[高中数学]高三S-14-教师-函数的值域和最值2
高中数学高频考点——函数最值、值域、恒成立问题知识点总结
函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
高中数学复习专题讲座 函数值域
高中数学复习专题讲座求函数值域的常用方法及值域的应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析 证明S (λ)在区间［43,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ1022代入上式得 S =5000+4410 (8λ+λ5),5cm5cm 8cm8cm当8λ=λ5,即λ=85(85<1)时S 取得最小值此时高 x =λ4840=88 cm, 宽 λx =85×88=55 cm如果λ∈［43,32］，可设32≤λ1<λ2≤43,则由S 的表达式得)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S又21λλ≥8532>,故8－215λλ>0,∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［43,32］内单调递增从而对于λ∈［43,32］,当λ=32时，S (λ)取得最小值答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［43,32］,当λ=32时，所用纸张面积最小例2已知函数f (x )=xa x x++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托 本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析 考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得(1)解 当a =21时，f (x )=x +x21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数， ∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f(2)解法一 在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22>0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3解法二 f (x )=x +xa +2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +11-m )(1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1(1)证明 先将f (x )变形 f (x )=log 3［(x －2m )2+m +11-m ］,当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +11-m >0恒成立，故f (x )的定义域为R反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +11-m >0,令Δ＜0,即16m 2－4(4m 2+m +11-m )＜0,解得m >1,故m ∈M(2)解析 设u =x 2－4mx +4m 2+m +11-m ,∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小而u =(x －2m )2+m +11-m ,显然，当x =m 时，u 取最小值为m +11-m ,此时f (2m )=log 3(m +11-m )为最小值(3)证明 当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+11-m +1≥3,当且仅当m =2时等号成立∴log 3(m +11-m )≥log 33=1。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结（16种）一、 观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例:求函数()x 323y -+=的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。
解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。
点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。
练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。
（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例：求函数2x 1x y ++=的值域。
点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。
（答案：{}1y 1-y |y 或）。
三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。
例：求函数()2x x-y 2++=的值域。
点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。
此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：x 4-155-x 2y +=的值域。
（答案：{}3y |y ≤）四、判别式法：若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。
高中数学：求函数值域的方法十三种(一)
2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
函数的基本性质3最值与值域
在解决实际问题时，可以根据问题的实际背景确 定函数的值域，从而得到问题的解。
03 函数的最值与值域的关系
最值与值域的联系
01 最值是函数在定义域内达到的最大或最小值，而 值域是函数所有可能取值的集合。
02 最值一定出现在函数的定义域内，而值域是定义 域内所有可能取值的集合，包括最值。
03 当函数在定义域内取得最值时，其对应的自变量 值称为临界点。
最值与值域的区别
01
最值是函数在特定点上的取值，而值域是函数所有可
能取值的范围。
02
最值只考虑函数在临界点处的取值，而值域需要考虑
整个定义域内的取值情况。
03
最值是函数在特定点上的局部特性，而值域是函数在
整个定义域上的全局特性。
最值与值域在函数中的表现形式
值域：对于任意实数$x$， $f(x)=kx+b$的值域为$R$。
二次函数的最值与值域
