2018高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文
合集下载
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一 点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数 的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角α的值.
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文
2Rsin C； 变形形
cos A＝b2＋2cb2c－a2；
式(边角 sin A＝2aR，sin B＝2bR， 转化) sin C＝2cR；
cos B＝c2＋2ac2a－b2； cos C＝ a2＋b2－c2
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
2ab
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)；
3．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝13，则△ABC 的面 积为________．
答案：4 3
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定 理对角的范围的限制．
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)∵S△ABC＝12absin C＝12asin C＝ 23，∴sin C＝ a3， ∵a＋1a＝4cos C，sin C＝ a3，∴14a＋1a2＋ a32＝1， 化简得(a2－7)2＝0，∴a＝ 7，从而 c＝ a2＋b2－2abcos C ＝ 72＋12－2× 7×1×277＝2．
[由题悟法] 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A， 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦 定理进行边和角的转化．
[即时应用]
(2016·河北三市二联)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C
∴b＝c，∴bc＝1． 答案：1
[由题悟法] (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理 都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是 确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具 有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理 进行判断．
2018高考总复习数学(理科)课件：第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理
基础诊断
考点突破
课堂总结
4．(2016 年天津)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C
＝120°，则 AC＝( A )(导学号 58940061) A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由余弦定理，得 13＝9＋AC2＋3AC⇒AC＝1(AC＝ －4，舍去)．故选 A.
基础诊断
考点突破
课堂总结
基础诊断
考情风向标
三角函数与解三角形交 汇命题，是近几年高考 的热点，复习时应注意： 1．强化正、余弦定理 的记忆，突出一些推论 和变形公式的应用． 2．本节复习时，应充 分利用向量方法推导正 弦定理和余弦定理． 3．重视三角形中的边 角互化，以及解三角形 与平面向量和三角函数 的综合应用，能够解答 一些综合问题
基础诊断 考点突破 课堂总结
(3)(2013 年新课标Ⅱ)已知△ABC 的内角 A， B， C 的对边分 π π 别为 a，b，c，b＝2，B＝6，C＝4，则△ABC 的面积为( (导学号 58940063) A．2 3＋2 B. 3＋1 C．2 3 b c 解析：sin B＝sin C⇒1＝ ⇒c＝2 2， 2 2 2 1 1 S△ABC＝2bcsin A＝2×2×2 2×sin 105° ＝2 3＋1.
A 为锐角
图形
关系式 解的 个数
A 为钝角 或直角
a＝bsin A
一解
bsin A<a<b
两解
a≥b
一解
a>b
一解
基础诊断
考点突破
课堂总结
1．(2014 年江西)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边 2sin2B－sin2A 分别为 a，b，c，若 3a＝2b，则 的值为( D ) sin2A 1 A．－9 1 B.3 C．1 7 D.2
高三数学一轮复习 第3章第7课时 正弦定理和余弦定理精品课件
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高三数学一轮复习 第3章第7课时 正弦定理和余弦定理精品课件
微能力认证作业
• 第7课时 正弦定理和余弦定理
• 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
＝
a2＝b2＋c2－2bc·cos_A ， b2＝c2＋a2－2ca·cos_B ，
1．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，则 A＝( )
• 3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等 变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的 突破口．
• 从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热 点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的 度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式， 甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现， 属解答题中的低档题．
方法二：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由余弦定理，得(2b－c)·b2＋2cb2c－a2－a·a2＋2ba2b－c2＝0. 整理，得 b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
(2)∵S△ABC＝12bcsin A＝34 3，
即12bcsinπ3＝34 3， ∴bc＝3. ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝6， 由①②得 b＝c＝ 3，∴△ABC 为等边三角形．
常用的三角形面积公式 (1)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B； (2)S＝12ah.
微能力认证作业
• 第7课时 正弦定理和余弦定理
• 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
＝
a2＝b2＋c2－2bc·cos_A ， b2＝c2＋a2－2ca·cos_B ，
1．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，则 A＝( )
• 3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等 变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的 突破口．
• 从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热 点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的 度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式， 甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现， 属解答题中的低档题．
方法二：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由余弦定理，得(2b－c)·b2＋2cb2c－a2－a·a2＋2ba2b－c2＝0. 整理，得 b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
(2)∵S△ABC＝12bcsin A＝34 3，
即12bcsinπ3＝34 3， ∴bc＝3. ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝6， 由①②得 b＝c＝ 3，∴△ABC 为等边三角形．
常用的三角形面积公式 (1)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B； (2)S＝12ah.
