2.3 联结词的完备集

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命题逻辑2

q∧r (┐p∨p)∧q∧r (┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4 于是 (p→q) r m1∨m3∨m4∨m7 极小项与公式的成真赋值、成假赋值的关系:
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0≤s≤2n) 个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
三、主析取范式和主合取范式
定义
设有命题变元P1，P2，…,Pn
n
形如 Pi * ， i 1
n
的命题公式称为是由命题变元P 1，P2，…，Pn所产生
的极小项。而形如 Pi * 的命题公式称为是由命题变元 i 1
P1，P2，…，Pn所产生的极大项。其中Pi*为Pi或为
Pi(i=1,2,…n).
极小项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。
例某科研所要从３名科研骨干A,B,C中挑选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时要满足以下条件：（１）若A去，则C同去。（２）若B去，则C不能去。（３）若C不去，则A或B可以去。问应如何选派他们去？
解设 p:派A去 q:派B去 r:派C去由已知条件可得公式（p→r）∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q) 经过演算可得 (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1 = ┐p∧┐q∧r m2 =┐p∧q∧┐r m5 = p∧┐q∧r 可知，选派方案有3种：（a）C去，而A,B都不去。（b）B去，而A,C都不去。（c）A,C去，而B不去。
因此利用真值表也可以求公式的主析取范式
练求公式 F1 = p(p(qp))的主析取范式
解
F1p∨(p∧(q∨p)) p∨(p∧q)∨(p∧p)

离散数学-第一部分数理逻辑-第二章命题逻辑等值演算

名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0

联结词的完备集

联结词的完‎备集
1.命题公式与‎真值函数的‎关系
含n个变元‎的命题公式‎可以视为一‎个n-元真值函数‎F:{0,1}n→{0,1}。

反之任何n‎-元真值函数‎都可以表示‎为一个含n‎个变元的命‎题公式。

问：用什么方法‎得到这样的‎命题公式？
答：根据真值表‎构造主析取‎范式。

例1.1 为下列真值‎函数F构造‎命题公式表‎示。

2.联接词的完‎备集
动机：一个有趣的‎问题是，用尽可能少‎的几种联结‎词所构造出‎的命题公式‎能否表示所‎有的真值函‎数？
定义2.1设S是一个‎联结词集合‎。

若由S中联‎结词所构造‎的命题公式‎可以表示所‎有真值函数‎，则称S是联‎结词的完备‎集。

定理2.2{,,}
⌝∧∨是联结词完‎备集。

证明
证毕
推论2.3 以下集合都‎是联结词完‎备集：
1）{,}
⌝∧
2）{,}
⌝∨
3）{,}
⌝→
证明
证毕定义2.4（1）与非联结词‎↑（2）或非联结词‎↓
定理2.5 {↑}与{↓}都是联结词‎完备集。

证明
证毕。

第二章析取范式与合取范式

11. 主析取范式的用途
➢ 求公式的成真与成假赋值 ➢ 判断公式的类型 ➢ 判断两个命题公式是否等值 ➢ 应用主析取范式分析和解决实际问题
A m1∨m2∨…∨ms 例1: 求 (p→q)→ (q∨p) 的成真赋值
(p→q)→ (q p) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (pq) m0 m2 m3 即成真赋值为：0 0,1 0，1 1
p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r
思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? 2n (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
➢极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大项。例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p;
方法1：真值表法
p q p →q 00 1 01 1 10 0 11 1
p→q m0 m1 m4 ( p q) ( p q) ( p q) M2 p q
方法2：公式法
p→q p q [ p (q q)] [q (p p)] ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m4
历史遗留问题: (1)我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 (2)只要别人有困难,他就帮忙,除非困难解决. (3) a:别人有困难, b: 他帮忙
(4) a b
作业Ｐ38 5题（1 、3）注意总结规律

离散2.2

12
2.2 析取范式和合取范式
例：求((p ∨ q) → r) → p的合取范式和析取范式的合取范式和析取范式 (一) 求析取范式一原式⇔ ¬ 原式⇔ (¬(p ∨ q) ∨ r) → p ⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ r) ∨ p ¬ ⇔ (¬ ¬(p ∨ q) ∧ ¬ r) ∨ p ¬ ⇔ ((p ∨ q) ∧ ¬ r) ∨ p ⇔ ((p ∧ ¬ r) ∨ (q ∧ ¬ r)) ∨ p ⇔ p ∨ (p ∧ ¬ r) ∨ (q ∧ ¬ r) ⇔ p ∨ (q ∧ ¬ r)
若有ｎ个命题变元，则有2n个极小项（极大项）个命题变元，则有个极小项（极大项）如果我们把命题变元看成1，命题变元的否定看成0 如果我们把命题变元看成，命题变元的否定看成那么每一个极小项（极大项），那么每一个极小项（极大项）都对应一个二进制数，因而也对应一个十进制数
16
2.2 析取范式和合取范式
1
2.2 析取范式和合取范式
定理: 定理 1)一个简单析取式是永真式当且仅当它同时含一个简单析取式是永真式当且仅当它同时含某个命题变元及它的否定式 2)一个简单合取式是永假式当且仅当它同时含一个简单合取式是永假式当且仅当它同时含某个命题变元及它的否定式
2
2.2 析取范式和合取范式
析取范式:由有限个简单合取式构成的析取式析取范式由有限个简单合取式构成的析取式
4
2.2 析取范式和合取范式
范式存在定理: 范式存在定理任意命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式方法：方法：步骤一：消去“ 、步骤一：消去“→”、“↔”联结词步骤二：消去双重否定符，步骤二：消去双重否定符，内移否定符步骤三：步骤三：使用分配律
5