二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的最值出现在对称轴上，即$x=-frac{b}{2a}$处，最大值为$frac{4acb^2}{4a}$，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
值域：当$a>0$时，函数有最小值，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a<0$时，函数有最大值，最大 值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
函数的最值可以通过求导数、利用极值定理或比较法等方法求得。
函数的值域可以通过观察函数的图像、利用函数的性质或比较法等方法确 定。
在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法来确定函数的最 值和值域。
04 函数的最值与值域的实例 分析
一次函数的最值与值域
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
（一）、最值与值域的高考地位 传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物
力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围 问题很大一部分归结于最值与值域的求解
通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数 学思想解题的能力。 （二）、最值与值域的关系 1、有的函数知道值域就可以求最值
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
（2）、求函数
f
(x)
3x 5x
4
的值域
法（三）：分离变量法
2
9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值
（三）、基本初等函数的定义域与值域
函数名
函数解析式
定义域
值域
一次函数 y kx b(k 0)
R
R
二次函数 y ax 2 bx c(a 0) R
a 0 时，{y | y 4ac b2 } 4a
a 0 时，{y | y 4ac b2 } 4a
R
【-1,1】
{x | x k (kR Z )} 2
（四）、函数的最值与值域的求解技巧
即是求函数值的集合或是找到的 y 的不等式出来（以后者为重）
如：已知函数 f (x) 2x 1， x 0,1,2,3,5则此函数的值域是（ ）
A、9,1,2,3,5；B、 1,1,3；C、 9,1,1,3,5；D、x | 1 x 9
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域是（用区间表示）;【答案】【解析】由得，所以定义域为.【考点】函数的定义域.2.函数的图像为【答案】D【解析】因为=，其图像为D．【考点】对数恒等式，分类整合思想，常见函数图像，分段函数3.设函数f(x)＝ (x＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________．【答案】[0，＋∞)【解析】先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，即f[f(x)]＝易知其值域为[0，＋∞)．4. [2013·山东青岛调研]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域是________．【答案】[－1,2]【解析】∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．5.设a，b为实数，关于x的方程的4个实数根构成以d为公差的等差数列，若，则的取值范围是 .【答案】【解析】设4个实数根依次为，由等差数列性质，不妨设为的两个实数根，则为方程的两个根，由韦达定理，即，又，,故，∴，即的取值范围是．【考点】等差数列的性质、函数值域.6.江西高考函数y＝ln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]【答案】B【解析】由得，函数定义域为[0,1)．7.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（）A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)【答案】D【解析】令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.8.函数的定义域为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义，则有，即，所以，即函数定义域为，选C.9.已知，对，使成立，则a的取值范围是( )A．[-1，+)B．[-1，1]C．(0，1]D．(-，l]【答案】B【解析】解：由题意知函数的值域是函数的值域的子集；因为当时，当时,所以函数的值域是所以，解得：故选B.【考点】1、分段函数；2、函数的值域；3、等价转化的思想.10.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二次根式的定义可得,所以函数的定义域为,故选A.【考点】定义域一次不等式11.函数（）的最大值等于 .【答案】4【解析】因为对称轴为，所以函数在[-1,1]上单调递增，因此当时，函数取最大值4.【考点】二次函数最值12.函数的定义域为________.【答案】【解析】依题意可得.即.【考点】1.函数的定义.2.对数函数的知识.13.已知函数f(x)＝lg(k∈R，且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，求k的取值范围．【答案】（1）当0<k<1时，函数定义域为；当k≥1时，函数定义域为.（2）【解析】(1)由>0，k>0，得>0，当0<k<1时，得x<1或x>；当k＝1时，得x∈R且x≠1；当k>1时，得x<或x>1.综上，当0<k<1时，函数定义域为；当k≥1时，函数定义域为.(2)由函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，知>0，∴k>.又f(x)＝lg＝lg，由题意，对任意的x1、x2，当10≤x1<x2，有f(x1)<f(x2)，即lg<lg，得<(k－1)(－)<0.∵x1<x2，∴>，∴k－1<0，即k<1.综上可知，k的取值范围是.14.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝的定义域．【答案】[0，1)【解析】由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．15.