五年级奥数数论完全平方数的性质和应用(A级)学生版
小学奥数数论讲义 11-完全平方数强化篇
完全平方数一、完全平方数常用的三条性质1．完全平方数的末位数字必须是：0，1，4，5，6，9。
2．完全平方数分解质因数后每个质因子都必须有偶数个。
推论：完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3．完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
二、基本公式平方差公式:a2-b2=（a+b）（a-b）三、两个特殊的完全平方数7744（四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同）；1444（后三位数字相同的数中最小的）。
【例 1】下面是一个算式：1+1⨯2+1⨯2⨯3+1⨯2⨯3⨯4+1⨯2⨯3⨯4⨯5+1⨯2⨯3⨯4⨯5⨯6。
这个算式的得数能否是某个数的平方。
【巩固】8，88，888，8888…中有完全平方数吗？【例 2】已知3528 a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【巩固】已知m，n都是自然数，且n2=126m，则n的最小值为。
【例 3】12+22+32+…+20012+20022除以4的余数是。
【巩固】A是由2002个“4”组成的多位数，即4444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，2002个4写出B；如果不是，请说明理由。
【例 4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【例 5】两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。
【巩固】两数乘积为1080，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。
〖答案〗【例 1】 不能【巩固】 无【例 2】 2【巩固】 42【例 3】 1【巩固】 A =2002个44444=22⨯2002个11111，如果A 是完全平方数，需要2002个11111也是完全平方数，而2002个11111除以4余3；所以A 不是某个自然数的平方【例 4】 424【巩固】 不能【例 5】 24，52⨯7【巩固】 36，30。
五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用(A级).学生版
数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝42 25＝52 36＝62 49＝72 64＝82 81＝92 其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如： 100＝102 121＝112 144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如： 169＝132 196＝142 256＝162 62＝5252 含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382 不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝322 2401＝492 1369＝372 1936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数⇔．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
课前预习知识框架完全平方数的性质和应用2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
小学五年级奥数完全平方数
第八讲完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0， 1，4， 9，16， 25， 36， 49，64， 81，100， 121，144，169， 196，225，256，289，324， 361，400，441，484，判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是 1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数” ，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为a i( i＝1、2、3、、n)不难发现：a1＝1＝ 12a＝＋＝＝222134a3＝1＋3＋5＝9＝ 32a4＝1＋3＋5＋7＝16＝ 4 2a n＝1＋3＋5＋＋(2n－1)＝1 (n 1)n＝ n 22毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从 1 开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】求自然数列前n个奇数的和：1＋3＋5＋7＋＋（2n－1）一讲一练：（04 浙江五年级夏令营）袋子里共有 415 只小球，第一次从袋子里取出 1 只小球，第二次从袋子里取出 3 只小球，第三次从袋子里取出 5 只小球依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】1234567654321×（1＋2＋＋6＋7＋6＋＋2＋1）是多少的平方？练习一： 1× 2× 3× 4×5×6×45×121 是多少的平方？练习二： A2＝ 1008× B，其中 A，B 都是自然数， B 的最小值是（）。
【例三】 36 、 49、60、64、72 的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360 、 3969、 7744 各有多少个约数？【例四】（ 01ABC）少年宫游客厅内悬挂着 200 个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
上海奥数精讲 第13讲讲义 完全平方数(学生版)
1、平方数尾数的性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是
0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位
2．平方数的余数有下面的性质：
⑴偶数的平方被4整除；
⑵奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。
教学目标
1、 掌握平方数的因数与余数的性
质； 2、 初步体会用尾数分析法，因数分
析法，余数分析法解有关整数的问题。
3、 提高分析能力与解题能力。
完全平方数
引入
例1
揿动一次(这时编号为偶数的所有的灯全熄灭
环节二：
环节一： 引入
环节三：例2
环节四：例3
环节五：
平方数尾数的性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
例4
环节五：例5
环节六：
、全课你学到了什么？
【练习1】在100～200之间的整数里，因数个数为奇数的都有哪些？。
五年级秋-第13讲-完全平方数(一)(学生版)
完全平方数（一）知识纵横★完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9，不可能是2，3，7，8；★在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数；★完全平方数的因数个数是奇数，因数的个数为奇数的自然数是完全平方数；★若质数p 整除完全平方数a2，则p 能整除a 。
计算1~30的平方，观察末一位和末两位的规律：（1）平方数的末尾可以是___________________________；一定不能是_____________________________________。
