万州高级中学理科实验班高考数学仿真试题

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重庆市万州区2019-2020学年高考数学模拟试题含解析

重庆市万州区2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )A B ．C D 【答案】D 【解析】【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，122r ⨯=r =所以圆锥的体积213V r π==. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.2．若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( ) A ．21 B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】因为123n n a a +-=-，所以{}n a 是等差数列，且公差12,153d a =-=，则224715(1)333n a n n =--=-+，所以由题设10k k a a +⋅<可得2472454547()()0333322n n n -+-+<⇒<<，则23n =，应选答案C ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（） A ．4 B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.4．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =【答案】C 【解析】【分析】利用三角形1OMF ∆与2PF F ∆相似得122PF PF =，结合双曲线的定义求得,,a b c 的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。

万州中学高2017级高考模拟理科数学

万州中学高2017级高考模拟文科数学试题卷文科数学试题卷共4页，考试时间为120分钟，满分为150分。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

请考生把姓名、准考证号写在试卷左上角。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 集合{}|13A x x =<<，集合{}|2,B y y x x A ==-∈，则集合A B ＝（A ）{}|13x x <<（B ）{}|13x x -<< （C ）{}|11x x -<< （D ）∅(2) 若复数z 满足1z i i ⋅=+(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是（A ）1i -- （B ）1i -+ （C ）1i +（D ）1i -(3) 将函数()cos 2f x x =图象上所有点向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则实数a 的最大值为（A ）π8（B ）π4（C ）π2（D ）3π4(4) 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且105132845=+-a a S ，则17S =（A ）5（B ）17（C ）85（D ）170(5) 在区间[1,3]-内任取实数a ，则关于x 的不等式210x ax ++≥恒成立的概率为（A ）45（B ）12（C ）23（D ）34(6) ABC △中，120,12A AB AC ===，，若点M 满足2BM MC = ，则AM BC ⋅ =（A ）23（B ）43（C ）2（D ）83(7) 若11sin(),sin(),23αβαβ+=-=则tan tan αβ= （A ）1-（B ）5（C ）6（D ）16(8) 执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）7(9) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（A （B ）（C ）3 （D ）(10) 关于一起盗窃案，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“我不是罪犯”；乙说：“是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有且只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（A ）甲（B ）乙（C ）丙（D ）丁(11) 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点是F ，左右顶点分别为B A ,. 点D 在双曲线上，x DF ⊥轴. 过点A 的直线与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M . 直线BE 与y 轴交于点N ，若OM ON 2=，则双曲线的离心率为（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5(12) 已知函数222,0()1,0ax x x x f x e x ⎧--+≤=⎨+>⎩，若当[2,2]x ∈-时()3f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（A ）ln 2(0,]2（B ）(,1]-∞（C ）ln 2(,]2-∞ （D ）ln 2ln 2[,]22-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

重庆市万州区2019-2020学年高考数学仿真第四次备考试题含解析

重庆市万州区2019-2020学年高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C 【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系2．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（）A ．3B ．2C ．32-D ．2-【答案】A 【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -，所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．3．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个．故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 4．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-，【答案】C 【解析】【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可．【详解】由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 5．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．725【答案】D 【解析】【分析】用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】2237sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=．故选：D ．【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系．6．函数()f x =）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}32x x -≤≤-【答案】A 【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.7．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】【分析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==；718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==；819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.8．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（） A ．()0,∞+ B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,1【答案】C 【解析】【分析】先解不等式()2f x ≤，可得出89x ≥-，求出函数()y f x =的值域，由题意可知，不等式()()819m f x -≥-在定义域上恒成立，可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【详解】()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩Q ，先解不等式()2f x ≤.①当18x -<<时，由()()3log 12f x x =+≤，得()32log 12x -≤+≤，解得889x -≤≤，此时889x -≤<； ②当8x ≥时，由()426f x x =≤-，得8x ≥. 所以，不等式()2f x ≤的解集为89x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.下面来求函数()y f x =的值域.当18x -<<时，019x <+<，则()3log 12x +<，此时()()3log 10f x x =+≥；当8x ≥时，62x -≥，此时()(]40,26f x x =∈-. 综上所述，函数()y f x =的值域为[)0,+∞，由于()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则不等式()()819m f x -≥-在定义域上恒成立，所以，10m -≥，解得m 1≥. 因此，实数m 的取值范围是[)1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.9．已知函数()2ln 2,03,02x x xx f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A ．13(,)34B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,1)2【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则23132220ABn n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.10．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121133n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为()1223n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是()()111,23n P n --≥，两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.11．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D 【解析】【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立，变形可得：242a x x≥-，又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市万州区2019-2020学年高考数学仿真第三次备考试题含解析

重庆市万州区2019-2020学年高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A=种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题2．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n，如果n为偶数就除以2，如果n是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n=，则输出i的（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论．循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =．故选：B ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论． 3．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（） A ．32B ．23C ．12D ．62【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-Q，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=. 由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.4．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项；当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项；当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>，即()()1?3f f ＞，可排除C 选项，故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．5．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭ C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.【详解】设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，因为2()34g x x x '=-，所以()0g x '=，0x ∴=或43x =，因为403x << 时，()0g x '<，43x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：当0a „时，()()f x g x >至多一个整数根；当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩„，3232ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩„，所以9322ln 2ln 5a <„. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.6．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为 A ．1322- B ．312i + C ．132+ D 312i - 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝1322+．故答案为C ．【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.7．在边长为2的菱形ABCD 中，BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC V 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程222r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭即可得解. 【详解】如图，由题意易知ABC V 与ADC V 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ，则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ，由BN ND ==1cos 3BND ∠=可得cos ON BN BND =⋅∠=，OD =，3OB ==， ∴13ON ND =即点O 为ADC V 的中心，∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，∴11BO DO r ==，1OO r =-,∴222r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得2r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为234462S r πππ==⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.8．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-【答案】C 【解析】【分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为22高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即21V 12222222ππ=••-•••=-，故选C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.9．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（） A ．480种 B ．360种 C ．240种 D ．120种【答案】B 【解析】【分析】将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数. 【详解】当人脸识别方向有2人时，有55120A =种，当人脸识别方向有1人时，有2454240C A =种，∴共有360种.故选：B 【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r，则y x -的值为（）A ．12-B ．23-C ．13-D ．1-【答案】D 【解析】【分析】使用不同方法用表示出AF u u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题． 11．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++()2a c a c =--++ ()2211a b b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D. 【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.12．已知向量a b (==r r，则向量b r 在向量a r 方向上的投影为（）A ．BC ．1-D ．1【答案】A 【解析】【分析】投影即为cos a b b aθ⋅⋅=r rr r ，利用数量积运算即可得到结论. 【详解】设向量a r 与向量b r的夹角为θ，由题意，得31a b ⋅=+=-r r 2a ==r，所以，向量b r 在向量a r方向上的投影为cos 2a b b aθ⋅-⋅===r r 故选：A. 【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市万州区2019-2020学年高考数学模拟试题(2)含解析

重庆市万州区2019-2020学年高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环循环前 1 1/ 第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i ＜5时退出，故选B ．2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．3y x =± B ．3y x =C ．2y x =±D ．2y x =【答案】C 【解析】【分析】利用三角形1OMF ∆与2PF F ∆相似得122PF PF =，结合双曲线的定义求得,,a b c 的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。

【详解】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，由12||FO OM =，1OMF ∆与2PF F ∆相似，所以1122||P F F P OM F O ==，即122PF PF =，又因为122PF PF a -=，所以14PF a =，22PF a =，所以2224164c a a =+，即225c a =，224b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

高考仿真卷理科数学(二) Word版含答案

高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()A.1B.2C.3D.47.若数列{a n}是等差数列,则下列结论正确的是()A.若a2+a5>0,则a1+a2>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a3>D.若a1<0,则(a2-a1)( a4-a2)>08.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2017年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图②);(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值;(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为η,求η的均值.图①图②19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A-FC-E的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.(1)已知h(x)=e1-x f(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x ∈R)上总存在一点Q,使得<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·理科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为6.B解析的展开式中第r+1项为)12-r=(-1)r当6-为正整数时,可知r=0或r=2,故的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.7.C解析设等差数列{a n}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d 的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B 错误.若0<a1<a2,则d>0.所以a3>0,a4>0.所以-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>故选项C正确.由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以2R2·R=,解得R=2.所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=所以该几何体的体积V=111.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以所以所以,…,所以所以所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=17.解(1)∵A=,∴B+C=∴sin=3sin C.cos C+sin C=3sin C.cos C=sin C.∴tan C=(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=18.解(1)根据题意,有解得故p=0.15,q=0.10.补全的频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10=6人.故ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,所以ξ的分布列为所以E(ξ)=0+1+2+3(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是,则η~B,故随机变量η的均值为E(η)=15=6.19.(1)证明(方法一)由题意知,在△AEF中,AE=,EF=,AF=2∴AE2+EF2=AF2,∴AE⊥EF.在△AEC中,AE=,EC=,AC=2∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF.又FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.(方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2,DE=,可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2).=(-,-1,),=(,1,2).=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.∴AE⊥CF.(2)解由(1)中方法二可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-).设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0,得-x1+y1+2z1=0,且-2x1=0.令z1=1,得n1=(0,-2,1).设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2=0,n2=0,得2y2+z2=0,且-x2+y2-z2=0.令y2=-1,得n2=(-,-1,).设二面角A-FC-E的大小为θ,则cos θ=20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.解(1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x,∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.∴h(1)=0,h'(1)=-1.∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.(2)∵g'(x)=(a∈R,x>0),∴g(x)=a ln x+c(c为常数).∴g(e)=a ln e+c=a+c=a.∴c=0.∴g(x)=a ln x.由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.∵当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0.∴aa设t(x)=,x∈[1,e],则t'(x)=∵x∈[1,e],∴x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0.∴t'(x)≥0.∴t(x)在[1,e]上为增函数.∴t(x)max=t(e)=a(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).∵t≤-1,∴-t≥1.∴P(t,-t3+t2),Q(-t,a ln(-t)).=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,∴a(1-t)ln(-t)<1.当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.当t<-1时,a<,令φ(t)=(t<-1),则φ'(t)=∵t<-1,∴t-1<0,t ln(-t)<0.∴φ'(t)>0.∴φ(t)=在(-∞,-1)内为增函数.∵当t→-∞时,φ(t)=0,∴φ(t)>0.∴a≤0.综上,可知a的取值范围是(-∞,0].22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x故原不等式的解集为(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

重庆市万州高级中学高2013级“零诊”考试(理科数学试卷)

重庆市万州高级中学高2013级“零诊”考试理科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的4个答案中，只有一个是符合题目要求的）1.已知集合{}{}2|320,|log 42x A x x x B x =-+===,则A B =A.{}2,1,2-B.{}1,2C.{}2,2-D.{}2 2.若tan α＝2，则ααααcos 2sin cos sin 2+-的值为A.0B.34C.1D.543.图中的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为A.7元B.37元C.27元D.2337元4.复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是A.2＋iB.2－iC.－1＋iD.－1－i 5.已知命题p ：1,sin 2x x x $?R . 则p Ø为A.1,sin 2x xx $?R B.1,sin 2x xx "?R C.1,sin 2x xx $纬R D.1,sin 2x xx "纬R6.已知递减的等差数列{}n a 满足2921a a =，则5a = A. -1 B.0 C.-1或0 D.4或57.曲线e 2xy x =+在点()01，处的切线方程为 A.1y x =+ B.1y x =- C.31y x =+ D.1y x =-+8.某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为A.12B.13C.14D.199.在二项式21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为A. 32B. -32C. 0D. 110. 一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的三视图为二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上） 11.将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为12.设向量a ,b的夹角为θ，且()()3,321,1a =,b a =--,则=θcos .13. ()21,0,0,x x f x x -⎧-≤⎪=>若()01f x >，则0x 的取值范围是 .14.若实数,x y 满足不等式组0,,220,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为 .15.观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________. 1 2 3 40 2 8 0 2 3 3 7 1 2 4 4 8 2 3 8三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分13分）设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0).（1）求f (x )的最小值；（2）若曲线y ＝f (x )在点(1，f （1）)处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值.17．（本小题13分）]已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

重庆市万州区2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题含解析

重庆市万州区2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号，故选：D ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．2．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.3．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3 B ．2 C ． 3或－3 D ． 2和－2【答案】C 【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 4．已知函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为12,x x ，则12x x +=（） A ．34π B ．23π C ．3π D ．6π 【答案】A 【解析】【分析】画出函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像，函数对称轴方程为82k x ππ=-+，由图可得1x 与2x关于38x π=对称，即得解. 【详解】函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像如图，对称轴方程为32()42x k k Z πππ+=+∈， ()82k x k Z ππ∴=-+∈，又330,48x x ππ<<∴=Q ，由图可得1x 与2x 关于38x π=对称， 1233284x x ππ∴+=⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 5．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分故是必要不充分条件，答案选B 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.6．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（）． A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞U【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B U 和A B I ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,7．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（） A ．2- B ．2C ．43-D ．43【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标，进而求出点M 的坐标，代入斜率公式即可求解. 【详解】设点P 的坐标为()000,,0x y y >，由题意知，焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-，所以015PM x =+=，解得04x =，把点P ()04,y 代入抛物线方程可得，04y =±，因为00y >，所以04y =，所以点M 坐标为()1,4-，代入斜率公式可得，40211MF k -==---. 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题. 8．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】【分析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ，又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r =（） AB．C．12-D．2【答案】D 【解析】【分析】由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则122212AC O F r AO ===，221AF AO O F =-.又因为111AF AO O F r =+=+，因此)111r，得12r =-122rr =-故选：D 【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养 10．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭Q ,cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数，故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<，所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题. 11．已知i 是虚数单位，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】故选【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

