【2012优化方案 知能优化训练】北师大数学选修1-1(全册19份)
【北师大版】数学《优化方案》选修1-1课件第4章1.2
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： (－∞， (a，＋ x －a (－a,0) (0，a) a － a) ∞) f′ ( x) 0 0 ＋ － － ＋ 极大 极小 f (x) ↗ ↘ ↘ ↗ 值 值
故当 x ＝－ a 时， f(x) 有极大值 f( － a) ＝－ 2a ；当 x ＝a时，f(x)有极小值f(a)＝2a.
②当 k<－2 时， f(x)在 (－∞，－ c)和(1，＋∞ )内 是增函数，在(－ c,1)内是减函数， － k2 k ∴ M＝ f(－ c)＝ >0，m＝f(1)＝ <0， 2 2 k＋ 2 2 2 －k k＋1 ＋1 k M－ m＝ － ＝ 1－ ≥ 1 恒成立． k＋2 2 k＋ 2 2 综上可知， 所求 k 的取值范围为(－∞， － 2)∪ [ 2， ＋∞)．
a＝1 a＝2 解得 或 . b＝3 b＝9
①当 a ＝ 1 ， b ＝ 3 时， f′(x) ＝ 3x2 ＋ 6x ＋ 3 ＝ 3(x ＋ 1)2≥0 ， y ＝ f(x) 在 R 上为增函数，无极值，故舍 去． ②当a＝2，b＝9时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示： (－∞， (－ 3， (－1，＋ x －3 －1 －3) －1) ∞) f′ (x) ＋ 0 0 － ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
变式训练 2
已知 f(x) ＝ x3 ＋ 3ax2 ＋ bx ＋ a2 在 x
＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
解：∵ y＝ f(x)在 x＝－ 1 时有极值为 0， 且 f′(x)＝3x2＋ 6ax＋ b， f′－ 1＝0 3－6a＋ b＝ 0 ∴ ，即 ， 2 f －1＝ 0 － 1＋ 3a－b＋ a ＝ 0
【优化方案】2012高中数学 第3章1 1.2知能优化训练 北师大版选修1-2
1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．若不等式(x －a ) (x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：选C.由题意得，(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －(a 2－a －1)>0对于任意x 恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，解得－12<a <32，故选C.3．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c＝a c ＋bc”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋bc(c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n”解析：选C.由类比推理的特点可知．4．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8一、选择题1．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1 解析：选A.由类比推理可知，方程应为x a ＋y b ＋z c＝1.2．关于x ，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a x －y ＝b的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2y ＝a －b2.则可类比猜想向量方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a x －y ＝b的解为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋b 2y ＝a －b2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －b2y ＝a ＋b2C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋b y ＝a －b D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －by ＝a ＋b解析：选A.类比实数的结果可得x ＝a ＋b 2，y ＝a －b2，故选A. 3．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：明文――→加密密钥密码密文――→发送密文――→解密密钥密码明文现在加密密钥为y ＝log a (x ＋2)．如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.∵log a (6＋2)＝3，∴a ＝2， 即加密密钥为y ＝log 2(x ＋2)，当接到的密文为4时，即log 2(x ＋2)＝4，∴x ＋2＝24，∴x ＝14.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的一些性质，你认为下列性质中恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等． A ．① B．①② C ．①②③ D．③ 解析：选C.因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当． 5.如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有一个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”(p ，q )的点有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D.l 1⊥l 2适合题意，因此我们可将题中的“距离坐标”这一概念类比为平面直角坐标系下的“绝对值坐标”，即p ＝|x |，q ＝|y |，M (|x |，|y |)，按此来判断选项就十分容易了．①中的(0,0)点就是坐标原点，只有一个，①是真命题；②中有一个坐标分量为0，一个不为0，显然有2个，在一条坐标轴上且关于另一条坐标轴对称，②是真命题；③中的坐标都不为0，显然有4个，四个象限各一个，③是真命题．因此三个命题都正确． 6.(2011年某某模拟)如图，椭圆中心在坐标原点，F 1为左焦点，A 为椭圆的右顶点，当F 1B 1→⊥B 1A 1→时，其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 为( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1 解析：选A.如图，F 为双曲线的左焦点，FB →⊥BA →，其中A 为右顶点，B 为虚轴上顶点，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1. 在Rt △ABF 中，|FB →|2＝c 2＋b 2， |AB →|2＝a 2＋b 2＝c 2， |FA →|2＝(a ＋c )2，由勾股定理得(a ＋c )2＝c 2＋b 2＋c 2，即c 2－a 2－ac ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca－1＝0，解得e ＝5＋12.二、填空题7．(2011年某某模拟)有如下真命题：“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为3d 的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是________(填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)．解析：可将加法类比为乘法，将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论．答案：“若数列{b n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ·b n ＋1·b n ＋2}是公比为q 3的等比数列” 8．(2011年某某模拟)设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有a ＋b <c ＋h 成立，某同学通过类比得到如下四个结论： ①a 2＋b 2>c 2＋h 2；②a 3＋b 3<c 3＋h 3；③a 4＋b 4<c 4＋h 4；④a 5＋b 5>c 5＋h 5.其中正确结论的序号是________；进一步类比得到的一般结论是：________.解析：可以证明②③正确，观察②a 3＋b 3<c 3＋h 3，③a 4＋b 4<c 4＋h 4的项与系数的关系，还有不等号的方向可得：a n ＋b n <＋h n (n ∈N *)．答案：②③a n ＋b n <＋h n (n ∈N *)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q1＋2＋…＋11＝b 121q 66，∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38.即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T 42＝T 4·T 12T 8，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列．同理可得T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4T 12T 8三、解答题10．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想． 解：如图，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α、β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC ，平面PBC 与平面PCA ，平面PCA 与平面ABP 之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S 2＝S 21＋S 22＋S 23－2S 1S 2cos α－2S 2S 3cos β－2S 3S 1cos γ. 11.(2011年高二检测)如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N ＋，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9900，问a n 是数列的第几项？ 解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3、4、5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N ＋. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵有99行100列． 12．(2011年模拟)点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N . (1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理： DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 解：(1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， 又PM ∩PN ＝P ，∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1SACC 1A 1cos α. 其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角．∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cosα.。
【北师大版】数学《优化方案》选修1-1课件第4章1.1
∴0<x<23π.
②令 y′<0，得 cosx<－12，又∵x∈(0，π)， ∴23π<x<π.
∴函数 y＝12x＋sinx 的递增区间为0，23π，递减
区间为23π，π.
2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程 中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的 符号，判断函数的单调区间． 3．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使 导数等于零的点外，还要注意在定义区间内的 不连续点及不可导点．
知能优化训练
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放 点此进入课件目录 谢谢使用
例2 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x4－2x2＋5； (2)f(x)＝3x2－2lnx. 【思路点拨】 解答本题可先确定函数的定义域， 再对函数求导，然后求解不等式f′(x)>0， f′(x)<0，并与定义域求交集，从而得到相应的 单调区间．
【解】 (1)∵函数的定义域为 R， f′(x)＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)． 由 f′(x)>0，解得－1<x<0 或 x>1. 由 f′(x)<0，解得 x<－1 或 0<x<1. ∴函数的单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)； 单调递减区间为(－∞，－1)，(0,1)． (2)函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－2x＝2·3x2x－1. 令 f′(x)>0，即 2·3x2x－1>0，
方法感悟
1．函数的导数与单调性的关系 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导． 如果恒有f′(x)>0，则函数f(x)在(a，b)内为增加的； 如果恒有f′(x)<0，则函数f(x)在(a，b)内为减少的； 如果恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在(a，b)内为常数函 数. 若f(x)在(a，b)内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，则函数f(x) 在(a，b)内仍是增加的(或减少的)．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.4知能优化训练 湘教版选修1-1
