06-有理数复习-七年级寒假讲义
七年级数学有理数的复习
复习要点
5.绝对值的几何定义与代数定义 。
绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上 表示数a 的点与原点的距离。数a的绝对 值记作
“ a”，读作a 的绝对值。
绝对值的代数定义：①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值 是零。
不管有理数a取何值，它的绝对值总是正 数或0。即对任意的有理数a，总有
（2）（+3）－（－5） = +3 + （+5） = +8。
a 0(大于或等于)
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
2、绝对值不相等的异号两数相加，取 绝对值 较大的加数的符号，并用较大 的绝对值 减去 较小的绝对值。互为相 反数的两个数相加得 0 。
3、一个数同0相加，仍得这个数 。
8、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a— b = a + (—b ).
（1）（－3）－（+5）= （－3）+（－5） = －8，
有理数的复习
复习要点：
1.举例说明正数与负数。
2.将有理数按定义和性质做一个分
类表。
正整数
有
理
数
整
数
零
负 整
数
寒假讲义-数学-七年级-第1讲-有理数综合复习
辅导讲义【知识梳理】知识网络：要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态0C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 ．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1. 科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.【例题精讲】类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1举一反三：【变式】(1)321-的倒数是 ；321-的相反数是 ；321-的绝对值是 . -（-8）的相反数是 ；21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min.(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd ____ . (5) 近似数0.4062精确到 位，近似数 5.47×105精确到 位，近似数3.5万精确到 位，3.4030×105精确到千位是 .【答案】（1）35-；213；213；-8；2 （2）降价5.8元，70.2 元；（3）33.7510⨯；（4）3；（5）万分；千；千；3.40×1052．如果(x-2)2+|y-3|＝0，那么(2x-y)2005的值为()．A．1 B．-1 C．22006D．32005【答案】A【解析】因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|＝0，所以由非负数的性质先求出x=2，y =3的值，代入得： (2x-y)2005=12005=1．【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性．【变式】已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．【答案与解析】解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【变式】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a>0；|a|=-a时， a<0. ②|a|就是a与-a中较大的数.③|a|就是数轴上a到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①②（3）已知(-ab)3>0，则（）A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A ．120B ．-15C ．0D ．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）A ．-a 6与(-a)6B ．-a 3与|-a|3C ．[(-a)2]3与(-a 3)2D ．(ab)3与ab 3【答案】（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）D ；(5)C【变式】某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，表示2009年这个市的国民生产总值应是（精确到0.01）________元.【答案】103.6710⨯. 提示：333.9 1.1367.29⨯=（亿元）103.6710=⨯（元）3．在下列两数之间填上适当的不等号：（1）20052006________20062007． （2） 99100-________100101-．【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】＜【解析】（1）法一：作差法由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯，所以2005200620062007< 法二：倒数比较法：因为2006112007112005200520062006=+>+= 所以2005200620062007< （2）【解析】法一：作差法：99100--（100101-） =99100991011001001010010110110010100-⨯+⨯-+==>⨯， ∴99100100101->-． 法二：作商法：由于99100991019999110010110010010000÷=⨯=<，所以99100100101<． 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：99100100101->-【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．举一反三：【变式】比较大小：(1)199-________0.001； (2)23-________-0.68 【答案】（1）＜ （2）＞【变式】在下列两数之间填上适当的不等号．1111111-_________111111111-． 【答案】＞ （提示：倒数法较简便）类型二、有理数的运算4．（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （5）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案与解析】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39） =﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =×60﹣×60﹣×60 =10﹣25﹣8=﹣23（4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭3124575512416543415⎛⎫⎛⎫=⨯-++-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭14575524242412540434⎛⎫=-+⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭ 12705633012540=-++-+ 1121403912040=-+= 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】计算：（1）11(2)(2)22-⨯÷⨯- （2）()20064261031-+--⨯- 【答案】解：（1）111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= （2）()20064261031-+--⨯- =-16+4-3×1=-154. 先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭； 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…； 1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值．【答案与解析】解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n⎛⎫-⎪+⎝⎭的形式，然后再进行计算．