2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件理
规律总结
(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是 两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的 正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑 两个定理都有可能用到. (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.
2.解三角形
在△ABC中,已知=bsin A 一解
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
关系式 解的个数
上表中,若A为锐角,当a<bsin A时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时无解.
3.三角形面积
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S. (1)S= ah(h为边a上的高).
变形
形式
(1)a=2Rsin A,
b=④ 2Rsin B c=⑤ 2Rsin C , ;
b 2R
cos A=⑨
b2 c2 a 2 2bc
;
a (2)sin A= ,sin B=⑥ 2R
,sin C=⑦ ;
c 2R
cos B=⑩
a 2 c2 b2 2ac
;
(3)a∶b∶c=⑧
. 即A=B或A+B=
2
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
考点三 与三角形面积有关的问题 典例3 (2016课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别
为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.
(1)求C;
3 3 7 (2)若c= ,△ABC的面积为 ,求△ABC的周长. 2
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件理ppt
算法优化
针对正弦和余弦函数的计算，数学家们不断优化算法，提高计算的效率和准 确性，例如快速傅里叶变换（FFT）等算法。
正弦定理和余弦定理在物理和工程中的应用进展
量子力学
在量子力学中，正弦和余弦函数是描述波动性粒子的基本波函数的常见形式，例 如电子和光子的波函数。
信号处理
正弦和余弦函数是信号处理的基础，包括模拟信号和数字信号的处理，如振幅调 制、频率调制、数字信号处理（DSP）等。
01
航海
在航海中，三角函数被用来确定船只的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算船只与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证船只的准确航行。
02
航空
在航空中，三角函数被用来确定飞机的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算飞机与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证飞机的准确航行。
03
地理
工程学
02
在工程学中，三角形边角关系可以用来解决结构分析和设计问
题。
物理学
03
在物理学中，三角形边角关系可以用来解决速度、加速度和力
的问题。
05
解三角形的实际应用
在工程、建筑和物理中的应用
工程设计
在工程设计中，三角函数被广泛应用于各种设计问题，如结构支撑、悬臂和框架等。利用 三角函数可以求出所需的数据，如压力、扭矩、弯曲等。
正弦定理的变式和推论
变式
正弦定理的变式包括比例式、等角式和差角式等。这些变式都可以由正弦定理推 出。
推论
正弦定理的推论有很多，比如正弦定理的逆定理、正弦定理的推广等。这些推论 都可以帮助我们更好地应用正弦定理。
03
余弦定理
余弦定理的证明和应用
针对正弦和余弦函数的计算，数学家们不断优化算法，提高计算的效率和准 确性，例如快速傅里叶变换（FFT）等算法。
正弦定理和余弦定理在物理和工程中的应用进展
量子力学
在量子力学中，正弦和余弦函数是描述波动性粒子的基本波函数的常见形式，例 如电子和光子的波函数。
信号处理
正弦和余弦函数是信号处理的基础，包括模拟信号和数字信号的处理，如振幅调 制、频率调制、数字信号处理（DSP）等。
01
航海
在航海中，三角函数被用来确定船只的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算船只与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证船只的准确航行。
02
航空
在航空中，三角函数被用来确定飞机的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算飞机与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证飞机的准确航行。
