6-8常微分方程的应用
常微分方程在高数学科中的重要作用与应用
常微分方程在高数学科中的重要作用与应用常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是一类数学方程，描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
在高等数学中，常微分方程是一个重要的数学分支，具有广泛的应用领域。
在高数学科中，常微分方程的重要作用体现在以下几个方面：1. 物理学中的应用常微分方程广泛应用于物理学领域，以描述自然界中的各种动力学过程。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程来描述，通过求解运动方程，我们可以精确地预测物体在各种条件下的运动。
另外，光学、热力学、电动力学等领域也利用常微分方程建立物理模型，从而推导出系统的行为规律。
2. 生物学中的应用常微分方程在生物学领域中有着广泛的应用。
生物学家可以利用常微分方程来描述生物体内各种生命周期的变化和生物群体的动态行为。
例如，人口动态模型、免疫系统模型等都可以通过常微分方程加以描述，进而理解生物系统中的行为和相互作用。
3. 工程学中的应用工程学中的很多问题可以通过常微分方程进行建模和求解。
例如，电路中的电流和电压变化可以通过常微分方程来描述，并进而分析电路中的稳定性和响应特性。
此外，工程学中的动力学问题、机械振动问题和控制系统的建模等也离不开常微分方程的应用。
4. 经济学中的应用常微分方程在经济学中也有重要的应用。
例如，经济增长模型、消费行为模型等都可以通过常微分方程来建立。
这些模型可以揭示经济体制中的供求关系、市场波动以及经济增长的趋势，为经济政策的制定提供重要依据。
除了以上几个领域，常微分方程还可以在人口学、地理学、环境科学等学科中找到广泛的应用。
例如，人口增长模型可以通过常微分方程描述，地球温度变化模型也可以用常微分方程建立。
在实际应用中，常微分方程的求解往往是比较困难的，需要借助数值方法或近似方法来求解。
数值解法如欧拉法、龙格-库塔法等可以在计算机上进行求解，而近似解法如级数解、变量分离法等则可以对一些特殊的常微分方程进行求解。
常微分方程的求解及其应用
常微分方程的求解及其应用常微分方程是微积分中十分重要的一个分支。
通过解决微分方程，我们可以得到模型在不同情况下的变化，进而为实际问题的解决提供了关键性所在。
本文将介绍常微分方程的求解及其应用。
一、常微分方程的基础知识在介绍常微分方程的求解之前，我们先来了解一些常微分方程的基础知识。
常微分方程是指只有一个自变量的微分方程，即形如：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中y是自变量，x是因变量，f(x,y)是一个已知函数。
上述方程也可以写成以下形式：$$y'=f(x,y)$$其中y'表示y对x的导数。
二、常微分方程的求解方法1.可分离变量法可分离变量法是常微分方程最常用的求解方法。
该方法的主要思想是将变量y和x分离，即将f(x,y)拆分为g(x)h(y)，使得原方程可写成以下形式：$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$然后将上式两边分别积分即可。
以求解一阶线性微分方程为例，其形式为：$$y'+p(x)y=q(x)$$首先，将右式中的q(x)移到左边，得到：$$y'+p(x)y-q(x)=0$$然后，应用一个分离变量法的思想，令p(x)=P'(x)，即可将该方程写成：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$然后，我们使用降阶的方法将该一阶方程转换为首阶方程。
具体来说，将y分离出来，得到：$$\frac{dy}{dx}=-P(x)y+Q(x)$$我们令u(x)=e^{\int P(x)dx}，则上式可以写成：$$u(x)\frac{dy}{dx}-u(x)P(x)y=u(x)Q(x)$$将上式两边同时积分，得到：$$u(x)y=\int u(x)Q(x)dx+C$$其中C为常数，e^{\int P(x)dx}也可以写成常数K。
这样，我们就求解出了一阶线性微分方程。
2.参数化方法参数化方法是常微分方程的另一种常见求解方法。
该方法的核心是寻找一条曲线，使得函数y(x)可以表示为该曲线上某点的函数。
常微分方程及其应用
常微分方程及其应用常微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量的变化率与变量本身的关系。
常微分方程广泛应用于物理学、生物学、经济学等众多领域，为解决实际问题提供了有效的数学工具。
在物理学中，常微分方程被广泛应用于描述自然界中的各种现象。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程来描述物体的运动。
考虑一个质点在力的作用下运动的情况，我们可以通过将质点的质量、受力和加速度之间的关系表示为一个常微分方程。
这个方程可以描述质点在不同时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，常微分方程被用来描述生物体内的各种生理过程。
例如，人体的代谢过程可以用常微分方程来描述。
我们可以建立一个关于时间的常微分方程来描述人体内各种物质的转化和消耗。
这些方程可以帮助我们理解人体的代谢过程，从而指导健康管理和疾病治疗。
在经济学中，常微分方程被用来描述市场供求关系和价格变化。
例如，一种商品的价格会随着供求关系的变化而发生变化。
我们可以建立一个关于时间的常微分方程来描述市场供求关系的变化，从而预测价格的走势。
这些方程可以帮助我们理解市场的运行机制，从而指导经济政策和投资决策。
除了物理学、生物学和经济学，常微分方程还被广泛应用于其他领域，如工程学、环境科学和计算机科学等。
在工程学中，常微分方程被用来描述控制系统的动态行为。
在环境科学中，常微分方程被用来描述气候变化和生态系统的演化。
在计算机科学中，常微分方程被用来描述算法的复杂性和性能。
常微分方程及其应用是数学中的重要内容。
它不仅在物理学、生物学和经济学等自然科学领域发挥着重要作用，也在工程学、环境科学和计算机科学等应用科学领域发挥着重要作用。