【变式】用简单方法计算：120180148124181++++【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯类型三、数学思想在本章中的应用5．（一）数形结合思想：（1）有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A．2b+a B．2b-a C．a D．b（二）分类讨论思想：（1）已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（2）已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小（三）转化思想：（1）计算：31 35()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭（2）计算：1 (999)35⎛⎫-÷-⎪⎝⎭．【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=331 35(7)3577246 14142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯=⎪⎝⎭（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．综上所述：当a≥0时，|a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．（3）1(999)(10001)(35)35⎛⎫-÷-=-+⨯-⎪⎝⎭(1000)(35)1(35)34965=-⨯-+⨯-=．【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1200-【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1 210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 -．7．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A ．495B ．497C ．501D ．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．【答案】A 【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A ．举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．A ．1132B ．1360C ．1495D ．1660【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n ，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯．【课堂练习】一、选择题1．下列判断正确的个数有( )(1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等．(2)若两个有理数互为相反数，则这两个数互为倒数．(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个有理数也相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列各数中最大的是( )A ．23B ．-32C ．(-3)2D ．(-2)33． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人5．若-1<a<0,则a ，2a ,a 1从小到大排列正确的是（ ）A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2 <a16．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或67．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba >0 D ．a -b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ）A ．a b -B ．||||a b +C ．||||a b -D ．||a b -二、 填空题9.对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么-3克表示_____.10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米，精确到千亿位为 千米．12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x .13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ．20．【解析】解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭1112007669132008320082008⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭课后作业一、选择题1．计算106×(102)3÷104之值为（ ）．A ．108B ．109C ．1010D ．10122． a b -与a 比较大小，必定为（ ）．A ．a b a -<B ．a b a ->C ．a b a -≤D ．这要取决于b3．下列语句中，正确的个数是（ ）.①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若0m n <<，则mn n m <-.A ．0B ．1C ．2D ．34．已知||5m =|，||2n =，||m n n m -=-，则m n +的值是（ ）.A ．-7B ．-3C ．-7或-3D ．±7或±35．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6x -和，则（ ）．A ．910x <<B ．1011x <<C ．1112x <<D ．1213x <<6. 如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、 D 对应的数分别是整数a,b,c,d ，且b-2a=9,那么数轴的原点对应点是 （ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点7.有理数a,b,c 的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++>B ．a b c +<C ．a c a c -=+D ．b c c a ->-8.记12n n S a a a =+++…，令12n n S S S T n+++=…，称n T 为1a ，2a ，…，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为( )．A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010二、填空题9．已知a 是有理数，有下列判断：①a 是正数；②-a 是负数；③a 与-a 必有一个是负数；④a 与-a 互为相反数，其中正确的有________个．10．2011年成市承接产业转移示范区建设成效明显，第一季度完成固定资产投资238亿元，用科学记数法可记作________元．11．一种零件的尺寸在图纸上是0.050.027+-（单位：mm ），表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________．12．当a =________时，式子23(1)a --的值最大，这个最大值是________．13．如图，有理数,a b 对应数轴上两点A ，B ，判断下列各式的符号：a b +________0；a b -________0；()()________a b a b +-0；2(1)ab ab +________0．14．已知,,a b c 满足()()()0,0a b b c c a abc +++=<，则代数式a b c a b c++的值是 ．500=50050050012500=501【解析】由图可得：。
七年级上有理数复习专题讲义
七年级上有理数复习专题讲义有理数及其运算复专题知识回顾：一、有理数有理数是指整数和分数的总称。
根据定义，有理数可以分为正整数、负整数、正分数、负分数和零。