2023-2024学年重庆市万州高三下学期数学质量检测模拟试题(5月)含答案

2023-2024学年重庆市万州高三下学期数学模拟试题（5月）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2340M x x x =∈--≤Z ，{}03N x x =<≤，则M N ⋂=（）A.{}1,0,1,2,3- B.{}1,2,3 C.(]0,3 D.[]1,4-【正确答案】B【分析】求出集合M 再求交集即可.【详解】{}{}23401,0,1,2,3,4M x x x =∈--≤=-Z ，{}03N x x =<≤，则{}1,2,3M N = .故选：B .2.若()i11z -=，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【正确答案】A【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】由()i 11z -=得，11i iz -==-，所以1i z =+.故选：A.3.在ABC 中，12BD DC = ，E 为AD 中点，则EB =（）A.4136AB AC +B.2136AB AC -C.5163AB AC -D.7163AB AC +【正确答案】B【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可.【详解】因为12BD DC =，E 为AD 中点，所以12EB AB AE AB AD =-=- 121()233AB AB AC =-+ 2136AB AC =-.故选：B.4.圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件的圆柱的最大体积为（）A.8πB.10πC.12πD.16π【正确答案】A【分析】由条件确定26r h +=，再将体积转化为关于r 的三次函数，利用导数求体积的最大值.【详解】圆柱的底面半径为r ，高为h ，则4212r h +=，即26r h +=，圆柱的体积()2232ππ622π6πV r h rr r r ==-=-+，03r <<，()261262V r r r r πππ'=-+=--，当02r <<时，0V '>，函数单调递减，当23<<r 时，0V '<，函数单调递增，所以，当2r =时，函数()V r 取得最大值，最大值()28πV =.故选：A5.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且||8AB =，圆225:02C x y y '+-=，若抛物线C 与圆C '交于P ，Q 两点，且||5PQ =AB 的中点D 的横坐标为（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】B【分析】确定,P Q 之一的坐标，设另一点坐标，结合已知求出该坐标，再求出抛物线方程，借助抛物线定义求解作答.【详解】圆225:02C x y y '+-=过原点，则点P ，Q 之一为原点，不妨令点(0,0)P ，设(,),0Q m n m >，依题意，222||5m n PQ +==，又2252m n n +=，解得1,2m n ==，即(1,2)Q ，则2221p =⨯，解得2p =，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为=1x -，设1122(,),(,)A x y B x y ，于是1212||||||112AB AF BF x x x x =+=+++=++，而||8AB =，因此126x x +=，所以线段AB 的中点D 的横坐标1232x x +=.故选：B 6.已知79a =，0.10.7e b =，2cos 3c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【正确答案】D【分析】利用常见放缩1ln x x -≥，构造函数()1ln f x x x =-+，判断出b a <，然后利用sin ,x x <构造11sin ,33<从而判断c a >即可.【详解】71999ln ln 0.1ln 0.7lnln 1ln ,910101010b a -=+-=+=-+令()1ln f x x x =-+，则()111xf x x x'-=-+=，当01x <<时,()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1上单调递增，()9ln ln 1010b a f f ⎛⎫∴-=<= ⎪⎝⎭，b a ∴<；221cos12sin 33c ==-，易知110sin,33<<22127cos12sin 13399c ∴==->-=，c a b ∴>>.故选：D.7.已知函数()e ln 1f x k x x =-+的图象与函数()e eln kxg x x kx x =+-的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为（）A.[)211,0,e e ⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭B.[)211,0,e e ⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭C.[)211,0,e e e ⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭D.[)211,0,e ⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】令()()f x g x =，ln kx x t +=，()()11e e x h xx =+--，可将问题转化为方程组1122ln 0ln 1kx x kx x +=⎧⎨+=⎩有且只有一组实数根.后通过研究函数()ln p x x kx =+，及ln y x =过原点与()0,1切线，可得答案.【详解】令()()f x g x =，则1e ln e e ln kx k x x x kx x -+=+-⇒()10ln e ln e ln kx x kx x x kx +++-+-=，令ln kx x t +=，则()110e e t t +--=，令()()11e e x h x x =+--，则()1e e x h x '=+-.令()()01ln e h xx '>⇒>-⇒()h x 在()()ln e-1,+∞上单调递增；()()01ln e h x x '>⇒<-⇒()h x 在()(),ln e-1-∞上单调递减；又()01ln e 1<-<，()()010h h ==，则()0h x =有且只有两根，分别为0,1.则函数()e ln 1f x k x x =-+的图象与函数()e eln kxg x x kx x =+-的图象有且仅有两个不同的交点，等价于方程组1122ln 0ln 1kx x kx x +=⎧⎨+=⎩有且只有一组实数根.令()ln p xx kx =+，则()1p x k x'=+，当0k ≥时，()10p xk x'=+>，则此时()p x 在()0,∞+上递增，又()()0,,,x p x x p x →→-∞→+∞→+∞.即()R p x ∈，则1122ln 0ln 1kx x kx x +=⎧⎨+=⎩有且只有一组实数根.当0k <时，方程组1122ln 0ln 1kx x kx x +=⎧⎨+=⎩有且只有一组实数根，等价于函数ln y x =图象与直线1,y kx y kx =-=-图象有两个交点，临界情况为两条直线与ln y x =图象相切.当y kx =-与ln y x =相切，设对应切点为()33,x y ，因()331ln ,ln x y x x'==，则相应切线方程为()33333111ln ln y x x x x x kx x x =-+=+-=-⇒33ln 1011e x k kx -=⎧⎪⇒=-⎨=-⎪⎩；当1y kx =-与ln y x =相切，设对应切点为()44,x y ，则相应切线方程为()444441111ln ln y x x x x x kx x x =-+=+-=-⇒424ln 1111e x k kx -=⎧⎪⇒=-⎨=-⎪⎩，则211,e e k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.综上，[)211,0,e e ⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：A关键点睛：本题涉及同构以及用导数，函数思想研究函数图象的交点.同构时，需仔细观察，巧用指对互化，将相同结构放在一起以便简化问题，对于函数零点问题，常可转化为相关图象交点问题来解决.8.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()g x ，则下列错误的是（）A.若()g x 关于(),0a 中心对称，则()f x 关于x a =对称B.若()g x 关于x a =对称，则()f x 有对称中心C.若()f x 有1个对称中心和1条与x 轴垂直的不过对称中心的对称轴，则()f x 为周期函数D.若()f x 有两个不同的对称中心，则()()g f x 为周期函数【正确答案】D【分析】根据函数性质结合导数运算逐项分析判断.【详解】对于选项A ：若()g x 关于(),0a 中心对称，则()()g a x g a x +=--，可得()()12f a x c f a x c ++=-+，令0x =，则()()12f a c f a c +=+，即12c c =，则()()f a x f a x +=-，所以()f x 关于x a =对称，故A 正确；对于选项B ：若()g x 关于x a =对称，则()()g a x g a x +=-，可得()()34f a x c f a x c ⎡⎤+-=---⎣⎦，即()()34f a x f a x c c ++-=+，令0x =，则()()()342f a f a f a c c +==+，即()()()2f a x f a x f a ++-=，则()f x 关于()(),a f a 对称，故B 正确；对于选项C ：若()f x 有1个对称中心和1条与x 轴垂直的不过对称中心的对称轴，设对称中心为(),a b ，对称轴为()x m m a =≠，则()()()()22,2f a x f x b f m x f x -+=+=-，可得()()222f m a x f a x -+=-，则()()222f m a x f x b -++=，可得()()44222f m a x f m a x b -++-+=，可得()()44f m a x f x -+=，且m a ≠，即440m a -≠，所以()f x 的周期为44m a -，故C 正确；对于选项D ：若()f x 有两个不同的对称中心，则()()g f x 不一定为周期函数，例如：()πsin f x x x =+，对任意k ∈Z ，则有：()()()()()()2ππ2πsin 2ππsin f x k f x x k x k x x ++-=++++-+-222πsin sin 2πk x x k =+-=，故()f x 的对称中心为()()2π,πk k k ∈Z ，满足题意，但()()πcos g x f x x '==+，则()()()πcos πsin g f x x x =++，令()()()()πcos πsin h x g f x x x ==++，则()()()()πcos πsin 1cos πsin h x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=+-+-=+-+⎣⎦⎣⎦()()1cos πsin x x h x =++=，故()h x 为偶函数，假设()h x 为周期函数，周期为0T ≠，则()()()()h x T h x h x h x T +==-=-+，则()()()()1cos πsin 1cos πsin x T x T x T x T ⎡⎤⎡⎤++++=+-++-+⎣⎦⎣⎦，即()()()()cos πsin cos πsin cos πcos sin x T x T T T x x T x ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦()()()()cos πsin cos πsin cos πcos sin x T x T T T x x T x ⎡⎤⎡⎤=-++-+=+-+⎣⎦⎣⎦，整理得()()sin πsin cos sin πcos sin 0T T x x T x ++=，令πx =，得()()()22sin πsin cos πsin πcos sin πsin πsin sin π0T T T T T ++=-=，因为2sin π0≠，则()()()sin πsin sin πcos sin cos πsin sin 0T T T T T T -=-=，令2πx =，得()()()22sin πsin cos 2πsin 2πcos sin 2πsin πsin sin 2π0T T T T T ++=+=，因为2sin 2π0≠，则()()()sin πsin sin πcos sin cos πsin sin 0T T T T T T +=+=，可得()sin πcos sin 0T T =，因为[]sin 1,1T ∈-，则()cos sin 0T >，可得sin π0T =，所以1T k =∈Z ，且10k ≠.当1k 为偶数，则()()()()1111sin πsin cos sin πcos sin sin πsin cos sin πcos sin T T x x T x k k x k k x ++=++()()11sin sin cos sin cos sin 0k x k x ==，可得对任意x ∈R ，()1sin sin cos 0k x =或()1sin cos sin 0k x =，且[]11sin ,cos ,cos ,sin 1,1k k x x ∈-，则[]11sin cos ,cos sin 1,1k x k x ∈-，可得1sin 0k =或1cos 0k =，显然对任意11,0k k ∈≠Z ，均不成立；当1k 为奇数，则()()()()1111sin πsin cos sin πcos sin sin πsin cos sin πcos sin T T x x T x k k x k k x ++=++()()11sin sin cos sin cos sin 0k x k x ==，可得对任意x ∈R ，()1sin sin cos 0k x =或()1sin cos sin 0k x =，且[]11sin ,cos ,cos ,sin 1,1k k x x ∈-，则[]11sin cos ,cos sin 1,1k x k x ∈-，可得1sin 0k =或1cos 0k =，显然对任意11,0k k ∈≠Z ，均不成立；综上所述：不存在实数T ，使得()()h x T h x +=.所以()h x 不是周期函数，故D 错误；故选：D.方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.下列为真命题的有（）A.90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5B.设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为2，则数据124,4,,4n x x x 的方差为8C.甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18D.已知随机变量()2~2,N ξσ，且()40.8P ξ<=，则()040.6P ξ<<=【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用中位数的定义计算即可；对于B ，利用方差的性质计算即可；对于C ，利用分层抽样的比例进行求解即可；对于D ，利用正态分布的对称性进行求解即可.【详解】对于A ，90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为939493.52+=，故A 正确；对于B ，样本数据12,,,n x x x 的方差为2，则数据124,4,,4n x x x 的方差为22432⨯=，故B 不正确；对于C ，甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为3129183++⨯=，故C 正确；对于D ，随机变量()2~2,N ξσ，()40.8P ξ<=，所以()()040.80.520.6P ξ<<=-⨯=，故D 正确.故选：ACD10.已知函数()f x 、()g x 定义域均为R ，且(4)()2f x f x ++-=，(21)f x +为偶函数，若()(2)g x f x =--，则下面一定成立的是（）A.(0)1f =B.(3)0g =C.(2023)(3)1f f == D.(2024)(0)1g g ==-【正确答案】AD【分析】根据条件判断()f x 关于()2,1中心对称和1x =轴对称，可求出4T =是函数()y f x =的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.【详解】由(4)()2f x f x ++-=可得函数()f x 关于()2,1中心对称，且()21f =，又因为(21)f x +为偶函数，所以(21)(21)f x f x -+=+，令2x 等价于x ，所以(1)(1)-+=+f x f x 可知函数()y f x =关于1x =轴对称，再令1x --替换x -，所以()(2)f x f x -=+，所以(4)()2f x f x ++-=知，()()422f x f x +++=，()()22f x f x ++=，所以()()4f x f x +=，即4T =是函数()y f x =的周期，由(1)(1)-+=+f x f x ，令1x =，则()()201f f ==，故A 正确；因为()()20233f f =，由已知条件无法求出()31f =，故C 不正确；由()(2)g x f x =--可得()()(3)(23)13g f f f =--=--=-，所以B 不正确；由()(2)g x f x =--可得()y f x =与()y g x =关于()1,0中心对称，所以4T =是函数()y g x =的周期，()(2024)(0)21g g f ==-=-，故D 正确.故选：AD.关键点点睛：根据条件判断函数()y g x =，()y f x =的对称性和周期性，利用函数的对称性和周期性进行转化求解时解决本题的关键.11.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，1==PA AB ，E ，F 为线段PD 上的点（不包括端点），则（）A.AC EF ⊥B.//PB 平面AECC.二面角E BD C --的大小为定值D.AE CE +【正确答案】CD【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可得出；对于B ，利用线面平行的性质定理即可得出；对于C ，由二面角的定义即可判断；对于D ，将侧面PAD 和PCD 展开在一个平面内，结合余弦定理即可得出.【详解】对于A ，PA ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥，假设AC EF ⊥，又,,PA EF P PA EF ⋂=⊂平面PAD ，AC ∴⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ，AC AD ∴⊥，而四边形ABCD 为正方形，与AC AD ⊥矛盾，所以假设错误，故AC EF ⊥不正确，故A 不正确；对于B ，设AC BD O = ，连接OE ，假设//PB 平面AEC ，又平面PBD 平面AEC OE =，则PB OE ∥，在PBD △中，因为O 为BD 的中点，则E 必为PD 的中点，这与E 为线段PD 上的动点矛盾，所以假设错误，故B 不正确；对于C ，E 为线段PD 上的动点，∴二面角E BD C --的大小即为二面角P BD C --的大小，因为二面角P BD C --的大小为定值，所以二面角E BD C --的大小为定值，故C 正确；对于D ，PA ⊥ 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ∴⊥，PAD ∴ 为等腰直角三角形，PA ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PA CD ∴⊥，即CD PA ⊥，又四边形ABCD 为正方形，CD DA ∴⊥，,,PA DA A PA DA ⋂=⊂ 平面PAD ，CD \^平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，CD PD ∴⊥，PCD ∴ 为直角三角形，如图，将侧面Rt PAD △和Rt PCD △展开在一个平面内，135ADC ∠= ，连接AC ，当E 处在AC 与PD 的交点处时，AE CE +取得最小值，此时，在ACD 中，由余弦定理，得2222cos 11211cos1352AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯︒=所以AE CE +，故D 正确.故选：CD .12.已知0x >时，()()e ln 0xax b cax b x ---+-≥，则（）A.当2c <时，1b c +>，0a b +≥B.当2c <时，ln 23a a c +>-C.当3c >时，ln a a c +<D.当3c >时，ln 23a a c +<-【正确答案】BCD【分析】本题考虑到不等式可以用()e xf x c =-，()lng x x =，()h x ax b =+这3个函数进行表示，可将不等式转化为这三个函数在0x >时的大小位置关系.可结合e 1x x >+，1ln x x -≥进行初步判断函数的大小关系，结合c 的变化对()f x ，()g x 的相对位置的变化影响可解得本题.【详解】设()e xf x c =-，()lng x x =，()h x ax b =+，由()()e ln 0xax b cax b x ---+-≥得()()()()0f x h x h x g x --≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以0x >时，()()()f x h x g x ≥≥或()()()f x h x g x ≤≤.A 和B 选项：当2c <时，()e e 2xxf x c =->-，设()e 1xt x x =--，则()e 1xt x '=-，当0x >时()e 10xt x '=->，所以()t x 在()0,∞+上单调递增，所以()()e 100xt x x t =-->=，即当0x >时，e 1x x >+，故()e e 21xxf x c x =->->-.设()1ln u x x x =--，则()11u x x'=-，当01x <<时，()0u x '<，则()u x 在()0,1上单调递减，当1x >时，()0u x '>，则()u x 在()1,+∞上单调递减.故()()10u x u ≥=，即1ln x x -≥，所以有()()e e 21ln xxf x c x xg x =->->-≥=，即0x ∀>，()()()f x h x g x ≥≥.设()()()ln s x h x g x ax b x =-=+-，由题意可知()0s x ≥，0a >，()1s x a x'=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x '<，()s x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0s x '>，()s x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以()11ln 0s x s b a a ⎛⎫≥=++≥⎪⎝⎭，得1e b a --≥，由()10s ≥得a b ≥-，ln 121a a a b b +≥--≥--，当0x →时，由()()f x h x ≥得1b c <-，则()ln 21123a a c c +>---=-，故B 正确，取1c =，1a =，1b =-，则ln a a c +=，故A 错误；C 和D 选项：当3c >时，()()1e e 311f c h =-<-<=由题意，()h x ax b =+恰为()e xf x c =-，()lng x x =两交点()11,ln M x x ，()22,ln N x x 所在直线，则()12111222ln e ,01ln e x x x c ax bx x x c ax b ⎧=-=+<<<⎨=-=+⎩则12121212ln ln e e x x x x a x x x x --==--121212ln ln e e e e 222x x x x x x c +++=-=-下列证明对均不等式：ln ln 2a b a ba b -+<<-，,0a b >，不妨设0a b >>ln ln a b a b -<-,即证ln ab<,(1)t t =>,设1()2ln (1)f t t t t t =-+>,则22221(1)()10t f t t t t'-+=--=<,所以()f t 在(1,)+∞递减,而(1)0f =,因此当1t >时,1()2ln 0f t t t t=-+<恒成立,即lna b <成立.再证ln ln 2a b a b a b -+<-,即证21ln 1a a b a b b⎛⎫- ⎪⎝⎭<+令2(1)(1),g()ln (1)1a t t t t t tb t -=>=->+,则22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=>++,所以g()t 在(1,)+∞递增,而g(1)0=,因此当1t >时,2(1)ln 01t t t -->+恒成立,即ln ln 2a b a ba b -+<-成立.由对数平均不等式知，1212121212e e e e 1ln ln ln 2ln ln x x x x x x c a a a x x x x a-+-=->-=-=+--.故ln 23a a c c +<<-，故CD 正确故选：BCD.关键点点睛：本题考察用导数解决不等式问题，本题解题的关键是从不等式中能抽象出来()e x f x c =-，()ln g x x =，()h x ax b =+这三个函数，然后根据不等式得到三个函数的图象在不同位置时的联系进而去解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在圆224x y +=内随机地取一点(),P x y ，则该点坐标满足()()2210y x x y -++≤的概率为________．【正确答案】12##0.5【分析】根据条件得到20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩，结合224x y +=画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线20y x -=，210x y ++=的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率.【详解】要满足()()2210y x x y -++≤，则20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩①或20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩②，在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆224x y +=，则满足要求的可行域如下图阴影部分所示：由图知：在圆224x y +=内随机取(),P x y 在阴影部分，而直线20y x -=过圆心()0,0，且直线20y x -=与直线210x y ++=相互垂直，所以图中阴影部分的面积为圆面积的12，故点(),P x y 满足()()2210y x x y -++≤的概率为12，故答案为.1214.已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC的正三角形，三棱锥-P ABC 的体积为16，Q 为BC 的中点，则过点Q 的平面截球O 所得截面面积的最小值是______.【正确答案】π2【分析】先根据条件可证明PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，故三棱锥-P ABC 放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥-P ABC 的外接球，从而即可求出球O 的半径，过点Q 的平面截球O 所得截面面积的最小时，截面与OQ 垂直，求得截面圆半径r 即可．