圆周运动临界问题规律及高考链接
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
圆周运动模型中临界问题和功与能--2024年高考物理二轮热点模型及参考答案
圆周运动模型中临界问题和功与能目录1．圆周运动的三种临界情况2．常见的圆周运动及临界条件3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论1．圆周运动的三种临界情况(1)接触面滑动临界：F f=F max。
(2)接触面分离临界：F N=0。
(3)绳恰好绷紧：F T=0；绳恰好断裂：F T达到绳子可承受的最大拉力。
2．常见的圆周运动及临界条件(1)水平面内的圆周运动水平面内动力学方程临界情况示例水平转盘上的物体F f=mω2r恰好发生滑动圆锥摆模型mg tanθ=mrω2恰好离开接触面(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动轻绳模型最高点：F T+mg=m v2r恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0轻杆模型最高点：mg±F=m v2r恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力带电小球在叠加场中的圆周运动等效法关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动倾斜转盘上的物体最高点：mg sin θ±F f =mω2r 最低点F f -mg sin θ=mω2r恰好通过最低点3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点记为C ，与原点等高的位置记为B 。
圆周的半径为R要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由mg =m v 2R可得v =gR ①对应C 点的速度有机械能守恒mg2R =12mv 2C −12mv 2A 得v C =5gR ②当小球在C 点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O 点等高的D 位置则由机械能守恒mgR =12mv 2c 得v c =2gR ③小结：(1).当v c >5gR 时小球能通过最高点A 小球在A 点受轨道向内的支持力由牛顿第二定律F A +mg =m v 2A R④(2).当v c =5gR 时小球恰能通过最高点A 小球在A 点受轨道的支持力为0由牛顿第二定律mg =m v 2A R。
高考物理热点：圆周运动中的临界问题
2．与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好 为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其 上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
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2.典例剖析
典例 长 L＝0.5 m 质量可忽略的细杆，其一端可绕 O 点在竖直平面内转动， 另一端固定着一个小球 A。A 的质量为 m＝2 kg，当 A 通过最高点时，如图 7 所示，求在下列两种情况下杆对小球的作用力：
ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而C球在水平面内做匀速圆周运动。
当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，
则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断
时的速度分别为(g取10 m/s2)( )
A．AC 5 m/s
B．BC 5 m/s
C．AC 5.24 m/s D．BC 5.24 m/s
转到解析
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4.备选训练
转到解析 扩展变式
审 1.当木块离圆心的距离很小时,随圆盘转动,木块会向圆心滑动？
【题备用2变.当式木】块对恰于好上不题向，里若滑木动块时转,木动块的受半力径情保况持如r=何0.?5遵m,从则什转么盘规转律动？的
角速度3范.若围使是木多块少半？径再增大,木块所受各力情况又会如何变化？
导 析
答4半.当案 径木增块大半4一r径a点d达，/s到随≤最圆ω大盘≤ 值的时2转，动6它r，a所木d/受块s 各将力如情何况运怎动样？？如果再使木块
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5.高考模拟演练
3．(2014·全国卷Ⅰ，20)(多选)如图 13，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可 视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴 OO′的距离为 l，b 与转轴的距离为 2l， 木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g。 若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 ω 表示圆盘转动的角速度， 下列说法正确的是 ( )