通过建立和求解常微分方程，我们可以更好地理解和预测自然和社会现象的变化，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
因此，对常微分方程的研究和应用具有重要的理论和实践意义。
常微分方程的实际应用
常微分方程的实际应用常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。
关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process.Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use引言数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式，不同的物理现象可以具有相同的数学模型，这一事实正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。
常微分方程理论及其应用
常微分方程理论及其应用一、常微分方程的理论首先，我们需要明确什么是常微分方程。
常微分方程是描述一个未知函数与其一些导数之间关系的方程。
根据未知函数的个数和自变量的个数不同，常微分方程可以分为单常微分方程和组常微分方程两类。
对于单常微分方程，根据方程中导数的最高阶数，可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的形式一般为dy/dx=f(x,y)，求解一阶常微分方程的方法有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
高阶常微分方程则需要通过变量代换的方法将高阶常微分方程转化为一阶方程组来求解。
对于组常微分方程，它由多个未知函数与它们的导数之间的关系方程组成。
组常微分方程的求解分为两种情况，一种是齐次线性组常微分方程，另一种是非齐次线性组常微分方程。
对于齐次线性组常微分方程，我们可以通过矩阵运算的方式来求解。
而对于非齐次线性组常微分方程，我们需要通过特解和通解结合的方法来求解。
在常微分方程的理论研究中，我们还常常遇到的一个重要概念是初值问题。
初值问题是指在给定其中一初始条件下，求解满足该初始条件的微分方程解。
初值问题的解的存在唯一性是常微分方程理论研究的一个重要问题，我们需要通过一些数学分析方法来证明。
二、常微分方程的应用常微分方程的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、生物学等各个领域。
以物理学为例，常微分方程广泛应用于天体力学、力学、电磁学等领域。
在天体力学中，通过对轨道方程建立和求解，可以预测行星运动。
在力学中，通过建立运动方程，可以求解物体的运动轨迹。
在电磁学中，通过建立麦克斯韦方程，可以研究电磁场的变化规律。
这些都是常微分方程在物理学中的应用。
在工程学中，常微分方程被广泛应用于电路分析、控制系统、信号处理等方面。
在电路分析中，通过建立电路方程和求解，可以得到电路中电流和电压的变化规律。
在控制系统中，通过建立系统的数学模型和求解微分方程，可以研究系统的稳定性和响应特性。
在信号处理中，通过建立信号的微分方程和求解，可以对信号进行滤波和提取。
常微分方程与其在实际中的应用
常微分方程与其在实际中的应用常微分方程是描述自然现象和物理现象最基本的数学工具之一。
对于任何数学专业的学生来说，只有精通常微分方程，才能够真正掌握数学的精华和应用。
尽管很多人会认为，微分方程只是一种抽象的数学概念，但实际上它在我们的日常生活中扮演了重要的角色。
本文将围绕着常微分方程，探讨它在实际中的应用。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是研究函数的微分方程。
它包括两部分：一个是未知函数，另一个是关于该函数的导数。
通常，常微分方程包含一个独立变量和一个未知函数，其中这个未知函数是随着独立变量的改变而变化的。
在数学领域中，常微分方程可以用于求解需要改变的过程，并且它在各种物理学和其他科学领域的应用中也很重要。
二、常微分方程在经济中的应用在经济学领域中，常微分方程有广泛的应用。
例如，宏观经济学中的萨缪尔森模型就是一个关于经济增长的常微分方程模型。
此外，在经济学中另一个重要的应用是价格变化的方程。
价格经常依赖供求关系，而这种供求关系可以用常微分方程来描述。
我们可以通过模拟这种微分方程，来预测未来的价格趋势。
因此，常微分方程在经济学中被广泛应用。
三、常微分方程在物理学中的应用物理学是应用最广泛的领域之一，因此，常微分方程在物理学中的应用也是最广泛的之一。
物理学中有许多关于运动和力学运动的问题需要解决，这些问题都可以用常微分方程来描述。
例如，牛顿定律是经典物理学中最基本的定律之一，它可以用常微分方程的形式来表示。
此外，常微分方程还在许多其他领域中被广泛应用，如电学、光学、热学等。
四、常微分方程在生物学中的应用在生物学中，常微分方程也有广泛的应用。
生物学领域中的一些问题，例如种群增长和动态平衡，可以用常微分方程来描述。
此外，有些分子生物学问题也涉及到微分方程。
例如，细胞内生物化学反应非常复杂，它们可以用常微分方程来描述各种生物分子之间的相互作用。
五、总结因此，在各种学科领域中，包括经济学、物理学和生物学，常微分方程的应用都是不可忽视的。
常微分方程方法在微积分中的应用
常微分方程方法在微积分中的应用常微分方程是微积分中的一门重要课程，它研究的是含有未知函数及其导数的方程。
常微分方程包括了一阶常微分方程和高阶常微分方程，具有广泛的应用领域。
在微积分的学习中，我们通过学习常微分方程的方法，可以解决很多实际问题，下面将从生活中的应用和工程领域中的应用两个方面展开讨论。
首先，常微分方程在生活中有着广泛的应用。
我们身处的环境中充满了各种各样的变化，这些变化可以通过常微分方程来描述。
一个常见的例子是衰减问题。
生活中有很多现象如放射性物质的衰变、热量的散失以及人口的增长等都是衰减问题。
这些问题可以用一阶常微分方程来描述，通过解方程我们可以得到关于物质衰减的规律。
此外，常微分方程也可以应用在工程领域。
