届北师大版九年级数学下册习题课件：小专题(十一) 二次函数与几何图形综合——特殊三角形、四边形问题
北师大版九年级数学下册：2.2 二次函数的图象与性质 课件(共21张PPT)
【答案】选B.
故障车，此时刹车
有危险（填“会”或
“不会”）.
【答案】会
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
拓展提升：
1.（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
3.抛物线y =3x2+5的开口___向__上__，对称轴是_y__轴___， 顶点坐标是____(0__，__5_)___.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口_____向__下___，对称轴是 _直_线__x__=__－__1_，顶点坐标是___(_－__1_，__0_)___.
探究二：
y
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象， 并与二次函数y=3x2的图象进行比较， 说明它们之间的关系.
探究一：
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
思考：它们的图象之间有 什么关系？
y
o
x
函数
的图象
向上平移2个单位
函数
的图象
函数
向右平移1个单位 的图象
y
o
x
【小组竞赛】
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的__形__状___相同，
____位__置___不同. 2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的__形__状__相同， ___位__置____不同.
达式为____________．
【答案】
或
4．（宁夏·中考）把抛物线
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4Байду номын сангаас
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
①列表； ②描点； ③连线.
10
y
y=2x2
9
x
··· －2 －1
y =x2
8
0
1
2
···
7
6
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=
−
-4
− .
如图所示
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件
4
y
2 y=-x2+3
-1 0
-5
函数y=-x2-2的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
O
5x
10
y=-x2
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
增大而
减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ，
对称轴是 y轴 ，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最 小 值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
Hale Waihona Puke 对称性 顶点 增减性关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点 （最大值为k）
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
北师大版数学九年级下册课件二次函数
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 答：种10棵橙子树，果园橙子的总产量最多.
新知探究
做一做：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量. 在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
银行储蓄利率表
2012-7-6
项
目
利率
三个月
2.85
整
半年
3.05
存
一年
3.25
整
二年
3.75
取
三年
4.25
五年
4.75
零存整取
一年
2.85
整存零取
三年
解：S=a( -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a . 是函数关系且为二次函数关系.
新知探究
3.已知函数y=(m2+m) xm2-2m+2 (1)当函数是二次函数时,求m的值.
是二次函数的条件是m2-2m+2=2且m2+m≠0. (2)当函数是一次函数时,求m的值.
是一次函数的条件是m2-2m+2=1且m2+m≠0.
九年级数学北师版·下册
第二章 二次函数
2.1 二次函数
教学目标
1．探索并归纳二次函数的定义．(重点) 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系.（难点）
新课导入
2020春北师大版九下数学小专题十二次函数与几何图形综合对接中考练习课件(共59张PPT)
解：（1）在 y＝－x＋4 中， 令 x＝0，则 y＝4；令 y＝0，则 x＝4. 故点 A，B 的坐标分别为（4，0），（0，4）. 设抛物线的表达式为 y＝a（x＋1）（x－4）. ∵抛物线过点（0，4），∴－4a＝4，解得 a＝－1. ∴抛物线的表达式为 y＝－x2＋3x＋4.
解：（1）联立yy＝＝kk（x－x－k＋1）2，2＋2，得 k（x－1）2＋2＝kx－k＋2， 解得 x1＝1，x2＝2. ∴点 A，B 的坐标分别为（1，2），（2，k＋2）. ∴A，B 两点的横坐标分别为 1，2.
（2）易知 OA＝ 22＋1＝ 5. ①当 OA＝AB 时，即 1＋k2＝5，解得 k＝－2 或 2（不合题意，舍去）； ②当 OA＝OB 时，即 4＋（k＋2）2＝5，解得 k＝－1 或－3. 综上所述，k 的值为－1 或－2 或－3.
②当 AB 是平行四边形的对角线时，如图 2，
则 AB 的中点坐标为（2，0）.
设点 P 的横坐标为 m，点 F 的横坐标为 2，其中点坐标为m＋2 2，
即m＋2 2＝2，解得 m＝2.
∴点 P（2，－1）.
综上所述，点 P 的坐标为（4，3）或
（0，3）或（2，－1）.
图2
数学 九年级 下册 （北师）
（1）求 m 的值； （2）抛物线上有一点 P，满足 S△ABP＝4S△ABD， 求点 P 的坐标.