(完整版)圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为kg m 1.0=的小球， 上面绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹角分别为o30与o45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为s rad /3时，上、下两绳拉力分别为多大？2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体，M 的中心与圆孔距离为m 2.0并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。
（2/10s m g =）3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v ，此时绳子的拉力（轨道的弹力）C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
（1）0v v = （刚好到最高点，轻绳无拉力）（2）0v v > （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3）0v v < （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球， 绳的长度m l 4.0=， 轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O 为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
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研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
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研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
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研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
圆周运动水平面上的临界问题
2023
01
静摩擦力产生的临界情况
03
弹簧和绳连接的物体的临界问题
02
圆锥面上的临界问题
本节内容
- CONTENT -
1、静摩擦力产生的临界情况
2
二、圆锥面上的临界问题
ห้องสมุดไป่ตู้
例2：
二、圆锥面上的临界问题
A
C
B
三、弹簧和绳连接的物体的临界问题
例4：如图所示，在水平转台的光滑水平横杆上穿有两个质量分别为2m和m的小球A和B，A、B间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，弹簧的自然长度为L，当转台以角速度ω绕坚直轴匀速转动时，如果A、B仍能相对横杆静止而不碰左右两壁，求： （1）A、B两球分别离开中心转轴的距离； （2）若转台的直径为2L，求角速度ω的取值范围．
Page *
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
三、弹簧和绳连接的物体的临界问题
例5
01
《教材解读与拓展》P54—例3
02
三、弹簧和绳连接的物体的临界问题
例6
01
《教材解读与拓展》P59—10
02
三、弹簧和绳连接的物体的临界问题
本节内容
2020
01
02
03
小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3/4d，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力．
圆周运动临界问题
圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。
在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。
以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。
当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。
在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。
在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。
根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。
需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。
此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。
2025年新高考物理-圆周运动(解析版)
圆周运动1.高考真题考点分布题型考点考查考题统计选择题描述圆周运动的基本物理量2024年辽宁卷计算题圆锥摆模型2024年江西卷实验题水平圆盘模型2024年海南卷2.命题规律及备考策略【命题规律】高考对圆周运动基本规律的考查较为频繁，大多联系实际生活。
圆周运动的临界问题的单独考查不是太常见，大多在综合性的计算题中出现的比较频繁，并且会结合有关的功能关系。
【备考策略】1.掌握圆周运动各个物理量之间的关系。
2.能够分析圆周运动的向心力的来源，并会处理有关锥摆模型、转弯模型、圆盘模型的动力学问题。
3.掌握水平面内圆盘模型的动力学分析及临界条件。
4.掌握竖直面内圆周运动的基本规律，并能够联系实际问题做出相应问题的分析。
【命题预测】重点关注竖直面内圆周运动规律在综合性问题中的应用。
一、匀速圆周运动及其描述1．匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．描述匀速圆周运动的物理量及其关系(1)线速度：v=ΔsΔt =2πrT，描述物体圆周运动快慢的物理量。
