江西省九江市2020教三第三次模拟考试理科数学含答案

江西省九江市2020教三第三次模拟考试理科数学试题

ab
2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为（A）
2
1
A.
B.
7
3
8
C.
21
5 D.
21
9.函数 f ( x) e x x sin x 1 的图像大致是(B)
y
y
y
O
x
A
O
x
O
x
B
C
y
O
x
D
x2 y2
10.设双曲线 C : a2
回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第 4
次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每 1 组中有 4 个数字，分别表示每次摸球的结果，经随
机模拟产生了以下 21 组随机数：
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312
23.(本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
定义区间 (x1, x2 ) ( x2 x1 )的长度为 x2 x1 ，已知不等式| x m | | x 1| 1 x ( m R )的解集区间长度
为 1.
(Ⅰ)求 m 的值；
b2 a2 (Ⅱ)若 a, b R ， ab 0 ， a b m ，求的最小值及此时 a, b 的值.
22.(本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
1 1
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
2
(t
t
)
( t 为参数)，以原点

2019-2020学年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(有答案)

江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣74．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若S672=2，S1344=12，则S2016=（）A．22 B．26 C．30 D．346．设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π）满足f（n）=，则f（1）=（）8．已知函数f（n）（n∈N+A．97 B．98 C．99 D．1009．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．3211．若函数f（x）=cosx+axsinx，x∈（﹣，）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，0）12．如图所示，已知椭圆C： =1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=_______．14．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（2x）•ln（2x+1）的定义域为_______．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =_______．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列．（1）若+=，求角B 的值；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x 1，y 1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x （元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y （件） b8483 807568已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且x i =39，y i =480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA=PC ，PB=PD=AB ．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，α∈（0，）），以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ，求点M 的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．江西省九江市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0}∵M={x|x＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1}故选D2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为：a+bi的形式，求出对应点的坐标即可．【解答】解：．对应点的坐标（）在第三象限．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来，并根据向量的数量积运算法则计算即可．【解答】解：，故选：D．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C 的圆心C （1，2），设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，由坐标原点到直线l 的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l 的方程．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心C （1，2），∵直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1，此时坐标原点到直线l 的距离为1，不成立；当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l 的方程为y=﹣（x ﹣1）+2，即x+2y ﹣5=0．故选：C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 672=2，S 1344=12，则S 2016=（） A ．22 B ．26 C ．30 D ．34 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，由此能求出S 2016．【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 672=2，S 1344=12，由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，得到：2×10=2+S 2016﹣12，解得S 2016=30．故选：C ．6．设x 1=18，x 2=19，x 3=20，x 4=21，x 5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A ．S=2，即5个数据的方差为2B ．S=2，即5个数据的标准差为2C ．S=10，即5个数据的方差为10D ．S=10，即5个数据的标准差为10【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=×[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]=×（4+1+0+1+4）=2．故选：A．7．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π【考点】轨迹方程．【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算即可求解．【解答】解：由题意，轨迹为四条线段加四个四分之一的圆．如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆，周长为：2π×0.5=π，再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为2，合起来就是：2×4+π=8+π．故选：B．8．已知函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，则f（1）=（）+A．97 B．98 C．99 D．100【考点】函数的值．【分析】由已知条件，利用分段函数的性质推导出f（96）=f[f=97，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，+∴f=f[f=98，f（98）=f[f=97，f（97）=f[f=98，f（96）=f[f=97，依此类推，得f（99）=f（97）=…=f（1）=98．故选：B．9．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出A、B入住同一标间包含的基本事件个数，由此能求出A、B入住同一标间的概率．【解答】解：某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间，共有种情形，A、B入住同一标间有种情形，∴A、B入住同一标间的概率为．故选：B．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ，即可得出．【解答】解：如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ， ∴．故选：C ．11．若函数f （x ）=cosx+axsinx ，x ∈（﹣，）存在零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，0）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数是偶函数，a ＜0，f （x ）在上只有一个零点，即可得出结论．【解答】解：∵f （﹣x ）=cos （﹣x ）﹣axsin （﹣x ）=cosx+axsinx=f （x ）， ∴函数是偶函数，当a ≥0时，恒成立，函数无零点，当a ＜0时，，∴函数f （x ）在上单调递减，∵，∴f （x ）在上只有一个零点，由f （x ）是偶函数可知，函数恰有两个零点．故选：D ．12．如图所示，已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），⊙O ：x 2+y 2=b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点，且为定值，则椭圆C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P （x 1，y 1），由是常数，得，然后利用，转化为关于x 1 的方程，由系数相等可得a ，c 的关系式，从而求得椭圆C 的离心率．【解答】解：设F （﹣c ，0），c 2=a 2﹣b 2，设P （x 1，y 1），要使得是常数，则有，λ是常数，∵，∴，比较两边系数得b 2a 2=λ（b 2+c 2），a=λc，故c （b 2+a 2）=a （b 2+c 2），即2ca 2﹣c 3=a 3，即e 3﹣2e+1=0，即（e ﹣1）（e 2+e ﹣1）=0，又0＜e ＜1， ∴．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=2．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得实数a 的值．【解答】解：由题意可得二项展开式的第三项系数为，∴10a 3=80，解得a=2，故答案为：2．14．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，可得f （2x ）的定义域为满足﹣2≤2x ≤2的x 的取值集合，再与2x+1＞0的解集取交集即可得到函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．∴函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．故答案为：．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【解答】解：当n=1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n ﹣1=a n ﹣1a n ，两式相减得2a n =a n （a n+1﹣a n ﹣1）， ∵a n ≠0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴{a 2k ﹣1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ， ∴S n =．故答案为：．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设棱锥底面边长为a，高为h，作过棱锥的高和斜高的截面，根据三角形相似得出a，h的关系，代入棱锥的体积公式，利用导数求出体积的最小值．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的底面边长AB=a，高为PO=h．设内切球球心为M，与平面PAC的切点为N，D为AC的中点，则MN⊥PD．DO==．MN=1，PM=h﹣1，∴PN===．∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴，即，∴a=．∴，，令V'=0得h=4，故当h=4时，．故答案为8．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．【解答】解：（1）由题意得，，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，由b2=ac知，b不是最大边，∴．（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，由正弦定理，得b=4sinB，∴△ABC的面积，∵，∴，∴．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x1，y1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x（元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y（件） b 84 83 80 75 68已知变量x，y具有线性负相关关系，且xi =39， yi=480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）xi =39， yi=480，x的和为39，y的和为480，解得a和b的值，并求得，，由x，y具有线性负相关关系，甲同学的不对，将，，代入验证，乙同学的正确；（2）分别求出有回归方程求得y值，与实际的y相比较，判断是否为“理想数据“，并求得ξ的取值，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，y=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，i∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）X 4 5 6 7 8 9y 90 84 83 80 75 68y 92 88 84 80 76 72“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：X 0 1 2 3P =数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接PO，根据三线合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；（2）以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出和平面PCD的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接PO，∵ABCD为菱形，∴O为AC，BD的中点．∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，AC⊥BD，不妨设PB=PD=AB=2，则BO=，∴PO=1．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∴P（0，0，1），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）．∴=（，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（﹣，0，﹣1）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即．令x=1得=（1，﹣，﹣）．∴cos＜＞===．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出A ，B 坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ；（2）计算k OA •k OB =﹣4，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M ﹣y N |，得出△OMN 面积S 关于t 的函数，解出函数的最值．【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为F （，0），∴，由，得，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为﹣1， ∴抛物线过A 点的切线方程为y ﹣p=x ﹣，令y=0得x=﹣． ∴，解得p=2．∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．（2）k OA =2，k OB =﹣2，∴k OA •k OB =﹣4，设，则，∴y 1y 2=﹣4．令直线MN 的方程为x=ty+n ，联立方程组消去x 得：y 2﹣4ty ﹣4n=0，则y 1y 2=﹣4n ，y 1+y 2=4t ，∵y 1y 2=﹣4，∴n=1．即直线MN 过点（1，0）． ∴．∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2，+∞）．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ），g （x ）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，即可判断存在a=e ﹣1及l ：y=ex ；（2）求出F （x ）的解析式和导数，令，求出导数，判断单调性，再对a 讨论，分a ≤2，a ＞2，判断h （x ）的单调性，进而得到F （x ）的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（1）g （x ）的导数为g'（x ）=e x ，设曲线y=g （x ）在点处切线过原点，则切线方程为，由点在切线上，可得，解得x 1=1，即有切线方程为y=ex ，设直线y=ex 与曲线y=f （x ）切于点（x 2，y 2），由f （x ）的导数为，可得，即有，又，则，可得，解得x 2=1，a=e ﹣1．故存在a=e ﹣1及l ：y=ex ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切．（2），，令，则，易知h'（x ）在（0，1]上单调递减，从而h'（x ）≥h'（1）=2﹣a ．①当2﹣a ≥0时，即a ≤2时，h'（x ）≥0，h （x ）在区间（0，1]上单调递增，由h （1）=0，可得h （x ）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x ）≤0在（0，1]上恒成立．即F （x ）在区间（0，1]上单调递减，则a ≤2满足题意；②当2﹣a ＜0时，即a ＞2时，由h'（1）=2﹣a ＜0，当x ＞0且x→0时，h'（x ）→+∞，故函数h'（x ）存在唯一零点x 0∈（0，1]，且h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，又h （1）=0，可得F （x ）在（x 0，1）上单调递增．注意到h （e ﹣a ）＜0，e ﹣a ∈（0，x 0），即有F （x ）在（0，e ﹣a ）上单调递减，这与F （x ）在区间（0，1]上是单调函数矛盾，则a ＞2不合题意．综合①②得，a 的取值范围是（﹣∞，2]．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到线段BF的长【解答】（1）证明：连接DE交BC于点G，由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DE⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（2）解：设DE与BC相交于点G，由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线．∵，∴．连接BO，∵圆O的半径为1，∴∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，∴CF⊥BF．，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈（0，）），以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C 的直角坐标方程．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=（6cosα）2﹣20=0，解得．∴点M的直角坐标为．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．线段AB的中点对应的参数为．则，解得．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，∴﹣＜x＜；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|﹣＜x＜}；（2）a=0时，不等式成立，a≠0时，|f（x）|≥||1﹣|﹣|1+||∵||1﹣|﹣|1+||＜2，∴|f（x）|≥2，x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}．。

江西省九江市2020届高三第三次高考模拟统一考试理科数学试题含答案【精校】.doc

九江市2020年第三次高考模拟统一考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数2iz (i 12i-=-为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 设全集U R =，{}{}2|60,|1A x x x B x x =--≥=>，则()U C A B = （）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|2x x >-C ．{}|13x x <<D ．{}|13x x <≤ 3. 已知数列{}n a 为等比数列，若2102,8a a ==，则6a =（）A ．4±B ．4- C.4 D ．5 4.已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a << C.c a b << D ．c b a <<5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为，从C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若AFO ∆的面积为 1，则双曲线C 的方程为（）A ．22128x y -= B ．2214x y -= C. 221416x y -= D ．2214y x -= 6. 若从集合{}1,2,3,4,5中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为（） A ．15 B ．25 C.12 D ．357. 执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为1-，那么判断框内应填入的条件是（）A ． 8k ≤B ．9k ≤ C. 10k ≤ D ．11k ≤8. 已知实数 ,x y 满足201010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，若z mx y =+的最小值为 3，则实数m 的值是（）A ．2-B ． 3 C. 8 D ．29. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()8822111i i i i i a a a++==-=∑∑（）A ．0B ．1- C. 1 D ．2 10. 如图所示，在正方体1111ABCD A BCD -中，点G 在棱1AA 上，1,,3AG E F =分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,E F G 三点的截面α将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面α截得的上、下两部分面积之比为（）A ．16 B ．14 C. 13 D ．1211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（） A．2C. D ．412. 若对任意()0,x π∈，不等式sin x x e e a x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]2,2- B ．(],e -∞ C.(],2-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在()()6312x x -+的展开式中，5x 的系数是．14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为．15. 已知向量()()1,3,2,6a b =-=-，若向量 c 与 a 的夹角为60，且()10c a b ⋅+=-，则c = ．16. 已知数列{}n a 的前 n 项和为 n S ，且满足111,2n n n a a a S +=⋅=，设3nnn a a b =，若存在正整数(),p q p q <，使得1,,p q b b b 成等差数列，则p q += ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆ 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222sin sin sin 2sin sin sin B C A B C B C +=++.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 某农科所发现，一种作物的年收获量 y （单位：kg ）与它“相近”作物的株数 x 具有线性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m )，并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（1）求该作物的年收获量 y 关于它“相近”作物的株数x 的线性回归方程；（2）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为 1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．(注年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据)附：对于一组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y ，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为, 1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角 A 等于60，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，90EDA ∠=，且222ED AD AF AB ====.（1）证明：平面ABE ⊥平面EBD ；（2）点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD. 20. 如图所示，已知椭圆()2222:1x y C a b c a b+=>>的焦距为 2，直线y x =被椭圆 C 截得的弦长.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设点()00,M x y 是椭圆 C 上的动点，过原点O 引两条射线12,l l 与圆()()22002:3M x x y y -+-=分别相切，且12,l l 的斜率12,k k 存在. ①试问 12k k ⋅ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；②若射线12,l l 与椭圆 C 分别交于点,A B ，求OA OB ⋅的最大值.21. 已知函数()()2ln 1(f x ax x x a =--∈R) 恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数 a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点 P 的极坐标是2π⎫⎪⎭，曲线 C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1- 的直线 l 经过点P . （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PBPB PA+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21(f x x x a a =++-∈R). （1）若 1=a ，求不等式 ()5f x ≥的解集；（2）若函数()f x 的最小值为3，求实数 a 的值.九江市2017年第三次高考模拟统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1-5 ABCCD 6-10BBDAC 11-12：BC二、填空题13. 228- 14.43π15. 16.5 三、解答题17. 解：(1) 由正弦定理得：()2222222sin ,,2sin b c a bc B C A B C b c a bc A π+=++++=∴+=+，222sin 2b c a A bc+-∴=，由余弦定理得cos sin ,tan 1A A A ==，又()0,,4A A ππ∈∴=.(2)由（1）得22222,2,4b c a a b c +-==∴+=+，222,42b c bc bc+≥∴≥（当且仅当b c =时取得等号），即4bc ≤=+1sin 1.2ABC S bc A ABC ∆∴==≤∴∆1.18. 解：(1)()()111235674,6055534645415066x y =+++++==+++++=,()()()()()()()()61310251314253984iii x x y y =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑,()()()()62222222132112328ii x x =-=-+-+-+++=∑,1122211()()84328()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---∴===-=---∑∑∑∑,503462a y bx =-=+⨯=,故该作物的年收获量 y 关于它相邻作物的株数 x 的线性回归方程为362y x =-+. (2) 由（1）得，当2,3,4x =，与之相对应56,53,50y =，()()()()()()418141562,533,504164162164P y P X P y P X P y P X ===============，所以它的年收获量 y 的分布列数学期望为()56535053424Ey kg =⨯+⨯+⨯= . 19. 解：(1) 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面,,ABCD AD ED AD ED ≠=⊥⊂平面ADEF ，ED ∴⊥平面ABCD，AB ≠⊂平面ABCD ，AB ED ∴⊥，又2,1,60,AD ABA AB BD ===∴⊥.又,,BDED D BD ED ≠=⊂平面,EBD AB ∴⊥平面EBD ，又AB ≠⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面EBD .(2)以B 点为原点建立如图空间直角坐标系 B xyz -，则()()()()11,0,0,,,,1,0,12A C D E F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面ECD 的法向量为()1111,,n x y z =，则()11013,,,0,0,0,22n CD CD DE n DE ⎧⎛⎫⋅=⎪== ⎪⎨⎝⎭⋅=⎪⎩，即111102220x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，令11y =-，得()13,1,0n =-，设[],0,1EM EF λλ=∈，则()()(),2,,33,2,1,0,0M BM BA λλλλλ-+∴=-+-+=，设平面MAB 的法向量为()2222,,nx y z =，则2200n BM n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(()222220x yz x λλ⎧+++-+=⎪⎨=⎪⎩，22y λ=-，得(20,2n λ=-，1211cos 2n n n n θ⋅∴====⋅，解得12λ=，所以M 为线段EF 的中点. 20. 解：(1) 依题意得1c =,设直线 y x =与椭圆 C 相交于,P Q 两点，则3OP =,不妨设 2222,13333P a b⎛∴+= ⎝⎭,又221a b -=，解得1a b ==，所以椭圆 C 的方程为2212x y +=. (2) ①设射线l 方程为()()1122,,,,y kx A x y B x y ==()222000326320xk x y k y --+-=，2022200012220031232121,232322x x y y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=-∴===---. ②联立22122x y y k x ⎧+=⎨=⎩，消去 y 得22211221222,1212k x OA k k +==++，同理222222212k OB k +=+， ()()()()()()2222222221212121222222221212121214522224121222421k k k k k k k k OA OB k k k k k k k k +++++++∴⋅=⋅=⋅=+++++++ 212119214222k k =+≤++，当且仅当2112k =时，取等号max 32OA OB ∴⋅=.21. 解：(1)()'ln 2f x a x x ∴=- ,依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根,2ln 0,x a a x ∴≠=,令()()2ln 1ln ,'x xg x g x x x-==.当()0,x e ∈时，()'0g x > ；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <， ()g x ∴在 ()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，且，()10g =，当x e >时，()()210,0g x g e a e>∴<<=，解得2a e >，故实数 a 的取值范围是()2,e +∞. (2)由（1）得1122l n 2,l n 2a x x a x x ==, 两式相减得()()12121212ln ln 2,2ln ln x x a x x x x a x x --=-=⋅-,()()()1212122ln ln 1121x x x x x x a aλλλλλλ++>+⇔>+⇔+>+()()()()112212121212112122ln 1ln ln 11ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλ⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭⇔+>⇔>+⇔>+---, 120x x <<，令()()12ln 0,1,11x t t t x t λλ+=∈∴>+-，即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-，则需满足()0h t <在()0,1上恒成立，()'ln h t t tλλ=+-，令()ln I t t t λλ=+-，则()()()221'0,1t I t t t t tλλ-=-=∈. ①当1λ≥时，()()'0,'I t h t <∴上单调递减, ()()()''10,h t h h t ∴>=∴在()0,1上单调递增 ,()()10h t h ∴<=, 符合题意； ②当0λ≤时，()()'0,'I t h t >∴上单调递增,()()()''10,h t h h t ∴<=∴在()0,1上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意；③当01λ<<时，()()'01,'I t t h t λ>⇔<<∴在 (),1λ上单调递增， ()()()''10,h t h h t ∴<=∴在(),1λ上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意，综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞. 22. 解：(1) 由曲线 C 的极坐标方程4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得2cos ρθθ=+，即22cos sin ρρθθ=+，因此曲线 C的直角坐标方程为2220x y x +--=，即()(2214x y -+=，点P的直角坐标为(，直线 l 的倾斜角为135，所以直线 l 的参数方程为2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）. (2)将2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入()(2214x y -+=，得230t +-=，设,A B 对应参数分别为12t t，有12123t t t t +==-，根据直线参数方程 t 的几何意义有，()222221212*********t t t t t t PA PB PA PBPB PA PA PB t t t t +-+++====⋅. 23. 解：（1）()31,12113,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩,当1x ≥时，315x +≥，即44,33x x ≥∴≥；当11x -<<时，35x +≥，即2x ≥，此时x 无实数解；当1x ≤-时，315x --≥，即2,2x x ≤-∴≤-，综上所述，不等式的解集为{|2x x ≤-和43x ⎫≥⎬⎭. （2）当1a =-时，()31f x x =+最小值为 0，不符合题意，当1a >-时，()32,2,132,1x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩，()()min 113f x f a ∴=-=+=，此时2a =；当1a <-时，()32,12,132,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩， ()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-，综上所示，2a =或4a =-.。