函数f(x)=的定义域为()A．(0,+∞)B．(1,+∞) C．(0,1)D．(0,1)∪(1,+∞)【答案】D【解析】由得∴0<x<1或x>1,故选D.16.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是() A．[0,]B．[-1,4]C．[-5,5]D．[-3,7]【答案】A【解析】【思路点拨】先求y=f(x)的定义域,再求y=f(2x-1)的定义域. 解:由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4,由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,故函数y=f(2x-1)的定义域为[0,].17.已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α)的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)函数f(x)要有意义需满足cos x≠0，解得x≠＋kπ(k∈Z)，即f(x)的定义域为(2)f(x)＝＝＝＝2(cos x－sin x)，由tan α＝－，得sin α＝－cos α，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝.∵α是第四象限的角，∴cos α＝，sin α＝－，∴f(α)＝2(cos α－sin α)＝18.函数f(x)＝的定义域是()A．[－3，3]B．[－，]C．(1，]D．[－，1)∪(1，]【答案】D【解析】由题意知所以－≤x≤且x≠119.函数的定义域是_____________．【答案】【解析】函数的定义域是使函数式有意义的自变量的集合，求定义域时要注意基本初等函数的定义域．【考点】函数的定义域．20.已知是定义在上的奇函数，则的值域为 .【答案】【解析】由奇函数性质知其定义域关于原点对称，值域也关于原点对称．首先求出参数，可利用特殊值法，奇函数，得．时，，，则，因此值域为．【考点】奇函数的性质与函数的值域．21.设函数，且，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是__________.【答案】.【解析】由题意，，，当时，；当时，；当时，.【考点】函数解析式.22.已知函数的定义域为，值域为.下列关于函数的说法：①当时，；②将的图像补上点，得到的图像必定是一条连续的曲线；③是上的单调函数；④的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设函数的图象如图根据图形知，①②③错误，④正确. 选B【考点】函数的定义域、值域，函数的图象性质.23.已知方程在上有解，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由，参变分离得，记，且，所以，即，故实数的取值范围为.【考点】二次函数的值域.24.函数的值域为 .【答案】【解析】当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时等号成立，综上知，函数的值域为.【考点】基本不等式，函数的值域.25.设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0,1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【答案】C【解析】因为，，所以，函数的值域为{0,1}；因为，是有理数或无理数时，依然为有理数或无理数，所以，函数值不变，即D（x）是偶函数；因为，＝=，所以，为其一个周期，故C错，选C.【考点】函数的性质26.下列函数中，值域为的函数是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】确定函数的值域，应首先关注函数的定义域.根据指数函数的性质可知的值域为，故选C.【考点】函数的定义域、值域，常见函数的性质.27.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】自变量满足，解得且，故函数的定义域是，故选C.【考点】函数的定义域28.函数f(x)＝－x4＋2x2＋3的最大值为．【答案】4【解析】令，则，则当时，取最大值4.【考点】换元法求值域.29.设，函数有意义, 实数取值范围 .【答案】【解析】由题意得，对都成立，当时，显然成立，或当即时不等式也成立，所以实数取值范围.【考点】对数函数的定义域、一元二次不等式.30.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，得且.所以定义域为.【考点】定义域的求法、解不等式31.函数的定义域为( )A．(0，+∞)B．(1，+∞)C．(0，1)D．(0，1)(1，+)【答案】B【解析】根据题意，由于对数真数大于零，偶次根号下为非负数，则可知，故可知答案为(1，+∞)，选B.【考点】函数定义域点评：主要是考查了函数定义域的求解，属于基础题。
高中数学-函数值域的求法及应用
高中数学-函数值域的求法及应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本文主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题1.重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力2.值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见基本函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.3.求函数值域（最值）的常用方法3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解.3.2配方法对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数的值域：3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数：（1）形如的函数，令；（2）形如的函数，令；（3）形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例2：求函数的值域：.分析：设则.所以原函数可化为进行求解3.4不等式法利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可.例3：求函数的值域：.分析：一次比二次或者二次比一次的分式函数的通用方法是先换元再利用基本不等式求值域3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例4：f(x)＝x+在区间[1,3]上的值域3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率.