2.3 联结词的完备集

15
G ⇔（A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C） 电子锁控制电路图如下：
16
课后练习
有一会议室，四周都有出入口，门旁装有开关。 为了控制全室的照明，要求设计一个线路，使得改 变任一只开关的状态，就能改变会议室的明暗。假 设，室中无人时灯全灭，有人时等亮。写出控制电 路的逻辑表达式并设计电路图。
17
9
思考题
定义如表所示的二元逻辑联结词“ ·”， （1）证明{·}是联结词完备集。 （2）请利用该联结词·表示下述公式：（p→q）∧r
10
命题逻辑的应用
——数字逻辑电路
11
门电路
为了方便电路逻辑设计的需要，现将命题逻 辑联结词相对应的门电路汇总于下图：
12
例1 设计一个控制楼梯照明的电路，使得分别 装在楼梯上下两层的两只开关都能控制照明。写出 控制电路的逻辑表达式并设计电路图。 解：两只开关的状态分别表示为s1，s2，“0”表 示开关断开，“1”表示开关接通。用S表示楼梯的照 明状态，“1”表示灯亮，“0”表示灯灭。 1” 0” S⇔（┐s1∧s2）∨（s1∧┐s2）⇔s1∇s2 电路图如下：
6
定义 或非联结词
设p、q为二命题，复合命题“p或q的否定”称为p 与q的或非式，记作p↓q，↓称作或非联结词。 易见：1、 p↓q ⇔ ┐（p∨q） 2、 p↓q为真当且仅当p与q同时为假。 或非联结词↓的性质： （1）p↓p ⇔ ┐(p∨p) ⇔ ┐p （2）(p↓q)↓(p↓q) ⇔ ┐(p↓q) ⇔ p∨q （3）(p↓p)↓(q↓q) ⇔ ┐p↓┐q ⇔ ┐(┐p∨┐q) ⇔ p∧q
3
思考题
设p、q、r为三命题，若p∇q⇔r，则p∇r⇔q， q∇r⇔p且p∇q∇r⇔0。
Hale Waihona Puke Baidu
4
定义 蕴涵否定联结词
设p，q为二命题，复合命题“p→q的否定”称为 命 题p和q的蕴涵（条件）否定式，记作
p→q →
，
c
c
称为
c 蕴涵（条件）否定联结词。 p 由定义知：1、 → q ⇔ ¬ ( p → q )
8
推论：{┐、∧}、{┐、∨}、{┐、→}是联结词 完备集，并且是最小联结词完备集。 因为p∨q ⇔ ┐（┐p∧┐q） p∧q ⇔ ┐（┐p∨┐q） p∨q ⇔ ┐p → q p∧q ⇔ ┐（p → ┐q）
{ 推论： ¬, →}是联结词完备集，并且是最小联 结词完备集。
c
定理：{↑}、{↓}是联结词完备集，并且是最小 联结词完备集。（P39）
13
例2 一家航空公司为了保障安全，用计算机复核飞行计划。 每台计算机能给出飞行计划正确或有误的回答。由于计算机也 可能发生故障，因此采用了三台计算机同时复核，再根据“少 数服从多数”的原则作出判断。假设三台计算机中同时有一台 以上的计算机出现故障的概率为0，试将判断结果用命题公式 表示，并设计一个尽可能简单的电路图。 解：设p，q，r分别表示三台计算机的答案， S表示判断结 果， “0”表示飞行计划有误，“1”表示飞行计划正确。 S⇔(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔(q∧r)∨(p∧r)∨(p∧q) 电路图如下：
14
例3 有一种电子锁，锁上共有三个键A、B和C。当三键同 时按下，或A、B两键同时按下，或只有A、B其中之一按下时， 锁被打开。设计该电子锁的控制电路的公式并画出电路图。 解：用“0”表示键未按下，“1”表示键按下。G表示锁的 状态，“1”表示打开，“0”表示未打开。 则G⇔（A∧B∧C）∨（A∧B∧┐C）∨ （A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧B）∨（A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧（B∨（┐B∧┐C））∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧（B∨┐C））∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧B）∨（A∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧B）∨（（A∨B）∧┐C） ⇔（A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C）
p 2、 → q 为真当且仅当p为真q为假
c
5
定义 与非联结词
设p、q为二命题，复合命题“p与q的否定”称为p 与q的与非式，记作p↑q，↑称作与非联结词。 易见：1、 p↑q ⇔ ┐（p∧q） 2、 p↑q为真当且仅当p与q不同时为真。 与非联结词↑的性质： ↑ （1）p↑p ⇔ ┐(p∧p) ⇔ ┐p （2）(p↑q)↑(p↑q) ⇔ ┐(p↑q) ⇔ p∧q （3）(p↑p)↑(q↑q) ⇔ ┐p↑┐q ⇔ ┐(┐p∧┐q) ⇔ p∨q
第二章 命题逻辑等值演算 2.3 联结词的完备集
1
五个基本的联结词：┐、∧、∨、→、↔。 在实际应用中（如数字逻辑电路），可由五 个基本的联结词{┐，∧，∨，→，↔}产生更多 的联结词： （1）异或 （2）条件否定 （3）与非 （4）或非
2
定义 异或联结词
设p，q为二命题，复合命题“p，q之中恰有一个 成立”称为p与q的异或式或排斥或式，记作p∇q，∇称 作异或联结词。 易见：1、p∇q ⇔ (p∧┐q)∨(┐p∧q)⇔ ┐(p↔q) 2、p∇q为真当且仅当p，q中恰有一个为真 异或联结词∇的性质： （1）p∇q （1）p∇q⇔q∇p （2）(p∇q)∇r （2）(p∇q)∇r⇔p∇(q∇r) （3）p∧(q∇r) （3）p∧(q∇r)⇔(p∧q)∇(p∧r) （4）p∇p （4）p∇p⇔0 （5）p∇0 （5）p∇0⇔p （6）p∇1 （6）p∇1⇔┐p
7
联结词完备集
定义：一个联结词集合，若对于任何一个公式 均可以用该集合中的联结词来表示或等值表示，就 称为联结词完备集。 如果该集合任意去掉一个联结词，就不再具备 这种特性，就称为最小完备集。 定理：{┐,∧,∨}是联结词完备集。 推论：{┐,∧,∨,→}，{┐,∧,∨,→,↔}， {┐,∧,∨,→,↔,∇}，{┐,∧,∨,→,↔,↑,↓} 等都是联结词完备集。