 5.5.0二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。
答案选错或未选者，该题不得分。
每小题3分，共15分）1.下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ）。
)(A 211)(xx F += )(B 21arctan 1)(+=x x F π )(C )1(21)(x e x F --= )1)(()()()(==⎰⎰+∞∞-∞-dx x f dx x f x F D x 其中2.设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本,则当常数=C （ ）时, 3212131ˆCX X X ++=μ 是总体均值μ的无偏估计量。
概率论与数理统计(理工)B
上海金融学院2007 ——2008 学年，第二学期课程代码：1333007502 《概率论与数理统计（理工）》课程期末考试试卷本试卷系B卷，采用闭卷、方式，集中考试，考试时只能使用简单计算器(无存储功能)（请将横线上不需要的文字用红笔划去）交教务处时间: 年月日送印时间: 年月日试题内容分布情况命题教师签字___________ 教研室主任签字___ _______ 院（系、部）领导签字_____ ___上 海 金 融 学 院20 07 ——20 08 学年 第 二 学期 《概率论与数理统计（理工）》课程 代码：1333007502 集中考试 考试形式： 闭卷 考试用时: 120 分钟考试时只能使用简单计算器(无存储功能)试 题 纸 一.选择题（每小题2分，共10分） 1.A.B.是二个随机事件则P(A-B)__________A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(AB)C.P(A)+P(B)-P(AB)D.P(A)+P(AB)-P(B) 2.A.B 相互独立 P(A)=0.5,P(AB)=0.25则P(B)= A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.453.设()()E XY E X EY =⋅则以下结论正确的是 A.,X Y 不相关 B.1X Y ρ⋅= C.1X Y ρ⋅=- D. ,X Y 独立4.袋中有8个球，其中3个红球5个黄球，任取3球，则1黄2红的概率P= A.23538⋅ B.23538⋅ C.123538C C C⋅ D.213538C C C⋅5.Z ~U(0,5)则t 的二次方程42420t xt x +++=有实根的概率为 A.12B.23C.35D.45二.填空题（每小题3分，共30分） 1.设P(A)=1411() P ()32P B A A B ==则()P A B =2.三次独立试验中事件A 至少出现一次的概率为1927则P （A ）=3.X ~b(n,p)且8, 1.6EX D X ==则n= ，p=4.X ~N(3,4)则p(2<X <4)=5.设X ~1001 0()1000 x 0xe xf x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则P(X ≤)=6.设23x 0x 1~()0 X f x ⎧≤≤=⎨⎩其它则P(X>E X)=7.设X ~N(2μσ，)且EX=3,DX=1则57P ()22X <<=8. 12,θθ∧∧均为总体X 的未知参数θ的无偏估计量，则12θθ∧∧比有效指9.X ~1 0<x<1(,)0 x f x λλλλ-⎧⋅=⎨⎩（>1）其它，12n ,X X X 是X 的样本，则λ的钜估计量λ∧=10.某种新药有效率为0.4，1000人使用此药，应用中心极限定理，有效人数超过420人的概率，P X>420（）= 三.计算题（每题12分，共60分）1.盒中有10个零件其中4个一级品，6个二级品，每次取一个，取二次（不放回），设0 X ⎧=⎨⎩第一次取到一级品1 第一次取到二级品0 Y 1 ⎧=⎨⎩第二次取到一级品第二次取到二级品求（1）X Y （，）的联合分布律 （2）求E ,Y D Y (3)求cov X Y （，）2.有三个盒子，甲盒中有2个红球4个白球，乙盒中有4个红球2个白球，丙盒中有3个红球3个白球，任取一盒，任取一球。
2007年概率统计期末考试试卷
2005级本科班概率统计期末考试试卷一、（20分）计算下列各题1.（10分）甲、乙、丙三台车床加工同样的零件，生产出废品的概率分别为0.03, 0.02, 0.04, 现将加工出来的零件混在一起，并且已知甲、乙、丙生产的零件数之比为3：2：1，任取一零件，1）求取出零件为废品的概率。
2）若取出的零件为废品，问是乙车床加工的概率。
2．(10 分)已知R.V . X 的分布函数为(),F x A Barctgx x =+ -∞<<+∞1）求系数,A B . 2）求2Y X =的概率密度。
二、（30分）计算下列各题1．（10分）盒子中装有3只黑球，2只红球和2只白球，在其中任取4 只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数。
求1）(,)X Y 的联合分布律；2）X ，Y 的边缘分布律；3）{}2P X Y +≤.2．（12分）二维..(,)R V X Y 联合密度函数为()01(,)0A x y x y f x y +≤≤≤⎧=⎨⎩其他 1）求常数A. 2）求,X Y 的边缘密度函数。
3）,X Y 是否独立，为什么？4) 求()E XY .3．（8分）设..,R V X Y 相互独立，其密度函数分别为201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩，，其他， 0()0y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他 求Z X Y =+的密度函数。
三、（20分）计算下列各题1. （10分）设总体X 服从几何分布1{}(1),1,2,x P X x p p x -==-=，其中01p <<是未知参数，12,,,n X X X 是总体X 的容量为n 的样本，12,,,n x x x 为其观测值，求p 的极大似然估计。