【详解】设P 在底面ABC 上的射影为M ，如图，因为PA PB PC ==，由APM BPM CPM ，，全等得M 为ABC 的中心，由题可知，2ABC S =，由1136△P ABC ABC V PM S -=⨯⨯=，解得33PM =在正ABC 中，可得63AM =.从而直角三角形APM 中解得1PA ==.同理1PB PC ==，又ABC 的正三角形，所以2222PA PB AB +==，则PA PB ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥-P ABC 可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥-P ABC 的外接球相同，正方体对角线的中点为球心O .记外接球半径为R ，则2R =，过点Q 的平面截球O 所得截面面积的最小时，截面与OQ 垂直，此时截面圆半径r 满足222R r OQ =+，由12OQ =得23144r =+，所以212r =，所以截面面积的最小值为2ππ2r =.故π215.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．【正确答案】5##【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式，从而利用勾股定理求得a m =，进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t ==-，224t c =，将点A 代入双曲线C 得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故5c e a ==.方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =- ，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b -=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b -=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169cca a c a c a --=-，整理得424255090c c a -+=，则()()22225950c a ca --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以5e =或55e =（舍去），故5e =.故答案为.355关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解.16.1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.【正确答案】3,13⎫⎪⎪⎣⎭【分析】设,,PA m PB n PC t ===，()060PAC αα∠=︒<<︒，进而得到PBA ∠，,PAB PCA ∠∠，然后在PBC 中通过余弦定理得到,n t 的关系式，在PAC △和PAB 中通过正弦定理得到,t m 的关系式和,m n 的关系式，然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案.【详解】如图，根据题意，设,,PA m PB n PC t ===，()060PAC αα∠=︒<<︒，则PBA α∠=，60PAB PCA α∠=∠=︒-，在PBC 中，由余弦定理有2211cos12022n t n t nt +-︒==-⇒+=…①在PAC △中，由正弦定理有()sin sin 60t mαα=︒-，在PAB 中，由正弦定理有()sin sin 60m nαα=︒-，故()()sin sin 60sin 60sin m t m n αααα⎧=⎪︒-⎪⎨︒-⎪=⎪⎩，则2nt m =，由①，n t +=…②，且()()()()sin 60sin 60sin sin sin sin 60sin sin 60m m αααααααα︒-︒-+=⇒=+︒-︒-，设()sin 60sin x αα︒-=，则313cos sin 1222sin tan 2x αααα-==-，由题意，(1tan tan 3αα⎛⎫∈⇒∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()0,x ∈+∞1x x =+，由对勾函数的[2,)03m +∞⇒<≤.由②，PB PC PA m +-==易知函数y =3(0,3上单调递减，于是3,1)3PB PC PA +-∈.故答案为.[,1)3本题难度较大，注意以下几个细节的处理，首先“2211cos12022n t n t nt +-︒==-⇒+=”这一步，开根号的目的是降低运算量；其次，在()()sin 60sin sin sin 60αααα︒-=+︒-”这个等式里发现了倒数关系，故而进行了换元，否则通分化简运算量特别大；再次，“PB PC PA m +-==这一步变形目的在于可以直接判断函数y =y m =-的单调性需要借助导数.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n n *+=++∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记(1)na n nb a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使2700n S >成立的最小正整数n .【正确答案】（1）2,n n a n n *=-∈N（2）12【分析】（1）根据题意得到112n n a n a n+++=+，得出{}n a n +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得()2(1)2n nn n b n -=-⋅-，求得2121221k k k b b --+=-，利用等比数列的求和公式，求得()22413k kSk -=-和22112233kk S k -=-⋅-+，解2700n S >，即可求解.【小问1详解】由题意知121n n a a n +=+-，可得()112n n a n a n +++=+，即112n n a n a n+++=+所以{}n a n +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以122n n a n -+=⨯，可得2nn a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为2,n n a n n *=-∈N .【小问2详解】解：由2nn a n =-，可得()2(1)(1)2n n ann n n b a n -=-⋅=-⋅-，当n 为偶数时，n a 为偶数，当为奇数时，n a 为奇数，所以()212212122212221k k k k k b b k k ---+=--++-=-，所以{}n b 前2k 项的和()()3521224122223k k kSk k --=+++⋅⋅⋅+-=-，所以()()22212224112222333k k k k k k SS b k k k --=-=---=-⨯-+，所以210k S -<，不合题意，又因为()612241627003S -=->，且102700S <，所以使2700n S >的最小值为12.18.已知在ABC 中，D 为边AB 上的点，且13AD DB =，2BC =.（1）若4AB =，2sin 3CDB ∠=，求边AC 的长；（2）若23CD DB =，设CDB θ∠=，()0,πθ∈，试将ABC 的面积S 表示为θ的函数，并求函数()y S θ=最大值.【正确答案】（1）2213（2）16sin 1312cos y θθ=-，()0,πθ∈；165【分析】（1）由条件求DB ，根据正弦定理求sin DCB ∠，由此可求cos DBC ∠，再由余弦定理求AC ；（2）设3DB t =，根据余弦定理用θ表示2t ，结合三角形面积公式用θ表示ABC 的面积，方法一：利用正弦函数的范围求函数()y S θ=的最大值，方法二：利用二倍角公式和同角关系化简可得232tan225tan 12y θθ=+，结合基本不等式求其最大值.【小问1详解】由13AD DB =，4AB =，则3DB =，在BCD △中，23sin 12sin sin sin 3BC DB DCB CDB DCB DCB ∠∠∠∠=⇒=⇒=，∵()0,πDCB ∠∈，∴π2DCB ∠=，∴2cos sin 3DBC CDB ∠∠==；在ABC 中，由余弦定理得.2222212422433AC =+-⨯⨯⨯=【小问2详解】由23CD DB =，设3DB t =，则2CD t =，∵13AD DB =，∴AD t =，在BCD △中，由余弦定理得：2224449223cos 1312cos t t t t t θθ=+-⋅⋅⋅⇒=-，ABC 的面积244116sin 23sin 4sin 3321312cos BCD S S t t t θθθθ==⨯⨯⨯⨯==- ，∴16sin 1312cos y θθ=-，()0,πθ∈.法一：16sin 16sin 12cos 131312cos y y y θθθθ=⇒+=-（※）()13y θϕ⇒+=，其中cos ϕ=，sin ϕ=，∴()222sin 116916144y y θϕ+=≤⇒≤+∴222516y ≤，又0y >，所以1605y <≤，当且仅当()sin 1θϕ+=时等号成立，所以当512sin cos ,cos sin 1313θϕθϕ====时，函数16sin 1312cos y θθ=-取最大值，最大值为165故函数()y S θ=最大值为165.法二：∴222232sin cos16sin 221312cos 13sin 13cos 12cos 12sin 2222y θθθθθθθθ==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22232sin cos 32tan22225sin cos 25tan 1222θθθθθθ==++，又()0,πθ∈，所以32161525tan2tan 2y θθ=≤=+，当且仅当125tan2tan2θθ=，即1tan 25θ=，即5tan 12θ=取最大值，故函数()y S θ=最大值为165..19.2021年9月15日至17日，世界新能源汽车大会在海南海口召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车.为了推广该款新能源汽车，购买新能源汽车将会得到相应的补贴，标准如下：购买的新能源汽车价格（万元）6070-7080-8090-90100-补贴（万元）571015（1）本月在A 市购买新能源汽车的4000人中随机抽取300人，统计了他们购买的新能源汽车的价格并制成了如下表格（这4000人购买的新能源汽车价格都在60-100万元之间）利用样本估计总体，试估计本月A 市的补贴预算（单位：亿元，保留两位小数）（2）该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试，得到了单次最大续航里程()km y 与售价的关系如下表.根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 与x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（系数精确到0.01）.周小姐想要购买一辆单次最大续航为420km 的该款新能源汽车，请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱（单位：万元，保留两位小数）售价x （万元）6670738190单次最大续航里程()km y 2002302603254051221ˆˆ,ni ii ni i x y nx yb x nxay bx ==-⋅=-=-∑∑$（3）某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，活动规则如下：箱子里有2个红球，1个黄球，1个蓝球，客户从箱子里随机取出一个球（每一个球被取出的概率相同），确定颜色后放回，连续抽到两个红球时游戏结束，取球次数越少奖励越好，记取n 次球游戏结束的概率为()*n P n ∈N .周小姐参与了此次活动，请求周小姐取球次数的数学期望.【正确答案】（1）本月A 市的补贴预算3.65亿元（2）周小姐至少要准备91.87万元.（3）周小姐取球次数的数学期望为6【分析】（1）根据题意整理数据，结合平均数运算求解；（2）根据题意先求线性回归方程，再根据回归方程运算求解；（3）根据题意分析可得()3118n n P S +=-，()*5431124n n n P P P n +++=+∈N ，利用构造法结合等边数列求得11111044n n n P --⎡⎤⎛⎫⎛+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再结合导数和极限求期望.【小问1详解】由题意可得：购买的新能源汽车价格（万元）6070-7080-8090-90100-频率162515730补贴（万元）571015本月A 市的补贴预算1217400057101536533.3365530⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯≈ ⎪⎝⎭万元，故本月A 市的补贴预算3.65亿元.【小问2详解】由题意可得：()()11667073819076,20023026032540528455x y =++++==++++=，5522222211667073819029246,6620070230732608132590405111ii i i i xx y ===++++==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑，则5152151110555762848.5729246576765i ii i i x y x yb x x==-⋅-⨯⨯==≈-⨯⨯-∑∑$，2848.5776367.32a y b x =-⨯=-⨯≈-$$，故y 与x 的回归方程ˆ8.57367.32yx =-，令420y =，即8.57367.32420x -=，解得91.87x ≈，故周小姐至少要准备91.87万元.【小问3详解】设数列{}n P 的前n 项和为n S ，周小姐取球次数为,1,2,3,...X X =，由题意可得：每次抽到红球的概率为12，抽到非红球的概率为12，可得1234111111111110,,122422282228P P P P ==⨯==⨯⨯==⨯⨯⨯=，对到第n 次还未结束游戏的概率为1n S -，则第1n +次为非红球，第2n +次为红球，第3n +次为红球即结束，故第3n +次结束游戏的概率()()31111112228n n n P S S +=-⨯⨯⨯=-，则2513,432S P ==，若第n 次还未结束游戏，则第1n +次为非红球，第2n +次为红球，第3n +次为红球即结束，故第3n +次结束游戏的概率3n P +，即第n 次还未结束游戏的概率为338111222n n P P ++=⨯⨯，则有：当第1n +次为非红球时，则第2n +次为非红球或红球均可，之后连续三次依次为非红球、红球和红球，则第5n +次结束游戏，此时有533111118122222n n n P P P +++=⨯⨯⨯=，当第1n +次为红球时（游戏未结束），则第2n +次为非红球，之后连续三次依次为非红球、红球和红球，则第5n +次结束游戏，此时有543431111111882222224n n n n n P P P P P +++++⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭，综上所述：()*5343431111122424n n n n n n P P P P P P n ++++++⎛⎫=+-=+∈ ⎪⎝⎭N ，可得：5443111444n n n n P P P P ++++⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，且54120432P P +-=≠，故数列43154n n P P ++⎧⎫-⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以首项14的等比数列，则1431525154324n n n P P -++⎛⎫+-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，可得1432551515255158044804n n n n P P -++⎡⎤⎛⎛++-+⎢⎥-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且425552508080P --=≠，故数列1325515804n n P -+⎧⎫⎛⎫++⎪⎪-⨯ ⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以首项52580-，公比为154的等比数列，则1132551552515804804n n n P --+⎛⎛++---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()11313132551552515515158048041044n n n n n P --+-+-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=⨯+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()11*515154,1044n n n P n n --⎡⎤⎛⎫⎛-⎢⎥=-≥∈ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦N ，检验当1,2,3n =时均符合上式，故1111544n n n P --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则11111515151044i i nn n i i i i i P i i --===⎡⎤⎛⎫⎛+-⎢⎥⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑，设()()21...,0,11n n x x f x x x x x x-=+++=≠-，则()()()121112...,0,11n n n x nx f x x nx x x +-++'=+++=≠-，令14x +=，可得11151544i ni i f -=⎛⎫⎛⎫+'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，令14x =，可得11151544i ni i f -=⎛⎫⎛⎫'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，∵151501,1044+-<<-<<，且当01x <<时，则()()()()()1221121lim lim11n n n n n x n x f x x x +→+∞→+∞-+++'==--，∴()111115lim lim 151lim 15440ni n n i i n n i i n i i i i E X P --→+∞→+∞→==+∞=⎡⎤⎛⎛+-⎢⎥- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭=⎣⋅⎦=∑∑∑2251515511610441015151lim li 4m 14n n f f →+∞→+∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥+''=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-⎢⎥-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故周小姐取球次数的数学期望为6.关键点点睛：（1）对于21123...n q q nq -++++的求和，可以借助于导数()221...123...n n q qq q q nq -'+++=++++运算处理；（2）常见极限：当01q <<时，则11lim 0,lim 0,lim 11n nnn n n q q nq q q→+∞→+∞→+∞-===--.20.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =M ，N 为棱11B C ，11C D 的中点，棱AB 上存在一点E ，使得1//A E 平面BMND．（1）求AEAB；（2）当正四棱台1111ABCD A B C D -的体积最大时，求1BB 与平面BMND 所成角的正弦值．【正确答案】（1）14AE AB =（2）13【分析】（1）取点构造平行四边形1B FGM ，再由比例关系证明求值．（2）设1142AB A B x ==，将体积表示为x 的函较，求出棱台的体积最大时x 的值，再建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值．【小问1详解】作11B F A E ∥交AB 于F ，再作FG BC ∥交BD 于G ，连接MG ．因为1//A E 平面BMND ，所以1//B F 平面BMND ．又平面1B FGM ⋂平面BMND MG =，所以1B F MG ∥．又因为11FG BC B C ∥∥，所以四边形1B FGM 是平行四边形，所以1111124FG B M B C AD ===，即F 为棱AB 的四等分点，故E 也为棱AB 的四等分点，所以14AE AB =．【小问2详解】由（1）易知G 为BD 的四等分点，所以点1B 在点G 的正上方，所以1B G ⊥底面ABCD ．设1142AB A B x ==，则14BG BD ==，所以1B G =所以该四棱台的体积(2212816433V x x x =+=而()322222227847843232993x x x V x x x ⎛⎫++-=⋅⋅-≤⋅ ⎪⎝⎭．当且仅当2232x x =-，即1x =时取等号，此时4AB =，112A B =．以G 为原点，GF ，1B G 分别为x 轴、z 轴，过G 平行于AB 的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0G ，()10,0,1,B ，()1,1,0B ，()1,0,0F ，所以()1,1,0GB = ，()11,0,1GM FB ==- ，()11,1,1BB =--．设平面BMND 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,CB n GM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,x y x z +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则()1,1,1n =- ．设1BB 与平面BMND 所成角为θ，则1111sin cos ,3n BB n BB n BB θ⋅===⋅，故1BB 与平面BMND 所成角的正弦值为13．21.有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点F 到纸片圆心E的距离为使圆周上一点M 与点F 重合，以点,F E 所在的直线为x 轴，线段EF 的中点O 为原点建立平面直角坐标系．（1）记折痕与ME 的交点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）若直线l ：y kx m =+（0m >）与曲线C 交于A ，B 两点．（ⅰ）当k 为何值时，22OA OB +为定值，并求出该定值；（ⅱ）A ，B 为切点，作曲线C 的两条切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点Q 在直线40x y +-=上，探究：此时直线l 是否过定点，若过，求出该定点；若不过，请说明理由．【正确答案】（1）2214x y +=（2）（ⅰ）12k =±，定值为5；（ⅱ）过定点，定点坐标为11,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程．（2）（ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出22OA OB +，写出关于k 的表达式分析可得．（ⅱ）求出在A ，B 两点处的切线方程，设出Q 点坐标，并分别代入到两条切线方程，进而表示出直线l 的方程，即可得到定点．【详解】（1）由题意可知，4PF PE PM PE ME EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以曲线C 的方程，即椭圆方程为2214x y +=．（2）（ⅰ）由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得，()222418440k x kmx m +++-=，由()()222264164110k m k m ∆=-+->，得22410k m -+>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，所以()()222222222121212121233112224444x x OA OB x x x x x x x x ⎡⎤+=+-++-=++=++-⎣⎦()()()()22222222222641641246246224141m k k k m m k kk-++-++=+=+++，当22OA OB +为定值时，即与2m 无关，令2410k -=，得12k =±，此时225OA OB +=恒成立，即当12k =±时，22OA OB +为定值，且定值为5．（ⅱ）设在A 点处的切线方程为()111y k x x y =-+，由()11122,1,4y k x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++++--=，由()()()222111111118414440k y k x k y k x ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦，化简得()2221111114210x k x y k y --+-=，因为2140x -≠，所以1111211144x y x k x y ===---，故在A 点处的切线方程为()11114x y x x y y =--+，整理可得1114x x y y +=，①同理可得，在B 点处的切线方程为2214x xy y +=．②设()00,4Q x x -，将其代入①②，得()1010414x x y x +-=，()2020414x xy x +-=，所以直线l 的方程为()00414xx y x +-=，即04104x y x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，令0,4410,x y y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，得1,1,4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故直线l 过定点，且定点坐标为11,4⎛⎫⎪⎝⎭．22.已知函数()()1e ,xf xg x x==.（1）若()()()()h x f x mg x m =-∈R ，判断()h x 的零点个数；（2）当0x >时，不等式()()1e ln 2a xf x xg x +≥++恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析（2）(],0-∞【分析】（1）求出()h x 的定义域，求导，参变分离得到e x x m =，构造()()e 0xW x x x =≠，求导后得到单调性，画出()W x 的大致图象，数形结合得到函数零点个数；（2）同构转化为()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，构造()e 1x x x μ=--，求导得到其单调性，得到()ln 1e ln 110x x x x ++-++-≥，分0a ≤，0a >，两种情况，得到实数a 的取值范围.【小问1详解】()()1e ,x f x g x x==，()()()e x mh x f x mg x x∴=-=-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，令()0h x =，可得e x x m =，设()()e0xW x x x =≠，则()()1e x W x x =+'，令()()1e 0x W x x =+>'，得()1,x W x >-∴在()()1,0,0,-+∞上单调递增；令()()1e 0xW x x =+<'，得1x <-，()W x ∴在(),1-∞-上单调递减，()min 1()1eW x W ∴=-=-.当x →-∞时，0y →；当x →+∞时，y →+∞，从而可画出()W x 的大致图象，∴①当1em <-或0m =时，()h x 没有零点；②当1m e=-或0m >时，()h x 有一个零点；。