[学生用书 P 33]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的集合是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线解析：选D.F 1、F 2是两定点，|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 解析：选A.因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．又因为2a ＝10,2c ＝8，所以b 2＝9.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 3.如图所示，南北方向的公路l ，A 地在公路的正东2 km 处，B 地在A 地东偏北30°方向2 3 km 处，河流沿岸PQ (曲线)上任一点到公路l 和A 地距离相等，现要在曲线PQ 上任选一处M 建一座码头，向A 、B 两地转运货物，经测算从M 到A 、从M 到B 修建公路的费用均为a 万元/千米，那么修建这条公路的总费用最低为( ) A ．(2＋3)a 万元 B ．2(3＋1)a 万元 C ．5a 万元 D ．6a 万元 解析：选C.如图，分别过M 、B 、A 作直线MM ′⊥l ，BB ′⊥l ，AA 1⊥l ，垂足分别为M ′、B ′、A 1，过点B 作BB 1⊥AA 1，垂足为B 1，连接A 、B 两点，由已知可得，|AB 1|＝|AB |cos30°＝23×32＝3.又|AA 1|＝2，可得|BB ′|＝3＋2＝5.由抛物线定义可得|AM |＝|MM ′|.∴修路费用为(|AM |＋|MB |)a ＝(|MM ′|＋|MB |)a ≥|BB ′|a ＝5a (万元)．故选C.4．2008年9月，我国载人航天飞船“神七”飞行获得圆满成功．已知“神七”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200 km ，350 km.设地球半径为R km ，则飞船轨道的离心率是________(结果用R 的式子表示)． 解析：由题意知a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得：a ＝275＋R ，c ＝75，所以离心率e ＝c a＝75275＋R. 答案：75275＋R一、选择题 1.卫星顺利进入周期为3.5小时的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度由8600公里降至1700公里，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200公里，月球的半径约是1800公里，且近月点、远月点、月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是( ) A.311 B.35 C.511 D.322 解析：选A.由题意知a ＋c ＝1700＋1800＝3500① a －c ＝200＋1800＝2000② ①＋②得2a ＝5500， ①－②得2c ＝1500，∴e ＝2c 2a ＝311.2．如图所示，图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边的中点，双曲线均以图中F 1、F 2为焦点，设图中双曲线的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则e 1、e 2、e 3三者之间的大小关系为( )A ．e 1>e 2>e 3B ．e 3>e 2>e 1C ．e 2>e 1＝e 3D ．e 1＝e 3>e 2解析：选D.建立以F 1F 2的中点为原点，F 1F 2所在直线为x 轴的直角坐标系，由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝2a ，设各正多边形的边长均为2，则图(1)中2a ＝3－1,2c ＝2，e 1＝3＋1；图(2)中，2a ＝5－1,2c ＝22，e 2＝10＋22；图(3)中，2a ＝23－2,2c ＝4，e 3＝3＋1，∴e 1＝e 3>e 2.3．炮弹运行的轨道是抛物线，现测得我炮位A 与目标B 的水平距离为6000 m ，而当射程是6000 m 时，炮弹运行轨道的最大高度是1200 m ，在A ，B 间距A 点500 m 处有一高度达350 m 的障碍物，则炮弹( ) A ．不可以越过障碍物 B ．可以越过障碍物C ．是否可以越过障碍物不确定D ．以上说法均不对 解析：选A.以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立坐标系(如图所示)，最高点坐标为O ′(3000，1200)、B (6000,0)．设抛物线的方程为y －1200＝m (x －3000)2，将B 点的坐标代入，得m ＝－17500，所以抛物线方程y －1200＝－17500(x －3000)2，将x ＝500代入，得y ＝11003.即离炮位于500 m 处炮弹高度为11003m ，大于350 m ，∴炮弹能越过障碍物． 4.如图所示，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.试确定河流为何种圆锥曲线，则其标准方程为( ) A ．y 2－x 23＝1B ．y 2－x 23＝1(y ≥1)C ．x 2－y 23＝1(x ≥1)D ．x 2－y 23＝1解析：选C.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系如图，则A (－2,0)，B (2,0)，根据题意，知|MA |－|MB |＝2，于是PQ 为以A 、B 为焦点的双曲线的右支.2a ＝2，∴a ＝1，c ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3.其方程为x 2－y 23＝1(x ≥1)．5．我国自行研制的“中星20号”通信卫星，于2003年11月15日开始精确地进入预定轨道．这颗卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点与地球表面的距离为212 km ，远地点与地球表面的距离为41981 km.已知地球半径约为6371 km ，则这颗卫星运行轨道的近似方程为(长、短半轴的长精确到0.1 km)( ) A.x 227467.52＋y 217841.02＝1 B.y 227467.52＋x 217841.02＝1C.x 227467.52－y 217841.02＝1 D.y 227467.52－x 217841.02＝1解析：选A.以卫星运行的椭圆形轨道的中心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，使地球中心F 在x 轴上．点F (c ，0)是椭圆的一个焦点，椭圆与x 轴的交点A 、B 分别是近地点、远地点．设所求的卫星运行轨道的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知得a －c ＝FA ＝6371＋212＝6583，a ＋c ＝FB ＝6371＋41981＝48352，解得a ＝27467.5.b ＝a 2－c 2＝a ＋c a －c＝48352×6583≈17841.0.因此，所求的卫星运行轨道的近似方程为x 227467.52＋y 217841.02＝1.6．喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶部A 处，喷出的水流的最高点为B ，距地面5 m ，且与管柱OA 相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长为( ) A ．0.9 m B ．1.2 m C ．1.5 m D ．1.8 m 解析：选D.如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．又点C (5，－5)在抛物线上，∴25＝－2p ·(－5)，2p ＝5，即x 2＝－5y . 点A (－4，y 0)在抛物线上，∴16＝－5y 0，y 0＝－165＝－3.2，∴|OA |＝5－3.2＝1.8(m)，即管柱OA 的长是1.8 m. 二、填空题7．某卫星的运行轨道是以地球的中心F 为左焦点的椭圆，测得该卫星的近地点A 距地面r 1千米，远地点B 距地面r 2千米，地球半径为R 千米，则关于该运行轨道有以下三种说法：①焦距长为r 2－r 1；②短轴长为r 1＋R r 2＋R ；③离心率e ＝r 2－r 1r 1＋r 2＋2R，以上说法正确的是________．解析：设椭圆轨道的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则a ＋c ＝r 2＋R ，a －c ＝r 1＋R .∴a ＝r 1＋r 2＋2R 2，c ＝r 2－r 12.∴b ＝a 2－c 2＝R ＋r 1R ＋r 2.∴e ＝c a ＝r 2－r 1r 1＋r 2＋2R.答案：①③8．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是________．(填写所有正确选项的序号)①菱形；②有三条边相等的四边形；③梯形；④平行四边形；⑤有一组对角相等的四边形． 解析：结合图形将各种情况逐一探究，综合应用抛物线的性质．如图(1)，任作一组斜率为k (k ≠0)的直线AB 、CD ，使AB ∥CD 且均与抛物线有两个交点，则ABCD 构成四边形．由于AB ∥CD ，结合抛物线性质知AC 与BD 不平行，故ABCD 不可能为平行四边形，同时也不可能为菱形，但可以为梯形，故①④不可能是，而③可以是．由图(1)知，当边CD 确定时，过点C 总可以作弦CA ，使CD ＝AC ，同理可作出DC ＝DB ，故可以有三边相等的四边形，故②可能是．再如图(2)，作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，作弦AB 的垂直平分线交抛物线于C 、D 两点，连接AC 、BC 、AD 、BD ，根据中垂线的性质，AC ＝BC ，且AD ＝BD ，∴△ACD ≌△BCD ，∴∠CAD ＝∠CBD .即四边形ABCD 有一组对角相等，故⑤可能是． 答案：②③⑤9．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________cm. 解析：取反光镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB |＝24，灯深|OP |＝10， 所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．由点A (10,12)在抛物线上，得122＝2p ×10，所以p ＝7.2. 所以抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)． 因此灯泡与反光镜顶点间的距离是3.6 cm. 答案：3.6 三、解答题10．彗星“紫金山一号”是南京天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点距太阳中心1.486天文单位，远日点距太阳中心5.563天文单位(1天文单位是太阳到地球的平均距离，约1.5×108km)，近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程．解：设太阳中心、近日点、远日点分别为F 2、A 、B ，如图所示，建立直角坐标系，则椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由a－c＝|AF2|＝1.486，a＋c＝|BF2|＝5.563.解得a＝3.5245，c＝2.0385. ∴b＝a2－c2＝a＋c a－c＝ 5.563×1.486≈2.8752.因此，所求轨道的方程为x23.52452＋y22.87522＝1.11.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少m？(精确到整数位)解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，依题意有P′(1，－1)，在此抛物线上，代入得p＝12，故得抛物线方程为x2＝－y.又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝2，即|AB|＝2，则水池半径应为|AB|＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.12.某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥沿道路PA或PB送到田地ABCD中，已知PA＝100 m，PB＝150 m，∠APB＝60°.请你在田地中选择一界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近，而另一侧的点沿PB送肥较近，并说明是什么界线，求出它的方程．解：设M为界线上任一点，则|AM|＋|AP|＝|BM|＋|BP|，∴|AM |－|BM |＝|BP |－|AP |＝50，可见，点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支的一半．设点M 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x >0，y ≥0)，则2a ＝50，a ＝25.∵∠APB ＝60°，∴|AB |2＝|AP |2＋|BP |2－2|AP |·|BP |cos60°＝2500×7，∴2c ＝507，c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750. 故界线方程为x 2625－y 23750＝1(x >0，y ≥0)．。
【优化方案】2012高中数学 第1章4知能优化训练 北师大版选修1-1
1．已知命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．其中正确的结论是( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：选A.“非p 或非q ”是假命题⇒“非p ”与“非q ”均为假命题⇒p 和q 均是真命题．2．(2011年东城区检测)下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x ∈Z ，使1＜4x ＜3B ．存在x ∈Z ，使5x ＋1＝0C ．任意x ∈R ，都有x 2＋1＝0D ．任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋2＞0解析：选D.对于A ，由1＜4x ＜3，得14＜x ＜34，显然不存在x ∈Z ，使得1＜4x ＜3，因此A 是假命题；对于B ，由5x ＋1＝0，得x ＝－15∉Z ，因此B 是假命题；对于C ，由x 2＋1＞0知C 是假命题；对于D ，注意到x 2＋x ＋2＝(x ＋12)2＋74≥74＞0，因此D 是真命题． 3．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14<0；命题q ：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列命题正确的是( )A ．p 或q 真B ．p 且q 真C ．¬q 真D ．p 真解析：选A.易知p 假，q 真，故p 或q 为真．4．若命题“¬p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是________命题(“真”或“假”)．解析：∵¬p 真，∴p 假，又p 或q 真，∴q 真．答案：真一、选择题1．命题p ：若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则必有α∥γ；命题q ：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“¬p 或¬q ”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“¬p 且¬q ”为假解析：选C.∵“若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ或α∥γ”，∴p 假．又由立体几何知识知，q 也假，故¬p ，¬q 都真，∴A 、B 、D 都不正确．故选C.2．若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有( )A ．p 真q 真B ．p 假q 假C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选B.“p 或q ”的否定为：¬p 且¬q 为真，则¬p 和¬q 均为真，从而p 、q 均为假．3．命题p ：若U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，x ∈A 且x ∈B ，则x ∈A ∩B .