川大12春高等数学第二次作业答案

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川大高数2 答案

一、单选题（共40 道试题，共100 分。

）1.题目：A. B. C. D.2.题目：A. B. C. D.3.A. 1B. 0C. bD. -b4. 题目：A. B. C. D.5. 题目：A. B. C. D.6.题目：A. B. C. D.7.题目：A. 2B. 1C. 0D. -18.题目：A. B. C. D.9.A. B. 2 C. 0 D. /210.A. B.C. D.11.A. B. C. D.12.A. 3B. -3C. 1D. -113.题目：A. B. C. D.14. 下列命题中，正确的是A.B.C.D.满分：2.5 分15.A. 单调递增B. 单调递减C. 部分递增，部分递减D. 不可计算满分：2.5 分16. 题目：A. B. C. D.17.题目：A. B. C. D.18. 题目：A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 以上均不对19. 题目：A. 25B. 26C. 27D. 2820.A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 无穷间断点21. 题目：A. 仅有一条B. 至少有一条C. 不一定存在D. 不存在22.A. 依赖于s和tB. 依赖于s,t,xC. 依赖于t和xD. 依赖于s,不依赖于t23.题目：A. 2B. 1C. -1D. 024.A. 1B. 2C. 1/2D. 325.A. 1B. 2C. 3D. 426. 题目：A. 在点(1,2)处取最大值5B. 在点(1,2)处取最小值-5C. 在点(0,0)处取最大值0D. 在点(0,0)处取最小值027.A. 2B. -2C. 1/2D. -1/228.A. 处处单调减小B. 处处单调增加C. 具有最大值D. 具有最小值29.题目：A. 1B. 2C. 3D. 430. 题目：A. 垂直B. 斜交C. 平行D. 重合31.题目：A. B. C. D.32.A.B.C.D.满分：2.5 分33.A B.C. D.34. 题目：A. B. C. D.35. 下列式子中正确的是( )A. B.C. D.36. 题目：A. B. C. D.37.题目：A. B. C. D.38. 题目：A. B. C. D.39.A.B.C.D.40.题目：A. 1B. 2C. 3D. 4。

2012-四川大学大学数学微积分期中考试试卷

3分,共15分)1()f x 、若为连续函数，则220()( )xdtf x t dt dx -=⎰A ．21()2f x B. 2()xf x C. 22()xf x D. 22()xf x -2、设在区间[a ,b ]上 ()0f x >，()0f x '<，()0f x ''>，令1()ba S f x dx =⎰2()()S f b b a =-，3()()()2f a f b S b a +=-，下列不等式中正确的是（） A ．123S S S << B. 132S S S << C. 213S S S << D. 321S S S <<3、函数) ,(y x f 在点00(,) x y 处偏导数都存在是函数在该点连续的( )A ．充分条件；B ．必要条件； C.充要条件； D ．以上都不是。

4、下列广义积分中，发散的是（） A. 3120x d x -⎰ B. 1-⎰C .20xedx +∞-⎰D. 22ln dxx x+∞⎰5、设2y z x =，则下列正确的是（）A.220z z x y y x ∂∂->∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂-<∂∂∂∂ C.220z zx y y x ∂∂-=∂∂∂∂ D.以上都不是三、计算题(每题8分,共32分)1、计算 10020(sin sin 2)sin x x xdx π+⎰2、设()0sin xtf x dt tπ=-⎰，求 0()f x dx π⎰3、设zy u x=，求, , .u u u x y z∂∂∂∂∂∂4、设函数),(y x z z =由方程22()z x z y y ϕ+=确定，其中 ϕ具有连续偏导数，求z x∂∂，zy∂∂.四、解答题(每题8分,共24分)1．求曲线32y x x =-与2y x =所围成的平面图形的面积S ，并求该平面图形位于y 轴右侧部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

2012高考四川理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k )＝C kn p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )球的表面积公式 S ＝4πR 2 其中R 表示球的半径球的体积公式 V ＝43πR 3 其中R 表示球的半径第一部分 (选择题共60分)本部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．)(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．212．复数2(1i)2i-=( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i3．函数293()3ln(2)3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩，，，在x ＝3处的极限( )A ．不存在B ．等于6C ．等于3D ．等于0A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012 4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝()A 310B 10C 5D 55．函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )6．下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |8．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．23C ．4D ．259．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元10．如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足∠BOP ＝60°，则A ，P 两点间的球面距离为( )A ．2arccos4R B ．π4R C ．3R D ．π3R11．方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条12．设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0B ．21π16 C ．21π8 D ．213π16第二部分 (非选择题共90分)本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

高等数学练习答案4-2

习题4-2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx : (1) dx = d (ax ); 解dx = a 1d (ax ). (2) dx = d (7x -3); 解dx = 71 d (7x -3). (3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21d (x 2). (4) xd x = d (5x 22); 解x d x = 101 d (5x 2). (5))1( 2x d xdx -=; 解 )1( 21 2x d xdx --=. (6)x 33dx = d (3x 44-2);解x 3dx = 121 d (3x 4-2). (7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x). (8))1( 22xxed dxe --+=; 解 )1( 2 22xx e d dx e --+-=. (9))23(cos 23sin x d xdx =; 解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=. (10)|)|ln 5( x d xdx =; 解 |)|ln 5( 51 x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx -=; 解 |)|ln 53( 51 x d xdx --=. (12))3(arctan 912x d xdx=+; 解 )3(arctan 31 912x dx dx =+. (13))arctan 1( 12x d x dx -=-; 解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-. (14))1( 122x d xxdx-=-. 解)1( )1( 122x d x xdx --=-. 2. 求下列不定积分(其中a , b , w , j 均为常数): (1)òdt e t 5; 解 C e x d e dt e x x t +==òò55551551. (2)ò-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-òò433)23(81)23()23(21)23(. (3)ò-dx x211; 解 C x x d x dx x +--=---=-òò|21|ln 21)21(21121211. (4)ò-332x dx; 解 C x C x x d x xdx+--=+-×-=---=-òò-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)ò-dx e ax bx )(sin ; 解 C be ax a b x d e b ax d ax a dx e ax b xb x b x +--=-=-òòòcos 1)()(sin 1)(sin . (6)òdt tt sin ; 解òò+-==C t t d t dt ttcos 2sin 2sin . (7)ò×xdx x 210sec tan ; 解 ò×xdx x 210sec tan C x x xd +==ò1110tan 111tan tan . (8)òx x x dxln ln ln ; 解 C x x d xx d x x x x x dx +===òòò|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln . (9)ò+×+dx xx x 2211tan ; 解 ò+×+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=òòC x x d x ++-=++-=ò|1cos |ln 1cos 1cos 1222. (10)òx x dx cos sin ; 解 C x x d xdxxxx x dx +===òòò|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)ò-+dx ee xx 1; 解 ò-+dx ee xx 1C e de e dx e e x x x x x +=+=+=òòarctan 11122. (12)ò-dx xe x 2; 解 .21)(212222C ex d e dx xexxx+-=--=---òò(13)ò×dx x x )cos(2; 解 C x x d x dx x x +==×òò)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)ò-dx xx 232; 解 C x C x x d x dx x x +--=+--=---=-òò-2212221223231)32(31)32()32(6132. (15)ò-dx xx 4313; 解 òò+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443. (16)ò++dt t t ))sin((cos 2j w j w ; 解 Ct t d t dt t t ++-=++-=++òò)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322jw w j w j w wj w j w . (17)òdx xx 3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--òò2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)ò-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+òò C x x x x d x x +-=--=ò-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin . (19)ò--dx xx 2491; 解 dx xx dx x dx x x òòò---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=òòC x x +-+=2494132arcsin 21. (20)ò+dx x x 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x++-=+-=+=+òòò)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)ò-dx x 1212; 解òòò+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212òò++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221. (22)ò-+dx x x )2)(1(1; 解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+òò|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)òxdx 3cos ; 解 C x x x d x x d x xdx +-=-==òòò3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos . (24)ò+dt t )(cos 2j w ; 解 Ct t dt t dt t +++=++=+òò)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2jw wj w j w . (25)òxdx x 3cos 2sin ; 解 òxdx x 3cos 2sin Cx x dx x x ++-=-=òcos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)òdx xx 2cos cos ; 解 C x x dx x x dx x x ++=+=òò21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos . (27)òxdx x 7sin 5sin ; 解 Cx x dx x x xdx x++-=--=òò2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)òxdx x sec tan 3; 解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223òòò=×= Cx x x d x +-=-=òsec sec 31sec)1(sec 32. (29)ò-dx x x2arccos 2110; 解 C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-òòò10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2. (30)ò+dx x x x )1(arctan ; 解 C x x d x x d x xdx x x x +==+=+òòò2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan . (31)ò-221)(arcsin xx dx; 解 C xx d x x x dx+-==-òòarcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222. (32)ò+dx x x x2)ln (ln 1; 解 C x x x x d x x dx x x x +-==+òòln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)òdxxx x sin cos tan ln ; 解 òòò=×=x dxx xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==ò2)tan (ln 21tan ln tan ln . (34)ò-dx xa x 222(a >0); 解 òòòò-===-dt tadt t atdt a t a ta t a x dx x a x 22cos 1sincos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)ò-12x x dx ; 解 C x C t dt tdt t t t t x x x dx +=+==××=-òòò1arccos tan sec tan sec 1sec 12令. 或 C x x d x dx x x x x dx +=--=-=-òòò1arccos 111111112222. (36)ò+32)1(x dx; 解 C t tdt t d t tx x dx +==+=+òòòsin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12. -dx x 92--d t dx x 229sec 99x -92ò+xdx 21; x x t tdt t x x+-=+-+=+òò)22)1111221令ò-+211x dx; òò-+-+=-+t t x )2sec 21)cos 11cos cos 11sin 1122令x t+-+-+-+211sin tan ò-+21x x . òòò+-++=×+=-+dt tt t t x x cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=òò|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212. 。

2012四川省高考数学试题及答案(理数).doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B+=+24S Rp=如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径()()()P A B P A P B?球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343V Rp=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n-=-=…第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7(1)x+的展开式中2x的系数是（）A、42B、35C、28D、212、复数2(1)2ii-=（）A、1B、1-C、iD、i-3、函数29,3()3ln(2),3xxf x xx x⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x=处的极限是（）A、不存在B、等于6C、等于3D、等于04、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE=，连接EC、ED则sin CED∠=（）A、10B、10C、10D5、函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）6、下列命题正确的是（）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是（） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2012四川大学数学分析考研真题