x本科数理逻辑-命题3-15

4) 几种连接词相互的关系
（1) ┓p ⇔ ┓(p∧ p ) ⇔ p↑p ┓p ⇔ ┓(p∨ p ) ⇔ p↓p (2） p∧ q ⇔ ┓┓(p∧ q ) ⇔ ┓( p↑q ) ⇔ ( p↑q ) ↑ ( p↑q ) （3）(p∨ q) ⇔ ┓┓(p∨ q) ⇔ ┓(p ↓ q) ⇔ (p↓q)↓(p↓q) （4）p∧ q ⇔ ┓┓(p∧ q ) ⇔ ┓(┓ p∨┓q ) ⇔ (┓p ↓┓q ) （5）(p∨ q) ⇔ ┓┓(p∨ q) ⇔ ┓(┓p ∧┓ q) ⇔ (p↓p) ↑(q↓q) （6） (a) ┐(P ↑ Q ) ⇔ ┐P ↓ ┐Q (b) ┐(P ↓ Q ) ⇔ ┐P ↑ ┐Q
注：1）由前提集合A1，A2，A3，…，Am 推出B的推理是否是有效的与前提集合各命题公式的次序无关。 2）由推理形式 A1∧A2∧…∧Am → B 取得真值的几种情况： a) A1∧A2∧…∧Am 真值为F ， B为F b) A1∧A2∧…∧Am 真值为F ， B为T c) A1∧A2∧…∧Am 真值为T ， B为F d) A1∧A2∧…∧Am 真值为T ， B为T 当取得a)、b)、d) 三种情况均称为有效推理 3）由推理有效的定义可得出：推理有效（推理正确）并不能保证结论B一定为真推理有效（推理正确）与结论B的真值无关推理有效（推理正确）是指推理过程是合乎逻辑的（即：只要前提集合是真的，那么结论一定是真的） 3．推理形式结构的另外等价形式：定理：由前提集合A1，A2，A3，…，Am 推出B的推理是有效的或是正确的当且仅当 (A1∧A2∧…∧Am) → B为重言式（永真式）从开始的例来验证：
二、联接词的完备集 1、定义设S是一个联结词集合，如果任何n(n≥1)元公式都可以由仅含S 中的联结词构成的等值公式表示，则称S是联结词完备集．可验证 s0={ ┓、∨、 ∧、 →、↔ } 2、冗余的联接词如果某个联接词可用功能完备集中的其他连接词所表示，则称该连接词为冗余的连接词 s0 中的→、↔ 均为冗余的连接词 s1= { ┓、 ∨ 、 ∧ } 是否还含有冗余的连接词？ s2= { ┓、 ∨ } 将公式 ( p → ┓q ) ∧ r 在s2下表示 3、极小功能完备集：若联结词完备集中不含冗余的连接词 s3 = { ┓、 ∧ } 将 ( p → r ) ∧ q 在s3下表示 s4= { ┓、→ } 将 ( p ↔ r ) ∧ ┓ q 在s4下均为极小功能完备集将公式（p ↔ r) ∨( s ∧ p)在极小功能完备集s5= { ┓、→ }中表示特别地 s5 = { ↑ } s6 = { ↓ } 均为联接词的极小功能完备集将(p ∧ q) ∨ ┓r 在s5 下

离散数学第5讲省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

考题，普通运算较繁，应力争熟练）二、经典例题：
1、已知命题公式为G＝(PQ)R,则命题公式G 析取范式是 ______.
2、与命题公式P（QR）等值公式是( ) (A)(PQ)R (B)(PQ)R (C)(PQ)R (D) P(QR)
第30页30
第二章命题逻辑等值演算——小结
3、设命题公式G(P Q)，H P (Q P)，则G 与H关系是( )
第7页 7
第二章命题逻辑等值演算
例：求P ((P Q)∧ ‫ ר(ר‬Q∨ ‫ר‬P))主析取范式. 等价演算法思绪：一共有两个原子变元；含有联结词，不是析取范式形式。先利用蕴含等值公式 P Q ‫ ר‬P ∨ Q消去再化为析取范式。
第8页 8
第二章命题逻辑等值演算
解：等价演算法 P ((P Q)∧ ‫ ר(ר‬Q∨ ‫ר‬P)) ‫ ר‬P ∨ ((‫ ר‬P ∨ Q)∧ (Q ∧ P)) （消去及德摩根定律） ‫ ר‬P ∨ ((‫ ר‬P ∧ Q ∧ P) ∨ (Q∧ Q ∧ P))(分配律) ‫ ר‬P ∨ ( Q ∧ P) （消去永假项和相同变元） (‫ ר‬P ∧(Q∨‫ ר‬Q) ) ∨ ( Q ∧ P) （在第一个合取项中补入变元Q ） (‫ ר‬P ∧Q) ∨ (‫ ר‬P ∧‫ ר‬Q )∨ ( P∧ Q)（主析取范式） m0 ∨m1 ∨m3
第24页24
第二章命题逻辑等值演算
2、重言式与矛盾式主合取范式设公式A中含有n个命题变项，则：（1）A为矛盾式 A主合取范式含全部2n个
极大项。（2）A为重言式 A主合取范式不含任何极
大项，记A主合取范式为1。（3）A为可满足式 A主合取范式中极大项
个数一定小于2n 。
第25页25