重庆市万州中学2025届数学高三第一学期期末统考模拟试题含解析

重庆市万州中学2025届数学高三第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．325．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．6．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（）A ．2B ．10C ．34D ．988．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（）A ．3n CB ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 9．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（）． A ．32B ．105C ．155D ．6310．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．255-B ．55-C ．55D ．25-11．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．612．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆万州武陵中学高三数学理模拟试卷含解析

重庆万州武陵中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知sin（π+）=－,则cos的值为（）A．B． C． D．参考答案：答案：D2. 在区间[-1，1]上任取两个数、，则满足的概率是（）A、 B、 C、 D、参考答案：A3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．．．．参考答案：由三视图易知该几何体是一个底半径为高为的圆柱挖去一个底面是边长为的正方形，高为的四棱锥得到的几何体，其体积为．故答案选．4. 设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则( )A. B. C. D.参考答案：B略6. 设全集U=R，A=，B=，则右图中阴影部分表示的集合为( )A．B．C． D．参考答案：B略7. 若，则（）A． B． [来源:学.科.网Z.X.X.K]C. D．参考答案：D8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列前项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的为（）A. 100 B. 250 C. 140 D. 190参考答案：D9. 关于x的方程至少有一个正的实根,则a的取值范围是（）A．a≥0 B．－1≤a＜0 C．a≥－1 D．a＞0或－1＜a＜0参考答案：C略10. 在△ABC中，已知，，若D点在斜边BC上，，则的值为（）．A. 6B. 12C. 24D. 48参考答案：C试题分析：因为，，，所以＝＝＋＝＝，故选C．考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生的勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院的C专业应抽取名学生。