则命题“非p ”的结论是( )A ．x ∉AB ．x ∈∁U BC ．x ∉A ∪BD ．x ∈(∁U A )∪(∁U B )解析：选D.p ：U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，x ∈A 且x ∈B ，则x ∈A ∩B ，则非p 的结论：x ∉A ∩B ，故x ∈∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．4．(2011年某某质检)已知p ：∅{0}，q ：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“¬p ”，“¬q ”，“p 且q ”，“p 或q ”中，真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.∵p 真，q 假，∴¬p 假，¬q 真，p 或q 真，p 且q 假．5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：(¬p 1)或p 2和q 4：p 1且(¬p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，易知p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数是真命题，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数为假命题．故q 1，q 4为真命题，故选C.6．(2011年东北三校联考)下列有关命题的叙述错误的是( )A ．对于命题p ：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0B ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选C.选项A ，要注意否命题和命题的否定的区别，否命题是对原命题的条件和结论都进行否定，命题的否定是只否定原命题的结论．故A 正确；互为逆否关系的命题的条件、结论相反且条件、结论都否定，互为逆否关系的两个命题具有真假一致性，可用此结论判定选项B 正确；“且”命题的真假性满足“一假俱假”，故C 选项中的命题p 和命题q 至少有一个是假命题，所以选项C 错误；不等式x 2－3x ＋2>0的解集是x >2或x <1，故x >2一定能够得到不等式成立，但是，反之不一定成立，符合充分不必要条件的定义，故D 正确．二、填空题7．已知命题p ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值X 围是________．解析：p 为假，即“对任意的x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0”为真，∴Δ＝4a 2－4a <0，∴0<a <1.答案：0<a <18．已知p ：3×3＝6，q ：3＋3＝6，判断下列复合命题的真假：p 或q ________，p 且q ________，¬p ________.解析：因为p 假，q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“¬p ”真．答案：真 假 真9．已知p ：|5x －2|＞3，q ：1x 2＋4x －5＞0，则¬p 是 ¬q 的________条件． 解析：p ：x ＞1或x ＜－15，q ：x ＜－5或x ＞1. ∴¬p ：－15≤x ≤1，¬q ：－5≤x ≤1. ∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题10．指出下列命题的构成形式并判断其真假．(1)命题：“不等式|x ＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”；(3)命题：“2属于集合Q ，也属于集合R ”；(4)命题：“A (A ∪B )”．解：(1)此命题为“¬p ”的形式，其中p ：不等式|x ＋2|≤0有实数解．因为x ＝－2是该不等式的一个解，所以p 是真命题，即¬p 为假命题，故原命题为假命题．(2)此命题为“p 或q ”的形式，其中p ：“－1是偶数”，q ：“－1是奇数”．因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p 或q ”为真命题，故原命题为真命题．(3)此命题为“p 且q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R .因为p 为假命题，q 为真命题，所以p 且q 为假命题，故原命题为假命题．(4)此命题为“¬p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 为真命题，所以“¬p ”为假命题，故原命题为假命题．11．写出下列各命题的否定形式及否命题．(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 全为零；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解：(1)否定形式：面积相等的三角形不是全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零．否命题：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2≠0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零．(3)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.12．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q 为假，求m 的取值X 围”．解：p ：Δ＝m 2－4>0，且m >0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 、q 两命题一真一假，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3. 解得m ≥3或1<m ≤2.故m 的取值X 围为{m |m ≥3或1<m ≤2}．。
【优化方案】2012高中数学 第1章1知能优化训练 北师大版选修1-1
1．下列语句是命题的是( )A ．p (x )：x 2－1＝0B ．q (x )：5x 是5的倍数C ．三角函数是周期函数吗？D ．对所有整数x,5x －1是整数解析：选D.只有D 能判断为真命题．A 中x ＝±1时，x 2－1＝0为真，x ≠±1时，x 2－1＝0为假．所以选项A 无法判断真假．选项B 中，x 可能是小数，所以B 也不能判断真假．选项C 是疑问句，不涉及真假．2．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中( ) A ．真命题的个数一定是奇数 B ．真命题的个数一定是偶数C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D ．以上判断都不正确解析：选B.因为原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题也互为逆否命题，它们也同真同假，所以四种命题中，真命题个数为0或2或4，都是偶数个．3．命题“若a >b ，则a －5>b －5”的逆否命题是( ) A ．若a <b ，则a －5<b －5 B ．若a －5>b －5，则a >b C ．若a ≤b ，则a －5≤b －5 D ．若a －5≤b －5，则a ≤b解析：选D.条件与结论同时否定，然后调换位置，就是逆否命题．4．命题“若m ＞n ，则2m ＞2n－1”的否命题是________． 解析：“＞”的否定是“≤”，据此可写出否命题．答案：若m ≤n ，则2m ≤2n－1一、选择题1．下列语句是命题的是( )A ．x －1＝0B ．2＋3＝8C ．你会说英语吗？D ．这是一棵大树解析：选B.A 中x 不确定，无法判断x －1＝0的真假． B 中2＋3＝8是命题，且是假命题． C 不是陈述句，故不是命题．D 中大的标准不确定，无法判断其真假． 2．在空间中，下列命题是真命题的是( ) A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.A 项中平行直线的平行投影不一定重合，有可能平行；B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C 项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交．3．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2解析：选A.若x 2＝1，则x ＝±1，排除B ；若x ＝y ，x 与y 不一定存在，排除C ；若x ＜y ，且x ＝－3，y ＝－2，则x 2＞y 2，排除D.4．(2010年高考某某卷)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：选B.明确“是”的否定是“不是”，并对原命题的条件和结论分别进行否定，可得否命题为“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．6．下列命题中正确的是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③④B ．①③④ C ．②③④D ．①④解析：选B.①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”． 真命题②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”． 假命题③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14≤0. 真命题④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数． 又2是无理数．∴x －2是无理数，不是有理数． 真命题 故正确的命题为①③④，故选B. 二、填空题7．(2011年某某某某检测)命题“若c >0，则函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点”的逆否命题是________．解析：原命题的条件c >0的否定为c ≤0，结论函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点的否定为“函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点”，因此逆否命题为：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点，则c ≤0.答案：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点，则c ≤08．给定下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实根”；②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．解析：①∵k >0，∴Δ＝4＋4k ＞0，∴是真命题． ②否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，是真命题． ③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题． ④否命题为“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”，是真命题． 答案：①②④9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上) 解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确． ②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题． 答案：② 三、解答题10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解：(1)原命题：若一个数是实数，则这个数的平方是非负数． 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)原命题：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧． 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧． 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．11．(2011年某某检测)已知命题p ：函数f －1(x )是函数f (x )＝1－3x 的反函数，实数m满足不等式f －1(m )<2，命题q ：实数m 使方程2x＋m ＝0(x ∈R )有实根，若命题p 、q 中有且只有一个真命题，某某数m 的取值X 围．解：令y ＝f (x )＝1－3x ，所以x ＝1－y3，故f －1(x )＝1－x 3，又f －1(m )<2， ∴1－m 3<2，∴－5<m ，∴p ：－5<m .因为方程2x＋m ＝0(x ∈R )有实根， 2x>0，∴m <0，∴q ：m <0.若命题p 、q 中有且只有一个真命题，存在两种情况：(1)当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧ －5＜mm ≥0，∴m ≥0； (2)当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ＜0，∴m ≤－5.综上当命题p 、q 中有且只有一个真命题时，m ≤－5或m ≥0.12．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．解：法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断其真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 因为a <1，所以4a －7<0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图像与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集． 故原命题的逆否命题为真．法二：先判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74.因为a ≥74，所以a ≥1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价， 所以逆否命题为真．。
【北师大版】数学《优化方案》选修1-1课件第2章本章优化总结
本 知识体系网络
章
优
化
总
专题探究精讲
结
知识体系网络
专题探究精讲
圆锥曲线定义、性质的应用
1．运用圆锥曲线的定义常用于解决下列问题： (1)求轨迹问题； (2)求曲线上某些特殊点的坐标； (3)求过焦点的弦长． 2．要注意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义 解题的经验，以提高灵活应用定义解题的能力．
＝2px1＋x1x＋2＋x2＋x1xp2＋p42＝2pxx11＋＋xx22＋＋pp22
＝ x1＋x2＋p 2px1＋x2＋p
＝2p(定值)．
当 AB⊥x 轴时，|FA|＝|FB|＝p，上式成立．
【名师点评】 第(1)问的处理方法是利用直线与 抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系 求出x1x2的值为定值；第(2)问从A、B到焦点的距 离运用抛物线的定义转化较简捷．
所以||PPFF12||＝2.
综上，|PF1|的值为7或
|PF2|
2
2.