(2)角速度：ω=ΔθΔt =2πT，描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
(3)周期和频率：T=2πrv，T=1f，描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
(4)向心加速度：a n=rω2=v2r =ωv=4π2T2r，描述速度方向变化快慢的物理量。
二、匀速圆周运动的向心力1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力。
3．向心力的公式：F n=ma n=m v2r =mω2r=m4π2T2r。
竖直面内圆周运动的临界问题
竖直面内圆周运动的临界问题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--竖直面内圆周运动的临界问题1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”.2.绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，－F N＋mg＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心并随v的增大而增大1(多选)如图所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( )A.甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力B.乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力C.丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力D.丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR2长度为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s，g取10 m/s2，则此时小球将( )A.受到18 N的拉力B.受到38 N的支持力C.受到2 N的拉力D.受到2 N的支持力3(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝ m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g＝10 m/s2)( )≥0 ≥4 m/≥2 5 m/s ≤2 2 m/s4一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小5质量为m 的小球在竖直平面内的圆管中运动，小球的直径略小于圆管的口径，如图4所示.已知小球以速度v 通过圆管的最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度v2通过圆管的最高点时( )A.对圆管的内、外壁均无压力B.对圆管外壁的压力等于mg 2C.对圆管内壁的压力等于mg2D.对圆管内壁的压力等于mg 6杂技演员表演“水流星”，在长为 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝ kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2)( )A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N( BC ) ( D )( CD )（ A ） ( C ) ( B )。
(完整word版)圆周运动中的临界问题专题
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R宀v临界=.Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V临工Rg②能过最高点的条件：v> Rg，当v> Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.③不能过最高点的条件：v v V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速V o,若v o w10■ -gR，则有关小球能够上升到最大高3 g度（距离底部）的说法中正确的是（2Vo ，定可以表示为2g B、可能为R3C、可能为RD、可能为5R3【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度v gr时，汽车对弧顶的压力F N=O，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力.（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况:特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力.①当v= 0时，F N = mg （N为支持力）②当0 v v v Rg时，F N随v增大而减小，且mg > F N > 0, F N为支持力.③当v= . Rg 时，F N = 0④当v> . R g时，F N为拉力，F N随v的增大而增大（此时F N为拉力，方向指向圆心）典例讨论1. 圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点.结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴0O旋转，现将轻质弹簧的一端固定O在圆盘中心，另一端系住一个质量为 m 的物块A,设弹簧劲度系数为 k ，弹簧原长为L 。