2023-2024学年重庆市万州区高三第二次联考模拟试题数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年重庆市万州区高三第二次联考模拟试题数学模拟试题一、单选题1．已知集合A x y ⎧⎫=⎨⎩，{}2560B x x x =--≥，则A B ⋃=（）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(](),13,-∞-+∞C ．[)1,3-D ．(]3,6【正确答案】B【分析】根据函数的定义域求集合A ，根据一元二次不等式解法求集合B ，利用并集概念运算即可.【详解】由30x ->，得3x >，即{}3A x x =>，由2560x x --≥，得1x ≤-或6x ≥，即{}16B x x x =≤-≥或，所以{}13A B x x x ⋃=≤->或.故选：B.2．已知3i i 2z z z +-=+，则复数z 在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】设i(,R)z a b a b =+∈，根据复数相等得到方程，解出,a b ，再根据复数的几何意义即可得到答案.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，3i i 2z z z +-=+，则i 3i (i)i 2(i)2(2)i a b a b a b b a a b ++-=++-=-++-，即3212a b ab a b +=-+⎧⎨-=-⎩，解得5,2a b ==,故复数z 在复平面上对应点()5,2在第一象限，故选：A.3．已知0.2log 0.3a =，0.6log 0.35b =，0.24c =，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c>>D ．a c b>>【正确答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的性质确定,,a b c 的范围，由此比较,,a b c 的大小.【详解】函数0.2log y x =为()0,∞+上的减函数，又0.20.31<<，所以0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，故01a <<；函数0.6log y x =为()0,∞+上的减函数，又()()320.60.350.6<<，所以()()230.60.60.6log 0.6log 0.35log 0.6<<，故23b <<；函数4x y =为()0,∞+上的增函数，又00.20.5<<，所以00.20.5444<<，故12c <<；所以b c a >>，故选：B.4．函数()()242xf x x =-⋅的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】首先根据函数奇偶性排除B 选项，再根据特殊点处()040f =>排除D 选项，在根据解方程得出()f x 只有两个零点，从而排除A 选项，最后得答案．【详解】由()()242x f x x =-⋅，得()()()()224242x x f x x x f x -⎡⎤-=--⋅=-⋅=⎣⎦，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 选项；因为()040f =>，故排除D 选项；令()()2420x f x x =-⋅=，解得2x =±，故()f x 只有两个零点，故排除A 选项．故选：C ．5．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.3厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）A ．21πB ．24πC ．27πD ．30π【正确答案】C【分析】根据圆台的侧面积公式求出对应的值，代入公式计算即可求解.【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为R ，r ，若当29R =，23r =时，则圆台的母线长5l =，所以其侧面积为()4.5 1.5530ππ⨯+⨯=，若当28R =，22r =时，则圆台的母线长5l =，所以其侧面积为()41525ππ⨯+⨯=，所以其侧面积S 满足25π30πS <<．故选：C ．6．已知平面向量()2,0a = ，(b = ，向量a b - 与a kb - 的夹角为π6，则k =（）A ．2或12B ．3或13C ．2或0D ．3或12【正确答案】A【分析】利用向量的模的坐标公式求a b - ，a kb -，根据数量积的坐标公式求()()a a kb b -⋅-，结合夹角公式列方程求k【详解】因为()2,0a =，(b = ，所以(1,a b -= ，()2,a kb k -=-，所以2a b -=，()()2322k a a kb k b k -+-⋅=-+=，又向量a b - 与a kb - 的夹角为π6，所以()()cos ,2a b a kb a b a kb a b a kb -⋅---===-⋅- ，所以22520k k -+=，所以2k =或12k =，故选：A.7．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为4，平行四边形ABCD 内接于椭圆E ，且直线AB 与AD 的斜率之积为12-，则椭圆E 的方程为（）A ．22184x y +=B ．221128x y +=C ．2211612x y +=D ．2212016x y +=【正确答案】A【分析】由条件列关于,,a b c 的方程，解方程可得,a b ，由此可得椭圆方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由对称性可得()22,D x y --，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，所以两式相减可得2222122221y y b x x a-=--，因为直线AB 与AD 的斜率之积为12-，所以2121212112y y y y x x x x ---⋅=----，即2221222112y y x x -=--，所以2212b a =，设椭圆E 的半焦距为c ，因为椭圆E 的焦距为4，所以24c =，所以2c =，又222a b c =+，所以224,8b a ==，所以椭圆E 的标准方程为22184x y +=，故选：A.8．在三棱锥-P ABC 中，33AC PA ==，平面PAC ⊥平面ABC ，PA BC ⊥，点Q 为三棱锥-P ABC 外接球O 上一动点，且点Q 到平面PAC 214+则球O 的体积为()A ．28143B ．143C 5614D 8014【正确答案】C【分析】取AC 的中点M ，证明BM ⊥平面PAC ，从而可得BM ⊥平面PAC ，可得BM ⊥PA ，再证PA ⊥平面ABC ；设BC ＝a ，在△ABC 中，利用余弦定理求出cos ∠ABC 及∠ABC 的大小.设ABC 外接圆的圆心为1O ，半径为r ，球O 的半径为R ，求出1O M 长度；连接1O A ，OA ，求出1O A 长度；在△PAO 中，利用勾股定理求出R ．易知1O O PA ∥，从而得1O O ∥平面PAC ，从而得点O 到平面PAC 的距离等于点1O 到平面PAC 的距离.根据点Q 到平面PAC 214a 的值，从而求得R ，再根据球的体积公式即可求解．【详解】取AC 的中点M ，∵AB BC =，∴BM AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，∴BM ⊥平面PAC ，∵PA ⊂平面PAC ，∴BM PA ⊥，∵PA BC ⊥，BM BC B = ，∴PA ⊥平面ABC ，设333AC PA AB BC a ====，则22231cos 22a a a ABC a a +-∠==-⨯⨯，∴120ABC ∠=︒，设ABC 外接圆的圆心为1O ，半径为r ，球O 的半径为R ，如图所示，显然B ，M ，1O 三点共线，且1O M ⊥平面PAC ．由AC =，120ABC ∠=︒，得12BM a =，r a =，∴112O M a =；连接1O A ，OA ，则1O A a =，由PA ⊥平面ABC ，且ABC 外接圆的圆心为1O ，可得R ==．∵1O O ⊥平面ABC ，∴1O O PA ∥，1O O ∥平面PAC ，∴点O 到平面PAC 的距离等于点1O 到平面PAC 的距离，∵点Q 到平面PAC∴1122O M R a a +=+=a =R =，∴球O 的体积为3433R ππ=．故选：C ．关键点睛：空间里面的线面、面面位置关系.需要灵活运用面面垂直的性质定理、线面垂直的判断定理.解题过程中找出三棱锥的外接球球心，构造直角三角形，结合平面几何及空间几何关系求出各种边（棱）长是解题的关键.二、多选题9．新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．月份代码x 12345碳酸锂价格y0.50.811.21.5若y 关于x 的经验回归方程为 0.28y x a=+，则下列说法中正确的有（）A ．y 与x 的样本相关系数0r <B ． 0.16a=C ．经验回归方程 0.28y x a=+经过点()3,1D ．由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.84【正确答案】BCD【分析】根据题意，由相关系数的计算公式即可判断A ，由经验回归方程必过样本中心即可判断BCD.【详解】由题意可得，()11234535x =++++=，()10.50.81 1.2 1.515y =++++=，()()()()()()()()()()15130.51230.81331143 1.21i iix x yy =--=--+--+--+--∑()()53 1.51 2.4+--=，()()()()()()21222225132333435310i ix x =-=-+-+-+-+-=∑，()()()()()()522222210.510.8111 1.21 1.510.58ii yy =-=-+-+-+-+-=∑，则y 与x 的样本相关系数()()10i iix x y y r =-->∑.故A 错误；由y 关于x 的经验回归方程为 0.28y x a =+恒过样本中心点()3,1，则有 10.283a =⨯+，解得 0.16a=，故B 正确，C 正确；由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为0.2860.16 1.84⨯+=，故D 正确；故选：BCD10．关于8211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的有（）A ．各项系数之和为256B ．各项系数的绝对值之和为83C ．8x 项的系数为1D ．2x 项的系数为224【正确答案】BC【分析】令1x =即可判断选项A ；因为已知多项式的展开式的各项系数的绝对值和与8211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的各项系数和相等，然后令1x =即可判断B ；因8211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因式的乘积，然后利用组合的性质分别求出8x ，2x 的项的系数即可判断CD.【详解】令1x =，则各项系数之和为()81111+-=，A 不正确；因各项系数的绝对值之和与8211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的各项系数和相等，则令1x =，各项系数的绝对值之和为()881113++=，B 正确；因8211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因式的乘积，则选8个x 即可得8x 的系数为88C 1=，C 对；根据C 选项，选6个1，2个x ，或者选3个1，4个x ，1个21x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或者选6个x ，2个21x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得出2x 项的系数为()()2623462828582C C C C 1C C 1224+⋅-+⋅-=-，D 错.故选：BC11．古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现“若A 、B 为平面上相异的两点，则所有满足：PAPBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是圆”，后来人们称这个圆为阿波罗尼奥斯圆．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，若2λ=，点P 的轨迹为圆C ，则下列结论中错误的有（）A ．圆C 的方程是()22616x y -+=B ．APB △面积的最大值为4C ．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则该直线的斜率为5±D ．若点()5,1E ，则2PE PB +的最小值为5【正确答案】BCD【分析】设出点P 的坐标,根据||2||PA PB =,即可求出点P 的轨迹方程,即可判断选项A 是否正确；根据点(2,0),(4,0)A B -的位置关系和圆的性质,即可求出APB △面积的最大值,进而判断选项B 是否正确；直线l 的方程为()2y k x =+,2=,求解可判断C ；由题意可得2PE PB PE PA AE +=+≥,可求最小值判断D.【详解】对于选项A,设(,)P x y ,因为P 满足||2||PA PB =,2=,化简得2212200x x y -++=,所以22(6)16x y -+=,故A 正确;对于选项B,由选项A 可知,点P 的轨迹方程为22(6)16x y -+=,所以点P 的轨迹是以(6,0)为圆心,4为半径的圆,又||6AB =,且点A,B 在圆的直径所在的直线上,故当点P 到圆的直径距离最大的时候,PAB 的面积最大,因为圆上的点到直径的最大距离为半径,即PAB 的高的最大值为4,所以PAB 面积的最大值为164122⨯⨯=,故B 错误；对于选项C,若直线l 的斜率不存在，则:2l x =-，可得圆心(6,0)C 到直线l 的距离为8，不合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =+,若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为2,则圆心(6,0)C 到直线l 的距离为2,2=,解得k =；综上所述：若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则该直线的斜率为，故C 错误；对于选项D,由||2||PA PB =,可得2||||PB PA =,2PE PB PE PA AE ∴+=+≥==当且仅当A ,P ,E 在一直线线上且P 在A ,E 之间时取等号,故||2||PE PB +的最小值为故D 错误.故选：BCD.12．关于函数()()sin f x x x π=+，下列说法中正确的有（）A ．()f x 是偶函数B ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数C ．()f x的值域为⎡-⎣D ．函数9()5y f x =-在区间[],2ππ-上有六个零点【正确答案】AD【分析】化简函数的解析式得()[]()π2sin ,2π,2ππ3π2sin ,2ππ,2π2π3x x k k f x x x k k ⎧⎛⎫-∈+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+∈++ ⎪⎪⎝⎭⎩，k ∈Z ,作出图象,结合图象逐一判断即可.【详解】因为cos y x =是偶函数，所以cos ||cos y x x ==，所以()|sin()||||sin ||sin |f x x x x x x x π=+=--=-2sin ,[2,2]32sin ,(2,22)3x x k k x x k k πππππππππ⎧⎛⎫-∈+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+∈++ ⎪⎪⎝⎭⎩，k ∈Z ，作出函数()y f x =的图象,如图所示:因为()|sin |3f x x x =，定义域为R ，且()()()()|sin |3sin 3f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数,故A 正确；当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2π,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则函数不单调,故B 错误;由图可得函数的值域为[3,2]-,故C 错误;因为()π2π92sin 2sin3335f ππ⎛⎫=-==< ⎪⎝⎭,所以9()5y f x =-在区间[]π,2π-上零点个数即为9()5f x =在区间[]π,2π-上的交点个数,由图可知9()5f x =在区间[]π,2π-上的交点个数为6,故D 正确.故选：AD.关键点睛：本题的关键是作出函数的图象，利用函数图象来判断较难的C 选项，对于D 选项将其转化为()f x 与直线95y =的交点个数问题即可.三、填空题13．已知函数()2f x x x=，则()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为______．【正确答案】5270x y --=【分析】求出()1f '及()1f ，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程.【详解】因为()2122f x x x'=+，所以()512f '=，又因为()11f =-，所以()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()5112y x +=-，即5270x y --=．故答案为.5270x y --=14．写出一个具有下列性质①②的数列{}n a 的通项公式n a =______．①122n n n a a a ++=+；②数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值．【正确答案】26n -(答案不唯一)【分析】根据122n n n a a a ++=+判断数列{}n a 是等差数列，根据n S 存在最小值可知等差数列首项为负数，公差为正数，从而可写出满足条件的等差数列．【详解】∵122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 是等差数列，∵数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，∴等差数列{}n a 的公差0d >，10a <，显然26n a n =-满足题意．故26n -．15．某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得1分；如果两人都没投中，则小组得0分．甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为23，乙每轮投中的概率为12，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为______．【正确答案】59【分析】首先写出X 可能取值，再写出分布列，最后得到不低于3分的概率.【详解】根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为X ,则X 可取的值为0、1、2、3、4、6,在一轮活动中,该小组得3分的概率1211323P =⨯=该小组得1分的概率221111132322P ⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，该小组得0分的概率321111326P ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12111(3)C 639P X ==⨯⨯=,12111(4)C 323P X ==⨯⨯=，111(6)339P X ==⨯=，则1115(3)(3)(4)(6)9399P X P X P X P X ≥==+=+==++=，即该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为59，故答案为.5916．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 在第一象限上的一点，且直线2PF12F PF ∠的平分线交x 轴于点A ，点B 满足2BP AB =，11112112F B F P F B F F F P F F ⋅⋅= ，则双曲线C 的渐近线方程为______．【正确答案】34y x=±【分析】由点B 满足11112112F B F P F B F F F P F F ⋅⋅=,则1F B 在1F P 方向上的投影与1F B 在12F F 方向上的投影长度相等,可得B 为12PF F △的内心,然后结合双曲线的定义及余弦定理求解即可.