2019-2020学年广东省深圳市宝安中学高一(下)晚测数学试卷(一)

2019-2020学年广东省深圳市宝安中学高一（下）晚测数学试卷
（一）
一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）
1. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 【答案】 C
【考点】 分层抽样方法 【解析】
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】
解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理， 故选C ．
2. 在△ABC 中，若AB =√13，BC =3，∠C =120∘，则AC =（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 A
【考点】
余弦定理的应用 【解析】
本题考查解三角形． 【解答】
解：在△ABC 中，
由余弦定理可得AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC cos 120∘， 则13=AC 2+9+3AC ，解得AC =1（舍负）． 故选A ．
3. 设向量a →
=(1, cos θ)与b →
=(−1, 2cos θ)垂直，则cos 2θ等于（ ） A.√2
2
B.1
2
C.0
D.−1
【答案】 C
【考点】
二倍角的三角函数
数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】
由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为0，得出2cos2θ−1的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将
2cos2θ−1的值代入即可求出值．
【解答】
∵a→=(1, cosθ)，b→=(−1, 2cosθ)，且两向量垂直，
∴a→⋅b→=0，即−1+2cos2θ＝0，
则cos2θ＝2cos2θ−1＝0．
4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B=π
6，C=π
4
，则△ABC
的面积为（）
A.2√3+2
B.√3+1
C.2√3−2
D.√3−1
【答案】
B
【考点】
正弦定理
三角形的面积公式
【解析】
由sin B，sin C及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】
∵b＝2，B=π
6，C=π
4
，
∴由正弦定理b
sin B =c
sin C
得：c=b sin C
sin B
=2×
√2
2
1
2
=2√2，A=7π
12
，
∴sin A＝sin(π
2+π
12
)＝cosπ
12
=√2+√6
4
，
则S△ABC=1
2bc sin A=1
2
×2×2√2×√2+√6
4
=√3+1．
5. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96, 106]，样本数据分组为[96, 98),[98, 100),[100, 102),[102, 104), (104, 106]，已知样本中产品净重小于100克
的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）
A.90
B.75
C.60
D.45
【答案】
A
【考点】
频率分布直方图
先求出样本中产品净重小于100克的频率，由此利用样本中产品净重小于100克的个数是36，求出样本总数，由此能求出样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数．
【解答】
样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2＝0.3，
∵样本中产品净重小于100克的个数是36，
∴样本总数n=36
=120．
0.3
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数为120×0.75＝90．
6. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B=a sin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，再由两角和的正弦公式、
，由此可得△ABC的形状．
诱导公式求得sin A=1，可得A=π
2
【解答】
解：△ABC的内角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，
∵b cos C+c cos B=a sin A，
则由正弦定理可得：
sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，
即sin(B+C)=sin A sin A，
，
可得sin A=1，故A=π
2
故三角形为直角三角形，
故选B.
7. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）
A.中位数
B.平均数
C.方差
D.极差
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B+sin A⋅(sin C−cos C)= 0，a=2，c=√2，则C=（）
A.π12
B.π
6
C.π
4
D.π
3
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
本题主要考查三角形内角和定理、两角和的正弦公式、正弦定理等知识. 【解答】
解：因为sin B+sin A(sin C−cos C)=0，
所以sin(A+C)+sin A⋅sin C−sin A⋅cos C=0，
所以sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C−sin A cos C=0，
整理得sin C(sin A+cos A)=0，因为sin C≠0，
所以sin A+cos A=0，所以tan A=−1，
因为A∈(π
2
,π)，
所以A=3π
4
，
由正弦定理得sin C=c⋅sin A
a =√2×
√2
2
2
=1
2
，
又0<C<π
4
，
所以C=π
6
.
故选B.
9. 设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i+a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A.1+a，4
B.1+a，4+a
C.1，4
D.1，4+a
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．
【解答】
方法1：∵y i＝x i+a，
∴ E(y i )＝E(x i )+E(a)＝1+a ， 方差D(y i )＝D(x i )+E(a)＝4． 方法2：由题意知y i ＝x i +a ， 则y ¯
=
110
(x 1+x 2+...+x 10+10×a)=
110
(x 1+x 2+...+x 10)=x ¯
+a ＝1+a ，
方差s 2=1
10[(x 1+a −(x ¯
+a)2+(x 2+a −(x ¯
+a)2+...+(x 10+a −(x ¯
+a)2]=
110
[(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+...+(x 10−x ¯
)2]＝s 2＝4．
10. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m →
=(sin A,cos A)，n →
=(√3,1)．若m →
∥n →
，且a cos B +b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为（ ） A.π6,π
3
B.
