2019年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷(5月份)

2019年浙江省杭州高级中学高考模拟试卷（5月份）数学试题出卷人：高数备课组 审核人：高数备课组注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：,sin 1x x ∀∈R ≤，则p ⌝为 A.,sin 1x x ∀∈R ≥ B.00,sin 1x x ∃∈R ≤ C.,sin 1x x ∀∉>R D.00,sin 1x x ∃∈>R2.若z =−2+3z z(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是( )A. 2iB. −2zC. −2D. 23.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为4，焦距为10，则双曲线的渐近线方程为A . x y 43±= B. x y 34±= C. x y 21212±= D.x y 221±= 4.关于函数()sin f x x x =-，下列说法错误的是(A)()f x 是奇函数(B) ()f x 在(,)-∞+∞上单调递增 (C)0x =是()f x 的唯一零点 (D)()f x 是周期函数5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-+=-1,21),2(log 21)(12x x x x f x ，则=+-)2019(log )2(2f fA .1011B .1010C .1009D .1012 6.已知数列{z z }的前n 项和为z z ，z 1=−19，且z z +2z z z z −1=0(z ≥2,z ∈z ∗)，则z z 的最小值和最大值分别为( )A. −14，14B. −13，13C. −12，12D. −1，17.已知不等式组1,1,0x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩.所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为A 、[]3,3-B 、11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C 、(][),33,-∞-⋃+∞D 、11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c 若222sin sin sin sin sin ,A B C B C --=-132c b =+，则tan B = A 、2 B 、12C 、2323+D 、()3314-9.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为 A ．3π B ．12πC ．18πD ．27π10.已知定义在R上的函数()f x 满足()()()63f x f x y f x +==+，且为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结构正确的是A ．()1219ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1219ln 22f e f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1219ln 22f f f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1219ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.双曲线2214x y -=的渐近线方程为. 12.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．13.已知2sin cos 113cos 4ααα⋅=+，且()1tan 3αβ+=，则tan β=____________． 14在ABC ∆中，4A π∠=，ab c b a =-+222，3c =，则C ∠=；a =____________.15.执行如图所示的程序框图，输出的结果为_____, ___． 16.已知，是焦距为2的椭圆的两个焦点，P 为椭圆C 上的一个点，过点P 作椭圆C 的切线l ，若，到切线l 的距离之积为4，则椭圆C 的离心率为．17.若存在无穷数列，满足：对于任意，，是方程的两根，且，，则．三、解答题:本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=．（1）判断△ABC 的形状； （2）若121()cos 2cos 232f x x x =-+，求()f A 的取值范围．19.已知是数列的前n 项之和，，，．1F 2F ()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F {}n a {}n b n N +∈1n a +1n b +()2201n n n n b a x b x a ++=-101a =10b >1b =n S {}n a 11a =12n n S na +=n N *∈（1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n 项和，若，求正整数n 的最小值．20.如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为．（1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值．21.椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>的离心率是53，过点P（0, 1）作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于,A B 两点，当直线l 垂直于y 轴时||33AB =．（1）求椭圆E 的方程； （2）若点M 的坐标为5(,0)12，AMB ∆是以AB 为底边的等腰三角形，求k 值．22.设函数()()212xk f x x e x =--（其中k R ∈）． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当0k>时，讨论函数()f x 的零点个数．数学参考答案1-5 DDCDD 6-10 DCBDA 11.略52 12.35 13. 1- 14.3π；6 15. 8，13 16.5517. 512 18.解答：（Ⅰ）法一：因为 sin cos cos a B b C c B -=，{}n a ()2111nn n n n a b a a ++=-⋅{}n b n T 112019n T +<ABED AB DE ∥AB BE ⊥C AB AB CD ⊥2AC BC CD ===ACD △CD A P PE PBC 45︒PBC ⊥DEBC D PE B --由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+， 所以sin()sin sin C B A B +=． 因为在△ABC 中，A B C ++=π， 所以sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠，所以sin 1B =，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形．法二： 因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， 即sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =． 