SD_第07章杆件的变形
理论力学中的杆件的变形分析
理论力学中的杆件的变形分析杆件在力学中扮演着重要的角色,广泛应用于各种工程领域。
在理论力学中,对于杆件的变形进行分析是十分重要的,它能帮助工程师和设计师预测和评估结构的性能和可靠性。
本文将介绍杆件的变形分析的基本原理和方法。
1. 弹性变形杆件受到外力作用时,会发生弹性变形。
在弹性变形情况下,杆件会迅速恢复到未受力状态,且不会发生永久形变。
弹性变形是基于胡克定律,即应力与应变成正比。
根据胡克定律,可以得到杆件的弹性形变的方程。
2. 杆件的拉伸和压缩当杆件受到拉伸或压缩作用时,会发生轴向变形。
在理论力学中,我们可以使用材料力学的知识来分析杆件的轴向变形。
拉伸和压缩是杆件最常见的变形形式,例如,建筑物的柱子或者桥梁的支撑杆件都会经历拉伸或压缩。
3. 杆件的弯曲当杆件受到弯曲力矩作用时,会发生弯曲变形。
弯曲是指杆件在垂直于其长度方向上发生形状改变。
在理论力学中,我们可以使用梁的理论来分析杆件的弯曲变形。
通过应力和应变的关系以及几何形状的考虑,可以计算出杆件在弯曲过程中的变形情况。
4. 杆件的扭转当杆件受到扭矩作用时,会发生扭转变形。
扭转是指杆件在一个固定的截面上,某一段杆件相对于其他段发生旋转。
通过扭转变形分析,我们可以计算出杆件在扭转过程中的变形情况。
杆件的变形分析对于在工程设计过程中非常重要。
通过对杆件的变形情况进行准确的分析,可以帮助工程师和设计师了解结构的性能和可靠性。
此外,在设计过程中,合理地选择材料和截面形状也是非常关键的,因为不同的材料和截面形状会直接影响杆件的变形情况。
总之,理论力学中的杆件的变形分析是一个复杂但重要的领域。
它涉及到弹性变形、拉伸和压缩、弯曲和扭转等不同类型的变形。
通过对杆件变形进行准确的分析,可以帮助工程师预测结构的行为,并确保结构的性能和安全性。
对于工程设计和结构优化来说,杆件的变形分析是一项必不可少的工作。
简述杆件变形的四种基本形式
简述杆件变形的四种基本形式杆件变形是指在外力作用下,杆件的长度、形状或尺寸发生改变的现象。
在工程学中,杆件变形是一个重要的研究内容,主要用于结构分析、设计和优化。
杆件变形的四种基本形式可以分为以下几类:1.延伸变形:延伸变形是指杆件在受到拉力作用时,其长度发生变化的形式。
在受到拉力作用时,杆件会发生“伸长”的现象。
延伸变形可以通过胡克定律来描述,即拉力与伸长量成正比。
具体而言,如果拉力作用于杆件上,则杆件产生的伸长量与拉力的比例为常数,该比例常数称为弹性模量。
延伸变形的产生原因主要有杆件被拉伸、受到温度变化引起的热应变和径向引力等。
2.压缩变形:压缩变形是指杆件在受到压力作用时,其长度发生变化的形式。
与延伸变形类似,杆件在受到压力作用时会发生“缩短”的现象。
压缩变形可以通过胡克定律来描述,即压力与压缩量成正比。
压缩变形的原因主要有杆件被压缩、受到温度变化引起的热应变和径向引力等。
3.弯曲变形:弯曲变形是指杆件在受到弯矩作用时,沿长度方向发生弯曲的形式。
当外力作用在杆件的中部时,中部会发生弯矩,使得杆件在这一区域产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过伯努利梁理论来描述,该理论基于假设杆件在变形过程中横截面的变形很小,可以近似为平面内曲线的弯曲变形。
弯曲变形的产生原因主要有集中载荷、均匀分布载荷和温度变化引起的热应变等。
4.扭转变形:扭转变形是指杆件在受到扭矩作用时,沿长度方向发生扭转的形式。
当外力作用在杆件的两端时,两端产生扭矩,使得杆件在这一区域产生扭转变形。
扭转变形可以通过剪切应力与剪切变形之间的关系来描述。
扭转变形的产生原因主要有转矩、剪切力和温度变化引起的热应变等。
除了以上四种基本形式外,杆件还可能发生复杂的组合变形,如弯曲-延伸变形、扭转-延伸变形等。
不同形式的杆件变形在工程设计中都需要进行准确的分析与计算,以确保结构的稳定性和安全性。
第7章 杆件的变形与刚度
② 刚度校核
Tmax 180 θ max = × GI P π 32 × 40 × 180 = = 1.89 < [θ ] 9 2 4 4 80 × 10 × π D (1 − α )
③右端面转角
2 20 xdx T ( x)dx 10 x 2 2 40 =∫ = ϕ =∫ 0= 0 GI l GI GI P GI P P P
D
解:本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
[例5] 求图示结构中刚性杆AB 中点C 的位移δC。[不讲]
①
2EA
EA
②
解:由平衡方程得 l
A
δA
a δC
C a
δB
B
F