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题一．竖直面内的临界问题： a 无支撑模型：1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=rmv 2临界上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v 临界=rg .②能过最高点的条件：v ≥v 临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mg rv m N -=2③不能过最高点的条件：v<v 临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）. b 有支撑模型：2、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 v 临界=0.②图（a ）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N=mg ；当0<v<rg 时，杆对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0. 当v=rg 时，N=0；当v>rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大. ③图（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0. 当v=gr 时，N=0.当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大.④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v 临界=gr .当v>gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动.c 类似问题扩展如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点到斜面底边的距离s OC =L ，求：小球通过最高点A 时的速度v A ．二．平面内的临界问题 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f=2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s 2）三．绳的特性引发的临界问题如图所示，质量为m =0.1kg 的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长L A =2m ，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g =10m/s 2．求： （1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？ （2）当ω=3rad/s 时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？模型一 圆周运动中的渐变量和突变量例1：如图所示，细线栓住的小球由水平位置摆下，达到最低点的速度为v ，当摆线碰到钉子P 的瞬时（ ）A ．小球的速度突然增大B ．线中的张力突然增大P 小球C O B A θ θ ωAB 30°45°CC ．小球的向心加速度突然增大D ．小球的角速度突然增大模型二 圆周运动与平抛运动相结合例2：如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点在O 的正上方，一个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。
高中 高考物理 圆周运动的临界问题
[跟进训练] 2.( 多选 )(2017· 河北石家庄质检 ) 如图所 示，长为 3L 的轻杆可绕光滑水平转轴 O 转 动，在杆两端分别固定质量均为 m 的球 A、 B，球 A 距轴 O 的距离为 L。现给系统一定 能量，使杆和球在竖直平面内转动。当球 B 运动到最高点 时，水平转轴 O 对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力， 已知重力加速度为 g，则球 B 在最高点时，下列说法正确 的是( )
[解析]
当小球到达最高点且杆的弹力为零时，重力提
v2 供向心力， 有 mg＝m R ， 解得 v＝ gR， 即当速度 v＝ gR时， 杆所受的弹力为零，故 A 正确；小球通过最高点的最小速度 为零，故 B 错误；小球在最高点，若 v< gR，则有 mg－F v2 ＝m R ，杆对小球的作用力随着速度的增大而减小，若 v2 v> gR，则有 mg＋F＝m R ，杆对小球的作用力随着速度增 大而增大，故 C、D 错误。 [答案] A
|竖直平面内圆周运动的临界
问题——轻杆模型
如图所示， 小球固定在轻杆上， 在竖直平面内做圆周运动， 或小球在竖直放置的光滑圆管中运动。该题型的特点是小 题 球到达最高点时杆不但可以对小球有拉力，还可以对小球 型 产生支持力，而光滑圆管不仅可以对小球产生向下的压 简 力，还可以对小球产生向上的支持力。 述
A. 3mg C．3mg
B．2mg D．4mg
解析：选 A 当小球到达最高点时速率为 v， v2 两段线中张力恰好均为零，有 mg＝m r ；当小球 到达最高点时速率为 2v，设每段线中张力大小为 2v2 F，作出示意图如图所示，应有 2Fcos 30° ＋mg＝m r ； 解得 F＝ 3mg，选项 A 正确。
A．球 B 的速度为零 B．球 B 的速度为 2gL C．球 A 的速度为 2gL D．杆对球 B 的弹力方向竖直向下
圆周运动的临界问题
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r