2π3
,π6
C.π3,π
6
D.π3,π
3
【答案】 C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】
由已知求得A ，再由a cos B +b cos A ＝c sin C 结合正弦定理求得C ，则答案可求． 【解答】
∵ a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边， m →
=(sin A,cos A)，n →
=(√3,1)．且m →
∥n →
； ∴ sin A −√3cos A ＝0，则tan A =√3，则A =π
3．
由a cos B +b cos A ＝c sin C ，得sin A cos B +sin B cos A ＝sin 2C ， 即sin (A +B)＝sin C ＝sin 2C ， 则sin C ＝1，即C =π
2， ∴ B =π
2
−π
3
=π
6
．
11. 在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C −sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ） A.(0, π
6]
B.[π
6, π)
C.(0, π
3]
D.[π
3, π)
【答案】 C
【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】
先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cos A 的范围，进而求得A 的范围． 【解答】
由正弦定理可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∵sin2A≤sin2B+sin2C−sin B sin C，
∴a2≤b2+c2−bc，
∴bc≤b2+c2−a2
∴cos A=b2+c2−a2
2bc ≥1
2
∴A≤π
3
∵A>0
∴A的取值范围是(0, π
3
]
12. 已知函数f(x)=2cos2x−√3sin2x，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A满足f(A)＝−1，若a=√6，则△ABC的面积的最大值为（）
A.3√3
B.3√3
2C.√3
4
D.2√3
【答案】
B
【考点】
余弦定理
【解析】
由二倍角公式和两角和的余弦公式，以及基本不等式和余弦定理、三角形的面积公式可得所求最大值．
【解答】
f(x)=2cos2x−√3sin2x=cos2x−√3sin2x+1=2cos(2x+π
3
)+1，f(A)=
2cos(2A+π
3)+1=−1⇒cos(2A+π
3
)=−1，A为三角形内角，
则A=π
3
，a=√6，可得a2＝b2+c2−2bc cos A＝b2+c2−bc≥2bc−bc＝bc，
当且仅当b＝c时取等号，S△ABC=1
2bc sin A≤1
2
×6×√3
2
=3√3
2
．
△ABC的面积的最大值为3√3
2
．
13. 如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）
A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨
B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌
C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大
D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快
【答案】
A,B,D
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
结合图象，分别分析图形中同比及环比数据的特点，结合各选项进行分析即可判断．【解答】
A：从同比来看，同比均为正数，即同比都上涨，故A正确；
B：从环比来看，2018年3越至2019年3月全国居民消费价格环比图象有升有降，即环
比有涨有跌，故B正确；
C：从同比来看，2018年9月，10月全居民消费价格同比涨幅最大，故C错误；
D：从环比来看，2019年3月全国居民消费价格环比绝对值最大，即价格环比变化最快，故D正确．
14. 某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以
[160, 180),[180, 200),[200, 220),[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]分组的
频率分布直方图如图．
则下列说法正确的是（）
A.直方图中x＝0.0075
B.上图中所有矩形面积之和为1
C.月平均用电量的众数和中位数分别为230，224
D.在月平均用电量为[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]的四组用户中，用分
层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取5户．
【答案】
A,B,C,D
【考点】
频率分布直方图
【解析】
在A中，由频率分布直方图解得x＝0.0075；在B中，由频率分布直方图的性质得所有
矩形面积之和为1；在C中，由频率分布直方图求出月平均用电量的众数为：和中位数
分别为230，224；在D中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取5户．
【解答】
由频率分布直方图得：
在A中，(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20＝1，
解得x＝0.0075．故A正确；
在B中，由频率分布直方图的性质得所有矩形面积之和为1，故B正确；
在C中，月平均用电量的众数为：和中位数分别为220+240
2
=230，
[160, 220)的频率为：(0.002+0.0095+0.011)×20＝0.45，