P FN 1 = FN 2 = 2 FN 1l Fl δ A = Δl1 = = EA 2 EA FN 2 l Fl δ B = Δl 2 = = 2 EA 4 EA
1 3Fl δ C = (δ A + δ B ) = 2 8 EA
0.5 ×103 ×103 − 30 − 30 20 ( ) = + + 9 −6 200 ×10 ×10 1000 500 500 = −0.125mm
[例3]
长l =2m,重P=20kN 的均质杆,上端固定。杆的横截面
《工程力学》课件——07 认识杆件的四种基本变形及组合变形
PART
2
杆件的组合变形
杆件的组合变形
组合变形 • 在同一杆件上同时发生两种或两种以上基本变形
烟囱受力 示意图
厂房牛腿柱 示意图
小结
CONTENTS
01 杆件的四种基பைடு நூலகம்变形形式
02
轴向拉伸或压缩变形 剪切变形 扭转变形 弯曲变形
剪切变形
• 杆件在一对大小相等、方向相反、作用线互相平行,且相距很近横向外力作用下,相 邻横截面处会沿外力作用方向发生相对错动的变形形式
杆件的基本变形
扭转变形
• 杆件在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线外力偶作用下,任意两个横 截面将发生绕杆件轴线相对转动的变形形式
杆件的基本变形
弯曲变形
X
Z
Y
《工程力学》
《 认识杆件的四种基本变形及组合变形 》
PART
1
杆件的基本变形
杆件的基本变形
轴向拉伸 或
压缩变形
剪切变形
形
式
形
一
形 式
式 三
形 式
二
四
扭转变形 弯曲变形
杆件的基本变形
轴向拉伸或压缩变形
• 当杆件受到与杆轴线重合的外力作用时,杆件长度也发生伸长或缩短的变形
压杆
杆件的基本变形
杆件的组合变形形式
X
Z
Y
感谢聆听!
《 认识杆件的四种基本变形及组合变形 》
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择:d =83.5mm.
[例2]图示圆轴,已知mA =1.4kN.m, mB =0.6kN.m, mC =0.8kN.m;d1 =40mm,d2 =70mm; l1 =0.2m,l2 =0.4m; [τ]=60MPa,[θ]=1°/m,G=80GPa;试校核该轴的强度和刚 度,并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解:本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解: ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
杆件变形的基本形式
杆件变形的基本形式
杆件变形术是材料力学中的一种重要技术,可以实现更复杂的空间形状和预定的定位效果。
它是通过改变杆件的外部力量来改变杆件的形状和位置来实现的,它是材料系统工程中必不可少的技术。
杆件变形术的基本原理是杆件受外力作用时,做挤压变形,从而产生变形。
当杆件原始结构的变形量达到某种程度时,杆件的形状和定位可以根据需要得到调整。
杆件变形术的基本形式有三种,分别为压缩变形、拉伸变形和拔抑变形。
一、压缩变形
压缩变形是利用弹性变形原理,采用外力压缩杆件来形成杆件变形结构。
当受力平面非平行时,构件将采用非平行变形来抵抗外力。
压缩变形可以将杆件形状变化量较小,结构尺寸变化量较小,这种变形可以准确控制空间结构形状,使其定位精度达到要求。
二、拉伸变形
拉伸变形是利用拉伸特征将杆件变形,这种变形可以实现构件在给定的力量作用下改变形状,使其结构更加完整。
拉伸变形的变形量相对较大,但是结构尺寸变化量较小,从而可以实现更复杂的复杂形状。
三、拔抑变形
拔抑变形是指将杆件的结构尺寸拔伸和抑制。
它的基本原理是,将外力形象地把杆件拉伸,使杆件尺寸变形,从而达到相应的效果。
它可以实现构件在不改变杆件原始尺寸和形状的情况下改变形状,实
现更精确的定位。
总之,杆件变形技术是材料力学中的重要技术,它可以实现更复杂的空间形状和定位要求,其中的基本形式分为压缩变形、拉伸变形和拔抑变形。
杆件变形技术的研究日趋深入,在材料力学工程中有着重要的意义。
材料力学第07章 受压杆件的稳定性设计知识分享
材料力学第07章 受压杆件的稳 定性设计
第一节 压杆稳定的概念
在第三章讨论杆件轴向拉伸和压缩的强度计算中,对于受压 杆件,当最大压应力达到极限应力(屈服极限或强度极限)时, 会发生强度失效(出现塑性变形或破裂)。只要其最大压应力 小于或等于许用应力,即满足强度条件时,杆件就能安全正常 工作。然而,在实际工程中的一些细长杆件受压时,杆件可能 发生突然弯曲,进而产生很大的弯曲变形而导致最后折断,而 杆件的压应力却远低于屈服极限或强度极限。显然,此时杆件 的失效不是由于强度不够而引起的,而是与杆件在一定压力作 用下突然弯曲,不能保持其原有的平衡形态有关。我们把构件 在外力作用下保持其原有平衡形态的能力称为构件的稳定性 (stability)。受压直杆在压力作用下保持其直线平衡形态的 能力称为压杆的稳定性。可见,细长压杆的失效是由于杆件丧 失稳定性而引起的,属于稳定性失效(failure by lost stability)。