四川大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试题一.极限问题（每小题8分，共32分）1.设集合∅≠A ，A sup =α，A ∉α. 证明A 中存在严格单调递增数列}{n x ，满足α=∞→n n x lim . 2.设a x =0，b x =1)0(b a <<，且11-+=n n n x x x ，)1(≥n .证明}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim . 3.求401sin lim 2x x x e x x --→. 4. 求)1ln(cos cos lim 230+-→x x x x .二.计算积分（每小题8分，共32分）1.求dx xx x ⎰-1010052011ln . 2.设)(x f 在]1,0[上可积，且满足dx x f x f x x ⎰=-1022)()()(ln ，求dx x f ⎰10)(的值.3.计算ds z y x L ⎰++)2(2，其中L 为球面1222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线. 4.计算⎰+-L y x ydx xdy 222，其中L 是圆周222)2(r y x =+-（0>r ，0≠r ），取逆时针方向. 5.计算dxdy z dzdx z y dydz y x S )2()()2(+++++⎰⎰其中S 为椭球面1222222=++cz b y a x 的上半部分，其方向为下侧.三.(15分)设正项级数∑∞=1n n a 发散，且∑==n k k n a S 1，讨论∑∞=1n n n S a α的敛散性，其中0>α.四.（15分）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(0)0,0(),(1sin )(),(222y x y x y x y x y x f 的偏导数x f ，y f 在原点的连续性和f 在原点的可微性.五.（15分）设)(x f 在)2,0(上二阶可导，0)1(''>f .证明:存在)2,0(,21∈x x ，使得1212)()()1('x x x f x f f --=.六.（12分）设连续函数R R f →:在所有无理数处取有理数值，且1)0(=f ，求)(x f .七.（每小题7分，共21分）设dt t t xt x f ⎰+∞+=12)1(sin )(,),(∞-∞∈x 证明：1.证明积分dt t t xt ⎰+∞+12)1(sin 关于x 在),(∞-∞一致收敛 2.证明0)(lim =+∞→x f x 3.证明)(x f 在),(∞-∞上一致连续.。

《高等数学Ⅱ》补充题参考解答

−
zy
1 y2 )
=
−
x zy2
(
x y
)
1 z
−1
，f
z
=
(
x
)
1 z
y
ln
x y
⋅(−
1 z2 )
∵ du = fxdx + fydy + fzdz
又fx (1,1,1) = 1，f y (1,1,1) = −1，fz (1,1,1) = 0
∴df (1,1,1) = dx − dy
习题 9-5 4、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
习题 9-2 1、求下列函数的偏导数：;
（4）（补充题）设z = y2 +ϕ(xy)，其中ϕ（x)可导，证明x2 ∂z + y2 = xy ∂z 。
3x
∂x
∂y
解：∵
∂z ∂x
=
−
y2 3x2
+
yϕ ′( xy),
∂z = 2 y + xϕ′(xy) ∂y 3x
x2
∂z ∂x
+
y2
=
x2
⎡ ⎢− ⎣
� ��
�� i j k
��
∵ PQ × n1 = −1 3 4 = (−27,3, −9) ，取n = (9, −1,3)
2 3 −5
故所求平面方程为 9(x − 2) − ( y +1) + 3(z +1) = 0 ，即 9x − y + 3z −16 = 0
习题 8-6
8（补充题）求过点(-3,2,5)且与两个平面 2x − 2y − 5z = 1和x − 4z = 3 的交线平行的直线方程。

创界学校高三数学第二次12月联考试题文试题

智才艺州攀枝花市创界学校、局部重点2021届高三数学第二次〔12月〕联考试题文本套试卷一共4页，一共23题，总分值是150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★本卷须知：2.选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的答题：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交.第一卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，总分值是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.〕q p ,，那么“q p ∧“q p ∨〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】“q p ∧“p 假q 假〞，“p 真q 假〞，“p 假q 真〞，“q p ∨“p 真q 真〞，“p 真q 假〞，“p 假q 真〞2.〔原创，容易〕集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02)4)(1(x x x x A ，{}51≤≤-∈=x N x B ，那么集合B A 的子集个数为〔〕A.5B.4 C 【答案】D 【解析】{}421≤<≤=x x x A 或，{}5，4，3，2，1，0=B，∴{}4，3，1，0=B A ，∴B A 的子集个数为1624=【考点】解不等式，交集的运算，集合子集的个数 3.〔原创，容易〕设i 为虚数单位，假设复数)(1R a i i a Z ∈+-=的实部与虚部的和为43，那么23)1()(-+-=x x x f a 定义域为〔〕 A.），（），（∞+221 B.[)），（，∞+221 C.()∞+，1D.()2,1 【答案】A 【解析】易知41-=a，所以只需满足21≠>x x 且【考点】复数，详细函数的定义域. 4.〔原创，容易〕ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且3π=A ,4=c ，62=a ，那么角C =()A ．43πB.4π C.4π或者43π D.3π或者32π【答案】B【解析】C c A a sin sin =，2262234sin =⋅=∴C ，又c a > ，所以角C =4π【考点】正弦定理解三角形.5.〔原创，容易〕执行以下程序框图，假设输入a ，b 分别为98，63，那么输出的a =〔〕A ．12B.14 C.7D.9【答案】C【解析】“更相减损术〞求最大公约数【考点】程序框图6.〔原创，适中)31)(++-=x x x f ，3-1)(--=x x x g ，设)(x f 的最大值为M ，)(x g 的最大值为N ，那么NM=〔〕A.2B.1 C 【答案】A【解析】)(x f 的定义域是[]13-，，32-2431)(222+-+=++-=x x x x x f ）（，当1-=x 时，8)(max 2=x f ，所以M=22；)(x g 的定义域是[)∞+，3，3123-1)(-+-=--=x x x x x g ，所以2)(max ==N x g .N M=2【考点】函数的最值7.〔原创，适中〕曲线1)(3+-=x x x f 在点()11，处的切线方程是〔〕A.012=--y x 或者054=-+y xB.012=--y xC.02=-+y x 或者054=-+y x D.02=-+y x【答案】B 【解析】因为切点为()11，，斜率为1320-=x k=2，那么该切点处的切线为012=--y x【考点】曲线上某点处的切线方程8.〔原创，适中〕函数x x x x f sin )1ln()(2--+=，那么对于任意实数b a ,022-≠+⎪⎭⎫⎝⎛∈b a 且，ππ，那么ba b f a f ++)()(的值〔〕A ．恒负B.恒正C.恒为0D.不确定【答案】A【解析】xx x x f sin )1ln()(2--+=在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，)()(b f a f +与b a +同号【考点】函数的性质. 9.〔改编，适中〕假设函数()2df x ax bx c=++〔a ，b ，c ，d R ∈〕的图象如下列图，那么以下说法正确的选项是〔〕 A ．0,0,0,0>>>>d c b aB.0,0,0,0<>>>d c b aC.0,0,0,0>><>d c b aD.0,0,0,0<><>d c b a【答案】D 【解析】02=++c bx axb a ,异号，c a ,0)0(<f ，所以d c ,异号【考点】函数图像10. 〔改编，较难〕某多面体的三视图如下列图，正视图中大直角三角形的斜边长为5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为45的直角梯形，那么该多面体的体积为〔〕 A.1B.21 C.32D.2 【答案】C 【解析】，323131=+=+=--BCD F ADFE B V V V【考点】三视图11. 〔改编，较难〕假设正数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-xy y y x x ln 2142，那么xy x y 22+的取值范围为〔〕A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+417,1e e B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,1e e C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+e e 1,2 【答案】A【解析】因为+∈R y x ,，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-x y y y x x ln 2142可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-x y xy y x ln 0)211)(4(，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤x y x y ln 41又因为yxx y xy x y +=+22，所以设x y k =，那么约束条件变为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥xkx k ln 41，进一步可知约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥ek k 141，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e k 1,41，目的函数为k k xy x y 122+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈417,1e e 【考点】线性规划，函数上过某点的切线方程，函数的值域12.〔改编，较难〕函数ax x x f -=2)(，x e x x g -=ln )(.在其一共同的定义域内，)(x g 的图像不可能在)(x f 的上方，那么求a 的取值范围〔〕A ．110+<<e a B.0>a C.1+≤e a D.0≤a 【答案】C【解析】由题意得x x x x e a x ln -+≤，令xx x x e x x ln )(-+=ϕ，22ln 11)1()(x x x x e x x --+-=，ϕ22ln 1)1(x x x x e x +-+-=；令x x x e x t x ln 1)1()(2+-+-=，012)(>++⋅=xx x e x t x ，，所以)(x t 在),0(+∞上单调递增，又因为0)1(=t ；当)1,0(∈x 时，)(x ϕ单调递减；当)1(∞+∈，x 时，)(x ϕ1)1()(+=≥e x ϕϕ，所以1+≤e a .C 正确.【考点】导数的应用.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、．13. ()”“xe x x ≤++∞∈∀2ln ,,0的否认是【答案】()02ln ,,000x e x x >++∞∈∃【解析】()”“02ln ,,000x e x x >++∞∈∃14.〔原创，容易〕函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=++-)1()12()1()(322x m x m x x x f m m 在R 上是单调递增函数，那么m 的取值范围是【答案】⎥⎦⎤⎝⎛3221，【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>->++-1310120322m m m m 可得3221≤<m【考点】函数的性质15. 〔改编，容易〕如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，那么EFAC +=_____；BC EF -=；【答案】5；3【解析】()501422222=++=⋅++=+=+EF AC EFAC EF AC EF AC ,所以EFAC +=5设BD 的中点为G ，那么GC BG BC EF BC =-=-,所以BC EF -=3=GC【考点】向量16. 〔改编，较难〕对于集合{}12,,,n a a a 和常数0a ，定义：)(cos ....)(cos )(cos )(sin ....)(sin )(sin 0202201202022012a a a a a a a a a a a a t n n -++-+--++-+-= 为集合{}12,,,n a a a 相对于0a 的“类正切平方〞.那么集合57,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对于0a 的“类正切平方〞t =【答案】1 【解析】)67(cos )65(cos )2(cos )67(sin )65(sin )2(sin 020*********a a a a a a t -+-+--+-+-=ππππππ=)6(cos )6(cos sin )6(sin )6(sin cos 020*********a a a a a a -+++-+++ππππ =2002000220020002sin 21cos 23sin 21cos 23sin sin 23cos 21sin 23cos 21cos ）（）（）（）（a a a a a a a a a a ++-+-+++=20202020202sin 21cos 23sin sin 23cos 21cos a a a a a a ++++ =02020202sin 23cos 23sin 23cos 23a a a a ++=1【考点】创新题，三角函数三、解答题：(本大题一一共6小题，总分值是70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．) 