工程问题中常常需要求解由物理定律描述的方程来研究系统的动态行为。
例如，机械振动方程、电路方程和控制系统等都可以用常微分方程来描述。
通过对这些方程进行求解，可以了解到系统的稳定性、响应以及其它相关特性。
这对于工程师们来说是非常重要的，可以帮助他们设计和改进各种工程系统。
常微分方程的求解方法有很多种，其中一些方法也在微积分中被广泛应用。
最直接的方法是分离变量法。
对于一阶常微分方程，我们可以将变量分离到方程两边，然后对两边分别积分得到解。
这个方法在微积分中的积分技巧和技术是非常重要的。
当然，常微分方程的求解远不仅限于分离变量法。
还有很多方法，包括微分方程的分类解、常微分方程的线性化以及常微分方程的变换等。
对于高阶常微分方程，我们也可以通过线性代数的方法来求解。
这些方法在微积分中被严格证明，并且在实际应用中发挥了重要的作用。
总结一下，常微分方程是微积分中的一门重要课程，它在生活中和工程领域中有广泛的应用。
通过学习常微分方程的方法，我们可以解决很多实际问题，帮助我们了解和改进各种系统的行为。
常微分方程的求解方法也在微积分中得到了广泛的应用。
希望本篇文章对你理解常微分方程在微积分中的应用有所帮助。
常微分方程应用
常微分方程应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了物理、工程、经济等各个领域中的变化规律。
在实际应用中，常微分方程被广泛用于模拟和预测系统的行为，以及解决各种问题。
本文将介绍常微分方程在几个实际应用中的案例，并探讨其重要性和局限性。
一、人口增长模型人口增长是一个重要的社会经济问题，而常微分方程可以用来描述和预测人口变化的规律。
以Malthus模型为例，它假设人口增长的速度与当前人口数量成正比，即dP/dt = kP，其中P是人口数量，t是时间，k是增长率。
通过解这个方程，我们可以得到人口数量随时间的变化规律。
这种模型可以应用于城市规划、资源分配等问题中，帮助政府制定合理的政策。
二、物理系统建模常微分方程在物理学中有广泛的应用，可以用来描述各种运动和变化的规律。
以简谐振动为例，它可以由二阶常微分方程描述：d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中x是物体的位移，t是时间，ω是角频率。
这个方程可以应用于机械振动、电路振荡等问题中，帮助我们理解和分析物理系统的行为。
三、化学反应动力学常微分方程在化学反应动力学中也有重要作用。
以一阶反应为例，它可以由一阶常微分方程描述：d[A]/dt = -k[A]，其中[A]是反应物的浓度，t是时间，k是反应速率常数。
通过解这个方程，我们可以得到反应物浓度随时间的变化规律。
这种模型可以应用于酶催化、药物代谢等领域，帮助我们理解和控制化学反应的过程。
尽管常微分方程在各个领域中都有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
首先，常微分方程通常是基于一些简化假设得到的，这些假设可能无法完全满足实际情况。
其次，常微分方程的求解通常需要数值方法，这在某些情况下可能会带来精度和计算效率的问题。
此外，常微分方程模型的建立和参数的选择也需要一定的经验和专业知识。
总之，常微分方程作为一种数学工具，可以应用于各个领域中的问题求解和模拟预测。
通过合理选择模型和求解方法，我们可以更好地理解和控制自然和社会系统的行为。
常微分方程在物理学中的应用
常微分方程在物理学中的应用随着科学技术的发展，许多物理学问题已经被成功地描述成常微分方程，这种数学工具已经成为了研究物理学的强有力的手段。
本文将从物理学角度出发，介绍常微分方程在物理学中的应用。
1. 力学中的常微分方程力学是物理学的一个极为重要的分支，在机械、电磁等领域都有广泛应用。
常微分方程在力学中的应用非常广泛，例如经典力学中的牛顿定律就可以用以下的二阶常微分方程来表示：$$m\frac{d^2x}{dt^2}=F(t)$$其中，m是质量，x是位移，F(t)是外力。
这个方程可以表示物体在给定的外力作用下的运动状态，通过求解这个方程，我们可以获得物体的运动轨迹和速度等信息。
除此之外，在弹性力学和振动理论中也有许多常微分方程的应用。
例如弹性形变问题，可以用以下的二阶常微分方程表示：$$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{\omega^2}{c^2}u=0$$其中，u是位移，x是空间坐标，$\omega$是固有振动频率，c是波速。
这个方程可以描述弹性体在受到外力扰动后的振动情况。
2. 热力学中的常微分方程热力学研究的是能量的转化和传递，包括热传导、热辐射等多种现象。
在这些问题中，常微分方程同样发挥了重要的作用。
例如一个光滑导体的热传导问题，可以用以下的一维热传导方程表示：$$\frac{\partial T}{\partial t}=k\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，k是热传导系数。
这个方程可以描述导体内部温度的分布变化情况，通过求解该方程，我们可以得到导体内各点的温度分布。
类似的，在流体力学和电磁学中也存在许多问题可以用常微分方程来描述。
例如在流体中运动的微小颗粒的运动问题，可以用一阶常微分方程来表示其运动轨迹：$$\frac{dy}{dt}=v(y,t)$$其中，y是颗粒的空间位置，v是它受到的作用力产生的速度。
常微分方程的应用
常微分方程的应用常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是数学中的一种重要分支，研究描述变量之间关系的方程。
常微分方程广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域，是解决实际问题的重要工具之一。
本文将讨论常微分方程在几个具体领域中的应用。
一、物理学中的常微分方程应用物理学是运用数学描述自然界现象的学科，常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
以牛顿第二定律为例，在描述质点运动时常常用到二阶常微分方程。
