2016-2017学年甘肃省高考数学押题卷(理科)(一)(解析版) (15)

高考数学押题卷（理科）（一）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i是虚数单位，若（﹣1﹣2i）z=1﹣i则在复平面上所代表的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，6] B．[﹣6，﹣2 ]C．（2，6 ）D．（﹣6，﹣2）3．已知，且，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．4．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于（）A．B．C．D．﹣5．直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2 C．D．6．已知实数x、y满足约束条件，若=（x，y），=（3，﹣1），设z表示向量在方向上的投影，则z的取值范围是（）A．[﹣，6]B．[﹣1，6]C．[﹣，]D．[﹣，]7．执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为（）A．（8，2）B．（8，3）C．（16，3）D．（16，4）8．等差数列{a n}中的a1、a4027是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2014=（）A．2 B．3 C．4 D．59．在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于﹣5，则该展开式项的系数中最大值为A．5 B．10 C．15 D．2010．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π11．若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为（）A．+1 B．4C．3+2D．612．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=λ，则实数λ的值为．14．已知袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB，若a=3，则△ABC的面积的最大值为．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2=．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记T n为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得T n＜？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M 为PD的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a（1）证明：DA⊥平面PAC；（2）如果二面角M﹣AC﹣D的正切值为2，求a的值．19．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+d20．已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．21．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲][选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C：（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（p∈R），l与C相交于A，B两点（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程（2）设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i是虚数单位，若（﹣1﹣2i）z=1﹣i则在复平面上所代表的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：∵（﹣1﹣2i）z=1﹣i，∴z===，则=在复平面上所代表的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．2．若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得”的否定为：“∀x0∈R，都有”，由于命题“∃x0∈R，使得”为假命题，则其否定为：“∀x0∈R，都有”，为真命题，∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2，6]．故选A．【点评】本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理．3．已知，且，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【分析】由，且，知==1﹣1×=0，由此能求出向量与向量的夹角．【解答】解：∵，∴==0，∵，∴，==1×=，∴1﹣=0，∴cos＜＞=，∴．故选A．【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于（）A．B．C．D．﹣【分析】利用根与系数的关系表示出sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值，再利用完全平方公式求出sinθ﹣cosθ的值即可．【解答】解：∵sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，可得（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，即=1+m，即m=﹣，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0，∵（sinθ﹣cosθ）2=（sinθ+cosθ）2﹣4sinθcosθ=﹣2m=1﹣+=，∴sinθ﹣cosθ==．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．B ．2C ．D ．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l 与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x 2=4y 的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直， ∴直线l 的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x ﹣）|=． 故选：C ．【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．6．已知实数x 、y 满足约束条件，若=（x ，y ），=（3，﹣1），设z 表示向量在方向上的投影，则z 的取值范围是（ ）A ．[﹣，6]B ．[﹣1，6]C ．[﹣，]D ．[﹣，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z 的表达式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵=（x ，y ），=（3，﹣1），z 表示向量在方向上的投影，∴z==，即y=3x ﹣，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=3x﹣，当y=3x﹣，经过点C时直线y=3x﹣的截距最大，此时z最小，当y=3x﹣经过点B（2，0）时，直线的截距最小，此时z最大．由，得，即C（，3），此时最小值z=，此时最大值z=，故z的取值范围是[﹣，]，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为（）A．（8，2）B．（8，3）C．（16，3）D．（16，4）【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=4时，不满足条件y≤3，退出循环，输出有序实数对为（16，4），从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=1，y=0满足条件y≤3，x=2，y=1满足条件y≤3，x=4，y=2满足条件y≤3，x=8，y=3满足条件y≤3，x=16，y=4不满足条件y≤3，退出循环，输出有序实数对为（16，4）．