例5：求函数的值域：分析：画出图像便能一目了然3.7函数的有界性法形如，可用表示出，再根据，解关于的不等式，可求的取值范围.3.8导数法设的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.例6：设f(x)＝x3－－2x＋5，求f(x)在[-2,3]上的值域3.9判别式法例7：求函数的值域典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围命题意图本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)(1)证明当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值(3)求证对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1学生巩固练习1 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )A(－∞,－ B［－,+∞C［,+∞D(－∞,－］2 函数y=x+的值域是( )A (－∞,1B (－∞,－1C RD ［1,+∞3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表器电箱问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域(2)求函数f(x)的最小值。
高考数学重难点第三讲 函数值域的常见求法8大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)
重难点第三讲函数值域的求法8大题型——每天30分钟7天掌握函数值域的求法8大题型【命题趋势】函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y=或y ax b=+t =”换元；（2）y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠）t =”换元；（3）y bx =±型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x=+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）。
高中数学 函数定义域,值域,解析式的求法及最值
课题函数教学目标函数的定义域、值域、最值以及解析式的求法重点、难点函数的最值以及解析式的求法考点及考试要求函数的最值以及解析式的求法教学内容（一）函数值域的概念：函数的值域就是我们通常说的y的范围，它是一个集合{y︱y=2x+1} 值域一定要与函数的定义域联系起来。
（二）函数的值域与最值的联系：注意：（三）常见函数的值域：考题8例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1x x x g --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域： （1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［+∞). （2）设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx xg --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x（1）画出函数的图象；（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值. 解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上 的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域：（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）. 一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案 007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 .答案 3 4.已知f (2211)11xx x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=则f (-3)= . 答案 68.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（=16, ϕ (1)=8,则ϕ(x )= .答案 3x +x 5二、解答题9.求函数f (x )=21)|lg(|x x x --的定义域.解 由,11010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则 f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有 ①2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ②2f (x )-f (-x )=lg(1+x )两式联立消去f (-x )得 3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ),∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1).。
高三数学函数的值域(2019年10月整理)
高三备课组
知识点
1．函数的值域的定义 在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函 数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中 实数y的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的 定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x义确定。
c
形如含有 a2 x2 的结构的函数，可用三角换元令
x=acosθ 求解。
①反函数法或分离常数法：{y y 1 且y R}
2
例2．求下列函数的值域
① y 1 x 2x 5
②
y
3x x2 4
②判别式法：[
3 4
,
3] 4
形如：y cx d (a 0) 可用反函数法或分离常数法求；
⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求 最值，再得值域； ⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