03
地理
工程学
02
在工程学中，三角形边角关系可以用来解决结构分析和设计问
题。
物理学
03
在物理学中，三角形边角关系可以用来解决速度、加速度和力
的问题。
05
解三角形的实际应用
在工程、建筑和物理中的应用
工程设计
在工程设计中，三角函数被广泛应用于各种设计问题，如结构支撑、悬臂和框架等。利用 三角函数可以求出所需的数据，如压力、扭矩、弯曲等。
正弦定理的变式和推论
变式
正弦定理的变式包括比例式、等角式和差角式等。这些变式都可以由正弦定理推 出。
推论
正弦定理的推论有很多，比如正弦定理的逆定理、正弦定理的推广等。这些推论 都可以帮助我们更好地应用正弦定理。
03
余弦定理
余弦定理的证明和应用
2018年高考数学理一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形 第7讲 课件 精品
2 2 2
5 2 2 9 2 b2＋c2－a2 2c ＋c －2c 10 ＝ c.由余弦定理， 可得 cos A＝ ＝ ＝ 2 2bc 10 2× c× c 2 10 － ，故选 C． 10
4 5 (2)因为 A，C 为△ABC 的内角，且 cos A＝ ，cos C＝ ， 5 13 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin 3 5 4 12 63 C＝ × ＋ × ＝ . 5 13 5 13 65 asin B sin B 63 5 21 又 a＝1，所以由正弦定理得 b＝ ＝ ＝ × ＝ . sin A sin A 65 3 13
(2)(2016· 高考全国卷甲)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 21 4 5 13 为 a，b，c，若 cos A＝ ，cos C＝ ，a＝1，则 b＝________ ． 5 13
【解析】
(1)设△ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
1 π 2 3 2 c，由题意可得 a＝csin ＝ c，则 a＝ c.在△ABC 中， 3 4 2 2 9 2 2 5 2 2 由余弦定理可得 b ＝a ＋c － 2ac＝ c ＋c －3c ＝ c ，则 b 2 2
a b [解析] 因为 ＝ ， sin A sin B b 24 所以 sin B＝a·sin A＝ ×sin 45° 18 2 2 ＝ . 3 又因为 a<b，所以 B 有两解．
B．有两解 D．解的个数不确定
4．已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、B、C 的对边， 4 14 若 cos B＝ ，a＝10，△ABC 的面积为 42，则 c＝________． 5 3 1 [解析] 依题意可得 sin B＝ ，又 S△ABC＝ acsin B＝42，则 c 5 2 ＝14.
5 2 2 9 2 b2＋c2－a2 2c ＋c －2c 10 ＝ c.由余弦定理， 可得 cos A＝ ＝ ＝ 2 2bc 10 2× c× c 2 10 － ，故选 C． 10
4 5 (2)因为 A，C 为△ABC 的内角，且 cos A＝ ，cos C＝ ， 5 13 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin 3 5 4 12 63 C＝ × ＋ × ＝ . 5 13 5 13 65 asin B sin B 63 5 21 又 a＝1，所以由正弦定理得 b＝ ＝ ＝ × ＝ . sin A sin A 65 3 13
(2)(2016· 高考全国卷甲)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 21 4 5 13 为 a，b，c，若 cos A＝ ，cos C＝ ，a＝1，则 b＝________ ． 5 13
【解析】
(1)设△ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
1 π 2 3 2 c，由题意可得 a＝csin ＝ c，则 a＝ c.在△ABC 中， 3 4 2 2 9 2 2 5 2 2 由余弦定理可得 b ＝a ＋c － 2ac＝ c ＋c －3c ＝ c ，则 b 2 2
a b [解析] 因为 ＝ ， sin A sin B b 24 所以 sin B＝a·sin A＝ ×sin 45° 18 2 2 ＝ . 3 又因为 a<b，所以 B 有两解．
B．有两解 D．解的个数不确定
4．已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、B、C 的对边， 4 14 若 cos B＝ ，a＝10，△ABC 的面积为 42，则 c＝________． 5 3 1 [解析] 依题意可得 sin B＝ ，又 S△ABC＝ acsin B＝42，则 c 5 2 ＝14.