17.〔原创，容易〕〔本小题12分〕在数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a (*N n ∈〕〔1〕求证：{}1+n a 是等比数列〔2〕设11+⋅+=n n n na a ab ，求数列{}n b 的前n 项和n S解析：〔Ⅰ〕由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a 〔*N n ∈〕又211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.……………………5分(2)由〔1〕知：n n na 22211=⋅=+-，12-=n n a 〔*N n ∈〕∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b 〔*N n ∈〕 ∴nS =nb b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.【考点】递推关系，等比数列，求前n 项和.18. 〔原创，容易〕〔本小题12分〕函数21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f 〔0>ω〕的最小正周期为π.（1）求ω的值（2）将函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g )(x g 在[]ππ,-上单调递减区间和零点.【解析】〔1〕21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f=）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分（2） =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为6ππ-=k x 〔Z k ∈〕,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分【考点】三角函数19.〔改编，适中〕〔本小题12分〕如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，边长为1，120=∠ADC ，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形.（1）求证：平面⊥PBD 平面PAC（2）在线段,PC PD 上可以分别找到两点'A ，''A ，使得直线PC ⊥平面'''AA A ，并分别求出此时''',PA PA PC PD的值．【解析】〔1〕因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PCPA PA ⋅='2,又2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分【考点】立体几何20.〔改编，适中〕〔本小题12分〕()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x都有())()12('x f x e x f x ++=〔e 是自然对数的底数〕，1)0(=f(1)求)(x f 的解析式 (2)求)(x f 的单调区间.【解析】〔1〕由())()12('x f x e x f x++=得12)()('+=-x e x f x f x ，即12)('+=⎪⎭⎫⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()x e c x x x f ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()x e x x x f 1)(2++=………………………………………7分∴)(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2-- (12)分【考点】函数的性质21.〔原创，较难〕〔本小题12分〕函数)(x f =x x ax ln 2-，xx g 1)(=. 〔1〕假设函数)(x f 在1=x 处获得极值，求a 的值，并判断)(x f 在1=x 处获得极大值还是极小值.〔2〕假设)()(x g x f ≥在(]10，上恒成立，求a 的取值范围. 【解析】〔1〕)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1x x x +-= 02>x 恒成立，∴令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. ∴当21=a 时，)(x f 在1=x 处获得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一〔将绝对值看成一个函数的整体进展研究〕：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立.②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32a x x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 3131)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a =min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立〞的否认是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解〞1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解 ⇒33ln 1ln 1-x xa x x +<<+在(]1,0上有解令3ln 1-)(x xx t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x xx t +=在(]1,0上单调递增，又-∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(x x x x x x x x m --=⋅+-⋅=，所以)(x m 在),0(32-e上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减.所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <.因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥.……………………………………12分【考点】导函数22.〔原创，容易〕〔本小题总分值是10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C ：〔α为参数〕，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+-=ty t x 2〔t 为参数〕．〔1〕分别求曲线C、直线l 的普通方程；〔2〕直线l 与C 交于B A ,两点，那么求AB 的值.【解析】〔1〕C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分〔2〕直线l 的HY 参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，〔't 为参数〕将l 的HY 参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23.〔原创，容易〕〔本小题总分值是10分〕选修4—5：不等式选讲函数212)(++-=x x x f ，()a a x x x g +--+=1〔1〕求解不等式3)(>x f ；〔2〕对于R x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f ≥成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或者⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或者⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或者32>x∴解集为：()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分【考点】绝对值不等式齐鲁名校教科研协作体、局部重点2021届高三第二次调研联考数学〔文〕参考答案及评分HY1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】A 12.【答案】C13.【答案】()02ln ,,000x e x x >++∞∈∃14.【答案】⎥⎦⎤⎝⎛3221， 15.【答案】5；316.【答案】1 17.解析：〔1〕由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a 〔*N n ∈〕又211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.……………………5分(2)由〔1〕知：n n na 22211=⋅=+-，12-=n n a 〔*N n ∈〕∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b 〔*N n ∈〕 ∴nS =nb b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.18. 【解析】〔1〕21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f=）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分(2)=)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为6ππ-=k x 〔Z k ∈〕,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分 19.【解析】〔1〕因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC (5)分〔2〕PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PCPA PA ⋅='2,又2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分 20.【解析】〔1〕由())()12('x f x e x f x++=得12)()('+=-x e x f x f x，即12)('+=⎪⎭⎫⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()x e c x x x f ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()x e x x x f 1)(2++=………………………………………7分〔2〕()x e x x x f 23)(2'++=∴)(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2-- (12)分21. 〔1〕)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x xax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1x x x +-= 02>x 恒成立，∴令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. ∴当21=a 时，)(x f 在1=x 处获得极小值.………………………………………5分〔2〕由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一〔将绝对值看成一个函数的整体进展研究〕：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立.②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32a x x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 3131)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a =min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立〞的否认是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解〞1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x xa x x +<<+在(]1,0上有解令3ln 1-)(x xx t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x xx t +=在(]1,0上单调递增，又-∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(x x x x x x x x m --=⋅+-⋅=，所以)(x m 在),0(32-e上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减.所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <.因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥.……………………………………12分 22.【解析】〔1〕C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分〔2〕直线l 的HY 参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，〔't 为参数〕将l 的HY 参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23.【解析】〔1〕由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或者⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或者⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或者32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分〔2〕当21=x时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分。