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通川郡之万世 西定六州 有六驮马 石泉 贞观八年 礼乐师旅之事 隶门下省 乾元元年 自霍壁移于今所 以平城 晋不改 平昌 各有准常 曰表 以贰令之职 交 (开元五年置 分置温泉县 )监一人 置于禁中 户一万七千七百一十九 务 信都 若祖父母老疾 属巴郡 则进瓒而赞酌郁酒以稞 其年 卫 温 七年 贞观元年 龙朔为司虞大夫 漏刻生三百六十人 举其货 )楷书手五人 每切于旁求；分秭归县置 改为北澮州 有上中下 废都督府 为勋卫及率府之亲卫 督梁 改为复州 属河间国 平萧铣 以充后数 若官非其人 石州 武城 八宝 同 平铣 四年 每寺上座一人 生徒充业
专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。
高三数学 第一轮复习 13：函数的值域
高三数学第一轮复习13函数的最值·知识梳理·模块01：求函数最值1、定义：函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，对于定义域内任意给定的x ，如果0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 就叫做函数()y f x =的最小值（minimun）；相反，如果0()()f x f x ≤都成立，那么0()f x 就叫做函数()y f x =的最大值（maximun）。
2、函数最值的求法1）、直接观察；2）、配方法；3）、基本不等式/耐克函数；4）、分离常数法/部分分式法；5）、数形结合法；6）、换元法；7）、判别式法；8）、单调性；9）、奇偶性(*)…3、函数的值域1）、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2）、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；3）、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论.叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述，而且最后的结论要用总结的话语进行概括。
4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集。
5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结。
模块02：求参数的值或取值范围1、二次函数：一般讨论开口方向、对称轴位置；2、耐克函数：讨论拐点位置。
3、策略：分类讨论（拐点、对称轴、开口方向等等）模块03：存在成立与恒成立问题1、不等式的恒成立与存在成立问题解题思路①简单版：一般先考虑分离参数，（1）若不等式(,)0f x λ≥()x D ∈（λ为实参数）恒成立，转化为()g x λ≥或()g x λ≤对于x D ∈恒成立，进而转化为max ()g x λ≥或min ()g x λ≤，求()g x 的最值即可；（2）若不等式(,)0f x λ≥()x D ∈（λ为实参数）有解，转化为()g x λ≥或()g x λ≤对于x D ∈存在成立，进而转化为min ()g x λ≥或max ()g x λ≤，求()g x 的最值即可。
春季02-高三数学培优版-二轮复习专题：值域与最值2-教师版
教师姓名 学生姓名年 级高三上课时间学 科数学课题名称二轮复习专题：值域与最值3一．知识梳理：值域的考试应用属高频考点，考查形式多样化1．涉及最值、范围或直接阐述值域问题，常可转化为值域求法 2.涉及不等式、恒成立、存在性问题，亦常可变形为某变量的值域求法 3.注意值域的应用常会牵扯到数形结合、方程或不等式的分离参数4.注意值域的应用不仅仅局限于函数，数列、向量、解析几何中都可能出现，这点看出题人的考虑完全能够实现。
二、例题讲解： 1. 数列中最值分析例1．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＋a 4＝14，且a 1，a 2，a 7成等比数列. (1)求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ； (2)令b n ＝S nn ＋k，若{b n }是等差数列，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n 的最小值.二轮复习专题：值域与最值3答案： (1)S n ＝2n 2－n .(2)当k ＝－12时，T n 的最小值为18；[当k ＝0时，T n 的最小值为13.例2．已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值.答案： (1)a n ＝2n .(2)实数k 的最小值为16.2.数形结合中的最值例3．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4答案： B例4．设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|PA → ＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175D.195答案： D例5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≤0，2x ＋y ＋2≤0，则z ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －1＋32的取值范围是________.答案：(－1，1]例6．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )答案：B例7．已知f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值 答案： C例8．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )．若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为 ( )A ．12，2 B ．12，4 C ．22， 2 D ．14，4 答案：A3.方程与不等式例9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧34x ＋54，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (t ))＝2f (t )的t 的取值范围是________.[来源:学.科.网] 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13例10．