数理逻辑2.3

2.3 联结词的完备集一. n 元真值函数的个数*n 个命题变项p 1, p 2, …, p n , 每个p i 可取p i 或┐p i 形式, 共有2n 个极小项(极大项), 在主析取范式中, 每个极小项可以存在或不存在, 共有n22种组合方式, 每一种组合方式代表一种不同的主析取范式, 故共有n22种不同的主析取范式(主合取范式也类似).定义2.5: 称F: {0, 1}n →{0, 1}为n 元真值函数.*F 的自变量为n 个命题变项, 定义域{0, 1}n ={(0,0,…,0), (0,0,…,1), …, (1,1,…,1)}. n 个命题变项共可构成n 22个不同的真值函数. 例如: 1元真值函数有122= 4个, 如下表, 2元真值函数共有222= 16个(见下表), 3元真值函数共有322= 256个. 表1: 1元真值函数 p )1(0F )1(1F )1(2F )1(3F0 0 0 1 11 0 1 0 1表2: 2元真值函数p q )2(0F )2(1F )2(2F )2(3F )2(4F )2(5F )2(6F )2(7F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1p q )2(8F )2(9F )2(10F )2(11F )2(12F )2(13F )2(14F )2(15F 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1*每个真值函数与唯一的一个主析取范式等值.例如: ⇔)2(0F 0 (矛盾式), )2(1F ⇔ (p ∧q) ⇔ m 3)2(3F ⇔(p ∧┐q)∨(p ∧q)⇔m 2∨m 3 ,)2(13F ⇔(┐p ∧┐q)∨(┐p ∧q)∨(p ∧q)⇔m 0∨m 1∨m 3*每个主析取范式对应无穷多个等值的命题公式, 每一个命题公式又都对应唯一的等值的主析取范式. 所以, 每一个真值函数对应无穷多个等值的命题公式, 每一个命题公式又都对应唯一的等值的真值函数.定义2.6: 设S 是一个联结词的集合, 如果任何n (n ≥ 1)元真值函数都可以由仅含S 中的联结词构成的公式表示, 则称S 是联结词完备集.定理2.4: S = {┐,∧,∨}是联结词完备集.证明: 因为任何n(n ≥ 1)元真值函数都与唯一的主析取范式等值, 而在主析取范式中, 仅含联结词┐,∧,∨, 所以S = {┐,∧,∨}是联结词完备集.推论: 以下联结词集都是联结词完备集:(1) S1 = {┐,∧,∨,→}(2) S2 = {┐,∧,∨,→,↔}(3) S3 = {┐,∧}(4) S4 = {┐,∨}(5) S5 = {┐,→}证明: (1)和(2)是显然的.(3) 由于S = {┐,∧,∨}是联结词完备集, 因而只需证∨可用┐和∧表示. 事实上, p∨q⇔┐┐(p∨q)⇔┐(┐p∧┐q), 所以S3是联结词完备集.(4) 留作练习.(5) 已知S4 = {┐,∨}是联结词完备集, 只需证∨可用┐和→表示即可. 因为有p∨q⇔┐┐p∨q⇔┐p→q, 故S5 = {┐,→}是联结词完备集.*举例说明.*可以证明: 恒取0值的真值函数不能用仅含∧,∨,→,↔的公式表示, 因而{∧,∨,→,↔}不是联结词完备集, 进而它的任何子集都不是联结词完备集.*在计算机硬件设计中, 用与非门或用或非门设计逻辑线路. 这是两种新的联结词, 并且它们各自能构成联结词完备集.定义2.7: 设p,q是两个命题, 复合命题“p与q的否定式”称作p,q的与非式, 记作p↑q. 即p↑q⇔┐(p∧q). 符号↑称作与非联结词.复合命题“p或q的否定式”称作p,q的或非式, 记作p↓q . 即p↓q⇔┐(p∨q). 符号↓称作或非联结词.*p↑q为真当且仅当p与q不同时为真, p↓q为真当且仅当p 与q同时为真.定理2.5: {↑}, {↓}都是联结词完备集.证明: 已知{┐,∧,∨}为联结词完备集, 因而只需证明其中的每个联结词都可以由↑表示即可. 事实上┐p⇔┐(p∧p)⇔p↑pp∧q⇔┐┐(p∧q)⇔┐(p↑q)⇔(p↑q)↑(p↑q)p∨q⇔┐┐(p∨q)⇔┐(┐p∧┐q)⇔(┐p)↑(┐q)⇔(p↑p)↑(q↑q)从而{↑}是联结词完备集. 类似可证{↓}是联结词完备集.2.4 可满足性问题与消解法*命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一. 我们已知这个问题可以用真值表﹑主析取范式或主合取范式解决. 但这两个方法的计算量都很大. 本节介绍一个新的方法—消解法.由于任一公式都能化成等值的合取范式, 因而一般的命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题. *举例说明合取范式的可满足性问题.*合取范式中, 简单析取式中不同时出现某个命题变项和它的否定, 否则它为永真式, 可以把它从合取范式中消去. *称不含任何文字的简单析取式为空简单析取式, 记作λ. 规定空简单析取式是不可满足的.(因为对任何赋值, 空简单析取式中都没有文字为真). 因而, 含有空简单析取式的合取范式是不可满足的.设l 是一个文字, 记⎩⎨⎧⌝==⌝=p l p p l p l C若若,, 称作文字l 的补.