2021届四川省成都市第十二中学(川大附中)高三第二次模拟数学试题(解析版)

2021届四川省成都市第十二中学（川大附中）高三第二次模拟数学试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}|2A x Z x =∈<，{}|210B x x =-≥，则()R A C B =（） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．{}1C ．{}1,0-D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】先求出集合A 、B ，再进行补集和交集运算.【详解】{}{}{}|2=|221,0,1A x Z x x Z x =∈<∈-<<=-，{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，1|2R C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，所以()R A C B ={}1,0-，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于基础题. 2．若复数z 满足()1i 2i z -=，则下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部为2 B ．z 为实数C．z =D ．2z z i +=【答案】C【分析】由给定等式求出z ，再由复数z 的特征判断各选项得解. 【详解】22(1)22(1)211(1)(1)2i i i iz i i z i i i i +-+-=⇒====-+--+， z 的虚部为1，选项A 错；z 是虚数，选项B错；||z ==，选项C 正确；(1)(1)2z z i i +=-++--=-，选项D 错.故选：C3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【详解】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ．【解析】比较大小4．已知变量,x y 满足约束条件102030x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y +的最大值（）A ．1-B ．1C ．4D ．8【答案】D【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线l ，平移直线l 可得最优解，【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），作直线:320l x y +=，平移直线l ，当直线l 过点B 时，32z x y =+取最大值．由3010x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)B ，所以max 31228z =⨯+⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．属于基础题．5．522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为（）．A ．60B ．60-C ．80-D ．80【答案】C【分析】根据二项式定理写出通项公式，再令x 的幂为1即可求解【详解】522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第1r +项为()()()5210355C 2C 2r r r r r r rx x x ----=-，令1031r -=，即3r =时，含x 项的系数为80-，故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理中具体项的系数求解，属于基础题 6．在ABC ∆中，5cos 25C =,BC=1,AC=5，则AB= A ．42 B ．30C ．29D ．25【答案】A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为2253cos 2cos 12()1,255C C =-=⨯-=- 所以22232cos 125215()32425c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴=，选A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 7．函数2ln xy x=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.【详解】解：由ln 0x ≠得，0x >且1x ≠，当01x <<时，ln 0x <此0y <时，排除B,C函数的导数'2212ln 22ln 2()(ln )(ln )x x x x f x x x -⋅-==，由'()0f x >得ln 1x >，即x e >时函数单调递增，由'()0f x <得ln 1x <且1x ≠，即01x <<或1x e <<时函数单调递减，故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题.8．已知函数()()f x x R ∈满足：()()2f x f x =--，函数()()32cos 2x g x f x x =++，若()2g a =，则()g a -=（） A ．2- B ．0C ．0D ．4【答案】B【分析】由已知得出()()1h x f x =-是奇函数，又32cos 2x y x =+是奇函数，根据奇偶性可得答案【详解】由()()2f x f x +-=知，()()11f x f x --=--⎡⎤⎣⎦，令()()1h x f x =-，所以()()h x h x -=-，所以()()1h x f x =-是奇函数，又32cos 2x y x =+是奇函数，所以函数()()3211cos 2x g x f x x -=-++为奇函数，故()()()11g a g a --=--，解得()0g a -=，故选：B .【点睛】本题考查了函数的奇偶性，利用奇偶性求函数值的问题. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2πB．2πC．223πD．π【答案】A【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以半径为1，母线为3的半圆锥．求出底面面积，代入圆锥体积公式再除以2，可得几何体的体积．【详解】由三视图知：几何体是以半径为1，母线为3的半圆锥，（如图）∴可得该圆锥的高22h=．底面面积Sπ=，几何体的体积11232V shπ=⨯⨯=故选：A．【点睛】本题主要考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【分析】A.在正方体中举例判断；B.利用平面与平面垂直的判定定理判断；C.利用线垂直的判定定理和面面垂直的性质定理判断；D. 在正方体中举例判断；【详解】A. 如图所示:在正方体中，平面APCF ⊥平面PBDC ，//AF 平面PBDC ，故正确；B.如果平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，故正确；C.如图所示：在γ 内取一点Q ，作,QM CP QN CD ⊥⊥ ，因为平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，所以QM ⊥平面α，QN ⊥平面β，又因为α∩β＝l ，所以QM l ⊥，QN l ⊥又QMQN Q =，则l ⊥平面γ，故正确；D. 如图所示:在正方体中，平面APCF ⊥平面PBDC ，//AF 平面PBDC ，故错误；故选：D11．斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，设357920191k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=，则k =（） A ．2019 B ．2020C ．2021D ．2022【答案】B【分析】根据{}n a 满足()*21Nn n n a a a n ++=+∈，偶数项21a=代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，即得结果.【详解】因为斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则和式357920191a a a a a +++++⋅⋅⋅+中，偶数项21a =代换后，与下一项结合得到下一个偶数项，依次进行下去，则357920191a a a a a +++++⋅⋅⋅+()235792019a a a a a a =+++++⋅⋅⋅+()45792019a a a a a =++++⋅⋅⋅+()6792019a a a a =+++⋅⋅⋅+()()89201910112019...a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=201820192020k a a a a =+==，则2020k =.故选:B.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，结合了数学文化中的斐波那契数列，属于中档题.12．已知点F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，若点()01,M y 在抛物线C 上，且054y MF =，斜率为k 的直线l 经过点()1,3Q -，且与抛物线C 交于A ，B （异于M ）两点，则直线AM 与直线BM 的斜率之积为（） A ．2 B ．-2C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据抛物线的焦半径公式||12pMF =+，即可求出p 的值，求出()1,1M ，设直线l 方程与抛物线方程联立，求出,A B 两点的坐标关系，再将直线AM 与直线BM 的斜率之积用,A B 坐标表示，化简即可证明结论.【详解】由抛物线的定义知02pMF y =+，则00524p y y +=，解得02y p =，又点()01,M y 在抛物线C 上，代入2:2C x py =，得021py =，得01y =，12p =，所以()1,1M ，抛物线2:C x y =，因为斜率为k 的直线l 过点()1,3Q -，所以l 的方程为()31y k x -=+，联立方程得()231y k x x y⎧-=+⎨=⎩，即230x kx k ---=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12123x x kx x k +=⎧⎨=--⎩，则直线AM 的斜率2111111AMx k x x -==+-，直线BM 的斜率2222111BM x k x x -==+-，()()121212111312AM BM k k x x x x x x k k =++=+++=--+=-.故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求解相交弦的问题，考查计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.【答案】(ln 2,2)-【详解】试题分析：设切点P (,)a b ，则由xy e -'=-得：2,2,ln 2,2a a a k e e a b e ---=-=-==-==，所以点P 的坐标是(ln 2,2)-.【解析】利用导数求切点.14．P 是双曲线2211681x y -=上任意一点，1F ，2F 分别是它的左、右焦点，且19PF =，则2PF =___________．【答案】17【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a 、c 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||＝2a ＝8，计算可得|PF 2|分析可得答案．【详解】根据题意，双曲线2211681x y -=，其中a ＝4，c =，又由P 是双曲线上一点，则有||PF 1|﹣|PF 2||＝2a ＝8，又由|PF 1|＝9，则|PF 2|＝1＜c ﹣a ＝974- （舍去）或17，故答案为：17．15．已知△ABC 是边长为3的正三角形，点D 在边BC 上，且12BD DC ＝，则AD AC ⋅＝______．【答案】6【分析】运用向量的加减运算和数量积的定义，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【详解】如图所示，△ABC 中，12BD DC =，13BD BC =，所以1133AD AB BD AB BC AB =+=+=+（AC AB -）2133AB AC =+，AD AC ⋅=（2133AB AC +）•23AC AB =•21233AC AC +=⨯3×3×cos60°13+⨯32＝6．故答案为：6． 16．给出以下命题：（1）已知回归直线方程为ˆˆ1.2yx a =+，样本点的中心为(4,5)，则ˆ0.2a =；（2）已知:0p a b ⋅<，:q a 与b 的夹角为钝角，则p 是q 的充要条件；（3）函数()sin(2)6f x x π=+图象关于点5(,0)12π对称且在(,)126ππ-上单调递增；（4）命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-<”；（5）设函数22,()42,x m f x x x x m>⎧=⎨++≤⎩，若函数()y f x x =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围为(1,2)-.其中不正确．．．的命题序号为______________ . 【答案】（2）（4）（5）【分析】根据线性回归直线的性质、充分必要条件的定义、正弦型函数的性质、命题的否定、函数的零点等知识对各个命题进行判断．【详解】（1）根据回归直线恒过样本的中心点，可得ˆ0.2a=，故正确；（2）由||||cos 0a b a b θ⋅=⋅<有cos 0θ<，a 与b 的夹角为钝角或平角，所以根据充要条件的定义可判断错误.故错误；（3）把512x π=代入函数()sin(2)06f x x π=+=，函数值为0，所以函数()f x 关于5(,0)12π对称，由222,262k x k k Z πππππ-<+<+∈，可得,36k x k k Z ππππ-<<+∈所以函数在(,),36k k k Z ππππ-+∈上是递增的.所以函数在(,)126ππ-上是递增的.故正确；（4）命题“存在x ∈R ，20x x ->”的否定是“对于任意x ∈R ，20x x -≤”故错误；（5）构造函数22,()32,x x mg x x x x m->⎧=⎨++≤⎩，要使函数()y f x x =-恰有三个零点，必须使函数2y x =-有零点，并且函数232y x x =++有两个零点，而函数232y x x =++在R 上的两个零点为－1和－2，从而得到12m -≤<，故是错误的.故答案为：（2）（4）（5）．【点睛】本题考查命题的真假判断，要求较高，需对所有命题进行判断，必须掌握对应的知识与方法，本题属于中档题．三、解答题17．已知向量()2cos ,1m x ω=-，()sin cos ,2n x x ωω=-，其中0>ω，函数()3f x m n =⋅+，若函数()f x 图象的两个相邻对称中心的距离为π2. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)；（2）⎡⎣．【分析】（1）根据题意，代入数量积公式表示出()f x ，然后化简得())4f x x πω=-，利用周期计算得1ω=，利用整体法计算单调增区间；（2）利用平移变换得函数()g x 的解析式，利用整体法计算值域.【详解】（1）由题意可得，()32cos (sin cos )23ωωω=⋅+=--+f x m n x x x ，22sin cos 2cos 1sin 2cos 22sin(2)4πωωωωωω=-+=-=-x x x x x x .由题意知，22T ππω==，得1ω=，则()2sin(2)4f x x π=-，由222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）将()f x 的图象向左平移4π个单位长度，得到2sin(2)4y x π=+的图象，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()2sin()4π=+g x x 的图象． ∵,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2sin()124π≤+≤x ，故函数()g x 的值域为1,2⎡⎤⎣⎦.