三角函数正弦定理余弦定理及解三角形课件pptx
表述中的重点
余弦定理是一个关于三角形边角关系的恒等式，可以通过已知两边和其中一边的对角解出其他边角
余弦定理的表述
已知三角形的三条边a、b、c，可以使用余弦定理求出三角形中每个角的角度
已知三边求角度
已知三角形两条边及其夹角，可以使用余弦定理求出第三条边的长度
已知两边及其夹角求第三边
用余弦定理解决三角形问题
02
余弦函数的图像与性质
图像为一个周期内上下波动的曲线，最小值为-1，最大值为1，在0和π处分别达到最大值和最小值。
在物理学中的应用
三角函数可以用于描述周期性运动、振动、波动等物理现象。
在数学中的应用
三角函数可以用于求解一些代数方程的解，解决一些数形结合的问题。
三角函数的应用
03
正弦定理
三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和与这两边夹角的正弦的乘积的两倍，即$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\sin A$
三角函数在生
物理学中的振动和波动
三角函数描述了振动和波动的基本规律。
数学中的解析几何
三角函数在解析几何中用于描述曲线和曲面。
工程技术和科学实验
三角函数在数据处理、信号处理等领域有广泛应用。
01
02
03
天文学
三角函数用于计算天体运动轨迹和行星轨道等。
物理学
测量不可达两点之间的距离
在某些情况下，我们可能无法直接测量两个点之间的距离，但是可以通过测量两个点之间的角度和夹角，使用余弦定理计算出两点之间的距离
判断三角形形状
余弦定理还可以用于判断三角形的形状，例如判断三角形是否为直角三角形或等腰三角形等
余弦定理的应用举例
05
余弦定理是一个关于三角形边角关系的恒等式，可以通过已知两边和其中一边的对角解出其他边角
余弦定理的表述
已知三角形的三条边a、b、c，可以使用余弦定理求出三角形中每个角的角度
已知三边求角度
已知三角形两条边及其夹角，可以使用余弦定理求出第三条边的长度
已知两边及其夹角求第三边
用余弦定理解决三角形问题
02
余弦函数的图像与性质
图像为一个周期内上下波动的曲线，最小值为-1，最大值为1，在0和π处分别达到最大值和最小值。
在物理学中的应用
三角函数可以用于描述周期性运动、振动、波动等物理现象。
在数学中的应用
三角函数可以用于求解一些代数方程的解，解决一些数形结合的问题。
三角函数的应用
03
正弦定理
三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和与这两边夹角的正弦的乘积的两倍，即$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\sin A$
三角函数在生
物理学中的振动和波动
三角函数描述了振动和波动的基本规律。
数学中的解析几何
三角函数在解析几何中用于描述曲线和曲面。
工程技术和科学实验
三角函数在数据处理、信号处理等领域有广泛应用。
01
02
03
天文学
三角函数用于计算天体运动轨迹和行星轨道等。
物理学
测量不可达两点之间的距离
在某些情况下，我们可能无法直接测量两个点之间的距离，但是可以通过测量两个点之间的角度和夹角，使用余弦定理计算出两点之间的距离
判断三角形形状
余弦定理还可以用于判断三角形的形状，例如判断三角形是否为直角三角形或等腰三角形等
余弦定理的应用举例
05
2018年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲正弦定理和余弦定理课件理
又∵csin A＝ 3acos C，∴asin C＝ 3acos C， sin C ∴sin C＝ 3cos C，∴tan C＝cos C＝ 3， π ∵C∈(0，π)，∴C＝3.