【名师点评】 涉及圆锥曲线上一点和焦点之 间的距离问题，常利用椭圆的定义来解决．
圆锥曲线中的最值、取值范围问题 与圆锥曲线有关的最值问题是一种常见的题型，一 些简单的最值问题主要运用圆锥曲线的定义和几何 性质来解决，对于较为复杂的最值问题，则往往是 选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最 值的方法确定最值．
(2)直线 l 被曲线截得的弦长
|AB|＝ 1＋k2x1－x22或
1＋k12y1－y22，其
中 k 是直线 l 的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与
曲线的两个交点 A，B 的坐标．
例4 已知双曲线 C：x2－y2＝1 及直线 l：y＝kx－1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值 范围；
【优化方案】高中数学 第2章3.1知能优化训练 北师大版选修1-1
1．点F 1，F 2是两个定点，动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为非负常数)，则动点P 的轨迹是( )A ．两条射线B ．一条直线C ．双曲线D ．前三种情况都有可能解析：选D.当2a ＝0时，动点P 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线； 当0<2a <|F 1F 2|时，动点P 的轨迹是双曲线； 当2a ＝|F 1F 2|时，动点P 的轨迹是两条射线．所以动点P 的轨迹可能是一条直线、双曲线或两条射线，即三种情况都有可能，故选D.2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析：选D.由双曲线的标准方程知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝4 3.故选D.3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：选B.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义得|m －n |＝2，①在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝8，② 联立①，②解得mn ＝4， 即|PF 1|·|PF 2|＝4，故选B.4．已知双曲线的焦距为26，a 2c ＝2513，则双曲线的标准方程是________．解析：由2c ＝26，∴c ＝13. 又a 2c ＝2513，∴a 2＝25.∴b 2＝c 2－a 2＝132－25＝144. ∴所求方程为x 225－y 2144＝1或y 225－x 2144＝1.答案：x 225－y 2144＝1或y 225－x 2144＝1一、选择题1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示双曲线，则k 的取值范围为( ) A ．－1<k <1 B ．k >0 C ．k ≥0 D ．k >1或k <－1 解析：选A.依题意有(1＋k )(1－k )>0，解得－1<k <1.2．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)．3．设动点M 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则点P 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D.双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，没有绝对值，只能代表双曲线的一支．4．方程x 24－t ＋y 2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题：①若曲线C 为椭圆，则2<t <4；②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2； ③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4. 以上命题正确的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①②④ 解析：选C.①若C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －2>0，4－t ≠t －2，解得2<t <4且t ≠3.②若C 为双曲线，则(4－t )(t －2)<0，∴t >4或t <2.③当t ＝3时，方程为x 2＋y 2＝1表示圆．④若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －2>0，t －2>4－t ，解得3<t <4.5．(2010年高考福建卷)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)解析：选B.∵a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1，设P (x 0，y 0)(x 0≥3)．则x 203－y 20＝1，即y 20＝x 203－1， ∴OP →·FP →＝x 0·(x 0＋2)＋y 20＝43x 20＋2x 0－1＝43(x 0＋34)2－74， 又x 0≥3，∴当x 0＝3时，(OP →·FP →)min ＝3＋2 3.6．已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则在平面直角坐标系内满足条件|PF 1|－|PF 2|＝4的点的轨迹为( )A ．双曲线B ．双曲线的左支C ．双曲线的右支D ．射线y ＝0(x ≥2) 解析：选D.∵|PF 1|－|PF 2|＝4， ∴2a ＝4.又∵2c ＝4，∴2a ＝2c .∴轨迹表示F 2及F 2右侧x 轴上的部分，为射线y ＝0(x ≥2)． 二、填空题7．(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题意知，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：4 8．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．解析：由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，∴c ＝ a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴||PF 1|－|PF 2||＝16，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33. 又∵|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33.答案：339．如图所示，在周长为48的直角三角形MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，则以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程为________．解析：可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由双曲线定义知，2a ＝||PM |－|PN ||，|MN |＝2c .∵tan ∠PMN ＝34，∴设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ，则|MN |＝5k .∵周长为48，∴3k ＋4k ＋5k ＝48，∴k ＝4. ∴|PN |＝12，|PM |＝16，|MN |＝20. ∴双曲线标准方程为x 24－y 296＝1.答案：x 24－y 296＝1三、解答题10．已知双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，求k 值．解：由方程8kx 2－ky 2＝8，得x 21k－y 28k＝1，又焦点(0,3)在y 轴上，故方程变为y 2－8k－x2－1k＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧－8k ＞0，－1k ＞0，－8k －1k ＝9.解得k ＝－1.11．求适合下列条件的参数的值或范围．(1)已知x 21－k －y 2|k |－3＝－1，当k 为何值时，①方程表示双曲线；②方程表示焦点在x轴上的双曲线；③方程表示焦点在y 轴上的双曲线；(2)已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值；(3)椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点．求a 的值．解：(1)①若方程表示双曲线，则须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k >0，|k |－3>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－k <0，|k |－3<0. 解得k <－3或1<k <3.②若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则1<k <3. ③若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则k <－3.(2)若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k＝1，∴k2＋k ＝32，即k ＝6. 若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1，∴－k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.(3)由双曲线方程可知焦点在x 轴上， 且c ＝a ＋2(a >0)．由椭圆方程可知c ＝ 4－a 2，∴a ＋2＝4－a 2，即a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．因此a 的值为1.12．某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP ，BP 运到P 处(如图所示)，|PA |＝100 m ，|PB |＝150 m ，∠APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工．解：如图，设M 是分界线上的任意一点，则有：|MA |＋|PA |＝|MB |＋|PB |，于是|MA |－|MB |＝|PB |－|PA |＝150－100＝50. 在△PAB 中，由余弦定理得：|AB |2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA |·|PB |·cos60°＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500.∴以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立平面直角坐标系，则分界线是双曲线，即x 2625－y 23750＝1(x ≥25)． 故运土时，将此双曲线左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工．。
【优化方案】2012高中数学 第3章3知能优化训练 北师大版选修1-1
1．曲线y ＝x n (n ∈N ＋)在x ＝2处的导数为12，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3.2．下列结论：①若y ＝1x ，则y ′|x ＝2＝－22；②若y ＝cos x ，则y ′|x ＝π2＝－1；③若y ＝e x ，则y ′＝e x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.正确的是②③，共有2个，故选C.3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则这样的切线有( )A ．1条B ．2条C ．多于2条D ．不确定解析：选B.f ′(x )＝3x 2，令f ′(x )＝3，即3x 2＝3，∴x ＝±1，故应有2条．4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________.解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2，于是有2x －3x 2＝－2，解得x ＝1±73.答案：1±73一、选择题1．(2011年福州检测)若f (x )＝cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．2α＋sin αD ．－sin α解析：选D.∵f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，∴f ′(α)＝－sin α.2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的切点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14解析：选D.设切点为(x 0，x 20)，∵倾斜角为π4，∴y ′＝2x 0＝1，∴x 0＝12，故切点为(12，14)．3．已知函数f (x )＝a x ，且f ′(e)＝4，则a ＝( )A ．4－1e B ．4－eC ．e －4D ．41e解析：选D.∵f ′(x )＝a x ln a ，∴f ′(e)＝a e ＝4，∴a ＝41e .4．曲线f (x )＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，则该切线方程为() A ．5x ＋5y ＋4＝0 B ．5x －5y －4＝0C ．5x ＋5y ±4＝0D ．5x －5y ±4＝0解析：选D.因为切线与直线y ＝－x ＋3垂直，所以切线的斜率为1.又f ′(x )＝x 4，∴x 4＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，15，切线方程为5x －5y －4＝0. 当x ＝－1时，切点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－15，切线方程为5x －5y ＋4＝0. 5．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角解析：选C.由导数的几何意义知函数f (x )在点(4，f (4))处的切线斜率为f ′(4)＝－sin 4＞0，∴此切线的倾斜角为锐角．6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：选A.求导得y ′＝－12x －32(x >0)，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线l 的斜率k ＝－12a －32，由点斜式得切线的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为(3a,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64. 二、填空题7．(1)已知函数f (x )＝15，则f ′(0)＝________； (2)已知函数f (x )＝x n ，且f ′(1)＝2，则n ＝________.解析：(1)因为f ′(x )＝0，所以f ′(0)＝0.(2)由公式得f ′(x )＝nx n －1，所以f ′(1)＝n ＝2，即n ＝2.答案：0 28．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )之间的大小关系是________． 解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x ，因为0<x <14，所以f ′(x )＝2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g ′(x )＝12x ∈(1，＋∞)，所以f ′(x )＜g ′(x )．答案：f ′(x )＜g ′(x )9．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3.则这条切线的方程为________．解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝limΔx →0 x ＋Δx 2－1－x 2－Δx＝lim Δx →0 2x Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知，f ′(x 0)＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2.代入曲线方程得y 0＝3.故该切线过点(2,3)且斜率为4.∴这条切线的方程为y －3＝4(x －2)，即4x －y －5＝0.答案：4x －y －5＝0三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 13x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 34－1 ＝34x －14＝344x. (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln10.(4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a， ∴y ′＝(log 13x )′＝1x ·ln 13＝－1x ·ln3. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .11．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1xy ＝x 2，解得交点为(1,1)．而⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；(x 2)′＝2x ，∴斜率分别为－1和2， ∴切线方程分别为y －1＝－(x －1)，及y －1＝2(x －1)；令y ＝0，得与x 轴交点为(2,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， ∴S △＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34. 12．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解：由已知设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与直线y ＝x 距离最近的点．∵y ＝e x ，∴y ′＝e x .又∵在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∴e x0＝1，∴x0＝0，代入y＝e x，可得：y0＝1，∴切点为(0,1)，利用点到直线的距离公式可以求出d＝2 2.。
【北师大版】数学《优化方案》选修1-1课件第2章1.1
所以
a322＋ 3b622＝1，
2 a12＋
3b222＝1，
所以ab22＝ ＝91，.