【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.18． 2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施.为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3：2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意.其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85.（1）估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表) （2）结合频率分布直方图，请完成以下22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度满意不满意合计附：随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）平均值为80；（2）22⨯列联答案见解析，有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.【分析】（1）先由题中条件，求出a ，b 的值，再由频率分布直方图，根据组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数；（2）由题中先完善列联表，再由计算公式，求出2K ，进而可判断出结果. 【详解】（1）由已知得()0.0150.03100.85b ++⨯=，解得0.04b =，又()0.0051010.85a +⨯=-，解得0.01a =，所以评分的平均值为550.05650.1750.3850.4950.1580⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由题意可得，22⨯列联表如下表：因此()221001025353010.774 6.63555456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”. 19．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD 224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB的中点.（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --的余弦值为6,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）23. 【分析】试题分析：（1）根据PC ⊥平面ABCD 有PC AC ⊥，利用勾股定理可证明AC BC ⊥，故AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在C 点建立空间直角坐标系，利用二面角P AC E --的余弦值为6建立方程求得2PC =，在利用法向量求得PA 和平面EAC 所成角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥因为4,2AB AD CD ===,所以2AC BC ==,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．（Ⅱ）如图，以点C 为原点，,,DA CD CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量．设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即0{x y x y az +=-+=，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =--依题意2cos ,3m n m n m na ⋅〈〉===⋅+，则2a =．于是()()2,2,2,2,2,4n PA =--=-．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=〈〉==⋅ 即直线PA 与平面EAC 20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的上顶点为B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，12BF F △ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线():1=+≠±l y kx m m 与椭圆E 相交于点P ，Q ，则直线BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，且，12k t k +=，其中t 是非零常数，则直线l 是否经过某个定点A ？若是，请求出A 的坐标．【答案】（1）2214x y+=；（2）直线l 经过定点2,1A t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由题可得bc e ==，再结合222a b c =+即可求解椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，求出12k k +，结合韦达定理可得k 与m 的代换式21kt m =+，代入y kx m =+整理成点斜式即可求解【详解】（1）因为()0,B b ，12BF F △的面积122S c b bc =⨯⨯==且2c e a ==，故解得2a =，c =1b =，则24a =，21b =，则椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）假设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线与椭圆联立得221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222418440k x kmx m +++-=，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -+=+，又因为()0,1B ，所以1111y k x -=，2221y k x -=，则()()1221121212121111kx m x kx m x y y k k t x x x x +-++---+=+==，即()()12121221kx x m x x t x x +-+=，代入韦达定理得()222224482141414441m kmk m k k t m k --+-++=-+，即()()()222441844k m m km t m -+--=-，化简得()2211k m t m -=-，因为1m ≠±，则21kt m =+，即()21k t m =+，21k m t -=代入直线得2211y kx k k x t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以恒过2,1t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故直线l 经过定点2,1A t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，由直线与椭圆的位置关系求证直线过定点问题，韦达定理的使用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题 21．已知函数2()ln f x a x x =+（a 为实常数）（1）当4a =-时，求函数()f x 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当[]1,x e ∈时，讨论方程()0f x =的根的个数；（3）若0a >，且对任意的12,[1,]x x e ∈，都有()()121211f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 在[]1,e 上的最大值为24e -，相应的x 值为e ；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）实数a 的取值范围不存在. 【分析】（1）当4a =-时，求得函数的导数2(()x x f x x'=，求得函数的单调性，进而求得函数的最值；（2）求得函数的导数22()x af x x+'=，分0a ≥和0a <讨论函数的单调性，特别注意当0a <时，求出函数()f x 在[1,]e 上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和()F e 的值的符号，讨论在[1,e]x ∈时，方程()0f x =的零点；（3）当0a >时，得出2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数，把()()121211f x f x x x -≤-，转化为()()212111f x f x x x +<+，构造函数1()()G x f x x=+，由该函数为减函数，得到()0'≤G x 在[1,e]x ∈恒成立，分离参数利用函数的单调性，即可求解.【详解】（1）当4a =-时，2()4ln f x x x =-+，函数的定义域为(0,)+∞，可得42(()2x x f x x x x+-'=-+=，当x ∈时，()0f x '<，当)x e ∈时，()0f x '>，所以函数()f x在⎡⎣上为减函数，在)e 上为增函数，2(1)4ln111f =-+=，22()4ln 4f e e e e =-+=-，所以函数()f x 在[]1,e 上的最大值为24e -，相应的x 值为e .（2）由2()ln f x a x x =+，得22()2a x af x x x x+'=+=. 若0a ≥，则在[]1,e 上()'f x ，函数2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数，由()110f =>知，方程()0f x =的根的个数是0；若0a <，由()0f x '=，得x =（舍）或x =1≤，即20a -≤<，2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数，由(1)10f =>知，方程()0f x =的根的数是0；e ≥，即22a e ≤-，2()lnf x a x x =+在[]1,e 上为减函数，又(1)1f =，222()ln 0f e a e e e a e =+=+≤-<，所以方程()0f x =在[]1,e 上有1个实数根；若1e <<，即222e a -<<-，()f x 在⎡⎢⎣上为减函数，在e ⎤⎥⎦上为增函数，又(1)10f =>，2()f e e a =+，min()ln ln 122222a a a a a f x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.当2ae -<，即22e a -<<-时，0f >，方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是0；当2a e =-时，方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是1；当22e a e -≤<-时，0f <，2()0f e a e =+≥，方程()0f x =在[]1,e 上的根的个数是2；当222e a e -<<-时，0f <，2()0f e a e =+<，方程()0f x =上的根的个数是1.（3）若0a >，由（2）知，函数2()ln f x a x x =+在[]1,e 上为增函数，不妨设12x x <，则()()121211f x f x x x -≤-，即为()()212111f x f x x x +<+，由此说明函数1()()G x f x x =+在[]1,e 上单调递减，所以21()20a G x x x x '=+-≤，对[1,e]x ∈恒成立，即212a x x≤-+对[1,e]x ∈恒成立，而212x x -+在[]1,e 上单调递减，所以212a e e≤-+.所以满足0a >，且对任意的12,[1,]x x e ∈，都有()()121211f x f x x x -≤-成立的实数a 的取值范围不存在. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;（2）设曲线1C 、2C 交于点A 、B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离.【答案】（1）()221:24C x y +-=，2:40C x -=；（2）1.【分析】（1）将曲线1C 的极坐标方程变形为24sin 0ρρθ-=，将曲线2C 的极坐标方程变形为cos sin 40ρθθ+-=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）可得出点()4,0E 以及直线2C 的倾斜角为56π，写出直线2C 的参数方程，并将直线2C 的参数方程与曲线1C 的直角坐标方程联立，列出韦达定理，可得出线段AB 的中点所对应的参数，进而可求得线段AB 的中点到点E 的距离. 【详解】（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为24sin 0ρρθ-=，所以曲线1C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，即()2224x y +-=. 曲线2C的极坐标方程可以化为1cos sin 2022ρθρθ+-=，所以曲线2C的直角坐标方程为40x -=；（2）易知点E 的坐标为()4,0，直线2C 的倾斜角为56π，所以2C的参数方程为412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得221+2442t ⎝⎛⎪⎫-= ⎪⎝ ⎪⎭⎛⎫-⎭，整理得()22160t t -+=，判别式()2264120∆=-=>，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则线段AB的中点对应的参数为1212t t +=，所以线段AB 的中点到点E的距离为1.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线的参数方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()1f x x =-（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1,1a b <<，且0a ≠，求证：()b f ab a f a >⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】（1）(,5][3,)-∞-+∞，（2）证明见解析【分析】（1）将已知条件代入函数可得分段函数，然后分类讨论求解不等式即可；（2）将不等式化简展开得1ab b a ->-，再平方作差即221ab a b ---，再进行因式分解得22()11(0)a b -->，即得证该不等式成立【详解】解：（1）由题意得22,3()(4)134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，当31x -≤≤时，()(4)1348f x f x x x ++=-++=≥不成立，当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，所以不等式()()48f x f x ++≥的解析为(,5][3,)-∞-+∞，（2）由题意可得，要证()b f ab a f a >⎛⎫⎪⎝⎭即证11bab ab a a->-=-，即证1ab b a ->- 因为1,1a b << 所以221ab a b ---222221(2)a b ab a ab b =-+--+ 22221a b a b =--+22(1)(1)0a b =-->所以221ab a b ->-，所以1ab b a ->-，所以()b f ab a f a >⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：此题考查了解绝对值不等式、证明不等式，常见的方法有：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合的思想；（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数图像求解；（4）证明不等式的方法有：比较法、分析法、综合法等。