其中，非负数包括正有理数和零，非正数包括负有理数和零。
二、数轴数轴是一条直线，规定了原点、正方向和单位长度。
所有的有理数都可以用数轴上的点表示，其中正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示。
在数轴上，右边的数比左边的数大。
三、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，并且与原点的距离相等。
用字母表示：如果a、b互为相反数，那么a+b=0.四、绝对值一个数的绝对值是它所对应的点与原点的距离。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，而零的绝对值是零。
绝对值具有非负性，且0的绝对值为0.五、有理数的运算法则有理数的加法法则分为同号两数相加和异号两数相加。
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同相加，仍得这个数。
有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数。
有理数的乘法法则是两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘仍得0.当几个不为0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
1.加法和减法运算法则：同号相加，异号相减，取绝对值较大的数的符号；字母表示：a+b = c，a-b = d。
改写：同号数相加，异号数相减。
加法用a+b=c表示，减法用a-b=d表示，取绝对值较大的数的符号。
2.加法运算律：①交换律：a+b = b+a；②结合律：(a+b)+c = a+(b+c)；③存在加法单位元素0，即a+0=a。
改写：加法满足交换律和结合律。
存在加法单位元素0，使得a+0=a。
七年级数学上册有理数复习讲义
例题2.（1）在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？（2）某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球的质量超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么-0.03克表示什么？有理数和无理数1.无理数和有理数的概念无理数:无限不循环小数叫做无理数。
因此，无理数应满足三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循化例如：兀 是无限不循环小数是无理数 有理数：整数和分数统称为有理数。
1.有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质分类：注意：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）分数线的数不一定是分数，如1π不是分数，也不是有理数（3）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质 0是自然数、是整数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态00C 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数例题3. 下列说法中，正确的是（ ）。
A. 正整数和正分数统称为正有理数B. 正整数和负整数统称为整数C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D. 0不是有理数（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=， 3(3)27-=-.2．运算律 ：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a; ②乘法交换律:ab=ba;（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) (3)分配律：a(b+c)=ab+ac例题12计算例题13计算变式1计算(1)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211143623324 (2)()(.)()-÷⨯-÷-5153151244()()()⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭23541324121522(4).⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1377751112534812863(5)()⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯1003221511221132变式2 用简便方法计算科学记数法1. 科学记数法：把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法.例如：200 000=5210⨯.2.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字. 如：0.00027有两个有效数字：2，7. 那0.002007有几个有效数字？ 注意：万=410，亿=108例题14 用科学记数法表示下列各数 （1）38400；（2）-473.1；（3）0.49×10⁴例题15 计算3.8×107 _ 3.7×107结果用科学计数法表示为（ ） A.0.1×107 B.0.1×106 C.1×107 D.1×106例题16全国国内生产总值136905亿元，将136905亿元用科学计数法表示（保留4个有效数字）为多少?。
七年级数学 有理数综合复习 知识精讲
答：它在距出发点西边5米的地方．
评析：本题是一道有理数乘法与数轴知识综合运用的应用题，可以利用数轴的直观性使问题变得简单．
例5.有以下两个结论：①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则（）
②几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.
2.基本运算（1）运算的法则：任何运算都是按照一定规则进行的．在将非负数扩大到有理数后，有理数计算规则的制定应当使原来的运算律仍然适用，应当使新的规则用到原来的非负数上时，与原来计算规则运算的结果相同．
运算法则必须对所有可能的运算情况进行说明，同时，因为一个有理数由符号和绝对值两部分组成，因此，运算法则还应从符号和绝对值的确定两个方面来说明．
解：（1）－9÷3＋（－）×12＋32＝－3＋×12－×12＋9＝－3＋6－8＋9＝4
（2）×（－9）＋×（－18）＋＝×（－9－18＋1）＝×（－26）＝－14
（3）－69×8＝－（70－）×8＝－（70×8－×8）＝－559
评析：在进行有理数的计算时，切记要灵活．在拿到题目之前先要看看题目的特点，选择恰当的运算性质，尤其是分配律的正向和反向应用．正确应用运算律会起到事半功倍的效果．
4.能运用有理数及其运算解决简单的实际问题．
二、知识要点：1.基本概念（1）有理数：从数的正负性来分，有理数可以分为：正数、负数和零；从一个数是否为整数来分，可以分为：整数和分数．如果将上述两个标准结合起来分类，有理数则可以分为：正整数、正分数、负整数、负分数和零．
（2）数轴：数轴是我们认识数、研究数的一个重要手段，它建立了数和直线上的点的对应关系，为研究数与形的问题拓展了新的思路，即可以借助图形的帮助来研究数的有关问题．①数轴有三大要素：原点、单位长度和正方向．②任何一个有理数在数轴上都有唯一的一个点和它对应．
(完整)七年级数学有理数(教师讲义带答案)
