江苏省常州市2021届高三上学期第一次学情调研数学试卷 PDF版含答案

常州市2020—2021学年度高三第一学期第一次学情调研数学学科试卷一、单选题（8小题，每题5分，共40分）1、已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ={x |x 2-2x -3<0}，则A ∪B 等于（）A．（2，12）B．（一l，3）C．（一l，12）D．（2，3）2、函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．3、函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B. C. D.4、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A ．1800B ．2700C ．7290D ．81005、已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a B ．C ．c a b >>D ．c b a>>6、已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（）A.(),0-∞ B.()0,∞+ C.(),2-∞ D.()2,+∞7、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当[)2,0x ∈-时，()xf x e =，则()()()201820212022f f f ++等于（）A.1eB.1e-C.e- D.e 8、已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]二、多选题（4小题，每题5分，共20分）9.已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值可能是A ．512πB ．712πC ．34πD ．1112π10.已知x>y>0,下列不等式成立的是（）A ．ln 1243ln x x+≥B ．23331x x x ++≥+C ．11x y yx +>+D ．44y y x x +<+11.对于函数()()1xf x x R x=∈+，下列判断正确的是（）A.()()110f x f x -++-=B.当()0,1m ∈时，方程()f x m =有唯一实数解C.函数()f x 的值域为(),-∞+∞ D.2x x ∀≠，()()1212-0f x f x x x >-12.设定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x 时，()f x x '<．已知存在22011|()(1)(1)22x x f x x f x x ⎧⎫∈----⎨⎬⎩⎭ ，且0x 为函数()(x g x e ex a a R =--∈，e 为自然对数的底数）的一个零点，则实数a 的取值可能是()A ．12B ．2e C ．2e D e三、填空题（4小题，每题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14.已知0x >，0y >，且3x y xy +=，若23t t x y +<+恒成立，则实数t 的取值范围是________.15.函数在区间上有两个零点，则的取值范围是.16.已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )(x )，f (x )≥g (x )，(x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是．四、解答题（6小题，共70分）17.（本题共10分）已知集合2{|20}A x x x =-->，集合2{|2(25)50}B x x k x k =+++<，k R ∈．（1）求集合B ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．18.（本题共12分）已知函数()()2sin(2x )2cos (x )066f x a a ππ=--+>，且满足.⑴求函数()f x 的解析式及最小正周期；⑵若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图像与直线y=-3的两个相邻点的距离等于π，③()f x 的图像过点(,0)6π这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）19.（本题共12分）已知(),0,αβπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，求：（1）求tan α的值.（2）求的角2αβ-.20.（本题共12分）设函数()2()23f x ax b x =+-+．（1）若(1)3f =，且0,0a b >>，求14a b+的最小值；（2）若(1)2f =，且()2f x >在(1,1)-上恒成立，求实数a 的取值范围．21.（本题共12分）设a ，b R ∈，函数()f x lnx ax =-，()bg x x=．（Ⅰ）若()f x lnx ax =-与()bg x x=有公共点(1,)P m ，且在P 点处切线相同，求该切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 有极值但无零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a >，1b =时，求()()()F x f x g x =-在区间[1，2]的最小值．22.（本题共12分）已知函数32()3(2)f x x x t x =-+-，()f x '为()f x 的导函数，其中t R ∈．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()0f x =有三个互不相同的根0，α，β，其中αβ<．①是否存在实数t ，使得()()f f αββα''=成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．②若对任意的[x α∈，]β，不等式()16f x t - 恒成立，求t 的取值范围．常州市2020—2021学年度高三第一学期第一次学情调研数学学科试卷参考答案一、选择题1、C2、B3、A.4、D5、D6、A7、A8、D9、AB10、BCD11、ABD12、BD二、填空题13、45-14、()4,3-15、16、a ＞3518三、解答题17、解：（1）{|(25)()0}B x x x k=++<∴当52k-<-，即52k>时，5(,)2B k=--；当52k-=-，即52k=时，B=∅；当52k->-，即52k<时，5(,)2B k=--；（2）1k≥18、解：（Ⅰ）函数f （x）＝a sin（2x ﹣）﹣2cos2（x+）＝a sin（2x﹣）﹣cos（2x +）﹣1＝a sin（2x﹣）﹣sin（﹣2x+）﹣1＝（a+1）sin（2x﹣）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin （2x﹣）﹣1；f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x﹣）＝1，解得2x﹣＝+2kπ，k∈Z；即x＝+kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为T＝＝π，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin﹣1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．