解：（1）∵抛物线 y＝－x2＋mx＋3 过点（3，0）， ∴0＝－9＋3m＋3.∴m＝2.
y＝－x2＋2x＋3， （2）联立y＝－32x＋3， 解得xy11＝ ＝03， ，yx22＝＝－72，94. ∴D（72，－49）.
北师大版九年级下册第二章《二次函数》2.4二次函数的应用(共19张PPT)
M D ┐ A
40m
30m
C
B
N
在上面的问题中，如果把矩形改 为如图所示的位置，其他条件不 变，那么矩形的最大面积是多少？ 你是怎么知道的？
M D P┐
C
G
H
30m
B A N
40m
M
30m 30m
M C B
C
D
A ┐
H
N
D G P┐
B
40m
40m
A
N
AB 20cm, AD 15cm ymax 300cm2
10
20
30
40 x
36米
A x D
y 1000 800
B
C
如图，小亮父亲想用长为80米长600 的栅栏，再借用房屋的外墙围成 一个矩形羊圈ABCD，已知房屋 400 外墙长36米，设矩形ABCD的边 200 AB=x米，面积为S平方米。 (1)写出S与x之间的关系式，并 指出x的取值范围。 0 (2)当AB、BC分别为多少米时， 羊圈的面积最大？最大面积是多 少？
.
在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝12 米，点P从点A出发沿AB边向点B以1 米/秒的速度移动，同时，点Q从点B 出发沿BC边向点C以2米 /秒的速度移 动。如果P、Q两点在分别到达B、C 两点后就 停止移动，设运动时间为t秒 D （0<t<6)，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，△PBQ 的面积等于8 ； （2）设五边形APQCD的面积为S ， 写出S与t的函数关系式，t为何值时 S最小？求出S的最小值。
P
M C B
C
D
A ┐
H
A G
D
北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图像与性质课件
二次函数性质总结
二次函数的增减性
当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧，函数值随 $x$ 的增大而 减小；在对称轴右侧，函数值随 $x$ 的增大而增大。当 $a < 0$ 时，情况相反。
二次函数的最大值和最小值
当 $a > 0$ 时，二次函数有最小值，且最小值为顶点的纵 坐标；当 $a < 0$ 时，二次函数有最大值，且最大值为顶 点的纵坐标。
THANKS
感谢观看
$B(2,0)$ 和 $C(3,4)$，求该二次 函数的解析式。
例题2
已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ ，求该函数图像的顶点坐标和对称 轴方程。
例题3
已知二次函数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ ，判断该函数图像与 $x$ 轴的交点 情况。
解题思路与方法总结
01
对于已知图像上三个点的二次函数求解析式问题，可以通过设一般式或交点式 进行求解，利用待定系数法确定系数。
02
当函数图像沿y轴向上（下）平移 h个单位时，函数表达式中的y替 换为y+h（y-h）。
对称变换规律
当函数图像关于x轴 对称时，函数表达式 中的y替换为-y。
当函数图像关于原点 对称时，函数表达式 中的x和y分别替换为 -x和-y。
当函数图像关于y轴 对称时，函数表达式 中的x替换为-x。
伸缩变换规律
二次函数的顶点坐标 $(- frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$ 与一元二次方程的解有密切关系，当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，顶点在x轴下方，方程有两个不相等的实根；当 $Delta = 0$ 时，顶 点在x轴上，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，顶点在x轴上方，方程无实根。
北师大版九年级下册数学：2.4 二次函数在几何方面的应用 课件 (共29张PPT)
开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
2ba,
4acb2 4a
直线 x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
2ba,
4acb2 4a
直线 x b
2a
由a,b和c的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
6 6
6
6
4
4
4
4
x=1
2 x=1
2
x=1
2
2 x=1
15 22
13
-2
2
0
10 15
5
2
10
5
5
10
15 5
10
5
10
55
-2
10
45
15
10
15
2
2
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
10
10
10
10
由以上例子你能得出什么规律？ 规律总结：
1：首先求出对称轴
2: 判断对称轴与区间的关系
若对称轴在区间的外面，函数在区间 上单调，最值在端点处取得；若对称轴 在区间的内部，函数在区间上不单调， 最值在端点和顶点分别取得。 3：利用好函数的图像
思考1：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[0, k] 时的最值?
y
0 12
-2
-1
3
x
思考2：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值?