所以在△ABC 中，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． （Ⅱ）因为121()cos 2cos 232f x x x =-+22cos cos 3x x =-=211(cos )39x --．所以 211()(cos )39f A A =--．因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<，且0cos 1A <<，所以 当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-．所以()f A 的取值范围是11[,)93-．19.（Ⅰ）12n n S na +=……①，12(1)n n S n a -=-……②，②—①得：12(1)n n n a na n a +=--，2n ≥……2分，2122a S ==方法一：11n n a n a n ++=，342231342(2)231n n n a a ana a n n a a a n -==⨯⨯⨯⨯=≥-， 方法二：11n n a a n n +=+，则{}n a n 为常数列，∴212n a an ==，∴n a n =(2)n ≥当1n =时也满足，所以,n a n n N +=∈……6分（没有考虑2n ≥扣一分） （Ⅱ）2112111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++ 当n 为偶数时，1111111(1)()()()2233411n nT n n n =-+++-++++=-++ 当n 为奇数时，11111112(1)()()()2233411n n T n n n +=-+++-++-+=-++ 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数……12分11|1|12019,201812019n T n n n +=<⇒+>∴>+2019.n ，的最小值为 ……15分20.（1）证明：∵，，∴，∵，∴，∴，且，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（2）解：由（1）知平面，∴，由与平面所成的角为得，∴为等腰直角三角形，∴，∵，结合得，∴，故为等边三角形，取的中点，连结，∵，∴平面，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图，则，，，， 从而，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则由得，令得，AB CD ⊥AB BE ⊥CD EB ∥AC CD ⊥PC CD ⊥EB PC ⊥PCBC C =EB ⊥PBC EB ⊂DEBC PBC ⊥DEBC EB ⊥PBC EB PB ⊥PE PBC 45︒45EPB ∠=︒PBE △PB EB =AB DE ∥CD EB ∥2BE CD ==2PB =PBC △BC O PO PO BC ⊥PO ⊥EBCD O O BE x CB y OP z ()0,1,0B ()2,1,0E ()2,1,0D -()0,0,3P ()0,2,0DE =()2,0,0BE =()2,1,3PE =-PDE (),,x y z =m PEB (),,a b c =n 00DE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 20230y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩2z =-()3,0,2=--m由得，令得，设二面角的大小为，则21.解：（1）由已知椭圆过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得222222711,4,3a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得229,4a b ==, 所以椭圆的E 方程为22194x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)C x y由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，显然0>∆.所以120002294, 124949x x k x y kx k k+-===+=++. 当0k ≠时，设过点C 且与l 垂直的直线方程22194()4949k y x k k k =-++++, 将5(,0)12代入得2215940()124949k k k k =-++++, 化简得291240k k ++=，解得23k =-.当0k =时，与题意不符. 综上所述，所求k 的值为23-22.解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()1x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >，所以()f x 的单调递减区间是(),0-∞，单调递增区间是[)0,+∞，②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >，00BE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 2020a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩1c =()=n D PE B --θcos θ⋅===⋅m n m n所以()f x 在(),ln k -∞和()0,+∞上单调递增，在[]ln ,0k 上单调递减， ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在(),-∞∞上单调递增，④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在(),0-∞和()ln ,k +∞上单调递增，在[]0,ln k 上单调递减；（2）()01f =-，①当01k <≤时，由（1）知，当(),0x ∈-∞时，()()()()()22max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣⎦，此时()f x 无零点，当[)0,x ∈+∞时，()222220f e k e =-≥->，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()f x 在[)0,+∞上有唯一的零点， 故函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有唯一的零点，②当1k >时，由（1）知，当(),lnk x ∈-∞时，()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；当[)ln ,x k ∈+∞时，()()ln 010f k f <=-<，()()()221111122k k k k k f k ke k e ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，令()21,122t g t e t t k =-=+>，则()(),1t tg t e t g t e '''=-=-，因为()()2,0,t g t g t '''>>在()2,+∞上单调递增，()()2220g t g e ''>=->，所以()g t 在()2,+∞上单调递增，得()()2220g t g e >=->，即()10f k +>，所以()f x 在[)ln ,k +∞上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有唯一的零点．综全①②知，当0k >时函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有且只有一个零点．。