[220, 240)的频率为0.0125×20＝0.25，
∴中位数为：220+0.5−0.45
0.25
×20=224，故C正确；
在D中，在月平均用电量为[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，
月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取：11×0.0125
0.0125+0.0075+0.005+0.0025
=5户．故D
正确．
二.填空题
函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．
【答案】
π
2
【考点】
三角函数的周期性及其求法
【解析】
用二倍角公式可得f(x)=−1
2cos(4x)+1
2
，然后用周期公式求出周期即可．
【解答】
∵f(x)＝sin2(2x)，
∴f(x)=−1
2cos(4x)+1
2
，
∴f(x)的周期T=π
2
，
若满足条件C＝60∘，AB=√3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是
________√3<a<2．
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sin A，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin A的范围，进而求出a的取值范围．
【解答】
由正弦定理得：AB
sin C =BC
sin A
，即√3
√3
2
=a
sin A
，
变形得：sin A=a
2
，
由题意得：当A∈(60∘, 120∘)时，满足条件的△ABC有两个，
所以√3
2<a
2
<1，解得：√3<a<2，
则a的取值范围是(√3, 2)．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan(π
4+A)=2，则sin2A
sin2A+cos2A
的值为________．
【答案】
2
5
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
利用两角和的正切公式，求出tan A的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】
在△ABC中，若tan(π
4+A)=2=1+tan A
1−tan A
，∴tan A=1
3
，
则sin2A
sin2A+cos2A =2sin A cos A
2sin A cos A+cos2A
=2tan A
2tan A+1
=
2
3
2
3
+1
=2
5
，
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6,a=2c,B=2π
3
，则△ABC的面积为________
【答案】
18√3
7
【考点】
正弦定理
【解析】
由余弦定理可得关于c的方程，解出c得到a，由面积公式S△ABC=1
2
ac sin B求出面积．【解答】
由余弦定理，有b2＝a2+c2−2ac cos B，
∵b=6,a=2c,B=2π
3
，
∴36=4c2+c2−4c2(−1
2
)，
∴c2=36
7，∴c=
√7
，∴a=
√7
∴S△ABC=1
2ac sin B=18√3
7
．
已知x、y的取值如表所示：
从散点图分析，y 与x 线性相关，且y =0.95x +a ，则a ＝________．
【答案】 2.6
【考点】
求解线性回归方程 【解析】
根据表中的数据可以分别求出变量x ，y 的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a ． 【解答】
根据表中数据得：x ¯
=2,y ¯
=1
4×(2.2+4.3+4.8+6.7)=9
2； 又由回归方程知回归方程的斜率为0.95； ∴ a =9
2−0.95×2=2.6．
在△ABC 中，B =120∘，AB =√2，A 的角平分线AD =√3，则AC =________． 【答案】
√6
【考点】
余弦定理的应用 正弦定理 【解析】
利用已知条件求出A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可． 【解答】
解：由题意以及正弦定理可知：
AB sin ∠ADB
=
AD sin B
，
即
√2sin ∠ADB
=
√3
√32
，∠ADB =45∘，
12
A =180∘−120∘−45∘，
可得A =30∘，则C =30∘， 三角形ABC 是等腰三角形， AC =2√2sin 60∘=√6． 故答案为：√6．
设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x −2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 【答案】
−
2√5
5
【考点】
正弦函数的定义域和值域 两角和与差的三角函数 【解析】 f(x)解析式提取√5，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x ＝θ时，函数f(x)取得最大值，得到sin θ−2cos θ=√5，与sin 2θ+cos 2θ＝1联立即可求出
cosθ的值．【解答】
方法一：f(x)＝sin x−2cos x=√5(√5
5sin x−2√5
5
cos x)=√5sin(x−α)（其中cosα=√5
5
，
sinα=2√5
5
），
∵x＝θ时，函数f(x)取得最大值，
∴sin(θ−α)＝1，即sinθ−2cosθ=√5，
又sin2θ+cos2θ＝1，
联立得(2cosθ+√5)2+cos2θ＝1，解得cosθ=−2√5
5
．
方法二：f(x)＝sin x−2cos x=√5sin(x+φ)（其中tanφ＝−2，φ∈(−π
2,π
2 )），
因为当x＝θ时，f(x)取得最大值，所以θ+φ=π
2
+2kπ(k∈Z)，
所以θ=π
2