下面用S 表示合取范式, 用C 表示简单析取式, 用l 表示文字. 设α是关于S 中命题变项的赋值, 用α(l),α(C)和 α(S)分别表示在α下l, C 和S 的值. 又设S 和S ’是两个合取范式, 用S ≈S ’表示S 是可满足的当且仅当S ’是可满足的. 定义2.8: 设C 1, C 2是两个简单析取式, C 1含文字l, C 2含文字l C , 从C 1中删去l, 从C 2中删去l C , 然后再将所得的结果析取成一个简单析取式, 称这样得到的简单析取式为C 1, C 2的(以l 和l C 为消解文字的)消解式或消解结果, 记作Res(C 1, C 2). 即设C 1=C 1’∨l, C 2 = C 2’∨l C , Res(C 1, C 2) = C 1’∨C 2’. 根据上述定义, 由C 1, C 2得到Res(C 1, C 2)的规则称作消解规则.*可以证明, 如果C 1, C 2可对多对(不同)文字消解, 其消解结果都是等值的. 例如: C 1 = ┐p ∨q ∨r, C 2 = p ∨┐r ∨┐s ∨t, 可消解为q ∨r ∨┐r ∨┐s ∨t (以p 和┐p 为消解文字), 或消解为┐p ∨q ∨p ∨┐s ∨t (以r 和┐r 为消解文字), 都是永真式.定理2.6: C 1∧C 2≈Res(C 1, C 2).证明: 记C = Res(C 1, C 2). 设消解文字为l, l C . 不妨设C 1 = C 1’∨l, C 2 = C 2’∨l C , 于是C = C 1’∨C 2’.假设C 1∧C 2是可满足的, α是满足它的赋值, 不妨设α(l) = 1, 由于α满足C 2, C 2必含有文字l ’ ≠ l 且α(l ’) = 1. 而C 中含l ’, 故α满足C.反之, 假设C 是可满足的, α是满足它的赋值. C 必含有文字l ’使得α(l ’) =1. 不妨设C 1’含有文字l ’. 把α扩张到l(l C )上, 取赋值α’如下:⎪⎩⎪⎨⎧===其它若若),(,1,0)('p l p l p p C αα 则C 1含有l ’且α’(l ’) =α(l ’) = 1, α’满足C 1, 又C 2含有l C 且α’(l C ) = 1, α’满足C 2, 从而C 1∧C 2是可满足的. *注意: C 1∧C 2与Res(C 1, C 2)具有相同的可满足性, 但它们不一定等值.例如: p ∨q ∨r 和p ∨┐r 可消解为p ∨q. α= (0,1,1)满足p ∨q, 但不满足(p ∨q ∨r)∧(p ∨┐r). α’ = (0,1,0)满足后者的赋值.*给定一个合取范式S, 从S 的简单析取式开始, 重复使用消解规则可以得到一个简单析取式序列. 根据定理2.6, 如果S是可满足的, 得到的所有简单析取式都是可满足的. 如果最后得到空简单析取式λ, 则S 不是可满足的.定义2.9: 设S 是合取范式, C 1, C 2, …, C n 是一个简单析取式序列. 如果对每个i (1≤i ≤n ), C i 是S 中的一个简单析取式,或者C i 是它之前的某两个简单析取式C j , C k (1≤j<k<i)的消解结果, 则称此序列是由S 导出C n 的消解序列. 当C n = λ时, 称此序列是S 的一个否证.推论: 如果合式范式S 有否证, 则S 不是可满足的.引理2.7: 设S 含有简单析取式l, 从S 中删去所有包含l 的简单析取式,再从剩下的简单析取式中删去l C , 把这样得到的合取范式记作S ’, 则S ≈S ’.证明: 假设S 是可满足的, α是满足S 的赋值. 由于S 含有简单析取式l, 必有α(l) = 1, 从而α(l C ) = 0. 对S ’中的任一简单析取式C ’, S 中有一个简单析取式C 使得C = C ’或C = C ’∨l C . 因为α使C 为真, 且α(l C ) = 0, C ’必含有l ’使得α(l ’) = 1, 从而α满足C ’, 得证S ’是可满足的.反之, 假设S ’是可满足的, α’是满足S ’的赋值. 由于S ’不含l 和l C , 可把α’扩张到l 上, 得到对S 的命题变项的赋值:⎪⎩⎪⎨⎧===C l p l p S p p p 若若中出现在若,0,1'),(')(αα 于是, 对S 中的任意简单析取式C, 若C 含l, 则α满足C; 若C 不含l, 则S ’中有C ’使得C = C ’或C = C ’∨l C . 而α’满足C ’,α和α’在S’上相同, 故α满足C.得证S是可满足的.定理2.8(消解完全性): 如果合取范式S是不可满足的, 则S 有否证.证明: 设S中含有k个命题变项, 用数学归纳法证明.当k=1时, S中只有一个命题变项, 设为p. 由于S是不可满足的, S中必同时含有简单析取式p和┐p,从而S有否证. 假设当k<n (n≥2)时, 定理成立, 要证k = n时定理也成立. 任意取定S中的一个命题变项p, 令S1表示S中所有含p 的简单析取式,S2表示S中所有含┐p的简单析取式,S3表示S 中所有既不含p又不含┐p的简单析取式. S’是如下得到的合取范式: 先删除S中所有含p的简单析取式, 然后再从剩下的简单析取式中删去文字┐p. S’是两个子合取范式S2’和S3的合取, 其中S2’是删去S2的所有简单析取式中的┐p后得到的合取范式. 