【详解】过B 作112,BC PF BD F F ⊥⊥，由点B 满足11112112F B F P F B F F F P F F ⋅⋅=，则1F B 在1F P 方向上的投影与1F B 在12F F方向上的投影长度相等,即11FC F D =，则11F BC F DB ≌,即11AF B PF B ∠=∠，即1F B 为12PF F ∠的平分线,则B 为12PF F △的内心，连接2BF ，又点B 满足2BP AB =,2121||2||PF PF PB F AF AAB ∴===,()121224PF PF F A F A c ∴+=+=,又122PF PF a -=，则122,2PF c a PF c a =+=-,又直线2PF 的斜率为3，2123PF F π∴∠=,在12PF F △中结合余弦定理2221122122212cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠‖，可得2221(2)(2)(2)2(2)(2)2c a c c a c c a ⎛⎫+=+--⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭，化简得54c a =，则2234b c a a =-=，即34b a =，即双曲线C 的渐近线方程为34y x =±.故答案为.34y x=±四、解答题17．在①314n n S a +=；②11a =，13n S ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭与{}n a 都是等比数列；③341nn S =-，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且______．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．【正确答案】(1)14n n a -=(2)()21322499n n n T ++=-+【分析】（1）若选①或③，已知n a 和n S 的关系，求解n a 即可；若选②设出公比求解即可；（2）用错位相减法求数列的和即可.【详解】（1）若选①：当1n =时，11314S a +=，解得11a =；当2n ≥时，314n n S a +=，11314n n S a --+=，两式相减得：1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=，所以14nn aa -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，4为公比的等比数列.所以14n n a -=.若选②：{}n a 都是等比数列，设{}n a 的公比为：q ，因为13n S ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，2213111333S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22111111333q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得0q =（舍去）或4q =，因为11a =，所以14n n a -=.若选③：当1n =时，11341S =-，解得11a =；当2n ≥时，341nn S =-，11341n n S --=-，两式相减得：1344n n n a -=-，所以1334n n a -=⨯所以14n n a -=，当1n =时，符合11a =，故14n n a -=.（2）由（1）可知：14n n a -=，所以()()()1212222412n n n n b n a n n --=+=+⋅=+，所以数列{}n b 的前n 项和为：()1352122324212n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，()35721422324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，两式相减得：()13572121322222212n n n T n -+-=⨯++++⋅⋅⋅+-+，所以()13572121322222212n n n T n -+-=+++++⋅⋅⋅+-+，所以()12121224321214n n n T n -+-⨯-=+-+-，所以()21322499n n n T ++=-+.18．如图，在平面四边形ABCD 中，AC =，3AB =，DAC BAC ∠=∠，sin 14BAC ∠=．(1)求ABC ∠；(2)若2π3CDA ∠=，求BCD △的面积．【正确答案】(1)π3ABC ∠=；(2)BCD △.【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC 的长，再由正弦定理求ABC ∠；（2）利用正弦定理求CD ，根据四边形内角和关系结合二倍角公式求sin BCD ∠，进而求得BCD △的面积．【详解】（1）因为21sin 14BAC ∠=，BAC ∠为锐角，所以cos BAC ∠==因为AC =3AB =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠，即27923114BC =+-⨯=，得1BC =．在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，14=，所以sin 14ABC ∠==，因为AC AB <，所以ABC ACB Ð<Ð，故π02ABC <∠<，所以π3ABC ∠=；（2）在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACDAC CDA=∠∠，又AC =sin sin 14DAC BAC ∠=∠=，2π3CDA ∠=，14=，所以1CD =．因为2πABC BCD CDA DAB ∠+∠+∠+∠=，2π3CDA ∠=，π3ABC ∠=，所以πBCD DAB ∠+∠=，所以()sin sin πsin 2sin cos BCD DAB DAB BAC BAC ∠=-∠=∠=∠∠，所以sin 2BCD ∠==，所以BCD △的面积11sin 1122S BC CD BCD =⋅∠=⨯⨯=19．如图1所示，在四边形ABCD 中，BC CD ⊥，E 为BC 上一点，22AE BE AD CD ====，CE =AECD 沿AE折起，使得BC=，得到如图2所示的四棱锥．(1)若平面BCD 平面ABE l =，证明：//CD l ；(2)点F 是棱BE 上一动点，且直线BD 与平面ADF所成角的正弦值为11，求EF EB ．【正确答案】(1)证明见解析；(2)12EF EB =.【分析】（1）先证明//CD AE ，根据线线平行判定定理//CD 平面ABE ，再由线面平行性质定理证明线线平行；（2）建立空间直角坐标系，设点F 的坐标，求出平面ADF 的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可求解.【详解】（1）在图1中，因为BC CD ⊥，CE 1CD =，所以2DE =，sin 2CDE ∠=，又π0,2CDE ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3∠=CDE ，因为2DE =，2AE AD ==，所以π3DEA ∠=，故//CD AE ，在图2中，因为//CD AE ，AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ，因为CD ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABE l =，所以//CD l ；（2）由（1）知，AE CE ⊥，AE BE ⊥，BE CE E ⋂=，CE ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ,所以⊥AE 平面BCE ，又AE ⊂平面AEB ，所以平面AEB ⊥平面BCE ，故以E 为坐标原点，,EA EB 分别为,x y 轴，在平面BCE 内过点E 作BE 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0B ，因为//CD AE ，平面AEB ⊥平面BCE ，且3CE CB ==所以点C 在平面AEB 的射影为BE 中点，故(2C ，(2D ，设()()0,,002F t t ≤≤，则(2AD =- ，()2,,0AF t =-，(1,2BD =- ，设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =r，则00n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020x y x ty ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令2y =，则x t =，)222t z -=，所以)22,2t n t ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭为平面ADF 的一个法向量．因为直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值为2211，所以()222222cos ,2242t t BD n t t -+-=-⨯++，整理得2540t t -+=，解得1t =或4t =（舍），所以F 为EB 中点，所以12EF EB =.20．设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点(),4P a 在抛物线C 上，POF （其中O为坐标原点）的面积为4．(1)求POF 外接圆的方程；(2)若过点()1,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，延长AF ，BF 分别与抛物线C 交于M ，N 两点，证明：直线MN 过定点，并求出此定点坐标．【正确答案】(1)22420x y x y +--=(2)证明见解析，定点坐标为(4,0).【分析】（1）根据面积列出关于p 的方程，解出p 值，代入P 点即可得到a 值；（2）设l 的方程为1x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，通过联立直线l 方程与抛物线方程得到韦达定理式，写出AF 的方程，将其与抛物线方程联立，得到M 点坐标，同理得到N 点坐标，写出直线MN 方程，将其化简得到定点坐标.【详解】（1）142422POFpSOF =⨯⨯=⨯=，4p ∴=，28y x ∴=，168a ∴=，2a ∴=，设POF 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，2240D E F +->，(2,4),(2,0)P F ，∴222000002020024240F D F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，即240D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，POF ∴外接圆方程为22240x y x y +--=.（2）设l 的方程为1x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩得2880y my --=，264320m ∆=+>，128y y m ∴+=，128y y =-，直线AF 的方程1122x x y y -=+，联立211822y xx x y y ⎧=⎪-⎨=+⎪⎩得21128·160x y y y ---=，1316y y ∴=-，3116y y ∴=-，2338y x ∴=，22332111163288y x y y ⎛⎫-∴==⋅= ⎪⎝⎭，2113216,M y y ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，同理2223216,N y y ⎛⎫- ⎝⎭，当0m ≠时，直线MN 的斜率存在，()()()21121212222112121222212121616843232222MNy y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y --+-∴===-==-+++-，∴直线MN 的方程为2112116432y x y y y y ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，即()()1212211161284y y y y y x y y +++=-，()21221116128164y y y y x y y ∴+++=-，即()1212221116128164y y y y y x y y +++=-，()122211128128164y y y x y y ∴++-=-，即()124(4)y y y x +=-，直线MN 过点()4,0，当0m =时，由对称性不妨令((1,,1,A B -，则((4,,4,M N -，直线:4MN x =过点()4,0，∴直线MN 过定点(4,0).关键点睛：本题采取设线法，设设l 的方程为1x my =+，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，写出直线AF 方程，再次联立抛物线求解出M 点坐标，同理得到N 点坐标，最后得到直线MN 的方程，通过化简并结合韦达定理式得到直线MN 的方程为()124(4)y y y x +=-，从而得到定点坐标.21．一水果连锁店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：kg ），得到如下频率分布直方图．(1)求过去30天内苹果的日平均销售量x 和方差2s （同一组数据用该组区间中点值代表）；(2)若该店苹果的日销售量X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，试估计360天中日销售量超过79.9kg 的天数（结果保留整数）；(3)该水果店在店庆期间举行“赢积分，送奖品”活动，规定：每位会员可以投掷n 次骰子，若第一次掷骰子点数大于2，可以获得100个积分，否则获得50个积分，从第二次起若掷骰子点数大于2，则获得上一次积分的两倍，否则获得50个积分，直到投掷骰子结束．记会员甲第n 次获得的积分为n Y ，求数学期望()n E Y ．参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈10.9≈．【正确答案】(1)69x =，2119s =(2)57(3)()4100503nn E Y ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数和方差的计算方法即可计算；（2）根据正态分布图的对称性即可求解；（3）求出1Y 的分布列和()1E Y ，根据1,n n Y Y +关系得()()1,n n E Y E Y +的关系，构造等比数列即可求出()n E Y .【详解】（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，则10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．()()()()()2222220.150690.2560690.470690.1580690.19069s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-119=，（2）由（1）得69x μ==，22210.9σ≈=，因为日销售量X 近似服从正态分布()269,10.9N ，所以()()16910.96910.979.92P X P X --≤≤+>=()110.68270.1586522P X μσμσ--≤≤+-==，所以估计360天中日销售量超过79.9kg 的天数为3600.1586557⨯≈．（3）依题意1Y 的可能取值为100，50，其分布列为：1Y 10050P 2313所以()12125010050333E Y =⨯+⨯=，由题意得1214502503333n n n Y Y Y +=⨯+⨯=+，所以()()145033n n E Y E Y +=+，得()()()1450503n n E Y E Y ++=+，又()1400503E Y +=，所以数列(){}50n E Y +是首项为4003，公比为43的等比数列．所以()140045033n n E Y -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，故()4100503n n E Y ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭．22．已知函数1()()e xax f x a +=∈R ．(1)讨论()f x 的极值；(2)当1a =时，关于x 的不等式11ln(1)()mx x f x ≥+-+在[)0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)答案见解析(2)(],1-∞【分析】（1）求出()f x 的导函数，再对a 分类讨论，求出()f x 的单调性，进而可得极值；（2）可转化为e 1ln(1)01xmx x x --++≥+在[)0,∞+上恒成立，令()e 1ln(1)1x g x mx x x =--+++，则()min 0g x ≥在[)0,∞+上恒成立，对()g x 求导，对m 分类讨论，求出使()min 0g x ≥恒成立的m 的范围即可．【详解】（1）()()()()2e 1e 1e e x x x x a x a ax x x a f +-'=--=∈R ，若0a =，则()10ex f x -'=<，则()f x 在x ∈R 上单调递减，无极值；若a<0，当11x a<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当11x a >-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()1111e aa f x f a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭极小值，无极大值；若0a >，当11x a<-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当11x a >-时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()1111e aa f x f a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭极大值，无极小值；综上所述，若0a =，()f x 无极值；若a<0，()1111e aa f x f a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭极小值，无极大值；若0a >，()1111e aa f x f a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭极大值，无极小值；（2）1a =时，1()e x x f x +=，所以有e 1ln(1)1xmx x x ≥+-++在[)0,∞+上恒成立，即e 1ln(1)01xmx x x --++≥+在[)0,∞+上恒成立，令()e 1ln(1)1xg x mx x x =--+++，转化为()min 0g x ≥在[)0,∞+上恒成立，()()2e 111xx g x m x x '=+-++，当0m ≤时()0g x '>，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，()()min 00g x g ==，满足题意；当0m >时，令()()()2e 111xx g x m x x x ϕ'==+++，[)0,x ∈+∞，则()()()()231e 11+xx x x x ϕ+'=+-，设()()()2+1e 1x h x x x -=+，[)0,x ∈+∞，则()()2+1e 1x h x x '=-，因为[)0,x ∈+∞，所以()21+1e x x ≥，所以()0h x '≥，所以()h x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()0x ϕ'≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，所以()x ϕ即()g x '在[)0,x ∈+∞上单调递增，又因为()01g m '=-，当10m -≥即01m <≤时，()0g x '≥，在[)0,x ∈+∞上恒成立，所以()g x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以()min 0g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，当1m >时，()010g m '=-<，如果()0g x '≤在[)0,x ∈+∞上恒成立，则()g x 在[)0,x ∈+∞上单调递减，则()g x 无最小值，不符合题意；如果()0g x '=有解时，设()00g x '=，则()g x 在[)00,x x ∈上单调递减，在()0,x x ∈+∞上单调递增，则在[)00,x x ∈时，()()00g x g ≤=，不符合题意；综上所述，1m £，即实数m 的取值范围是(],1-∞．方法点睛：本题主要考查利用函数的导数解不等式恒成立的问题，解决此类问题的一般方法是：（1）分离参数将原不等式恒成立问题转化为函数的最值问题；（2）构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值；（3）得出参数的取值范围．。