江西省九江市高考数学三模试卷(理科)解析版

）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知向量，的夹角为，且 =（1，0），| |= ，则|2 |=______．
14. 已知不等式组
表示的平面区域为 D，若对任意的（x，y）∈D，不等式
|x-2y|≤t 恒成立，则实数 t 的取值范围是______． 15. 已知圆锥的顶点为 P，母线 PA 与底面所成的角为 30°，底面圆心 O 到 PA 的距离
19. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，A，B 为椭圆 C 上位于 x 轴同侧的两点，△AF1F2 的周长为 6，∠F1AF2，的最大值为．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若∠AF1F2+∠BF2F1=π，求四边形 AF1F2B 面积的取值范围．
20. 2019 年某饮料公司计划从 A，B 两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对 A， B 两款饮料进行评分，现对接受调查的 100 万名受访者的评分进行整理得到如下统计图．从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0，60）的受访者中有 20% 会购买，评分在[60，80）的受访者中有 60%会购买，评分在[80，1000]的受访者中有 90%会购买．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 bn=
，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
第 2 页，共 15 页
18. 如图，在三梭锥 P-ABC 中，PA⊥BC，AB=AP=1，BC=2 ，PC= ，∠ABC=45° （Ⅰ）求证：平面 ABC⊥平面 PAC；（Ⅱ）E 为棱 AC 上一点，试确定点 E 的位置，使得直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值为．

2022年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）1. 已知i为虚数单位，且，则( )A. 1B.C. 2D.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D. 03.已知命题p：若，则，命题q：，，则( )A. 为真命题B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题4. 已知，则( )A. B. C. D.5. 已知函数是定义在的奇函数，，且当时，，则( )A. B. C. D. 06. 已知，，，其中e为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.7. 函数的部分图像如图所示，对任意实数x，都有，下列说法中正确的是( )①的最小正周期为；②的最小值为；③的图像关于对称；④在上单调递增．A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④8. 小明同学本学期5次数学测验中，最高分为90分，最低分为70分，中位数为85分，则这5次数学测验的平均分不可能是( )A. 80分B. 81分C. 84分D. 85分9. 已知正三棱柱的所有棱长均相等，直线与所成的角为，则( )A. B. C. D.10. 双曲线的左、右焦点分别为、，P为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为( )A. B. m C. D. 111. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r，若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则( )A. B. C. D.12. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则( )A. B. C. D.13. 已知向量，，，则实数t的值为______.14. 中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角______.15. 已知直线与曲线相切，则______.16. 日常生活中，许多现象都服从正态分布．若，记，，小明同学一般情况下都是骑自行车上学，路上花费的时间单位：分钟服从正态分布已知小明骑车上学迟到的概率为某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间单位：分钟服从正态分布，要使步行上学迟到的概率不大于，则小明应该至少比平时出门的时间早______分钟．17.已知数列的前n项和为，且满足，求；求数列的前n项和．18. 如图1，矩形PABC中，，，D为PC上一点且现将沿着AD折起，使得，得到的图形如图证明：平面PBD：求二面角的余弦值．19. 已知抛物线C：过点，且P到抛物线C的焦点的距离为求抛物线C的方程；设A，B为抛物线C上两点，且，求点P到直线AB距离的最大值．20. 电子竞技是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼．电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神．第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”，以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比賽：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛．根据比赛结果每场比赛只有胜、败两种结果，两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队该战队获得殿军：胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队该战队获得季军；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军．现有包括A战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”．已知A战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响．估计A战队获得冠军的概率；某公司是A战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元，其他情况不奖励．请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由．21. 已知函数当时，试比较与0的大小；若恒成立，求a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为求曲线，的直角坐标方程；若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求a的值．23. 设函数若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围；在平面直角坐标系xOy中，所围成的区域面积为S，若正数b，c，d满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，故选：根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，故选：求解对数不等式化简A，求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题p：当，时，满足，但，故命题P为假命题，命题q：当时，成立，故命题q为真命题，故为假命题，为真命题，为真命题，为假命题，故选：利用不等式的性质得到P为假命题，利用三角函数的值得到q为真命题，再利用真值表的应用判断即可．本题考查不等式的性质，三角函数的值，真值表的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，故选：由题意，利用两角和的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：依题意，得，故，解得，，故选：根据函数是定义在的奇函数，得到，进而求a的值，代入求即可．本题考查函数的奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：，，，，，故选：利用对数函数的性质求解．本题考查对数函数的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由图像可知，，，则，，所以，故①错误；又，则，，所以的最小值为，故②正确；则点为函数图像的对称中心，③正确；由，且，得，所以，当时，，显然在上不单调，故④错误．故选：由函数图像可求A，T，利用周期公式可求，即可判断①；由题意可得，，可得的最小值为，即可判断②；进而可得点为函数图像的对称中心，即可判断③；由，且，得，由题意可求，利用正弦函数的单调性即可判断④．本题考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了命题的真假判断与应用，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意知：小明在5次数学测验中有3次的成绩为：90，85，70；设另外2次成绩为x，，则，，次数学测验的平均分为，则这5次数学测验的平均分不可能是85分．故选：设除最高分、最低分和中位数的另外2次成绩为x，，由此可得的范围；根据平均数的计算方法可求得平均数的取值范围，由此可得选项．本题考查平均数，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：取AC的中点P，连接，交于点O，连接OP，则O为的中点，所以，所以或其补角即为所求，设正三棱柱的所有棱长均为2，则，，，在中，由余弦定理知，，所以故选：取AC的中点P，连接，交于点O，连接OP，则或其补角即为所求，再在中，利用余弦定理，得解．本题考查异面直线所成的角，利用平移思想，找出异面直线所成的角是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由双曲线方程得，，恰为圆的直径，所以得，由双曲线的定义知，，故选：由已知可得，计算可求的面积．本题考查双曲线的几何性质，以及求三角形的面积，属中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，如图：若小球的最大半径r，有，变形可得，若正方体的最大棱长为a，有，变形可得，则，故选：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，小球的最大半径r，正方体的最大棱长为a，分析r与R 和a与R的关系，计算可得答案．本题考查正方体与球的切接问题，注意分析正方体的几何结构，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，由正弦定理得，解得，则，故选：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，利用正弦定理可求得a，进而求得离心率．本题考查了椭圆离心率的计算，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：向量，，，，，，则实数，故答案为：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】【解析】解：中，，由正弦定理得，所以，所以，因为，即，由A为三角形内角得故答案为：由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由，得，设切点为，则，消去a得，，函数在上单调递增，且，，此时故答案为：求出函数的导函数，设出切点坐标，利用切点处的导数值与斜率的关系及切点处的函数值相等列式求解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】20【解析】解：由小明骑车上学迟到的概率为知，小明骑车花费分钟才会迟到，若小明步行上学，要使迟到的概率不大于，则步行花费时间应小于分钟，故小明应该至少比平时出门的时间早分钟．故答案为：结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．17.【答案】解：当时，，，，当时，由，得，两式相减得，即，数列，均为公比为4的等比数列，，；，数列的前n项和：【解析】当时，由，得，两式相减整理得数列，均为公比为4的等比数列，求解即可；，利用裂项相消求和求解即可．本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．18.【答案】证明：四边形PABC为矩形，，且，，即；，即；又，，，又，，PD，平面PAD，平面PAD，平面PAD，；，，PD，平面PBD，平面解：过P作，交AD于E，，，，，由知平面PAD，平面ABD，平面平面PAD，又，平面PAD，平面ABD，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，由平面ABD的一个法向量为，设平面PAB的一个法向量为，则，令，，，，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为【解析】由长度关系可求得，知，结合可证得平面PAD，由线面垂直性质可得；结合，由线面垂直的判定可得结论；过P作，交AD于E，可证平面ABD，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，以及二面角的余弦值的求法，属中档题．19.【答案】解：根据抛物线的性质可知，又点P在抛物线上，，即，，解得，抛物线C的方程为设，，，，即，设直线AB的方程为，代入，可得，，，，即，直线AB的方程为，直线AB过定点，P点到直线AB距离的最大值为【解析】根据抛物线的性质以及点P在抛物线上列出方程组，求解t，p的值，从而得到抛物线C的方程．设出，，以及直线方程，利用，根据韦达定理求出m，n之间的关系可知直线AB过定点，所以P点到直线AB距离的最大值为本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了直线过定点问题，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，A战队获得冠军有以下3种可能情况：①“胜胜胜”概率为，②“败胜胜胜”概率为，③“胜败胜胜”概率为，则A战队获得冠军的概率为战队获得殿军的情况是败败，故A战队获得殿军的概率为则获得亚军或季军的概率为设方案1中A战队获奖金额为，则其分布列为：24150P若选择方案1，则A战队获奖金额的期望为万元，设方案2中A战队获奖金额为，则其分布列为：40300P若选择方案2则A战队获奖金额的期望为万元，由于数学期望相等，故选择方案1、方案2均可．【解析】本题主要考查分布列及其计算，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．由题意首先确定所有可能的事件的概率，然后计算A战队获得冠军的概率即可；分别求得相应方案的均值，然后利用均值的大小进行比较给出结论即可．21.【答案】解：当时，，，故在R上单调递减，又因为，故当时，，当时，，当时，；，，下证当时，，，令要证，只需证，①当时，，由知，，②当时，，易知在上单调递减，在上单调递增，，，使得，当，时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减而，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减．而，当时，，③当时，，在上单调递增，，综上所述，a的取值范围是【解析】当时，对函数求导，研究其单调性从而进行判断即可；由题意，构造函数再证明，通过讨论x的取值，求得a的范围即可．本题主要考查利用导函数研究函数单调性及最值，考查学生的运算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程，根据，转换为直角坐标方程为；由于的图象为花瓣一样；如图所示：当圆心到直线的距离时，正好有三个点；整理得或负值舍去，当圆心为到直线的距离时，正好有三点；整理得或正值舍去，故【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用图象，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：，依题意，得，即或，解得或，的取值范围为或；解：由，得，如图，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中心为，四个顶点分别为，，，，其边长为，所以，所以，而b，c，d都为正数，所以当且仅当，时取等号，故的最小值为【解析】根据绝对值不等式的性质可知，可知，解次绝对值不等式，即可求出结果；根据题意作出围成的区域，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中边长为，可知，再将，利用基本不等式即可求出结果．本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的最值问题，属于中档题．。

江西省九江市2023届高三下学期三模数学(理)试卷及答案

九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2M x x =>，{|N x y ==，则()M N = R ð（）A.1{|0}2x x ≤≤ B.1{|0}2x x << C.1{|}2x x ≤ D.{|0}x x ≤2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（）A.1C.2D.3.抛物线212y x =的焦点坐标为（）A.1(,0)8 B.1(0,)8C.1(,0)2D.1(0,24.分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15︒.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（）A.814B.8168C.4D.35.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲乙两个小组各自随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表（频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则下列结论正确的是()甲158163361711233445688818378199频率/组距每穗粒数1502001901801701600.040.030.020.01乙6.已知0.22a =，0.5log 0.2b =，0.2log 0.4c =，则（）A.b a c >>B.b c a>> C.a b c>> D.a c b>>7.已知0π<<<αβ，且1cos 3α=，22cos()3αβ-=，则cos β=（）A.89B.79 C.429D.0A.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数B.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数C.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数D.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数8.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（）9.已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的导函数()y f x '=的图像如图所示，记()()()g x f x f x '=⋅，则下列说法正确的是（A.()g x 的最小正周期为2πB.6ϕ5π=-C.(4g π= D.()g x 在(0,6π10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +是奇函数，(1)f x-的图像关于直线1x =对称，则()f x （）A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，上单调递增C．在[20222024]，上单调递减D．在[20232025]，上单调递增DA C 图2图1榫卯B 11.已知双曲线22221x y a b-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1AB F B ⊥，13sin 5F AB ∠=，则该双曲线的离心率为（C ）C.2D.212.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD △内一点(包括边界)，且线段1PA 的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段1PA 长度的最小值是（D ）C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.26(x 展开式中，2x 的系数为.BCDP1C 1B 1A 1D A 14.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 上一点，2BD DC =，则AD AB ⋅=.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12nn n a a ++=，则9S =.16.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x >，则a 的取值范围为,).BA CD三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）如图，圆内接四边形ABCD 中，已知2AB =，BC =2CDB ADB ∠=∠.(1)求ABC ∠；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.D ABC。

2020年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)