质点在一维运动中的位移关系可以表示为：\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x) + f(t)\]其中，m为质点的质量，x为质点的位移，t为时间，F(x)为质点所受到的力，f(t)为外界施加的力。
通过求解上述常微分方程，可以得到质点的运动轨迹。
而在电路中，电压与电流之间的关系也可以通过常微分方程来描述。
以一阶电路为例，电压和电流满足以下方程：\[L\frac{{di}}{{dt}} + Ri = V(t)\]其中，L为电感的感应系数，R为电阻的阻值，i为电流，V(t)为电压源。
通过求解该常微分方程，可以得到电流随时间变化的规律。
二、生物学中的常微分方程应用生物学研究生物体内各种生理过程的运行规律，在此过程中也常使用常微分方程进行建模和分析。
以人口增长为例，传统的人口增长模型可以通过以下一阶常微分方程来描述：\[\frac{{dN}}{{dt}} = rN(1 - \frac{{N}}{{K}})\]其中，N为人口数量，t为时间，r为人口增长率，K为环境容纳量。
通过求解上述常微分方程，可以得到人口数量随时间变化的趋势。
此外，常微分方程还可以描述化学反应动力学过程。
以一级反应为例，反应速率与反应物浓度之间的关系可以通过以下常微分方程表示：\[\frac{{d[A]}}{{dt}} = -k[A]\]其中，[A]为反应物A的浓度，t为时间，k为反应速率常数。
常微分方程理论及其应用
常微分方程理论及其应用常微分方程是研究物理、化学、生物、社会及经济等各种学科中微观运动及变化的重要技术和方法。
这种方程有五个重要的性质，分别是：它们描述的系统是连续不断变化的；它们描述的系统是可以精确地表示的；它们描述的系统是可以用数学方法来描述和解决的；它们描述的系统可以用实际的系统来验证；它们描述的系统有一个明确的函数，可以建立一个可以求解的方程组。
常微分方程可以用来描述各种物理现象，从天文的轨道变化到细胞的生物学过程，再到社会中的经济、政治变化，都可以用常微分方程表示。
各个领域有各自的问题，例如在量子力学中，常微分方程被用来表示偶素分布函数，在热力学中，常微分方程被用来推导能量或熵的时变规律，而在流体力学中，常微分方程被用来描述流体的流动和变化，在大气科学中，常微分方程被用来描述大气压强在不同地区的变化。
因此，学习常微分方程可以使我们更深入地理解自然现象，更好地控制自然现象。
除了用于描述实际物理过程之外，常微分方程还可以用于求解各种解析和数值问题。
解析法是指通过求解常微分方程中特定的解或者由未知量函数构成的解集来找到解的方法。
而数值法则则是指使用计算机求解常微分方程的数值解的方法。
这两种方法都可以帮助我们解决实际中的问题，例如量子力学中的波函数可以通过数值法来求解，流体力学中的稳定性可以通过解析法来获得。
常微分方程理论在许多方面都有重要的应用，它能够帮助我们更深入地理解自然界的现象，同时也能加深我们对量子力学、流体力学等学科的理解，为我们建立更更精确的模型提供可能性，并且还能用来求解各种复杂的问题。
因此，常微分方程对我们的学习和研究来说，无论是从理论上还是从应用上都非常重要。
从理论上来看，常微分方程的研究历史悠久，随着理论发展和技术进步，它也在不断地发展和完善，而它也启发了许多其他研究领域的深入研究，例如量子力学、流体力学、大气科学等等。
前，常微分方程技术已经成为科学技术领域重要的理论工具，其应用范围也正在不断地扩大。
高等数学中的常微分方程及其应用
高等数学中的常微分方程是数学分析的重要内容之一，广泛应用于物理、化学、工程等领域。
常微分方程主要研究未知函数的导数与自变量之间的函数关系，通过数学方法求解常微分方程可以得到问题的解析解或数值解，为实际问题提供了有力的数学工具。
常微分方程是我们研究实际问题中最常见的数学模型之一。
在物理学中，常微分方程被广泛应用于描述运动、波动、电磁场等自然现象。
例如牛顿第二定律、电磁场方程等都可以转化为常微分方程来求解。
在化学工程中，反应动力学方程也常常可以用常微分方程来表示。
常微分方程的应用还延伸到控制论、生态学、经济学等多个学科领域。
常微分方程的求解需要借助于数学方法和技巧。
我们通过分类讨论，将常微分方程分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程由未知函数的导数与自变量以及未知函数本身构成，例如线性方程、可分离变量方程、恰当方程等。
高阶常微分方程是指导数的阶数超过一阶的方程，例如二阶、三阶等。
高阶常微分方程的求解往往需要借助于特殊函数、级数展开等高等数学方法。
求解常微分方程的过程可以通过积分或变量变换等方法来完成。
积分方法是最常用的方法之一。
对于一阶常微分方程，可以通过变量分离、恰当方程转化为简单的积分问题。
对于高阶常微分方程，通常可以通过等效变量、代换等方法将其化简为一阶方程，然后再应用一阶常微分方程的解法。
此外，还可以利用特殊函数（如贝塞尔函数、超几何函数等）进行求解。
对于一些特殊的常微分方程，也可以利用级数展开等数学方法进行求解。
常微分方程不仅在理论研究中有重要应用，也在实际问题的数值计算中起到至关重要的作用。
实际问题往往涉及到大量数据和复杂的变量关系，直接求解常微分方程往往很困难。
这时可以通过数值逼近的方法来求解常微分方程，获得近似解。
常用的数值求解方法有欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
这些数值方法通过迭代的方式逼近解，并将方程离散化为有限个点的计算问题，从而得到方程的数值解。
总而言之，高等数学中的常微分方程是一门重要而广泛应用的学科，对于解决实际问题具有重要作用。
常微分方程的应用
常微分方程的应用常微分方程是数学中的一个重要分支，其广泛应用于物理学、工程学、生物学等各个领域。
本文将探讨常微分方程在实际问题中的应用，并通过案例分析展示其在不同领域的实际应用。
一、物理学中的常微分方程物理学是应用常微分方程最为广泛的领域之一。
举例来说，我们可以利用牛顿第二定律和运动方程建立物体运动的微分方程模型。
假设一个自由下落的物体，其质量为m，那么可以得到如下的微分方程：m(d²x/dt²) = -mg其中，x表示物体的位移，t表示时间，g表示重力加速度。
上式描述了物体在竖直方向上的运动，可通过求解这个微分方程得到物体的位移随时间的变化规律。