所以所求的椭圆的方程为y92＋x2＝1.
【名师点评】 (1)确定椭圆的标准方程要注意两 个“定”，一是“定位”指确定椭圆的焦点在坐 标轴上的位置；二是“定量”指确定椭圆中的参 数 a，b，当所给条件未明确焦点所在坐标轴上的 位置时，容易忽略焦点可能在 y 轴上，而只设xa22＋ yb22＝1(a>b>0)一种情况而导致错误．
(2)由给定条件求椭圆的标准方程，当焦点位置确
定在哪个坐标轴上时，直接设方程，否则，设为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)形式．
变式训练 1 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为 对称轴，且经过 P1( 6，1)，P2(－ 3，－ 2)两点．求 椭圆的标准方程．
解：法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为xa22 ＋by22＝1(a>b>0)，
§1 椭 圆
1．1 椭圆及其标准方程
学习目标
1.通过画椭圆的过程，掌握椭圆的定义． 2．了解椭圆的标准方程的推导过程． 3．掌握椭圆的两种位置及其标准方程，掌握 a，b，c之间的关系．
1
．
1
课前自主学案
椭
圆
及
课堂互动讲练
其
标 准知能优化训练方程课前自主学案
温故夯基
1．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
r. 由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件， 可得|C1C|＝r1－r.① 由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件， 可得|C2C|＝r2＋r.②
由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16， 即点 C 到两定点 C1 与 C2 的距离之和为 16，且 |C1C2|＝8，可知动点 C 的轨迹是以 C1 与 C2 为焦 点的椭圆． 由题意，得 c＝4，a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16 ＝48. 即动圆圆心的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，
【优化方案】2012高中数学 第4章2.2知能优化训练 北师大版选修1-1
[学生用书 P 67]1．下列结论中正确的是( )A ．在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值B ．在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值C ．在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到D ．在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值 解析：选D.由函数最值的定义知，A 、B 、C 均不正确，D 正确．2．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229C.329D.38解析：选A.f (x )＝x －x 3，∴f ′(x )＝1－3x 2.当x ＝33时，f ′(x )＝0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤33，1时，f ′(x )<0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝239为极大值． 又f (0)＝0，f (1)＝0，∴f (x )的最大值是f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239. 3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90090， x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300 解析：选D.∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390，90090－100x －20000，x >390，由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.4．如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，∴堆料场的长为51216＝32(米)．答案：32米，16米一、选择题1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V解析：选C.设该直棱柱的底面边长为x ，高为h ，表面积为S ，则V ＝34x 2·h ，h ＝4V 3x2，表面积S ＝32x 2＋3·x ·4V 3x 2，S ′＝3x ＋－12V 3x2，令S ′＝0，得x ＝34V .故选C. 2．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在区间[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－8解析：选A.f ′(x )＝6x 2－6x －12.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.且－1∉[0,3]，2∈[0,3]，又f (2)＝－15，f (0)＝5，f (3)＝－4，故f (x )在[0,3]上的最大值为f (0)＝5，最小值为f (2)＝－15，故选A.3．函数f (x )＝x －2x 在[0,4]上的最大值为( ) A ．4 B ．－1 C ．1 D ．0解析：选D.∵f ′(x )＝1－1x ＝1x(x －1)．又因为定义域为[0,4]，由f ′(x )＝0，得x ＝1，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜4时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在x ＝1处有极小值－1，又f (0)＝0，f (4)＝0， ∴f (x )的最大值为0.4．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π解析：选A.设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则x 为多少时，银行可获得最大收益( )A ．0.016B ．0.032C ．0.024D ．0.048解析：选B.依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，其中x ∈(0,0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)， 又当0<x <0.032时，y ′>0； 当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益． 6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9，x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0，函数f (x )单调递增； 当x >9时，y ′<0，函数f (x )单调递减． 故当x ＝9时，y 取最大值． 二、填空题7．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6000，S ′(x )＝－2x ＋230， 由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润达到最大． 答案：1158．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，于是由2＝k 110，得k 1＝20；8＝10k 2，得k 2＝45. 因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x5，y ′＝－20x 2＋45＝0，令y ′＝0，得x ＝5(x ＝－5舍去)，此点即为最小值点． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 答案：59．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为______米时，容器的容积最大．解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x 米， 则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )， V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解15x 2－11x －4＝0，得x ＝1，x ＝－415(舍去)．答案：1 三、解答题10．求下列函数的最值：(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3.∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)f ′(x )＝12＋cos x .令f ′(x )＝0，解得x ＝23π或x ＝43π.所以，当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.11．(2010年高考陕西卷节选)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，当h (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的解析式； (2)对(1)中的φ(a )，证明：当a ∈(0，＋∞)时，φ(a )≤1. 解：(1)h (x )＝x －a ln x (x >0)，∴h ′(x )＝12x －a x ＝x －2a2x .①当a >0时，令h ′(x )＝0，解得x ＝4a 2，∴当0<x <4a 2时，则h ′(x )<0，则h (x )在(0,4a 2)上递减；当x >4a 2时，h ′(x )>0，则h (x )在(4a 2，＋∞)上递增．∴x ＝4a 2是h (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h (x )的最小值点．∴h (x )的最小值φ(a )＝h (4a 2)＝2a －a ln(4a 2)＝2a [1－ln(2a )]．②当a ≤0时，h ′(x )＝x －2a2x>0，则h (x )在(0，＋∞)上递增，无最小值．综上知，h (x )的最小值φ(a )的解析式为φ(a )＝2a [1－ln(2a )](a >0)．(2)由(1)知φ(a )＝2a [1－ln(2a )]，则φ′(a )＝－2ln(2a )，令φ′(a )＝0，解得a ＝12. 当0<a <12时，φ′(a )>0，∴φ(a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增； 当a >12时，φ′(a )<0，∴φ(a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减． ∴φ(a )在a ＝12处取得极大值φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1， ∵φ(a )在(0，＋∞)上有且只有一个极值点，∴φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1也是φ(a )的最大值， ∴当a ∈(0，＋∞)时，总有φ(a )≤1. 12.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形；要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少(精确到0.001 m)时用料最省？解：依题意，有xy ＋12·x ·x2＝8，所以y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0<x <42)，于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2·2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2x ＋16x .l ′＝32＋2－16x2.令l ′＝0，即32＋2－16x2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)．当0<x <8－42时，l ′<0； 当8－42<x <42时，l ′>0，所以当x ＝8－42时，l 取得最小值．此时，x ＝8－42≈2.343(m)，y ≈2.828(m)． 即当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省．。
【优化方案】2012高中数学 第2章1.1知能优化训练 北师大版选修1-1
1．若动点M 到两定点F 1，F 2的距离的和为定值m ，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．以上都有可能解析：选D.运用椭圆定义进行判断，由于m 与|F 1F 2|的大小关系不确定，因此M 的轨迹可能是椭圆，也可能是线段，还有可能不存在．2．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(±3,0)B ．(±13，0)C ．(±320，0)D ．(0，±320)解析：选D.由25x 2＋16y 2＝1，知焦点在y 轴上，且a 2＝116，b 2＝125，c 2＝116－125＝916×25，∴c ＝320.3．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0,3)，且椭圆经过点(0,4)，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.y 216＋x 27＝1 C.y 225＋x 216＝1 D.y 225＋x 29＝1 解析：选B.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∴2a ＝4＋32＋4－32＝8，∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为y 216＋x 27＝1.4．已知椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)，其焦点坐标为________．解析：由ax 2＋by 2＋ab ＝0，得x 2－b ＋y 2－a＝1，因为a <b <0，所以－a >－b >0.所以椭圆的焦点在y 轴上，c 2＝－a ＋b ，c ＝±b －a ，故焦点坐标为(0，±b －a )．答案：(0，±b －a )一、选择题1．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．射线 D ．线段 解析：选D.∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D. ∵a 2＝25，∴a ＝5， 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.3．(2011年福州高三质检)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4．已知椭圆两个焦点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，并且经过点(2,0)，则它的标准方程是( )A.x 22＋y 23＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 23＋y 24＝1 D.x 34＋y 23＝1 解析：选D.由焦点(－1,0)，(1,0)知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，又椭圆经过(2,0)，∴2a ＝ 2＋12＋2－12＝4，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故选D. 5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B.由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，平方得(|PF 1|＋|PF 2|)2＝64，又|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝40，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝40－2824＝12，∴∠F 1PF 2＝60°.6．(2010年高考福建卷)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204≥0，又因为F (－1,0)，∴OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2，又∵x 0∈[－2,2]． ∴OP →·FP →∈[2,6]，∴(OP →·FP →)max ＝6. 二、填空题 7．若方程x 2k －5＋y 210－k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由10－k >k －5>0，得5<k <152.答案：(5，152)8．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27.由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－2722×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°9．(2011年青州高三模拟)如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |sin60°＝34c 2＝3，所以c 2＝4.∴点P 的坐标为(c 2，32c )，即(1，3)，∴1a 2＋3b2＝1，又b 2＋c 2＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b2a 2＝4＋b 2，解得b 2＝2 3.答案：2 3三、解答题10．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，求椭圆C 的标准方程．解：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＝4.所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b2＝1a 2－b 2＝4，解得b2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.11．已知B 、C 是两个定点，|BC |＝10，且△ABC 的周长等于24，求顶点A 的轨迹方程． 解：由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝24，|BC|＝10，得|AB|＋|AC|＝14，由定义可知，顶点A 的轨迹是椭圆，且2c＝10,2a＝14，即c＝5，a＝7，所以b2＝a2－c2＝24.建立如图所示的平面直角坐标系，使x轴经过B、C两点，原点O为BC的中点，当点A在直线BC上，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是x249＋y224＝1(y≠0)．12．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)的椭圆标准方程．解：由9x2＋5y2＝45，得y29＋x25＝1，其焦点为F1(0,2)，F2(0，－2)．设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，∵点M(2，6)在椭圆上，∴6a2＋4b2＝1.①又a2－b2＝4，②由②得a2＝b2＋4，代入①得b4－6b2－16＝0，可解得b2＝8，或b2＝－2(舍去)，所以a2＝12.故所求椭圆方程为y212＋x28＝1.。