令S”是如下得到的子句集: 先删除S中所有含┐p的简单析取式,然后再从剩下的简单析取式中删去文字p. S”也是两个子合取范式S1’和S3的合取, 其中S1’是删去S1的所有简单析取式中的p后得到的合取范式. 由引理2.7,S∧p≈S’, S∧┐p≈S”. 由于S是不可满足的, S∧p和S∧┐p 都是不可满足的, 故S’和S”也是不可满足的. 而S’和S”中命题变项的个数都小于n, 根据归纳假设, 存在从S’和S”导出λ的消解序列C1, C2, …, C i,和D1, D2, …, D j , 其中C i = D j = λ. 如果C t(1≤t≤i)是仅由S3中简单析取式消解得到的,则称C t 是与S 2’无关的; 否则称C t 是与S 2’有关的. 可类似地定义D t (1≤t ≤j )是与S 1’无关的和是与S 1’有关的. 分两种情况讨论如下:(1) C i 是与S 2’无关的, 或者D j 是与S 1’无关的, 此时可由S 3中的简单析取式消解得到λ, 这个消解序列也是S 的一个否证.(2) C i 是与S 2’有关的且D j 是与S 1’有关的, 对每个1≤t ≤i , 令 ⎩⎨⎧⌝∨=无关与若有关与若'22',',S C C S C p C C t t t tt 对每一个1≤t ≤j, 令⎩⎨⎧∨=无关与若有关与若'1'1',,S D D S D p D D t tt t t 不难看出C 1’, C 2’, …, C i ’和D 1’, D 2’, …, D j ’都是S 的消解序列, 分别得到C i ’ = ┐p 和D j ’ = p, 而Res(C i ’, D j ’) = λ. 因此, C 1’, C 2’, …, C i ’, D 1’, D 2’, …, D j ’,λ是S 的一个否证. k=n 时定理成立得证.推论: 合取范式S 是不可满足的当且仅当它有否证. 消解算法:输入: 合式公式A输出: 当A 是可满足时, 回答“yes ”; 否则回答“no ”.1. 求A 的合取范式S2. 令S 0和S 2为不含任何元素的集合, S 1为S 的所有简单析取式组成的集合3. 对S0中的每个简单析取式C1与S1中的每一个简单析取式C2:4. 如果C1, C2可以消解, 则5. 计算C = Res(C1, C2);6. 如果C = λ, 则7. 输出“no”, 计算结束.8. 如果S0和S1都不包含C, 则9. 把C加入S2;10. 对S1中的每一对子句C1, C211. 如果C1,C2可以消解, 则12.计算C = Res(C1, C2)13. 如果C = λ, 则14. 输出“no”, 计算结束.15. 如果S0与S1都不包含C, 则16. 把C加入S217. 如果S2中没有任何元素, 则18. 输出“yes”, 计算结束.19. 否则,把S1加入S0, 令S1等于S2, 清空S2, 返回步骤3. 例2.13: 用消解法判断下述公式是否可满足:(1) (┐p∨q)∧(p∨q)∧(┐q)(2) p∧(p∨q)∧(p∨┐q)∧(q∨┐r)∧(q∨r)解: (1) 这已经是合取范式, S=(┐p∨q)∧(p∨q)∧(┐q)第一次循环, S0 =φ,S1 = {┐p∨q, p∨q, ┐q}, S2 =φ┐p∨q, p∨q 消解得到q┐p∨q, ┐q 消解得到┐pp∨q, ┐q 消解得到pS2 = {p,┐p, q}第二次循环, S0 = {┐p∨q, p∨q, ┐q}, S1={p,┐p, q}, S2=φ┐p∨q, p 消解得到qp∨q, ┐p 消解得到q┐q, q 消解得到λ输出“no”, 计算结束.(2) S= p∧(p∨q)∧(p∨┐q)∧(q∨┐r)∧(q∨r)第一次循环, S0 =φ,S1={ p, p∨q, p∨┐q, q∨┐r, q∨r}, S2=φ.p∨q, p∨┐q 消解得到pp∨┐q, q∨┐r消解得到p∨┐rp∨┐q, q∨r 消解得到p∨rq∨┐r, q∨r 消解得到qS2= { p∨r, p∨┐r, q}第二次循环, S0 = { p, p∨q, p∨┐q, q∨┐r, q∨r},S1 = { p∨r, p∨┐r, q}, S2 =φp∨┐q, q 消解得到pq∨┐r, p∨r 消解得到p∨qq∨r, p∨┐r 消解得到p∨qp∨r, p∨┐r 消解得到pS2 = φ,输出“yes”, 计算结束.作业:1.用主析取范式判断下列公式是否等值:(p→q)→r与q→(p→r)2.用主合取范式判断下列公式是否等值:p→(q→r)与┐(p∧q)∨r3. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,∧}中联结词的公式:(1) (p→(q∧r))∨p(2) p∨┐q∨┐r4. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,∨}中联结词的公式: (p→(q∧┐p))∧q∧r5. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,→}中联结词的公式: (p∧q)∨r6. 用消解法判断下述公式是否可满足的(1) p∧(┐p∨┐q)∧q(2) (p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)。