+2kπ−φ(k∈Z)，
所以cosθ＝cos(π
2+2kπ−φ)＝sinφ=−2√5
5
．
已知函数f(x)=cos x⋅sin(x+π
3)−√3cos2x+√3
4
，x∈R．f(x)在[−π
4
,π
4
]上的最大值
为________．
【答案】
1
4
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
由题意利用三角恒等变换花简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，
求出f(x)在[−π
4,π
4
]上的最大值．
【解答】
∵函数f(x)=cos x⋅sin(x+π
3)−√3cos2x+√3
4
=cos x⋅(1
2
sin x+√3
2
cos x)−√3cos2x+
√3 4
=1
4sin2x−√3
2
cos2x+√3
4
=1
4
sin2x−√3
4
cos2x=1
2
sin(2x−π
3
)，x∈R．
x∈[−π
4,π
4
]，2x−π
3
∈[−5π
6
, π
6
]，故当2x−π
3
=π
6
时，函数f(x)取得最大值为1
4
，
如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC=√7，若cos∠BAD=−√7
14
，
sin∠CBA=√21
6
，则BC＝________．
【答案】 3
【考点】 解三角形 【解析】
由题意在△ADC 中应用余弦定理易得cos ∠CAD ，进而由同角三角函数基本关系可得sin ∠CAD 和sin ∠BAD ，再由和差角公式可得sin ∠CAB ，在△ABC 中由正弦定理可得BC ． 【解答】
由题意在△ADC 中，AD ＝1，CD ＝2，AC =√7， ∴ 由余弦定理可得cos ∠CAD =2×1×√
7
=2√7
7
， ∴ sin ∠CAD =
√21
7
， 同理由cos ∠BAD =−√7
14
，可得sin ∠BAD =
3√2114
， ∴ sin ∠CAB ＝sin (∠BAD −∠CAD) ＝sin ∠BAD cos ∠CAD −cos ∠BAD sin ∠CAD =√32
在△ABC 中由正弦定理可得BC =
√7×√3
2
√216
=3
已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下三个命题：
①满足条件的△ABC 不可能是直角三角形； ②当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15；
③当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7． 其中正确命题有________（填写出所有正确命题的序号）． 【答案】 ②③
【考点】
命题的真假判断与应用 【解析】
①假设是三角形，求出各个边长，最后证明假设是否正确，
②通过正弦定理可求出关系，再由余弦定理和已知条件，求出各个边，可求出周长， ③由②各个边，通过面积相等求出内接球半径，再求面积． 【解答】
①假设△ABC 是直角三角形，由题意知b =5
4c ，则b 2=(5
4c)2=c 2+a 2=c 2+36， 解得a ＝6，b ＝10，c ＝8是直角三角形，①错；
②由A ＝2C ，由正弦定a
sin A =b
sin B =c
sin C ，可得c cos C ＝3，结合b =5
4c ，由余弦定理c 2＝
a2+b2−2ab cos C，解之得c＝4，b＝5，
∴△ABC的周长为15，②对；
③当A＝2C时，由②知c＝4，b＝5，若O为△ABC的内心，则设△ABC的内接圆半径为r，由c cos C＝3，可得cos C=3
4
，
sin C=√7
4，故1
2
absicC=1
2
(a+b+c)r，
∴r=√7
2
，
∴S△AOB=1
2
cr=√7，③对．
三、解答题（共3小题，满分0分）
某校高一（1）班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如图1和图2所示，据此解答如下问题：
（1）计算频率分布直方图中[80, 90)间的小长方形的高；
（2）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．
【答案】
分数在[50, 60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知，
分数在[50, 60)之间的频数为2，所以全班人数为2
0.08
=25，
所以分数在[80, 90)之间的人数为25−21＝4，
则对应的频率为4
25
=0.16．
所以[80, 90)间的小长方形的高为0.16÷10＝0.016．
全班共25人，根据各分数段人数得各分数段的频率为：
所以估计这次测试的平均分为55×0.08+65×0.28+75×0.4+85×0.16+
95×0.08＝73.8．
【考点】
众数、中位数、平均数
茎叶图
【解析】
（1）由直方图在得到分数在[50, 60)的频率，求出全班人数；由茎叶图求出分数在[80, 90)之间的人数，进一步求出概率；
（2）分别算出各段的概率，计算平均分．
【解答】
分数在[50, 60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知， 分数在[50, 60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08
=25，
所以分数在[80, 90)之间的人数为25−21＝4， 则对应的频率为
425
=0.16．
所以[80, 90)间的小长方形的高为0.16÷10＝0.016． 全班共25人，根据各分数段人数得各分数段的频率为：
所以估计这次测试的平均分为55×0.08+65×0.28+75×0.4+85×0.16+95×0.08＝73.8．
已知向量m →
=(√3sin x
4
, 1)，n →
=(cos x
4
, cos 2x
4
)，记f(x)=m →
⋅n →
．
(Ⅰ)若f(x)＝1，求cos (x +π