T=mv2/r-mg≥0
小球经过最高点的速度：v gr
线或绳
讨论：
①、当 v gr 时，细绳对小球没有拉力作用。向心
力只由小球所受重力提供。
②、如果 v＞ gr ，轻绳对小球存在拉力。
③、如果 v＜ gr ，小球无法到达圆周的最高点
练习：如图，在“水流星”表演中，绳长为 1m，水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的 速度为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
变式训练2：如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其
轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端 拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝ gl 6
时，求绳对物体的拉力；
练习：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A 绕O点做圆周运动,在A通过最高点时，试讨论在下列 两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m/s时 ②当A的速率v2＝4m/s时
A
L
O
小结：
一．水平面内的圆周运动的临界问题
处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从 而结合其他力分析出指向圆心的合外力的变化，以 确定圆周运动的其他物理量的变化范围。
mgt0 am n ω 1 2L 3s0 i3n00
B
30 0
45 0
C
将已知代入解得ω1＝2.4 rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC
增大。设角速度达到ω2时，TAC=0，则③ω＝3 rad／s，此时两绳拉
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题⑴如图 1、图 2 所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况vvR绳R R 杆Ov0图1图 2图3①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v 临界＝ Rg②能过最高点的条件：v≥ Rg ，当 v＞ Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：v＜ v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。
⑵如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连。
杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力①能过最高点v 临界＝ 0，此时支持力N ＝ mg②当 0＜ v＜Rg 时， N 为支持力，有0＜ N＜ mg，且 N 随 v 的增大而减小③当 v＝Rg 时， N＝ 0④当 v＞Rg ， N 为拉力，有N＞ 0， N 随 v 的增大而增大例 1（99年高考题）如图 4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。
现给小球一初速度，使它做圆周运动。
图中a、 b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）bA 、a 处为拉力， b 处为拉力B 、a 处为拉力， b 处为推力OC、a 处为推力， b 处为拉力D 、a 处为推力， b 处为推力a例 2长度为 L ＝ 0.5m 的轻质细杆 OA ， A端有一质量为m＝ 3.0kg 的小球，如图 5所示，小球以 O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m／ s，g 取 10m／ s2，则此时细杆OA 受到（）mA 、 6.0N 的拉力B、 6.0N的压力ALC、 24N 的拉力D、 24N的压力O例 3长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O图5点，上端连接着一个质量m＝ 2kg 的小球 A ，A 绕 O 点做圆周运动（同图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当 A 的速率 v1＝ 1m／ s 时②当 A 的速率 v2＝ 4m／ s 时2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω 变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。
圆周运动临界问题汇总
注意：杆与绳不同，杆
是高考中的高频考点，现在我把它归纳为以下几种情况供大 对球既能产生拉力，也能对
家参考。
球产生支持力。
一、水平面内的临界问题
①当 v＝0 时，N ＝mg
在水平面内圆周运动的物体，当角速度 棕 变化时，物体 （N 为支持力）。
有远离或向着圆心运动（半径有变化）的趋势。这时，要根据物
②当 0＜v＜ 姨Rg 时， 有支撑模型（也叫杆模型）
静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重
力加速度大小为 g。若圆盘从静止开始
绕轴缓慢地加速转动，用 棕 表示圆盘
转动的角速度，下列说法正确的是
A.b 一定比 a 先开始滑动
B.a、b 所受的摩擦力始终相等
姨 C.ω=
kg 2L
是 b 开始滑动的临界角速度