19、19、解：⑴()()()tan tantan tan1tan tan11127113127ααββαββαββ=-+⎡⎤⎣⎦-+=--⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⑵22122tan33tan21tan4113ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭()()31tan2tan47tan21311tan2tan147αβαβαβ+--===+⎛⎫-⨯⎪⎝⎭()()1tan 0,10,3ααπ=∈∈ 且0,4πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭20,2πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()13tan --1,00,,74πββπβπ⎛⎫=∈∈∴∈ ⎪⎝⎭ 且3--,-4πβπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭2-,-4παβπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭32=-4παβ∴-20、解:（1）函数()2()23f x ax b x =+-+，由()1233f a b =+-+=，可得2a b +=，所以141141419()55)2222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当4b a a b =时等号成立，因为2a b +=，0,0a b >>，解得24,33a b ==时等号成立，此时14a b +的最小值是92.（2）由()1232f a b =+-+=，即1a b +=，又由()2232ax b x +-+>在(1,1)-上恒成立，即()2110ax a x -++>在(1,1)-上恒成立，等价于(1,1)-是不等式()(1)(1)0g x ax x =-->解集的子集，①当0a =时，不等式的解集为(,1)-∞，满足题意；②当0a <时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭，则11a ≤-，解得1a ≥-，故有10a -≤<；③当01a <≤时，即11a ≥时，不等式的解集为1(,1)(,)a-∞⋃+∞，满足题意；④当1a >时，即11a <时，不等式的解集为1(,(1,)a-∞⋃+∞，不满足题意，（舍去），综上所述，实数a 的取值范围是[1,1]-.21、解：（Ⅰ）由题意，得(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即1a b a b -=-⎧⎨-=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．g ∴'（1）12=，g （1）12=-，在点1(1,)2P -的切线方程为11(1)22y x +=-，即220x y --=；（Ⅱ）当0a 时，由1()0f x a x'=->恒成立，可知函数()f x 在定义域(0,)+∞单调递增，此时无极值；当0a >时，由1()0f x a x '=-=，得10x a=>．由1()0f x a x '=->，得1(0,x a ∈；1()0f x a x '=-<，得1(,)x a ∈+∞．于是，1x a =为极大值点，且1()(1max f x f lna a==--．由于函数()f x 无零点，因此1()(10max f x f lna a ==--<，解得1a e>；（Ⅲ）不妨设1()F x lnx ax x =--，得22211(1)()ax x F x a x x x ---'=-+=．设2()1h x ax x =--，0a > ，∴△140a =+>，设()0h x =的两根为1x ，2x ，且12x x <，由1210x x a =-< ，得10x <，20x >，且2x =．∴122()()()a x x x x F x x ---'=．由()0F x '=，得2x x =．∴当()0F x '>时，20x x >>；当()0F x '<时，2x x >．()F x ∴在(0，2]x 单调递增，在2[x ，)+∞上单调递减．①当201x < ，即112(1)0a h ⎧<⎪⎨⎪⎩ ，即2a 时，[1，22][x ⊆，)+∞，()F x 在[1，2]递减，()min F x F ∴=（2）1222ln a =--；②当22x ，即h （2）0 ，即304a < 时，[1，2](0⊆，2]x ，()F x 在[1，2]递增，()min F x F ∴=（1）1a =--；③当212x <<，即324a <<时，()F x 在[1，2]x 递增，2[x ，2]递减，F ∴（2）F -（1）11221222ln a a ln a =--++=+-．()i 当1222ln a +< 时，F （2）F （1），()min F x F ∴=（2）1222ln a =--；()ii 当31242a ln <<+时，F （2）F >（1），()min F x F ∴=（1）1a =--．综合①、②、③得，()()()F x f x g x =-在区间[1，2]的最小值为：11,(02)2()1122,(2)22mina a ln F x ln a a ln ⎧--<<+⎪⎪=⎨⎪--+⎪⎩ ．22、解：（1）当2t =时，2()36f x x x '=-，令2()360f x x x '=->，得2x >或0x <，所以()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞；令2()360f x x x '=-<，得02x <<，所以()f x 的单调减区间为(0,2)．（2）①由题意知α，β是方程23(2)0x x t -+-=的两个实根，所以21(3)4(2)0t =---> ，得14t >-．且3αβ+=，2t αβ=-，2252t αβ+=+，由()()f f αββα''=成立得，()()f f ααββ''=，化简得223()6()(2)0t ααββαβ++-++-=，代入得3(522)63(2)0t t t ++--⨯+-=，即520t +=，解得52t =-，因为14t >-，所以这样的实数t 不存在．②因为对任意的[x α∈，]β，()16f x t - 恒成立．由3αβ+=，2t αβ=-，且αβ<，当124t -<<时，有0αβ<<，所以对[x α∈，]β，()0f x ，所以016t - ，解得16t ．所以124t -<<．当2t >时，有0αβ<<，2()36(2)f x x x t '=-+-，其判别式△2(6)12(2)12(1)0t t =---=+>．由()0f x '>，得x <或x >此时()f x 存在极大值点1(,0)x α∈，且1x =．由题得321111()3(2)16f x x x t x t =-+-- ，将1x =代入化简得(72t +，解得11t ．因此211t < ．综上，t 的取值范围是1(,2)(2,11]4-⋃．。