(2)∵sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，sin C＝sin(A＋B)， ∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin 2A， ∴2sin Bcos A＝2×5sin Acos A． ∵△ABC 为斜三角形，∴cos A≠0，∴sin B＝5sin A． 由正弦定理可知 b＝5a，① 1 2 2 ∵c ＝a ＋b －2abcos C，∴21＝a ＋b －2ab×2＝a ＋b －ab，②
2 2
2 7 2 1－ 7 ＝
21 7 ，
7 2 3 21 1－－ ＝ 14 . 14
于是 sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BAD· sin∠CAD＝ 3 21 2 7 21 3 7 － 14 × 7 ＝ 2 . 14 × 7 － BC AC 在△ABC 中，由正弦定理得，sin α＝ ， sin∠CBA 3 7× 2 AC· sin α 故 BC＝ ＝ ＝3. sin∠CBA 21 6
1 3 3 π (2)由已知，得2absin C＝ 2 .又 C＝3，所以 ab＝6. 由已知及余弦定理，得 a2＋b2－2abcos C＝7. 故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
1．(2017· 山西太原模拟)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 2 2 若 sin A＝ 3 ，a＝2，S△ABC＝ 2，则 b 的值为( A ) A． 3 3 2 B． 2 C．2 2 D．2 3
(2)∵sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，sin C＝sin(A＋B)， ∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin 2A， ∴2sin Bcos A＝2×5sin Acos A． ∵△ABC 为斜三角形，∴cos A≠0，∴sin B＝5sin A． 由正弦定理可知 b＝5a，① 1 2 2 ∵c ＝a ＋b －2abcos C，∴21＝a ＋b －2ab×2＝a ＋b －ab，②
2 2
2 7 2 1－ 7 ＝
21 7 ，
7 2 3 21 1－－ ＝ 14 . 14
于是 sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BAD· sin∠CAD＝ 3 21 2 7 21 3 7 － 14 × 7 ＝ 2 . 14 × 7 － BC AC 在△ABC 中，由正弦定理得，sin α＝ ， sin∠CBA 3 7× 2 AC· sin α 故 BC＝ ＝ ＝3. sin∠CBA 21 6
1 3 3 π (2)由已知，得2absin C＝ 2 .又 C＝3，所以 ab＝6. 由已知及余弦定理，得 a2＋b2－2abcos C＝7. 故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
1．(2017· 山西太原模拟)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 2 2 若 sin A＝ 3 ，a＝2，S△ABC＝ 2，则 b 的值为( A ) A． 3 3 2 B． 2 C．2 2 D．2 3
高三数学课件：第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
与三角形面积有关的问题
三角形面积公式 (1)已知一边和这边上的高:
1 1 1 S ah a bh b ch c . 2 2 2
(2)已知两边及其夹角：
1 1 1 S absinC acsinB bcsinA. 2 2 2
(3)已知三边：
S p p a p b p c , 其中p abc . 2
形状. 【解题指南】此题主要是利用正弦定理转化成边或角，做出判 断即可. 【规范解答】方法一：∵acos( ∴asinA＝bsinB.
a b 由正弦定理可得： a ＝b , 2R 2R －A)＝bcos( －B)， 2 2
∴a2=b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形.
方法二：∵acos( ∴asinA＝bsinB.
(2)由b=asinC可知 b sinC sinB ， 由c=acosB可知
a c b 整理得b2+c2=a2，即三角形一定是直角三角形， c a ， 2ac
2 2 2
a
sinA
A=90°,∴sinC=sinB，∴B=C， ∴△ABC为等腰直角三角形.
热点考向 3 【方法点睛】
(4)已知两角及两角的共同边：
b 2sinCsinA c2sinAsinB a 2sinBsinC S . 2sin C A 2sin A B 2sin B C
(5)已知三边和外接圆半径R，则 S abc .
4R
【例3】(1)已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，则c=_____， S△ABC=__________. (2)(2012·新课标全国卷)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A， B，C的对边, acosC 3asinC b c 0. ①求A; ②若a=2,△ABC的面积为 3, 求b,c.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七节
正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A；
c a b ＝ ＝sin C ＝2R， 2 2 sin A sin B 内容 b ＝c ＋a2－2cacos B； (R 为△ABC 外接圆半径) c2＝ a2＋b2－2abcos C
定理
a2＋2a2－4a2 2 ＝ ＝－ ，故选 B． 4 2a× 2a 答案：B
2π b 2． (2016· 北京高考)在△ABC 中， ∠A ＝ ， a＝ 3c， 则c＝______． 3 2π 解析：在△ABC 中，∠A＝ ， 3
2π ∴a ＝b ＋c －2bccos ，即 a2＝b2＋c2＋bc． 3
解析：在△ABC 中， 1 π 5π ∵sin B＝ ，0<B<π，∴B＝ 或 B＝ ． 2 6 6 π π 2π 又∵B＋C<π，C＝ ，∴B＝ ，∴A＝ ． 6 6 3 a b asin B ∵ ＝ ，∴b＝ ＝ 1． sin A sin B sin A 答案：1
考点一
利用正、余弦定理解三角形
2 2 2