2．（10分）已知某种液体存储罐的爆压指标X 服从正态分布2(,)N μσ，抽测7只存储罐，得爆压数据如下：548，549，550，545，550，551，545, 如果2σ未知，问爆压指标均值549μ=是否成立？(0.05)α=附：0.0250.025(6) 2.4469,(7) 2.3646.t t ==四、填空（30分）1．设111(),(),(),324P A P B P AB === 则()_____,P AB =()P A B =___ . 2. 设离散型..R V X 的分布律{},01,k k p P X k bλλ===<<1,2,,k = 则______.b = 3．(,)X B n p ,() 2.4,() 1.44,E X D X ==则____.p =4．,X Y 相互独立，()4,()3,D X D Y ==则(32)________.D X Y -=5．(,)X Y 的密度函数为2221(,)2x y f x y e π+-=，则{P X Y <+< ____________________.=（用标准正态分布函数()x Φ表示） 6．12,,,n X X X 是来自总体(0,6)U 的样本，1001i i Y X ==∑，由切比雪夫不等式{260340}_________.P Y <<≥7．总体212(,),,,,n X N X X X μσ为取自总体X 的样本. 11,ni i X X n ==∑则21()_______.n i i E X X =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ 8．2,X S 分别是正态总体2(0,)N σ的样本均值和样本方差，样本容量为n ，则统计量22_______.nX S9．总体212(,),,,,n X N X X X μσ为取自总体X 的样本, 若2σ已知，则μ的置信度为1α-的置信区间为 .。
2007-2008(1)期末考试试卷(B)(概率统计)
95％的置信区间.（注：）
2某中电子元件要求其寿命不得低于10小时,今在生产的一批元件中随机抽取25件，测得其
寿命的平均值为10。2小时，样本标准差为0。5小时，设元件寿命总体服从正态分布，问在
显著水平下这批元件是否合格?
（注:,）
四证明题（共6分）
设是来自总体的一个样本，设，，其中
第1页（共2页）
0
1
0
1
2
1)求应满足的条件;2）若与相互独立，求的值。
7已知连续型随机变量的概率密度函数，求：
1）常数；2）边缘概率密度.
8设是来自总体的样本，总体的概率密度函数为
，其中未知，且.求
1）的矩估计量；2）的极大似然估计量。
三应用题（每小题8分，共16分）
1已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取9个试件进行抗压试验(单位
，，证明:。
3
满分
7分
得分
4
满分
7分
得分
5
满分
7分
得分
6
满分
7分
得分
7
满分
7分
得分
8
满分
7分
得分
三、应用题
1
满分
8分
得分2满分Fra bibliotek8分得分
四证明题
满分
6分
得分
2007~2010年概率论试卷答案
2007级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、 1. C注释：由“A ⊂B 成立”得P(A)=P(AB)()()(|)()()P AB P A P A B P B P B ==故 2. C 3. B 注释：参考课本86页 4.B 2sin 1A xdx π=⎰注释： ?5.6. B A 项参见课本64页，D 项参见课本86页二、 1. 2 注释：若X 服从Poisson 分布，则EX=λ，DX=λ。
（课本84页） 2. 12 注释：cov(X,Y)= r XY DX DY ⋅⋅。
（参考课本86页）3. 1/5 注释：运用等比求和公式S=1(1)1n a q q--4. 38.4 注释：22()(),(,),,E D E B n p E np D npq ξξξξξξ=+==对于5．p(x)=,00,0x e x x λλ-⎧>⎨≤⎩,211,E D ξξλλ==6. 0.2 注释：类似2006级试卷填空题第6题7.2/5三、（1）1/20; (2)14/15注释：（1）P(A)=224431078910C C C ，表示从、、、这四个数中选两个;（2）B =“三个号码中既含4又含6” 四、（1）C=4; (2)112()-20{1}41-3e ;xx y P dx e dy ξη--++<==⎰⎰(3)222__02__0(),()0_____00_____0()()(,),x y e x e y p x p y x y p x p y p x y ξηξηξη--⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩⋅=因故与独立？(4)22220022112,2221()41124x x E x e dx E x e dx D E E E D ξηξηξξξξξηη+∞+∞--=⋅==⋅==-===⎰⎰与独立，所以cov(,)=0故同理，，五、 0.9979 注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题 六、 0.9525100(100,0.9),))85{85)1)1( 1.67)(1.67)0.9525X X B P X ⨯⨯≈Φ-Φ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=注释：设这个部件中没有损坏部件数为， 则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，b-EX a-EXP{a<X<b}((DX DX故至少须有个部件工作的概率为：85-90(9七、M=160,X ⨯⨯⨯≈⨯⨯≥≥≤≥≤注释：设出事人数为则有X B(5000000,0.0003)EX=50000000.0003=1500,DX=50000000.00030.99971500若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润，则P{5000000M (1-40%)-X 300000600000}99%得P{X 10M-2}99%X-150010M-2-1500故需满足P{15001}99%99% 2.33159.22,160M M ≥Φ≥≈Φ≥=50010M-2-1500即（）（）1500解得故八、（1）课本98页辛欣大数定理（2）22222n 11221222211()0(1)()0()()[()]()211_____0(1)()()211,2,3,,()()0112)()2n n n n n n n k n k k k n n k k E n n n n nD E E E n n n n nk E E n n D n nn nξξξξξξξξξξξ++==+==⋅-+⋅+-⋅==-==⋅-+⋅+-⋅===⋅⋅⋅====⋅=∑∑∑由于令则______________________ D(由契比雪夫2n 0,2()|}1lim ()|}1}n n n n n E n E εξξεεξξεξ→∞>-<≥--<=不等式，对任意的有________________P{|故有P{|即{服从大数定律2008年概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1.D 1(1)()X uu uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C 注释：参考课本第8页3.A 注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确 ？B 项是否正确4.B 注释：参考课本86页5.A 二、 1. 1.33(或者填13591024) 2．25 注释：参考课本86页 3. 0.25 4. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)设（X+Y ）～B(n,P),则有E(X+Y)=7p=nPD(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p 5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6. 0.3522(35)112(35),9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X DX DX X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关 三、四、1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8X EX -⎛⎫⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯= 五、10022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)(2211(322_____012xx xx x x x e x f x e x e x F x e x P X e ex e dx x e dx EX x e dx x ---∞--∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅===⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=2021211___[22][22(2x x x x e dxx e xe e x DX EX ∞--∞=-++-=-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.02520005020000{50}{i ii i i i i ii X i X U EX DX b X U a b EX DX b a Y X Y Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=-⨯<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则.025020000.02}(25.8)20000.00007520000.000075-⨯<=Φ⨯⨯A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； 取出的产品是甲厂生产的” 取出的产品是乙厂生产的” 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A ) =0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行 七、____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b a b aba x ab y b a x ax ab y by bEX x dx EY y dy a b ππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f 其它222222222222,2424,3344()25,()4335332(3),22()()a b a b a b EX x dx EY y dy a b a b DX EX EX DY EY EY a b a x a b y b x y a b πππππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得，时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(x z z Z dx ze dx e e F z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>12009年2学分参考答案一、解：设i A ＝｛第i 枚弹道导弹击沉航空母舰｝，i B ＝｛第i 枚弹道导弹击伤航空母舰｝ i C ＝｛第i 枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i ＝1，2，3，4 D ＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝()31=i A P ，()21=i B P ，()61=i C P ，i ＝1，2，3，4 43214321432143214321B C C UC C B C UC C C B UC C C C UB C C C C D =()()()()()()434432143214321432143216132161461=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=B C C C P C B C C P C C B C P C C C B P C C C C P D P()()461311-=-=D P D P = 0.99 二、解：（1）A ＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝()55255236)413(4C C A P =-⨯=（只要说明顺子的构成，分子40也算对） （2）A ＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝()5522411234113C C C C C A P = （3）A ＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝()552141421234113C C C C C C A P = 三、解：（1）设A ＝｛被查后认为是非危险人物｝， B ＝｛过关的人是非危险人物｝，则()()()()()B A P B P B A P B P A P +=9428.005.004.098.096.0=⨯+⨯=()()()()998.0==A PB A P B P A B P（2）设需要n 道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci={第i 关危险人物被误认为非危险人物}，{}n n C C P 05.01= ，所以999.005.01≥-n ，05.0ln 0001.0ln ≥n ，即1005.0ln 0001.0ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n =[3.0745]+1 = 4 四、解：当1=a 时，1=Y ，则()⎩⎨⎧>≤=1110y y y F Y当10<<a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y 当0>y 时，()()()y a X P y a P y F XY ln ln <=<=()⎪⎭⎫ ⎝⎛>=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=a y a y X P ln ln 1ln ln 1()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅-==a yY Y e a y dy y dF y f当1>a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y 当0>y 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=a y ln ln ()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅==a yY Y e a y dy y dF y f五、解：（1）E(X+Y)=6.