姨 . All D解R.当析i：g棕小h=木ts块23k都LgR随e时水s，e平a r所转v受盘e摩做d擦.匀力速的圆大周小运为动时km，g在发生相
解析：设在圆轨道最高处的速度为 v，则在圆轨道最高处
mg=m
v2 R
由机械能守恒定律得：mgh=mg2R+
1 2
mv2
联立以上各式得
h=
5 2
R
例 3：长 L=0.5m 质量可忽略的
细杆，其一端可绕 O 点在竖直平面内
对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力即 f 静 =mrω2， 转动，另一端固定着一个物体 A.A 的
【关键词】主题图；现状分析；策略；教学应用 人教版的数学教材里插入一幅幅图文并茂的主题图，这 就使枯燥的数学变得生动有趣，使抽象的数学变得形象具体， 并且使数学探究活动变得具有挑战性，也为我们教师提供了 丰富的教学资源。但在使用的过程中，我发现理想和现实总有 一段距离。 一、对主题图使用情况的现状分析 1.对主题图的存在，熟视无睹 由于老教材的编排特点及教学模式在许多教师心中已根 深蒂固，因此认为只要让学生掌握数学知识点，形成技能，主 题图的用与不用都次要。如五年级上册《小数乘小数》的教学， 主题图中有一个宣传栏上玻璃碎了的情境，练习一中再次提 到：如果给宣传栏换上玻璃每平方米 16.5 元，买这块玻璃需
圆周运动中的临界问题(最新整理)
C、24N 的拉力
D、24N 的压力
m
A L O
例 3 长 L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点， 上端连接着一个质量 m＝2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同 图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当 A 的速率 v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率 v2＝4m／s 时
离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。 此时，对 M 运用牛顿第二定律。
M
ro
有
T－fm＝Mω12r
且 T＝mg
解得 ω1＝2.9 rad／s
m
第5页
图 7
当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆
心，大小还等于最大静摩擦力 2N。
再对 M 运用牛顿第二定律。
有
T＋fm＝Mω22r
解得 ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
第6页
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s 时，TBC＝0，AC 与轴的夹角小于 30°。 如果ω＞3.16rad／s 时，TAC＝0，BC 与轴的夹角大于 45
例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背
①当 v1＝1m／s＜ 5m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N v2
由牛顿第二定律 mg－N＝m L v2
N＝mg－m ＝16N L
圆周运动临界问题规律及高考链接
圆周运动临界问题规律及高考链接作者：白鹏翔来源：《教育教学论坛》2014年第02期摘要：高中物理中，临界问题很多，其中圆周运动的临界问题一直是高考的热点问题，此类问题分为竖直平面与水平面内的圆周运动。
文章就竖直平面内圆周运动的规律及共性的问题做一下总结，并就在高考中的题型进行一下追踪，分析综合点及解决思路。
关键词：竖直平面；圆周运动；临界条件；高考链接中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2014）02-0103-03圆周运动的临界问题在高考中题型有时以选择题出现，有时在综合性计算题当中出现，多与机械能守恒、动能定理、动量守恒、牛顿定律等知识综合应用，竖直平面内的圆周运动的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。
物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，分以下几种情况讨论：第一类问题：绳拉球、水流星、外侧轨道最高点的临界问题（如图1、2所示），此类问题的解题思路是一样的，即临界条件并求出临界速度。
思路：由一般到特殊。
一般情况下，如果弹力不为零，则方向一定向下，小球受到重力与弹力（绳子的拉力或外侧轨道的支持力，或容器底面对水的支持力）的作用，向心力公示的表达式为G+F=mv2/R，弹力随着速度的增加而增加、减小而减小，当速度减小到F=0时，线速度具有最小值，此时有G=mv2/R，v=■，所以F=0为小球恰好能过最高点的临界条件，临界速度为v=■（注：如果小球的线速度小于■，则会做向心运动），即小球能做完整的圆周运动的条件为F≥0，此时v≥v=■。
例1 如图1中绳长为L，求小球恰好能过最高点的速度（）A ■B v=■ Cv=■ D ■变式1-1 在上题的基础上，求小球在最低点的速度？变式1-2 求小球在最低点受到绳子弹力大小？变式1-3 如果把小球换成是盛水的小桶，问，要使水桶转到最高点不从小桶里流出来，这时小桶的线速度至少是多少？（）A■ B■ C■ D 2■分析：例1中答案无可非议为A，变式1-1是把临界问题与机械能守恒定律相结合，由mg2L+1/2mv2=1/2mv2x，v=■，解得：vx=■；在变式1-2中由F箒G=mv2x/L，解得F=6mg；变式1-3例1的答案一样为■。