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的x，y的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．等差数列{a n}中的a1、a4027是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2014=（）A．2B．3C．4D．5【分析】求函数的导数，由题意可得a1、a4027是对应方程的实根，由韦达定理可得a1+a4027的值，然后由等差数列的性质可得a2014的值，代入化简即可．【解答】解：求导数可得f′（x）=x2﹣8x+6，由题意可得a1、a4027是方程x2﹣8x+6=0的实根，由韦达定理可得a1+a4027=8，由等差数列的性质可得2a2014=a1+a4027=8，解得a2014=4，∴log2a2014=log24=2故选A【点评】本题考查等差数列的性质和韦达定理，属基础题．9．在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于﹣5，则该展开式项的系数中最大值为（）A．5B．10C．15D．20【分析】在（x﹣）5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．再根据x3的系数等于﹣5，求得r的值，可得该展开式项的系数中最大值．【解答】解：由于（x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣a）r•x5﹣2r，令5﹣2r=3，求得r=1，故x3的系数等于=﹣5，a=1．则该展开式项的系数中最大值为=10，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π【分析】根据三视图可判断正方体的内部挖空了一个圆锥，该几何体的体积为23﹣×π×12×2运用体积计算即可．【解答】解：∵几何体的三视图可得出：三个正方形的边长均为2，∴正方体的内部挖空了一个圆锥，∴该几何体的体积为23﹣×π×12×2=8，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解几何体的体积问题，关键是求解几何体的有关的线段长度．11．若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为（）A．+1B．4C．3+2D．6【分析】由已知利用对称中心的意义可得：当x=1时得到曲线的对称中心为（1，1），于是a+b=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵0＜x＜2，∴0＜πx＜2π，∴当x=1时，sinπx=0，可得曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1）．代入直线ax+bx﹣1=0（a＞0，b＞0），可得a+b=1．∴+=（a+b）=2+=，当且仅当2a=b=时取等号．∴+的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了对称中心的意义、“乘1法”和基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．12．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设P（m，n ），由得到n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．【解答】解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．【点评】本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=λ，则实数λ的值为．【分析】作EG∥AC交BD于G，根据平行线分线段成比例定理得到=，问题得以解决．【解答】解：作EG∥AC交BD于G，∵=，∴=，∵D为AC的中点，∴=，∴=，∴=．∴实数λ的值为，故答案为：．【点评】本题考查平面向量的线性运算以及平行线分线段成比例定理，属于基础题．14．已知袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为．【分析】先求出从中任取一个小球（取后放回），连取三次，取法为3×3×3=27种，其中最大编号不是3的有2×2×2=8，种根据概率公式计算即可【解答】解：连取3次，共有取法3×3×3=27种，其中最大编号不是3的有2×2×2=8种（此时每次只能取1，2号），所以最大标号为3的概率，故答案为：【点评】本题旨在考查计数原理、古典概型及其公式运用等知识．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB，若a=3，则△ABC的面积的最大值为．【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得3sinAcosA=sinA，结合sinA≠0可求，进而可求sinA，又由余弦定理可得，结合b2+c2≥2bc，解得，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，∴利用正弦定理可得：3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，又∵A∈（0，π），sinA≠0，∴；∴由sinA=，可得：，∵由a2=b2+c2﹣2bccosA，得，，而b2+c2≥2bc，∴解得：，∴△ABC的面积，（时，取等号），∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2=5﹣2．【分析】可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．【解答】解：设|AF2|=m，由|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|AF1|=2a+|AF2|=2a+m，又|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|，∴|BF2|=2a，又|BF1|﹣|BF2|=2a，∴|BF1|=4a，依题意，即，，在Rt△F1AF2中，即，即，∴e2=．故答案为：5﹣2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记T n为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得T n＜？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，利用S1，S2，S4成等比数列，求出公差，然后求出通项公式．（Ⅱ）利用a n=1时，T n=n≥1，此时不存在正整数n，使得；当a n=2n﹣1时，利用裂项法求出T n，通过，解得n＜1007．得到n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，1，2+d，4+6d成等比数列，所以（2+d）2=4+6d，即d2﹣2d=0，所以d=0或d=2．因此，当d=0时，a n=1；当d=2时，a n=2n﹣1．…（Ⅱ）当a n=1时，T n=n≥1，此时不存在正整数n，使得；当a n=2n﹣1时，==．由，得，解得n＜1007．故n的最大值为1006．…【点评】本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M 为PD的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a（1）证明：DA⊥平面PAC；（2）如果二面角M﹣AC﹣D的正切值为2，求a的值．【分析】（1）根据已知条件即知DA⊥AC，而PO⊥平面ABCD，从而DA⊥PO，从而由线面垂直的判定定理得到DA⊥平面PAC；（2）分别取DO，AO中点为G，H，并连接MG，GH，MH，从而可说明∠MHG 即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，根据该平面角的正切值为2即可求出a．