北师大版九年级数学下册练习：小专题(十一) 二次函数与几何图形综合特殊三角形、四边形问题
小专题(十一) 二次函数与几何图形综合——特殊三角形、四边形问题1.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，点B 的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的表达式；(2)点D 为抛物线对称轴上一点，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标； 备用图解：(1)把B(3，0)，C(0，3)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)抛物线的对称轴为直线x ＝－2.设D(2，y)，则BC 2＝18，DC 2＝4＋(y －3)2，BD 2＝1＋y 2.当△BCD 是以BC 为直角边，BD 为斜边的直角三角形时，BC 2＋DC 2＝BD 2， 即18＋4＋(y －3)2＝1＋y 2，解得y ＝5.此时点D 的坐标为(2，5)；当△BCD 是以BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，BC 2＋DB 2＝DC 2， 即4＋(y －3)2＝1＋y 2＋18，解得y ＝－1.此时点D 的坐标为(2，－1).综上：点D 的坐标为(2，5)或(2，－1).2.如图，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为P.若以A ，C ，P ，M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.解：y ＝－x 2－2x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3，∴C(0，3).y ＝－x 2－2x ＋3中，令y ＝0，即－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1.∴A(－3，0)，B(1，0).∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴顶点P 的坐标为(－1，4).如图，分别过△PAC 的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点M1，M2，M3.∵AM1 //CP，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M1(－4，1).∵AM2//PC，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M2(－2，－1).∵CM3//AP，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M3(2，7).综上所述，点M的坐标为(－4，1)或(－2，－1)或(2，7).3.如图，已知抛物线y＝14x2－12x－2与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边)，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标；(2)此抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)令y＝0，得14x 2－12x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4.∴A(4，0)，B(－2，0).令x＝0，得y＝－2.∴C(0，－2).(2)存在点P，使得△ACP是等腰三角形.设P(1，a)，则AP2＝a2＋9，CP2＝(a＋2)2＋1＝a2＋4a＋5，AC2＝20.①当AP＝CP时，即a2＋9＝a2＋4a＋5，解得a＝1.∴P1(1，1)；②当CP＝AC时，即a2＋4a＋5＝20，解得a＝－2±19.∴P2(1，－2＋19)，P3(1，－2－19)；③当AP＝AC时，即a2＋9＝20，解得a＝±11.∴P4(1，11)，P5(1，－11).综上所述，满足条件的点P的坐标为P1(1，1)，P2(1，－2＋19)，P3(1，－2－19)，P4(1，11)，P 5(1，－11).4.如图，已知直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝－12x 2＋mx ＋n 交于点P(a ，4)，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC ，若抛物线的对称轴为直线x ＝112，S △PBC ＝8. (1)求直线和抛物线的函数表达式；(2)抛物线上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由.解：(1)∵PB ⊥x ，P(a ，4)，S △PBC ＝8，∴12×4OB ＝8. ∴OB ＝4.∴P(4，4).∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ，∴OA ＝OB ＝4.∴A(－4，0).把点A ，P 的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧4k ＋b ＝4，－4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝2.∴直线的表达式为y ＝12x ＋2. ∵y ＝12x 2＋mx ＋n 的对称轴为直线x ＝112，且经过点P(4，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2×（－12）＝112，－12×16＋4m ＋n ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝112，n ＝－10. ∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋112x －10. (2)∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA.∵∠CAB ＋∠APB ＝∠CBA ＋∠CBP ＝90°，∴∠APB ＝∠CBP.∴CB ＝CP.作CD ⊥PB ，则CD 平分PB ，当PB 平分CD 时，四边形BCPD 为菱形，此时点D 的坐标为(8，2)，把x ＝8代入y ＝－12x 2＋112x －10，得y ＝－12×64＋112×8－10＝2， ∴点D 在抛物线上.∴在抛物线上存在点D ，使四边形BCPD 为菱形，此时点D 的坐标为(8，2).5.如图，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3交y 轴于点A ，交x 轴于点B 和点C ，顶点为点M.(1)求点M 的坐标；(2)已知点E 为x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点E 的坐标；(3)点F 为直线AB 上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标.备用图解：(1)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴M(－1，4).(2)如图，作点A(0，3)关于x 轴的对称点A′(0，－3)，连接A′M 交x 轴于点E ，则点E 就是使得△AME 的周长最小的点，设直线A′E 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧－k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝－7，b ＝－3. ∴直线A′E 的表达式为y ＝－7x －3.令y ＝0，则－7x －3＝0，∴x ＝－37. ∴E(－37，0). (3)点P 的坐标为(2，－5)或(1，0).。