∵a＝ 3c，∴3c2＝b2＋c2＋bc， ∴b2＋bc－2c2＝0， ∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0， b ∴b＝c，∴c＝1． 答案：1
[由题悟法] (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理； 如果式子中含有角的正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理 都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是 确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具 有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理 进行判断．
正弦定理 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝
余弦定理
a b 式(边角 sin A＝2R，sin B＝2R， 转化) c sin C＝ ； 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
变形形
2Rsin C；
Hale Waihona Puke b2＋c2－a2 cos A＝ ； 2bc c2＋a2－b2 cos B＝ ； 2ca
a b 解析：∵ ＝ ， sin A sin B b 24 2 2 ∴sin B＝asin A＝ sin 45°＝ ． 18 3 又∵a<b，∴B 有两个解， 即此三角形有两解． 答案：B
2．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a 1 π ＝ 3，sin B＝ ，C＝ ，则 b＝________． 2 6
2 2 2 a ＋ b － c cos C＝ 2ab
2．三角形中常用的面积公式 1 (1)S＝ ah(h 表示边 a 上的高)； 2 1 1 1 absin C acsin B (2)S＝ bcsin A＝ 2 ＝ 2 ； 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)． 2
[小题体验]
2
1－cos B c－a a 解析：由题意，得 ＝ ，即 cos B＝c，又由余弦定 2 2c
2 2 2 a a ＋c －b 理，得c ＝ ，整理得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为直角 2ac
三角形． 答案：直角三角形
[类题通法] 判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒]
在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，
π b ＝a ＋c －2accos B，即 9＝a ＋4a －2a· 2acos ，解得 3
2 2 2 2 2
a＝ 3，∴c＝2a＝2 3．
考点二
利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
[典例引领]
(2017· 贵阳监测)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别是 a， B c－a b，c，若 sin ＝ ，则△ABC 的形状一定是________． 2 2c
答案：4 3
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解． 3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定 理对角的范围的限制．
[小题纠偏]
1． 在△ABC 中， 若 a＝18， b＝24， A＝45°， 则此三角形有( A．无解 C．一解 B．两解 D．解的个数不确定 )
并注重挖掘隐含条件． 另外， 在变形过程中要注意角 A， B， C 的范围对三角函数值的影响．
[即时应用] π 1．在△ABC 中，c＝ 3，b＝1，∠B＝ ，则△ABC 的形状 6 为 A．等腰直角三角形 C．等边三角形 B．直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形 ( )
解析：根据余弦定理有 1＝a2＋3－3a，解得 a＝1 或 a＝2， 当 a＝1 时，三角形 ABC 为等腰三角形，当 a＝2 时，三角 形 ABC 为直角三角形，故选 D． 答案：D
[典例引领]
1．(2016· 兰州实战考试) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos C＝ 2 A． 4 2 B．－ 4 3 C． 4 ( )
3 D．－ 4 2 2 2 a ＋ b － c 解析： 由题意得， b2＝ac＝2a2， 即 b＝ 2a， ∴cos C＝ 2ab
[即时应用] (2016· 山师大附中一模)设△ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c，且 bsin A＝ 3acos B． (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin C＝2sin A，求 a，c 的值．
解：(1)∵bsin A＝ 3acos B，由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin π AcosB．在△ABC 中，sin A≠0，即得 tan B＝ 3，∴B＝ ． 3 (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得 c＝2a，由余弦定理
1．(2016· 天津高考)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C ＝120°，则 AC＝ A．1 C．3 B． 2 D．4 ( )
答案：A
2． 在△ABC 中， A＝45°， C＝30°， c＝6， 则 a 等于________．
答案：6 2
1 3．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝ ，则△ABC 的面 3 积为________．
正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A；
c a b ＝ ＝sin C ＝2R， 2 2 sin A sin B 内容 b ＝c ＋a2－2cacos B； (R 为△ABC 外接圆半径) c2＝ a2＋b2－2abcos C
定理
a2＋2a2－4a2 2 ＝ ＝－ ，故选 B． 4 2a× 2a 答案：B
2π b 2． (2016· 北京高考)在△ABC 中， ∠A ＝ ， a＝ 3c， 则c＝______． 3 2π 解析：在△ABC 中，∠A＝ ， 3