（2）当末尾是_________________时，十位必须是偶数，当十位是奇数时，个位只有____________________________。
（3）你还发现了哪些规律？例1试一试1试判断下列各数是不是完全平方数，若不是请在横线上打“×”，并口述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
（1）997：_______；（2）7613：______；（3）7840：______；（4）1275：______；（5）1199：______；（6）7886：______；（7）2304：______。
例2已知：12345654321×36是一个完全平方数，求它是几的平方?试一试21234567654321×(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)是_________的平方。
例3下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6，这个算式的得数能否是某个数的平方？试一试3小钱、小陆、小戴三人在猜一个1~99中的自然数，结果：小钱说：“它是一个完全平方数，且比5小。
”小陆说：“它比7小，而且是个两位数。
五年级数学完全平方数的性质和应用
完全平方数的性质和应用课前预习数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝42 25＝52 36＝62 49＝72 64＝82 81＝92 其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如： 100＝102 121＝112 144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如： 169＝132 196＝142 256＝162 62＝5252 含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382 不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝322 2401＝492 1369＝372 1936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N 为完全平方数自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p 整除完全平方数，则p 能被整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
⇔⇔2a a（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
平方数与完全平方数的概念与性质
平方数与完全平方数的概念与性质平方数和完全平方数是数学中的两个重要概念，它们在数论和代数等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍平方数和完全平方数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、平方数的概念与性质1.1 平方数的定义平方数是指可以表示为某个整数的平方的数。
例如，1、4、9、16等都是平方数，因为它们分别为1²、2²、3²、4²。
也就是说，平方数是指能够通过平方运算得到的数。
1.2 平方数的性质（1）平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。
这是因为个位数的平方结果只有这几个数字。
（2）两个平方数的和仍然是平方数。
例如，3²+4²=5²，这表明一个平方数加上另一个平方数，结果仍然是一个平方数。
（3）平方数的奇数次方仍然是平方数。
例如，2²=4，2⁵=32，这表明平方数的奇数次方依然是一个平方数。
（4）平方数的相邻两个数之间至少有一个整数。
二、完全平方数的概念与性质2.1 完全平方数的定义完全平方数是指能够由一个整数的平方形式来表示的数。
例如，1、4、9、16等都是完全平方数。
2.2 完全平方数的性质（1）完全平方数的末尾数字只能是0、1、4、5、6、9。
这是因为平方数的末尾数字受到平方数个位数的限制。
（2）两个完全平方数的差仍然是一个完全平方数。
例如，9-4=5，这表明一个完全平方数减去另一个完全平方数，结果仍然是一个完全平方数。
（3）完全平方数之间的差值是递增的。
例如，4-1=3，9-4=5，这表明完全平方数之间的差值是递增的。
三、平方数与完全平方数的应用3.1 平方数与几何平方数在几何中有着重要的应用。
一个正整数的平方等于一个正方形的面积，因此平方数可以用来表示图形的面积。
例如，一个边长为3的正方形的面积为9，即3²=9。
3.2 完全平方数与数论完全平方数在数论中有广泛的应用。
它们被用来解决一些数论问题，如数的唯一分解定理、素数的判断以及质因数的求解等。
小学奥数25完全平方数
2、7完全平方数2、7、1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*２,３*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数得平方得形式,则称这个数为完全平方数。
完全平方数就是非负数。
２、7、2性质推论例如:０,1,４,9,1６,２５,36,４9,64,81,100,121，14４,16９,1９6，2２５,２５6，２89,3２4,3６1,40０,44１,4８４,５2９…观察这些完全平方数,可以获得对它们得个位数、十位数、数字与等得规律性得认识。
下面我们来研究完全平方数得一些常用性质：性质1:末位数只能就是0，1，4,5,6,９。
此为完全平方数得必要不充分条件，且定义为“一个数如果就是另一个整数得完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数”,0为整数，故0就是完全平方数性质２:奇数得平方得个位数字一定就是奇数,十位数字为偶数；偶数得平方得个位数字一定就是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一:１0a+1,10a+３，10ａ+5，１0ａ+7，10ａ+9分别平方后，得)1０a+3）2=10０ａ2+60a＋9=20a(５a+3)（10ａ+１)2=100a2+2０ａ+１＝20ａ(5ａ＋1)+1ﻫ＋9ﻫ(10a+5）2＝1００a２+100a+25=20(5a+5ａ＋1)+5(10a＋7)２=1０0a2+１４0a＋49＝２０ (５a+7ａ+2)+9（10a+9)2=100ａ2＋18０ａ＋81=20（５ａ+9a+4）+1综上各种情形可知:奇数得平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质３：如果完全平方数得十位数字就是奇数,则它得个位数字一定就是6;反之,如果完全平方数得个位数字就是6,则它得十位数字一定就是奇数。
证明已知m2＝１０ｋ+6，证明k为奇数。
因为ｋ得个位数为6,所以ｍ得个位数为4或6,于就是可设ｍ=１0n+４或10n+6。
则１0k+6＝(10n+４）２＝1０0+(8n＋1)ｘ10+６或１0k＋6＝(10n+6)2＝10０+(1２n+3）x1０+６即 k=１0+8n+1＝２(5＋4n）＋1或 k=1０+1２n+3＝2(5+6n)＋３∴ｋ为奇数。
小学奥数25完全平方数
完全平方数相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数。
性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,4 84,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。
完全平方数的性质及应用
完全平方数的性质及应用完全平方数是指一个数字可以被另一个整数平方得到的数。
例如，4是一个完全平方数，因为2²=4。
完全平方数的性质和应用广泛，并在数学和其他领域中发挥着重要作用。
首先，完全平方数有一些基本的性质。
以下是一些关于完全平方数的重要性质：1. 完全平方数总是非负的。