2020年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的虚部为A. B. C. D.2.若集合，则A. B.C. D.3.若数列为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.抛物线上一点到其准线的距离为A. B. C. D.5.若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为A. B. C. D.6.如图是九江市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论错误的是A. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B. 月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在10月C. 月的月温差相对于月，波动性更大D. 每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”昵称：，2020年3月14日是第一个“国际数学日”圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与非常近似，则、中分别填入的可以是A. ，B. ，C. ，D. ，8.在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为A. B. C. D.9.函数的图象大致是A. B.C. D.10.设双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.11.如图所示，三棱锥S一ABC中，与都是边长为1的正三角形，二面角的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为A. B. C. D.12.已知函数，若不等式恰有两个整数解，则m的个数为A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若与共线，则实数x的值为______．14.若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为______．15.设等差数列满足：，公差，其前n项和为若数列也是等差数列，则的最小值为______．16.在棱长为1的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，过A，M ，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，三内角A，B，C满足．Ⅰ判断的形状；Ⅱ若点D在线段AC上，且，，求tan A的值．18.已知正；边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，，如图1所示．将沿MN折起到的位置，使线段PC长为，连接PB，如图2所示．Ⅰ求证：平面平面BCNM；Ⅱ若点D在线段BC上，且，求二面角的余弦值．19.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率为，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，，的面积为6．Ⅰ求椭圆E的标准方程；Ⅱ设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点N在直线OA的同侧，若，求直线l的方程20.已知函数，存在极小值点，．Ⅰ求a的取值范围；Ⅱ设m，，且，求证：．21.为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法：抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为80元，每个个体收取检测费为100元．核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过10个时，把所有个体合并在一起进行检测．当个体超过10个时，每10个个体为一组进行检测．若该组检测结果为阴性正常，则只需检测一次；若该组检测结果为阳性不正常，则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测次为该组个体数，，每一次检测成本为160元．假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率均为．Ⅰ现有100个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率；Ⅱ因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定的补贴，故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是次，每组所有个体共收费700元少于10个个体的组收费金额不变已知某企业现有员工107人，准备进行全员检测，拟准备9000元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检测安排方案；Ⅲ设，现有且个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试问检测机构应采用哪种检测方法？22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ写出曲线C的普通方程和极坐标方程；Ⅱ，N为曲线上两点，若，求的最小值．23.定义区间的长度为，已知不等式的解集区间长度为1．Ⅰ求m的值；Ⅱ若a，，，，求的最小值及此时a，b的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，复数的虚部为．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，，．故选：C．求出集合A和B，由此能求出．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：数列为等比数列，“，是方程的两根”，，“”；反之，满足“”的一元二次方程有无数个，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故选：A．“，是方程的两根”“”；反之，满足“”的一元二次方程有无数个．本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：抛物线上一点，可得：，解得；抛物线，即，准线方程为：．抛物线上一点到其准线的距离为：．故选：B．求出a，然后利用抛物线的定义转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由直线与直线互相垂直，所以，即；又a、b为正实数，所以，即，当且仅当，时取“”；所以ab的最大值为．故选：B．由两直线垂直求出，再利用基本不等式求出ab的最大值．本题主要考查了两条直线垂直的定义与性质应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是基础题．6.答案：D解析：解：每月最低气温与最高气温的线性相关系数，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，由所给的折线图可以看出月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在10月，月的月温差相对于月，波动性更大，每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第六个月开始减少，所以ABC正确，D 错误；故选：D．由所给的折线图，可以进行分析得到ABC正确，D错误．本题主要考查变量间的相关关系，折线图的分析，属于基础题．7.答案：D解析：解：依题意，输出的．由题意可知循环变量i的初值为1，终值为2010，步长值为1，循环共执行2010次，可得中填入的可以是，又S的值为正奇数倒数正负交错相加，可得中填入的可以是，故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：A解析：解：在21组随机数中，代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是：1234，1224，3124，1224，4312，2234，共6组，恰好在第4次停止摸球的概率．故选：A．在21组随机数中，利用列举法求出代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数共6组，由此能估计恰好在第4次停止摸球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：解：函数为偶函数，当时，由常见不等式可知，，函数在上单调递增，又由指数函数增长性可知，选项B符合题意．故选：B．易知函数为偶函数，且当时，单调递增，结合指数函数的图象及性质即可得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．判断，则，说明三角形是等腰直角三角形，设，利用双曲线的定义求出，在中，结合勾股定理推出，即可求解双曲线C的离心率．【解答】解：以PQ为直径的圆经过点，则，又，可知，则，故三角形是等腰直角三角形，设，则，由双曲线的定义可知：，，可得，则，即，则，在中，，，由勾股定理可知，则双曲线C的离心率为：．故选：C．11.答案：A解析：解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得，，是二面角的平面角，，由题意得平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径，由题意知，，，，连结OD，在中，，，，球O的表面积为．故选：A．取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得，，是二面角的平面角，，由题意得平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径，由此能求出球O的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：的图象如图：由题意可得，当时，不等式，可得；所以，此时或；时，函数的零点为．当时，不等式，可得，时，，当，，，，，时，不等式恰有两个整数解，整数解为：，和，综上，，，，，，0，共有7个值．故选：B．画出函数的图象，利用x的范围，讨论m值，得到选项．本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：解析：解：，，，，解得．故答案为：．利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出．本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理，属于基础题．14.答案：54解析：解：令，有，解得，所以展开式通项为：，令得，．故常数项为：．故答案为：54．先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项．本题考查二项式展开式的通项，以及利用通项研究系数的问题．属于基础题．15.答案：3解析：解：由题意可得：，即，公差，解得．．．．数列是等差数列，则，当且仅当时取等号，的最小值为3．故答案为：3．由题意可得：，即，公差，解得可得代入变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的求和公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：直线MN分别与直线，交于E，F两点，连接AE，AF，分别与棱，交于G，H两点，连接GN，MH，得到截面五边形AGNMH，向平面作投影，得到五边形，由点M，N分别是棱，的中点，可得，由∽，可得，同理，则，，则，故答案为：．由图象可得投影为五边形，利用三角形相似性质得到，，进而求得，，则可得本题考查正方体截面投影面积的求法，考查数形结合思想，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ，，，，，，即，即，，，可得，可得的形状为等腰三角形；Ⅱ设，，，在中，由正弦定理可得，即，在中，由正弦定理可得，即，即，，，，，，，．解析：Ⅰ由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可得，即可判断的形状为等腰三角形；Ⅱ设，，，在，中，由正弦定理可得，利用三角函数恒等变换的应用可求，结合，可求tan A的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：依题意，在中，，，，由余弦定理及勾股得，，即，在图中，，，，，，，平面BCNM，平面PMN，平面平面BCNM．Ⅱ解：以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，2，，0，，，2，，，设平面MPD的一个法向量y，，则，取，得1，，设平面PDC的法向量b，，则，取，得，设二面角的平面角为，由图知是钝角，．二面角的余弦值为．解析：Ⅰ推导出，即，，从而平面BCNM，由此能证明平面平面BCNM．Ⅱ以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ因为，可得，，由，可得为BC的中点，所以，即，所以，即，，，所以椭圆的方程为；Ⅱ由Ⅰ可得，右焦点为，因为，所以，所以，又，直线AM，AN的斜率互为相反数，设直线AM：，联立椭圆方程，消去y，可得，设，，则，所以，将k换为，同理可得，，，，所以直线l的方程为，即．解析：Ⅰ运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，结合三角形的面积公式和线段的中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；Ⅱ求得A的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线AM，AN的斜率互为相反数，设直线AM：，联立椭圆方程，运用韦达定理，求得，同理可得，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到k，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．20.答案：解：，，当时，恒成立，在上单调递减，不合题意；当时，由可得，可得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故，由，即，可得，故a的范围，，不妨设，因为，所以，，又，故，令，，则，故在上单调递增，，即，即，故．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，然后结合单调性及极值的关系可求a，先代入整理可得，结合结果特点构造函数，结合导数进行证明．本题主要考查了函数与单调性，极值的关系的应用及利用导数证明不等式，还考查了学生的逻辑推理与运算的能力．21.答案：解：Ⅰ现有100个个体采取抗体检测法，其中恰有一个检测出为阳性的概率为：．Ⅱ设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，则由条件知：，x，，总检测费用为．画出可行域如图：由，解得，则在可行域内临近A点的整点有，，此时，，即安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．Ⅲ设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX，采用核酸检测，检测机构成本期望为EY，由已知得，设采用核酸检测法检测次数为，则的取值只有1和，且，，，，设，则，即，，，，即，设，，则，由，得，，得，在上单调递减，在上单调递增，又，，，当，时，，当时，采用抗体检测法，当，时，采用核酸检测法．解析：Ⅰ利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出其中恰有一个检测出为阳性的概率．Ⅱ设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，则由条件知：，x，，总检测费用为利用线性规划能求出安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．Ⅲ设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX，采用核酸检测，检测机构成本期望为EY，由已知得，求出，设，推导出，从而，设，，则，由此能求出当时，采用抗体检测法，当，时，采用核酸检测法．本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、线性规划、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，整理得．根据，转换为极坐标方程为．Ⅱ，N为曲线上两点，设对应的极径为，，所以，．所以，由于，解得，所以，即，故，当且仅当时，等号成立．故，即．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：Ⅰ由，得，，，，由原不等式的解集区间长度为1得原不等式的解集为，则，即．Ⅱ由Ⅰ知，又，，，，，，即，，即．当且仅当，即时等号成立，取得最小值1．解析：Ⅰ由已知得，，再脱绝对值解不等式，利用区间长度为1解m．Ⅱ把化简变形利用和基本不等式可求解．本题考查了基本不等式的应用及多项式的化简，属于中档题．。

2020届江西省九江市高三第三次模拟考试数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届江西省九江市高三第三次模拟考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数12i z i -+=+的虚部为（） A ．35i -B ．35-C ．35iD ．35答案：D直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解： ∵z ()()()()1211322255i i i i i i i -+--+===-+++-， ∴复数z 12i i -+=+的虚部为35．故选：D点评：本题考查的是复数的运算及其概念，较简单. 2．若集合()22{|12}{|280}A x log x B x x x =-=--≤＜，，则A ∪B ＝（） A ．{x |x ＜5}B ．{x |﹣2≤x ≤4}C ．{x |﹣2≤x ＜5}D ．{x |1＜x ≤4}答案：C 根据题意，求出集合A 和集合B ，由此能求出A B U .解：∵集合()22{|12}{|280}A x log x B x x x =-=--≤＜，， ∴A ＝{x |1＜x ＜5}，B ＝{x |﹣2≤x ≤4}，∴A ∪B ＝{x |﹣2≤x ＜5}．故选：C ．点评：本题考查对数不等式，一元二次不等式的解法，集合的并集的运算，属于基础题.3．若数列{a n }为等比数列，则“a 2，a 4是方程x 2﹣3x +1＝0的两根”是“a 3＝±1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A由a 2，a 4是方程x 2﹣3x +1＝0的两根，得到2243a a a ==1，求得a 3＝±1；反之，满足a 3＝±1的一元二次方程有无数个，即可判定．解：由题意，数列{a n }为等比数列，因为“a 2，a 4是方程x 2﹣3x +1＝0的两根”，所以2243a a a ==1，可得“a 3＝±1”；反之，满足“a 3＝±1”的一元二次方程有无数个，所以“a 2，a 4是方程x 2﹣3x +1＝0的两根”是“a 3＝±1”的充分不必要条件．故选：A ．点评：本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答熟练应用一元二次方程根与系数的关系，以及等比数列的中项公式是解答的关键，着重考查推理与论证能力.4．抛物线y ＝ax 2上一点1148P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，到其准线的距离为（） A ．34 B ．14 C ．18 D ．38答案：B根据题设条件，代入抛物线的方程，求得a 的值，得出抛物线方程和准线方程，即可求解．解：抛物线y ＝ax 2上一点1148P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，可得11816a =⨯，解得2a =；即抛物线22y x =，即212x y =，所以抛物线的准线方程为y 18=-．所以抛物线22y x =上一点1148P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，到其准线的距离为：111()884--=．故选：B ．点评：本题考查了抛物线方程的求解，以及抛物线的几何性质的应用，其中解答中根据题设条件求得抛物线的方程，熟练应用抛物线的几何性质是解答的关键，属于基础题.5．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（）A ．32B ．98C ．94D ．324答案：B由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值．解：解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直所以22(23)0b a +-=即23a b +=又a 、b 为正实数，所以222a b ab +≥即229224a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；所以ab 的最大值为98．故选：B点评：本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.6．如图是九江市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r ＝0.83，则下列结论错误的是（）A ．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B ．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月C ．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更大D ．每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加答案：D根据相关系数的性质判断A ；根据所给折线图，对B ，C ，D 逐项进行判断. 解：每月最低气温与最高气温的线性相关系数r ＝0.83，比较接近于1，则每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，则A 正确；由所给的折线图可以看出月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月，则B 正确；5﹣8月的月温差分别为18,17,16,16，9﹣12月的月温差分别为20,31,24,21，则9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更大，C 正确；每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第六个月开始减少，所以A 正确，则D 错误；故选：D点评：本题主要考查了根据折线图解决实际问题以及相关系数的性质的应用，对于相关系数r ，r 越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，属于中档题. 7．2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：day π），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率π是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．π有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式111113574π-+-+=L ，即为正奇数倒数正负交错相加等于4π．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T 值与π非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）A ． ()111i S i -=-，2i i =+B ． ()11121i S i -=--，1i i =+C ．()111i S S i -=+-，2i i =+ D ． ()11121i S S i -=+--，1i i =+ 答案：D 由题意可得，S 表示的是正奇数的倒数正负交错相加，然后即可分析出答案. 解：由题意可得，S 表示的是正奇数的倒数正负交错相加，故A 、B 不满足若填入的是()111i S S i-=+-，2i i =+，则输出的11111357441011T S ⎛⎫== ⎪⎝+++++⎭L ，不满足题意若填入的是()11121i S S i -=+--，1i i =+，则输出的11111357202144T S ⎛⎫== ⎪⎝-+-++⎭L ，满足题意故选：D点评：本题考查的是程序框图中的循环结构，考查了学生分析问题的能力，属于基础题.8．在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 43122412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234A ．27B ．13C ．821D ．521答案：A在21组随机数中，利用列举法求出代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数共6组，由此能估计恰好在第4次停止摸球的概率．解：由题意，在21组随机数中，代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是： 1234，1224，3124，1224，4312，2234，共6组，所以恰好在第4次停止摸球的概率P 62217==．故选：A ．点评：本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键，属于基础题.9．函数()sin 1x f x e x x =--的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：B求得函数()f x 为偶函数，且当(0,)x ∈+∞时，利用导数求得()f x 单调递增，最后结合指函数的图象及性质，即可得解．解：由题意，函数()sin 1x f x e x x =--的定义域为R ，且()()sin()1sin 1x x f x e x x e x x f x --=+--=--=，即()()f x f x -=，函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ；又由当0x >时，令()1x g x e x =--，则()10xg x e '=->，所以，函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，所以，()()100xg x e x g =-->=，即1x e x >+.所以，()sin cos 1sin cos (1cos )(1sin )0x f x e x x x x x x x x x x '=-->+--=-+->. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，排除D ；再由指数函数图象与性质，可知选项B 符合题意．故选：B ．点评：本题主要考查了函数图象的识别，函数的奇偶性，以及利用导数研究函数的单调性的综。

江西省九江市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题 (解析版)