离散数学等值式范式消解算法

ABAB AB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A (AB)AB (AB)AB
15
命题公式的范式
(3) 使用分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
求合取范式求析取范式
公式范式的不足不惟一
16
求公式的范式
例5 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) (pq)r (2) (pq)r
p q r 1 1 0 M6
p q r 1 1 1 M7
mi与Mi的关系： mi Mi, Mi mi
23
主析取范式与主合取范式
主析取范式——由极小项构成的析取范式主合取范式——由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时，
(pqr)(pqr) m1m3 ——主析取范式 (pqr)(pqr) M1M7——主合取范式公式A的主析取(合取)范式——与A 等值的主析取(合取)范式定理2.5 (主范式的存在惟一定理) 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的
等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程 2. 等值演算的基础：
(1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则（见3） 3. 置换规则设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换 (A) 中所有的 A 后得到的命题公式若 BA，则 (B)(A)
(pr)(qr) （对分配律）合取范式
18 r (pq) r 消去 ((pq) r) (r (pq)) 消去 ( (pq) r) (r pq) 消去
((p q) r) ( p q r ) 否定内移
合取范式：

2.3-联结词的完备集

13
例3 有一种电子锁，锁上共有三个键A、B和C。当三键同时按下，或A、B两键同时按下，或只有A、B其中之一按下时，锁被打开。设计该电子锁的控制电路的公式并画出电路图。解：用“0”表示键未按下，“1”表示键按下。G表示锁的状态，“1”表示打开，“0”表示未打开。则G（A∧B∧C）∨（A∧B∧┐C）∨ （A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C）（A∧B）∨（A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C）（A∧（B∨（┐B∧┐C））∨（┐A∧B∧┐C）（A∧（B∨┐C））∨（┐A∧B∧┐C）（A∧B）∨（A∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C）（A∧B）∨（（A∨B）∧┐C）（A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C）
7
推论：{┐、∧}、{┐、∨}、{┐、→}是联结词完备集，并且是最小联结词完备集。因为p∨q ┐（┐p∧┐q） p∧q ┐（┐p∨┐q） p∨q ┐p → q p∧q ┐（p → ┐q）
{, }是联结词完备集，并且是最小联推论：结词完备集。
c
定理：{}、{}是联结词完备集，并且是最小联结词完备集。
8
10
为了方便电路逻辑设计的需要，现将命题逻辑联结电路，使得分别装在楼梯上下两层的两只开关都能控制照明。写出控制电路的逻辑表达式并设计电路图。解：两只开关的状态分别表示为s1，s2，“0”表示开关断开，“1”表示开关接通。用S表示楼梯的照明状态，“1”表示灯亮，“0”表示灯灭。 S（┐s1∧s2）∨（s1∧┐s2）s1s2 电路图如下：
6
定义：一个联结词集合，若对于任何一个公式均可以用该集合中的联结词来表示或等值表示，就称为联结词完备集。如果该集合任意去掉一个联结词，就不再具备这种特性，就称为最小完备集。
定理：{┐,∧,∨}是联结词完备集。推论：{┐,∧,∨,→}，{┐,∧,∨,→,}， {┐,∧,∨,→,,}，{┐,∧,∨,→,,,} 等都是联结词完备集。

离散数学第2章命题逻辑等值演算

6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 15
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。丙说王教授不是上海人，也不是杭州人。听完3人的判断，王教授笑着说，他们3人中有一人说得全对，有一人说对了一半，有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里的人？解：设命题 p, q, r分别表示：王教授是苏州、上海、杭州人。则p, q, r中必有一个真命题，两个假命题。要通过逻辑演算将真命题找出来。设：甲的判断为： A1= ┐p∧q; 乙的判断为：A2= p∧┐q; 丙的判断为：A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时，用上述方法判断两个公式是否等值计算量很大。为此，人们将一组经检验为正确的等值式作为等值式模式，通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。常用的等值式模式如下：
1.双重否定律：A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律：A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律：A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式，置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律，置换规则）
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律，置换规则）为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
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命题逻辑-2

特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础
11
命题与集合之间的关系
可以将命题公式G，H理解为某总体论域上所有使命題為真的解釋的集合，而规定G∧H为两集合的公共部分（交集）， G∨H为两集合的全部（并集），┐G为总体论域中G的补集，将命题中的真值“1”理解为集合中的总体论域（全集），将命题中的真值“0”理解为集合中的空集，则有：
R P Q S Q S
P
&
等值演算的应用－2
将下面程序语言进行化简。 If A then if B then X else Y else if B then X else Y
Start T F
A
B T F F B T
解：执行X的条件为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ) 执行Y的条件为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)
U A B
U A B
U A
G ∨ H
G ∧ H
┐G
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“∪” 与“∨”，“∩”与“∧”的对比
Ａ∪Ａ＝Ａ;Ａ∩Ａ＝Ａ G∨G＝G G∧G＝G
等幂律
交换律
结合律恒等律零律
Ａ∪Ｂ=Ｂ∪ＡＡ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
G∨H＝H∨G
G∧H＝H∧G G∨(H∨S)=(G∨H)∨S
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
（*）
（**）
应用－5
(1)(2)左右分别合取，利用（*）（**）化简得： P1 R3 Q1 P3 ＝ 1 (4) (4)(3)左右分别合取，利用（*）（**）化简得： P1 R3 Q1 P3 R1 P2 ＝ 1
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基本等值式
零律同一律排中律矛盾律蕴涵等值式等价等值式假言易位等价否定等值式归谬论 A11, A00 A0A. A1A AA1 AA0 ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A