w
A Fcr
l
B Fcr
x
x
Fcr
F
M(x)
图7-8 两端铰支细长压杆
选取如图所示坐标系xAw。
w
A
l
设距原点为x距离的任意截面 Fcr
的挠度为w,弯矩M的绝对值为
Fw。若挠度w为负时,M为正。
即M与w的符号相反,于是有
杆件的变形及计算.31页PPT
ENDΒιβλιοθήκη 杆件的变形及计算.56、死去何所道,托体同山阿。 57、春秋多佳日,登高赋新诗。 58、种豆南山下,草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ,带月 荷锄归 。道狭 草木长 ,夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ,但使 愿无违 。 59、相见无杂言,但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕,亭亭月将圆。
16、业余生活要有意义,不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰,也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人,而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着,就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书,莫被书掌握;要为生而读,莫为读而生。——布尔沃
杆件的变形及计算.
二、刚度设计
根据工程实际要求,对构件进行设计,以保证在确定的外载荷作用下,构件的弹性位移(最大位移 或指定位置处的位移)不超过规定的数值。于是: 1、对于拉压杆,刚度设计准则为
≤
ε为轴向线应变;[ε]为许用轴向线应变。 2、对于梁,刚度设计准则为
y ≤ y
≤
y和θ分别为梁的挠度和转角;[y]和[θ]分别为梁的许用挠度和许用转角。 3、对于受扭圆轴,刚度设计准则为
Q [ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解;A 为剪切面面积;[τ]为材料的许用剪应力,单位 MPa。
二、挤压使用计算
在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压,因而在二者接触面的局部区域产生 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号σjy表示,单位MPa。挤压应力是垂直与接触面的正应力。其可 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效。 积压力为作用在接触面上的总的压力,用符号 Pjy 表示。 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影,用符号 Ajy 表示。 其强度设计准则
≤
≤ l
φ和θ分别为圆轴指定两截面的相对扭转角和单位长度相对扭转角;[φ]和[φ/l]分别为相应的许 用值。
第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算
一、拉压杆的强度设计
1、拉压杆横截面上的应力 内力系在横截面上均匀分布,横截面上正应力为:
N A
当杆件压缩时,上式同样适用。 σ的正负规定与轴力相同。拉应力为正,压应力为负。 2、拉压杆强度设计准则
Qmax Smax [ ] Ib
即
max [ ]
三、复杂受力时梁的强度计算
1、斜弯曲 可将梁在力P的作用下分解成在 Py、Pz 作用下的两个平 面弯曲的叠加。
杆件变形的基本形式 ppt课件
部分之间相对位置的改变引起内力的改变,内力的变化量是外 力引起的附加内力,这种附加内力随外力的增加而增加,当达 到某一限度时,就会引起构件的破坏。
这里所研究的内力为附加内力。
杆件变形-轴向拉伸或压缩
杆件变形-扭转
杆件变形-扭转
杆件变形-扭转
杆件变形-扭转
1、概念: 由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆
轴的一对力偶所引起,表现为杆件的任意两个横 截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴 受力后的变形。 2、受力特征:
一对力偶矩大小相等、相反、作用线垂直杆 轴线。 3、变形特征:
任意两横截面绕轴线相对移动,纵线成螺旋 线。
PPT课件
6
材料力学的基本任务
为保证工程结构或机械的正常工作,构件应 有足够的能力负担起应当承受的载荷。
因此满足以下要求: 强 度:构件抵抗破坏的能力; 刚 度:构件抵抗变形的能力; 稳定性:杆件在压力外载作用下,保持 其原有直线平衡状态的能力。
PPT课件
7
材料力学的基本任务
材料力学的任务 就是在满足强度、刚度、稳定性
单元3 : 材料力学
基础知识
PPT课件
1
材料力学-基本概念
材料力学:研究物体受力后的内在表现, 即变形规律和破坏规律特征。
1、材料力学的研究对象及任务 2、构件及杆件变形的基本形式 3、材料力学中的几个重要概念
PPT课件
2
1、材料力学的研究对象
工程中多为梁、杆、轴结构
PPT课件
3
材料力学的研究对象
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定 性等问题的基础。
杆件的总变形。
FN F N
A
正应力的正负号与轴力N相同,拉为正,压为负。
项目三 轴向拉伸和压缩
三、 轴向拉拉伸和压缩时横截面上的应力
【例5】 一阶梯形直杆受力如图所示,已知横截面面积为
A1=400mm2, A2=300mm2,A3=200mm2 ,试求各横截面上的应力。
解:(1)计算轴力画轴力图利 用截面法可求得阶梯杆各段的 轴力为 F1=50kN,F2=-30kN, F3=10kN,F4=-20kN。 轴力图如右所示。
项目三 轴向拉伸和压缩
项目三 轴向拉伸和压缩
三、 轴向拉拉伸和压缩时横截面上的应力 应力的概念 定义:由外力引起的内力集度。 (内力在一点处的分布集度)
应力的单位 帕斯卡(Pa)
1Pa 1N m2
1MPa 106 Pa
1GPa 109 Pa
项目三 轴向拉伸和压缩
三、 轴向拉拉伸和压缩时横截面上的应力
2、 内力的计算
求解内力的基本方法——截面法。 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基 础。
轴向拉伸或压缩变形时内力叫轴力——用符号 FN或 N 来表示。
截面法的基本步骤: (1)截取:在需求内力的截面处,用一个假想的平面将杆件截开,将 杆件分成两部分,任取其中一部分为研究对象。 (2)代替:将去掉部分对保留部分的作用以内力来代替。 (3)平衡:对留下的部分建立平衡方程,求内力的数值和方向。
500
0.01mm
200103 500
LCD
F L NCD CD EACD
10103 100 200103 200
0.025mm
(4)总变形: △L= △LAB+ △LBC +△LCD=0.015mm
杆件的变形计算
T1 d1
A
T2
T3
d2
B
C
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止,奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
T1 d1
AMx N·m
+
T2
T3
d2
B
C
1400 800
x
1)根据题意,首先画出扭矩图
2)AB 段单位长度扭转角:
AB
+
jAC1π80M G CB lpC IBM G BlA pB IA
180 7Ma π GI p
x 73jDB2.33
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止,奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
第三节 梁的弯曲变形,挠曲线近似微分方程
即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止,奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
y
C’
A
C
x
挠度和转角的关系
B’
wB
w
B
x
w dy tan
dx
在小变形假设条件下
tan
wdytan
生命不止,奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
M 2M
3M 1)画出扭矩图
D a C aB
Mx 2M M
2)求最大切应力
2a A
首先要求出M 的数值
10.22杆件复杂变形的简明化四种基本变形
剪切变形
铆钉连接
销轴连接
榫连接
扭转变形
像这样会使杆件 扭转的力就是扭矩。
将传递扭矩的杆 件叫做轴。
呵呵,扭转 就像在拧毛 巾一样吧!