2020年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．复数z=−1+i2+i的虚部为（）A．−35i B．−35C．35i D．352．若集合A={x|log2(x−1)＜2}，B={x|x2−2x−8≤0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜5}B．{x|﹣2≤x≤4}C．{x|﹣2≤x＜5}D．{x|1＜x≤4} 3．若数列{a n}为等比数列，则“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”是“a3＝±1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y＝ax2上一点P(−14，18)到其准线的距离为（）A．34B．14C．18D．385．若a，b为正实数，直线2x+（2a﹣3）y+2＝0与直线bx+2y﹣1＝0互相垂直，则ab的最大值为（）A．32B．98C．94D．3√246．如图是九江市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r＝0.83，则下列结论错误的是（）A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月C．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更大D．每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加7．2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：πday），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率π是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．π有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式1 1−1 3+15−17+⋯=π4，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与π非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）A ．S ＝（﹣1）i ﹣11i ，i ＝i +2B ．S ＝（﹣1）i ﹣112i−1，i ＝i +1C ．S ＝S +（﹣1）i ﹣1，1ii ＝i +2D ．S ＝S +（﹣1）i ﹣112i−1，i ＝i +18．在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234 A ．27B ．13C ．821D ．5219．函数f （x ）＝e |x |﹣x sin x ﹣1的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线分别交双曲线左、右两支于点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若P ，Q ，F 1都在以M 为圆心的圆上，且PQ →⋅MF 1=0，则双曲线C 的离心率为(A ．√2B ．2√2C ．√3D ．2√311．如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为2π3，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．73πB ．133π C ．43πD ．3π12．已知函数{−2x 2−4x −1，x ≤0x 3−3x 2+3，x ＞0，若不等式f(x)−mx ≤0(m ∈Z)恰有两个整数解，则m 的个数为（） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(2，1)，b →=(−1，x)，若a →+b →与a →−b →共线，则实数x 的值为．14．若二项式(x +3x)n 的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为． 15．设等差数列{a n }满足：a 1＝3，公差d ∈（0，10），其前n 项和为S n ．若数列{√S n +1}也是等差数列，则S n +10a n +1的最小值为．16．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点，过A ，M ，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ADD 1A 1作投影，则投影图形的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 满足1−sinAsinB =sin 2C 2．（Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若点D 在线段AC 上，且CD ＝2DA ，tan∠ABD =25，求tan A 的值．18．已知正；△ABC 边长为3，点M ，N 分别是AB ，AC 边上的点，AN ＝BM ＝1，如图1所示．将△AMN 沿MN 折起到△PMN 的位置，使线段PC 长为√5，连接PB ，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面PMN ⊥平面BCNM ；（Ⅱ）若点D 在线段BC 上，且BD ＝2DC ，求二面角M ﹣PD ﹣C 的余弦值．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，A 为椭圆E 上位于第一象限上的点，B 为椭圆E 的上顶点，直线AB 与x 轴相交于点C ，|AB |＝|AO |，△BOC 的面积为6．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于M ，N 两点（M ，N 在直线OA 的同侧），若∠CAM ＝∠OAN ，求直线l 的方程20．已知函数f(x)=a(lnx −1)+1x (a ∈R)，存在极小值点x 0，f （x 0）＜0．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设m ，n ＞0，且m ≠n ，求证：f(m)−f(n)m−n＞1m+n−1mn．21．为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法：（1）抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为80元，每个个体收取检测费为100元．（2）核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过10个时，把所有个体合并在一起进行检测．当个体超过10个时，每10个个体为一组进行检测．若该组检测结果为阴性（正常），则只需检测一次；若该组检测结果为阳性（不正常），则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测k +1次（k 为该组个体数，1≤k ≤10，k ∈N *）．每一次检测成本为160元．假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率均为p （0＜p ＜1）．（Ⅰ）现有100个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率；（Ⅱ）因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定的补贴，故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是k +1次，每组所有个体共收费700元（少于10个个体的组收费金额不变）．已知某企业现有员工107人，准备进行全员检测，拟准备9000元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检测安排方案；（Ⅲ）设p =1−e −124，现有n （n ∈N *且2≤n ≤10）个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试问检测机构应采用哪种检测方法？（ln 3≈1.099，ln 4≈1.386，ln 5≈1.609，ln 6≈1.792）请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(本小题满分5分)[选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =12(t +1t )y =t −1tt 为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）M，N为曲线C．上两点，若OM⊥ON，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．定义区间（x1，x2）（x2＞x1）的长度为x2﹣x1，已知不等式|x﹣m|•|x﹣1|+1＜x（m∈R）的解集区间长度为1．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b∈R，ab＞0，a+b＝m，求b2a+a2b的最小值及此时a，b的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z=−1+i2+i的虚部为（）A．−35i B．−35C．35i D．35【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=−1+i2+i=(−1+i)(2−i)(2+i)(2−i)=−15+35i，∴复数z=−1+i2+i的虚部为35．故选：D．2．若集合A={x|log2(x−1)＜2}，B={x|x2−2x−8≤0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜5}B．{x|﹣2≤x≤4}C．{x|﹣2≤x＜5}D．{x|1＜x≤4}【分析】求出集合A和B，由此能求出A∪B．解：∵集合A={x|log2(x−1)＜2}，B={x|x2−2x−8≤0}，∴A＝{x|1＜x＜5}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，∴A∪B＝{x|﹣2≤x＜5}．故选：C．3．若数列{a n}为等比数列，则“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”是“a3＝±1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”⇒a2a4=a32=1⇒“a3＝±1”；反之，满足“a3＝±1”的一元二次方程有无数个．解：数列{a n}为等比数列，“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”，∴a2a4=a32=1，∴“a3＝±1”；反之，满足“a3＝±1”的一元二次方程有无数个，∴“a2，a4是方程x2﹣3x+1＝0的两根”是“a3＝±1”的充分不必要条件．故选：A．4．抛物线y＝ax2上一点P(−14，18)到其准线的距离为（）A．34B．14C．18D．38【分析】求出a，然后利用抛物线的定义转化求解即可．解：抛物线y＝ax2上一点P(−14，18)，可得：18=a×116，解得a＝2；抛物线y＝2x2，即x2=12y，准线方程为：y=−18．抛物线y＝2x2上一点P(−14，18)到其准线的距离为：14．故选：B．5．若a，b为正实数，直线2x+（2a﹣3）y+2＝0与直线bx+2y﹣1＝0互相垂直，则ab的最大值为（）A．32B．98C．94D．3√24【分析】由两直线垂直求出2a+b＝3，再利用基本不等式求出ab的最大值．解：由直线2x+（2a﹣3）y+2＝0与直线bx+2y﹣1＝0互相垂直，所以2b+2（2a﹣3）＝0，即2a+b＝3；又a、b为正实数，所以2a+b≥2√2ab，即2ab≤(2a+b2)2=94，当且仅当a=34，b=32时取“＝”；所以ab的最大值为98．故选：B．6．如图是九江市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r＝0.83，则下列结论错误的是（）A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月C．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更大D．每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加【分析】由所给的折线图，可以进行分析得到ABC正确，D错误．解：每月最低气温与最高气温的线性相关系数r＝0.83，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，由所给的折线图可以看出月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月，9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更大，每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第六个月开始减少，所以ABC正确，D 错误；故选：D ．7．2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：πday ），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率π是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．π有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式11−13+15−17+⋯=π4，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T 值与π非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）A ．S ＝（﹣1）i ﹣11i ，i ＝i +2B ．S ＝（﹣1）i ﹣112i−1，i ＝i +1C ．S ＝S +（﹣1）i ﹣1，1ii ＝i +2D ．S ＝S +（﹣1）i ﹣112i−1，i ＝i +1【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T ＝4S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：依题意，输出的T＝4S＝4×（1−13+15−17+⋯+12021）≈π．由题意可知循环变量i的初值为1，终值为2010，步长值为1，循环共执行2010次，可得②中填入的可以是i＝i+1，又S的值为正奇数倒数正负交错相加，可得①中填入的可以是S＝S+（﹣1）i﹣112i−1，故选：D．8．在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 43122412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234A．27B．13C．821D．521【分析】在21组随机数中，利用列举法求出代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数共6组，由此能估计恰好在第4次停止摸球的概率．解：在21组随机数中，代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是：1234，1224，3124，1224，4312，2234，共6组，∴恰好在第4次停止摸球的概率P=621=27．故选：A．9．函数f（x）＝e|x|﹣x sin x﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】易知函数f（x）为偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，结合指数函数的图象及性质即可得解．解：函数f（x）为偶函数，当x＞0时，由常见不等式e x＞x+1可知，f′（x）＝e x﹣sin x ﹣x cos x＞x+1﹣sin x﹣x cos x＝x（1﹣cos x）+1﹣sin x＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又由指数函数增长性可知，选项B符合题意．故选：B．10．设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且PQ→⋅MF1=0，则双曲线C的离心率为(A ．√2B ．2√2C ．√3D ．2√3【分析】判断PQ ⊥MF 1，则|PF 1|＝QF 1|，说明三角形PF 1Q 是等腰直角三角形，设|PF 1|＝t ，利用双曲线的定义求出|PF 2|=(2√2+2)a ，在Rt △MF 1F 2中，结合勾股定理推出2√3a ＝2c ，即可求解双曲线C 的离心率．解：以PQ 为直径的圆经过点F 1，则∠PF 1Q =π2，又PQ →⋅MF 1=0，可知PQ ⊥MF 1，则|PF 1|＝|QF 1|，故三角形PF 1Q 是等腰直角三角形，设|PF 1|＝t ，则|PQ |=√2t ，由双曲线的定义可知：|PF 2|＝t +2a ，|QF 2|＝t ﹣2a ，可得|PQ |＝4a ，则√2t ＝4a ，即t ＝2√2a ，则：|PF 2|=(2√2+2)a ，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|=12|PQ|=2a ，|MF 2|＝|PF 1|﹣|PM |＝2√2a ，由勾股定理可知|F 1F 2|＝2√3a ＝2c ，则双曲线C 的离心率为：e =c a =√3．故选：C ．11．如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为2π3，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A．73πB．133πC．43πD．3π【分析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∠ADS=2π3，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由此能求出球O的表面积．解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS=2π3，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由题意知BD=12，AD=√32，DE=13AD=√36，AE=23AD=√33，连结OD，在Rt△ODE中，∠ODE=π3，OE=√3DE=12，∴OA2＝OE2+AE2=712，∴球O的表面积为S＝4πR2=7π3．故选：A ．12．已知函数{−2x 2−4x −1，x ≤0x 3−3x 2+3，x ＞0，若不等式f(x)−mx ≤0(m ∈Z)恰有两个整数解，则m 的个数为（） A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】画出函数的图象，利用x 的范围，讨论零点个数的m 值，得到选项．解：f （x ）的图象如图：由题意可得，当x ＞0时，不等式f(x)−mx≤0(m ∈Z)，可得f（x ）≤m ；所以m ＝2，此时x ＝1或x ＝2； m ＝0时，函数的零点为x ＝﹣1，x ＝2．当x ＜0时，不等式f(x)−mx≤0(m ∈Z)，可得f （x ）≥m ，m ＝0时，x ＝﹣1，当m ＝﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，时，不等式f(x)−mx≤0(m ∈Z)恰有两个整数解，整数解为：x ＝﹣2，和x ＝﹣1，综上，m ＝﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，0，2．共有7个值．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a→=(2，1)，b→=(−1，x)，若a→+b→与a→−b→共线，则实数x的值为−12．【分析】利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出．解：∵a→+b→=（1，1+x），a→−b→=（3，1﹣x），(a→+b→)∥(a→−b→)，∴3（1+x）﹣（1﹣x）＝0，解得x=−1 2．故答案为：−1 2．14．若二项式(x+3x)n的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为54．【分析】先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项．解：令x＝1，有4n＝256，解得n＝4，所以展开式通项为：T k+1=3k C4k x4−2k，令4﹣2k＝0得，k＝2．故常数项为：C4232=54．故答案为：54．15．设等差数列{a n}满足：a1＝3，公差d∈（0，10），其前n项和为S n．若数列{√S n+1}也是等差数列，则S n +10a n +1的最小值为 3 ．【分析】由题意可得：2√S 2+1=√S 1+1+√S 3+1，即2√7+d =2+√10+3d ，公差d ∈（0，10），解得d ．可得a n ．S n ．代入S n +10a n +1变形利用基本不等式的性质即可得出．解：由题意可得：2√S 2+1=√S 1+1+√S 3+1，即2√7+d =2+√10+3d ，公差d ∈（0，10），解得d ＝2． ∴a n ＝2n +1． ∴S n =n(3+2n+1)2=n 2+2n ． ∴√S n +1=n +1．∴数列{√S n +1}是等差数列，则S n +10a n +1=n 2+2n+102n+2=(n+1)2+92(n+1)=12[（n +1）+9n+1]≥√(n +1)⋅9n+1=3，当且仅当n ＝2时取等号，∴S n +10a n +1的最小值为3．故答案为：3．16．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点，过A ，M ，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ADD 1A 1作投影，则投影图形的面积为712．【分析】由图象可得投影为五边形AH1M1D1G，利用三角形相似性质得到DG＝2D1G=2 3，BH＝2B1H=23，进而求得AH1＝2A1H1=23，A1M1＝D1M1=12，则可得S AH1M1D1G =1−S A1H1M1−S ADG解：直线MN分别与直线A1D1，A1B1交于E，F两点，连接AE，AF，分别与棱DD1，BB1交于G，H两点，连接GN，MH，得到截面五边形AGNMH，向平面ADD1A1作投影，得到五边形AH1M1D1G，由点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，可得D1E＝D1N=1 2，由△D1EG∽△DAG，可得DG＝2D1G=2 3，同理BH＝2B1H=2 3，则AH1＝2A1H1=23，A1M1＝D1M1=12，则S AH1M1D1G =1−S A1H1M1−S ADG＝1−12×12×13−12×1×23=712，故答案为：712．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，三内角A，B，C满足1−sinAsinB=sin2C 2．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若点D在线段AC上，且CD＝2DA，tan∠ABD=25，求tan A的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得cos（A﹣B）＝1，结合范围A﹣B∈（﹣π，π），可得A＝B，即可判断△ABC的形状为等腰三角形；（Ⅱ）设DA＝x，CD＝2x，∠ABD＝θ，在△ADB，△CDB中，由正弦定理可得xsinθ=4x sin(A−θ)，利用三角函数恒等变换的应用可求tan A＝5tanθ，结合tanθ=25，可求tan A的值．解：（Ⅰ）∵1−sinAsinB=sin2C 2，∴sin A sin B ＝1﹣sin 2C 2=cos 2C2，∴2sin A sin B ＝1+cos C ， ∵C ＝π﹣（A +B ），∴2sin A sin B ＝1+cos[π﹣（A +B ）]＝1﹣cos （A +B ），∴2sin A sin B ＝1﹣cos A cos B +sin A sin B ，即cos A cos B +sin A sin B ＝1，即cos （A ﹣B ）＝1， ∵A ﹣B ∈（﹣π，π），∴A ﹣B ＝0，可得A ＝B ，可得△ABC 的形状为等腰三角形；（Ⅱ）设DA ＝x ，CD ＝2x ，∠ABD ＝θ，在△ADB 中，由正弦定理可得BD sinA=AD sinθ，即BDsinA=x sinθ，在△CDB 中，由正弦定理可得BD sinC=CDsin(B−θ)，即BD sin2A=2x sin(A−θ)，即BD sinA=4xcosA sin(A−θ)，∴x sinθ=4x sin(A−θ)，∴sin （A ﹣θ）＝4cos A sin θ， ∴sin A cos θ﹣cos A sin θ＝4cos A sin θ， ∴sin A cos θ＝5cos A sin θ， ∴tan A ＝5tan θ，∵tan θ=25， ∴tan A ＝2．18．已知正；△ABC边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，AN＝BM＝1，如图1所示．将△AMN沿MN折起到△PMN的位置，使线段PC长为√5，连接PB，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面BCNM；（Ⅱ）若点D在线段BC上，且BD＝2DC，求二面角M﹣PD﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AN⊥MN，即PN⊥MN，PN⊥NC，从而PN⊥平面BCNM，由此能证明平面PMN⊥平面BCNM．（Ⅱ）以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣PD﹣C的余弦值．解：（Ⅰ）证明：依题意，在△AMN中，AM＝2，AN＝1，∠A=π3，由余弦定理及勾股得MN2+AN2＝AM2，∴AN⊥MN，即PN⊥MN，在图2△PNC中，PN＝1，NC＝2，PC=√5，∴PC2＝PN2+NC2，∴PN⊥NC，∵MN∩NC＝N，∴PN⊥平面BCNM，∵PN ⊂平面PMN ，∴平面PMN ⊥平面BCNM ．（Ⅱ）解：以N 为坐标原点，NM 为x 轴，NC 为y 轴，NP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），M （√3，0，0），D （√32，32，0），C （0，2，0），∴PM →=（√3，0，﹣1），MD →=（−√32，32，0），PC →=（0，2，﹣1），DC →=（−√32，12，0），设平面MPD 的一个法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PM →=√3x −z =0m →⋅MD →=−√32x +32y =0，取y ＝1，得m →=（√3，1，3），设平面PDC 的法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅PC →=2b −c =0n →⋅DC →=−√32a +12b =0，取a ＝1，得n →=（1，√3，2√3），设二面角M ﹣PD ﹣C 的平面角为θ，由图知θ是钝角，∴cos θ=−|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3413=−2√3913．二面角M ﹣PD ﹣C 的余弦值为−2√3913．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，A 为椭圆E 上位于第一象限上的点，B 为椭圆E 的上顶点，直线AB 与x 轴相交于点C ，|AB |＝|AO |，△BOC 的面积为6．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于M ，N 两点（M ，N 在直线OA 的同侧），若∠CAM ＝∠OAN ，求直线l 的方程【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，结合三角形的面积公式和线段的中点坐标公式，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）求得A 的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线AM ，AN 的斜率互为相反数，设直线AM ：y ﹣1＝k （x ﹣3），联立椭圆方程x 2+3y 2＝12，运用韦达定理，求得x 1，同理可得x 2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到k ，进而得到所求直线方程．解：（Ⅰ）因为e =c a =√63，可得a =√62c ，b =√a 2−c 2=√22c ，由|AB |＝|AO |，可得A （√32a ，12b ）为BC 的中点，所以S △BOC =12•√3a •b ＝6，即ab ＝4√3，所以√62c •√22c ＝4√3，即c ＝2√2，a ＝2√3，b ＝2，所以椭圆的方程为x 212+y 24=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A （3，1），右焦点为（2√2，0），因为|AB |＝|AO |，所以∠ABO ＝∠AOB ，所以∠AOC ＝∠ACO ，又∠CAM ＝∠OAN ，直线AM ，AN 的斜率互为相反数，设直线AM ：y ﹣1＝k （x ﹣3），联立椭圆方程x 2+3y 2＝12，消去y ，可得（1+3k 2）x 2+6k （1﹣3k ）x +27k 2﹣18k ﹣9＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则3x 1=27k 2−18k−91+3k2，所以x 1=9k 2−6k−31+3k 2，将k 换为﹣k ，同理可得x 2=9k 2+6k−31+3k2，x 1+x 2=18k 2−61+3k2，x 2﹣x 1=12k 1+3k2，k MN =y 2−y 1x 2−x 1=(−kx 2+3k+1)−(kx 1−3k+1)x 2−x 1=−k(x 2+x 1)+6k x 2−x 1=−k⋅18k 2−61+3k2+6k 12k1+3k2=1，所以直线l 的方程为y ﹣0＝x ﹣2√2，即x ﹣y ﹣2√2=0．20．已知函数f(x)=a(lnx −1)+1x (a ∈R)，存在极小值点x 0，f （x 0）＜0．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设m ，n ＞0，且m ≠n ，求证：f(m)−f(n)m−n＞1m+n−1mn．【分析】（I ）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，然后结合单调性及极值的关系可求a ，（II ）先代入整理可得f(m)−f(n)m−n−(1n+m−1mn)=a(lnn−lnm)n−m−1m+n，结合结果特点构造函数，结合导数进行证明．解：（I ）f′(x)=a x −1x 2=ax−1x2，x ＞0，当a ≤0时，f ′（x ）＜0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；当a ＞0时，由f ′（x ）＜0可得0＜x ＜1a，f ′（x ）＞0可得x ＞1a，故函数在（0，1a）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增，故x 0=1a，由f （1a）＝﹣alna ＜0，即lna ＞0，可得a ＞1，故a 的范围（1，+∞），（II ）f(m)−f(n)m−n −(1n+m −1mn )=(alnm+1m )−(alnn+1n )m−n−（1m+n −1mn ）=a(lnn−lnm)n−m −1m+n，不妨设n ＞m ＞0，因为a ＞0，所以f(m)−f(n)m−n−(1n+m−1mn)＞lnn−lnm n−m−1n+m，=1n−m [(lnn −lnm)−n−mn+m ]=1n−m (ln n m −nm −1n m+1)，又n ＞m ＞0，故n m＞1，令t （x ）＝lnx −x−1x+1，x ＞1，则t′(x)=1x −2(x+1)2=1+x 2x(x+1)2＞0，故t （x ）在（1，+∞）上单调递增，t （x ）＞t （1）＝0，即lnx −x−1x+1＞0，即ln nm−nm−1n m+1＞0，故f(m)−f(n)m−n＞1m+n−1mn．21．为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法：（1）抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为80元，每个个体收取检测费为100元．（2）核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过10个时，把所有个体合并在一起进行检测．当个体超过10个时，每10个个体为一组进行检测．若该组检测结果为阴性（正常），则只需检测一次；若该组检测结果为阳性（不正常），则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测k +1次（k 为该组个体数，1≤k ≤10，k ∈N *）．每一次检测成本为160元．假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率均为p （0＜p ＜1）．（Ⅰ）现有100个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率；（Ⅱ）因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定的补贴，故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是k +1次，每组所有个体共收费700元（少于10个个体的组收费金额不变）．已知某企业现有员工107人，准备进行全员检测，拟准备9000元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检测安排方案；（Ⅲ）设p =1−e −124，现有n （n ∈N *且2≤n ≤10）个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试问检测机构应采用哪种检测方法？（ln 3≈1.099，ln 4≈1.386，ln 5≈1.609，ln 6≈1.792）【分析】（Ⅰ）利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出其中恰有一个检测出为阳性的概率．（Ⅱ）设安排x 个个体采用抗体检测法，y 组个体采用核酸检测法，则由条件知：{x +10y ≥107100x +700y ≤9000y ≤x，x ，y ∈N ，总检测费用为z ＝100x +700y ．利用线性规划能求出安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．（Ⅲ）设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX ，采用核酸检测，检测机构成本期望为EY ，由已知得EX ＝80n ，求出E （Y ）＝160[n +1﹣n （1﹣p ）n ]，设EX ＞EY ，推导出（1﹣p ）n ＞1n +12，从而ln （1n +12）+n24＜0，设f （x ）＝ln （1x +12）+x24，（2≤x≤10），则f′(x)=124−2x(x+2)，由此能求出当n ＝2时，采用抗体检测法，当3≤n ≤10，n ∈N *时，采用核酸检测法．解：（Ⅰ）现有100个个体采取抗体检测法，其中恰有一个检测出为阳性的概率为：P =C 1001⋅p ⋅(1−p)99=100p （1﹣p ）99．（Ⅱ）设安排x 个个体采用抗体检测法，y 组个体采用核酸检测法，则由条件知：{x +10y ≥107100x +700y ≤9000y ≤x ，x ，y ∈N ，总检测费用为z ＝100x +700y ．画出可行域如图：由{x +10y =107y =x ，解得A （10711，10711），则在可行域内临近A 点的整点有（10，10），（17，9），此时，Z min ＝8000，即安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．（Ⅲ）设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX ，采用核酸检测，检测机构成本期望为EY ，由已知得EX ＝80n ，设采用核酸检测法检测次数为η，则η的取值只有1和n +1，且P （η＝1）＝（1﹣p ）n ， P （η＝n +1）＝1﹣（1﹣p ）n ，∴E （η）＝（1﹣p ）n +（n +1）[1﹣（1﹣p ）n ]＝n +1﹣n （1﹣p ）n ， ∴E （Y ）＝160[n +1﹣n （1﹣p ）n ]，设EX ＞EY ，则160[n +1﹣n （1﹣p ）n ]＜80n ，即（1﹣p ）n ＞1n +12，∵p ＝1−e −124，∴e −n24＞1n +12，∴−n 24＞ln(1n +12)，即ln （1n +12）+n 24＜0，设f （x ）＝ln （1x +12）+x24，（2≤x ≤10），则f′(x)=124−2x(x+2)，由f ′（x ）＜0，得2≤x ＜6，f ′（x ）＞0，得6＜x ≤10， ∴f （x ）在[2，6）上单调递减，在（6，10]上单调递增，又f （2）＝ln （12+12）+224=112＞0，f （3）＝ln （13+12）+324=ln 56+18≈1.609﹣1.792+0.125＝﹣0.058＜0，ln （110+12）+1024=ln 35+512≈1.099﹣1.609+0.417＝﹣0.093＜0，∴当n ≥3，n ∈一、选择题*时，EX ＞EY ，∴当n ＝2时，采用抗体检测法，当3≤n ≤10，n ∈N *时，采用核酸检测法．请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(本小题满分5分)[选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =12(t +1t )y =t −1t t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）M ，N 为曲线C ．上两点，若OM ⊥ON ，求|MN |的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为{x =12(t +1t )y =t −1t t 为参数），转换为直角坐标方程为4x 2﹣y 2＝4，整理得x 2−y 24=1．根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2=45cos 2θ−1．（Ⅱ）M ，N 为曲线C ．上两点，设对应的极径为ρ1，ρ2，所以ρ12=45cos 2θ−1，ρ22=45sin 2θ−1．所以|MN|=√ρ12+ρ22=√45cos 2θ−1+45sin 2θ−1=√12(5cos 2θ−1)(5sin 2θ−1)，由于{5cos 2θ−1＞05sin 2θ−1＞0，解得15＜cos 2θ＜45，所以(5cos 2θ−1)+(5sin 2θ−1)≥2√(5cos 2θ−1)(5sin 2θ−1)，即3≥2√(5cos 2θ−1)(5sin 2θ−1)，故0＜(5cos 2θ−1)+(5sin 2θ−1)≤94，当且仅当tan 2θ＝1时，等号成立．故ρ12+ρ22≥163，即|MN|min =4√33． [选修4-5：不等式选讲]23．定义区间（x 1，x 2）（x 2＞x 1）的长度为x 2﹣x 1，已知不等式|x ﹣m |•|x ﹣1|+1＜x （m ∈R ）的解集区间长度为1．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ∈R ，ab ＞0，a +b ＝m ，求b 2a +a 2b 的最小值及此时a ，b 的值．【分析】（Ⅰ）由已知得x ﹣1＞|x ﹣m |•|x ﹣1|≥0，∴x ﹣1＞0，再脱绝对值解不等式，利用区间长度为1解m ．（Ⅱ）把b 2a +a 2b 化简变形利用a +b ＝1和基本不等式可求解．解：（Ⅰ）由|x ﹣m |•|x ﹣1|+1＜x ，得x ﹣1＞|x ﹣m |•|x ﹣1|≥0，∴x ﹣1＞0，∴|x ﹣m |＜1，∴m ﹣1＜x ＜m +1，由原不等式的解集区间长度为1得原不等式的解集为（1，m +1），则m +1﹣1＝1，即m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a +b ＝1，又ab ＞0，∴a ，b ＞0，∵b 2a +a 2b =a 3+b 3ab =(a+b)(a 2−ab+b 2)ab =a 2−ab+b 2ab =(a+b)2−3ab ab =1ab −3， ∵a +b ＝1≥2√ab ，∴1ab≥4，即1ab −3≥1， ∴b 2a +a 2b ≥1，即（b 2a +a 2b ）min ＝1．当且仅当{a =b a +b =1，即a ＝b =12时等号成立， ∴b 2a +a 2b 取得最小值1．。