离散数学（1）复习笔记

离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。

命题的真值，真命题，假命题。

* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。

1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。

* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。

* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。

注意命题符号化的蕴涵⽅向。

* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。

* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。

合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。

* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。

*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。

真值表。

* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。

*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。

1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。

* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。

2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。

* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。

Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。

主要内容等值式与基本的等值式等值演算与置换规则析取范

同一律
A0A. A1A
排中律
AA1
矛盾律
AA0
蕴涵等值式
ABAB
等价等值式
AB(AB)(BA)
假言易位
ABBA
等价否定等值式 ABAB
归谬论
(AB)(AB) A
特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础
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等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程 2. 等值演算的基础：
方法二观察法. 观察到000, 010是左边的成真赋值，是右边的成假赋值
方法三先用等值演算化简公式，然后再观察 p(qr) pqr (pq)r (pq)r(pq)r 更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真赋值和右边的成假赋值
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等值演算的应用举例
判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A 0 A为重言式当且仅当A 1
定理2.2 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合取式都是矛盾式. (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式.
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命题公式的范式
定理2.3（范式存在定理）任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式
公式A的析取(合取)范式与A等值的析取(合取)范式求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在）
1 重言式
(3) ((pq)(pq))r)
(p(qq))r （分配律）
p1r
（排中律）
pr
（同一律）
可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.
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双重否定律幂等律交换律结合律分配律
德摩根律
吸收律
基本等值式
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公式联结词的完备集

(等幂律) =T
2.3 命题公式与真值表关系
问题提出：由命题公式写真值表是容易的，那么如何由真值表写命题公式呢？
2.3.1 从T来列写
记忆方法：各项间用∨，每项内用∧ 每项内书写方法：例
真值表中P=T且Q=F等价于P∧Q=T 简化方法：有时A的表达通过A来描述
2.3.2 从F来列写
记忆方法：各项间用∧ ，每项内用∨ 每项内书写方法：例
结词fi 或说真值函项fi(P), i = 1, 2, 3, 4
一元联结词
由真值表写出真值函项的命题公式： f0(P) = F (永假式) f1(P) = P (P自身) f2(P) = P(否定词)√ f3(P) = T (永真式)
新的公式只有f2(P), 与之对应的联结词是否定词
二元联结词的个数
真值表中P=T且Q=F等价于P∨Q=F 简化方法：有时A的表达通过A来描述
举例
❖ 从A的真值T
直接: A = (¬P ∧¬Q) ∨ (¬P ∧Q) ∨ (P ∧Q) 间接: A = ¬¬A = ¬(P ∧¬Q) = ¬P ∨ Q
❖ 从B的真值F
B = (¬P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ ¬Q)
补充
❖ 等价否定等值式 PQ = PQ
❖ 归谬论 (PQ)(PQ) = P
2.2.3 置换规则
❖ 置换定义对公式A的子公式, 用与之等值的公式来代换便称置换
❖ 置换规则
公式A的子公式置换后A化为公式B, 必有A = B 当A是重言式时, 置换后的公式B必也是重言式
❖ 置换与代入是有区别的。置换只要求A的某一子公式作代换, 不必对所有同一的子公式都作代换
2.2.2 常用的等值公式
❖ 由于人们对、∨、∧更为熟悉，常将含有和的公式化成仅含有、∨、∧的公式。这也是证明和理解含有，的公式的一般方法

离散数学知识点

说明：定义：红色表示。

定理性质：橙色表示。

公式：蓝色表示。

算法:绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(?，?，?，?，?)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则，CP规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，?-规则（US），?+规则（UG），?-规则(ES)，?+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ?, ? , ?, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包r(R),对称闭包s(R),传递闭包t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。

3.群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理4.阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元5.环与域：环，交换环，含幺环，整环，域6.格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限布尔代数的表示定理图论：1.图的基本概念：无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图，握手定理，图的同构2.图的连通性:通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路（圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图）3.图的矩阵表示：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵4.欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图5.无向树与根树：无向树，生成树，最小生成树，Kruskal，根树，m叉树，最优二叉树，Huffman算法6.平面图:平面图，面，欧拉公式，Kuratoski定理数理逻辑：命题：具有确定真值的陈述句。

离散数学,命题逻辑等值演算

定理2.5
任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的。
证明：（1）存在性：等值演算（2）唯一性：反证法
例题与练习
【例2.8】求主析取范式与主合取范式： (p→q)↔r
合取范式（p∨r) ∧ (¬q∨r) ∧ (¬p∨q∨¬r)
析取范式（p∧¬q∧¬r）∨（ ¬p∧r ）∨（ q∧r ）
p(qr）
1 1 1 1 1 1 0 1
(pq)r
0 1 0 1 1 1 0 1
(p∧q)r
1 1 1 1 1 1 0 1
十六组重要的等值式（模式）
• 1.双重否定律 A¬¬A
• 2.幂等律 A∧A A，A∨A A
• 3.交换律 A∨B B∨A，A∧B B∧A
• 4.结合律 (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
2.3 联结词的完备集
定义2.6
n元真值函数F：{0,1}n →{0,1}
定理
• 每个真值函数，都一一对应一个真值表。每个真值函数，都存在许多与之等值的命题公式。反之，每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。
定义2.7
• 设S是联结词集合，如果任何n元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。
p∧q∧r
成真赋值
000 001 010 011 100 101 110 111
名称
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
极大项
极大项
p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
成假赋值名称
000
M0
001