二、工程学中的常微分方程常微分方程在工程学中的应用也非常广泛。
以电路为例，我们可以利用基尔霍夫电压定律和电流定律建立电路中电压和电流的微分方程模型。
例如，考虑一个简单的RLC电路，其中包括电感L、电容C和电阻R，其微分方程模型可以表示为：L(d²i/dt²) + R(di/dt) + 1/C * ∫(i)dt = E(t)其中，i表示电流，t表示时间，E(t)表示外加电压。
上式描述了电路中电流随时间的变化，求解这个微分方程可以得到电流随时间的变化规律，从而帮助我们分析和设计电路的性能。
三、生物学中的常微分方程常微分方程在生物学中也有着重要的应用。
比如，我们可以利用Logistic方程来描述种群的增长规律。
Logistic方程的形式如下：dy/dt = ky(1-y/N)其中，y表示种群的数量，t表示时间，k为增长系数，N为环境容量。
这个方程表达了种群数量随时间的变化规律，通过求解这个微分方程，我们可以了解到种群数量的增长情况及何时会达到稳定状态。
四、其他领域中的常微分方程除了以上几个典型领域，常微分方程在其他许多领域也有广泛的应用。
比如，经济学中可以利用微分方程模型来研究经济增长和通货膨胀等问题；环境科学中可以利用微分方程模型来研究气候变化和生态系统的稳定性等问题。
常微分方程的解法及其应用实例
常微分方程的解法及其应用实例常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是应用数学的一个重要分支，它被广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域，是研究自然现象、解决实际问题的重要工具。
本文将介绍常微分方程的解法及其应用实例。
一、常微分方程的解法对于一个一阶常微分方程，可以利用变量分离、恰当形式、一次齐次、一阶线性、伯努利等方法解方程；对于高阶常微分方程，需要使用一些特殊的技巧和方法来求解。
1. 变量分离法对于一个一阶常微分方程dy/dx=f(x)g(y)，如果可以写成f(x)dx=g(y)dy的形式，就可以使用变量分离法求解。
其基本思想是将全部x及y分离到方程等号两边，并进行积分。
例如，求解dy/dx=2x/(1+y)可以写成(1+y)dy=2xdx，从而积分得到y+ln(1+y)=x^2+C，其中C为任意常数。
2. 恰当形式法如果一个方程可以写成M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并且可以找到一个函数u(x,y)，使得∂u/∂x=M(x,y)和∂u/∂y=N(x,y)，就称该方程是恰当形式的。
对于恰当形式的方程，解法就是将方程左右两边同时对x和y分别求偏导数，然后利用偏导数的交错性进行积分。
例如，对于方程(2xy+3y)dx+(x^2+3x)dy=0，可以发现∂M/∂y=3和∂N/∂x=3，因此该方程是恰当形式的。
求得u=∫(2xy+3y)dx=(x^2)y+3xy，从而得到其通解为(x^2)y+3xy+(1/3)(x^3)=C，其中C为任意常数。
3. 一次齐次法一阶齐次方程形如dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x的函数。
将y/x表示为u，可以得到dy/dx=u+f(u)，如果对于此方程有一个够好的u的解析解，则可以解出y/x的表达式，从而求得y的解析解。
求解的基本思路是令v=y/x，则y=vx，dy/dx=v+x(dv/dx)，将其代入原方程，即得dv/(v+f(v))=dx/x，从而求得u的表达式，从而得到y的表达式。
常微分方程解法与应用
常微分方程解法与应用常微分方程是求解自变量关于未知函数的导数的方程，是数学中非常重要的一类方程。
在实际生活和科学研究中，常微分方程广泛应用于物理、工程、经济学等领域的建模和分析。
本文将介绍常微分方程的解法和一些应用案例。
一、解法介绍1. 可分离变量法可分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一。
它适用于具有形式dy/dx = f(x)g(y)的方程。
我们可以将方程按照x和y进行分离，并将两边分别积分，最后解得y的表达式。
例如，考虑一阻尼振动的方程dy/dt = -ky，其中y是位移，t是时间，k是阻尼系数。
我们可以将这个方程分离为dy/y = -kdt，并将两边分别积分。
解得ln|y| = -kt + C，其中C是常数。
最后得到y = Ce^(-kt)，表示振动的解。
2. 变量代换法变量代换法是另一种常用的解法。
通过引入新的变量和适当的变换，可以将方程转化为更简单的形式。
例如，对于一些特殊的方程，我们可以引入新的变量u = y'/y，其中y'是y关于自变量的导数。
通过变量代换，我们可以将原方程转化为关于u和x的方程，进而求解。
二、应用案例常微分方程的应用非常广泛，以下以几个典型的应用案例进行介绍。
1. 鱼群增长模型假设一个鱼群的数量随时间变化的规律可以用常微分方程来描述。
根据经验和数据，我们可以建立一个鱼群增长模型dy/dt = ky(1 - y/N)，其中k和N是常数，y表示鱼的数量。
通过求解这个方程，可以得到鱼群数量随时间的变化趋势。
2. 电路分析在电路分析中，常微分方程被用来描述电流和电压的关系。
例如，对于一个由电阻、电容和电感组成的电路，我们可以通过建立相应的微分方程来分析电路的动态特性。
3. 弹簧-质量系统考虑一个弹簧与质量相结合的系统，假设没有外力作用下，质量在弹簧的作用下进行振动。
我们可以通过建立相关的微分方程来描述质量的运动规律，进而求解出振动的解析表达式。
总结：本文介绍了常微分方程的解法和应用案例。
高等数学中的常微分方程及其应用
高等数学中的常微分方程及其应用随着科学技术的发展，数学的应用范围也越来越广泛。
其中，微积分作为现代数学的核心和基石，发挥着至关重要的作用。
微积分包括微分学和积分学两大部分，其中微分学是研究变化率和斜率等问题的数学分支。
而常微分方程就是微分学中最基础的理论之一，它既是数学基础理论的重要组成部分，也是实际问题求解的重要工具。
一、常微分方程常微分方程是研究变化的数学模型，是微分学的重要组成部分。