江西省九江市2020届高三第三次高考模拟统一考试理科数学试题含答案【精】.doc

九江市2020年第三次高考模拟统一考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数2iz (i 12i-=-为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 设全集U R =，{}{}2|60,|1A x x x B x x =--≥=>，则()U C A B = （）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|2x x >-C ．{}|13x x <<D ．{}|13x x <≤ 3. 已知数列{}n a 为等比数列，若2102,8a a ==，则6a =（）A ．4±B ．4- C.4 D ．5 4.已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a << C.c a b << D ．c b a <<5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为，从C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若AFO ∆的面积为 1，则双曲线C 的方程为（）A ．22128x y -= B ．2214x y -= C. 221416x y -= D ．2214y x -= 6. 若从集合{}1,2,3,4,5中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为（） A ．15 B ．25 C.12 D ．357. 执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为1-，那么判断框内应填入的条件是（）A ． 8k ≤B ．9k ≤ C. 10k ≤ D ．11k ≤8. 已知实数 ,x y 满足201010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，若z mx y =+的最小值为 3，则实数m 的值是（）A ．2-B ． 3 C. 8 D ．29. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()8822111i i i i i a a a++==-=∑∑（）A ．0B ．1- C. 1 D ．2 10. 如图所示，在正方体1111ABCD A BCD -中，点G 在棱1AA 上，1,,3AG E F =分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,E F G 三点的截面α将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面α截得的上、下两部分面积之比为（）A ．16 B ．14 C. 13 D ．1211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（） AB ．2C. D ．412. 若对任意()0,x π∈，不等式sin x x e e a x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]2,2- B ．(],e -∞ C.(],2-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在()()6312x x -+的展开式中，5x 的系数是．14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为．15. 已知向量()()1,3,2,6a b =-=-，若向量 c 与 a 的夹角为60，且()10c a b ⋅+=-，则c = ．16. 已知数列{}n a 的前 n 项和为 n S ，且满足111,2n n n a a a S +=⋅=，设3nnn a a b =，若存在正整数(),p q p q <，使得1,,p q b b b 成等差数列，则p q += ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆ 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222sin sin sin 2sin sin sin B C A B C B C +=++.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 某农科所发现，一种作物的年收获量 y （单位：kg ）与它“相近”作物的株数 x 具有线性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m )，并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（1）求该作物的年收获量 y 关于它“相近”作物的株数x 的线性回归方程；（2）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为 1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．(注年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据)附：对于一组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y ，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为, 1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角 A 等于60，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，90EDA ∠=，且222ED AD AF AB ====.（1）证明：平面ABE ⊥平面EBD ；（2）点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD所成二面角的余弦值为4. 20. 如图所示，已知椭圆()2222:1x y C a b c a b+=>>的焦距为 2，直线y x =被椭圆 C 截得的弦长为3.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设点()00,M x y 是椭圆 C 上的动点，过原点O 引两条射线12,l l 与圆()()22002:3M x x y y -+-=分别相切，且12,l l 的斜率12,k k 存在. ①试问 12k k ⋅ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；②若射线12,l l 与椭圆 C 分别交于点,A B ，求OA OB ⋅的最大值.21. 已知函数()()2ln 1(f x ax x x a =--∈R) 恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数 a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点 P 的极坐标是2π⎫⎪⎭，曲线 C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1- 的直线 l 经过点P . （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PBPB PA+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21(f x x x a a =++-∈R). （1）若 1=a ，求不等式 ()5f x ≥的解集；（2）若函数()f x 的最小值为3，求实数 a 的值.九江市2017年第三次高考模拟统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1-5 ABCCD 6-10BBDAC 11-12：BC二、填空题13. 228- 14.43π15. 16.5 三、解答题17. 解：(1) 由正弦定理得：()2222222sin ,,2sin b c a bc B C A B C b c a bc A π+=++++=∴+=+，222sin 2b c a A bc+-∴=，由余弦定理得cos sin ,tan 1A A A ==，又()0,,4A A ππ∈∴=.(2)由（1）得22222,2,42b c a a b c b c +-==∴+=+，222,42b c bc bc+≥∴+≥（当且仅当b c =时取得等号），即4bc ≤=+1sin 1.24ABC S bc A ABC ∆∴==≤∴∆1.18. 解：(1)()()111235674,6055534645415066x y =+++++==+++++=,()()()()()()()()61310251314253984iii x x y y =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑,()()()()62222222132112328ii x x =-=-+-+-+++=∑,1122211()()84328()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---∴===-=---∑∑∑∑,503462a y bx =-=+⨯=,故该作物的年收获量 y 关于它相邻作物的株数 x 的线性回归方程为362y x =-+. (2) 由（1）得，当2,3,4x =，与之相对应56,53,50y =，()()()()()()418141562,533,504164162164P y P X P y P X P y P X ===============，所以它的年收获量 y 的分布列数学期望为()56535053424Ey kg =⨯+⨯+⨯= . 19. 解：(1) 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面,,ABCD AD ED AD ED ≠=⊥⊂平面ADEF ，ED ∴⊥平面ABCD ，AB ≠⊂平面ABCD ，AB ED ∴⊥，又2,1,60,AD AB A AB BD ===∴⊥.又,,BDED D BD ED ≠=⊂平面,EBD AB ∴⊥平面EBD ，又AB ≠⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面EBD .(2)以B 点为原点建立如图空间直角坐标系 B xyz -，则()()()()11,0,0,,,,,1,0,122A C D E F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面ECD 的法向量为()1111,,n x y z =，则()11013,,,0,0,0,222n CD CD DE n DE ⎧⎛⎫⋅=⎪== ⎪⎨⎝⎭⋅=⎪⎩，即11110220x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令11y =-，得()13,1,0n =-，设[],0,1EM EF λλ=∈，则()()(),2,,33,2,1,0,0M BM BA λλλλλ-+∴=-+-+=，设平面MAB 的法向量为()2222,,nx y z =，则2200n BM n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(()2222200x y zx λλ⎧++-+=⎪⎨=⎪⎩，22y λ=-，得(20,2n λ=-，(1211cos 42n nn n θ⋅∴====⋅，解得12λ=，所以M 为线段EF 的中点.20. 解：(1) 依题意得1c =,设直线 y x =与椭圆 C 相交于,P Q 两点，则3OP =,不妨设 2222,133P a b∴+=,又221a b -=，解得1a b ==，所以椭圆 C 的方程为2212x y +=. (2) ①设射线l 方程为()()1122,,,,y kx A x y B x y =3=，两边平方整理得()222000326320xk x y k y --+-=，2022200012220031232121,232322x x y y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=-∴===---. ②联立22122x y y k x ⎧+=⎨=⎩，消去 y 得22211221222,1212k x OA k k +==++，同理222222212k OB k +=+， ()()()()()()2222222221212121222222221212121214522224121222421k k k k k k k k OA OB k k k k k k k k +++++++∴⋅=⋅=⋅=+++++++ 212119214222k k =+≤++，当且仅当2112k =时，取等号max 32OA OB ∴⋅=.21. 解：(1)()'ln 2f x a x x ∴=- ,依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根,2ln 0,x a a x ∴≠=,令()()2ln 1ln ,'x xg x g x x x-==.当()0,x e ∈时，()'0g x > ；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <， ()g x ∴在 ()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，且，()10g =，当x e >时，()()210,0g x g e a e>∴<<=，解得2a e >，故实数 a 的取值范围是()2,e +∞. (2)由（1）得1122ln 2,ln 2a x x a x x ==, 两式相减得()()12121212ln ln 2,2ln ln x x a x x x x a x x --=-=⋅-,()()()1212122ln ln 1121x x x x x x a aλλλλλλ++>+⇔>+⇔+>+()()()()11221212*********2ln 1ln ln 11ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλ⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭⇔+>⇔>+⇔>+---, 120x x <<，令()()12ln 0,1,11x t t t x t λλ+=∈∴>+-，即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-，则需满足()0h t <在()0,1上恒成立，()'ln h t t tλλ=+-，令()ln I t t t λλ=+-，则()()()221'0,1t I t t t t tλλ-=-=∈. ①当1λ≥时，()()'0,'I t h t <∴上单调递减, ()()()''10,h t h h t ∴>=∴在()0,1上单调递增 ,()()10h t h ∴<=, 符合题意； ②当0λ≤时，()()'0,'I t h t >∴上单调递增,()()()''10,h t h h t ∴<=∴在()0,1上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意；③当01λ<<时，()()'01,'I t t h t λ>⇔<<∴在 (),1λ上单调递增， ()()()''10,h t h h t ∴<=∴在(),1λ上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意，综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞. 22. 解：(1) 由曲线 C 的极坐标方程4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得2cos ρθθ=+，即22cos sin ρρθθ=+，因此曲线 C的直角坐标方程为2220x y x +--=，即()(2214x y -+=，点P的直角坐标为(，直线 l 的倾斜角为135，所以直线 l 的参数方程为2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）. (2)将2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入()(2214x y -+=，得230t +-=，设,A B 对应参数分别为12t t，有12123t t t t +==-，根据直线参数方程 t 的几何意义有，()222221212*********t t t t t t PA PB PA PBPB PA PA PB t t t t +-+++====⋅. 23. 解：（1）()31,12113,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩,当1x ≥时，315x +≥，即44,33x x ≥∴≥；当11x -<<时，35x +≥，即2x ≥，此时x 无实数解；当1x ≤-时，315x --≥，即2,2x x ≤-∴≤-，综上所述，不等式的解集为{|2x x ≤-和43x ⎫≥⎬⎭. （2）当1a =-时，()31f x x =+最小值为 0，不符合题意，当1a >-时，()32,2,132,1x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩，()()min 113f x f a ∴=-=+=，此时2a =；当1a <-时，()32,12,132,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩， ()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-，综上所示，2a =或4a =-.。

2019-2020学年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(有答案)