创界学校高三数学第二次12月联考试题理试题

智才艺州攀枝花市创界学校、局部重点2021届高三数学第二次〔12月〕联考试题理一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1．〔原创，容易〕复数z 满足(1)3i z i -=-+，那么z 在复平面内对应的点位于() A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】(1)3i z i-=-+321iz i i-+⇒==---,那么2z i =-+.应选B 【考点】复数运算及几何意义. 2．〔原创，容易〕全集{}{}2|560,12Ux Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤，{}2,3,5B =，那么()UA B =〔〕A ．{}2,3,5B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5【答案】B 【解析】{}{}0,1,2,3,4,5,0,1,2UA ==,那么()UA B ={}3,5.【考点】二次不等式及集合运算. 3.〔原创，容易〕在等差数列{}n a 中，7=14S ，那么246a a a ++=〔〕A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】744=147142S a a ⇒=⇒=,那么246436a a a a ++==.【考点】等差数列性质.4.〔原创，容易〕如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔〕 A ．8+43B ．8+23C ．4+43D ．4+23【答案】A【解析】三视图复原为三棱锥A BCD -，如左以下列图所示，那么三棱锥A BCD -的外表积为A BCD S -=【考点】三视图复原及三棱锥的外表积. 5.〔原创，中档〕 1.10.6122,3,log 3ab c ===,那么,,a b c 的大小为〔〕A ．b c a >> B.a c b >> C.b a c >> D.a b c >>【答案】D【解析】 1.10.61220,30,log 30ab c =>=>=<,51.10.63522,33232a b =>==<=【考点】指数函数对数函数的性质. 6.〔原创，中档〕假设函数()sin(2)3f x x π=+图象的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，那么有〔〕 A ．()cos g x x =B ．()sin g x x =C ．()cos()3g x x π=+D ．()sin()3g x x π=+ 【答案】A【解析】：26sin(2)sin()sin()cos 332y x y x y x x ππππ=+−−−−−→=+−−−→=+=左移横坐标变为倍.【考点】正余弦型函数的图象变换.7.:p 假设a c b c ⋅=⋅，那么a b =:q 假设2,a b a b +=<，那么21b>，那么有〔〕A ．p 为真B.q ⌝为真C.p q ∧为真D.p q ∨为真【答案】D【解析】p 为假，2,a b a b +=<2211b b b b ⇒>-⇒>⇒>，q 为真.那么p q ∨为真，应选D【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.8.〔原创，中档〕假设2cos 23sin 2cos()4θθπθ=+，那么sin 2θ=〔〕A ．13B ．23C ．23-D ．13- 【答案】C【解析】222(cos sin )3sin 22(cos sin )3sin 2cos sin θθθθθθθθ-=⇒+=⇒- 2244sin 23sin 2sin 23θθθ+=⇒=-或者sin22θ=(舍),应选C考点：三角函数恒等变形．9.〔原创，中档〕如下列图，扇形AOB 的半径为2，圆心角为90，假设扇形AOB 绕OA 旋转一周，那么图中阴影局部绕OA 旋转一周所得几何体的体积为〔〕 A ．3πB ．5πC ．83π D ．163π【答案】C【解析】扇形AOB 绕OA 旋转一周所得几何体的体积为球体积的12，那么321633Vr ππ==，AOB ∆绕OA 旋转一周所得几何体的体积为31833r ππ⨯=，阴影局部旋转所得几何体的体积为83π，应选C【考点】旋转体体积、割与补.10．〔原创，中档〕函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为〔〕ABCD【答案】A【解析】222()()()()4122x x x xx x f x f x f x f x -⋅==⇒-=-⇒--为奇函数，排除B ； ()0x f x →+∞⇒→；排除D ；2121(1=()()(1)322f f f f =⇒<），，排除C ；应选A 【考点】函数性质及图象.11.〔原创，中档〕从1开场的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如下列图，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比方3242549,15,23，，，===a a a ，假设,2017i j a =，那么i j +=〔〕A ．64B ．65C ．71D ．72【答案】D 【解析】奇数数列2120171009na n n =-=⇒=，按照蛇形排列，第1行到第i 行末一共有(1)122i i i ++++=个奇数,那么第1行到第44行末一共有990个奇数；第1行到第45行末一共有1035个奇数；那么2021位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且一共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，那么45,2772i j i j ==⇒+=，应选D【考点】等差数列与归纳推理. 12.〔原创，难〕函数()22cos()4f x x x π=+①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 关于4x π=对称；③函数()f x 关于3(,0)4π对称；④函数()f x 的值域为4646[]〕 A.1B.2C.3D.4 【答案】D【解析】()22cos()4f x x x π=+的周期显然为2π；()2)cos()22sin 422f x x x x x πππ+=++=； ()22)cos()22sin 422f x x x x x πππ-=-+-+=；()()44f x f x ππ+=-，故②正确.33()2)cos()22cos 42f x x x x x πππ+=++=- 33()22)cos()22cos 42f x x x x x πππ-=-+-+=；33()()44f x f x ππ+=--，故③正确.2()(cos sin )(cos sin )f x x x x x =+-，设22cos sin (cos sin )2x xt x x t +=⇒-=-，那么[2,2]t ∈，32y t t =-2min max 64646230y t t y y '=-=⇒=⇒==，故④正确【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分. 13.〔原创，容易〕假设(,2),(1,1)a x b x ==-，假设()()a b a b +⊥-，那么x =．【答案】1- 【解析】22()()1a b a b a b x +⊥-⇒=⇒=-【考点】向量坐标运算及向量垂直.14.〔原创，容易〕实数,x y 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最小值为．【答案】5【解析】由题意可得可行域为如下列图〔含边界〕，11222z x y y x z =+⇒=-+，那么在点(1,2)A 处获得最小值5【考点】根本型的线性规划15.〔原创，中档〕在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，假设1112,21n n n a a a -+==++，那么10S =．【答案】1078 【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒23122211n n n a n a --=+++++-+.111212212n n n n ---=+-+=+-. 29101011122210782S ⨯=+++++=. 【考点】等差等比数列及均值不等式16.〔原创，难〕四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，假设224SC ≤≤，那么四棱锥S ABCD -的体积取值范围为．【答案】438[]3【解析】如下列图，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，那么SO⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，那么有，232cos SC θ=-又224SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，那么2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438]3【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17.〔此题总分值是12分〕〔原创，容易〕单调的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，假设339S =，且43a 是65,a a -的等差中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)假设数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 前n 项的和为n T ，求1231111nTT T T ++++. 【答案】(Ⅰ)3n na =；(Ⅱ)43〔18〕解：(Ⅰ)24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或者2q =-〔舍〕；………………3分3131(1)3931a q S a q -==⇒=-…………………5分3n n a =……………………6分(Ⅱ)213log 321n nb n +==+；………………7分3521(2)n T n n n =++++=+………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++……………………12分【考点】等比数列根本量运算、数列求和 18．〔此题总分值是12分〕〔原创，中档〕设函数()2sin()cos 32f x x x π=+-(Ⅰ)求()f x 的单调增区间；(Ⅱ)ABC ∆的内角分别为,,A B C ，假设()2A f =ABC ∆可以盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ)5[,],1212k kk Z ππππ-++∈；(Ⅱ)6〔18〕解：(Ⅰ)1()2sin()cos sin 2232f x x x x x π=+-=+……3分sin(2)3x π=+……………4分5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分(Ⅱ)由余弦定理可知：222ab c bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，那么23b c a +-=9分222(23)b c b c bc +-=+-……………10分4334()812bc b c bc bc ⇒=+≥⇒≥或者43bc ≤〔舍〕……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当bc =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：312ra b c =⇔++=……9分代入2223()2b c b c bc +-=+-；……………10分 4334()812bc b c bc bc ⇒=+≥⇒≥或者43bc ≤〔舍〕；……………11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当bc =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值. 19．〔此题总分值是12分〕〔原创，中档〕如图，三棱111ABC A B C -，侧面11A B BA 与侧面11A C CA 是全等的梯形，假设1111,A A AB A A A C ⊥⊥,且11124AB A B A A ==.〔Ⅰ〕假设12CDDA =，2AE EB =，证明：DE ∥平面11BCC B ；〔Ⅱ〕假设二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.19.〔Ⅰ〕证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ==……2分；又2AE EB =，那么DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；〔Ⅱ〕侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,那么BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角，BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，那么11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C 1(23,2,0),(3,1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，那么有：111111030(1,3,0)030m AB x y m m AB x y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩……10分；设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，那么有：221222030(1,3,23)0330m CB x y n m CB x y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩……11分； 1cos ,4m n m n m n⋅<>==-，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分；【考点】线面平行证明及二面角计算. 20.〔此题总分值是12分〕设函数2()2(2)23x f x x e ax ax b =--++-〔原创，中档〕〔Ⅰ〕假设()f x 在0x =处的法线〔经过切点且垂直于切线的直线〕的方程为240x y ++=，务实数,a b 的值；〔原创，难〕〔Ⅱ〕假设1x =是()f x 的极小值点，务实数a 的取值范围.〔Ⅰ〕解：()2(1)22x f x x e ax a '=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f '=；……………………3分；(0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，那么有(0)21f b =-⇒=；………………5分；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得：()2(1)222(1)()x x f x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分；〔1〕当0a≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤适宜题意；………………7分；〔2〕当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或者2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<适宜题意；………………9分；〔2〕当ae ≥时，1()01f x x '=⇒=或者2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适宜题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为ae <；………………12分；【考点】函数切线及函数极值. 21.〔此题总分值是12分〕函数()(ln 1)1f x x x ax ax =⋅++-+．〔原创，中档〕〔Ⅰ〕假设()f x 在[1,)+∞上是减函数，务实数a 的取值范围.〔原创，难〕〔Ⅱ〕假设()f x 的最大值为2，务实数a 的值. 〔Ⅰ〕()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分；2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分；设2ln (),[1,)12x g x x x+=∈+∞-，那么2122ln ()(12)x xg x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-.∴2a ≤-；……4分；〔Ⅱ〕注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，那么(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x -+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分∴2a =-适宜题意；……………12分【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明.选做题〔请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多项选择，那么按所做的第一题计分〕22．〔本小题总分值是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】〔原创，容易〕直线l 的参数方程为()x t t y a t=⎧⎨=-⎩为参数．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.〔Ⅰ〕求直线l 与圆C 的普通方程；〔Ⅱ〕假设直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1，务实数a 的值．解：〔Ⅰ〕由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分， 0x t x y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分〔Ⅱ〕222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为；…………8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或者4a =；…………10分，【考点】方程互化、圆弦长.23．〔本小题总分值是10分〕【选修4—5：不等式选讲】〔原创，容易〕函数()241f x x x =-++, 〔Ⅰ〕解不等式()9f x ≤；〔Ⅱ〕假设不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}230B x x x =-<，且满足B A ⊆，务实数a 的取值范围.23.解：〔Ⅰ〕()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或者1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或者1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或者12x -≤≤，或者21x -≤<-；……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分〔Ⅱ〕易知(0,3)B=；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分(0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分【考点】绝对值不等式解法、不等式恒成立.齐鲁名校教科研协作体、局部重点2021届高三第二次调研联考数学〔理〕参考答案及评分HY1．【答案】B2．【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】C10．【答案】A11.【答案】D12.【答案】D13.【答案】1-14.【答案】515.【答案】107816.【答案】8[]3317.【答案】(Ⅰ)3n n a =；(Ⅱ)43解：(Ⅰ)24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或者2q =-〔舍〕；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分 3n n a =……………………6分(Ⅱ)213log 321n n b n +==+；………………7分3521(2)n T n n n =++++=+………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++……………………12分【考点】等比数列根本量运算、数列求和18．【答案】(Ⅰ)5[,],1212k k k Z ππππ-++∈；(Ⅱ)6解：(Ⅰ)313()2sin()cos sin 2232f x x x x x π=+=+……3分 sin(2)3x π=+……………4分 5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ)由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，那么23b c a +-=9分222(23)b c b c bc +-=+-……………10分4334()812bc b c bc bc ⇒=+≥⇒≥或者43bc ≤〔舍〕……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：312r a b c =⇔++=……9分代入2223()2b c b c bc +-=+-；……………10分 4334()812bc b c bc bc ⇒=+≥⇒≥或者43bc ≤〔舍〕；……………11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当bc =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分 19．19.〔Ⅰ〕证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =, 易知：111,2AC AC D AD DC ==……2分；又2AE EB =，那么DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；〔Ⅱ〕侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,那么BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角，BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，那么11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1(23,2,0),(3,1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，那么有：111111030(1,3,0)030m AB x y m m AB x y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩……10分；设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，那么有：22122200(1,3,030m CB ynm CB y z⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩……11分；1cos,4m nm nm n⋅<>==-，故平面11A B BA与平面11C B BC所成的锐二面角的余弦值为14……12分；20.〔Ⅰ〕解：()2(1)22xf x x e ax a'=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f'=；……………………3分；(0)2222f a a'=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，那么有(0)21f b=-⇒=；………………5分；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得：()2(1)222(1)()x xf x x e ax a x e a'=--+=--；………………6分；〔1〕当0a≤时，0()01xe af x x'->⇒=⇒=，(,1)()0x f x'∈-∞⇒<；(1,)()0x f x'∈+∞⇒>；1x=是()f x的极小值点，∴0a≤适宜题意；………………7分；〔2〕当0a e<<时，1()01f x x'=⇒=或者2lnx a=，且ln1a<；(,ln)()0x a f x'∈-∞⇒>；(ln,1)()0x a f x'∈⇒<；(1,)()0x f x'∈+∞⇒>；1x=是()f x的极小值点，∴0a e<<适宜题意；………………9分；〔2〕当a e≥时，1()01f x x'=⇒=或者2lnx a=，且ln1a≥；(,1)()0x f x'∈-∞⇒>；(1,ln)()0x a f x'∈⇒<；(ln,)()0x a f x'∈+∞⇒>；1x=是()f x的极大值点，∴a e≥不适宜题意；…………11分综上，实数a的取值范围为a e<；………………12分；21.〔Ⅰ〕()ln220f x x ax a'=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分；2ln12xax+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分；设2ln (),[1,)12x g x x x+=∈+∞-，那么2122ln ()(12)x xg x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-.∴2a ≤-；……4分；〔Ⅱ〕注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，那么(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x -+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分∴2a =-适宜题意；……………12分22．解：〔Ⅰ〕由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分， 0x t x y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分〔Ⅱ〕222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为；…………8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或者4a =；…………10分，23.解：〔Ⅰ〕()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或者1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或者1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或者12x -≤≤，或者21x -≤<-；……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分〔Ⅱ〕易知(0,3)B=；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分。