【优化方案】2012高中数学 第4章1.2知能优化训练 北师大版选修1-1
1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极大值C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极小值D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么，f (x 0)是极大值解析：选B.导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A ，C ，D 项错．2．函数y ＝1＋3x －x 3有( ) A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3解析：选D.由y ＝1＋3x －x 3，得y ′＝－3x 2＋3.令y ′＝0，即－3x 2＋3＝0，∴x ＝±1. ∴当x ＝1时，有y 极大值＝1＋3－1＝3； 当x ＝－1时，有y 极小值＝1－3＋1＝－1.3．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3解析：选A.∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0，① 又x ＝1时有极值－2，f (1)＝a ＋b ＝－2，② 由①②联立解得a ＝1，b ＝－3.4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x x ＋－x 2＋a x ＋2＝x 2＋2x －ax ＋2，因为函数f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3. 答案：a ＝3一、选择题1．函数y ＝(x 2－1)3＋1在x ＝－1处( ) A ．有极大值 B ．有极小值 C ．无极值 D ．无法判断极值情况解析：选C.y ′＝3(x 2－1)2·(x 2－1)′＝6x (x 2－1)2＝6x (x －1)2(x ＋1)2，虽有y ′|x ＝－1＝0，但y ′在x ＝－1的附近不变号，∴函数在x ＝－1处没有极值．2．(2011年诏安一中质检)设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e解析：选A.y ′＝e x ＋a .函数有极值点，则令e x ＋a ＝0，得a ＝－e x ，又x >0，则e x>1，故a <－1.3．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图像可能是( )解析：选C.y ′＝(x －a )(3x －2b －a )，由y ′＝0得x ＝a ，或x ＝a ＋2b3，∴当x ＝a 时，y 取极大值0，当x ＝a ＋2b3时，y 取极小值且极小值为负．故选C.4．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13解析：选B.y ′＝a e ax＋3，令y ′＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a a，即为极值点．由题意得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a a>0，所以a <－3，故选B.5．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此应该在导函数的图像上找从x 轴下方变为x 轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数f (x )在开区间(a ，b )内只有1个极小值点，故选A.6．(2011年合肥市高三质检)已知函数f (x )＝x 33＋12ax 2＋2bx ＋c 的两个极值分别为f (x 1)，f (x 2)，若x 1，x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b －2a 的取值范围是( )A ．(－4，－2)B ．(－∞，2)∪(7，＋∞)C ．(2,7)D ．(－5，－2)解析：选 C.由题意，求导可得f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2b ＞0f ＝1＋a ＋2b ＜0，所以a ，f＝4＋2a ＋2b ＞0b 满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b －2a 在B (－1,0)处取值为2，在C (－3,1)处取值为7，所以b －2a 的取值范围是(2,7)．二、填空题7．函数y ＝2x 3－15x 2＋36x －24的极大值为________，极小值为________．解析：y ′＝6x 2－30x ＋36，即y ′＝6(x －2)(x －3)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝3，经判断极大值为f (2)＝4，极小值为f (3)＝3. 答案：4 38．当a ∈________时，函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)没有极值点．解析：由已知可得f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1]，若函数不存在极值点，则在方程f ′(x )＝0即x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0中，有Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a ≤0，解之得0≤a ≤4.答案：[0,4]9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，∴由f ′(x )＝0得x 1＝－a ，x 2＝a (a >0)．当x ＝a 时，f (x )取极小值－2a 3＋a根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 3＋a >0，－2a 3＋a <0，∴a >22.a >0，答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 三、解答题10．(2010年高考安徽卷)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．解：由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π或x ＝3π2.因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2. 11．设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解：由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由f ′(x )－9x ＝0即ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0的两根为1,4可得⎩⎪⎨⎪⎧9－2b a ＝5ca ＝4，即2b＝9－5a ，c ＝4a ，所以一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a－9)，不等式ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a －a －，解得1≤a ≤9，即a 的取值范围是[1,9]．12．已知函数f (x )＝13x 3－m 2x (m ＞0)．(1)当f (x )在x ＝1处取得极值时，求函数f (x )的解析式；(2)当f (x )的极大值不小于23时，求m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝13x 3－m 2x (m ＞0)，所以f ′(x )＝x 2－m 2.因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝1－m 2＝0(m ＞0)，所以m ＝1，故f (x )＝13x 3－x .(2)f ′(x )＝x 2－m 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝±m .由上表，得f (x )极大值＝f (－m )＝－3＋m 3，由题意知f (x )极大值≥23，所以m 3≥1，解得m ≥1.故m 的取值范围是[1，＋∞)．。
【优化方案】2012高中数学 第3章4.1知能优化训练 北师大版选修1-1
1．(2011年高考江西卷)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)解析：选C.由题意知x ＞0，且f ′(x )＝2x －2－4x，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x＞0，∴x 2－x －2＞0，解得x ＜－1或x ＞2.又∵x ＞0，∴x ＞2.2．函数y ＝x (x 2＋1)的导数为( )A ．x 2＋1B ．3x 2C ．3x 2＋1D ．3x 2＋x解析：选C.∵y ＝x 3＋x ，∴y ′＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋x ′＝3x 2＋1.3．对任意实数x ，有f ′(x )＝4x 3，且f (1)＝－1，则f (x )＝( )A ．x 4B ．x 4－2C ．x 4＋1D ．x 4＋2解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋α. 又∵f (1)＝－1，∴1＋α＝－1，∴α＝－2，∴f (x )＝x 4－2.4．已知f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝(sin x ＋ln x )′＝(sin x )′＋(ln x )′＝cos x ＋1x，∴f ′(1)＝cos1＋1.答案：cos1＋1一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋3x ＋cos x ，则f ′(x )等于( )A ．3x 2＋x －23－sin x B ．x 2＋13x －23－sin xC ．3x 2＋13x －23＋sin xD ．3x 2＋13x －23－sin x解析：选D.∵f (x )＝x 3＋3x ＋cos x ＝x 3＋x 13＋cos x ， ∴f ′(x )＝(x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′ ＝3x 2＋13x －23－sin x .2．若y ＝x 4＋sin x ，则y ′＝( )A ．4x 3B ．cos xC ．4x 3＋sin xD ．4x 3＋cos x解析：选D.y ′＝(x 4＋sin x )′＝(x 4)′＋(sin x )′＝4x 3＋cos x .3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是下图中的( )解析：选A.因为f ′(x )＝2x ＋b ，又f (x )的图像顶点在第四象限，∴b ＜0. 4．已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，则k 的值等于( ) A ．e B ．－e C ．1 D ．－1解析：选C.∵y ′＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0.由ln x 0＝0得x 0＝1，∴k ＝1x 0＝1.5．函数f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )是常数函数D ．f (x )＋g (x )是常数函数解析：选C.f ′(x )＝g ′(x )可知f ′(x )－g ′(x )＝0， ∴f (x )－g (x )＝c .6．(2011年哈师大附中检测)曲线y ＝－x 3＋2x 在x ＝1处的切线的倾斜角是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 解析：选C.∵y ′＝－3x 2＋2， ∴y ′|x ＝1＝－3＋2＝－1，即k ＝tan α＝－1，∴α＝34π.二、填空题7．曲线y ＝x 3－x 与直线y ＝2x ＋b 相切，则实数b ＝________.解析：由k ＝y ′＝3x 2－1＝2得x ＝±1， ∴切点坐标为(1,0)，(－1,0)．将(1,0)，(－1,0)代入y ＝2x ＋b 得b ＝－2或2. 答案：－2或28．设f (x )＝1x －13x2，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x －23′＝－1x 2＋23x －53， ∴f ′(1)＝－1＋23＝－13.答案：－139．设f (x )＝ax 2－b sin x 且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1，∴b ＝－1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3a －12b ＝12，解得a ＝0.答案：0 －1 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝e x＋log 3x ；(2)y ＝x m ＋n x x(n ≠0)．解：(1)y ′＝(e x ＋log 3x )′＝e x＋1x ln3. (2)∵y ＝x m －1＋x 1n －1，∴y ′＝(xm －1＋x 1n －1)′＝(m －1)xm －2＋1－n n·x 1n －2.11．设函数y ＝f (x )满足以下条件：①f ′(x )＝－2x3；②f (1)＝2.求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵f ′(x )＝－2x3＝－2·x －2－1， ∴f (x )＝x －2＋c ＝1x2＋c (c 为常数)，又∵f (1)＝2，∴1＋c ＝2，∴c ＝1，∴f (x )＝1x2＋1.12．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解：(1)∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的斜率为3，其方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)，∴所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。
【优化方案】2012高中数学 第4章1 1.2知能优化训练 北师大版选修1-2