江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣74．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若S672=2，S1344=12，则S2016=（）A．22 B．26 C．30 D．346．设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π）满足f（n）=，则f（1）=（）8．已知函数f（n）（n∈N+A．97 B．98 C．99 D．1009．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．3211．若函数f（x）=cosx+axsinx，x∈（﹣，）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，0）12．如图所示，已知椭圆C： =1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=_______．14．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（2x）•ln（2x+1）的定义域为_______．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =_______．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列．（1）若+=，求角B 的值；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x 1，y 1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x （元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y （件） b8483 807568已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且x i =39，y i =480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA=PC ，PB=PD=AB ．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，α∈（0，）），以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ，求点M 的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．江西省九江市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0}∵M={x|x＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1}故选D2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为：a+bi的形式，求出对应点的坐标即可．【解答】解：．对应点的坐标（）在第三象限．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来，并根据向量的数量积运算法则计算即可．【解答】解：，故选：D．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C 的圆心C （1，2），设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，由坐标原点到直线l 的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l 的方程．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心C （1，2），∵直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1，此时坐标原点到直线l 的距离为1，不成立；当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l 的方程为y=﹣（x ﹣1）+2，即x+2y ﹣5=0．故选：C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 672=2，S 1344=12，则S 2016=（） A ．22 B ．26 C ．30 D ．34 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，由此能求出S 2016．【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 672=2，S 1344=12，由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，得到：2×10=2+S 2016﹣12，解得S 2016=30．故选：C ．6．设x 1=18，x 2=19，x 3=20，x 4=21，x 5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A ．S=2，即5个数据的方差为2B ．S=2，即5个数据的标准差为2C ．S=10，即5个数据的方差为10D ．S=10，即5个数据的标准差为10【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=×[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]=×（4+1+0+1+4）=2．故选：A．7．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π【考点】轨迹方程．【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算即可求解．【解答】解：由题意，轨迹为四条线段加四个四分之一的圆．如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆，周长为：2π×0.5=π，再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为2，合起来就是：2×4+π=8+π．故选：B．8．已知函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，则f（1）=（）+A．97 B．98 C．99 D．100【考点】函数的值．【分析】由已知条件，利用分段函数的性质推导出f（96）=f[f=97，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，+∴f=f[f=98，f（98）=f[f=97，f（97）=f[f=98，f（96）=f[f=97，依此类推，得f（99）=f（97）=…=f（1）=98．故选：B．9．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出A、B入住同一标间包含的基本事件个数，由此能求出A、B入住同一标间的概率．【解答】解：某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间，共有种情形，A、B入住同一标间有种情形，∴A、B入住同一标间的概率为．故选：B．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ，即可得出．【解答】解：如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ， ∴．故选：C ．11．若函数f （x ）=cosx+axsinx ，x ∈（﹣，）存在零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，0）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数是偶函数，a ＜0，f （x ）在上只有一个零点，即可得出结论．【解答】解：∵f （﹣x ）=cos （﹣x ）﹣axsin （﹣x ）=cosx+axsinx=f （x ）， ∴函数是偶函数，当a ≥0时，恒成立，函数无零点，当a ＜0时，，∴函数f （x ）在上单调递减，∵，∴f （x ）在上只有一个零点，由f （x ）是偶函数可知，函数恰有两个零点．故选：D ．12．如图所示，已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），⊙O ：x 2+y 2=b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点，且为定值，则椭圆C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P （x 1，y 1），由是常数，得，然后利用，转化为关于x 1 的方程，由系数相等可得a ，c 的关系式，从而求得椭圆C 的离心率．【解答】解：设F （﹣c ，0），c 2=a 2﹣b 2，设P （x 1，y 1），要使得是常数，则有，λ是常数，∵，∴，比较两边系数得b 2a 2=λ（b 2+c 2），a=λc，故c （b 2+a 2）=a （b 2+c 2），即2ca 2﹣c 3=a 3，即e 3﹣2e+1=0，即（e ﹣1）（e 2+e ﹣1）=0，又0＜e ＜1， ∴．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=2．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得实数a 的值．【解答】解：由题意可得二项展开式的第三项系数为，∴10a 3=80，解得a=2，故答案为：2．14．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，可得f （2x ）的定义域为满足﹣2≤2x ≤2的x 的取值集合，再与2x+1＞0的解集取交集即可得到函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．∴函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．故答案为：．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【解答】解：当n=1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n ﹣1=a n ﹣1a n ，两式相减得2a n =a n （a n+1﹣a n ﹣1）， ∵a n ≠0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴{a 2k ﹣1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ， ∴S n =．故答案为：．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设棱锥底面边长为a，高为h，作过棱锥的高和斜高的截面，根据三角形相似得出a，h的关系，代入棱锥的体积公式，利用导数求出体积的最小值．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的底面边长AB=a，高为PO=h．设内切球球心为M，与平面PAC的切点为N，D为AC的中点，则MN⊥PD．DO==．MN=1，PM=h﹣1，∴PN===．∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴，即，∴a=．∴，，令V'=0得h=4，故当h=4时，．故答案为8．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．【解答】解：（1）由题意得，，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，由b2=ac知，b不是最大边，∴．（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，由正弦定理，得b=4sinB，∴△ABC的面积，∵，∴，∴．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x1，y1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x（元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y（件） b 84 83 80 75 68已知变量x，y具有线性负相关关系，且xi =39， yi=480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）xi =39， yi=480，x的和为39，y的和为480，解得a和b的值，并求得，，由x，y具有线性负相关关系，甲同学的不对，将，，代入验证，乙同学的正确；（2）分别求出有回归方程求得y值，与实际的y相比较，判断是否为“理想数据“，并求得ξ的取值，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，y=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，i∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）X 4 5 6 7 8 9y 90 84 83 80 75 68y 92 88 84 80 76 72“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：X 0 1 2 3P =数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接PO，根据三线合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；（2）以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出和平面PCD的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接PO，∵ABCD为菱形，∴O为AC，BD的中点．∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，AC⊥BD，不妨设PB=PD=AB=2，则BO=，∴PO=1．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∴P（0，0，1），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）．∴=（，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（﹣，0，﹣1）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即．令x=1得=（1，﹣，﹣）．∴cos＜＞===．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出A ，B 坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ；（2）计算k OA •k OB =﹣4，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M ﹣y N |，得出△OMN 面积S 关于t 的函数，解出函数的最值．【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为F （，0），∴，由，得，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为﹣1， ∴抛物线过A 点的切线方程为y ﹣p=x ﹣，令y=0得x=﹣． ∴，解得p=2．∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．（2）k OA =2，k OB =﹣2，∴k OA •k OB =﹣4，设，则，∴y 1y 2=﹣4．令直线MN 的方程为x=ty+n ，联立方程组消去x 得：y 2﹣4ty ﹣4n=0，则y 1y 2=﹣4n ，y 1+y 2=4t ，∵y 1y 2=﹣4，∴n=1．即直线MN 过点（1，0）． ∴．∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2，+∞）．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ），g （x ）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，即可判断存在a=e ﹣1及l ：y=ex ；（2）求出F （x ）的解析式和导数，令，求出导数，判断单调性，再对a 讨论，分a ≤2，a ＞2，判断h （x ）的单调性，进而得到F （x ）的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（1）g （x ）的导数为g'（x ）=e x ，设曲线y=g （x ）在点处切线过原点，则切线方程为，由点在切线上，可得，解得x 1=1，即有切线方程为y=ex ，设直线y=ex 与曲线y=f （x ）切于点（x 2，y 2），由f （x ）的导数为，可得，即有，又，则，可得，解得x 2=1，a=e ﹣1．故存在a=e ﹣1及l ：y=ex ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切．（2），，令，则，易知h'（x ）在（0，1]上单调递减，从而h'（x ）≥h'（1）=2﹣a ．①当2﹣a ≥0时，即a ≤2时，h'（x ）≥0，h （x ）在区间（0，1]上单调递增，由h （1）=0，可得h （x ）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x ）≤0在（0，1]上恒成立．即F （x ）在区间（0，1]上单调递减，则a ≤2满足题意；②当2﹣a ＜0时，即a ＞2时，由h'（1）=2﹣a ＜0，当x ＞0且x→0时，h'（x ）→+∞，故函数h'（x ）存在唯一零点x 0∈（0，1]，且h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，又h （1）=0，可得F （x ）在（x 0，1）上单调递增．注意到h （e ﹣a ）＜0，e ﹣a ∈（0，x 0），即有F （x ）在（0，e ﹣a ）上单调递减，这与F （x ）在区间（0，1]上是单调函数矛盾，则a ＞2不合题意．综合①②得，a 的取值范围是（﹣∞，2]．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到线段BF的长【解答】（1）证明：连接DE交BC于点G，由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DE⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（2）解：设DE与BC相交于点G，由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线．∵，∴．连接BO，∵圆O的半径为1，∴∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，∴CF⊥BF．，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈（0，）），以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C 的直角坐标方程．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=（6cosα）2﹣20=0，解得．∴点M的直角坐标为．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．线段AB的中点对应的参数为．则，解得．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，∴﹣＜x＜；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|﹣＜x＜}；（2）a=0时，不等式成立，a≠0时，|f（x）|≥||1﹣|﹣|1+||∵||1﹣|﹣|1+||＜2，∴|f（x）|≥2，x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}．。

江西省九江市高考数学三模试卷(理科)解析版

高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A. B. C. -2 D. 22.已知集合A={x|x2＜l}，B={x|log2x＜0}，则（）A. A⊊BB. B⊊AC. A=BD. A∩B=∅3.若向量=（tan15°，），=（1，sin75°），则•=（）A. 1B. 2C. 4D. 84.在（2x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为1：64，则展开式中常数项为（）A. 240B. ﹣240C. 160D. ﹣1605.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：-=l（a，b＞0）的右顶点为A，右焦点为F，过点A，F分别作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，N，若△OAM和△OFN的面积比为1：2，则C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±2xD. y=±x6.已知某公司生产的一种产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64）．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有附：若X-N（u，σ2），则P（u-σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，P（u-2σ＜X＜u+2σ）≈0.9544．（）A. 8185件B. 6826件C. 4772件D. 2718件7.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱AA1的中点，M，N，Q分别是线段A1D1，CC1，A1B1上的点，若三棱锥P-MNQ的俯视图如图2，则三棱锥P-MNQ的体积最大值为（）A. B. C. D.8.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为n（x）的结论（素数即质数，lg e≈0.43429）．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n的值为100，则输出k的值应属于区间（）A. （15，20]B. （20，25]C. （25，30]D. （30，35]9.已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x∈R，存在正常数t，都有f（x+2t）=-tf（x）成立；②f（x）的值域为[-a，a]（a＞0），则函数f（x）是（）A. 周期为2的周期函数B. 周期为4的周期函数C. 奇函数D. 偶函数10.若将函数f（x）=sin x-2cos x的图象向左平移φ个单位，得到函数g（x）=sin x+2cos x的图象，则cosφ=（）A. -B.C. -D.11.已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为抛物线E的准线上一点，线段AF分别交y轴和抛物线E于点B，C．若=2，则直线AF的斜率为（）A. B. C. D. ±112.已知函数f（x）=a ln x-x+2（a为大于1的整数），若y=f（x）与y=f（f（x））的值域相同，则a的最小值是（）（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为，且=（1，0），||=，则|2|=______．14.已知不等式组表示的平面区域为D，若对任意的（x，y）∈D，不等式|x-2y|≤t恒成立，则实数t的取值范围是______．15.已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为______．16.在△ABC中，G为△ABC的重心，AG=BG，BC=4，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=4，2S n=（n+1）a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在三梭锥P-ABC中，PA⊥BC，AB=AP=1，BC=2，PC=，∠ABC=45°（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面PAC；（Ⅱ）E为棱AC上一点，试确定点E的位置，使得直线PE与平面PBC所成角的正弦值为．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆C上位于x轴同侧的两点，△AF1F2的周长为6，∠F1AF2，的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若∠AF1F2+∠BF2F1=π，求四边形AF1F2B面积的取值范围．20.2019年某饮料公司计划从A，B两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对A，B两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图．从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0，60）的受访者中有20%会购买，评分在[60，80）的受访者中有60%会购买，评分在[80，1000]的受访者中有90%会购买．（Ⅰ）在受访的100万人中，求对A款饮料评分在60分以下的人数（单位万人）；（Ⅱ）现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率；（Ⅲ）如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由．21.已知函数f（x）=e x-1+ln x-mx（m∈R）的导函数为f′（x）．（Ⅰ）当m=0时，求f′（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）存在极值，试比较e m，m e，m m的大小，并说明理由．22.在极坐标系中，已知曲线C1的方程为ρ=6sinθ，曲线C2的方程为ρsin（θ）=1．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）若曲线C2与y轴相交于点P，与曲线C1相交于A，B两点，求的值．23.已知函数f（x）=|2x-a|+|ax+2|（a≥0）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≤3的解集；（2）求证：f（x）≥2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵z==是纯虚数，∴，解得：a=-，故选：A．根据复数除法运算化简z，根据纯虚数定义求得a．本题考查纯虚数的定义，关键是利用复数的除法运算进行化简，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2＜l}={xx|-1＜x＜1}，B={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，∴B⊊A．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查并集、交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由向量=（tan15°，），=（1，sin75°），所以=tan15°====4，故选：C．由平面向量数量积的运算及二倍角公式可得：=tan15°==4，得解．本题考查了平面向量数量积的运算及二倍角公式，属中档题．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．先由题意求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：（2x-）n的展开式中，各项系数和1与二项式系数和2n之比为1：64，∴n=6，故展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•26-r•x6-2r．令6-2r=0，求得r=3，可得展开式中常数项为-•23=-160，5.【答案】A【解析】解：如图，由题意，△OAM∽△OFN，且相似比为，即c=，又a2+b2=c2，联立可得a=b．∴C的渐近线方程为y=±x．故选：A．由题意画出图形，利用已知结合三角形相似可得c=，再由隐含条件求得a=b，则C 的渐近线方程可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.【答案】A【解析】解：依题意，μ=90，σ=8，∴P（82≤X＜106）=0.9544-=0.8185，∴质量在区间（82，106）内的产品估计有10000×0.8185=8185件，故选：A．产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64）．所以μ=90，σ=8，P（82≤X ＜106）=P（μ-σ≤X＜μ+2σ），代入计算即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由俯视图知，M为A1D1的中点，Q为A1B1的中点，N为CC1上任意一点，如下图所示：由中位线可知：PQ∥AB1，MP∥AD1，∴平面PMQ∥平面AB1D1，由正方体中线面关系可知：A1C⊥平面AB1D1，∴A1C⊥平面PMQ，∴当N与C重合，点N到平面PMQ的距离最大，截面ACC1A1如下图所示，其中平面ACC1A1∩平面PMQ=PS，平面ACC1A1∩平面AB1D1=AT，则，∴CE=，又CE=A1C==．又，∴三棱锥P-MNQ的体积最大值为．故选：D．通过俯视图可确定M，Q为所在棱中点，由线面关系可确定当N与C重合时，N到平面PQM的距离最大．由截面图形ACC1A1中的线线关系可知CE，再求出三角形PQM的面积，代入棱锥体积公式求解．本题考查立体几何中点到面的距离问题的求解，涉及到三视图、面面平行和线面垂直的知识，关键是能够通过垂直关系确定最大值取得的点，是中档题．8.【答案】B【解析】解：该流程图是统计100以内素数的个数，由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为n（x）≈；则100以内的素数个数为：n（100）≈===50lg e≈22．故选：B．由流程图可知其作用为统计100以内素数的个数，将x=100代入n（x）≈可求得近似值，从而得到结果．本题考查了判断新定义运算的应用问题，关键是能够明确流程图的具体作用．9.【答案】B【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足对任意的实数x，存在正常数t，都有f（x+2t）=-tf（x）成立，则有f（x+4t）=-f（x+2t）=f（x），又由-a≤f（x）≤a，则有-at≤f（x+2t）≤at，则有，解可得t=1；则有f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数；故选：B．根据题意，分析可得f（x+4t）=-f（x+2t）=f（x），结合函数的值域可得，解可得t=1；则有f（x+4）=f（x），据此分析可得答案．本题考查函数周期性的判断，涉及函数的值域，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-2cos x=sin（x-θ），其中cosθ=，sinθ=图象向左平移φ个单位，即y=sin（x+φ-θ）=g（x），而函数g（x）=sin x+2cos x=sin（x+θ），∴x+φ-θ=x+θ+2kπ，k∈Z．那么cosφ=cos2θ=2cos2θ-1=故选：C．利用辅助角化简，结合函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，即可求解；本题考查了辅助角化简能力和应用，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律．属于基础题11.【答案】A【解析】解：由=2，A为抛物线E的准线上一点得：x A=-，x B=0，∴x C=；∴y C=±p；又F（，0），∴k AF=k CF==±2；∴直线AF的斜率为±2．故选：A．根据=2可求得x c，代入抛物线方程得y c；利用k AF=k CF得到所求斜率．本题考查了抛物线性质的应用问题，解题的关键是能够利用向量关系用p表示出点C的坐标．12.【答案】A【解析】解：函数f（x）=a ln x-x+2（a为大于1的整数），那么f′（x）=-1=，令f′（x）=0，可得x=a，当x∈（0，a），f′（x）＞0，当x∈（a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（a）=a lna-a+2．即f（x）的值域为（-∞，a lna-a+2）．∴f[f（x）]的值域为（-∞，a lna-a+2），∴a lna-a+2≥a，∴a lna-2a+2≥0，设g（a）=a lna-2a+2，∴g′（a）=ln a-1，当1＜a＜e时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当a＞e时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∵g（2）=2ln2-4+2=2（ln2-1）＜0，g（3）=3ln3-4≈3×0.6931-4＜0g（5）=5ln5-8=5×1.6094-8＞0求出f（x）的单调区间和值域，从而得出f（x）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围本题考查了函数的单调性、值域问题，考查导数的应用以及转化思想，考查集合的包含关系，是一道中档题．13.【答案】【解析】解：因为向量，的夹角为，且=（1，0），||=，所以•=||||cos==1，则|2|===．故答案为：．利用数量积定义求解出数量积，利用向量的模求解出结果．本题考查向量的模的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和夹角的运算问题．14.【答案】[5，+∞）【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，点B到直线x-2y=0的距离最大，由，解得B（3，4），所以|x-2y|max=|3-2×4|=5，所以不等式|x-2y|≤t恒成立时，实数t的取值范围是t≥5．故答案为：[5，+∞）．画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x-2y|max，即可得出实数t的取值范围．本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：依题意得，圆锥底面半径r=，高h=．即，解得：R=．∴外接球的表面积为S=．故答案为：．根据轴截面可求得圆锥底面半径和高，根据勾股定理构造出关于外接球半径R的方程，解出R后代入球的表面积公式可求得结果．本题考查圆锥的外接球表面积求解问题，属于基础题．16.【答案】12【解析】解：方法一，如图所示；设D为BC的中点，DG=x，由重心性质得，AG=2x，BG=AG=x；设∠BGD=θ，则由余弦定理得，4=2x2+x2-2•x2•cosθ，∴cosθ=；又S△BDG=•x•x•sinθ=x2sinθ；∴=18x4（1-）=-（x4-24x2+16），当x2=12时，取得最大值为288；则△ABC面积的最大值为12．方法二，由重心的性质得，|BG|=|AG|=|GD|，建立平面直角坐标系如图所示，设G（x，y），由|BG|=|GD|可得，=•，则（x+2）2+y2=8，∴点G在以（2，0）为圆心，2为半径的圆上，∴点G到BC距离的最大值为2，∴△BGC的面积最大值为：S△BGC=×BC×2=4；又S△ABC=3S△BGC，∴S△ABC的最大值为12．方法一，利用重心的性质和余弦定理，求出BG、AG，计算△ABC的面积，求出最大值即可；方法二，建立平面直角坐标系，求出点G的轨迹是圆，计算△BGC面积的最大值，从而得出△ABC面积的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算与求解能力，是中档题．所以2S n=（n+1）a n，故2S n-1=（n+1-1）a n-1，两式相减得（n-1）a n=na n，所以=2n（首项符合通项）．故a n=2n．（Ⅱ）由于a n=2n，所以b n==．故T n=b1+b2+…+b n==4n+1-．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式求法及应用，叠乘法的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）首先利用数列的递推关系式求出相邻项之间的关系，进一步利用叠乘法求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．18.【答案】解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，由余弦定理得：AC2=BC2+AB2-2×BC×AB×cos∠ABC=8+1-2×=5，∴AC=，∵PA=1，PC=，∴PC2=PA2+AC2，∴PA⊥AC，∵PA⊥BC，AC∩BC=C，∴PA⊥平面ABC，∵PA⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC．（Ⅱ）设BC的中点为D，连结AD，BD==，根据余弦定理所以∴AD⊥AB，如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（-1，2，0），P（0，0，1），∴=（-1，2，0），=（0，0，1），=（-2，2，0），=（-1，0，1），设==（-λ，2λ，0），（0≤λ≤1），则=（-λ，2λ，-1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），设直线PE与平面PBC所成角为θ，∵直线PE与平面PBC所成角的正弦值为．∴sinθ=|cos＜＞|===，整理得：2λ2-9λ+4=0，∵0≤λ≤1，∴，∴E为棱AC的中点．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查点为线段的中点的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）由余弦定理得AC=，由勾股定理得PA⊥AC，由PA⊥BC，得PA⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面PAC．（Ⅱ）设BC的中点为D，连结AD，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出E为棱AC的中点．19.【答案】解：（Ⅰ）∵△AF1F2的周长为6，∴2a+2c=6，即a+c=3，①当A为椭圆C的上下顶点时，∠F1AF2的最大值为，此时△AF1F2为等边三角形，a=2c，②联立①②及a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=1．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）∵∠AF1F2+∠BF2F1=π，∴AF1∥BF2，延长AF1交椭圆C于点A′，由（Ⅰ）知F1（-1，0），F2（1，0），设A（x1，y1），A′（x2，y2），直线AA′的方程为x=ty-1，联立，得（3t2+4）y2-6ty-9=0．∴，．设AF1与BF2的距离为d，则四边形AF1F2B的面积S==．∴S====．令m=，m≥1．∴S=．∵S（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S∈（0，3]．故四边形AF1F2B面积的取值范围为（0，3]．【解析】（Ⅰ）由题意得2a+2c=6，即a+c=3，再由当A为椭圆C的上下顶点时，∠F1AF2的最大值为，此时△AF1F2为等边三角形，得a=2c，结合隐含条件联立解得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由∠AF1F2+∠BF2F1=π，得AF1∥BF2，延长AF1交椭圆C于点A′，由（Ⅰ）知F1（-1，0），F2（1，0），设A（x1，y1），A′（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求得四边形AF1F2B的面积S，再由换元法及函数的单调性求解．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由对A㰪饮料的评分饼状图，得到对A款饮料评分在60分以下的频率为0.05+0.15=0.2，∴对A款饮料评分在60分以下的人数为100×0.2=20（万人）．（Ⅱ）设受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性为事件C，记购买A款饮料的可能性为20%为事件A1，购买A款饮料的可能性为60%为事件A2，购买A款饮料的可能性为90%为事件B1，P（A1）=0.05+0.15=0.2，P（A2）=0.1+0.2=0.3，P（A3）=0.15+0.35=0.5，由用频率估计概率得：P（B1）==0.1，P（B2）==0.35，P（B3）==0.55，∵事件A i，B j相互独立，其中i，j=1，2，3，∴P（C）=P（A2B1+A3B1+A3B2）=P（A2）P（B1）+P（A3）P（B1）+P（A3）P（B2）=0.3×0.1+0.5×0.1+0.5×0.35=0.255．∴该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率为0.255．（Ⅲ）从受访者对A，B两款饮料的购买期望角度看：EY=0.2×0.1+0.6×0.35+0.9×0.55=0.725．根据上述期望可知E（X）＜E（Y），故新品推介应该主推B款饮料．【解析】（Ⅰ）由对A㰪饮料的评分饼状图，得到对A款饮料评分在60分以下的频率为0.2，由此对A款饮料评分在60分以下的人数．（Ⅱ）设受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性为事件C，记购买A 款饮料的可能性为20%为事件A1，购买A款饮料的可能性为60%为事件A2，购买A款饮料的可能性为90%为事件B1，由此能求出该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率．（Ⅲ）从受访者对A，B两款饮料的购买期望角度分别求出A款饮料购买期望X的分布列和B方案“选择倾向指数”Y的分布列，由此能求出新品推介应该主推B款饮料．本题考查频数、概率、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=e x-1+ln x-mx，x＞0，∴f′（x）=e x-1+-m，令h（x）=f′（x）=e x-1+，∴h′（x）=e x-1-，∵h′（x）在（0，+∞）为增函数，又h′（1）=1-1=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=2-m，当m=0时，即f′（x）≥2，当且仅当x=1时去等号，∴f′（x）的最小值为2．（Ⅱ）∵函数f（x）存在极值，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有实数解，由（Ⅰ）可知f′（x）min=f′（1）=2-m，又f（1+ln m）=＞0，f（）=＞0，∴2-m＜0，即m＞2，∴当2＜m＜e时，e m＞m m，m e＞m m，当m=e时，e m=m m，m e=m m，当m＞e时，e m＜m m，m e＜m m，下面比较e m与m e的大小，即比较m与e ln m的大小，考察函数g（x）=x-e ln x，（x＞2），∵g′（x）=1-=，当2＜x＜e，g′（x）＜0，当x＞e时，g′（x）＞0，∴g（x）在（2，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（e）=0，即x≥e ln x，∴e m≥m e（当且仅当m=e时取等号）综上，当2＜m＜e时，e m＞m e＞m m，当m＞e时，m m＞e m＞m e．【解析】（Ⅰ）先求导，再根据函数，再求导，根据导数和函数最值的关系即可求出，（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得m＞2，再分类讨论，比较e m与m e的大小，即比较m与e ln m的大小，考察函数g（x）=x-3ln x，利用导数与函数的单调性即可求出．本题考查导数的运用：单调区间、极值和最值，考查大小比较，注意运用转化思想转化为求函数的最值问题，考查化简整理的运算能力，属于难题．22.【答案】解（1）由ρ=6sinθ，得ρ2=6ρsinθ，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+（y-3）2=9，由ρsin（θ+）=1，得ρ（sinθ+cosθ）=ρsinθ+ρcosθ=1，∴曲线C2的直角坐标方程为：x+y-2=0；（2）由（1）知曲线C2为直线，倾斜角为，点P的直角坐标为（0，2），∴直线C2的参数方程为（t为参数），代入曲线C1：x2+（y-3）2=9中，并整理得t2-t-8=0，设A1B对应的参数分别为t1，t2，则，t1+t2=t1t2=-8，∴|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=8，|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==，∴+==．【解析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2即可化简两个极坐标方程，从而得到所求直角坐标方程；（2）根据C2的直角坐标方程可得其参数方程的标准形式，代入C1的直角坐标方程中，利用t的几何意义，将所求问题变为求解，根据韦达定理得到结果本题考查极坐标与直角坐标的互化、利用直线参数方程的几何意义求解线段之和或积的问题．解题关键是明确直线参数方程标准形式中t所具有的几何意义，从而可利用韦达定理来解决．属中档题．23.【答案】解：（1）当a=1时，由f（x）≤3得|2x-1|+|x+2|≤3，当x≥时，2x-1+x+2≤3，解得≤x≤，当-2＜x＜时，1-2x+x+2≤3，解得0≤x＜，当x≤-2时，1-2x-x-2≤3，x无实数解，故原不等式的解集为：[0，]，（2）当a=0时，f（x）=|2x|+2≥2，当a＞0时，f（x）=，∴f（x）min=min{f（），f（-）}，又f（）=+2＞2，f（-）=a+≥2=4，∴f（x）min＞2，即f（x）＞2，综上，f（x）≥2．【解析】（1）采用绝对值的零点分段的方式，得f（x）在每一段的解析式，进而构造出不等式，求解不等式得到解集；（2）当a=0时，显然成立；当a＞0时，采用绝对值的零点分段的方式，得到f（x）的解析式，从而可确定f（x）min=min{f（），f（-）}，验证f（），f（-）的值，均大于2，故结论可证．本题考查分类讨论解绝对值不等式、不等式的证明问题，关键是能够采用零点分段的方式，去除绝对值符号，从而得到每一段的解析式．。