扭转变形
弯曲变形
Me A
Me
B
弯曲变形
材料力学的任务
F
轴向拉压变形
F
F
剪切变形
F
me
扭转变形
Me
弯曲变形
F F
me
Me
强度 刚度 稳定性
冲击问题
杆件的基本变形
F
F F F
me
Me
F
轴向拉压变形
F
me
Me
剪切变形 扭转变形 弯曲变形
杆件的基本变形
椅子的这个部分会 承受人的重量和来自 于地板的反作用力。
轴向拉压变形
请想象一下抓 住吊在下,只考 虑“压缩力”和“拉伸力”。
基于这种想法便诞生了桁架架 构(truss structure)。这种结 构在桥梁结构中经常见到
这种结构虽然由很多杆件构 成,但是将它们一一分解来 考虑的话,每个杆件都会受 到拉伸力和压缩力。
剪切变形
剪力(剪切荷载)是作 用在同一物体上的两个 距离很近(但不为零) 且大小相等的平行力。
要使长方形的东西变 成平位行移四....边...形.. ,就需要“使 其发生位移(偏移)的力”, 这个力也是剪力。
第一讲 杆件变形的概念
1.变形体及其基本假设
1.1变形体
工程上所用的构件都是由固体材料制成 的,如钢、铸铁、木材、混凝土等,它们在 外力作用下会或多或少地产生变形,有些变 形可直接观察到,有些变形可以通过仪器测 出。在外力作用下,会产生变形的固体称为 变形固体。
在静力学中,由于研究的是物体在力作用下平衡的 问题。物体的微小变形对研究这种问题的影响是很 小的,可以作为次要因素忽略。因此,认为物体在 外力作用下,大小形状都不发生变化,而把物体视 为一个刚体来进行理论分析。在构件内力分析中, 由于主要研究的是构件在外力作用下的强度、刚度 和稳定性的问题。对于这类问题,即使是微小的变 形往往也是主要影响的因素之一,必须予以考虑而 不能忽略。因此,在构件内力分析中,必须将组成 构件的各种固体视为变形固体。
。
F'
F'——原有内力
由于外力的作用使杆件内部一 部分和另一部分之间出现的相 互作用力叫附加内力,简称内 力
F F'
课程所谈内力只是
F 附加内力
内力是由外力引起的,内力的大小随外力的增
大.变形的增大而增大.但是,对任一杆件来说, 内力的增大是有限度的,超过此限度,杆件就要 破坏.所以研究杆件的承载能力必须先求出内 力.因此,要进行构件的强度计算就必须先分 析构件的内力。
定 义
F
F
拉杆
压杆
轴向拉压在工程中的应用
。
屋 架 结 构 中 的 拉 压 杆
塔 式 结 构 中 的 拉 压 杆
桥 梁 结 构 中 的 拉 杆
反的 横向外力作用下,杆件的主要变形是横截面 沿外力作用方向发生错动。这种变形形式称 为剪切
受力特点:反向外力垂直于杆件轴线并相互
关于杆件变形能公式的推导
关于杆件变形能公式的推导杆件变形是指在受到外力作用下,杆件发生形变,这种形变可以用形变能来描述。
形变能是杆件弹性势能的一种表现形式,它是描述杆件形变程度的指标,与外力大小、杆件弹性系数、杆件长度和截面形状等相关。
要推导出杆件变形能公式,可以从杆件受力、应力、应变和势能等方面入手。
首先,杆件变形是由外力作用于杆件上引起的。
杆件在受力作用下会产生应力,应力是单位面积上的力。
杆件上的应变是指杆件在受力作用下,相应的长度变化。
根据胡克定律,应力与应变之间存在线性关系,可以表示为:σ=Eε其中,σ表示应力,E表示杨氏模量,ε表示应变。
接下来,考虑杆件的长度变化。
根据变形的几何关系,可知杆件长度的变化与应变之间存在关系。
设杆件在外力作用下发生的长度变化为ΔL,初始长度为L,变化后的长度为L',则有:ΔL=L'-L而杆件的应变ε可以表示为:ε=ΔL/L代入上述等式,可得:ΔL=εL将ε=σ/E代入,可以得到:PE=∫udV其中,V表示杆件的体积。
将杆件的应变ε替换进去,可以得到:PE=∫udV=∫σεdV=∫(σE)(ΔL/L)dV进一步展开,可以得到:PE = (∫ (σ E) ΔL dV) / L = (∫ (σ E) ΔL A dx) / L 其中,A表示杆件的截面积,x表示杆件的长度方向。
将ΔL=L'-L代入上式,可以得到:PE = (∫ (σ E) (L' - L) A dx) / L对式中的积分进行分解,可以得到:PE = ∫ (σ E A) (L' - L) dx / L再次代入ΔL=L'-L,可以得到:PE = ∫ (σ E A) ΔL dx / L由于σEA是常数,可以提到积分符号外,得到:PE = (σ E A) ∫ΔL dx / L杆件的长度与x成正比,对积分进行整理,可以得到:PE = (σ E A) ∫ L dx / L对上述积分进行求解,可以得到:因此,杆件的变形能可以表示为:PE=(σEA)L所以,杆件的变形能公式可以表达为:PE=Fδ其中,F表示外力,δ表示变形量。
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第七章 杆件的变形 简单超静定问题