在数学中，对于一个未知函数y=f(x)，如果该函数的导数y’只是关于x的函数，则称该函数是一个一阶常微分方程。
一阶常微分方程可以表示为dy/dx=f(x)，其中f(x)是已知的函数。
相应地，二阶、三阶、n阶常微分方程可以表示为：d²y/dx²=f(x,y,dy/dx)d³y/dx³=f(x,y,dy/dx,d²y/dx²)dn/dx=f(x,y,dy/dx,...,y(n-1))其中，y、y’、y’’，..., y(n-1)都是未知函数。
常微分方程广泛应用于各个领域，如物理、化学、生物学、经济学等。
例如，牛顿第二定律F=ma就是一个二阶变量加速度的常微分方程，其中a是速度的导数。
又如，放射性衰变的实验数据可以用一阶常微分方程来描述，物体受到的空气阻力也可以用一阶常微分方程来表示。
二、常微分方程的初值问题对于一阶常微分方程dy/dx=f(x)，我们可以通过求解初值问题来确定未知函数y的具体形式。
常微分方程的初值问题是指，给定常微分方程的初始状态y(x0)=y0，求出相应的解y(x)。
这个初始状态就相当于一个起点，解y(x)就是连接这个起点和各个点的曲线路径。
因此，常微分方程的初值问题可以形式表示为：dy/dx=f(x), y(x0)=y0为了解决常微分方程的初值问题，可以使用解析解、数值解等方法。
解析解是指通过使用数学公式求出未知函数y在每一个时间点的具体值的解法，这种方法只适用于具有简单形式的常微分方程。
常微分方程在高考数学中的应用
常微分方程在高考数学中的应用高考数学中最重要的一个分支便是微积分，旨在研究函数的变化率与积分。
与微积分有很大关联的一个主题便是常微分方程。
常微分方程是以微分方程为研究对象的一个分支，常常作为微积分所研究的对象，也是高考数学难度较大的考点之一。
常微分方程起源于物理学，研究自然现象中的变化规律。
其中最经典的数学问题是牛顿第二定律，它描述了物体的运动，这个运动取决于物体所受的力、物体的质量和物体的反应。
大部分高考中会涉及到这个概念，同时也会让我们研究如何应用微积分知识解决该问题。
下面，就让我们深入了解一下高考数学中如何应用常微分方程的知识。
一、基础概念在介绍如何应用常微分方程之前，我们先要回顾一下常微分方程的基础概念。
常微分方程是关于函数及其导数的方程，常常被用来描述某种变化规律。
形式上常微分方程可表示为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中，y是未知函数，x为自变量，f(x,y)为函数变量。
二、应用实例对于高考中的常微分方程应用，我们通常需要掌握以下几个方面的内容：1.解微分方程高考中最基本的考点就是解微分方程，需要动用微积分、几何学等知识来求解问题。
在解微分方程时，我们需要注意以下几个方面：a.分类讨论不同类型的微分方程需要采用不同的解法，为此我们需要根据方程特点进行分类讨论。
例如，一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程和二阶线性微分方程等。
b.常数求解在解微分方程时常常会遇到常数问题，我们需要用到边界条件来求解常数。
通常的条件有：求值问题，即y(0)=y0；初值问题，即y(f(x0))=y0；边值问题，即y(a)=ya，y(b)=yb。
2.求导运用对于高考中的求导运用题目，我们通常需要做到以下几点：a.理解题目在解题前我们需要仔细看题，先理清求导的方式，明确求解的方向。
b.化简运算求导通常需要进行多次运算，所以我们需要化简运算，减小解题难度。
c.推导公式一些与微分方程相关的公式可以帮助我们更快找到解题方法，例如一些特定类型的微分方程解法公式。
常微分方程的理论及应用
常微分方程的理论及应用常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是研究一个未知函数的导数与自变量之间的关系的数学分支。
它对于描述动力系统的行为以及变化的过程具有广泛的应用，是数学、物理、工程、经济学等领域中重要的工具之一、本文将从常微分方程的理论及其应用两个方面进行探讨，并分别给出相关实例。
常微分方程是通过导数和未知函数之间的关系来描述函数的变化规律。
根据方程中的变量的个数不同，常微分方程可分为一阶和高阶微分方程。
其中，一阶微分方程是仅含有一阶导数的微分方程；高阶微分方程是含有高于一阶导数的方程。
常见的一阶常微分方程包括线性方程、可分离变量方程、齐次方程等；而高阶常微分方程主要有线性方程、齐次线性方程以及非齐次线性方程。
应用：1.力学中的运动问题：常微分方程可以描述物体在外界作用下的运动规律。
例如：自由落体问题，可以通过解一阶常微分方程得出物体的速度与时间的关系；簧的振动问题，可以通过解二阶线性微分方程来描述弹簧的运动。
2.电路问题：常微分方程可以用来描述电路中电流和电压的关系。
例如：通过解一阶常微分方程可以得到电容器的充放电曲线；解二阶常微分方程可以描述电感器的振荡行为。
3.经济学中的消费与储蓄问题：常微分方程可以用来描述消费与储蓄之间的关系。
例如：解一阶可分离变量方程可以得到经济增长模型中的消费与储蓄比例；解二阶常微分方程可以得到经济波动模型中的消费与储蓄的变化规律。
4.化学反应动力学：常微分方程可以用来描述化学反应速率的变化。
例如：解一阶常微分方程可以得到简单的一级反应速率方程；解二阶常微分方程可以得到二级反应速率方程。
5. 生物学中的种群动态问题：常微分方程可以描述物种种群数量的变化规律。
例如：解一阶常微分方程可以得到大量物种数量变化的模型，如Logistic方程；解二阶常微分方程可以描述竞争种群之间的相互作用。
总结：常微分方程理论的研究不仅帮助我们了解方程的性质和性质的应用，同时也为解决实际问题提供了重要的数学工具。
常微分方程的解法及应用
常微分方程的解法及应用常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，例如物理学、生物学、经济学等。
本文将介绍常微分方程的解法和应用。
一、常微分方程的解法常微分方程是描述物理现象和自然现象的重要数学工具，例如天文学、电子学、量子力学、流体力学、热力学、生物学、化学等。
常微分方程主要分为初值问题和边值问题两种。
1.初值问题初值问题是指在某个初始时刻$t_0$，系统的状态已知，求在此后的任意时间$t$内该系统的状态。