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023=+--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯--=b a b a174.015.014.013.012.003.002.001.014.0=++=+++++++++b a b a 联立解得：17.0=a ，09.0=b（2）X 的概率分布函数：-2-110.17 0.23 0.06 0.54（3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯六、解：95.01.0≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-p n m P ，因()()1,0~1N np p p n m-- ()()95.011.01≥⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--n p p n p p p n m P ，()96.111.0975.0=≥-u np p ?不是u0.95吗？()()p p n -≥16.192；因为()4/11≤-p p ，取()4/6.192≥n =96.04即97=n七、解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=others by a x ab y x f ,00,0,/1),( 边缘概率密度：⎩⎨⎧<<=others a x a x f X ,00,/1)(，⎩⎨⎧<<=others by b y f Y ,00,/1)(（2）36)12/1(,12)12/1(22====b DY a DX ，312,12==b a （3）随机变量X 与Y 相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X =八、解： 3330||33||33||||)(||)(||)()|(|t ct E x dF tx x dF t x x dF t P x t x t x ==≤≤=>⎰⎰⎰≥>>ξξ 九、解：（1）dx Axydy dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞∞-+∞∞-1010),(4A =＝1，A ＝4 （2）P(X<0.4，Y<1.3)＝16.044.0010=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx xydyX（3）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=++10104dx xydy e Eesy tx sYtX ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101014dx dy e s sye x e sy sytx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222114t t e t e s s e s e t t s s （4）32410102=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ，214101032=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ()91942122=-=-=EX EX DX ，()=XY E 944101022=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx dy y x ()0323294,=⨯-=⋅-=EY EX EXY Y X Cov十、解：（1）设ξ表示该观众答对题数， ,2,1,0=ξ 则第ξ+1次解答答错（即首次出错）。
概率统计2007-2008期末试题
m in (,)Z X Y =的分布函数()Z F z 为 1[1()][1X Y F x F y ---；),max(Y X Z =的分布函数()Z F z 为)()(y F x F Y X1.二维正态分布的密度函数为：]))())((2)([)1(21exp(121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f 设随机变量),(Y X 密度函数2222),(yy x x Aey x f -+-=，+∞<<∞-y x ,。
试求：（1）常数A ；（2）条件密度函数)|(|x y f X Y1)1(21,2)1(,2)1(21,121,022221221222121=-=-=--===σρσσρρσρρσπσμμA可得：21,1,21,121====ρσσπA ，)2/1;1,2/1;0,0(~),(N Y X21)(xX ex f -=π，从而：2)(|1)(),()|(y x X X Y ex f y x f x y f --==π+∞<<∞-y 。
（其中+∞<<∞-x ）2. 二维随机向量(,)~(0,1;0,1;0)X Y N ，相关系数为0，从而，X 与Y 不相关。
二维正态分布不相关的充要条件为相互独立。
（1）由全概率公式 ()()()()()P A P B P A B P B P A B =+ （2）由贝叶斯公式得所求概率为()()()P A B P BA P A =()()480.1404()342P B P A B P A ==≈注：切贝雪夫不等式和中心极限定理是近年来经常考的内容。
如：（1）设随机变量序列 ，，21X X相互独立，且~0.50.5k X ⎛⎝⎭证明：0ε∀>，有0|)(11|lim11=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∑∑==∞+→nk nk k kn X E nXnP ε；（2）某工厂的产品的次品率为0.1，从中任意抽取200件，问次品数不多于18件的概率为多少？（用中心极限定理计算）。
2007年第2学期概率论期末考试试卷
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007-2008学年第2学期 考试科目：概率论考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号姓名年级专业题号 一 二 三 三 三 三 四 五 六 总分得分评卷人一（15分）（1）在区间（0，1）中随机取两个数，求事件“两数之和小于65”的概率。