2π ∴a ＝b ＋c －2bccos ，即 a2＝b2＋c2＋bc． 3
解析：在△ABC 中， 1 π 5π ∵sin B＝ ，0<B<π，∴B＝ 或 B＝ ． 2 6 6 π π 2π 又∵B＋C<π，C＝ ，∴B＝ ，∴A＝ ． 6 6 3 a b asin B ∵ ＝ ，∴b＝ ＝ 1． sin A sin B sin A 答案：1
考点一
利用正、余弦定理解三角形
2 2 2
∵a＝ 3c，∴3c2＝b2＋c2＋bc， ∴b2＋bc－2c2＝0， ∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0， b ∴b＝c，∴c＝1． 答案：1
[由题悟法] (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理； 如果式子中含有角的正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理 都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是 确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具 有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理 进行判断．
正弦定理 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝
余弦定理
a b 式(边角 sin A＝2R，sin B＝2R， 转化) c sin C＝ ； 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
变形形
2Rsin C；
Hale Waihona Puke b2＋c2－a2 cos A＝ ； 2bc c2＋a2－b2 cos B＝ ； 2ca
a b 解析：∵ ＝ ， sin A sin B b 24 2 2 ∴sin B＝asin A＝ sin 45°＝ ． 18 3 又∵a<b，∴B 有两个解， 即此三角形有两解． 答案：B
2．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a 1 π ＝ 3，sin B＝ ，C＝ ，则 b＝________． 2 6
2 2 2 a ＋ b － c cos C＝ 2ab
2．三角形中常用的面积公式 1 (1)S＝ ah(h 表示边 a 上的高)； 2 1 1 1 absin C acsin B (2)S＝ bcsin A＝ 2 ＝ 2 ； 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)． 2
[小题体验]
2
1－cos B c－a a 解析：由题意，得 ＝ ，即 cos B＝c，又由余弦定 2 2c
2 2 2 a a ＋c －b 理，得c ＝ ，整理得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为直角 2ac
三角形． 答案：直角三角形
[类题通法] 判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒]
在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，
π b ＝a ＋c －2accos B，即 9＝a ＋4a －2a· 2acos ，解得 3
2 2 2 2 2
a＝ 3，∴c＝2a＝2 3．
考点二
利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
[典例引领]
(2017· 贵阳监测)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别是 a， B c－a b，c，若 sin ＝ ，则△ABC 的形状一定是________． 2 2c
答案：4 3
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解． 3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定 理对角的范围的限制．
[小题纠偏]
1． 在△ABC 中， 若 a＝18， b＝24， A＝45°， 则此三角形有( A．无解 C．一解 B．两解 D．解的个数不确定 )
并注重挖掘隐含条件． 另外， 在变形过程中要注意角 A， B， C 的范围对三角函数值的影响．
[即时应用] π 1．在△ABC 中，c＝ 3，b＝1，∠B＝ ，则△ABC 的形状 6 为 A．等腰直角三角形 C．等边三角形 B．直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形 ( )
解析：根据余弦定理有 1＝a2＋3－3a，解得 a＝1 或 a＝2， 当 a＝1 时，三角形 ABC 为等腰三角形，当 a＝2 时，三角 形 ABC 为直角三角形，故选 D． 答案：D
[典例引领]
1．(2016· 兰州实战考试) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos C＝ 2 A． 4 2 B．－ 4 3 C． 4 ( )
3 D．－ 4 2 2 2 a ＋ b － c 解析： 由题意得， b2＝ac＝2a2， 即 b＝ 2a， ∴cos C＝ 2ab
[即时应用] (2016· 山师大附中一模)设△ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c，且 bsin A＝ 3acos B． (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sin C＝2sin A，求 a，c 的值．
解：(1)∵bsin A＝ 3acos B，由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin π AcosB．在△ABC 中，sin A≠0，即得 tan B＝ 3，∴B＝ ． 3 (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得 c＝2a，由余弦定理
1．(2016· 天津高考)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C ＝120°，则 AC＝ A．1 C．3 B． 2 D．4 ( )
答案：A
2． 在△ABC 中， A＝45°， C＝30°， c＝6， 则 a 等于________．
答案：6 2
1 3．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝ ，则△ABC 的面 3 积为________．