(推荐)江西省九江市2020届高三第三次高考模拟统一考试理科数学试题含答案.doc

九江市2020年第三次高考模拟统一考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数2iz (i 12i-=-为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 设全集U R =，{}{}2|60,|1A x x x B x x =--≥=>，则()U C A B = （）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|2x x >-C ．{}|13x x <<D ．{}|13x x <≤ 3. 已知数列{}n a 为等比数列，若2102,8a a ==，则6a =（）A ．4±B ．4- C.4 D ．5 4.已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a << C.c a b << D ．c b a <<5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为，从C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若AFO ∆的面积为 1，则双曲线C 的方程为（）A ．22128x y -= B ．2214x y -= C. 221416x y -= D ．2214y x -= 6. 若从集合{}1,2,3,4,5中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为（） A ．15 B ．25 C.12 D ．357. 执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为1-，那么判断框内应填入的条件是（）A ． 8k ≤B ．9k ≤ C. 10k ≤ D ．11k ≤8. 已知实数 ,x y 满足201010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，若z mx y =+的最小值为 3，则实数m 的值是（）A ．2-B ． 3 C. 8 D ．29. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()8822111i i i i i a a a++==-=∑∑（）A ．0B ．1- C. 1 D ．2 10. 如图所示，在正方体1111ABCD A BCD -中，点G 在棱1AA 上，1,,3AG E F =分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,E F G 三点的截面α将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面α截得的上、下两部分面积之比为（）A ．16 B ．14 C. 13 D ．1211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（） AB ．2C.．412. 若对任意()0,x π∈，不等式sin x x e e a x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]2,2- B ．(],e -∞ C.(],2-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在()()6312xx -+的展开式中，5x 的系数是．14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为．15. 已知向量()()1,3,2,6a b =-=-，若向量 c 与 a 的夹角为60，且()10c a b ⋅+=-，则c = ．16. 已知数列{}n a 的前 n 项和为 n S ，且满足111,2n n n a a a S +=⋅=，设3nnn a a b =，若存在正整数(),p q p q <，使得1,,p q b b b 成等差数列，则p q += ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆ 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222sin sin sin 2sin sin sin B C A B C B C +=++.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 某农科所发现，一种作物的年收获量 y （单位：kg ）与它“相近”作物的株数 x 具有线性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m )，并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（1）求该作物的年收获量 y 关于它“相近”作物的株数x 的线性回归方程；（2）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为 1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．(注年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据)附：对于一组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y ，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为, 1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角 A 等于60，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，90EDA ∠=，且222ED AD AF AB ====.（1）证明：平面ABE ⊥平面EBD ；（2）点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD20. 如图所示，已知椭圆()2222:1x y C a b c a b +=>>的焦距为 2，直线y x =被椭圆 C截得的弦长为.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设点()00,M x y 是椭圆 C 上的动点，过原点O 引两条射线12,l l 与圆()()22002:3M x x y y -+-=分别相切，且12,l l 的斜率12,k k 存在. ①试问 12k k ⋅ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由； ②若射线12,l l 与椭圆 C 分别交于点,A B ，求OA OB ⋅的最大值.21. 已知函数()()2ln 1(f x ax x x a =--∈R) 恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数 a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点 P 的极坐标是2π⎫⎪⎭，曲线 C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1- 的直线 l 经过点P . （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PBPB PA+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21(f x x x a a =++-∈R). （1）若 1=a ，求不等式 ()5f x ≥的解集；（2）若函数()f x 的最小值为3，求实数 a 的值.九江市2017年第三次高考模拟统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1-5 ABCCD 6-10BBDAC 11-12：BC二、填空题13. 228- 14.43π15. 5 三、解答题17. 解：(1) 由正弦定理得：()2222222sin ,,2sin b c a bc B C A B C b c a bc A π+=++++=∴+=+，222sin 2b c a A bc+-∴=，由余弦定理得cos sin ,tan 1A A A ==，又()0,,4A A ππ∈∴=.(2)由（1）得22222,2,42b c a a b c b c +-==∴+=+，222,42b c bc bc +≥∴+≥（当且仅当b c =时取得等号），即4bc ≤=+1sin 1.24ABC S bc A ABC ∆∴==≤∴∆1. 18. 解：(1)()()111235674,6055534645415066x y =+++++==+++++=,()()()()()()()()61310251314253984iii x x y y =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑,()()()()62222222132112328ii x x =-=-+-+-+++=∑,1122211()()84328()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---∴===-=---∑∑∑∑,503462a y bx =-=+⨯=,故该作物的年收获量 y 关于它相邻作物的株数 x 的线性回归方程为362y x =-+. (2) 由（1）得，当2,3,4x =，与之相对应56,53,50y =，()()()()()()418141562,533,504164162164P y P X P y P X P y P X ===============，所以它的年收获量 y 的分布列数学期望为()56535053424Ey kg =⨯+⨯+⨯= . 19. 解：(1) 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面,,ABCD AD ED AD ED ≠=⊥⊂平面ADEF ，ED ∴⊥平面ABCD ，AB ≠⊂平面ABCD ，AB ED ∴⊥，又2,1,60,AD ABA AB BD ===∴⊥.又,,BD ED D BD ED ≠=⊂平面,EBD AB ∴⊥平面EBD ，又AB ≠⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面EBD .(2)以B 点为原点建立如图空间直角坐标系 B xyz -，则()()()()11,0,0,,,,1,0,12A C D E F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面ECD 的法向量为()1111,,nx y z =，则()11013,,,0,0,0,2220n CD CD DE n DE ⎧⎛⎫⋅=⎪== ⎪⎨⎝⎭⋅=⎪⎩，即11110220x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令11y =-，得()13,1,0n =-，设[],0,1EM EF λλ=∈，则()()(),2,,33,2,1,0,0M BM BA λλλλλ-+∴=-+-+=，设平面MAB 的法向量为()2222,,n x y z=，则2200n BM n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(()2222200x y z x λλ⎧++-+=⎪⎨=⎪⎩，22y λ=-，得(20,2n λ=-，1211cos 42nn n n θ⋅∴====⋅，解得12λ=，所以M 为线段EF 的中点. 20. 解：(1) 依题意得1c =,设直线 y x =与椭圆 C 相交于,P Q 两点，则OP =,不妨设 2222,13333P a b⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,又221a b -=，解得1a b ==，所以椭圆 C 的方程为2212x y +=.(2) ①设射线l 方程为()()1122,,,,y kx A x y B x y =3=()222000326320xk x y k y --+-=，2022200012220031232121,232322x x y y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=-∴===---. ②联立22122x y y k x ⎧+=⎨=⎩，消去 y 得22211221222,1212k x OA k k +==++，同理222222212k OB k +=+， ()()()()()()2222222221212121222222221212121214522224121222421k k k k k k k k OA OB k k k k k k k k +++++++∴⋅=⋅=⋅=+++++++ 212119214222k k =+≤++，当且仅当2112k =时，取等号max 32OA OB ∴⋅=.21. 解：(1)()'ln 2f x a x x ∴=- ,依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根,2ln 0,x a a x ∴≠=,令()()2ln 1ln ,'x xg x g x x x-==.当()0,x e ∈时，()'0g x > ；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <， ()g x ∴在 ()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，且，()10g =，当x e >时，()()210,0g x g e a e>∴<<=，解得2a e >，故实数 a 的取值范围是()2,e +∞. (2)由（1）得1122ln 2,ln 2a x x a x x ==, 两式相减得()()12121212ln ln 2,2ln ln x x a x x x x a x x --=-=⋅-,()()()1212122ln ln 1121x x x x x x a aλλλλλλ++>+⇔>+⇔+>+()()()()112212121212112122ln 1ln ln 11ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλ⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭⇔+>⇔>+⇔>+---,120x x <<，令()()12ln 0,1,11x t t t x t λλ+=∈∴>+-，即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-，则需满足()0h t <在()0,1上恒成立，()'ln h t t tλλ=+-，令()ln I t t t λλ=+-，则()()()221'0,1t I t t t t tλλ-=-=∈. ①当1λ≥时，()()'0,'I t h t <∴上单调递减, ()()()''10,h t h h t ∴>=∴在()0,1上单调递增 ,()()10h t h ∴<=, 符合题意； ②当0λ≤时，()()'0,'I t h t >∴上单调递增,()()()''10,h t h h t ∴<=∴在()0,1上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意；③当01λ<<时，()()'01,'I t t h t λ>⇔<<∴在 (),1λ上单调递增， ()()()''10,h t h h t ∴<=∴在(),1λ上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意，综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞. 22. 解：(1) 由曲线 C 的极坐标方程4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得2cos ρθθ=+，即22cos sin ρρθθ=+，因此曲线 C的直角坐标方程为2220x y x +--=，即()(2214x y -+-=，点P的直角坐标为(，直线 l 的倾斜角为135，所以直线 l 的参数方程为2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）. (2)将2(2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入()(2214x y -+=，得230t +-=，设,A B 对应参数分别为12t t，有12123t t t t +==-，根据直线参数方程 t 的几何意义有，()222221212*********t t t t t t PA PB PA PB PB PA PA PB t t t t +-+++====⋅. 23. 解：（1）()31,12113,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩,当1x ≥时，315x +≥，即44,33x x ≥∴≥；当11x -<<时，35x +≥，即2x ≥，此时x 无实数解；当1x ≤-时，315x --≥，即2,2x x ≤-∴≤-，综上所述，不等式的解集为{|2x x ≤-和43x ⎫≥⎬⎭. （2）当1a =-时，()31f x x =+最小值为 0，不符合题意，当1a >-时，()32,2,132,1x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩，()()min113f x f a ∴=-=+=，此时2a =；当1a <-时， ()32,12,132,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩，()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-，综上所示，2a =或4a =-.。