其一般形式如下：$$\frac{dy}{dt}=f(y,t), \ \ \ \ y(t_0)=y_0$$其中，$y$是未知的函数，$f$是已知的函数，$y_0$是已知的常数。
2.边值问题边值问题是指在某个区间$[a,b]$内，系统的状态已知，求满足某个条件的函数$y(t)$。
其一般形式如下：$$\frac{d^2y}{dt^2}=f(y,t), \ \ \ \ y(a)=y_A, \ \ \ \ y(b)=y_B$$其中，$y_A$和$y_B$是已知的常数。
3.解法常微分方程的解法有多种方法，下面介绍比较常用的两种方法：欧拉法和四阶龙格-库塔法。
（1）欧拉法欧拉法是常微分方程求解的一种最简单的数值方法，它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，利用差分方程求解。
假设在时间t时，y的值为$y(t)$，而在时间$t+h$时的y的值可以用下式计算：$$y(t+h)=y(t)+h\times f(y(t),t)$$其中，$f(y,t)$是微分方程的右端函数，$h$是每次迭代的步长。
（2）四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是常微分方程求解的一种较为精确的数值方法，其基本思想是采用区间加权平均法对微分方程进行求解。
四阶龙格-库塔法是由四个步骤组成，分别为：1）计算斜率$k_1=f(y_i,t_i)$2）计算斜率$k_2=f(y_i+\frac{h}{2}k_1,t_i+\frac{h}{2})$3）计算斜率$k_3=f(y_i+\frac{h}{2}k_2,t_i+\frac{h}{2})$4）计算斜率$k_4=f(y_i+hk_3,t_i+h)$将这四个斜率加权平均后即得到四阶龙格-库塔法的解式：$$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$二、常微分方程的应用常微分方程广泛应用于各个领域，本节将介绍三个常微分方程的应用：自然增长模型、振动模型和物理模型。
常微分方程的解法与应用
常微分方程的解法与应用常微分方程是数学中的一类重要方程，它描述了函数的导数与自变量之间的关系。
在科学研究和工程应用中，常微分方程被广泛应用于物理、化学、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的解法和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用案例。
一、常微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是求解常微分方程的常用方法之一。
它的基本思想是将方程中的变量分离开来，使得一个变量只与自身有关，而与其他变量无关。
通过对两边积分，可得到方程的解析解。
2. 变量代换法变量代换法是常微分方程求解的另一种常用方法。
通过引入新的自变量替代原方程中的自变量，可以将原方程转化为一个更容易求解的形式。
常见的变换包括线性变换、指数变换等。
3. 解特征方程法某些特殊类型的常微分方程可以利用解特征方程的方法求解。
特征方程可以通过代入特定解形式得到，进而求得方程的一般解。
二、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中的应用非常广泛。
例如，牛顿第二定律可以用常微分方程描述，通过求解该方程可以得到物体在给定力下的运动规律。
另外，电路中的电流变化、振动系统的运动等也可以通过常微分方程进行建模。
2. 经济学中的应用经济学中许多问题都可以用常微分方程进行描述和求解。
比如，经典的凯恩斯消费函数模型可以转化为常微分方程，通过求解该方程可以研究经济中的收入分配和消费行为。
此外，投资模型和供给需求模型等也都可以用常微分方程来建模分析。
3. 生态学中的应用常微分方程在生态学中有着重要的应用。
通过建立生态系统中不同物种之间的关系方程，可以得到物种的数量随时间的变化规律。
这对于研究物种竞争、群落演替等生态现象具有重要意义。
4. 医学中的应用医学领域常常需要研究生物体内各种物质的代谢过程，这些过程可以通过常微分方程进行建模。
例如，用常微分方程描述药物在体内的吸收、分布和排泄过程，可以帮助医生合理给药，提高治疗效果。
三、应用案例1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例7 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离)随时 间 t 的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
dV Q= = 0.62 ⋅ S 2 gh , dt
则100年后镭的质量为： m = m0e
−
ln 2 .100 1600
≈ 0.9576m76%
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 在制造探照灯反射镜面时, 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 y = f ( x ) 绕 x 轴旋转而成 . T 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, y Mα 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 y α 可得 ∠OMA = ∠ OAM = α A o P x 从而 AO = OM y 而 AO = AP − OP = y cot α − x = − x y′ 2 2 OM = x + y y − x = x2 + y2 于是得微分方程 : y′
1 − t 6
1 dx = − ( x − 0.03), ⇒ x = 0.03 + Ce dt 6
x |t = 6 = 0.03 + 0.07e −1 ≈ 0.056,
,
1 − t 6
Q x |t = 0 = 0.1, ∴C = 0.07, ⇒ x = 0.03 + 0.07e
,
6分钟后, 车间内 CO 2 的百分比降低到 0.056%.