高三数学第二次12月联考试题理试题

、局部重点中学2021届高三数学第二次〔12月〕联考试题理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．〔原创，容易〕复数z 满足(1)3i z i -=-+，那么z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】(1)3i z i -=-+321iz i i-+⇒==---,那么2z i =-+.应选B 【考点】复数运算及几何意义.2．〔原创，容易〕全集{}{}2|560,12U x Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤，{}2,3,5B =，那么()UA B = 〔〕A ．{}2,3,5B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5【答案】B【解析】{}{}0,1,2,3,4,5,0,1,2U A ==,那么()UA B ={}3,5.【考点】二次不等式及集合运算.3.〔原创，容易〕在等差数列{}n a 中，7=14S ，那么246a a a ++=〔〕 A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】744=147142S a a ⇒=⇒=,那么246436a a a a ++==. 【考点】等差数列性质.4.〔原创，容易〕如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔〕 A ．8+43 B ．8+23 C ．4+43 D ． 4+23【答案】A【解析】三视图复原为三棱锥A BCD -，如左以下图所示，那么三棱锥A BCD -的外表积为A BCD S -=213422(22)284324⨯⨯⨯+⨯⨯=+ 【考点】三视图复原及三棱锥的外表积.5.〔原创，中档〕 1.10.6122,3,log 3a b c ===,那么,,a b c 的大小为〔〕A ．b c a >> B.a c b >> C. b a c >> D.a b c >> 【答案】D 【解析】 1.10.61220,30,log 30a b c =>=>=<,51.10.63522,33232a b =>==<=【考点】指数函数对数函数的性质. 6.〔原创，中档〕假设函数()sin(2)3f x x π=+图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，那么有〔〕 A ．()cos g x x = B ．()sin g x x = C ．()cos()3g x x π=+ D ．()sin()3g x x π=+【答案】A 【解析】：26sin(2)sin()sin()cos 332y x y x y x x ππππ=+−−−−−→=+−−−→=+=左移横坐标变为倍.【考点】正余弦型函数的图象变换.7.〔原创，中档〕命题:p 假设a c b c ⋅=⋅，那么a b =，命题:q 假设2,a b a b +=<，那么21b >，那么有〔〕A ．p 为真 B.q ⌝为真 C. p q ∧为真 D.p q ∨为真【答案】D【解析】p 为假，2,a b a b +=<2211b b b b ⇒>-⇒>⇒>，q 为真. 那么p q ∨为真，应选D【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.8.〔原创，中档〕假设2cos 23sin 2cos()4θθπθ=+，那么sin 2θ=〔〕A ．13 B ．23 C ．23- D ．13- 【答案】C 【解析】222(cos sin )3sin 22(cos sin )3sin 2cos sin θθθθθθθθ-=⇒+=⇒-2244sin 23sin 2sin 23θθθ+=⇒=-或者sin22θ=(舍),应选C考点：三角函数恒等变形．9.〔原创，中档〕如下图，扇形AOB 的半径为2，圆心角为90，假设扇形AOB 绕OA 旋转一周，那么图中阴影局部绕OA 旋转一周所得几何体的体积为〔〕 A ．3π B ．5πC ．83π D ．163π 【答案】C【解析】扇形AOB 绕OA 旋转一周所得几何体的体积为球体积的12，那么321633V r ππ==，AOB ∆绕OA 旋转一周所得几何体的体积为31833r ππ⨯=，阴影局部旋转所得几何体的体积为83π，应选C【考点】旋转体体积、割与补.10．〔原创，中档〕函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为〔〕A BC D【答案】A【解析】222()()()()4122x xx xx x f x f x f x f x -⋅==⇒-=-⇒--为奇函数，排除B ； ()0x f x →+∞⇒→；排除D ；2121(1=()()(1)3242f f f f =⇒<），，排除C ；应选A 【考点】函数性质及图象.11.〔原创，中档〕从1开场的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如下图，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比方3242549,15,23，，，===a a a ，假设,2017i j a =，那么i j +=〔〕A ．64B ．65C ．71D ．72【答案】D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=，按照蛇形排列，第1行到第i 行末一共有(1)122i i i ++++=个奇数,那么第1行到第44行末一共有990个奇数；第1行到第45行末一共有1035个奇数；那么2021位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且一共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，那么45,2772i j i j ==⇒+=，应选D 【考点】等差数列与归纳推理.12.〔原创，难〕函数()2cos()4f x x x π=+，给出以下命题：①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 关于4x π=对称；③函数()f x 关于3(,0)4π对称；④函数()f x的值域为[，那么其中正确的命题个数为〔〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】()2cos()4f x x x π=+的周期显然为2π；())cos()2sin 422f x x x x x πππ+=++=；()2)cos()2sin 422f x x x x x πππ-=-+-+=；()()44f x f x ππ+=-，故②正确.33())cos()2cos 42f x x x x x πππ+=++= 33()2)cos()2cos 42f x x x x x πππ-=-+-+=；33()()44f x f x ππ+=--，故③正确. 2()(cos sin )(cos sin )f x x x x x =+-，设22cos sin (cos sin )2x x t x x t +=⇒-=-，那么[t ∈，32y t t =-2min max 64646230y t t y y '=-=⇒=⇒==，故④正确【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.〔原创，容易〕假设(,2),(1,1)a x b x ==-，假设()()a b a b +⊥-，那么x = ．【答案】1-【解析】22()()1a b a b a b x +⊥-⇒=⇒=- 【考点】向量坐标运算及向量垂直.14.〔原创，容易〕实数,x y 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最小值为．【答案】5【解析】由题意可得可行域为如下图〔含边界〕，11222z x y y x z =+⇒=-+，那么在点(1,2)A 处获得最小值5【考点】根本型的线性规划15.〔原创，中档〕在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，假设1112,21n n n a a a -+==++，那么10S = ．【答案】1078【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒23122211n n n a n a --=+++++-+.111212212n n n n ---=+-+=+-.29101011122210782S ⨯=+++++=. 【考点】等差等比数列及均值不等式16.〔原创，难〕四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，假设224SC ≤≤，那么四棱锥S ABCD -的体积取值范围为．【答案】438[]3【解析】如下图，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB⊥于O ，那么SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，那么有，232cos SC θ=-,又224SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，那么2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438[]3【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.〔此题满分是12分〕〔原创，容易〕单调的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，假设339S =，且43a 是65,a a -的等差中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)假设数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 前n 项的和为n T ，求1231111nT T T T ++++. 【答案】(Ⅰ) 3nn a = ；(Ⅱ)43〔18〕解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或者2q =-〔舍〕； (3)分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分 3nn a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分 3521(2)n T n n n =++++=+………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+ 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++……………………12分【考点】等比数列根本量运算、数列求和 18．〔此题满分是12分〕〔原创，中档〕设函数()2sin()cos 32f x x x π=+-(Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) ABC ∆的内角分别为,,A B C ，假设()22A f =ABC ∆可以盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值. 【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6〔18〕解：(Ⅰ) 313()2sin()cos sin 223222f x x x x x π=+-=+……3分 sin(2)3x π=+……………4分5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，那么23b c a +-=9分222(23)b c b c bc +-=+-……………10分 4334()812bc b c bc bc ⇒=+≥⇒≥或者43bc ≤〔舍〕……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：312r a b c =⇔++=……9分代入2223()2b c b c bc +-=+-；……………10分 4334()812bc b c bc bc ⇒=+≥⇒≥或者43bc ≤〔舍〕；……………11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值. 19．〔此题满分是12分〕〔原创，中档〕如图，三棱111ABC A B C -，侧面11A B BA 与侧面11A C CA 是全等的梯形，假设1111,A A AB A A A C ⊥⊥,且11124AB A B A A ==.〔Ⅰ〕假设12CD DA =，2AE EB =，证明：DE ∥平面11BCC B ；〔Ⅱ〕假设二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.19.〔Ⅰ〕证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =, 易知：111,2AC AC D AD DC ==……2分；又2AE EB =，那么DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；〔Ⅱ〕侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,那么BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，那么11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C 1(23,2,0),(3,1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，那么有：111111030(1,3,0)030m AB x y m m AB x y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩……10分；设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，那么有：221222030(1,3,23)0330m CB x y n m CB x y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩……11分；1cos ,4m nm n m n ⋅<>==-，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分；【考点】线面平行证明及二面角计算.20. 〔此题满分是12分〕设函数2()2(2)23x f x x e ax ax b =--++- 〔原创，中档〕〔Ⅰ〕假设()f x 在0x =处的法线〔经过切点且垂直于切线的直线〕的方程为240x y ++=，务实数,a b 的值；〔原创，难〕〔Ⅱ〕假设1x =是()f x 的极小值点，务实数a 的取值范围.〔Ⅰ〕解：()2(1)22xf x x e ax a '=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f '=；……………………3分； (0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，那么有(0)21f b =-⇒=；………………5分；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得：()2(1)222(1)()x xf x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分；〔1〕当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤合适题意；………………7分；〔2〕当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或者2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<合适题意；………………9分；〔2〕当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或者2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不合适题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分；【考点】函数切线及函数极值.21.〔此题满分是12分〕函数()(ln 1)1f x x x ax ax =⋅++-+．〔原创，中档〕〔Ⅰ〕假设()f x 在[1,)+∞上是减函数，务实数a 的取值范围.〔原创，难〕〔Ⅱ〕假设()f x 的最大值为2，务实数a 的值.〔Ⅰ〕()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分；2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分；设2ln (),[1,)12x g x x x+=∈+∞-，那么2122ln ()(12)x xg x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分；()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分；〔Ⅱ〕注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，那么(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-合适题意；……………12分【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明.选做题〔请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多项选择，那么按所做的第一题计分〕22．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】〔原创，容易〕直线l 的参数方程为()x t t y a t=⎧⎨=-⎩为参数．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.〔Ⅰ〕求直线l 与圆C 的普通方程；〔Ⅱ〕假设直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1，务实数a 的值．解：〔Ⅰ〕由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分， 0x t x y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分〔Ⅱ〕222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为；…………8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或者4a =；…………10分，【考点】方程互化、圆弦长.23．〔本小题满分是10分〕【选修4—5：不等式选讲】〔原创，容易〕函数()241f x x x =-++,〔Ⅰ〕解不等式()9f x ≤；〔Ⅱ〕假设不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}230B x x x =-<，且满足B A ⊆，务实数a 的取值范围.23. 解：〔Ⅰ〕()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或者1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或者1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或者12x -≤≤，或者21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分〔Ⅱ〕易知(0,3)B =；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分【考点】绝对值不等式解法、不等式恒成立.齐鲁名校教科研协作体、局部重点中学2021届高三第二次调研联考数学〔理〕参考答案及评分HY1．【答案】B2．【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】C10．【答案】A11.【答案】D12.【答案】D13.【答案】1-14.【答案】515.【答案】107816.【答案】8]317.【答案】(Ⅰ) 3n n a = ；(Ⅱ)43解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或者2q =-〔舍〕；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分 3n n a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分 3521(2)n T n n n =++++=+………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+ 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++ (12)分【考点】等比数列根本量运算、数列求和18．【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 解：(Ⅰ) 1()2sin()cos sin 2232f x x x x x π=+-=+……3分 sin(2)3x π=+……………4分 5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a bc bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A BC 的对边分别为,,a bc，那么b c a +-=9分222(b c b c bc +-=+-……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或者43bc ≤〔舍〕……11分1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6 (12)分令也可以这样转化：312r a b c =⇔++=……9分代入2223()b c b c bc +-=+-；……………10分 4334()812bc b c bc bc ⇒=+≥⇒≥或者43bc ≤〔舍〕；……………11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分19．19.〔Ⅰ〕证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ==……2分；又2AE EB =，那么DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；〔Ⅱ〕侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,那么BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，那么11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1(23,2,0),(3,1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，那么有：11111100(1,00m AB y m m AB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩……10分；设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，那么有：22122200(1,3,030m CB y n m CB y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩……11分； 1cos ,4m nm n m n ⋅<>==-，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分； 20. 〔Ⅰ〕解：()2(1)22xf x x e ax a '=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f '=；……………………3分； (0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，那么有(0)21f b =-⇒=；………………5分；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得：()2(1)222(1)()x xf x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分；〔1〕当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤合适题意；………………7分；〔2〕当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或者2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<合适题意；………………9分；〔2〕当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或者2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不合适题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分；21.〔Ⅰ〕()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分； 2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分；设2ln (),[1,)12x g x x x+=∈+∞-，那么2122ln ()(12)x xg x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分；()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分；〔Ⅱ〕注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，那么(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-合适题意；……………12分22．解：〔Ⅰ〕由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分，0x t x y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分〔Ⅱ〕222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为；…………8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或者4a =；…………10分，23. 解：〔Ⅰ〕()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或者1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或者1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或者12x -≤≤，或者21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分〔Ⅱ〕易知(0,3)B =；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2021年高三12月第二次测试数学(理)试题含答案

2021年高三12月第二次测试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1.已知函数的定义域为M ，函数的定义域为N ，则=（）A. B. C. D.2.设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）．A. B. C. D.3.曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.4.函数)2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到图象解析式为（）A. B.C. D.5.已知向量，若，则的最小值为（）A.2B.C.6D.9 6.已知ααπααcos sin ),0,4(,25242sin +-∈-=则等于（） A. B. C. D.7.如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（）A. B. C. D.8.已知函数是R 上的偶函数，若对于，都有，且当，则的值为（）A.-2B.-1C.1D.2 9.在中，是边中点，角的对边分别是，若，则的形状为（） A.等边三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形 10．抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（）A ．B ．C ．D ．11.已知，，若，则在同一坐标系内的大致图象是（）12. 在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为（）A. B. C D.二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.在中，若，则14.函数的单调递增区间为15. 已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为16.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为9，则d=的最小值为 .二、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.（本小题满分12分）. 已知向量，，函数.（1）求函数的对称中心；（2）在中，分别是角的对边，且，且，求的值.18．（本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，且1234123411112(),32().a a a aa a a a+=++=+（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19.（本小题满分12分）已知是三次函数的两个极值点，且，求动点所在区域面积S.20.（本小题满分12分）一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用表示铁棒的长度；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值.21.（本小题满分13分）已知函数.（1）求的极值；（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围.22．(本小题满分l4分)设椭圆C：的一个顶点与抛物线：的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F2的直线与椭圆C交于M、N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求的值．高三理科数学答案选择题 ACBDC BDCAA BB填空题 13.2 14. 15. 16. 解答题17. 解：（1）x x x x n m x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=,………………2分 =. ………………4分令得，，函数的对称中心为. ………………5分 10.1)62sin(31)62sin(2)(=+∴=++=ππC C C f ，是三角形内角，即： ……………………7分即：. ………………9分将代入可得：，解之得：或4，或2，.……………………11分 . ……………………12分 18.解：（1）∵，，…………………………1分数列各项均为正数。