知识网络结构图第一章有理数知识点 1：有理数的基本概念中考要求：有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有 理数的大小相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反 数掌握相反数的性质绝对值 借助数轴理解绝对值的意义， 会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化 简问题知识点总结： 正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了 . 譬 如一些具有相反意义的量，收入 300元和支出 200元，向东50米和向西 30米，零上6 C 和 零下 4 C 等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量， 怎么表示它们呢？我们把一种意 义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数 . 正数：像3、1、 0.33等的数，叫做正数 .在小学学过的数， 除0外都是正数 .正数都大于 0. 负数： 像 1、 3.12、 17 、 2008等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.5负数都小于 0. 0既不是正数， 也不是负数 .一个数字前面的“＋”， “－”号叫做它的符号 . 正数前面的“＋”可以省略，注意 3与 3 表示是同一个正数 .用正、负数表示相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然 . 譬如：用正数表示向南，那么向北 3km 可以用负数表示为 3km .“相反意义的量”包括两个方面的含意： 一是相反意义； 二是相反意义的基础上要有 量.有理数 : 按定义整数与分数统称有理数 .有理数 （ 按定义分类 ） 负整数正整数正有理数正分数有理数 （按符号分类 ） 零（零既不是正数 , 也不是负数 ）注：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数板块一、基本概念 例题讲解正整数整数 零自然数分数正分数 负分数负有理数负整数负分数1、选择下面是关于 0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）①0既不是正数也不是负数；② 0是最小的自然数；③ 0是最小的正数；④ 0是最小的非负 数；⑤ 0既不是奇数也不是偶数 .A. 0B.1C.2D.32、下面关于有理数的说法正确的是（）．A ．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 . B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C. 整数和分数统称为有理数D. 正数、负数和零的统称为有理数 板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值 3、 a 和 b 是满足 ab ≠0的有理数，现有四个命题：① a 2 2 的相反数是 22 a ；② a b 的相反数是 a 的相反数与 b 的相反数的差； b 2 4 b24③ ab 的相反数是 a 的相反数和 b 的相反数的乘积；④ ab 的倒数是 a 的倒数和 b 的倒数的乘积．其中真命题有 （ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是 A 、正有理数 B 、负有理数 C 、零 5、数轴上离开原点 2 个单位长度的点表示的数是 6、有理数 -3，0，20，-1.25 ，1.75 ，-∣-12 ∣ 非负数有 ______ 个；7、绝对值最小的有理数是 ________ ；绝对值等于 是 _____ ；绝对值等于相反数的数是 _______ 8、 -2.5 的相反数是 _______ ，绝对值是，倒数是 ___________ 。
初一数学有理数全章讲义教学内容
D．3.14 是小数，也是分数
6、下列说法正确的的是（ ）
A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 B.一个有理数不是整数就是负数
C.一个有理数不是整数就是分数 7、 44 , ,0, 0.3。四个数中，有理数的个数为（ ）
7
D.以上说法都正确
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
典型例题
1、下列说法不正确的是（ ）
A．0 不是正数，也不是负数 B．负数是带有“-”的数，正数是带有“+”的数
C．非负数是正数或 0 D．0 是一个特殊的整数，它并不只是表示“没有”
2、水位上升-0.5cm 的意义是（ ）
A．水位上升 0.5cm B．水位下降 0.5cm C．水位没有变化 D．水位下降了 5cm
注：（1）正整数、0、负整数统称为整数。
（2）正分数和负分数统称为分数。
（3）对于小数，只有能化成分数的小数才是有理数。
（4）我们把有限小数和无限循环小数都看做分数，因此有限小数和无限循环小数是有理
数。
（5）无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数，所以就不是有理数。
二、有理数的分类（重点）
8.有理数中，是整数而不是正数的是（ ），是分数而不是正分数的是（
）。
9、有理数中，最小的自然数是（ ）,最小的正整数是（ ）。
10、整数与分数统称为（ ），整数包括（
），分数包括
（
）。
11、通常把（
）和（
）统称为非负整数，把（ ）和（ ）统称为非正整
数；把（
）和（
）统称为非负数，把（
）和（
）统称为非正数。
4、下列说法不正确的是（ ） A.-0.5 是分数 B.0 不是正数也不是负数 C.整数和分数统称为有理数 D.0 是最小的正数
初一数学有理数全章讲义
1、规定了（ ）、（ ）、（ ）的直线叫做数轴。
2、在数轴上表示数-3 的点在原点的（
），与原点的距离为（ ）个长度单位。
3、在数轴上到原点距离是个长度单位的点表示的数是（
）。
4
初一数学有理数全章讲义
4、P 点表示的数是-1，到 P 点 4 个单位长度的点表示的数是（
）。
5、一个动点从表示 1 的点出发，先向左移动 2 个单位，再向右移动 3 个单位长度，则终点离原
二、有理数的分类（重点）
按数的种类分 正整数
有理数 整数负整0 数 分数负正分分数数
按有理数的性质分 有理数 正0 有理数正正分整数数
负有理数负负分整数数
注：（1）有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。 （2）0 和正整数统称为非负整数。 （3）0 和负整数统称为非正整数。 （4）0 和正有理数统称为非负数。 （5）0 和负有理数统称为非正数。
是分数 不是正数也不是负数 C.整数和分数统称为有理数 是最小的正数
2
初一数学有理数全章讲义
5、下列说法错误的是（ ）
A．负整数和负分数统称为负有理数
B．正整数，0，负整数统称为整数
C．正有理数和负有理数组成全体有理数
D．是小数，也是分数
6、下列说法正确的的是（ ）
A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 B.一个有理数不是整数就是负数
初一数学有理数全章讲义
正数和负数
初一数学有理数全章讲义
知识点归纳
一、 正数和负数的定义
正数：大于 0 的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”， 一般省略不写。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数前面的负号“-”不能省略。 注：对于正数和负数的概念，不能简单地理解为带“+”的数就是正数，带“-”的数就是负数。 eg：-a 不一定是负数，因为字母 a 可以表示任何数，当 a 是正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时， -a 则是一个正数，而不是负数；当 a 表示 0 时，-a 就是在 0 前面加上一个负号，仍是 0,0 不分正 负。 二、具有相反意义的量
七年级数学寒假讲义
第一讲有理数的相关知识一．知识归纳：1.正数：大于0的数。
负数：小于0的数（正数前面加“-”号的数）。
0：既不是正数也不是负数。
注意：-a不一定是负数，+a也不一定是正数。
2.有理数的概念：正数、负数和0统称有理数。
有理数的分类：3.数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
4.相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
特别地，0的相反数是0。
注意：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；(3)相反数的和为0。
即若a+b=0则a、b互为相反数。
5.绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a 的绝对值记作“|a|”。
6.绝对值的有关性质：（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；（2）若|a|=0，则a=0；（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|。
