第45练函数与方程思想

第45练 函数与方程思想题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)，其中e 表示自然对数的底数.(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定t 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.变式训练1 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为________. 题型二 函数与方程思想在不等式中的应用例2 已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围为____________. 变式训练2 设f (x )＝ln x ＋x －1.证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.题型三 函数与方程思想在数列中的应用例3 已知数列{a n }是首项为2，各项均为正数的等差数列，a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n(其中S n 是数列{a n }的前n 项和)，若对任意n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值.变式训练3 已知f (x )＝x 2－4x ＋4，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，函数y ＝f n (x )的零点个数记为a n ，则a n ＝________.题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程；(2)求m 的取值范围.变式训练4 如图所示，设椭圆C 1：x 25＋y 24＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B (O 为坐标原点)，若抛物线C 2：y ＝mx 2－n (m >0，n >0)与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2两点. (1)求抛物线C 2的方程；(2)设M ⎝⎛⎭⎫0，－45，N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P ，Q 两点，求△MPQ 的面积的最大值.高考题型精练1.若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则下列各式判断正确的是______(填序号).①x ＋y ≥0; ②x ＋y ≤0；③x －y ≤0; ④x －y ≥0.2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是________.3.满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________.4.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________.5.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，求实数a 的取值范围.6.(2015·南京模拟)已知函数f (x )＝1(1－x )n ＋a ln(x －1)，其中x ∈N *，a 为常数. (1)当n ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)当a ＝1时，证明：对任意的正整数n ，当x ≥2时，有f (x )≤x －1.第46练数形结合思想题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 例1 方程sin πx ＝x4的解的个数是________.变式训练1 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1－kx 2，x ≤0，ln x ，x >0有且只有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.题型二 利用数形结合解决不等式参数问题例2 设函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时，恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围.变式训练2 若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是____________. 题型三 利用数形结合求最值例3 (2014·北京)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________.变式训练3 已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形P ACB 面积的最小值.高考题型精练1.(2014·福建改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是________.①f (x )是偶函数； ②f (x )是增函数；③f (x )是周期函数； ④f (x )的值域为[－1，＋∞). 2.若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是____________.3.已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是____________.4.已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.5.已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2.则方程f (x )＝lg x 解的个数是________.6.若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.7.(2015·张家港模拟)设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B所表示的平面图形的面积为________.8.(2014·山东)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________.9.已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，求n 的值.10.设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值.第47练 分类讨论思想题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A ＝{x ∈R |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.变式训练1 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值. 变式训练2 (2015·江苏)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ). (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值.题型三 根据图形位置或形状分类讨论 例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是__________.变式训练3 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值.高考题型精练1.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则判断下式大小关系：f (0)＋f (2)________2f (1).(填“>”“<”“≥”“≤”或“无法确定”)2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是________数列.(填序号) ①等差； ②等比；③等差或等比； ④以上都不对.3.已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝_______.4.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ＋PB 的取值范围是______________.5.(2015·无锡模拟)抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________.6.在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.7.已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.8.(2014·浙江)若某流程图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.9.(2015·扬州模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当K (m,0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.10.已知a 是实数，函数f (x )＝x (x －a ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值. ①写出g (a )的表达式；②求a 的取值范围，使得－6≤g (a )≤－2.第48练 转化与化归思想题型一 正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围.变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________.题型二 函数、方程、不等式之间的转化例2 已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (0<a <1，x ∈R ).若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围.变式训练2 (2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .题型三 主与次的转化例3 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________. 题型四 以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，则说明理由.变式训练4 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________.高考题型精练1.已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________.2.下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是________.①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )既没有最小值，也没有最大值. 3.(2014·湖南改编)若0<x 1<x 2<1，则下列不等关系判断正确的是________. ①e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1；②e x 1－e x 2<ln x 2－ln x 1；③x 2e x 1>x 1e x 2；④x 2e x 1<x 1e x 2. 4.设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋2b 的最小值为________.5.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ →的值为________.6.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为__________.7.P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________.8.(2015·苏州模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (2x －1)<0的解集为______. 9.(2015·苏州模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________.10.若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________. 11.f (x )＝13x 3－x ，x 1，x 2∈[－1,1]时，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.12.已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1).(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)(n ∈N *).。