1
山 东 大 学 Shandong university
引
言
构件发生在工作中所不容许的过大变形称为刚度不足。 为了保证构件安全、正常工作,必须将其弹性变形限制 在一定范围之内。必须研究构件的变形和位移。 研究杆件变形和位移,一方面是为了分析杆件的刚度问 题,另一方面是为了求解超静定问题。
A
y
A F
A2
A
x
A1
A3
2
AA1 l1 1mm AA2 l2 0.6mm A1 x l2 0.6mm l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
FNi li l li i 1 i 1 EAi
4
n
n
山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
二、拉压杆的横向变形与泊松比
横向变形:直杆在轴向拉力或压力作用下,杆沿垂直于轴线 方向的变形。 杆件的横向变形及横向正应变为:
b b b1 b, b 实验表明,当应力不超过材料的某一极限值时,横向正应变 与轴向正应变之比的绝对值为一常数,即:
d 2w M( x ) 2 dx EI z
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y M (x) > 0 M (x) > 0
§7-3 梁弯曲时的变形
y M (x) < 0 M (x) < 0
dy dx 2 > 0 O
2
x
O
dy dx 2 < 0
2
x
由弯矩的正负号规定可得,弯矩的符号与挠曲线的二阶 导数符号一致,所以挠曲线近似微分方程为:
w w(x)
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挠度转角关系: tan dw
dx
§7-3 梁弯曲时的变形
截面形心在x方向的位移忽略不计。 二、挠曲线近似微分方程
M 推导弯曲正应力时,得到: EI z 1 M ( x) 忽略剪力对变形的影响, ( x) EI z 由数学知识可知: d2w 1 dx 2 dw 2 3 [1 ( ) ] dx 1 d 2w 略去高阶小量,得 2 dx 1
工程上为使梁满足刚度要求通常对梁的最大挠度或最大 转角加以限制,即: w max [w], max [ ] l l ~ 建筑钢梁的挠度: [ w] 250 1000 1 机械传动轴的转角: [ ] 3000 1 精密机床的转角: [ ] 5000 注意:许用挠度和许用转角,其数值由不同工程规范和特殊 工程要求确定。
:单位为rad(弧度),符号与扭矩T相同。
GIp:圆轴的扭转刚度。
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§7-2 圆轴扭转时的变形 刚度条件
二、刚度条件 在工程中,对圆轴的刚度要求通常是限制单位长度的扭转 角,单位长度扭转角即为扭转角沿轴线的变化率,即 d T
FN A
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山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
轴向变形与轴向正应变为:
l l l1 l , l 根据胡克定律 E 有:
FN l E A l
EA称为杆件的抗拉刚度。
FN l l EA
当同一杆件而不同横截面上的轴力不同或截面面积不同时
v v
E v称为横向变形系数或泊松比。且有: G 2(1 v)
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山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
例:如图所示的等直杆,横截面面积A=500mm2,材料的弹性模 量E=200GPa,试求杆件沿轴向的总变形。 解:作轴力图
解:(1)、内力分析
圆轴的内力图如 图,且有:
TAD TDB 200N m TBC 400N m
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(2)、计算截面的极惯性矩
AD段: I p1 DC段: I p 2
§7-2 圆轴扭转时的变形 刚度条件
d14
32
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(4)、刚度校核
§7-2 圆轴扭转时的变形 刚度条件
应分别校核AD段和BC段的扭转刚度
TAD 180 200 180 AD GI p1 80 109 7.95 108 1.88( /m)
d w M ( x) 2 dx EI z
由上式进行积分,就可以求出梁横截面的转角和挠度。 经常用w代表某一特定截面的挠度。