2023-2024学年重庆市万州高三5月模拟试题数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年重庆市万州高三5月模拟试题数学模拟试题一、单选题1．已知集合21|393x A x -⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{3|B x x =≤，则A B = （）A ．(-∞B ．(],4∞-C ．(D ．4⎤⎦【正确答案】C【详解】解：因为集合{}21|39|143x A x x x -⎧⎫=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭，{{3||B x x x x =≤=，所以A B = (，故选：C2．已知复数z 的实部为1，且2ii 1i-=-+z z ，则z =（）A ．12i +B ．11i2+C ．1i±D ．11i2±【正确答案】D【分析】根据题意，设1i z b =+，由复数的运算化简，然后结合条件，列出方程，即可得到结果.【详解】由题意可得，设1i R z b b ∈=+，，则1i z b =-，所以2i z z b -=，且()()()()()i 1i 2i 1i 1i 2i1i i 11i 1i 1i 1i 1i +-------====-++++-，且2i i 1i -=-+z z ，则()()2221b =-，即12b =±，即11i 2z =±.故选：D3．下列四个条件中，是“x y <”的一个充分不必要条件的是（）A ．22x y <B ．xz yz<C ．20242024<xz yz D ．55+<+x x y y 【正确答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义与不等式的关系转化为不等式关系的判断进行求解即可．【详解】若22x y <，可能有0y x <<，无法推出x y <，充分性不成立，故A 错误；若xz yz <，当0z <时，有 x y >，此时x y <不成立，充分性不满足，故B 错误；由20242024<xz yz 得0z ≠且20240z >，此时x y <，成立，反之若x y <，当0z =时，20242024<xz yz 不成立，故C 正确；设()5f x x x =+，则()f x 为增函数，则由55+<+x x y y 得()()f x f y <，此时x y <，反之也成立，即55+<+x x y y 是x y <成立的充要条件，故D 错误.故选：C ．4．若数列{}n a 满足11a =，1121n na a +=+，则9a =（）A ．10121-B ．9121-C ．1021-D ．921-【正确答案】B【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B5．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，作倾斜角为π6的直线l 交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点M，若3=OM （O 为坐标原点），则线段AB 的长度为（）A ．8B ．16C ．24D ．32【正确答案】D【分析】将直线AB 的方程与准线方程联立，求得点M 的坐标，可求出4p =，然后将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式即可求解【详解】抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，直线AB的方程为πtan 622p p y x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立22p x p y x ⎧=-⎪⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩可得23p x y p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点,2p M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3OM ==，因为0p >，所以4p =，所以直线AB的方程为)2y x -，抛物线2:8C y x =，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立)228y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得22840x x -+=，由韦达定理可得1228x x +=，则1232AB x x p =++=故选：D 6．若111sin2tan tan ββα=-，则()sin 2αβ-=（）A ．12-B ．0C ．12D ．1【正确答案】B【分析】根据同角三角函数关系、二倍角公式先化简已知式子，再利用两角和差的正弦公式进行运算即可得答案.【详解】因为111sin2tan tan ββα=-，所以()sin 1cos cos cos sin cos sin 2sin cos sin sin sin sin sin sin αββαβααββββαβαβα--=-==，即()sin 12cos sin αββα-=，则()2sin cos sin αββα-=所以()()()()2sin cos sin sin cos cos sin αββαββαββαββ⎡⎤-=-+=-+-⎣⎦则()()sin cos cos sin 0αββαββ---=，即()()sin sin 20αββαβ⎡⎤--=-=⎣⎦.故选：B.7．已知点()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上的两点，点,04⎛⎫ ⎪⎝⎭a P 满足PM PN =，则C 的离心率e 的取值范围为（）A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】由PM PN =可得()221212122a x x x x y y ⎛⎫+--=-+ ⎝⎭，因为M ，N 为椭圆上的两点，再有点差法可得()2221222122b x x yy a -=-+，两式相减化简可得31222a x x c+=，再由122x x a +<，求解即可.【详解】因为PM PN =所以()2222121244a a x x y y ⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()2212121244a a x x x x y y ⎛⎫-+--=-- ⎝⎭，()221212122a x x x x y y ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭，又因为点()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的两点，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得：2222121222x x y y a b --=-，即()2221222122b x x y y a -=-+，所以()()()()22221212121212222b x x a b x x x x x x x x a a -⎛⎫+--==-+ ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，所以()2121222a bx x x x a+-=+，所以()()322122a a b x x -+=，即()32122a c x x +=，即31222a x x c+=，因为()0,1e ∈，所以12222a ax x e +=>，又因为M ，N 为椭圆上的两点，所以122x x a +<，所以2222a a a e <<，解得：2114e <<，即112e <<.故选：C.8．在三棱锥-P ABC 中，AC ⊥平面PAB ，6AB AC ==，BP =，45ABP ∠=︒，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A ．76πB ．128πC ．144πD ．148π【正确答案】A【分析】先利用余弦定理求出AP ，再利用正弦定理求出PAB 外接圆的半径r ，设三棱锥-P ABC外接球的半径为R ，再根据2222AC R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合球的表面积公式即可得解.【详解】在PAB 中，456,A B B BP A P ==∠=︒，则2222cos 36826202AP AB BP AB BP ABP =+-⋅∠=+-⨯⨯=，所以AP =设PAB 外接圆的半径为r ，则2sin APr ABP==∠r =设PAB 外接圆的圆心为1O ，三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，半径为R ，由AC ⊥平面PAB ，得222109192AC R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为24π76πR =.故选：A.二、多选题9．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α∥，n β∥，αβ⊥，则m n ⊥B ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ∥C ．若m α∥，n β⊥，m n ⊥，则αβ∥D ．若m α∥，n β⊥，m n ∥，则αβ⊥【正确答案】ABC【分析】通过分析不同情况下直线和平面的位置关系即可得出结论.【详解】由题意，A 项,设,,m n m n 所在平面1,l γγβ= ,2l γα= ,只需12l l m n 即满足题设,故A 错误；B 项，设m β⊥且,m n αα⊂⊥且n β⊂,此时m n ⊥，B 错误；C 项，当m α∥，n β⊥，m n ⊥时，α可能垂直于β，C 错误；D 项，当m α∥，n β⊥，m n ∥，则αβ⊥，故D 正确.故选：ABC.10．2022世界兵乒球团体锦标赛在成都举办，中国女队､男队分别于10月8日和10月9日夺得团体赛冠军，国球运动又一次掀起热潮.为了解性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛的关联性，某体育台随机抽取了200名观众进行统计.得到如图所示的列联表.性别观看兵乒球比赛喜欢不喜欢男6040女2080则下列说法正确的是（）参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.附表：α0.100.050.010.0050.001ox 2.7063.8416.6357.87910.828A ．喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为14B ．男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为23C ．依据小概率值0.001α=的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛无关D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关【正确答案】AD【分析】根据题意，由列联表中数据，即可判断AB ，由独立性检验的计算，即可判断CD.【详解】由表中数据可知，喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为20120604P ==+，所以A正确；男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为6031005P '==，所以B 错误；由题意进行数据分析，得到22⨯列联表如下：喜欢不喜欢合计男6040100女2080100合计80120200计算()222006080204010033.33310.828100100801203χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以依据小概率值0.001α=的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，所以C 错误；所以在犯错误率不超过0.001的前提下认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，所以D 正确；故选：AD11．已知函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的导函数()f x '的部分图象如图所示，其中点,A B分别为()f x '的图象上的一个最低点和一个最高点，则（）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭'B ．()f x 图象的对称轴为直线()ππ122k x k =-+∈Z C ．()f x '图象的一个对称中心为点π,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．将()f x 的图象向右平移3π4个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到()f x '的图象【正确答案】BD【分析】先求出导函数()f x '，结合图象求出ω和ϕ，然后分别利用函数的对称性，以及图象变换进行判断即可.【详解】()sin()f x x ωωϕ'=-+，因为0ω>，所以2πT ω=，因为,A B 分别为()f x '的图象上的一个最低点和一个最高点，所以2ππ236T =-，所以ππ2ω=，即2ω=，则()2sin(2)f x x ϕ'=-+，依题意得2ππ2π32k ωϕ⋅+=-，Z k ∈，即2ππ22π32k ϕ⋅+=-，Z k ∈，即11π2π6k ϕ=-，Z k ∈，因为π||2ϕ<，所以1k =，π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，故A 不正确；所以()cos(2π)6=+f x x ，由π2π6x k +=，Z k ∈，得ππ212k x =-，Z k ∈，所以()f x 图象的对称轴为直线ππ212k x =-，Z k ∈，故B 正确；因为πππ()2sin(2)10226f '=-⨯+=≠，所以点π,02⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x '图象的一个对称中心，故C 不正确；将()cos(2π)6=+f x x 的图象向右平移3π4个单位长度得到3ππ3ππ3ππcos 2cos(2cos (2)462626y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin(2)6x =-+的图象，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到π()2sin(2)6y f x x '==-+的图象，故D 正确.故选：BD12．若函数()()ln 1=-f x ax ，()e xg x b =-，满足对()0,x ∀∈+∞均有()()0f x g x ≥，则ab 的取值不可能为（）A ．eB ．254C ．2eD ．9【正确答案】CD【分析】将问题转化为两个函数的零点重合，得出e ln bab b=转化单变量的函数最值问题，求导计算即可.【详解】条件对()0,x ∀∈+∞均有()()0f x g x ≥恒成立，等价于()()ln 1e 0xax b ⎡⎤--≥⎣⎦，易知0a >，()y f x =与()y g x =均在定义域内单调递增，且由()e 0f x x a =⇒=，故e 0,a ⎛⎫⎪⎝⎭时()0f x <，若要满足题意，只需两函数的零点相同即可，则1b >令()0ln g x x b =⇒=，即eln x b a==，则e ln b ab b =，令()()()()2e ln 1e ln ln x x h x h x x x -'=⇒=，则()0e h x x '>⇒>，()01e h x x '<⇒<<，即()h x 在()1,e 上单调递减，()e,+∞上单调递增，()()2e e h x h ≥=，显然A 、B 不符合，C 、D 符合.故选：CD 三、填空题13．已知向量()16,2=- a ，()1,3b = ，若()a b b λ-⊥ ，则向量a b λ+在b 上的投影向量的模长为___________.【正确答案】【分析】由垂直向量的坐标表示求出1λ=，再计算向量a b λ+在b 上的投影向量的模长，即可得出答案.【详解】因为向量()16,2=- a ，()1,3b = ，16610a b ⋅=-=，b == 若()a b b λ-⊥，则()0a b b λ-⋅=，即20a b b λ⋅-=，即10100λ-=，解得:1λ=,向量a b +在b 上的投影向量的模长为:()a b b b+⋅==故答案为.四、双空题14．2022年12月8日，国务院联防联控机制召开新闻发布会，介绍进一步优化落实疫情防控有关情况，传达我们要做好自己健康的第一责任人的精神，小华准备了一些药物，现有三种退烧药､五种止咳药可供选择，小华从中随机选取两种，事件A 表示选取的两种药中至少有一种是退烧药，事件B 表示选取的两种药中恰有一种是止咳药，则()P A =___________，()|P B A =___________.【正确答案】91456【分析】由排列组合公式先求出事件A 包含的基本事件的总数，由古典概率求出()P A ，再分析求出()P AB ，由条件概率的公式计算可得答案.【详解】根据题意，从三种退烧药、五种止咳药中任选2种，有28C 28=种选法，其中没有退烧药，即全部为止咳药的选法有25C 10=种选法，则选取的两种药中至少有一种是退烧药的选法有281018-=种，则()1892814P A ==，事件B 表示选取的两种药中恰有一种是止咳药，即选出的两种药品一种为止咳药，一种为退烧药，其包含的基本事件有1135C C 15=种，则()()1528P B P AB ==，故()()()15528|9614P AB P B A P A ===，故914；56.五、填空题15．已知点(1,)A m，)B m ，若圆22:20++=C x y x 上有且只有一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的一个取值为___________.（写出满足条件的一个即可）2(答案不唯一)【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及AB 的值，可得以AB 为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 相切，结合圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题知，圆22:20++=C x y x ，即()2211x y ++=，圆心为()1,0-，半径1r =，设AB 中点为M ，因(1,)A m，)B m ，则(M，AB m =，以AB 为直径的圆为()()2221x y m-+-=，因为圆22:20++=C x y x 上有且只有一点P ，使得PA PB ⊥，则圆C 与圆M 相切，又3MC ==，13m +=13m -=，解得2m =或4m =.216．已知函数()()()ln ,03,6,36,6,612,x x f x f x x f x x ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-<<⎩若函数()()g x f x m =-有八个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，则()()()222127866++-+-x x x x 的取值范围为___________.【正确答案】[52,54)【分析】由()()0g x f x m =-=得()f x m =，转化为函数()y f x =与y m =的图象有八个交点，画出()y f x =与y m =的图象，结合图象进行分析求解.【详解】由函数()y f x =的解析式可知：(3,6)x ∈时，(6)()f x f x -=，所以()f x 的图象与()f x 在(0,3)x ∈上的图象关于直线3x =对称；(6,12)x ∈时，(6)()f x f x -=，所以只需把()f x 在(0,6)x ∈上的图象向右平移6个单位即可得()f x 在(6,12)x ∈上的图象.由()()0g x f x m =-=得()f x m =，函数()y f x =与y m =的图象如图所示：由12()()f x f x =，即有12ln ln x x =，由图可知101x <<，21x >，故12ln ln x x -=，即12ln()0x x =，则121=x x ，()2212122111112x x x x x x ⎛⎫++ ==+⎪⎭+⎝；由()y f x =的图象性质，有376x x +=，486x x +=，14236x x +=⨯=，23236x x +=⨯=，则73321166666x x x x x -=+-==-=-，84166x x x -==-，所以()()()222127222112118166612()(6)x x x x x x x x =+++-+-++-+-21112(3)52x x =+-+，因为2(1,3)x ∈，121=x x ，所以11(,1)3x ∈，而对勾函数1y x x =+在1(,1)3上单调递减，所以11110(2,)3x x +∈，11113(1,)3x x +-∈-，2111(3)[0,1)x x +-∈，21112(3)52[52,54)x x +-+∈，故答案为.[52,54)方法点睛：分段函数的有关零点的问题通常用数形结合的方法，画函数图象时常考虑用函数的图象变换结合函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）和函数图象的对称性.六、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S，且cos cos cos a b c A B C ++=.(1)求角A 的大小；(2)若4a =，求证.S ≤【正确答案】(1)π3A =(2)证明见解析【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正切公式即可得解；（2）利用余弦定理和基本不等式求出bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）因为sin cos cos cos cos cos a b c BA B C B C++=，由正弦定理得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=即tan tan tan tan A B C B C ++=，因为()tan tan tan tan 1tan tan B CB C A B C++==--，所以()tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan B C A B C A A B C +=--=-+，故tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C B C ++==，又tan tan 0B C ≠，所以tan A =因为()0,πA ∈，所以π3A =；（2）由2222cos a b c bc A =+-，得22162b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以16bc ≤，当且仅当4b c ==时取等号，所以11sin 1622S bc A =≤⨯=18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213=-nS n n.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 的前n 项和为n T ，设=nn T R n，求n R 的最小值.【正确答案】(1)7n a n =-(2)83【分析】（1）根据n a 与n S 的关系可直接求解；（2）先求出n T ，然后得到n R ，然后根据n R 的单调性可求解.【详解】（1）因为213=-nS n n，所以2(13)n S n n =-，所以当1n =时，1212a =-，所以16a =-；当2n ≥时，12(1)(14)n S n n -=--，所以1222214n n n a S S n -=-=-，所以7n a n =-，又16a =-满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为7n a n =-.（2）由（1）知7,1777,7n n n a n n n -≤≤⎧=-=⎨->⎩，当17n ≤≤时，21212132n n n n n T a a a a a a -=+++=----= ；当7n >时，121278n n nT a a a a a a a a =+++=----+++L L L 21212713()2()422n n na a a a a a -=+++-+++=+ ；所以13,1724213,722n n nn T R n n n n-⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪+->⎪⎩，当17n ≤≤时，132n n R -=递减，所以min 7137()32n R R -===；当7n >时，421322n R n n +-=，设4213(7)()22x x x f x +-=>，则212()42xf x '=-，令214202()f x x '->=得x >()f x 单调递增，令214202()f x x '-<=得7x <<()f x 单调递减，所以n R 在79n <≤时递减，在10n ≥时递增，而99421382923R +-==，1010421327210210R +-==，且827310<，所以min 8()3n R =；综上，n R 的最小值为83.19．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京顺利召开，会议过后，某市宣传部组织市民积极参加“学习十四大”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了100人，统计了他们的竞赛成绩()50100m m ≤≤，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求这100位市民竞赛成绩的第75百分位数；(2)该市某企业赞助了本次知识竞赛，并对每位参赛市民给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：按竞赛成绩m 进行分类奖励：当5070m ≤<时，每人奖励60元；当7090m ≤<时，每人奖励120元；当90m ≥时，每人奖励180元.方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有一次抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的有两次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如表.奖金60120概率2313若该市某社区的所有参赛市民决定选择同一种奖励方案，试利用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，该社区参赛市民选择哪种奖励方案更有利？【正确答案】(1)79.75(2)方案二更有利【分析】（1）由频率分布直方图计算x ，再根据定义计算第75百分位数即可；（2）根据离散型随机变量的概率公式列出分布列计算期望比较即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()0.0040.040.0160.008101,0.032x x ++++⨯=∴=，()()0.0040.032100.36,0.0040.0320.04100.76+⨯=++⨯=，故第75百分位数位于[]70,80之间，0.760.75801079.750.4--⨯=，故这100位市民的竞赛成绩的第75百分位数是79.75；（2）方案一、设奖励为X ，则X 的可能取值为60，120，180，结合频率分布直方图可知，()()()()600.0040.032100.36,1200.040.016100.56P X P X ==+⨯===+⨯=，()1800.008100.08P X ==⨯=故X 的分布列为：X 60120180P0.360.560.08则()600.361200.561800.08103.2E X =⨯+⨯+⨯=，方案二、设奖励为Y ，则Y 的可能取值为60，120，180，240，则()()121111227601202332323318P Y P Y ==⨯===⨯+⨯⨯=，()()12111221111180240233233923318P Y P Y ==⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯=，，故Y 的分布列为：Y60120180240P1371829118则()172160120180240120318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=,显然103.2＜120，故方案二更有利.20．如图，在三棱锥A BCD -中，A ABC CB =∠∠，点,E F 分别是棱,BC DC 的中点，CD ⊥平面AEF .(1)证明：平面ABC ⊥平面BCD ；(2)过点B 作CD 的平行线交FE 的延长线于点M ，260∠=∠= ABC BCD ，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 在何处时，平面A E G 与平面ABM 夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）根据面面垂直的判定，只需要证明⊥AE 平面BCD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量表示出平面夹角的余弦值，根据正余弦值的平方关系，求出余弦值的最大值即可得出正弦值的最小值.【详解】（1）由A ABC CB =∠∠可知AB AC =，又BE CE =，故AE BC ⊥（三线合一），又CD ⊥平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，故CD AE ⊥，又BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，故⊥AE 平面BCD ，又AE ⊂平面ABC ，故平面ABC ⊥平面BCD（2）在平面BCD 中，过E 作EH BD ⊥，垂足为H ，不妨设4BC =，由于260∠=∠= ABC BCD ，则1DF FC EA EF ====，以,,EH EF EA 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则(0,0,0),(0,0,((0,1,0),1,0)E A C D M B --，设,0)(11)G m m -≤≤，则(0,0,EA =，,0)EG m =，MB =，(0,1,MA = .设平面A E G 的法向量(,,)n x y z = ，由0n EA n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00my ⎧=⎪+=，则(),n m =是其中一条法向量；设平面ABM 的法向量(,,)l a b c = ，由00l MB l MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b =+=⎪⎩，则()0,l =-是其中一条法向量.设平面A E G 与平面ABM 夹角为θ，则cos cos ,m n θ==当0m =时，cos θ21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =，C 的一条渐近线与直线:3=l y x 垂直.(1)求C 的标准方程；(2)点M 为C 上一动点，直线1MF ，2MF 分别交C 于不同的两点A ，B （均异于点M ），且11λ= MF F A ，22μ=MF F B ，问：λμ+是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【正确答案】(1)2213y x -=(2)103λμ+=-【分析】（1）由题意可求,a b 的值，进而求出双曲线C 的标准方程；（2）讨论直线MB 的斜率存在与否的两种情况，分别联立方程组化简λ和μ，即可得出结论.【详解】（1）由题意可设双曲线C 的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，C的一条渐近线与直线:3=-l y x 垂直,b a ∴=由已知得2c =，则224ba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得1a =,b =故双曲线C 的标准方程为2213y x -=.（2）由双曲线的对称性不妨设M 在第一象限，设()00,M x y ，()()()12112,0,2,0,,F F A x y -，()22,B x y ，若直线MB 的斜率存在，则2002MB MF y k k x ==-，则直线MB 的方程为()0022y y x x =--.联立()00222213y y x x y x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去x 整理得()()22220000003121212290x x y y y x y y -+-+-+=，将220013y x -=代入上式整理得()()220000151212290x y y x y y -+-+=.05120x -≠，0∆>，则2200002200093315125454y y y y y y x x x ==⇒=---，故20000220453345MF y y x y F B y x μ--====-，同理可得0453x λ--=，故103λμ+=-.若直线MB 的斜率不存在，则()2,3M ，此时MB x ⊥轴，1μ=，直线MA 的方程为()3234604y x x y =+⇒-+=.联立22346013x y y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 整理得21348270y y -+=，解得1913y =，故01133y y λ-==-，此时103λμ+=-.综上所述，λμ+为定值103-.22．已知函数()()ln =+f x x x m .(1)若()f x 在区间()1,e 上有极小值，求实数m 的取值范围；(2)求证.()()3e 1xf x x m x<+-【正确答案】(1)()2,1--(2)证明见解析【分析】（1）()ln 1f x x m '=++，()f x '在()0,∞+上单调递增，由题意()10f '<且()e 0f '>，解不等式实数m 的取值范围；（2）不等式()()3e 1xf x x m x <+-等价于2ln 1e xx x +<，通过构造函数利用导数研究单调性证明不等式.【详解】（1）函数()()ln =+f x x x m ，定义域为()0,∞+，()ln 1f x x m '=++，()f x '在()0,∞+上单调递增，若()f x 在区间()1,e 上有极小值，则有()()110e 110f m f m ⎧=+<⎪⎨=++>''⎪⎩，解得21m -<<-.故实数m 的取值范围为()2,1--.（2）()()3e 1x f x x m x <+-，即()()3ln e 1xx x m x m x +<+-，由()0,x ∈+∞，可化简得2ln 1e xx x+<，要证()()3e 1xf x x m x <+-，即证2ln 1e xx x +<.设()2ln 1122x g x x x +=--，()3312ln 2x x g x x ---'=，由558e 32<<，则有58e 2<，得5ln 28<，即52ln 204->，函数312ln 2y x x =---在()0,∞+上单调递减，12x =时1512ln 22ln 2044y =-+-=->，1x =时120y =--<，则01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，30012ln 20y x x =---=，此时30012ln 2x x --=，则()00,x x ∈时()0g x '>，()0,x x ∈+∞时()0g x '<，()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()()300000222max000121ln 1111122232222x x g x g x x x x x x x --++==----=--，函数211322y x x =--在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()002011130222g x x g x ⎛⎫=--<= ⎪⎝⎭，故()0g x <，即2ln 1122x x x +<+.设()()102e 2xx x x h --=>，()e 2x h x '=-，()0h x '<解得ln 2x <，()0h x '>解得ln 2x >，()h x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，()()min 133ln 222ln 22ln 22ln 2224h x h ⎛⎫==--=-=- ⎪⎝⎭，由3e 16>，得34e 2>，则有3ln 24>，即3ln 204->故()()ln 20h x h ≥>，即有1e 22xx >+.所以2ln 1e x x x+<，即()()3e 1xf x x m x <+-.方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