7.有理数大小的比较法则：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0。
8.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
注意：0没有倒数；若a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1则a 、 b 互为倒数；若ab=-1则 a 、b 互为负倒数。
二、典型例题：例1、填空：①两个互为相反数的数的和是 ； ②两个互为相反数的数的商是 ；(0除外) ③ 的绝对值与它本身互为相反数； ④ 的平方与它的立方互为相反数； ⑤ 与它绝对值的差为0； ⑥ 的倒数与它的平方相等； ⑦ 的倒数等于它本身；⑧ 的平方是4， 的绝对值是4；⑨如果-a ＞a ，则a 是 ；如果3a =-a 3，则a 是 ；如果22a a ，那么a 是 ；如 果a =-a ，那么a 是 ； ⑩x 是-8的相反数，|y|=5,则x+y 的值为： 。
七年级期末有理数全章复习讲义
《有理数及其运算》全章复习与巩固【知识网络】【典型例题】类型一、有理数相关概念例1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．举一反三：【变式】(1)的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ．-（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ．例2．（2015•杭州模拟）已知|x|=|﹣3|，则x 的值为 ． 例3．在下列两数之间填上适当的不等号：________．321-321-321-21-2005200620062007举一反三： 【变式】（2015•宁德）有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）A ．a+b ＜0B ． a ﹣b ＜0C ． a•b＞0D ． ＞0类型二、有理数的运算例4．（2016•厦门）计算：．举一反三：【变式】计算：（1）（2）类型三、数学思想在本章中的应用例5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值． （3）转化思想：计算：举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭类型四、规律探索例6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【巩固练习】一、选择题1．（2016•益阳）的相反数是（）A．2016 B．﹣2016 C． D．2.（2015•菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q3．在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（）A．2.02×210人 B．202×810人 C．2.02×910人 D．2.02×1010人5．若-1<a<0,则a，2a,a1从小到大排列正确的是（）A．a2<a<a1B．a <a1< a2 C．a1<a< a2 D．a < a2 <a16．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A．6 B．-6 C．-1 D．-1或612-1314-1516-7．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba>0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ） A ．a b - B ．||||a b + C ．||||a b - D ．||a b - 二、 填空题9.（2015•湖州）计算：23×（）2= ．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米． 12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x . 13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ． 15．()221---＝ ．16．（2016春•江苏校级期末）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32016的个位数字是 ．三、 解答题 17．计算：（1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭（2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19（4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．19.（2015•顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即： 一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为多少元？20．先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值．《有理数及其运算》全章提高与巩固【典型例题】类型一、有理数相关概念例1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．举一反三：【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0．②|a|就是a与-a中较大的数．③|a|就是数轴上a到原点的距离．④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①②（3）已知(-ab)3>0，则（）A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A．120 B．-15 C．0 D．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（）A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3【变式2】（2015•甘南州）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（）A．2.7×105B．2.7×106C．2.7×107D．2.7×108例2．（2016•江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________．类型二、有理数的运算例3．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯举一反三： 【变式】（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯例4．（2015•铜仁市）定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ．举一反三：【变式】用简单方法计算：120180148124181++++类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A ．2b+aB ．2b-aC ．aD ．b（2）分类讨论思想：已知a 是任一有理数，试比较|a|与-2a 的大小． （3）转化思想：1(999)35⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭．类型四、规律探索例6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A ．495B ．497C ．501D ．503【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）A．1132B．1360C．1495D．1660一、选择题 1．（2015•咸宁）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2． 与比较大小，必定为（ ）．A ．B ．C ．D ．这要取决于b 3．下列语句中，正确的个数是（ ）．①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数； ③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若，则． A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．已知，，，则的值是（ ）．