【解答】解：（1）证明：由题意，∠ADC=45°，AD=AC=1，故∠DAC=90°；即DA⊥AC；又因PO⊥平面ABCD，DA⊂平面ABCD；所以，DA⊥PO，PO∩AC=O；∴DA⊥平面PAC；（2）如图，连结DO，取DO中点G，连接MG，∵M为PD中点，∴MG∥PO；∴MG⊥底面ABCD，∴MG⊥AC；同样取AO中点H，连接GH，则GH⊥AC，连接MH；则AC⊥MG，AC⊥GH，MG∩GH=G；∴AC⊥平面MGH；∴∠MHG即为二面角M﹣AC﹣D的平面角；而，MG=；∴；故a=2．【点评】考查线面垂直的性质，等腰三角形两底角相等，线面垂直的判定定理，以及三角形中位线的性质，二面角平面角的定义，正切函数的定义．19．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+d判断即可．（2）求出概率的分布列，然后利用超几何分布求解期望与方差即可．≈8.249VB8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关…（2）视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为．由题意可知X～B（3，），P（x=i）=（i=0，1，2，3）…E（x）=np=，D（x）=np（1﹣p）=…【点评】本题考查频率分布直方图的应用，对立检验以及二项分布的期望与方差的求法，分布列的求法，考查计算能力．20．已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．【分析】（I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c，则由题意得c=，，∴a=2，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为．…∴右顶点F的坐标为（1，0）．设抛物线E的标准方程为y2=2px（p＞0），∴，∴抛物线E的标准方程为y2=4x．…（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程，A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），由消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=2+，x1x2=1．由消去y得：x2﹣（4k2+2）x+1=0，∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…∴==||•||+||•||=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）=8+≥8+=16．当且仅当即k=±1时，有最小值16．…【点评】本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，当a=3时在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅱ）f′（x）=，令g（x）=x2﹣ax+2，其判别式△=a2﹣8，按△≤0时，△＞0时两种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，△＞0时再按根与0的大小讨论，即共分三种情况进行讨论解不等式即可；【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f′（x）=1+﹣=，令f′（x）=0，解得x=1或x=2，当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，所以当x=1时f（x）取得极大值f（1）=﹣1，当x=2时f（x）取得极小值f（2）=1﹣3ln2；（Ⅱ）f′（x）=1+﹣=，令g（x）=x2﹣ax+2，其判别式△=a2﹣8，①当|a|时，△≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＜﹣2时，△＞0时，g（x）=0的两根都小于0，所以在（0，+∞）上f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为：x1=，x2=，且都大于0，当0＜x＜x1或x＞x2时f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时f′（x）＜0，故f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上递减，综上，当a时f（x）（0，+∞）上单调递增；当a＞时，f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上递减；【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、函数的单调性，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是∠ACB 的平分线，交AE于点F，交AB于点D．（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．【分析】（Ⅰ）证明：△ACE∽△BCA，即可得出CE•AB=AE•AC（Ⅱ）证明△ACF∽△BCD，AF=AD，即可证明CF=DF．【解答】（Ⅰ）证明：由C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，得△ACE∽△BCA，∴，∴CE•AB=AE•AC；…（Ⅱ）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACF=∠BCD，∵AC为圆的切线，∴∠CAE=∠CBD，∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD，即∠AFD=∠ADF，∴AF=AD∴△ACF∽△BCD，∴=，∴CF=DF．…【点评】本题考查圆周角定理，弦切角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C：（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（p∈R），l与C相交于A，B两点（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程（2）设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．【分析】（Ⅰ）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程，再将曲线C的参数方程消去参数化为的普通方程；（Ⅱ）将代入y=x2﹣6化简后，由韦达定理求出中点M所对应的参数，再点M的直角坐标和极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，直线l的直角坐标方程是y=x，则直线l的参数方程为（t为参数），由得，曲线C的普通方程是y=x2﹣6；（Ⅱ）将代入y=x2﹣6得，，则△=12+4×24=108＞0，t1+t2=2，所以，即中点M所对应的参数为，所以点M的直角坐标是（，），则点M的极坐标（，）．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，以及点的直角坐标、极坐标间的互化，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，化简函数f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，画出直线y=4，数形结合求得不等式f（x）≤4的解集．（Ⅱ）由条件求得（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|=，如图所示：由于直线y=4和函数f（x）的图象交于点（0，4）、（2，4），故不等式不等式f（x）≤4的解集为[0，2]．（Ⅱ）由f（x）=|x﹣1+a|，可得|2x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1+a|．由于|2x﹣1|+|x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（x﹣a）|=|x﹣1+a|，当且仅当（2x﹣1）•（x﹣a）≤0时，取等号．故有（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0．当a=时，可得x=，故x的范围为{}；当a＞时，可得≤x≤a，故x的范围为[，a]；当a＜时，可得a≤x≤，故x的范围为[a，]．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．2016年7月20日。