一个完全平方数可以是0，也可以是一个正整数。
2. 完全平方数的平方根也是一个整数。
例如，16是一个完全平方数，其平方根为4。
这是因为4²=16。
3. 完全平方数可以通过连续奇数相加得到。
例如，1+3=4，4+5+6=16，9+11+13+15=64。
这个性质被称为“差平方数序列”。
4. 完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。
这是因为一个数字的平方的个位数只能由它本身的个位数决定。
5. 完全平方数除以4的余数只能是0或1。
这是因为一个数字除以4的余数只能是0、1、2、3，而一个完全平方数除以4的余数只会是0或1。
6. 完全平方数的个位数字是0、1、4、5、6、9以外的数字时，其十位数也是个位数的平方根。
完全平方数的应用非常广泛，以下是其中一些重要的应用：1. 质因数分解：质因数分解是将一个正整数表示为质数的乘积的过程。
完全平方数在质因数分解中起到重要作用，因为它们可以分解为两个相同的质数相乘。
例如，16=2²，36=6²。
2. 几何学：完全平方数在几何学中有许多应用。
例如，一个正方形的面积就是一个完全平方数，因为它可以表示为一条边的长度的平方。
此外，完全平方数还可以用来表示一个矩形的面积，其中长和宽都是整数。
3. 数论：完全平方数在数论中起着重要作用。
例如，费马最后定理表明，对于大于2的正整数n，不可能找到整数x、y和z使得x^n + y^n = z^n成立。
然而，如果n=2，则等式x²+ y²= z²可以有解。
这个例子显示了完全平方数在数论中的特殊性质。
小升初奥数数论完全平方数知识点
小升初奥数数论完全平方数知识点【篇一】一、完全平方数的定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
二、完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.约数个数为奇数;反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2三、完全平方数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【篇二】例题例1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2 (1)x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得n^2-m^2=89,(n+m)(n-m)=89但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。
解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
例2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。
欲证n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明：设这四个整数之积加上1为m，则m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
【篇三】练习题1、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是()岁。
小学奥数知识点：完全平方数
小学奥数知识点：完全平方数
完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 约数个数为奇数;反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
小学奥数经典题
1．两辆汽车从A，B两地同时出发相向而行，客车行完全程要8小时，货车行完全程要10小时，两车相遇后又各自往前驶去，已知出发5小时后两车相距50千米，问A，B两地相距多少千米？
2．有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把20个白色乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色乒乓球？
3．工程队挖一条水渠，第一天挖了全长的多28米，第二天挖了全长的少20米，这时剩下22米没挖完．这条水渠全长多少米？
4．如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A 点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？
5．运来一批水果．第一天卖出总数的15%，第二天卖出160千克，剩下的与卖出的重量的比是1：3．这批水果共有多少千克？。
五年级奥数讲义3
五年级奥数讲义第三讲平方数在数学上，如果某个整数n可以写成另一个整数的平方，我们就称这个整数n是一个平方数，也叫完全平方数。
例如：9=3×3=32，9就是一个完全平方数。
完全平方数有很多特殊的性质。
一、完全平方数的个位数字只可能为0，1，4，5，6，9 这六个数。
1、一个数若以0 结尾，这个数的平方必以 00 结尾；2、一个数若以 1 或 9 结尾，这个数的平方必以1 结尾；3、一个数若以 2 或 8 结尾，这个数的平方必以4 结尾；4、一个数若以 3 或 7 结尾，这个数的平方必以9 结尾；5、一个数若以 4 或 6 结尾，这个数的平方必以6 结尾；6、一个数若以 5 结尾，这个数的平方必以25 结尾。
7、一个完全平方数，个位数字是6时，十位上数字为奇数，个位数字不是6时，十位上数字为偶数。
注：把任意某个数看着一个整十数和一个一位数的和，运用完全平方公式，可以证明这个数的平方符合第7条性质。
本组前6条性质，可以通过实例证明。
二、整除性质。
1、每个完全平方数分解质因数后，质因数的指数都是偶数。
每个完全平方数都有奇数个不同的因数。
（反之亦成立）2、一个完全平方数如果是偶数，它一定是某个偶数的平方，能被4 整除；3、一个完全平方数如果是奇数，它一定是某个奇数的平方，被8 除余1；4、一个完全平方数如果能被 3 整除，它一定能被 9 整除；如果不能被 3 整除，它一定被3 除余1；5、不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
6、两个完全平方数的积还是完全平方数，一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数；三、完全平方数也叫正方形数，即一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形点阵，使得每行每列的点都一样多。
如下图：对于一个整数 n， n2就等于前 n 个正奇数的和。
在上图中，从1开始，第 n 个平方数就等于前一个平方数加上第 n 个正奇数。
2018五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用(A级).学生版
完全平方数的性质和应用数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝3721936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数⇔．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
(小学奥数)完全平方数及应用(二)
1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。
一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。
2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數． 性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
五年级奥数秋季班《完全平方数》一
一、完全平方数的定义：二、完全平方数表(牢记)：02＝072＝49