2020-2021学年四川省川大附中高一上学期12月月考数学试题 Word版

四川省川大附中2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．cos210°＝（） A． B ．12- C ．12D2．设集合A ＝{x|y ＝lg （x ＋1）}，B ＝{x|2x ＞4}，则()A B =R （） A ．（2，＋∞） B ．（-1，2] C ．（-1，2） D ．（-1，＋∞） 3．已知α是第二象限角，5tan 12α=-，则cosα＝（） A ．1213 B ．1213- C ．513D ．513- 4．设α＝20.2，0.31()2b -=，c ＝log 0.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b5．设f （x ）＝3x ＋3x -8，用二分法求方程3x ＋3x -8＝0近似解的过程中，有f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则该方程的根所在的区间为（） A ．（1，1.25） B ．（1.25，1.5） C ．（1.5，2） D ．不能确定6．函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为（）A ．（0，＋∞）B ．（-∞，0）C ．（2，＋∞）D ．（-∞，-2）7．幂函数f （x ）＝（a 2-2a -2）x a 在（0，＋∞）上单调递增，则g （x ）＝b x ＋a ＋1（b ＞1）过定点（） A ．（1，1） B ．（1，2） C ．（-3，1） D ．（-3，2）8．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -1）＝f （x ＋2），且当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，f （x ）＝-2x 2＋1，则f （2021）＝（） A ．-7 B ．1 C ．0 D ．-19．流行病学基本参数：基本再生数R 0指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：I （t ）＝N 0e rt （其中N 0是开始确诊病例数）描述累计感染病例I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 满足R 0＝1＋rT ，有学者估计出R 0＝3.4，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当I （t ）＝2N 0时，t 的值为（ln2≈0.69）（） A ．1.2 B ．1.7 C ．2.0 D ．2.510．已知函数(3),2,()log (1)3,2,xaa x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是定义域上的单调增函数，则a 的取值范围是（）A．)3⎡⎣ B． C．( D ．（1，2） 11．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，C 为函数f （x ）的图象与y 轴的交点，B 为函数f （x ）的图象与x轴的一个交点，且||BC =．若函数f （x ）的图象与直线54y =在（0，3）内的两个交点的坐标分别为（x 1，y 1）和（x 2，y 1），则f （x 1＋x 2）＝（）A ．-1 B． C． D ．-212．定义在（0，＋∞）上的单调函数f （x ）对任意的x ∈（0，＋∞）有f （f （x ）-log 3x ）＝4，则不等式f （a 2＋2a ）＞4的解集为（）A ．{a|a ＜-3或a ＞1}B ．{a|a ＞1}C ．{a|-3＜x ＜1}D ．{a|a ＜-3}第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题． 13．计算：12293(lg 4lg 25)34-⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是________．14．已知函数f （x ）＝x 2-2ax ＋1，若函数f （x ）在区间（-1，1）和（1，3）上分别各有一个零点，求实数a 的取值范围________．15．给出下列四个命题，其中正确的命题是________（填序号）：①函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移12π后，图象关于原点对称；②函数f （x ）＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数； ③设θ为第二象限角，则tancos 22θθ>，且sin cos 22θθ>； ④函数y ＝cos 2x ＋sinx 的最小值为-1．16．设函数2cos ,[6,6]3()12,(,6)(6,)||x x f x x x π⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-+∞⎪⎩，若关于x 的方程[f （x ）]2＋af （x ）＋1＝0（a∈R ）有且仅有12个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本题共6小题，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．17．函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）用五点法作出函数y ＝f （x ），7,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象．（2）f （x ）图象是由y ＝sinx 的图象经过怎样的变换得到的．18．已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为1(,)2y ．（1）求tanθ的值；（2）求cos()cos(2)2sin cos()θθθθπ-+-π+π+的值． 19．函数f （x ）是R 上的偶函数，且当x≥0时，函数的解析式为f （x ）＝2x 2-10x ．（1）求当x ＜0时，函数的解析式；（2）设函数f （x ）在x ∈[t ，t ＋1]（t≥0）上的最小值为g （t ），求g （t ）的表达式． 20．已知函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ），（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是2π，若将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数g （x ）为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）的对称轴及单调增区间；（3）若对任意,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，f （x ）-m≤0恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数g （x ）＝mx 2-2mx ＋1＋n ，（n≥0）在[1，2]上有最大值1和最小值0．设()()g x f x x=．（1）求m ，n 的值；（2）判断f （x ）在（0，＋∞）上的单调性，并证明；（3）若不等式f （log 2x ）-2klog 2x≥0在x ∈[2，4]有解，求实数k 的取值范围． 22．已知函数f （x ）＝log 2（2x ＋k ）（k ∈R ）的图象过点P （0，2）．（1）求k 的值并求函数f （x ）的值域；（2）若函数(1)()2()22x f x h x a +=-⋅，则是否存在实数a ，对任意x 1∈[0，4]，存在x 2∈[0，2]使|h （x 1）|≥f （x 2）＋2成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．川大附中2020—2021学年上期12月月考考试试题高一数学（参考答案）一、单选题：ABBDB DDDBABA12．【详解】令f （x 0）＝4，则f （x ）-log 3x ＝x 0，所以f （x ）＝log 3x ＋x 0，又因为f （x 0）＝4，所以log 3x 0＋x 0＝4，解得x 0＝3，可得f （x ）＝log 3x ＋3，所以f （x ）是增函数，由f （a 2＋2a ）＞4，则f （a 2＋2a ）＞f （3），所以a 2＋2a ＞3，解得a ＜-3或a ＞1．二、填空题：13．5 14．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15．①④ 16．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．【详解】作出函数f （x ）的简图如图，令f （x ）＝t ，要使关于x 的方程[f （x ）]2＋af （x ）＋1＝0（a ∈R ）有且仅有12个不同的实根，则方程t 2＋at ＋1＝0有两个不同的实数根t 1、t 2，且由图知t 1、t 2∈（0，2），设g （t ）＝t 2＋at ＋1，则有2(0)10(2)25040022g g a a a =>⎧⎪=+>⎪⎪⎨∆=->⎪⎪<-<⎪⎩，解得5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭．三、解答题：17．【详解】（1）∵7,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥，∴022x π≤+≤π，列表如下画出函数图像，如图所示：（2）法一：将函数y ＝sinx 的图象纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），最后把得到的函数图象向左平移8π个单位得到函数y ＝f （x ）的图象．法二：将函数y ＝sinx 的图象纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将图象向左平移4π个单位，最后将横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数y ＝f （x ）的图象． 18．【详解】（1）将1,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭代入圆的方程x 2＋y 2＝1得：y =，∵1,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭在第四象限，∴y =，由任意角三角函数的定义得：tan y x θ==；（2）sin θ=1cos 2θ=，1cos()cos(2)sin cos 22sin cos()sin cos θθθθθθθθπ-+-π+===+π+- 19．【详解】（1）设x ＜0，则-x ＞0，可得f （x ）＝f （-x ）＝2x 2＋10x ．（2）由（1）得2525()222f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，函数图象的开口向上，对称轴为52x =．①当512t +≤时，即302t ≤≤时，f （x ）在[t ，t ＋1]上单调递减，此时f （x ）的最小值g （t ）＝f （t ＋1）＝2（t ＋1）2-10（t ＋1）＝2t 2-6t -8；②当3522t <<时，函数y ＝f （x ）在对称轴处取得最小值，此时，525()22g t f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．③当52t ≥时，f （x ）在[t ，t ＋1]上单调递增，此时f （x ）的最小值g （t ）＝f （t ）＝2t 2-10t ；综上所述，得g （t ）的表达式为：223268022535()22252102t t t g t t t t t ⎧⎛⎫--≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．20．【详解】（1）由已知，周期2T ωπ=π=，所以ω＝2，()sin 263g x f x x ϕππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为g （x ）为奇函数，所以3k ϕπ-+=π，k ∈Z ，即3k ϕπ=+π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，所以3ϕπ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由（1）令232x k ππ+=π+，k ∈Z ，得212k x ππ=+，k ∈Z ，所以f （x ）的对称轴为212k x ππ=+，k ∈Z ；由222232k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得51212k x k πππ-≤≤π+，k ∈Z ，所以f （x ）的单调增区间为5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()sin 2[0,1]3f x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由题m≥f （x ）max ，∴m≥1． 21．【详解】（1）由题意可知m≠0，对称轴为x ＝1，当m ＞0时，函数g （x ）在[1，2]上递增，则(1)210(2)4411g m m n g m m n =-++=⎧⎨=-++=⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩；当m ＜0时，函数g （x ）在[1，2]上递减，则(1)211(2)4410g m m n g m m n =-++=⎧⎨=-++=⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩；又n≥0，故10m n =⎧⎨=⎩．（2）f （x ）在（0，1）上是增函数，在（1，＋∞）上是减函数．证明略；（3）2()211()2g x x x f x x x x x-+===+-，所以()222221log 2log log 22log 0log f x k x x k x x-=+--≥在[2，4]上有解时，则2221212(log )log k x x+-≥在[2，4]有解，令22222121()11(log )log log h x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，则只需h max （x ）≥2k 成立即可．当x ∈[2，4]时，211,1log 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2max 11()124h x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故124k ≤，得18k ≤．22．【详解】（1）由题f （0）＝2，即log 2（1＋k ）＝2，所以k ＝3，所以f （x ）＝log 2（2x ＋3），因为y ＝2x 单调递增，所以f （x ）＝log 2（2x ＋3）单调递增，因为2x ＋3＞3，所以f （x ）＝log 2（2x ＋3）＞log 23，所以函数f （x ）的值域为（log 23，＋∞）．（2）由题有|h （x 1）|≥f （x 2）min ＋2，由（1）知，当x 2∈[0，2]时，f （x ）＝log 2（2x ＋3）单调递增，所以f （x 2）min ＝2，又(1)(1)()222()222322223x x x f x xxh x a a a ++=-⋅=+-⋅=-⋅+，x 1∈[0，4]令22[1,4]x t =∈，则h （t ）＝t 2-2at ＋3，t ∈[1，4]，所以|h （t ）|＝|t 2-2at ＋3|≥4，t ∈[1，4]恒成立，所以t 2-2at ＋3≥4或者t 2-2at ＋3≤-4恒成立在t ∈[1，4]上，即min 12()a t t ≤-或者max 72()a t t≥+令1()t t tφ=-，则()t φ在t ∈[1，4]上单调递增，所以min ()(1)0t φφ==，所以2a≤0，即a≤0 令7()t t tϕ=+，函数φ（t）在⎡⎣单调递减，在⎤⎦单调递增， φ（1）＝1＋7＝8，7(4)4(1)84ϕϕ=+<=，所以φ（t ）max ＝φ（1）＝8，所以2a≥8，即a≥4综上所述，存在a≤0或a≥4，对任意x 1∈[0，4]，存在x 2∈[0，2]使|h （x 1）|≥f （x 2）＋2成立．。

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