1．下列命题中：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； ③x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选A.在①中没有注意到z ＝a ＋b i 中未对a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，从而由z 21＋z 22＝0⇒/ z 1＝z 2＝0，故②错误；在③中若x ，y ∈R ，可推出x ＝y ＝2，而此题未限制x ，y ∈R ，故③不正确；④中忽视0·i＝0，故④也是错误的．故选A. 2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．故选D.3．a 为正实数，i 为虚数单位，z ＝1－a i ，若|z |＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C.2D ．1解析：选B.|z |＝|1－a i|＝ a 2＋1＝2，∴a ＝± 3. 而a 是正实数，∴a ＝ 3. 4．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 解析：∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3 ①n 2－m －6＝－4 ②. ②－①得2m －5＝－1， ∴m ＝2，将m ＝2代入②得n ＝±2. 答案：2 ±2一、选择题1．(2011年高考某某卷改编)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且a i ＋i 2＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D.a i ＋i 2＝－1＋a i ＝b ＋i ， 故应有a ＝1，b ＝－1.2．复数z ＝3＋i 2对应点在复平面( ) A ．第一象限内 B ．实轴上 C ．虚轴上 D ．第四象限内解析：选B.∵z ＝3＋i 2＝3－1∈R ， ∴z 对应的点在实轴上，故选B.3．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.4．复数z ＝12＋12i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.∵复数z 在复平面上对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，该点位于第一象限，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．5．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B.由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝02n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝－1，∴z ＝3－i. 6．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－iC ．－34－i D.34＋i解析：选D.设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.∴z ＝34＋i.二、填空题7．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________． 解析：复数z 在复平面上对应的点为(m －3,2m )， ∴m －3＝2m ，即m －2m －3＝0. 解得m ＝9. 答案：98．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． 解析：∵|z |＝3，∴x ＋12＋y －22＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以O ′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆． 答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆9．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－3－2i ，z 4＝3－2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°. 答案：180° 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．解：(1)由m 2－2m －15＝0，得m ＝5或m ＝－3. 故当m ＝5或m ＝－3时， z 为实数．(2)由m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3. 故当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2.故当m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5.故当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方．(5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得m ＝－3－414或m ＝－3＋414.故当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．11．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个方程的实根以及实数k 的值．解：设x ＝x 0是方程的一个实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2k ＝－22或⎩⎨⎧x 0＝－2k ＝22.当实根为2时，k ＝－22，当实根为－2时，k ＝2 2.12．设z ∈C ，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？ (1)|z |＝4； (2)2<|z |<4.解：(1)复数z 的模等于4，就是说，向量OZ →的模等于4，所以满足条件|z |＝4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆．(2)不等式2<|z |<4可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |<4，|z |>2.不等式|z |<4的解集是圆|z |＝4内部所有的点组成的集合，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |<4|z |>2所表示的集合．容易看出，点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．。
高中数学 第3章1知能优化训练 北师大版选修1-1
1．对于函数y ＝1x，当Δx ＝1时，Δy 的值是( )A ．1B ．－1C ．0.1D ．不能确定解析：选D.函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy ，必须指明在某处附近的函数改变量．2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)解析：选D.根据定义，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．3．如图所示，物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( ) A ．在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B ．在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度解析：选C.在0到t 0范围内甲、乙的平均速度v ＝s 0t 0，故A 、B 错；在t 0到t 1范围内甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0，很明显s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确． 4．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________解析：∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx . ∴Δy Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 答案：(Δx )2＋6Δx ＋12一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝log 2x ，当x 从2变到4时，函数值的改变量Δy ＝( )A ．2 B.12C ．1D ．－12解析：选C.Δy ＝f (4)－f (2)＝log 24－log 22＝1.2．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx 解析：选D.Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝－Δx 2＋3Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2＋3Δx Δx＝－Δx ＋3. 3．函数y ＝f (x )＝3x ＋1在点x ＝2处的瞬时变化率估计是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B.Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ，则Δy Δx ＝3Δx Δx＝3，∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于3.故选B.4．(2011年青州质检)将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( )A ．8πR (ΔR )B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：选B.Δs ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2.5．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：选 B.Δs ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零．当Δt →0时，ΔsΔt＝16－8t －4Δt ＝0.即16－8t ＝0，解得t ＝2.6．物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4的规律做直线运动，则在4 s 时物体的瞬时速度为( ) A ．56 m/s B ．48 m/s C ．25 m/s D ．20 m/s 解析：选C.Δs ＝s (4＋Δt )－s (4)＝3(4＋Δt )2＋(4＋Δt )＋4－(3×42＋4＋4)＝25Δt ＋3(Δt )2. ΔsΔt＝25＋3Δt ， 当Δt ＝0.1时，ΔsΔt ＝25.3，当Δt ＝0.01时，ΔsΔt ＝25.03，当Δt ＝0.001时，ΔsΔt＝25.003，…所以估计4 s 时物体的瞬时速度为25 m/s. 二、填空题7．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：∵v 1＝s t 1 －s t 0t 1－t 0＝k OA ；v 2＝s t 2 －s t 1 t 2－t 1＝k AB ；v 3＝s t 3 －s t 2 t 3－t 2＝k BC .又∵k BC >k AB >k OA ，∴v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 18．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．解析：由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2.答案：2.29．某汽车启动阶段的位移函数为s (t )＝2t 3－5t 2(s 的单位是米)，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是________．解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－2×23＋5×22＝2(Δt )3＋7(Δt )2＋4·Δt .所以Δs Δt ＝2(Δt )2＋7Δt ＋4.当Δt →0时，Δs Δt＝4(米/秒)．答案：4米/秒 三、解答题10．(2011年宿州高三模拟)若一物体运动方程如下：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋1 0≤t ≤3 ，2＋3 t －3 2t >3 . 求物体在t ＝1到t ＝3过程中的平均速度．解：令s (t )＝3t 2＋1(0≤t ≤3)， ∴s (3)＝28，s (1)＝4， ∴Δs ＝s (3)－s (1)＝24. 又∵Δt ＝3－1＝2， ∴Δs Δt ＝242＝12. 故物体在t ＝1到t ＝3过程中的平均速度为v ＝12.11．(2011年淮北调研)一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 解：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs Δt ＝s Δt －s 0 Δt ＝3Δt － Δt 2Δt ＝3－Δt .当Δt →0时，ΔsΔt→3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]， 则Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2 Δt＝3 2＋Δt － 2＋Δt 2－ 6－4 Δt＝－ Δt 2－Δt Δt＝－Δt －1当Δt →0时，ΔsΔt→－1.∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，v ＝s 2 －s 0 2－0＝3×2－42＝1.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12．国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．试问哪个企业治污效果好？(其中W 表示排污量)解：当自变量的变化由t 0－Δt 到t 0时，甲的平均变化率为W 甲＝W 1 t 0 －W 1 t 0－Δt Δt，乙的平均变化率为W 乙＝W 2 t 0 －W 2 t 0－Δt Δt，由图可知W 1(t 0)＝W 2(t 0)，W 1(t 0－Δt )>W 2(t 0－Δt )＞W 1(t 0)， 可得W 甲<W 乙<0，所以说，在单位时间里企业甲比企业乙的平均排污率小，因此，企业甲比企业乙治污效果好．。
【优化方案】2012高中数学 第1章1.4知能优化训练 新人教A版选修1-1
1．下列是全称命题且是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2>0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0答案：B2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A ．一次函数都不是单调函数B ．非一次函数都不是单调函数C ．有些一次函数是单调函数D ．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．3．(2010年高考某某卷)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 答案：存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤34．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”；(2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”．解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根．(2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列语句不是特称命题的是( )A ．有的无理数的平方是有理数B ．有的无理数的平方不是有理数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．存在x 0∈R,2x 0＋1是奇数答案：C2．(2010年高考某某卷)下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．3．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.4．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x 0，y 0∈R ，使x 20＋y 20≥2x 0y 0C ．∀x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x 0<0，y 0<0，使x 20＋y 20≤2x 0y 0解析：选A.这是一个全称命题，且x ，y ∈R ，故选A.5．下列命题的否定是假命题的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数；綈p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；綈p：∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0解析：选C.p为真命题，则綈p为假命题．6．下列命题中，假命题的个数是( )①∀x∈R，x2＋1≥1；②∃x0∈R,2x0＋1＝3；③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；④∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0.A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断．答案：∃x0，y0∈R，x0＋y0>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1假9．下列命题：①存在x0<0，使|x0|>x0；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N＋，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．解析：命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N＋，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，例如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．答案：①②③三、解答题10．判断下列语句是不是命题？如果是，说明其是全称命题还是特称命题：(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；(2)存在一个函数f(x0)，使f(x0)既是奇函数又是偶函数；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题．由于(4)是一个问句，因此(4)不是命题．11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．解：(1)綈p：∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p：在直角坐标系中，∃x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p：∃a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．12．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全0称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．。