江西省九江市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷含解析

江西省九江市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．据中国电子商务研究中心() 发布2017《年度中国共享经济发展报告》显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿元投资，数据1159.56亿元用科学记数法可表示为( )A ．81159.5610⨯元B ．1011.595610⨯元C ．111.1595610⨯元D ．81.1595610⨯元2．如图，点E 是四边形ABCD 的边BC 延长线上的一点，则下列条件中不能判定AD ∥BE 的是（）A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．D 5∠∠= D ．B BAD 180∠∠+=o 3．单项式2a 3b 的次数是（）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，ABC V 内接于O e ，若A 40∠=o ，则BCO (∠= )A ．40oB ．50oC ．60oD ．80o5．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（）A ．49B ．112C ．13D ．166．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A ．B ．C ．D ．7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣2k 和二次函数y ＝﹣kx 2+2x ﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．如图，O为坐标原点，四边彤OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，删△AOF的面积等于（）A．10 B．9 C．8 D．69．下列计算正确的是（）A．x2+x2=x4 B．x8÷x2=x4 C．x2•x3=x6 D．（-x）2-x2=010．△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A．12B．22C．32D．3311．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有()A．1种B．2种C．3种D．4种12．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（）A． B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分式方程的解是．14．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.15．使21x 有意义的x的取值范围是__________．16．已知△ABC中，BC=4，AB=2AC，则△ABC面积的最大值为_______．17．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为．18．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2和5，圆心距为d,若⊙O1与⊙O2相交，那么d的取值范围是_________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？20．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=13AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形.21．（6分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．画出△AOB 平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD 的方向，平移的距离为AD 的长．观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．22．（8分）计算：8﹣4cos45°+（12）﹣1+|﹣2|． 23．（8分）解方程（1）2430x x --=；（2）()22(1)210x x ---=24．（10分）某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如下图所示：本次调查人数共人，使用过共享单车的有人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？25．（10分）随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A ：车价40万元以上；B ：车价在20—40万元；C ：车价在20万元以下；D ：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）调查样本人数为__________，样本中B 类人数百分比是_______，其所在扇形统计图中的圆心角度数是________；（2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．26．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．求∠CDE的度数；求证：DF是⊙O的切线；若AC=25DE，求tan∠ABD的值．27．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC 的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP=1，则AE= ；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】1159.56亿=115956000000，所以1159.56亿用科学记数法表示为1.15956×1011，故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．A【解析】【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】∵∠1=∠2，∴AB∥CD，选项A符合题意；∵∠3=∠4，∴AD∥BC，选项B不合题意；∵∠D=∠5，∴AD∥BC，选项C不合题意；∵∠B+∠BAD=180°，∴AD∥BC，选项D不合题意，故选A．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3．C【解析】分析：根据单项式的性质即可求出答案．详解：该单项式的次数为：3+1=4故选C ．点睛：本题考查单项式的次数定义，解题的关键是熟练运用单项式的次数定义，本题属于基础题型． 4．B【解析】【分析】根据圆周角定理求出BOC ∠，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：由圆周角定理得，BOC 2A 80∠∠==o ，OB OC =Q ，BCO CBO 50∠∠∴==o ，故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．5．C【解析】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况， ∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：2163=. 故选C.【点睛】运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．6．D【解析】A ，B ，C 只能通过旋转得到，D 既可经过平移，又可经过旋转得到，故选D.7．C【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．【详解】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，-22k-=1k>0，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-22k-=1k<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-22k-=1k<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等．8．A【解析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．设OA=a，BF=b，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，∴点A的坐标为（a，a）．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a×a=a2=12，解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．∴AM=8，OM=1．∵四边形OACB是菱形，∴OA=OB=10，BC∥OA，∴∠FBN=∠AOB．在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN==b，∴点F的坐标为（10+b，b）．∵点F在反比例函数y=的图象上，∴（10+b）×b=12，S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10故选A．“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA.9．D【解析】试题解析：A原式=2x2，故A不正确；B原式=x6，故B不正确；C原式=x5，故C不正确；D原式=x2-x2=0，故D正确；故选D考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方．10．B【解析】作AD⊥BC的延长线于点D,如图所示：在Rt△ADC中，BD=AD，则2BD．cos∠ACB=222ADAB==，故选B．11．B【解析】【分析】首先设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解. 【详解】解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：3x+5y=35，y=7-35 x，∵x、y都是正整数，∴x=5时，y=4；x=10时，y=1；∴购买方案有2种．故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.12．A【解析】【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-12ba-＞0，即可进行判断．【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，∴x=ax 2+bx+c ，∴ax 2+（b-1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x 与二次函数y=ax 2+bx+c 交于第一象限的P 、Q 两点，∴方程ax 2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．∴函数y=ax 2+（b-1）x+c 与x 轴有两个交点，又∵-2b a＞0，a ＞0 ∴-12b a -=-2b a +12a ＞0 ∴函数y=ax 2+（b-1）x+c 的对称轴x=-12b a-＞0， ∴A 符合条件，故选A ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．x=﹣1．【解析】试题分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：x=2x ﹣1+2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．考点：解分式方程． 14．2π3【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π，故答案为23π. 15．12x ≥ 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求解即可.【详解】由题意可得：210x -≥，解得：12x ≥.所以答案为12 x≥.【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.16．16 3【解析】【分析】设AC=x,则AB=2x,根据面积公式得S△ABC=2x21cos C-,由余弦定理求得cosC代入化简S△ABC=222569809169x⎛⎫--⎪⎝⎭,由三角形三边关系求得443x<<,由二次函数的性质求得S△ABC取得最大值. 【详解】设AC=x,则AB=2x,根据面积公式得:c=1sin2sin2AC BC C x C⋅⋅==2x21cos C-.由余弦定理可得:2163cos8xCx-=,∴S△ABC=2x21cos C-=2x2216318xx⎛⎫-- ⎪⎝⎭=222569809139x⎛⎫--⎪⎝⎭由三角形三边关系有2442x xx x+>⎧⎨+>⎩,解得443x<<,故当45x=时,443x<<取得最大值163,故答案为: 16 3.【点睛】本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用,考查了二次函数的性质,考查了计算能力,当涉及最值问题时,可考虑用函数的单调性和定义域等问题,属于中档题.17．【解析】【分析】要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得．【详解】解：连接OD，如图所示，由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=6×=2，∵∠COE=90°，OC=3，∴OE=OCtan60°=3×=3，∴AE=OE﹣OA=3-2=，【点晴】切线的性质18．3<d<7【解析】【分析】若两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：相交，则R-r<d<R+r，从而得到圆心距O1O2的取值范围．【详解】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，且两圆的位置关系为相交，∴圆心距O1O2的取值范围为5-2<d<2+5，即3<d<7.故答案为：3<d<7.【点睛】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握圆与圆的位置关系.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）3辆；2辆【解析】分析：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据“两种款型的单车共100辆，总价值36800元”列方程组求解可得；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式，解之求得a的范围，进一步求解可得．详解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得：10040032036800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：6040x y =⎧⎨=⎩，答：本次试点投放的A 型车60辆、B 型车40辆；（2）由（1）知A 、B 型车辆的数量比为3：2，设整个城区全面铺开时投放的A 型车3a 辆、B 型车2a 辆，根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，解得：a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A 型车至少3000辆、B 型车至少2000辆，则城区10万人口平均每100人至少享有A 型车3000×100100000=3辆、至少享有B 型车2000×100100000=2辆．点睛：本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等（或不等）关系，并据此列出方程组．20．（1）证明见解析；（2）从运动开始经过2s 或53s 或125s 或685-s 时，△BEP 为等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据内错角相等，得到两边平行，然后再根据三角形内角和等于180度得到另一对内错角相等，从而证得原四边形是平行四边形；（2）分别考虑P 在BC 和DA 上的情况求出t 的值.【详解】解：（1）∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB ∥CD ，∵∠B=∠D ，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，∴∠DAC=∠ACB ，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．（2）∵∠BAC=90°，BC=5cm ，AB=3cm ，′由勾股定理得：AC=4cm ，即AB 、CD 间的最短距离是4cm ，∵AB=3cm ，AE=13AB ， ∴AE=1cm ，BE=2cm ，设经过ts 时，△BEP 是等腰三角形，当P在BC上时，①BP=EB=2cm，t=2时，△BEP是等腰三角形；②BP=PE，作PM⊥AB于M，∴BM=ME=12BE=1cm∵cos∠ABC=35 AB BMBC BP==，∴BP=53 cm，t=53时，△BEP是等腰三角形；③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，则BP=2BN，∴cosB=35 BNBE=，∴3 25 BN=，BN=65 cm，∴BP=125，∴t=125时，△BEP是等腰三角形；当P在CD上不能得出等腰三角形，∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，过P作PQ⊥BA于Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠QAD=∠ABC，∵∠BAC=∠Q=90°，∴△QAP∽△ABC，∴PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，∴x=221325-，AP=5x=22135-cm，∴t=5+5+3﹣2213-=68221-，答：从运动开始经过2s或53s或125s或682215-s时，△BEP为等腰三角形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理及一元二次方程的解法，要求学生能够熟练利用边角关系解三角形. 21．（1）如图所示见解析；（2）四边形OCED是菱形．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA=DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA=OB，故DE=CE，由此可得出结论．【详解】（1）如图所示；（2）四边形OCED是菱形．理由：∵△DEC由△AOB平移而成，∴AC∥DE，BD∥CE，OA=DE，OB=CE，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴DE=CE，∴四边形OCED是菱形．【点睛】本题考查了作图与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.22．4【解析】分析：代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂的意义”和“二次根式的相关运算法则”进行计算即可. 详解：原式=4224+=．点睛：熟记“特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义：1p p aa-=（0a p ≠，为正整数）”是正确解答本题的关键.23．（1）12x =，22x =；（2）11x =，23x =-．【解析】【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：∵1a =，4b =-，3c =-，∴224(4)41(3)280b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，∴2x ====±∴12x =，22x =（2）解：原方程化为：2(1)2(1)(1)0x x x --+-=，因式分解得：[](1)(1)2(1)0x x x ---+=，整理得：(1)(3)0x x ---=，∴10x -=或30x --=，∴11x =，23x =-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．（1）200，90 （2）图形见解析（3）750人【解析】试题分析：（1）用对于共享单车不了解的人数20除以对于共享单车不了解的人数所占得百分比即可得本次调查人数；用总人数乘以使用过共享单车人数所占的百分比即可得使用过共享单车的人数；（2）用使用过共享单车的总人数减去0～2,4～6,6～8的人数，即可得2～4的人数，再图上画出即可；（3）用3000乘以骑行路程在2～4千米的人数所占的百分比即可得每天的骑行路程在2～4千米的人数.试题解析：（1）20÷10%=200，200×（1-45%-10%）=90 ；（2）90-25-10-5=50，补全条形统计图（3）503000200=750(人)答: 每天的骑行路程在2～4千米的大约750人25．（1）50，20%，72°．（2）图形见解析；（3）选出的2人来自不同科室的概率=．【解析】试题分析：（1）根据调查样本人数=A类的人数除以对应的百分比．样本中B类人数百分比=B类人数除以总人数，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B类人数的百分比×360°．（2）先求出样本中B类人数，再画图．（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率．试题解析：（1）调查样本人数为4÷8%=50（人），样本中B类人数百分比（50﹣4﹣28﹣8）÷50=20%，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%×360°=72°；（2）如图，样本中B类人数=50﹣4﹣28﹣8=10（人）；（3）画树状图为：共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种，所以选出的2人来自不同科室的概率=．考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．26．（1）90°；（1）证明见解析；（3）1．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（1）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（1）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DE AD DC=，∴DC1=AD•DE∵AC=15DE，∴设DE=x，则AC=15x，则AC1﹣AD1=AD•DE，期（15x）1﹣AD1=AD•x，整理得：AD1+AD•x﹣10x1=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x-=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．27．（1）；（2）①证明见解析；②；（3）．【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；（2）①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；②连接OA、AC，由勾股定理求出AC=，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得出MN=AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由相似三角形的对应边成比例求出AE的表达式，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值=即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE=，故答案为：；（2）①∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四点共圆，∴点O一定在△APE的外接圆上；②连接OA、AC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=，即点O经过的路径长为；（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：则MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE==，∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．【点睛】本题考查圆、二次函数的最值等，正确地添加辅助线，根据已知证明△APE∽△BCP是解题的关键.。

江西省九江市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题(wd无答案)

江西省九江市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题一、单选题(★) 1. 复数的虚部为（）A．B．C．D．(★★) 2. 若集合，则A∪ B＝（）A．{x|x＜5}B．{x|﹣2≤x≤4}C．{x|﹣2≤x＜5}D．{x|1＜x≤4}(★★★) 3. 若数列{ a n}为等比数列，则“ a 2， a 4是方程 x 2﹣3 x+1＝0的两根”是“ a 3＝±1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 4. 抛物线 y＝ ax 2上一点到其准线的距离为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 若 a， b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 如图是九江市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r＝0.83，则下列结论错误的是（）A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在10月C．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更大D．每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加(★★★★) 7. 2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）A．，B．，C．，D．，(★★) 8. 在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234A ．B ．C ．D ．(★★★) 9. 函数的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 10. 设双曲线的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过点 F 2的直线分别交双曲线左、右两支于点 P ， Q ，点 M 为线段 PQ 的中点，若 P ， Q ， F 1都在以 M 为圆心的圆上，且，则双曲线 C 的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．2(★★★) 11. 如图所示，三棱锥 S 一 ABC 中，△ ABC 与△ SBC 都是边长为1的正三角形，二面角 A﹣ BC﹣ S的大小为，若 S， A， B， C四点都在球 O的表面上，则球 O的表面积为（）A．πB．πC．πD．3π(★★)12. 已知函数，若不等式恰有两个整数解，则 m的个数为（）A．6B．7C．8D．9二、填空题(★★) 13. 已知向量，若与共线，则实数 x的值为_____．(★★) 14. 若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____．(★★★) 15. 设等差数列{ a n}满足： a 1＝3，公差d∈（0，10），其前 n项和为 S n．若数列也是等差数列，则的最小值为_____．(★★★) 16. 在棱长为1的正方体 ABCD﹣ A 1 B 1 C 1 D 1中，点 M， N分别是棱 B 1 C 1， C 1 D1的中点，过 A， M， N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面 ADD 1 A 1作投影，则投影图形的面积为_____．三、解答题(★★★) 17. 在△ ABC中，三内角 A， B， C满足．（Ⅰ）判断△ ABC的形状；（Ⅱ）若点 D在线段 AC上，且 CD＝2 DA，，求tan A的值．(★★★) 18. 已知正△ ABC边长为3，点 M， N分别是 AB， AC边上的点， AN＝ BM＝1，如图1所示．将△ AMN沿 MN折起到△ PMN的位置，使线段 PC长为，连接 PB，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面 BCNM；（Ⅱ）若点 D在线段 BC上，且 BD＝2 DC，求二面角 M﹣ PD﹣ C的余弦值．(★★★★) 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆上位于第一象限上的点，为椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，，的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点（、在直线的同侧），若，求直线的方程.(★★★★★) 20. 已知函数，存在极小值点．（Ⅰ）求 a的取值范围；（Ⅱ）设，且，求证：．(★★★★) 21. 为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法：（1）抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为80元，每个个体收取检测费为100元．（2）核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过10个时，把所有个体合并在一起进行检测．当个体超过10个时，每10个个体为一组进行检测．若该组检测结果为阴性（正常），则只需检测一次；若该组检测结果为阳性（不正常），则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测 k+1次（ k为该组个体数，1≤ k≤10，k∈ N *）．每一次检测成本为160元．假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率均为 p（0＜ p＜1）．（Ⅰ）现有100个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率；（Ⅱ）因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定的补贴，故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是 k+1次，每组所有个体共收费700元（少于10个个体的组收费金额不变）．已知某企业现有员工107人，准备进行全员检测，拟准备9000元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检测安排方案；（Ⅲ）设，现有 n（n∈ N*且2≤ n≤10）个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试问检测机构应采用哪种检测方法？（ln3≈1.099，ln4≈1.386，ln5≈1.609，ln6≈1.792）(★★★) 22. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为（ t为参数），以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线 C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ） M， N为曲线 C．上两点，若OM⊥ ON，求| MN|的最小值．(★★★) 23. 定义区间的长度为，已知不等式的解集区间长度为1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，，求的最小值及此时 a， b的值．。

江西省九江市2022年高三第三次高考模拟统一考试数学(理科)卷

九江市2022年第三次高考模拟统一考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知i 为虚数单位，且i 12i z ，则||z A .1B.C .2D2.已知集合{|ln }1A x x N ≥，2{|40}B x x x N ，则A BA .{3}B .{1,2,3}C .{3,4}D .3.已知命题:p 若a b ，则22a b ，命题0:(0,)2q x ，00sin cos x x ，则A .p q ∧为真命题B .p q ∨为假命题C .p q ∧为真命题D .p q ∨为真命题4.已知1sin cos 3，则cos()4A .13B .13C.D5.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,) 的奇函数，且当0x 时.()|1|f x a x ，若(2)1f ，则(5)f A .6B .4C .3D .06.已知21log e,ln 2,ea b c，其中e 为自然对数的底数，则A .a b c B .a c b C .b a c D .b c a7.函数()sin()f x A x (0,0,||)2A的部分图像如图所示，对任意实数x ，都有12()()()f x f x f x ，下列说法中正确的是①()f x 的最小正周期为2 ；②12||x x 的最小值为2；③()f x 的图像关于12(,0)2x x 对称；④()f x 在[,212上单调递增.A .①③B .②③C .②④D .③④8.小明同学本学期5次数学测验中，最高分为90分，最低分为70分，中位数为85分，则这5次数学测验的平均分不可能是A .80分B .81分C .84分D .85分9.已知正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均相等，直线1AB 与1BC 所成的角为，则sinA .14B .C D .410.双曲线221(01)1x y m m m的左右焦点分别为12,F F ，P 为圆221x y 与该双曲线的一个公共点，则12PF F △的面积为A .1m B .m C .21m D .111.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则raA B .34C .2D .31)212.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60 时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e ，则2eA .19B .7C .3D .5第Ⅱ卷（非选择题90分）考生注意：本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知向量(1,2) a ，(4,1) b ，())(t a b a b ，则实数t 的值为.14.ABC △中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2bc a B ，则角A .15.已知直线4y ax (a R )与曲线1ln e y x x相切，则a.16.日常生活中，许多现象都服从正态分布.若2~(,)X N ，记1()P P X ，2P(22)P X ，3(33)P P X .小明同学一般情况下都是骑自行车上学，路上花费的时间(单位：分钟)服从正态分布(18,4)N .已知小明骑车上学迟到的概率为3012P P.某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间(单位：分钟)服从正态分布(35,9)N ，要使步行上学迟到的概率不大于0P ，则小明应该至少比平时出门的时间早分钟.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a ，1436n n n a a S .(Ⅰ)求n a ；(Ⅱ)求数列2{}(1)nn n n a 的前n 项和.18.(本小题满分12分)如图1，矩形PABC中，PCPA D 为PC 上一点且2CD DP .现将PAD △沿着AD折起，使得PD BD ，得到的图形如图2.(Ⅰ)证明：PA 平面PBD ；(Ⅱ)求二面角P AB D 的余弦值.19.(本小题满分12分)已知抛物线2:2(0)C y px p 过点(,2)P t ，且P 到抛物线C 的焦点的距离为2.(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)设,A B 为抛物线C 上两点，且PA PB ，求点P 到直线AB 距离的最大值.20.(本小题满分12分)电子竞技（Electronic Sports ）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行,本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；B图2CDPAB图1第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队(该战队获得季军)；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.现有包括A 战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知A 战队每场比赛获胜的概率为23，且各场比赛互不影响.(Ⅰ)估计A 战队获得冠军的概率；(Ⅱ)某公司是A 战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励(其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元)，其他情况不奖励.请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数2()sin ()f x x x ax a R .(Ⅰ)当0a 时，试比较()f x 与0的大小；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为||||sin cos ，曲线2C 的极坐标方程为πcos()4a (a R ).(Ⅰ)求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C ，求a 的值.23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数()f x x a (R a ).(Ⅰ)若关于x 的不等式()(2)f x f x 恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，()()1f x f y ≤所围成的区域面积为S ，若正数,,b c d 满足()()c b d d S ，求23b c d 的最小值．命题人：李高飞、周宝、王锋、刘凯、董赛松；审稿人：孙善惠、江民杰、林健航。

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