CO 2 的通入量 = 2000 ⋅ dt ⋅ 0.03, CO 2 的排出量 = 2000 ⋅ dt ⋅ x ( t ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束
CO 2 的改变量 = CO 2 的通入量 − CO 2 的排出量
12000dx = 2000 ⋅ dt ⋅ 0.03 − 2000 ⋅ dt ⋅ x ( t ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
C y = 2C ( x + ) 2
2
y
A
若已知反射镜面的底面直径为 d , 顶到底的距离为 h , 则将 C d x+ = h, y = 2 2 d2 代入通解表达式得 C = 8h 这时旋转曲面方程为
d ⎛ d ⎞ y +z = ⎜ x+ ⎟ 4h ⎝ 16h ⎠
m0 质量变为 。求衰变过程中镭的质量 m(t ) 随时间 t 2 变化的规律.并求 100 年后镭的质量是多少？
解： 设 t 时刻，镭的质量为 m = m (t ) 。则
dm = − λm ，其中 λ > 0 是比例系数 dt ⎧ dm ⎪ = − λm 得初值问题 ⎨ dt ， ⎪ m t = 0 = m0 ⎩
k − t ⎧ mv 0 (1 − e m ) x = x( t ) = ⎪ k 解得 ⎪ ⎨ k − t mg m2g ⎪ y = y( t ) = h − t + 2 (1 − e m ) 0 ⎪ ⎩ k k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例9
设位于坐标点的甲舰向位于点 A(1,0 ) 处的乙舰发
dm 用微元法建立 m 关于 t 的变化率 的方程。 dt
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 列方程
t 到 t + dt 的时间间隔内 , 溶液含盐量的变化 dm = m ( t + dt ) − m ( t ) t 时刻 , 溶液量为 Q( t ) = Q0 + 3t − 2t = 100 + t (Q0 = 100) m(t ) m(t ) t 时刻 , 溶液的浓度为 = Q ( t ) 100 + t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
⎧ dm ⎪ = − λm 得初值问题 ⎨ dt ， ⎪ m t = 0 = m0 ⎩
1 ∴ ∫ dm = ∫ − λdt , ln m = − λ t + ln C , m
即 m = Ce − λt ,
− λt
代入 m t = 0 = m0 得 C = m0
m0 又 m t =1600 = ∴ m = m0 e 2 ln 2 ln 2 − t 1600 代入上式解得 λ = ∴ m = m0 e , 1600
机动 目录 上页 下页 返回 结束
利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, 于是方程化为 dx x x 2 (齐次方程) = + 1+ ( ) y dy y x dx dv 令 v = , 则 x = yv , =v+ y y dy dy dv y = 1+ v2 y 2 dy v + 1+ v = C 2 积分得 ln ( v + 1 + v ) = ln y − ln C y ( − v )2 = 1 + v 2 2 C 2yv y =1 故有 2 − C C C 2 代入 y v = x , 得 y = 2 C ( x + ) (抛物线) 2 C 2 2 故反射镜面为旋转抛物面. y + z = 2C ( x + ). 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一 利用物理定律列方程
例 1 物体冷却问题 一个物体在冷却过程中，其温度变化速 度与其本身的温度和环境的温度之差成正 比。现有一个100 0 C 的物体，放在 20 0 C 的房 间里，经过 20 分钟后，物体的温度已降为
60 0 C ，问还需经过多长时间，物体的温度才
o
机动
目录
上页
下页
返回
结束
则 即
v0 t − y y′ = 1− x (1 − x ) y′ + y = v0 t
x
y
y = y( x ) P ( x , y) • Q (1, v0 t ) A(1,0) x
(1)
o
由题意
∫0
1 + y′ 2 dx = 5v0 t
( 2)
1 x 由(1),(2)消去 v0t 得 ∫ 1 + y′ 2 dx = (1 − x ) y′ + y 5 0 1 1 + y′ 2 ( 3 ) 上式两边求导并整理得 (1 − x ) y′′ = 5 y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 0 并有初始条件
射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准乙舰.设乙舰以速 度 v0 沿平行于 y 轴的直线行驶,已知鱼雷速度是 5v0 , 求鱼雷航行的曲线方程,并问乙舰航行多远时,将被鱼 雷击中?
设鱼雷的运动轨迹为 解： y = y( x ) 并设经过时间 t鱼雷 位于点 P(x,y),乙舰 位于点 Q(1,v0t)
y
y = y( x ) P ( x , y) • Q (1, v0 t ) A(1,0) x
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
机动
目录
上页
下页
返回
结束
Q S = 1 cm ,
2
h
∴ dV = 0.62 2 gh dt ,
(1)
h h + dh
r
100 cm
设在微小的时间间隔 [ t , t + dt ],
o
水面的高度由h 降至 h + dh , 则 dV = −πr 2dh,
Q r = 100 − (100 − h) = 200h − h ,
能降为 30 0 C ？
机动
目录
上页
下页
返回
结束
解： 令： t 表示时间，T = T ( t ) 表示物体的温度，则
dT = − k (T − 20)，其中 k > 0 是比例系数 dt ⎧T (0) = 100 初始条件为 ⎨ ， ⎩T ( 20) = 60
解得
T = 20 + 80e
(−
1 ln 2 ) t 20
第六章
第八节 常微分方程的应用
机动
目录
上页
下页
返回
结束
解微分方程应用题的方法和步骤
1、找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 比例关系 (1) 根据物理规律列方程； 牛顿第二定律 (2) 利用微元法列方程； 2、 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. 初始条件 确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还要衔接条件 3、 求通解, 并根据定解条件确定特解. 4、 分析解所包含的实际意义
在时间间隔 dt 内 , 流出的液体量为 在时间间隔 dt 内 , 流出的盐量为
2dt
m( t ) ⋅ 2dt 100 + t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
于是得初值问题
2m ⎧ dm ⎪ =− ⎨ dt 100 + t ⎪ m t = 0 = 10 ⎩
（3）解方程得
105 m = m(t ) = (100 + t )2
（4）讨论
t = 60 时， m ≈ 3.91（千克）
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例6 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每分钟2000立方米的鼓 风机通入含 0.03% 的 CO 2 的新鲜空气, 同时 以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机 开动6分钟后, 车间内 CO 2 的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO 2的含量为 x (t )% 在 [ t , t + dt ] 内,