【北师大版】数学《优化方案》选修1-1测试第2章2.1知能优化训练
1．坐标平面内到定点F (－1,0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝－2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选D.由抛物线的定义可知，所求轨迹方程是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．2．抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，18B.⎝⎛⎭⎫－18，0C.⎝⎛⎭⎫0，－12D.⎝⎛⎭⎫－12，0 解析：选C.把y ＝－12x 2化为标准方程得x 2＝－2y ，则2p ＝2，∴p 2＝12，即焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12.3．抛物线y 2＝2x 的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：选D.由y 2＝2x 知p 2＝12，∴准线方程x ＝－p 2＝－12.故选D.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为________．解析：∵y 2＝4x ，∴p ＝2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：8一、选择题1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0) D ．(－4,0)解析：选B.依题意，抛物线开口向左，焦点在x 轴的负半轴上，由2p ＝8得p2＝2.故焦点坐标为(－2,0)．2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：选C.y 2＝8x 的焦点到准线的距离为p ＝4.3．(2011年高考辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.4．(2010年高考福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：选D.抛物线的焦点为F (1,0)，又圆过原点，所以圆的半径r ＝1，方程为(x －1)2＋y 2＝1⇒x 2－2x ＋y 2＝0.5．抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( )A ．(14a ，0)B ．(a 4，0)C ．(0，14a )D ．(0，a4)解析：选C.由y ＝ax 2，得x 2＝1ay ，于是抛物线以坐标原点为顶点，焦点在y 轴上，而开口方向与a 的正负有关．(1)当a >0时，抛物线开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，2p ＝1a ，p 2＝14a，即焦点坐标为(0，14a)；(2)当a <0时，抛物线开口向下，焦点在y 轴的负半轴上，2p ＝－1a ，－p 2＝14a，所以焦点坐标为(0，14a)．6．(2011年皖南八校高三联考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (72，4)，则|P A |＋d 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 解析：选D.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P 到准线的距离为d ，所以d ＝|PF |，则|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5.故选D.二、填空题7．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________.解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py .由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±48．已知抛物线的焦点坐标为(2,1)，准线方程为2x ＋y ＝0，则其顶点坐标为________． 解析：过抛物线焦点F (2,1)且垂直于准线的直线l 的方程为x －2y ＝0.设l 与准线的交点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －2y ＝0，解得M (0,0)，而抛物线顶点为M 与F 的中点，故为(1，12)．答案：(1，12)9．(2010年高考浙江卷)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点坐标为F (p 2，0)，F A 中点B (p 4，1)在抛物线上，∴12＝2p ×p4，∴p＝2，∴B (24，1)，抛物线的准线方程为x ＝－22，∴点B 到该抛物线准线的距离为|24－(－22)|＝342. 答案：34 2三、解答题10．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p 1y (p 1>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43或2p 1＝92，故抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y . (2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 由p2＝4，得2p ＝16. ∴所求抛物线方程为y 2＝16x .11．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一条小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面的部分高34m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝1.6.∴x 2＝－3.2y .当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )．由22＝－3.2y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面部分为34m ，∴h ＝|y A |＋34＝2(m)．故水面上涨到距抛物线拱顶2 m 时，小船开始不能通航．12．(2011年青州检测)已知点A (12,6)，点M 到F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1. (1)求点M 的轨迹方程G ； (2)在G 上是否存在一点P ，使点P 到点A 的距离与点P 到x 轴的距离之和取得最小值？若存在，求此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)点M 到点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，即“点M 到点F (0,1)的距离等于它到直线y ＝－1的距离”，所以点M 的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，此时，p ＝2，故所求抛物线方程G 为x 2＝4y . (2)如图，易判断知点A 在抛物线外侧，设P (x ，y )，则P 到x 轴的距离即y 值，设P 到准线y ＝－1的距离为d ，则y ＝d －1. 故|P A |＋y ＝|P A |＋d －1， 由抛物线定义知|PF |＝d . 于是|P A |＋d －1 ＝|P A |＋|PF |－1.由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取最小值13.此时直线AF 的方程为y ＝512x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝512x ＋1，得P 点坐标为(3，94)． ∴在抛物线G 上存在点P (3，94)，使得所求距离之和最小为13.高;考]试╔题╬库。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．下列语句是命题的是( )
A ．p (x )：x 2－1＝0
B ．q (x )：5x 是5的倍数
C ．三角函数是周期函数吗？
D ．对所有整数x,5x －1是整数
解析：选D.只有D 能判断为真命题．A 中x ＝±1时，x 2－1＝0为真，x ≠±1时，x 2－1＝0为假．所以选项A 无法判断真假．选项B 中，x 可能是小数，所以B 也不能判断真假．选项C 是疑问句，不涉及真假．
2．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中( )
A ．真命题的个数一定是奇数
B ．真命题的个数一定是偶数
C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D ．以上判断都不正确
解析：选B.因为原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题也互为逆否命题，它们也同真同假，所以四种命题中，真命题个数为0或2或4，都是偶数个．
3．命题“若a >b ，则a －5>b －5”的逆否命题是( )
A ．若a <b ，则a －5<b －5
B ．若a －5>b －5，则a >b
C ．若a ≤b ，则a －5≤b －5
D ．若a －5≤b －5，则a ≤b
解析：选D.条件与结论同时否定，然后调换位置，就是逆否命题．
4．命题“若m ＞n ，则2m ＞2n －1”的否命题是________．
解析：“＞”的否定是“≤”，据此可写出否命题．
答案：若m ≤n ，则2m ≤2n －1
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
A ．x －1＝0
B ．2＋3＝8
C ．你会说英语吗？
D ．这是一棵大树
解析：选B.A 中x 不确定，无法判断x －1＝0的真假．
B 中2＋3＝8是命题，且是假命题．
C 不是陈述句，故不是命题．
D 中大的标准不确定，无法判断其真假．
2．在空间中，下列命题是真命题的是( )
A ．平行直线的平行投影重合
B ．平行于同一直线的两个平面平行
C ．垂直于同一平面的两个平面平行
D ．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：选D.A 项中平行直线的平行投影不一定重合，有可能平行；B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C 项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交．
3．下列命题是真命题的为( )
A ．若1x ＝1y
，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2
解析：选A.若x 2＝1，则x ＝±1，排除B ；若x ＝y ，x 与y 不一定存在，排除C ；若x
＜y ，且x ＝－3，y ＝－2，则x 2＞y 2，排除D.
4．(2010年高考天津卷)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )
A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数
B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数
C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数
D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数
解析：选B.明确“是”的否定是“不是”，并对原命题的条件和结论分别进行否定，可得否命题为“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．
5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B.因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
6．下列命题中正确的是( )
①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；
④“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．
A ．①②③④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①④
解析：选B.①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”． 真命题
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”． 假命题 ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．
∵方程无实根，
∴判别式Δ＝1＋4m <0，
∴m <－14
≤0. 真命题 ④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”．
∵x 不是无理数，∴x 是有理数． 又2是无理数．
∴x －2是无理数，不是有理数． 真命题
故正确的命题为①③④，故选B.
二、填空题
7．(2011年山东济宁检测)命题“若c >0，则函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点”的逆否命题是________．
解析：原命题的条件c >0的否定为c ≤0，结论函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点的否定为“函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点”，因此逆否命题为：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点，则c ≤0.
答案：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点，则c ≤0
8．给定下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实根”；②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①∵k >0，∴Δ＝4＋4k ＞0，∴是真命题．
②否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，是真命题．
③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
④否命题为“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”，是真命题．
答案：①②④
9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)
解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确． ②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题． 答案：②
三、解答题
10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．
解：(1)原命题：若一个数是实数，则这个数的平方是非负数．
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)原命题：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧． 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧． 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
11．(2011年宁波检测)已知命题p ：函数f －1(x )是函数f (x )＝1－3x 的反函数，实数m 满
足不等式f －1(m )<2，命题q ：实数m 使方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，若命题p 、q 中有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围．
解：令y ＝f (x )＝1－3x ，所以x ＝1－y 3
， 故f －1(x )＝1－x 3
， 又f －1(m )<2，
∴1－m 3
<2，∴－5<m ， ∴p ：－5<m .
因为方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，
2x >0，∴m <0，∴q ：m <0.
若命题p 、q 中有且只有一个真命题，存在两种情况：
(1)当p 为真命题，q 为假命题时，⎩
⎪⎨⎪⎧ －5＜m m ≥0，∴m ≥0； (2)当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧
m ≤－5m ＜0，∴m ≤－5. 综上当命题p 、q 中有且只有一个真命题时，m ≤－5或m ≥0.
12．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．
解：法一：原命题的逆否命题：
已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断其真假如下：
抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图像开口向上，
判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.
因为a <1，所以4a －7<0.
即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图像与x 轴无交点．
所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
法二：先判断原命题的真假：
因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，
解得a ≥74.因为a ≥74
， 所以a ≥1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价， 所以逆否命题为真．。