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. ①求k 的值及f (x )的表达式；②隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 答案：① k ＝40，f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).②隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元.例11．[19届浦东一模12]已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2,)x ∈+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为答案： [2,6)-例12．当4=a 时，若对于任意R x ∈，不等式()k mk k a x a 22log 22-+-≥+对于任意的12,2k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．答案：904m ≤≤例13．已知定义在区间]2,0[上的两个函数)(x f 和)(x g ，其中42)(2+-=ax x x f （1≥a ），1)(2+=x x x g ．（1）求函数)(x f y =的最小值)(a m ；（2）若对任意]2,0[,21∈x x ，)()(12x g x f >恒成立，求a 的取值范围．答案：（1）2412,()84 2.a a m a a a ⎧-<=⎨-⎩≤≥ （2）2613a <≤例14．设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,a a y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为 ．答案：{2}例15．已知函数x x x f 2)(2-=，2)(+=ax x g （0>a ），若任意]2,1[1-∈x ，存在]2,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f =，则实数a 的取值范围是________． 答案：),3[+∞．1．设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ． 答案：15a ≥2．已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是__ _ __． 3．由直线1+=x y 上的一点向圆1)3-(22=+y x 引切线，求切线长的最小值.答案：224．R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.答案：12m >-5．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，72332=+=+b a b a . （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记2010-=n n a c ，*N n ∈，n A 为数列}{n c 的前n 项和，当n 为多少时n A 取得最大值或最小值？（3）是否存在正数K ，使得12)11()11)(11(21+≥+⋅⋅⋅⋅⋅++n K a a a n对一切*N n ∈均成立，若存在，求出K 的最大值，若不存在，说明理由.答案：（1）1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． （2）1005=n 时，n A 取得最小值. （3）332)1()(min ==≤F n F K .a ∈R x 2104x x a a ++-+=a。
高中数学 函数的值域与最值
函数的值域与最大(小)值(一)复习指导函数的值域就是全体的函数值所构成的集合，是由其对应法则和定义域共同决定的，在多数情况下，一旦函数的定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定了，而函数的最大(小)值一定是值域内最大(小)的一个函数值，因此求函数的值域和求函数的最大(小)值在方法上是相通的．求函数的值域要注意优先考虑定义域，常用的方法有：（1）观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，例如函数221x y +=的值域是}210{≤<y y ；（2）反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如)0(≠++=a b ax dcx y 的函数值域可用此法求值域；（3）配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；（4）不等式法：利用基本关系,0)]([2≥x f 两个正数的均值不等式ab b a 2≥+在应用时要注意“一正二定三相等”；（5）利用函数的单调性求值域：观察函数式特点，联系函数单调性确定函数的定义域和值域，例如函数)0(≠+++=ac d cx b ax y ，可看a 与c 是否同号，若同号则可用单调性求值域，若异号才用换元法；在利用两正数的均值不等式求值域失效（即等号不成立）的情况下，可采用单调性法求值域，函数)0,0(>>+=k x x kx y 当],0(k x ∈时，函数递减，当),[+∞∈k x 函数递增，想想这是为什么？ 另外，还可用数形结合法（函数的图像）、判别式法、换元法（三角换元法）等求值域。
小结：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a bx 2-=时，其最大值b ac y )4(2max -= ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x 0是否属于区间[a,b]①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式解题中要注意二次项系数是否为0的讨论求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法(二)解题方法指导例1．求下列函数的值域： (1)f (x )=x 2－2x －3，x ∈[2，4] (2)f (x )=x 2－2x －3，x ∈[－3，4](3)f (x )=sin 2x －2sin x －3 (4)xx y 22)21(-=例2．求下列函数的值域： (1);152++=x x y(2)1sin 22sin -+=x x y例3．求函数2cos 1sin --=θθy 的值域．例4．求x x y -+-=42的值域．例5．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由例 题 解 析例1解：(1)根据f (x )=x 2－2x －3=(x －1)2－4的图像，可知在[2，4]上函数是单调递增的，f (2)≤f (x )≤f (4)，即－3≤f (x )≤5，所以函数的值域为[－3，5]．