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方向一定 向下， 小球受到重力与弹力（ 绳子的拉力或外侧轨 道的支持力 ， 或容器底面对水的支持力 ） 的作用 ， 向心力公 示 的 表达 式 为 Ｇ ＋ Ｆ ＝ ｍ ｖ ２ ／ Ｒ， 弹力 随着 速 度 的增 加 而增 加 、 减 小而减小 ， 当速度减小 到Ｆ ＝ ０ 时， 线速度具有最小值 ， 此时 有Ｇ ＝ ｍ ｖ ２ ／ Ｒ， ｖ ＝ 、 ／ ， 所Ｉ ） Ａ Ｆ ＝ ０ 为小球恰好能过最高点的临
２ ０１４ 年 １ 月 第 ２期
教 育 教 学 论 坛
Ｅ ＤＵ Ｃ ＡＴＩ ＯＮ ＴＥＡ ＣＨ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ｊａ ｎ． ２ Ｏ１ ４ Ｎ Ｏ． ２
圆周运 动临界问题规律及高考链接
白鹏翔
（ 内蒙古 巴彦淖尔市乌拉特后旗第一中学 ， 内蒙古 乌拉特后 ０ １ ５ ５ ４ ３ ）
评论 ： 本 题 中 的新 情 境— —不 动点 ， 其 实质 是 方程 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ 的根 。构 造 函数 ＋ （ ｂ ＋ １ ） ｘ ＋ ｂ 一 １ ＝ Ｘ 这 是 利用 变 量相 对 的 观点。 （ 四） 换元 法 在问题解决过程 中， 引入一个或几个新“ 元” 代换 问题 中的旧“ 元” ， 这样便使关于新元的问题能够得到解决 ； 再将 新元 的结 果 带 回原题 ， 即可 得 出旧元 问题 的结 果 ， 这 种方 法 叫做 换元 法 。 常用 的三角 代换 ： （ １ ） 二 次根 式 的三 角代 换 （ ａ ＞０ ） 、 瓣 一代换 ： ｘ ＝ ａ ｃ ｏ ｓ ０ 或ｘ ＝ ａ ｓ ｉ ｎ ０
・ ． ．
’
．
．
△＝ （ 一 ４ ａ ） ２ ＿ ４ Ｘ ４ ａ ＝ ０ ａ （ ａ 一 １ ） ＝ ０ ． ａ ＝ ０ 或ａ ＝ ｌ
做 代 换 ｛ 【 ｘ ／∞ １ 一 ｘ ＝ ｓ ｉ ｎ 。 ０ ｘ ≤ 号
・
． ．
ｙ ＝ ｃ ｏ ｓ ０ ＋ ｓ ｉ ｎ ０ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ０ ＋ 詈）
摘要： 高中物理 中， 临界 问题很 多， 其 中圆周运动的临界 问题一直是高考的热点 问题 ， 此 类问题分为竖直平 面与水平 面 内的 圆周运 动 。 文章 就 竖直 平 面 内 圆周 运动 的规 律 及 共 性 的 问题 做 一 下 总 结 ， 并 就 在 高考 中的题 型 进 行 一 下 追踪 ， 分
析 综 合 点及 解决 思 路 。 ’
关键 词 ： 竖 直平 面 ； 圆周 运 动 ； 临界 条 件 ； 高考 链接 中 图分 类 号 ： Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 文 献 标 志码 ： Ｂ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ — ０ １ ０ ３ — ０ ３
・
． ．
Ｖ７４ ａ ７一代换 ： ｘ ＝ ａ ｔ ａ ｎ ０ 或ｘ ＝ ａ ｃ ｏ ｔ ０ 、 ／ ＝ 一代换 ： ｘ ＝ ａ ｓ ｅ ｃ ０ 或Ｘ ＝ ａ ｃ ｓ ｃ ０
（ ２ ） 二 次 曲线 的三 角代 换 ：
参考 文 献 ： ［ １ 】 张 同君 ． 中 学数 学 解 题 研 究 ［ Ｍ］ ． 长春 ： 东北 师 范 大 学 出版 社 ，
、
、
、 １
Ｉ
一
＼。
一 ＿
ｒ
／
图２
图 １
即ａ Ｘ ＋ ｂ ｘ ＋ ｂ 一 １ ＝ ０ ，
解析 ： 由（
） ２ ＋ （ 、 ／ 厂 ｒ 二 ） ２ － ＿ １ ， 且０ ≤ｘ ≤１
于是 △＝ ｂ 一 ４ ａ （ ｂ 一 １ ） ＝ ０
ｂ ２ ＿ ４ ａ １ ） ＋ ４ ａ ＝ ０ 恒成 立 ，
圆周 运动的临界 问题在高考 中题 型有 时以选择 题出 现， 有时在综合性计算题当中出现 ， 多与机械能守恒 、 动能 定理 、 动量 守恒 、 牛顿定律等知识综合应用 ， 竖直平面 内的 圆周运 动 的特 点是 ： 由于 机械 能守 恒 ， 物 体做 圆周 运 动的 速 率时刻在改变 ， 物体在最高点处的速率最小 ， 在最低点处的 速 率最 大 。物 体在 最低 点 处 向心力 向上 ， 而重力 向下 ， 所以 弹力必然向上且大于重力 ； 而在最高点处 ， 向心力向下 ， 重 力 也 向下 ， 所 以弹力 的方 向就 不 能确定 了 ， 分 以下 几 种情 况 讨论 ： 第一类 问题 ： 绳拉球 、 水流星 、 外侧轨道最高点的临界 问题 （ 如图１ 、 ２ 所示 ） ， 此 类 问题 的解 题思 路 是 一样 的 ， 即临 界条 件并 求 出临 界速 度 。 思路 ： 由一 般到 特殊 。 一般 情 况下 ， 如果 弹力不 为零 ， 则
号≤ ０ ＋ 号≤
１ ≤ｙ ≤、 ／ ２， 即函数值域是『 １ ， 、 ／ ２ ｏ 评论 ： 此题为典型的圆代换 ， 这类换元是根号里面的整 体换元 ， 代换时要注意换元后的取值范围， 确保前后一致。 总之 ， 函数与方程思想所涉及的知识点多面广 。 它不仅 是 中学数学学习中十分重要的思想 ， 也是各地高考 的重点。 学 生 如能熟 练地 利 用一 些 函数与 方程思 想 去解题 ，将 会 起 到事半 功倍 的效 果 ， 也 会 常有 “ 柳 暗花 明又 一村 ” “ 一 览众 山 小” 的情 况 出现 。 因此 ， 我们 要掌 握 函数 与 方程 思想 在解 题 中 的各 种方 法 和要 点 ，要 重 视和 学会运 用各 种方 法 去分 析 问题 、 转 化 问题达 到最 后 的解决 问题 。
２０ ０ ２．
ｘ ２ ＋ ｙ ｒ ２ － 一 圆 代 换 ： ｛ ｙ ＝ ｒ ｃ ｓ ｌ ｎ 口
【 ２ ］ 燕培雄 ． 一元二 次方程 的根 的判别式及其应 用卟 中学生数理 化（ 教与学） ， ２ ０ １ １ ， （ ９ ） ： ５ ９ ． ［ ３ 】 于 江洪． 点击 函数 与方程 思想 Ｕ 】 ＿ 中学生数 理 化（ 高 中版 ） ，