（7分）（2）从10个数1，2，…，10中随机取4个数，求（a）其中最大数为5的概率， （4分）（b）其中最小数为5的概率。
（4分）二（10分，每小题5分）设同年级有二个班，1班有50名学生，其中10名女生，2班有30名学生，其中18名女生。
在该年级中任选1名，试求：（1） 选出的是女生的概率；（2） 在已知选出女生的条件下，她是第1班学生的概率。
本试卷六个大题，共5页1本试卷六个大题，共5页2三 计算题（15分，每小题5分）设(),ξη的密度函数为。
()()2,0,0,,0,x y Aex y f x y −+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他求（1）常数A ；（2）ξ的边缘密度()f x ξ；（3）概率()22P ξη+<。
本试卷六个大题，共5页3四（15分）设G 表示由抛物线2y x =及直线y x =所包围区域，(),X Y 在区域G 上服从均匀分布，求：（1）(),X Y 的联合密度函数(),,f x y 边缘密度函数()()X Y f x f y 和； （12分） （2）判断(),X Y 的独立性。
（3分）本试卷六个大题，共5页4五（15分）（1） 设()211~,,1,2,,;,,,k k kmN a k m ξσξξξ=""且相互独立，求1mk k ηξ==∑的分布； （7分）（2）若随机变量X 的特征函数为()cos ,X t t ϕ= 求X 的分布律，并求32Y X =+的特征函数。
（8分）六（30分，每小题10分）在以下各题中任选3题，若多选则取最高分数的3个题计算：（1）设()0x ϕ>，且当0x >时，()x ϕ是单调上升函数，又设()E M ϕξ⎡⎤=⎣⎦存在，试证明：对任意0t >，有{}().MP t t ξϕ≥≤本试卷六个大题，共5页5（2）假设某一年龄的女童身高的均值为130厘米，标准差为8厘米。
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2007-2008学年第一学期期末试卷-B卷
概率论与数理统计
课程号：课序号：开课学院：统计学院
一. 判断题（每题2分，共10分）
1．设n次独立重复试验中, 事件A出现的次数为X, 则 4 n次独立重复试验中，A出现的次数为 4 X.
( )
2．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. ( )
3．若随机变量X 的数学期望存在，则X 的方差也存在. ( )
4．设样本空间为 = {e1，e2，e3，e4，e5}，A = {e1，
2007-2008学年第一学期期末试卷-B 卷
5．如果P (A ) = P (B ) = 0.5, 则P ( AB ) = P (A B ). ( )
二．选择题（每题3分，共15分）
1．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．0)|(=B A P B ．P （B |A ）=0 C ．P （AB ）=0 D ．P （A ∪B ）=1
2．设随机变量X 的概率密度为f
(x )=⎪⎩
⎪⎨⎧≤>,
1,
0;
1,2x x x c 则常数c 等于（ ） A ．-1
B ．
2
1-
C ．21
D ．1
3．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，
Y~B （8，31
），且X ，Y 相互独立， 则D （X-3Y-4）=（ ） A ．-13 B ．15 C ．19 D ．23
4．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，
则D （X-Y ）=（ ） A ．6 B ．22 C ．30 D ．46
5．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布
（θ>0），x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样
本，x 为样本均值，则θ的矩估计 ˆ=（ ）
A ．x 2
B ．
x
2007-2008学年第一学期期末试卷-B 卷
C ．2x
D ．x 21
三．填空题（每题3分，共15分）
1．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P
（B ）=0.3，则P （B A ）=____________.
2．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态
分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X<a}<0.8413，则常数a<____________.
3．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数
为X ，则P{X ≥1}=____________.
4．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，
则D （2X+1）=____________.
5．设总体X~N （μ,σ2
）,x 1,x 2,x 3为来自X
的样本，则当常数a=____________时，
3
212
14
1ˆx ax x +
+=μ
是未知参数μ的无偏估
计.
四．计算题（每题10分，共30分）
1．编号为1，2，3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4, 从中任选一台．
（1） 求此台仪器正在工作的概率； （2） 已知选到的仪器正在工作，求它编号为
2的概率．
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2．设随机变量)1,0(~U X (均匀分布)，)1(~E Y (指数分布)，且它们相互独立，计算
)(Y X P ．
3． 设随机变量 X 与 Y 的联合密度函数为
⎩⎨
⎧≤≤=-.0
)0(),(）他其（，y x ce y x f y
(1) 求常数 c ;
(2) 求X 与Y 各自的边缘密度函数; (3) X 与Y 是否独立？为什么？ (4) P(X +2Y <1).
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五．综合分析题（每题15分，共30分）
1. 设总体X 服从指数分布
其它00
);(>⎩⎨
⎧=-x e x p x
λλλ
X 1，X 2，…，X n 为来自总体的简单随机样本， （1）求λ的矩估计量； （2）求λ的极大似然估计量。
2．假设某校考生数学成绩服从正态分布，
随机抽取25位考生的数学成绩，算得
平均成绩61 x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成绩为70分？（可能用到的分位数：t 0.025(24)=2.0639）。