A ．-7B ．-3C ．-7或-3D ．±7或±35．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的，则（ ）．A ．B ．C ．D ． 6． 如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、 D 对应的数分别是整数a,b,c,d ，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是 （ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点7．有理数a,b,c 的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 8．记，令，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2004，那么8，，，…，的“理想数”为( )．A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010 二、填空题9．已知a 是有理数，有下列判断：①a 是正数；②-a 是负数；③a 与-a 必有一个是负数；④a 与-a 互为相反数，其中正确的有________个．10.（2015春•万州区期末）绝对值小于4，而不小于2的所有整数有 ．a b -a a b a -<a b a ->a b a -≤0m n <<mn n m <-||5m =||2n =||m n n m -=-m n +3.6x -和910x <<1011x <<1112x <<1213x <<0a b c ++>a b c +<a c a c -=+b c c a ->-12n n S a a a =+++…12nn S S S T n+++=…n T 1a 2a n a 1a 2a 500a 1a 2a 500a11．一种零件的尺寸在图纸上是（单位：mm ），表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________．12．（2016•巴中）|﹣0.3|的相反数等于 ．13．如图，有理数对应数轴上两点A ，B ，判断下列各式的符号：________0；________0；0；________0．14．已知满足，则代数式的值是 15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米．16．观察下列算式： ，，，，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：．三、 解答题17．（2016春•新泰市校级月考）计算：（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）（2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3）（4）（﹣24）×（﹣++） 0.050.027+-,a b a b +a b -()()________a b a b +-2(1)ab ab +,,a b c ()()()0,0a b b c c a abc +++=<a b c a b c++23451=+⨯24462=+⨯25473=+⨯24846⨯+=250___________=+⨯18.（2015•燕山区一模）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费多少元？19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，，b 的形式，且x 的绝对值为2，求的值．20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算（1）一粒大米重约多少克？（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）b a 200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+。
七年级数学有理数知识点复习
七年级数学有理数知识点复习鉴于数学知识点的重要性，小编为您提供了这篇七年级数学有理数知识点复习，希望对同学们的数学有所帮助。
正数小学学过整数、分数(小数)的知识，即正有理数及0的知识，还学过用字母表示数。
将小学中的算术数扩充到有理数①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.⑤能运用有理数的运算解决简单的问题.⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.⑦了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).负数利用具有相反意义的量引入负数有理数数轴为学习平面直角坐标系做准备;数形结合的初步认识及应用通过描述位置的问题引出，并让学生通过温度计加深对数轴的认识，进而具体讲述绝对值借助数轴相反数借助数轴。
分别利用几何意义和代数意义让学生理解倒数乘积为1的两个数把倒数的范围扩充到有理数范围内小学知识迁移有理数加法法则将两个数合并为一个数的运算初中阶段运算的基础首先通过实例明确有理数加法的意义;引入有理数加法的法则，接着举例说明小学阶段学过的加法运算律对有理数加法同样适用。
在此基础上，从有理数减法的意义得出有理数减法法则。
进一步根据减法法则，可以把加减法运算统一成加法。
有理数减法法则有理数乘法法则借助数轴研究有理数的乘法，引入有理数乘法的法则并通过例子说明，如何利用法则进行计算。
然后从具体运算的例子出发，指出乘法的运算律对有理数同样适用。
在乘法之后，从有理数除法的意义出发，结合具体例子引入有理数除法的法则，并通过例子说明如何利用法则进行计算。
有理数除法法则乘方在小学阶段接触过平方、立方幂的运算的基础幂函数的基础结合计算正方形面积、正方体体积的实例引出乘方的概念宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
()七年级上有理数复习专题讲义
~有理数及其运算复习专题知识回忆：一、有理数1、概念：整数和分数统称为有理数。
2、有理数的分类：〔1〕按定义分：正整数整数0有理数负整数正分数分数负分数〔2〕按性质分：正整数正有理数正分数有理数0负有理数负整数负分数小结：“非负数〞包括正有理数和0，“非正数〞包括负有理数和 0。
0不属于正有理数也不属于负有理数。
二、数轴1、概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴。
〔数轴“三要素〞〕2、数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，0用原点表示，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示。
小结：数轴上，右边的数比左边的数大。
三、相反数1、概念：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。
2、几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，并且与原点的距离相等。
字母表示：如果a、b互为相反数，那么a+b=0。
四、绝对值1、概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
2、绝对值的求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
用字母表示： a 〔a>0〕|a|= 0 (a=0〕-a 〔a<0〕小结：绝对值具有非负性；0的绝对值是0。
五、有理数的运算法那么1、〔1〕加法法那么：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
2〕加法运算律：①交换律：a+b=b+a；②结合律：〔a+b〕+c=a+(b+c)。
2、〔1〕减法法那么：减去一个数等于加上这个数的相反数。
~~~~2〕字母表示：a-b=a+(-b)。
3、〔1〕乘法法那么：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘仍得0。
〔2〕乘法法那么的推广：几个不为 0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
七年级数学有理数的复习
3、一个数同0相加，仍得这个数 。
8、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a— b = a + (—b ).