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13
例2 一家航空公司为了保障安全，用计算机复核飞行计划。每台计算机能给出飞行计划正确或有误的回答。由于计算机也可能发生故障，因此采用了三台计算机同时复核，再根据“少数服从多数”的原则作出判断。假设三台计算机中同时有一台以上的计算机出现故障的概率为0，试将判断结果用命题公式表示，并设计一个尽可能简单的电路图。解：设p，q，r分别表示三台计算机的答案， S表示判断结果， “0”表示飞行计划有误，“1”表示飞行计划正确。 S⇔(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔(q∧r)∨(p∧r)∨(p∧q) 电路图如下：
7
联结词完备集
定义：一个联结词集合，若对于任何一个公式均可以用该集合中的联结词来表示或等值表示，就称为联结词完备集。如果该集合任意去掉一个联结词，就不再具备这种特性，就称为最小完备集。定理：{┐,∧,∨}是联结词完备集。推论：{┐,∧,∨,→}，{┐,∧,∨,→,↔}， {┐,∧,∨,→,↔,∇}，{┐,∧,∨,→,↔,↑,↓} 等都是联结词完备集。
6
定义或非联结词
设p、q为二命题，复合命题“p或q的否定”称为p 与q的或非式，记作p↓q，↓称作或非联结词。易见：1、 p↓q ⇔ ┐（p∨q） 2、 p↓q为真当且仅当p与q同时为假。或非联结词↓的性质：（1）p↓p ⇔ ┐(p∨p) ⇔ ┐p （2）(p↓q)↓(p↓q) ⇔ ┐(p↓q) ⇔ p∨q （3）(p↓p)↓(q↓q) ⇔ ┐p↓┐q ⇔ ┐(┐p∨┐q) ⇔ p∧q
第二章命题逻辑等值演算 2.3 联结词的完备集
1
五个基本的联结词：┐、∧、∨、→、↔。在实际应用中（如数字逻辑电路），可由五个基本的联结词{┐，∧，∨，→，↔}产生更多的联结词：（1）异或（2）条件否定（3）与非（4）或非
2
定义异或联结词
设p，q为二命题，复合命题“p，q之中恰有一个成立”称为p与q的异或式或排斥或式，记作p∇q，∇称作异或联结词。易见：1、p∇q ⇔ (p∧┐q)∨(┐p∧q)⇔ ┐(p↔q) 2、p∇q为真当且仅当p，q中恰有一个为真异或联结词∇的性质：（1）p∇q （1）p∇q⇔q∇p （2）(p∇q)∇r （2）(p∇q)∇r⇔p∇(q∇r) （3）p∧(q∇r) （3）p∧(q∇r)⇔(p∧q)∇(p∧r) （4）p∇p （4）p∇p⇔0 （5）p∇0 （5）p∇0⇔p （6）p∇1 （6）p∇1⇔┐p
3
思考题
设p、q、r为三命题，若p∇q⇔r，则p∇r⇔q， q∇r⇔p且p∇q∇r⇔0。
4
定义蕴涵否定联结词
设p，q为二命题，复合命题“p→q的否定”称为命题p和q的蕴涵（条件）否定式，记作为
c 蕴涵（条件）否定联结词。 p 由定义知：1、 → q ⇔ ¬ ( p → q )
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G ⇔（A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C）电子锁控制电路图如下：
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课后练习
有一会议室，四周都有出入口，门旁装有开关。为了控制全室的照明，要求设计一个线路，使得改变任一只开关的状态，就能改变会议室的明暗。假设，室中无人时灯全灭，有人时等亮。写出控制电路的逻辑表达式并设计电路图。
17
p 2、 → q 为真当且仅当p为真q为假
c
5
定义与非联结词
设p、q为二命题，复合命题“p与q的否定”称为p 与q的与非式，记作p↑q，↑称作与非联结词。易见：1、 p↑q ⇔ ┐（p∧q） 2、 p↑q为真当且仅当p与q不同时为真。与非联结词↑的性质： ↑ （1）p↑p ⇔ ┐(p∧p) ⇔ ┐p （2）(p↑q)↑(p↑q) ⇔ ┐(p↑q) ⇔ p∧q （3）(p↑p)↑(q↑q) ⇔ ┐p↑┐q ⇔ ┐(┐p∧┐q) ⇔ p∨q
9
思考题
定义如表所示的二元逻辑联结词“ ·”，（1）证明{·}是联结词完备集。（2）请利用该联结词·表示下述公式：（p→q）∧r
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命题逻辑的应用
——数字逻辑电路
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门电路
为了方便电路逻辑设计的需要，现将命题逻辑联结词相对应的门电路汇总于下图：
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例1 设计一个控制楼梯照明的电路，使得分别装在楼梯上下两层的两只开关都能控制照明。写出控制电路的逻辑表达式并设计电路图。解：两只开关的状态分别表示为s1，s2，“0”表示开关断开，“1”表示开关接通。用S表示楼梯的照明状态，“1”表示灯亮，“0”表示灯灭。 1” 0” S⇔（┐s1∧s2）∨（s1∧┐s2）⇔s1∇s2 电路图如下：
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例3 有一种电子锁，锁上共有三个键A、B和C。当三键同时按下，或A、B两键同时按下，或只有A、B其中之一按下时，锁被打开。设计该电子锁的控制电路的公式并画出电路图。解：用“0”表示键未按下，“1”表示键按下。G表示锁的状态，“1”表示打开，“0”表示未打开。则G⇔（A∧B∧C）∨（A∧B∧┐C）∨ （A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧B）∨（A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧（B∨（┐B∧┐C））∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧（B∨┐C））∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧B）∨（A∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ⇔（A∧B）∨（（A∨B）∧┐C） ⇔（A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C）
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推论：{┐、∧}、{┐、∨}、{┐、→}是联结词完备集，并且是最小联结词完备集。因为p∨q ⇔ ┐（┐p∧┐q） p∧q ⇔ ┐（┐p∨┐q） p∨q ⇔ ┐p → q p∧q ⇔ ┐（p → ┐q）
{ 推论： ¬, →}是联结词完备集，并且是最小联结词完备集。
c
定理：{↑}、{↓}是联结词完备集，并且是最小联结词完备集。（P39）