12＝182＝64
2＝42＝81
249
32＝9102＝100
2＝162＝121 41611
52＝25122＝144
2＝362＝169 63613
温馨提示：122＝144和21
三完全平方数的常用性质：
三、完全平方数的常用性质：
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，55，6，9；
三、完全平方数的常用性质：
性质2：
完全平方数除以3只可能余0或1；
完全平方数除以4只可能余0或1；
完全平方数除以8只可能余0、
完全平方数除以8只可能余0、1或4；
三、完全平方数的常用性质：
性质3：
⑴偶指性——完全平方数分解质因数后每个质因数
⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。
特别地，因数个数为
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方；。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什么规律？（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）（2）1000不是平方数，1004000也不是平方数。
如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成149****3649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
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数字不重复的平方数
观察只含两位数字的完全平方数：
16＝42 25＝52 36＝62 49＝72 64＝82 81＝92
其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如：
100＝102 121＝112 144＝122
这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：
169＝132 196＝142 256＝162 62＝5252
含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382
不含重复数字的四位平方数也很多，例如
1024＝322 2401＝492 1369＝372 1936＝442
如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842
完全平方数常用性质
1.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N 为完全平方数自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质
因数出现的次数都是偶数次.
性质4：若质数p 整除完全平方数，则p 能被整除。
2.一些重要的推论
⇔⇔2a a 知识框架
课前预习
完全平方数的性质和应用
（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完
全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，
16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
（7）凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全
平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
（8）完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
3.重点公式回顾：
平方差公式：
（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不
是完全平方数。
（2）自然数N 为完全平方数自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因
数出现的次数都是偶数次.
（3）平方差公式：
【例 1】 是 的平方．
【巩固】 12345678987654321*（1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1）
是 的平方．
22()()a b a b a b -=+-⇔⇔22()()a b a b a b -=+-1234567654321(1234567654321)⨯+++++++++++
+例题精讲
重难点
【例 2】写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数．
【巩固】从1到2011中有几个有偶数个因数的整数？
【例 3】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【巩固】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【例 4】自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？
【巩固】不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536……，则从左向右的第l6个数字是_________
【例 5】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．
【巩固】各位数字的平方和等于9的数共有________个．
【例 6】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
3528a
【巩固】已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【例 7】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【巩固】从1到2011的所有自然数中，乘以60后不是完全平方数的数共有多少个？
【例 8】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
【巩固】有3个连续自然数，它们的和为一个立方数，中间数是平方数，则这3个数中最小数的最小值为．
【例 9】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【巩固】一个数的完全平方有93个约数，求该数的约数个数是多少？
【例 10】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【随练1】 一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【随练2】 1988与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．
【随练3】 14，144，1444，14444，……中有几个完全平方数？
1. 两个完全平方数的差是两个奇偶性相同的数的乘积。
2. 一个不是完全平方数的数乘以一个数成为一个完全平方数，这个数最小是它次数为奇数的所有质因数
的乘积。
3. 后面几位（至少2位）数字相同的数中只有4有可能是完全平方数。
【作业1】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
家庭作业
复习总结
课堂检测
【作业2】 是否存在由2011个同样的数字组成的多位数？如果存在，请举例说明；如果不存在，请说明理
由．
【作业3】 2007与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．
【作业4】 一个数的完全平方有35个约数，求该数的约数个数是多少？
【作业5】 从1到1997的所有自然数中，乘以90后是完全平方数的数共有多少个？
教学反馈。