（1）（－3）－（+5）= （－3）+（－5） = －8，
若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0。 计算：（1）x，y，z的值．
（2）求|x|+|y|+|z|的值．
再见
6、算式8-7+3-6正确的读法是 ( )
A.8、7、3、6的和
B.正8、负7、正3、负6的和
C.8减7加正3、减负6 D.8减7加3减6的和
7、两个数相加，其和小于每个加数，那么这两个数( )
A.同为负数 B.异号 C.同为正数 D.零或负数
8、a、b为两个有理数，如果a+b＞0,那么一定有( ) A.a、b中，一个为正数，另一个为0 B.a＞0,b＞0 C.a、b中，一个为正，另一个为负， 且正数的绝对值大于负数的绝对值
有理数的复习
复习要点：
1.举例说明正数与负数。
2.将有理数按定义和性质做一个分
类表。
正整数
有
理
数
整
数
零
负 整
数
分
数
正 负
分 分
数 数
正整数
正有理数
正分数
有理数 零
负有理数 负负整分数数
复习要点
3.什么是数轴?
规定了原点，正方向，和单位长度的直线叫 做数轴。
4.相反数的定义。
只有符号不同的两个数互为相反数。
七年级数学寒假专题 有理数华东师大版知识精讲
七年级数学寒假专题有理数华东师大版知识精讲七年级数学寒假专题-有理数华东师大版知识精讲七年级数学寒假主题-有理数华东师范大学版【本讲教育信息】一、课程内容：寒假专题――有理数学习要求：能结合有理数的运算，运用有理数、相反数、绝对值等概念，会比较有理数的大小，会运用有理数的运算法则、性质、运算律、运算顺序，熟练地进行简单的有理数的加、减、乘、除以及混合运算；在运算中能根据对有效数字位数或精确到哪一数位的要求，确定运算结果，并能用科学记数法表示一个近似数。
知识内容：1.了解正、负数的引入是实际的需要，现实生活中我们会遇到很多具有相反意义的量，如前进10米和后退5米，零上3℃和零下2℃等，为了刻画和区分这一对具有相反意义的量，我们引入了正数和负数，即若把这两个量中的一个规定为正，另一个则为负。
2.准确掌握判断一个数字是正是负的方法。
使用数字轴，原点的右侧为正，左侧为负，也就是说，判断一个数字是正还是负取决于该数字是否大于0，大于0的数字是否为正，否则为负。
应特别注意：（1）0既不是正数也不是负数，它是一个中性数。
（2）避免错误理解正负号的数字是正的，负号的数字是负的。
3.掌握有理数的两种分类：有理数包括正整数、零、负整数、正分数、负分数这五种数，按整数和分数可以得到有理数的一种分类；按性质又可以得到有理数的另一种分类。
这两种分类的标准不同，所以结果也不同，须注意的是无论按什么标准分类，都要注意分类时不重不漏。
4.了解数轴的概念明确数字轴的三个元素：原点、正方向和单位长度，它们都不是必不可少的。
还应该清楚的是，这是一条直线。
规定右箭头方向为正，反方向为负。
单位长度可根据需要选择，但在同一数字轴上，单位长度确定后不能更改。
5.正确理解有理数和数轴上的点的对应关系。
任何有理数都可以用数轴上的点来表示，但并非数轴上的所有点都是有理数。
6.理解相反数字的含义从相反数的定义可以看出，除了0以外，相反数总是一正一负成对出现，在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两边，而且到原点的距离相等。
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第六讲 有理数易错题复习
知识导图
1、如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）．
A 、－18%
B 、－8%
C 、＋2%
D 、＋8% 2、下列各图中，是数轴的是（ ）． A 、
B
C
D
3、把下列各数填在相应的大括号里：
＋8，0.275，2--， 0， 1.04-，(10)--，0.1010010001…，|1|--，227，－13，＋4
3
，0.1∙．
正 整 数集合{ ……} 整 数 集 合{ ……} 非负整数集合{ ……} 负 分
数集合{ ……} 4、下列说法正确的个数是（ ）．
①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的就是负的； ④一个分数不是正的就是负的．
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 5、如图，填空：
-1
0 1
-1
-1 1
-1
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（1）A 点表示的数是 ，B 点表示的数是 ，C 点表示的数是 ，D 点表示的数是 ； （2）A 点与原点的距离等于 ，B 点与原点的距离等于 ，C 点与原点的距离等于 ，D 点与原点的距离等于 ； （3） 与 互为相反数．
6、若320x y -++=，则x y +的值为________．
7、若a ＜0，则
a a
= ．
8、若22a a -=-，则数a 在数轴上的对应点在（ ）
A 、表示数2的点的左侧
B 、表示数2的点的右侧
C 、表示数2的点或表示数2的点的左侧
D 、表示数2的点或表示数2的点的右侧 9、－a 一定是（ ）．
A 、正数
B 、负数
C 、正数或负数
D 、正数或零或负数 10、若a ，b 是两个有理数，则32a b -的相反数是（ ）．
A 、32a b +
B 、32a b --
C 、32a b -
D 、32a b -+ 11、如果a a 22-=-，则a 的取值范围是（ ）．
A 、0a >
B 、0a ≥
C 、0a ≤
D 、0a < 12、下列各组数中，数值相等的是（ ）
A 、－（－2）和+（－2）
B 、－22
和（－2）2
C 、－32
和（－3）2
D 、—23
和（－2） 13、两数相加，其和小于每一个加数，那么（ ）.