(2)抛物线f (x )=x 2－2x －3的开口向上，对称轴为x =1，而1∈[－3，4]，所以由图像可知f (1)≤f (x )≤f (－3)，即－4≤f (x )≤12，所以y ∈[－4，12](3)令t =sin x ，则问题化为当t ∈[－1，1]时，求φ(t )=t 2－2t －3的值域，根据图像可知函数φ(t )=t 2－2t －3在[－1，1]是单调递减的，φ(1)≤φ(t )≤φ(－1)即－4≤φ(t )≤0，所以函数的值域为[－4，0]．(4)令u =x 2－2x ，u =x 2－2x =(x －1)2－1≥－1，而uy )21(=所以在R 上是减函数，所以2)21(1=≤-y ，故y ∈(0，2]．小结：(3)(4)题是双重复合型函数问题，求值域宜“由里向外”，逐层考虑．二次函数的值域和两个因素密切相关：一是所给的区间，二是对称轴的位置．根据所给条件条件，迅速做出草图，是解决这类问题的最佳方法，关于二次函数求最大(小)值问题，后面还要专门的研究．例2解：(1)原函数可化为132++=x y ，因为013=/+x ，所以y ≠2，即函数的值域为{y ∈R ｜y ≠2}．注：此题也可以反解x ，得25--=y y x ，得到y ≠2．一般地，当c ≠0时，ab ax y ++=α的值域为{y ∈R ｜y ≠c a}． (2)由1sin 22sin -+=x x y 反解sin x ，得⋅=/-+=21122sin y y y x （因为｜sin x ｜≤1，所以得1|122|≤-+y y 解得y ≥3或⋅-≤31y 所以函数的值域为].31,(),3[--∞+∞注：此题也可以令t =sin x ，通过图像考虑122-+=t t y 在[－1，1]上的单调性，从而求出函数的值域． 例3解：令m =cos θ，n ＝sin θ，则m 2＋n 2=1．因此所求函数的值域，就是圆x 2＋y 2=1上的动点(x ，y )与定点(2，1)连线的斜率的变化范围，设经过定点(2，1)且与x 2＋y 2=1相切的直线为y －1=k (x －2)，即kx －y ＋1－2k =0，利用相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，易得k =0，或34=k ，由图形可知，34,0=k 分别为圆上的动点(x ，y )与定点(2，1)连线的斜率的最小值，最大值，所以所求的函数的值域为⋅]34,0[小结：此题用的是数形结合的方法，也可以将2cos 1sin --=θθy 变形为sin θ－y cos θ=1－2y ，进一步化为121)sin(2+-=-y y ϕθ，其中φ为辅助角，根据｜sin(θ－φ)｜≤1解得⋅∈]34,0[y例4解法1：原函数式两端平方得).42()4)(2222≤≤--+=x x x y （显然有y 2≥2， 又1242)4)(2(=-+-≤--xx x x ，当且仅当x －2=4－x 即x =3时“=”成立， 所以又有y 2≤2＋2=4，由2≤y 2≤4及y ＞0，得].2,2[∈y解法2：因为2≤x ≤4，所以可令x =2＋2cos 2x ）（2π0≤≤x ．则函数变为)cos (sin 2x x y +=).4πsin(2+=x 由于,2π0≤≤x 所以,4π34π4π≤+≤x 所以].2,2[)4πsin(2∈+=x y例5解：（1）由101100x x x p x +⎧>⎪-⎪⎨->⎪->⎪⎩，解得1x x p >⎧⎨<⎩ ①当1p ≤时，①不等式解集为∅；当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<， ∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >（2）原函数即22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+， 当112p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值。
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3、函数 的值域为
4、函数 的值域为（－∞,－2）∪（－2,+∞）,则实数a=4
5、函数 的最小值是___ _____.
6、函数 = 的最小值为___ _____
7、函数 的最大值为－3
8、函数 的值域为
9、在区间[-4,-1]上,函数f（x）=-x2+px+q与函数g（x）=x+ 同时取得相同的最大值,
答案：
（Ⅰ）设休闲区的宽为 米,则其长为 米,
∴ ,
∴
（Ⅱ） ,当且仅当 时,公园所占面积最小,
此时, ,即休闲区 的长为 米,宽为 米.
3、函数 时定义在R上的奇函数,且在区间 上是增函数,是否存在实数 ,使 对所有 都成立？若存在,求出所有适合条件的实数 ,若不存在,请说明理由.
4、已知g =f（x）是偶函数,当x＞0时,f（x）=x+ ,且当x∈[－3,－1]时,
n≤f（x）≤m恒成立,求m－n的最小值.
【巩固练习】
一、填空：
1、函数 的值域为
初中/高中数学备课组
教师
班级
学生
日期
上课时间
学生情况：
--------
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主课题： 函数的值域和最值2
教学目标：
1.
2.
3.
教学重点：
1.
2.
3.
4.
教学难点：
1.
2.
3.
考点及考试要求：
1.
2.
3.
4.
函数的值域和最值2
【知识精要】
类型与方法：
1、函数如： 转化成反比例函数；（分母分子 指数为1）
2、函数如： 或 转化成 和 型函数；（分母分子 指数为1和2）
3、函数如： 可利用换元、分解因式、 法（可不做要求）（分母分子 指数为2）
思想方法：转化Biblioteka 想【精解名题】1、已知 ,求f(x)的值域.
2、求函数
1）求当 分别取－3, ,1时函数的最值
2）求函数的最值,并求出使函数取到最值时的 的值.
那么函数f（x）在区间[-4,-1]上的最小值为_____－8_______
三、解答
10、已知函数 在区间 上的值域为 ,求实数 的值
答案：
12、若函数 在 上是增函数,求实数 的取值范围
答案：
13、设a为实数,函数f(x)=x2+│x-a│+1,x∈R.
1)讨论f(x)的奇偶性;
2)求f(x)的最小值.
答案： 偶, 非奇非偶；
14、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ,公园由长方形的休闲区 和环公园人行道（阴影部分）组成.已知休闲区 的面积为 平方米,人行道的宽分别为 米和 米（如图）
（Ⅰ）若设休闲区的长和宽的比 ,求公园 所占面积 关于 的函数 的解析式；
（Ⅱ）要使公园所占面积最小,休闲区 的长和宽该如何设计？