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三、用积分法求梁的变形
§7-3 梁弯曲时的变形
挠曲线近似微分方程为: d 2 w M (x) d2w EI 2 M (x) 2 dx EI dx 积分一次得转角方程
FN 1
FN 2
300
y
A
F F
x y
0
FN1 cos FN 2 0
x
0 FN 1 sin F 0 FN1 F / sin 2F 20kN FN 2 FN1 cos 3F 17.32kN
20 103 2 110 3 m 1mm 斜杆伸长 l1 E1 A1 200 109 200 106 FN 2l2 17.32 103 1.732 0.6 103 m 0.6mm 水平杆缩短 l2 E2 A2 200 109 250 10 6
20
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§7-3 梁弯曲时的变形
y
A F B
4)由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0,
wA 0
x
B
1 2 1 3 l 代入求解 C Fl , D Fl 2 6 5)确定转角方程和挠度方程 1 1 EI F ( x l ) 2 Fl 2 2 2 1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6 6)确定最大转角和最大挠度 Fl 2 Fl 3 x l , max B , wmax w B 2 EI 3 EI
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山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
一、拉压杆的轴向变形
轴向变形:直杆在轴向拉力或压力作用下,杆沿轴线方向的 变形称为轴向变形或纵向变形。 杆件原长为l,横截面面积为A,横向尺寸为b,在轴向拉力 F作用下,杆件长度为l1,横向尺寸为b1,则杆横截面上的正应 力为:
FNi li l li i 1 i 1 EAi
l l1 l2 l3 FN 1l1 FN 2l2 FN 3l3 EA 6 103 1 2 103 2 3 103 1.5 200 109 500 106 0.065mm
FF l N1 1
2、根据胡克定律计算杆的变形。
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山 东 大 学 Shandong university §7-1 轴向拉伸或压缩时的变形
FN 1l1 1mm E1 A1 F l 水平杆缩短 l2 N 2 2 0.6mm E2 A2
斜杆伸长 l1
3、节点A的位移(以切代弧)
FN 1 300 FN 2 A
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一、圆轴扭转时的变形
§7-2 圆轴扭转时的变形 刚度条件
圆轴扭转时的变形用两个横截面间绕轴线的相对扭转角 来度量。
d T dx GI P
沿轴线积分有:
d
l
T dx l GI p
Tl GI p
若两截面之间的扭矩保持不变,且为等直圆轴,则有:
(30 103 )4
32
7.95 108 m4
d 24
32
(40 103 )4
32
25.1108 m4
(3)、计算相对扭转角AC
AC AD DB BC
TAD l AD TDBl DB TBC lBC GI p1 GI p 2 GI p 2 5.45 103 rad
~
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
A
A
wA 0
wA 0 A 0
wA
-弹簧变形
w AL w AR w AL w AR AL AR
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~
A
A
A A A
A
A A
A
AA A
AA
A
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五、梁的刚度条件
§7-3 梁弯曲时的变形
dw EI EI M (x )dx C dx
再积分一次得挠度方程
EIw M (x)dxdx Cx D
其中:C,D为积分常数,由边界条件与连续条件确定。
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四、边界条件与连续条件
§7-3 梁弯曲时的变形
积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。 位移边界条件 光滑连续条件