A 、这两个数相加一定有一个为零
B 、这两个加数一定都是负数.
C 、这两个加数的符号一定相同
D 、这两个加数一正一负且负数的绝对值大 14、n 为正整数时，(－1)n
+(－1)n+1
的值是（ ）
A 、2
B 、－2
C 、0
D 、不能确定
15、在常温下光的传播速度约为300 000 000m/s ，声音的传播速度约为340m/s.将300 000 000用科学记数法表示为（ ）
A 、60.310⨯
B 、73010⨯
C 、8310⨯
D 、9310⨯
16、如图，数轴上的两个点A 、B 所表示的数分别是a 、b ，那么a ，b ，—a ，—b 的大小关系是（ ）
A 、b ＜—a ＜—b ＜a
B 、b ＜—b ＜—a ＜a
C 、b ＜—a ＜a ＜—b
D 、—a ＜—b ＜b ＜a
17、如果b a ，互为相反数，那么下面结论中不一定正确的是（ ） A 、0=+b a B 、
1-=b
a
C 、2a ab -=
D 、b a = 18、若│a│=│b│，则a 、b 的关系是（ ）
A 、a=b
B 、a=－b
C 、a+b=0或a －b=0
D 、a=0且b=0 19、若a<0，则下列各式不正确的是（ ）
A 、22)(a a -=
B 、22a a =
C 、33)(a a -=
D 、)(3
3a a --=
20、－52
表示（ ）
A 、2个－5的积
B 、－5与2的积
C 、2个－5的和
D 、52
的相反数 21、－42
+ (－4) 2
的值是（ ）
A 、–16
B 、0
C 、–32
D 、32 22、已知|x|＝5，|y|＝3，且x>y ，则x ＋y 的值为（ ）
A 、8
B 、2
C 、－8或－2
D 、8或2
23、观察下列算式：21
=2,22
=4,23
=8,24
＝16,25
=32,26
=64,27
＝128，通过观察，用你所发现的规律确定22011
的个位数字是（ ）
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8 24、下面一组按规律排列的数：1,2,4,8,16.......，第2011个数应是（ ） A 、2
2011
B 、2
2011
-1 C 、2
2010
D 、以上答案不对
25、若2,3==b a ，则=+b a ________。
26、若,3,4,==-=-n m m n n m 则=-n m ________。
27、61-+x 的最小值是 ，此时2009
x
= 。
28、数轴上点A 表示的数为－2，若点B 到点A 的距离为3个单位，则点B 表示的数为 。
29、如果x 2
=9，那么x 3
= ． 30、化简：|π－4|＋|3－π|＝ ．
31、观察：1+3=4=22
，1+3+5=9=32
；1+3+5+7=16=42
…按此规律，猜想1+3+5+7+…+2019的结果是 。
32、已知|a|＝5,|b|＝2,ab ＜0.求：3a+2b 的值。
33、用※代表一种运算，若21 2
a a b
+
※b=-，试求值：（1）5※6，（2）2※（3※4）34、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99．
34、计算题：
（1）
111
(8.5)3(6)11
332
-++-+（2）
17
(14)(5)( 1.25)
88
-+++-
（3）
231
(4)()
324
+÷⨯÷-（4）
11111
()()
234560
-+-÷-
（5）
111
321
335
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-÷÷-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（6）()()
11
21035
23
⎛⎫⎛⎫
-÷-⨯-÷-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。