重庆市万州2019-2020学年高二数学上学期期末模拟测试试题理

重庆市万州高级中学2019-2020学年度高二（上）期末模拟测试数学（理工农医类）试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（ ▲ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≥x ，则该命题的否定．．是（ ▲ ） A ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x >x B ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≥xC ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x<xD ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x<x3．几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是（ ▲ ） A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 24.如果椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2， N 是1MF 的中点，O 是坐标原点,则线段ON 的长为（ ▲ ）A. 2B. 4C. 8D.23 5. 曲线y ＝1＋4－x2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ▲ )A ．(0，512)B ．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34]6.已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F ,P 是平面内一动点，且满足12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ▲ ）A.221169x y += B.2211612x y += C. 22143x y += D. 22134x y += 7. 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA1→＋x AB →＋y AD →，则( ▲ )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝128. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，21,F F 21=，则21F PF ∆的面积为（ ▲ ）A ．33B ．3C ．32D ．339.2)0>>n m 的曲线在同一坐标系中的示意图应（ ▲ ）10.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ▲ ）A. 1B.1+ D. 1+11.四面体ABCD 中，090,CBD AB BCD ∠=⊥面，点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，过点E 、F 和四面体ABCD 的外接球球心O 的平面将四面体ABCD 分成两部分，则较小部分的体积与四面体ABCD 的体积之比为（ ▲ ） A ．18 B ．316C ． 14D ．2764 12.已知点O 为坐标原点，F 为椭圆:C 2213x y +=的左焦点，点P 、Q 在椭圆上，点P 、Q 、R 满足0,20OF PQ QR PQ ⋅=+=u u u r u u u r u u u r u u u r rOR +的最大值为（ ▲ ）A ．6 BC ． 3+．3+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年重庆万州实验中学高三数学理联考试题含解析

2019-2020学年重庆万州实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数的大致图象如下图，其中，为常数，则函数的大致图象是（）参考答案：B2. 若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，则a1+a2+…+a8的值为（）A．510 B.-1 C.1 D.254参考答案：A略3. 函数的图象大致为（）．A．B．C．D．参考答案：D∵当时，，排除，又∵令，，故该函数是奇函数，排除．取特殊值验证，当时，，排除．故选．4. 已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( )．A．－4 B．－6 C．－8 D．－10参考答案：B5. 设函数，若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是（）A．B．C．D．参考答案：D6. 在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C7. 已知某算法的流程图如图所示，输入的数和为自然数，若已知输出的有序数对为，则开始输入的有序数对可能为 ( )A. B. C. D.参考答案：B8. 将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数的一个对称中心可以是（）A. (0,0)B.C.D.参考答案：D【分析】先由题意得到变换后的函数解析式，再结合余弦函数的对称中心即可求出结果.【详解】将函数图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，所得函数解析式为，所以其对称中心为（）.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及三角函数的性质，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.9. 若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f （x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是( )A．f（x）=e x﹣1 B．f（x）=ln（x+1）C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx参考答案：C考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．解答：解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C．点评：本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进行排除．10. 复数对应的点所在象限为A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则的值为.参考答案：12. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .参考答案：13.设, 则函数的值域是 __________ .参考答案：答案：14. 随机变量X的分布列如下：则Y=2X+3,则EY= ．参考答案：（1）（2）15. 已知角的终边经过点P(-5,12),则sin+2cos的值为。

重庆市万州高级中学-高三数学理科第一次月考试卷

重庆市万州高级中学2007—2008学年高三第一次月考理科数学试卷2007-10-8一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{1,2,3,4},{|2,}P Q x x x R ==≤∈，则PQ 等于（）A 、{1，2}B 、{3，4}C 、{1}D 、{-2，-1，0，1，2}2.函数y =（）A 、[)∞+，1B 、⎪⎭⎫⎝⎛∞+，32C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡132，D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛132，3.函数()5f x =+M ，最小值是m ，则M+m= （）A 、5B 、8C 、13D 、404.函数()f x x =|和()(2)g x x x =-的递增区间依次是（）A 、(](]10，，，∞-∞- B 、(]),1(0+∞∞-，， C 、[)(]10，，，∞-∞+ D 、[)),1(0+∞∞+，， 5.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(]0，∞-上减函数，且(3)0f =,则使()0f x <的x 的取值范围是（）A 、（－∞，3）B 、（3，+∞）C 、（－∞，-3）∪（3，+∞）D 、（－3，3）6.“0a b >>”是“222a b ab +<”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 7.函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为（）A 、1(1)x y ex +=> B 、1(1)x y e x -=>C 、1()x y e x R +=∈ D 、1()x y e x R -=∈8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(2008)f 的值是（）A 、－1B 、1C 、2D 、0 9.函数1()log (01)x f x ax a a -=+>≠且，在[1，2]上的最大值与最小值之和是a ，则a 的值是（）A 、21 B 、41C 、2D 、4 10.如图，半径为2的⊙O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中PK 交⊙O 于点Q ，若∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致是：（）二、填空题（本大题共6小题；每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上） 11.若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为；12.4y x =+的值域为； 13. 已知函数()f x 的反函数11()()2x fx -=，则2(4)f x -的单调递减区间是。

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万州高级中学2008届理科实验班高考数学仿真试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题共50分）和第Ⅱ卷（非选择题共100分），考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,答案涂在答题卡上）1.如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有()A.8种B.12种C.16种D.20种 1. 函数2.()()()()0cos sin >+⋅+=ωϕωϕωx x x f 以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则φ的一个值是（）A 、π43-B 、π45-C 、π47D 、2π3. .给出下列四个命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱。

其中正确的命题的个数为（）个A 、 0B 、 1C 、 2D 、 3 4．满足不等式()()*1221223log log N n n x x n ∈-≥-⋅+-的正整数x 的个数记为n a ，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则n S = （）A ．12-+n nB ．12-nC ．12+nD ．12--n n5.如图2所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a Sk ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若431241,()1234i i S S S S K iH ======∑则（）A. 4VKB.3VKC. 2VKD.VK6．设U为全集，M、P是U的两个子集，且PMPPMCU⋂=⋂则,)(等于（）A．M B．P C．C U P D．○7.若函数y=f(x+1)的定义域是［－2,3］,则y=f(2x－1)的定义域为（）A.［0,25］ B.［－1,4］ C.［－5,5］ D.［－3,7］8.若三点O、A、B不共线,则“存在唯一一对实数1λ、2λ,使12OP OA OBλλ=+”是“P 点在直线AB上”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9．在等差数列{}n a中，若4681012120a a a a a++++=，则91113a a-的值为（）A．14 B．15 C．16 D．1710．已知椭圆2214x yn+=与双曲线2218x ym-=有相同的准线，则动点(,)P n m的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．直线的一部分二、填空题11．已知正方体1111ABCD A BC D-,E为11A B的中点，则异面直线DE与1B C所成角的余弦是.12. .已知x,y满足条件2y xx yy⎧≤⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z=x+3y+1的取值范围13.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF-，则此正六棱锥的侧面积是________．14．设命题p：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+62821243yxyxyx（Ryx∈,），命题q：222ryx≤+（0,,,>∈rRryx），若命题q是命题p⌝的充分非必要条件，则r的取值范围是.15.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>若它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合.设双曲线与抛物线的一个交点为P,抛物线的焦点为F，则（第13题图）F||PF = .16．非空集合M 关于运算⊕满足：（1）对任意的a ,M b ∈，都有M b a ∈⊕；（2）存在M e ∈，使得对一切M a ∈，都有a a e e a =⊕=⊕，则称M 关于运算⊕为“理想集”．现给出下列集合与运算：①M ＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②M ＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③M ＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法；④M ＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；其中M 关于运算⊕为“理想集”的是．（只需填出相应的序号）三、解答题17．（本小题满分12分）已知向量a ＝（c o s ,s i n θθ）, b ＝（c o s2,s i n2θθ），c ＝（－1，0）, d ＝（0，1）．（1）求证：a ⊥（b +c ） )(πθk ≠其中;（2）设()f θ=a ·（b －d ）,且(0,)θπ∈,求()f θ的值域．18.(本小题满分14分)已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A 、B 两个不同的交点.（1）如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ，试求k 的值；（2）是否存在k ，使得两个不同的交点A 、B 关于直线2y x =对称？试述理由. 19.（本大题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，对角线AC,BD的交点为O ，△ABF 和△DEC 为等边三角形，棱EF ∥BC,EF= 12BC,AB=1,BC=2,M 为EF 的中点，①求证：OM ⊥平面ABCD ；②求二面角E －CD －A 的大小；③求点A 到平面CDE 的距离。

20．（本小题满分14分）已知函数xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(．(1) 若12(1)f mx mx -++的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2) 当[]1,1x ∈-时，求函数3)(2)(2+-=x af x f y 的最小值()g a .(3) 是否存在实数3m n >>，使得()g x 的定义域为[],n m ，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，若存在，求出m 、n 的值；若不存在，则说明理由．21．过曲线3:x y C =上的点),(111y x P 作曲线C 的切线l 1与曲线C 交于点),(222y x P ，过点2P 作曲线C 的切线l 2与曲线C 交于点),(333y x P ，依此类推，可得到点列：),(111y x P ，2223331(,),(,),,(,),,1n n n P x y P x y P x y x =已知. （1）求点P 2、P 3的坐标；（2）求数列}{n x 的通项公式；（3）记点n P 到直线)(211+++n n n P P l 即直线的距离为n d ，求证：9411121>+++n d d d ．万州高级中学2008届理科实验班高考数学仿真试题答案一、选择题：CAAAB DABCD 二、填空题11.;12. ［１，５］14. （0，512] ; 15、4；16.① ④.三、解答题17．解（1）∵)2sin ,12(cos )sin ,(cos )(θθθθ-⋅=+⋅c b acos cos 2sin sin 2cos θθθθθ=+-…………………………… 3分＝cos(2)cos 0,θθθ--=∴()a b c ⊥+ ……………………………………………………………………6分（2）(cos2,sin 21)b d θθ-=-………………………………………………………7分()()cos cos2sin sin2sin f a b d θθθθθθ=⋅-=+-…………………9分cos sin θθ=-)4πθ+∵(0,),θπ∈ ∴5(,),444πππθ+∈∴cos()[4πθ+∈- ∴()f θ的值域为[……………………12分18.(本小题满分14分)解：（1）设1122(,1),(,1)A x kx B x kx ++，则以AB 为直径的圆恰好过原点O 的充要条件是1212(1)(1)0x x kx kx +++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=…①……2分由221,31,y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得 22(3)220k x kx ---=…②1221222,32,3k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-∴⎨⎪=-⎪-⎩…………………………5分将其代入①得22222(1)21033k k k k -+++=--，解得1k =或 1.k =- 当1k =时，方程②为22220x x --=，有两个不等实根；当1k =-时，方程②为210x x +-=，有两个不等实根.故当1k =或1k =-时，以AB 为直径的圆恰好过原点O . ………………8分（2）若1122(,1),(,1)A x kx B x kx ++关于直线2y x =对称，则121212(1)(1)2()k kx kx x x ⎧=-⎪⎨⎪+++=+⎩…………………………10分将④整理得12(2)()20.k x x -++=………………12分因为1222,2k x x k +=-所以22(2)203k k k -+=-，解之，得3.2k =这个结果与③矛盾.故不存在这样的k ，使两点A 、B 关于直线2y x =对称. ……………………14分18.解：（I ）设P （x ，y ），因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设 )x 552,x (A 11，)x 552,x (B 22-． ∵OP OA OB =+，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+=．)x x (552y ,x x x 2121∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+．y 25x x ,x x x 2121………………………4分20=，∴20)x x (54)x x (221221=++-．……………………………………5分 ∴20x 54y 4522=+．即曲线C 的方程为116y 25x 22=+．………………………………………6分（II ）设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)．故s x λ=，)16t (16y -+=λ．……………………………………8分 ∵M 、N 在曲线C 上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ……………………………………9分消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 λλ21517t -=．………………………………………………………12分又 4t ≤， ∴421517≤-λλ．解得3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）．………………………………14分19．解：(1) ∵113()log f x x -=（0>x ）， ………2分∴12213(1)log (1)f mx mx mx mx -++=++，由题知，210mx mx ++>恒成立，∴10当0=m 时，01>满足题意； ……… 3分20当0≠m 时，应有2040m m m m >⎧⇒<<⎨<⎩Δ=-4， ∴实数m 的取值范围为40<≤m 。

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