3)的值；
(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a −c)cos B ＝b cos C ，求f(2A)的取值范围． 【答案】
（1）向量m →
=(√3sin x
4, 1)，n →
=(cos x
4, cos 2x
4)，记f(x)=m →
⋅n →
=√3sin x
4cos x
4+cos 2x
4=
√32sin x 2+12
cos x 2
+12
=sin (x 2
+π6
)+1
2
，
因为f(x)＝1，所以sin (x
2
+π6
)=12
， 所以cos (x +π
3
)＝1−2sin 2(x
2
+π
6
)=1
2
，
（2）因为(2a −c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A −sin C)cos B ＝sin B cos C
所以2sin A cos B −sin C cos B ＝sin B cos C
所以2sin A cos B ＝sin (B +C)＝sin A ，sin A ≠0， 所以cos B =1
2
，又0<B <π
2
，所以B =π
3
，
则A +C =
2π3，即A =
2π3
−C ，又0<C <π
2
，
则π6
<A <π2
，得π3
<A +π6
<2π3
，
所以
√32
<sin (A +π6
)≤1，又f(2A)＝sin (A +π6
)+12
，
所以f(2A)的取值范围(
√3+12
,3
2]． 【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
(Ⅰ)利用向量的数量积公式求出f(x)的解析式，然后求值；
(Ⅱ)由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A 的范
围，然后求三角函数值的范围． 【解答】
（1）向量m →
=(√3sin x
4, 1)，n →
=(cos x
4, cos 2x
4)，记f(x)=m →
⋅n →
=√3sin x
4cos x
4+
cos 2x
4=
√3
2sin x 2+12
cos x 2
+12
=sin (x 2
+π6
)+1
2
，
因为f(x)＝1，所以sin (x
2
+π6
)=12
， 所以cos (x +π
3)＝1−2sin 2(x
2+π
6)=1
2，
（2）因为(2a −c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A −sin C)cos B ＝sin B cos C
所以2sin A cos B −sin C cos B ＝sin B cos C
所以2sin A cos B ＝sin (B +C)＝sin A ，sin A ≠0， 所以cos B =1
2，又0<B <π
2，所以B =π
3， 则A +C =
2π3
，即A =2π3
−C ，又0<C <π
2，
则π
6<A <π
2，得π
3<A +π
6<2π3
，
所以
√3
2
<sin (A +π6
)≤1，又f(2A)＝sin (A +π6
)+12
，
所以f(2A)的取值范围(
√3+12,3
2
]．
如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC 长1260米，经测量，cos A =12
13，cos C =3
5．
（1）求索道AB 的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】
在△ABC 中，因为cos A =12
13，cos C =3
5，所以sin A =5
13，sin C =4
5，
从而sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =5
13×3
5+12
13×4
5=63
65， 由正弦定理AB
sin C =AC
sin B ，得AB =
AC⋅sin C sin B
=
1260×
45
6365
=1040m ．
所以索道AB 的长为1040m ．
假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离
A 处130tm ，
所以由余弦定理得：d 2＝(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213
=
200(37t 2−70t +50)＝200[37(t −35
37)2+62537
]，
因0≤t ≤
1040130
，即0≤t ≤8，
故当t =3537min 时，甲、乙两游客距离最短．
【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】
（1）根据正弦定理即可确定出AB 的长；
（2）设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，由余弦定理即可得解． 【解答】
在△ABC 中，因为cos A =12
13，cos C =3
5，所以sin A =5
13，sin C =4
5，
从而sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =5
13×3
5+12
13×4
5=63
65， 由正弦定理AB
sin C =AC
sin B ，得AB =
AC⋅sin C sin B
=
1260×
45
6365
=1040m ．
所以索道AB 的长为1040m ．
假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，
所以由余弦定理得：d 2＝(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213
=
200(37t 2−70t +50)＝200[37(t −35
37)2+62537
]，
因0≤t ≤1040130
，即0≤t ≤8，
故当t =
3537min 时，甲、乙两游客距离最短．。